Chủ đề 7 GIẢI CHI TIẾT tiếp tuyến của đồ thị

TÁN ĐỔ TOÁN PLUS

VIP

CHỦ ĐỀ 7. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.

Chọn B.
Tính y ' =3 x 2 − 6 x ⇒ y ' ( 3) =9 ⇒ phương trình tiếp tuyến là =
y 9 x − 26 .

Câu 2.

Chọn D.
Tính y ' =4 x3 − 8 x ⇒ y ' (1) =−4 ⇒ phương trình tiếp tuyến là y =
−4 x + 2 .

Câu 3.

Chọn C.
Tính y ' =

Câu 4.

2

( x + 1)

2

⇒ y ' ( −2 ) = 2 ⇒ phương trình tiếp tuyến là =
y 2x + 7 .

Chọn A.
Tính y0 = y (2) = −4 và y ' =−3 x 2 + 3 ⇒ y ' ( 2 ) =−9 . Vậy phương trình tiếp tuyến là
y=
−9 x + 14 .

Câu 5.

Chọn A.
−4 x 3 + 16 x ⇒ y ' ( −3) =
60 . Vậy phương trình tiếp tuyến là
Tính y0 =y (−3) =
−9 và y ' =
=
y 60 x + 171 .

Câu 6.

Chọn A.
−1
Tính =
(2) 3 và y ' = 2 ⇒ y ' ( 2 ) =
y0 y=
−1 . Vậy phương trình tiếp tuyến là
( x − 1)
y =− x + 5 .

Câu 7.

Chọn A.
Giải phương trình 2 x03 + 3 x02 =5 ⇔ x0 =1 , và y ' = 6 x 2 + 6 x ⇒ y ' (1) = 12 . Vậy phương trình
tiếp tuyến là=
y 12 x − 7 .

Câu 8.

Chọn B.
Giải phương trình

 x0 = 2
. Đồng thời =
x04 + 2 x02 − 3 = 21 ⇔ 
y ' 4 x3 + 4 x , suy ra
2
x
=
−
 0

 y ' ( 2 ) = 40
. Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là=
y 40 x − 59 và y =
−40 x − 101 .

−40
 y ' ( −2 ) =
Câu 9.

Chọn C.
Giải phương trình

x0 + 2
=1 ⇔ x0 =3 và y='
2 x0 − 1

−5

( 2 x − 1)

2

⇒ y ' ( 3=
)

−1
. Phương trình tiếp
5

1
8
tuyến là y =
− x+ .
5
5

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

1

Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 7

Câu 10. Chọn D.

Giải phương trình y ' ( x0 ) =−3 ⇔ 3 x02 − 6 x0 + 3 =0 ⇔ x0 =1 . Đồng thời y (1) = −4 nên
phương trình tiếp tuyến là y =
−3 x − 1 .
Câu 11. Chọn B.
Giải phương trình y ' ( x0 ) = −48 ⇔ − x03 + 4 x0 + 48 = 0 ⇔ x0 = 4 . Đồng thời y ( 4 ) = −32 nên
phương trình tiếp tuyến cần tìm là y =
−48 x + 160 .
Câu 12. Chọn D.
Giải phương trình
0 ⇒ y (0) =
3 ⇒ pttt : y =+
4x 3
 x0 =
4
.
=
y ' ( x0 ) =
4⇔
4⇔
2
(1 − x0 )
 x0 =2 ⇒ y ( 2 ) =−5 ⇒ pttt : y =4 x − 13

Câu 13. Chọn B.
Giải phương trình

1 ⇒ y (1) =
1 ⇒ pttt : y =
x (trùng)
 x0 =

y ' ( x0 ) = 1 ⇔ −3 x + 4 x0 − 1 = 0 ⇔ 
1
4 .
1 5
x0 =
⇒ y   =⇒ pttt : y =
x−

3
27
 3  27
2
0

Câu 14. Chọn A.
Giải phương trình y ' ( x0 ) =
−36 ⇔ 4 x03 + 2 x0 + 36 =⇔
0
x0 =
−2 . Đồng thời y ( −2 ) =
18 nên
phương trình tiếp tuyến cần tìm là y =

−36 x − 54 .
Câu 15. Chọn C.
Giải phương trình
−
y ' ( x0 ) =

−7
1
⇔
2
7
( x0 + 2 )

1
5

− x + ( trùng )
x0 =
5 ⇒ y ( 5) =
0 ⇒ pttt : y =

−1
7
7
.
= ⇔
1
23
7
 x =−9 ⇒ y ( −9 ) =−2 ⇒ pttt : y =− x −

 0
7
7

Câu 16. Chọn C.
Giải phương trình
2 ⇒ y (2) =
9
⇒ pttt : y =
21x − 33
 x0 =
.
y ' ( x0=
) 21 ⇔ 
 x0 =−2 ⇒ y ( −2 ) =−11 ⇒ pttt : y =21x + 31
Câu 17. Chọn C.
Giải phương trình y ' ( x0 ) =−8 ⇔ x0 =1 . Đồng thời y (1) = 0 nên phương trình tiếp tuyến
cần tìm là y =
−8 x + 8 .
Câu 18. Chọn D.
1
1

4 ⇒ y ( 4) =
1
x0 =
⇒ pttt : y =x +

1
6

3
Giải phương trình y ' ( x0 )=
.
⇔
6
 x =−8 ⇒ y ( −8 ) =3 ⇒ pttt : y =1 x + 13
 0
6
3

2

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 7

Câu 19. Chọn D.

⇒ pttt : y =0
 x =0 ⇒ y '(0) =0

⇒ pttt : y =16 x − 32 .
Giải phương trình x − 4 x =0 ⇔  x =2 ⇒ y '(2) =16
 x =
−2 ⇒ y '(−2) =
−16 ⇒ pttt : y =
−16 x − 32

4

2

Câu 20. Chọn B.
Ta giải phương trình
⇒ pttt : y =
1 ⇒ y '(1) =
0
0
 x=
.
− x 3 + 3x − 2 = 0 ⇔ 
 x =−2 ⇒ y '( −2) =−9 ⇒ pttt : y =−9 x − 18
Câu 21. Chọn D.
Ta giải phương trình

x −5
1
= 0 ⇔ x = 5 . Đồng thời y '(5) = − nên phương trình tiếp tuyến
−x +1
4

1
5
cần tìm là y =
− x+ .
4
4
Câu 22. Chọn D.

Giao điểm của (C ) và Oy là A ( 0;1) ⇒ y '(0) =
−6 nên phương trình tiếp tuyến là
y=
−6 x + 1 .

Câu 23. Chọn C.
Giao điểm của (C ) và Oy là M ( 0; −2 ) ⇒ y '(0) =
0 nên phương trình tiếp tuyến là y = −2 .
Câu 24. Chọn C.
1
7

Giao điểm của (C ) và Oy là A  0; −  ⇒ y '(0) =
− nên phương trình tiếp tuyến là
3
9

7
1
y=
− x− .
9
3
Câu 25. Chọn A.

7

x0 =
1 ⇒ y (1) =


3
Ta giải phương trình y ' ( x0 )= 3 ⇔

3 ⇒ y ( 3) =
1
 x0 =

2
3.
⇒ pttt : y =−
3x 8

⇒ pttt : y =−
3x

Câu 26. Chọn B.
−11

x0 =
1 ⇒ y (1) =

3
Ta có y =' 0 ⇔
. Vậy tiếp tuyến song song trục hoành.

−5, y ' ( 3) =
3 ⇒ y ( 3) =
0
 x0 =
Câu 27. Chọn D.

1
Theo giả thiết ta có y0 =3 ⇒ x0 =3 và y '(3) = − . Vậy phương trình tiếp tuyến là
2
x + 2y −9 =
0.

Câu 28. Chọn B.
Theo giả thiết ta có x0 =−1 ⇒ y0 =−4 và y '(−1) =
9 . Vậy phương trình tiếp tuyến là
=
y 9x + 5 .

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

3


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 7

Câu 29. Chọn B.
Theo giả thiết ta có x0 =0 ⇒ y0 =1 và

y '(0) = −7 . Vậy phương trình tiếp tuyến là

y=
−7 x + 1 .
Câu 30. Chọn D.
Theo giả thiết ta có x0 =5 ⇒ y0 =51 và y '(5) = 45 . Vậy phương trình tiếp tuyến là

=
y 45 x − 174 .

Câu 31. Chọn B.
Ta có y '= 3 x 2 − 6 x + 6= 3( x − 1) 2 + 3 ≥ 3 ⇒ min y '= 3 khi x =x0 =1 ⇒ y0 =y (1) =5 .
Khi đó phương trình tiếp tuyến y = 3( x − 1) + 5 = 3x + 2 .
Câu 32. Chọn A.
Ta có y ' =−3 x 2 + 12 x + 3 =−3( x + 2) 2 + 15 ≤ 15 ⇒ max y ' =15 khi x = x0 = −2 . Lúc đó
y0 = y (−2) = 25 .
Khi đó phương trình tiếp tuyến y = 15( x + 2) + 25 = 15 x + 55 .
Câu 33. Chọn B.
[Phương pháp tự luận]
 y '( x1 )= 3 x12 + 1 > 0
Ta có y=' 3 x 2 + 1 > 0 ⇒ 
⇒ y. ( x1 ). y , ( x2 ) > 0
2
 y '( x2 )= 3 x2 + 1 > 0

hay y '( x1 ). y '( x2 ) ≠ −1 . Suy ra 2 tiếp tuyến A và B không vuông góc.
[Phương pháp trắc nghiệm]
Ta có y=' 3 x 2 + 1 > 0, ∀x ∈  .
Suy ra hàm số đồng biến trên  và cắt trục hoành tại một điểm duy nhất → A, D đúng.
Với x0 =
1 ⇒ y '(1) =
4, y0 =
3 . Vậy phương trình tiếp tuyến y = 4( x − 1) + 3= 4 x − 1 → C
đúng.
Câu 34. Chọn A.
Ta có y=' 3 x 2 + 4 x − 1 ⇒ y '(1)= 6 . Khi đó phương trình tiếp tuyến tại M (1;0) là
a = 6

⇒ ab =
36 .
y = 6( x − 1) = 6 x − 6 , nên 
b = 6
Câu 35. Chọn D.
2

Ta

có

x x=
=
0

4

2
1 5
1 5 5
5


y '= 3 x − 2 x + 2= 3  x 2 − x +  + = 3  x −  + ≥ ⇒ min y '=
3
9 3
3 3 3
3



2

khi

1
.
3

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 7

Câu 36. Chọn C.
Ta có
y'
=

− 3
< 0, ∀x ≠ 1 . Tiếp tuyến tại điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) tạo với Ox góc 600
( x − 1) 2

y '< 0
⇒ y '( x0 )= ± tan 60 =0 ± 3 
→ y '( x0 )= − 3 ⇒

− 3
1

=
− 3 ⇔ ( x0 − 1) 2 =
2
( x0 − 1)

 x =2 ⇒ y0 =2 3
. Các tiếp tuyến tương ứng có phương trình là
⇔ 0
 x0 =0 ⇒ y0 =0

y =
− 3x + 4 3
.

 y = − 3 x

Câu 37. Chọn B.
Ta có y ' = 3 x 2 − 6mx + 3(m + 1) . Do K ∈ (Cm ) và có hoành độ bằng −1 , suy ra
K ( −1; −6m − 3) .
Khi đó tiếp tuyến tại K có phương trình
∆ : y = y '(−1)( x + 1) − 6m − 3 = (9m + 6) x + 3m + 3 .
Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d
9m + 6 =−3 m =−1
.
⇒ 3x + y =
0⇔ y=
−3 x ⇔ 
⇔
3m + 3 ≠ 0
m ≠ −1

Vậy không tồn tại m , ta chọn ∅ .
Câu 38. Chọn A.
Ta có =
y
y ' 4 x 3 + mx và đường thẳng x − 3 y + 1 =
0 viết thành =

1
1
x+ .
3
3

Theo yêu cầu bài toán, phải có y ' ( −1) =−3 ⇔ −4 − m =−3 ⇔ m =−1 .
Câu 39. Chọn C.
Ta có y ' =

1
. Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của d và (C).
2x + 1

Theo yêu cầu bài toán, ta có y ' ( x0 ) =

1
⇔
3

1
1
= ⇔ 2 x0 + 1 = 9 ⇔ x0 = 4 .

2 x0 + 1 3

Câu 40. Chọn C.
Đường thẳng đi qua M (1; 3) có hệ số góc k có dạng d : y= k ( x − 1) + 3 .
3x − 4 x 3= k ( x − 1) + 3 (1)
. Thay
d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: 
2
k (2)
3 − 12 x =
(2) vào (1) ta được
x = 0
k = 3
⇒
3 x − 4 x = ( 3 − 12 x ) ( x − 1) + 3 ⇔ 8 x − 12 x = 0 ⇔ 
.
3
x =
 k = −24
2

3

2

3

2

Vậy có 2 tiếp tuyến.

Câu 41. Chọn B.
Phương pháp tự luận
Ta có y =' 3x 2 + 1 ⇒ y ' (1)= 4 , suy ra tiếp tuyến tại N (1; 4 ) là ∆ : y =
4x .
Phương trình hoành độ giao điểm của ∆ và (C) là
Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

5


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 7

x = 1
.
x 3 + x + 2 = 4 x ⇔ x 3 − 3x + 2 = 0 ⇔ 
 x =−2 ⇒ y =−8

Phương pháp trắc nghiệm
b
2 x N + xM =
− (Với y = ax 3 + bx 2 + cx + d là hàm số ban đầu)
a

⇔ 2 + xM =0 ⇔ xM =−2 ⇒ M ( −2; −8 ) .
Câu 42. Chọn C.
Phương pháp tự luận
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M ( −1; −2 ) có hệ số góc k có dạng ∆ : y= k ( x + 1) − 2 .
∆ là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

 x3 − x 2 + x + =
1 k ( x + 1) − 2 (1)
.
 2
( 2)
3 x − 2 x + 1 =k
Thay (2) vào (1) ta được
 x = −1
2
x3 − x 2 + x + 1 = ( 3 x 2 − 2 x + 1) ( x + 1) − 2 ⇔ ( x + 1) ( x − 1) = 0 ⇔ 
⇒ N (1; 2 ) . P
 x =1 ⇒ y =2
hương pháp trắc nghiệm
b
2 x N + xM =
− (Với y = ax 3 + bx 2 + cx + d là hàm số ban đầu)
a

⇔ 2 xN + ( −1) = 1 ⇔ x N = 1 ⇒ N (1; 2 ) .
Câu 43. Chọn B.
Ta có y ' = 3x 2 + 6mx + m + 1 . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm của tiếp tuyến cần lập.
Khi

đó

 y ' ( −1) = 4 − 5m
,
x0 =−1 ⇒ 
y0 2 m − 1

 =

suy

ra

phương

trình

tiếp

tuyến

là

∆ : y = ( 4 − 5m )( x + 1) + 2m − 1 .
Do A (1; 3) ∈ ∆ ⇒ 3=

( 4 − 5m )(1 + 1) + 2m − 1 ⇔ m=

1
.
2

Câu 44. Chọn D.
Ta có y ' =

1+ m

( x + 1)

2

khi đó y ' ( 0 ) = 3 ⇔ 1 + m = 3 ⇔ m = 2 .

Câu 45. Chọn B.
Ta =
có y '

1

( x + 1)

2

> 0, ∀x ≠ −1 . Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm của (C ) với tiếp tuyến cần

lập. Tam giác OAB cân tại O nên OA = OB, suy ra
y '>0
±1 
→ y ' ( x=
y ' ( x=
1⇔
0)
0)

 x0 = 0
.
=

1⇔ 
2
( x0 + 1)
 x0 = −2
1

• Với x0 =0 ⇒ y0 =0 (loại, do M ( 0; 0 ) ≡ O ).
• Với x0 =−2 ⇒ y0 =2 , suy ra phương trình tiếp tuyến ∆ : y =x + 4 .
6

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 7

Câu 46. Chọn C.
Do

OB
36 ⇒ y '( x0 ) =
=
±36 .
OA

• Với y '( x0 ) =
2.
−36 ⇔ −4 x 3 − 2 x0 =
−36 ⇔ 4 x03 + 2 x0 − 36 =

0 ⇔ x0 =
Vậy y0 = y (2) = −14 . Suy ra phương trình tiếp tuyến y =
−36 x + 58 .
• Với y '( x0 =
−2 .
) 36 ⇔ −4 x3 − 2 x0= 36 ⇔ 4 x03 + 2 x0 + 36= 0 ⇔ x0 =
Vậy y0 =
y (−2) =
−14 . Suy ra phương trình tiếp tuyến=
y 36 x + 58 .
Câu 47. Chọn A.

x −1 
• Gọi M  x0 ; 0
∈ C với x0 ≠ −1 là điểm cần tìm.
 2 ( x + 1)  ( )
0


• Gọi ∆ tiếp tuyến của ( C ) tại M ta có phương trình.
∆=
: y f '( x0 )( x − x0 ) +

x0 − 1
=
2( x0 + 1)

1

( x0 + 1)

2

( x − x0 ) +

x0 − 1
.
2( x0 + 1)

 x 2 − 2 x0 − 1 
 x 2 − 2 x0 − 1 
; 0  và B = ∆ ∩ Oy ⇒ B  0; 0
• Gọi A = ∆ ∩ Ox ⇒ A  − 0
.
2 
2
2(
1)
x
+
0




• Khi đó ∆ tạo với hai trục tọa độ ∆OAB có trọng tâm là
 x02 − 2 x0 − 1 x02 − 2 x0 − 1 
G−
;
.

6
6( x0 + 1) 2 

• Do G thuộc đường thẳng 4 x + y =
0 ⇒ −4.
⇔4=

1

( x0 + 1)

2

x02 − 2 x0 − 1 x02 − 2 x0 − 1
+
=
0
6
6( x0 + 1) 2

(vì A, B không trùng O nên x02 − 2 x0 − 1 ≠ 0 )

1
1


 x0 + 1 =2
 x0 =− 2
.
⇔

⇔
 x + 1 =− 1
 x =− 3
0
 0
2
2


1
7
 1 3
• Vì x0 > −1 nên chỉ chọn x0 =
− ⇒ M  − ; −  ⇒ x0 + 2 y0 =
− .
2
2
 2 2
Câu 48. Chọn B.
4 x 3 − 4mx ⇒ y ' (1) =
4 − 4m .
• A ∈ ( Cm ) nên A (1;1 − m ) . Ngoài ra y ' =

1 + m y ′ (1) . ( x − 1) , hay
• Phương trình tiếp tuyến của ( Cm ) tại A là y −=
0.
( 4 − 4m ) x − y − 3 (1 − m ) =
• Khi
đó d ( B; ∆ )
=

−1
16 (1 − m ) + 1
2

≤ 1 , Dấu ‘=’ xảy ra ⇔ khi m = 1 .

• Do đó d ( B; ∆ ) lớn nhất bằng 1 khi và chỉ khi m = 1 .

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

7


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 7

Câu 49. Chọn C.
• Giả sử M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) ⇒ y0 =

2 x0 + 3
.
x0 + 1

0
3 x + 4 y0 − 2
3 x0 + 4 y0 − 12 =
=
2⇔ 0

2⇔
• Ta có d ( M , d1 ) =
.
0
32 + 42
3 x0 + 4 y0 + 8 =

 x0= 0 ⇒ M 1 ( 0;3)
 2 x0 + 3 

• Với 3 x0 + 4 y0 − 12 =0 ⇔ 3 x0 + 4 
 − 12 =0 ⇔ 
1
 1 11 
x0= ⇒ M 2  ; 
 x0 + 1 

3
3 4 

7

x0 =−5 ⇒ M 3  −5; 

 2x + 3 
4

.
• Với 3 x0 + 4 y0 + 8 = 0 ⇔ 3 x0 + 4  0
+8 = 0 ⇔ 

4

 4

 x0 + 1 
− ⇒ M 4  − ; −1
 x0 =
3
 3


Suy ra có 4 tiếp tuyến.
Câu 50. Chọn C.
Phương pháp tự luận.
• Giao điểm của hai tiệm cận là I (1; 2 ) . Gọi M ( a; b ) ∈=
(C ) ⇒ b

2a − 1
( a > 1) .
a −1

1
2a − 1
• Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M là y =
.
−
x − a) +
2 (
(a − 1)
a −1

• Phương trình đường thẳng MI=
là y

1
( x − 1) + 2 .
( a − 1) 2

• Tiếp tuyến tại M vuông góc với MI nên ta có
−

1

.

1

( a − 1) ( a − 1)
2

2

a = 0 ⇒ b = 1
.
=
−1 ⇔ 
a = 2 ⇒ b = 3

Vì yêu cầu hoành độ lớn hơn 1 nên điểm cần tìm là M ( 2; 3) .
Phương pháp trắc nghiệm
Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) , điểm M thoả yêu cầu bài toán có hoành độ được tính như sau:

 x0 =2 ⇒ y0 =3
.
x0 − 1 =± 2. ( −1) − 1. ( −1) ⇔ x0 − 1 =±1 ⇔ 
 x0 = 0 ( L)

Vậy M ( 2; 3) .
Câu 51. Chọn A.
• Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( C ) là
1

−x + 1
x ≠
2
.
= x+m ⇔ 
2x − 1
2
g ( x=
) 2 x + 2mx − m − 1= 0 (*)

−m − 1
• Theo định lí Viet ta có x1 + x2 =
. Giả sử A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) .
−m; x1 x2 =
2

8

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦

Tán đổ Toán Plus

• Ta có y′ =
k1 = −

−1

( 2 x − 1)

1

( 2 x1 − 1)

Giải chi tiết chủ đề 7

2

2

, nên tiếp tuyến của ( C ) tại A và B có hệ số góc lần lượt là

và k2 = −

1

( 2 x2 − 1)

2

. Vậy

4( x12 + x22 ) − 4( x1 + x2 ) + 2
1
1
−
−
=
−
k1 + k2 =
2
(2 x1 − 1) 2 (2 x2 − 1) 2
[ 4 x1 x2 − 2( x1 + x2 ) + 1]
= − ( 4m 2 + 8m + 6 ) = −4 ( m + 1) − 2 ≤ −2
2

• Dấu "=" xảy ra ⇔ m = −1 .
Vậy k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất bằng −2 khi m = −1 .
Câu 52. Chọn A.
Phương pháp tự luận
• Gọi M ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm ⇒
=
y '( x0 )

−1

( 2 x0 + 3)

2

< 0.

• ∆OAB cân tại O nên tiếp tuyến ∆ song song với đường thẳng y = − x (vì tiếp tuyến có
hệ số góc âm). Nghĩa là y ′( x0 ) =

−1

( 2 x0 + 3)

2

 x0 =−1 ⇒ y0 =1
.
= −1 ⇒ 
 x0 =−2 ⇒ y0 =0

• Với x0 =
−1; y0 =
1 ⇒ ∆: y − 1 =− ( x + 1) ⇔ y =− x (loại).
• Với x0 =
−2; y0 =
0 ⇒ ∆: y − 0 =− ( x + 2 ) ⇔ y =− x − 2 (nhận).
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y =− x − 2 .
Phương pháp trắc nghiệm
• Tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O nên ta có OA= OB ⇒ n = 1 .
acx02 + 2bcx0 + bd ≠ 0 ⇒ 2 x02 + 8 x0 + 6 ≠ 0 ⇔ x0 ≠ −1; x0 ≠ −3

 x0 =
−1 ( L )
.

cx0 + d =± n. ad − bc ⇒ 2 x0 + 3 =± 1. −1 ⇔ 
 x0 = −2 ( N )
• Với x0 =
−2; y0 =
0 ⇒ ∆: y − 0 =− ( x + 2 ) ⇔ y =− x − 2 (nhận).
Câu 53. Chọn A.
• Giả sử tiếp tuyến d của ( C ) tại M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) cắt Ox tại A , Oy tại B sao cho
OA = 4OB .

• Do ∆OAB vuông tại A nên tan=
A

OB 1
1
1
⇒ Hệ số góc của d bằng
hoặc − .
=
OA 4
4
4

1
1
• Vì y ' ( x0 ) =
−
< 0 nên hệ số góc của d bằng − , suy ra
2
4
( x0 − 1)

−

1

( x0 − 1)

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

2

3

x0 =−1 ⇒ y0 =

1
2.
=
− ⇔
4
 x =3 ⇒ y = 5
0
 0
2
9


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 7

1
3
1
5


− ( x + 1) +
− x+
y=
y =

4
2 ⇔
4
4 .
• Khi đó có 2 tiếp tuyến thoả mãn là: 

1
5
1
13
y =
y =
− ( x − 3) +
− x+
4
2
4
4



Câu 54. Chọn D.

Phương pháp tự luận
• Ta có y′ =

−1

( x − 1)

2

; I (1;1) .


x 
• Gọi M  x0 ; 0  ∈ ( C ) ,
x0 − 1 


( x0 ≠ 1) . Phương trình tiếp tuyến tại

M có dạng

x
1
0.
∆: y =
−

( x − x0 ) + 0 ⇔ x + ( x0 − 1) 2 y − x02 =
2
( x0 − 1)
x0 − 1

• d ( I , ∆)
=

2 x0 − 1
=
4
1 + ( x0 − 1)

2
1

( x0 − 1)

2

2
=
≤
2
2
+ ( x0 − 1)

2.

• Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi

1

( x0 − 1)

2

 x0 =2 ⇒ y0 =2 ( N )
2
.
= ( x0 − 1) ⇔ x0 − 1 =1 ⇔ 
 x0 = 0 ( L )

Tung độ này gần với giá trị

π
2

nhất trong các đáp án.

Phương pháp trắc nghiệm
 x0 =2 ⇒ y0 =2 ( N )
Ta có IM ⊥ ∆ ⇒ cx0 + d =± ad − bc ⇒ x0 − 1 =± −1 − 0 ⇔ 
.
( L)
 x0 = 0
Câu 55. Chọn C.
Phương pháp tự luận
• Ta có y′ =

3

( x + 1)

2

.

 2x −1 
• Gọi M  x0 ; 0  ∈ ( C ) , ( x0 ≠ −1) . Phương trình tiếp tuyến tại M là
x0 + 1 


=
y
•=
d ( I, ∆)

2x −1
3
( x − x0 ) + 0
⇔ 3 x − ( x0 + 1) 2 y + 2 x02 − 2 x0 − 1 =0 .
2
( x0 + 1)
x0 + 1
6 x0 + 1
=
9 + ( x0 + 1) 4

6
9

( x0 + 1) 2

6
=
≤
2 9
+ ( x0 + 1) 2

6.

• Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi

 x0 =−1 + 3 ⇒ y0 =2 − 3 ( L )
9
2
2

=
(
x
+
1)
⇔
x
+
1
=
3
⇔
.

(
)
0
0
( x0 + 1) 2
 x0 =−1 − 3 ⇒ y0 =2 + 3 ( N )
Tung độ này gần với giá trị e nhất trong các đáp án.
10

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 7

Phương pháp trắc nghiệm
Ta có IM ⊥ ∆ ⇒ cx0 + d =
± ad − bc ⇒ x0 + 1 =
± 2 +1
 x0 =−1 + 3 ⇒ y =2 − 3 ( L )
.
⇔
 x0 =−1 − 3 ⇒ y =2 + 3 ( N )

Câu 56. Chọn D.
Phương pháp tự luận

 2x − 3 
• Gọi M  x0 ; 0

 ∈ ( C ) , ( x0 ≠ 2 ) . Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng
2
x
−
0


∆ : y =−

1
1
.
( x − x0 ) + 2 +
2
( x0 − 2)
x0 − 2


2 
• Giao điểm của ∆ với tiệm cận đứng là A  2; 2 +
.
x0 − 2 

• Giao điểm của ∆ với tiệm cận ngang là B ( 2 x0 − 2; 2 ) .


1
1
2
2

• Ta có AB 2= 4 ( x0 − 2 ) +
≥ 8 . Dấu " = " xảy ra khi ( x0 − 2 ) =
2
2
( x0 − 2 ) 
( x0 − 2 )



 x0 =3 ⇒ y0 =3 ⇒ OM ( 3;3) ⇒ OM =3 2 ( N )
.
⇔


 x =⇒
1
1
1;1
2
y
OM
OM
L
=⇒
⇒
=
( )
( )
0
 0

Phương pháp trắc nghiệm
• AB ngắn nhất suy ra khoảng cách từ I đến tiếp tuyến ∆ tại M ngắn nhất

3 yM =
3
 xM =⇒
⇒ IM ⊥ ∆ ⇒ cxM + d =± ad − bc ⇒ xM − 2 =± −4 + 3 ⇔ 
1
1
yM =
 xM =⇒

⇒ OM =
3 2.
Câu 57. Chọn D.
Phương pháp tự luận


x −2
• Gọi M  x0 ; 0
 ∈ ( C ) , ( x0 ≠ −1) , I ( −1;1) . Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng
x
1
+
0


=
∆: y

3

( x0 + 1)

2

( x − x0 ) +

x0 − 2
.
x0 + 1


x −5
• Giao điểm của ∆ với tiệm cận đứng là A  −1; 0
.
x0 + 1 

• Giao điểm của ∆ với tiệm cận ngang là B ( 2 x0 + 1;1) .
• Ta có IA=

6
, IB= 2 x0 + 1 ⇒ IA.IB= 12 . Bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ IAB là
x0 + 1

S IAB = pr , suy ra

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

11

Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 7

S IAB
IA.IB
IA.IB
IA.IB
=
=
≤
=
2 3− 6.
r=
p
IA + IB + AB IA + IB + IA2 + IB 2 2 IA.IB + 2.IA.IB

 x =−1 + 3 ⇒ y0 =1 − 3
2
.
• Suy ra rmax =2 3 − 6 ⇔ IA =IB ⇔ x0 − 1 =3 ⇔  M
 xM =−1 − 3 ⇒ y0 =1 + 3


• IM 3; − 3 ⇒ IM =
6.

(

)

Phương pháp trắc nghiệm
• IA
= IB ⇒ ∆ IAB vuông cân tại I ⇒ IM ⊥ ∆ .
 x =−1 + 3 ⇒ yM =1 − 3
• cxM + d =± ad − bc ⇒ xM + 1 =± 1 + 2 ⇔  M
 xM =−1 − 3 ⇒ yM =1 + 3

6.
⇒ IM =
Câu 58. Chọn D.
Phương pháp tự luận


3 
• Gọi M  x0 ; 2 +
 ∈ ( C ) , ( x0 ≠ 1) . Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng
x0 − 1 

−3

=
∆: y

( x0 − 1)

2

( x − x0 ) + 2 +

3
.
x0 − 1


6 
• Giao điểm của ∆ với tiệm cận đứng là A 1; 2 +
.
x0 − 1 

• Giao điểm của ∆ với tiệm cận ngang là B ( 2 x0 − 1; 2 ) .
• Ta có S ∆IAB =

1
1
6
⋅ 2 x0 − 1 = 2.3 = 6 .
IA.IB = ⋅
2
2 x0 − 1

• ∆ IAB vuông tại I có diện tích không đổi ⇒ chu vi ∆ IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi
IA = IB ⇔

 x0 = 1 + 3
6
= 2 x0 − 1 ⇒ 
.

x0 − 1
 x0 = 1 − 3

• Với x0 = 1 + 3 thì phương trình tiếp tuyến là ∆ : y =− x + 3 + 2 3 . Suy ra
3+ 2 3
.
d ( O, ∆ ) =
2
• Với x0 = 1 − 3 thì phương trình tiếp tuyến là ∆ : y =− x + 3 − 2 3 . Suy ra
−3 + 2 3
.
d ( O, ∆ ) =
2
Vậy khoảng cách lớn nhất là

3+ 2 3
gần với giá trị 5 nhất trong các đáp án.
2

Phương pháp trắc nghiệm
 x =1 + 3 ⇒ y =2 + 3
• IA
= IB ⇒ cxM + d =± ad − bc ⇒ xM − 1 =± −2 − 1 ⇔  M
 xM =1 − 3 ⇒ y =2 − 3
12

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tán đổ Toán Plus

Giải chi tiết chủ đề 7

3+ 2 3
⇒ d ( O, ∆ ) =
(N) .
2

Câu 59. Chọn A.
Phương pháp tự luận

 2x −1 
• Gọi M  x0 ; 0  ∈ ( C ) , ( x0 ≠ 2 ) . Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng
x0 − 2 

2x −1
3
.
∆: y =
−
( x − x0 ) + 0
2
x0 − 2
( x0 − 2)

 2x + 2 
• Giao điểm của ∆ với tiệm cận đứng là A  2; 0
.
x0 − 2 


• Giao điểm của ∆ với tiệm cận ngang là B ( 2 x0 − 2; 2 ) .
 x A + xB = 2 + 2 x0 − 2 = 2 x0

• Xét 
⇒ M là trung điểm của AB .
2 x0 + 2
2 x0 − 1
y
+
=
y
=
+
2
2.
=
2
y
A
B
0

x0 − 2
x0 − 2

• ∆ IAB vuông tại I nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB .
2

 2 x0 − 1  



9
2
 π ( x0 − 2) 2 +
⇒ S= π R= π IM = π ( x0 − 2) + 
− 2 =
≥ 6π
2
( x0 − 2) 

 x0 − 2
 

2

2

• Dấu " = " xảy ra khi ( x0 −=
2) 2

(

• Với x0 =

(

 x=
3 + 2 ⇒ y=
3+2
9

0
0
.
⇔

( x0 − 2) 2
− 3 + 2 ⇒ y0 =
− 3+2
 x0 =

3 + 2 ⇒ ∆ : y = − x + 2 3 + 4 cắt 2 trục tọa độ tại E 0; 2 3 + 4

)

và

)

và

)

1
F 2 3 + 4; 0 , suy ra SOEF = OE.OF =
14 + 8 3 ≈ 27,8564
2

(

• Với x0 =− 3 + 2 ⇒ ∆ : y = − x − 2 3 + 4 cắt 2 trục tọa độ tại E 0; − 2 3 + 4

(

)

1
F − 2 3 + 4; 0 , suy ra SOEF = OE.OF =
14 − 8 3 ≈ 0,1435
2
Phương pháp trắc nghiệm

• IM lớn nhất ⇔ IM ⊥ ∆ ⇒ cx0 + d =± ad − bc ⇒ x0 − 2 =± −4 + 1 .
 x=
3 + 2 ⇒ y=
3+2
0
0
. Giải tương tự như trên.
⇔
− 3 + 2 ⇒ y0 =
− 3+2
 x0 =

Tài liệu KYS Nuôi dưỡng những ước mơ

13