chuyên đề tiếp tuyến của đồ thị hàm số luyện thi đại học-đặng việt hùng

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1







DẠNG 1. TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Công thức :
Phương trình tip tuyn ti im
(
)
(
)
(
)
; :
o o
M x y C y f x
∈ = là
( )
(
)
( )
(
)

(
)
o o
o o o o
x x
y y x x y y y x x f x
′ ′
= − + ⇔ = − +



Các l
ư
u ý :
+ N

u cho
x
o
thì tìm
y
o

=
f
(
x
o
).
+ N


u cho
y
o
thì tìm
x
o
b

ng cách gi

i ph
ươ
ng trình
f
(
x
) =
y
o
.
+ Tính
y
′
=
f
′
(
x
). Suy ra

y
′
(
x
o
) =
f
′
(
x
o
).
+ Ph
ươ
ng trình ti

p tuy

n
∆
là:
y
=
f
′
(
x
o
).(
x

–
x
o
) +
y
o
.

D
ạ
ng toán tr
ọ
ng tâm c
ầ
n l
ư
u ý :
+ Ti

p tuy

n t

i

i

m
M
thu


c

th

hàm phân th

c
ax b
y
cx d
+
=
+
c

t các tr

c t

a


Ox, Oy
t

i các

i


m
A, B
th

a
mãn các tính ch

t
0
OAB
OA kOB
S S
∆
=


=


+ Kho

ng cách t

tâm

i x

ng c

a


th

hàm s


ax b
y
cx d
+
=
+


n ti

p tuy

n t

i

i

m
M
thu

c


th



t giá tr

l

n
nh

t, ho

c b

ng m

t h

ng s

cho tr
ư
c.

Ví d 1.
Cho hàm s


3 2

2 2
y x x x
= + + +
. Vi

t ph
ươ
ng trình ti

p tuy

n v

i

th

t

i
a)
giao

i

m c

a

th


và
Ox
.
b)


i

m u

n c

a

th

.
Ví d 2.
Cho hàm s


3 2
3 1
y x x x
= + + +
. Tìm di

m M thu


c

th

hàm s

sao cho ti

p tuy

n t

i M v

i

th



i qua
g

c t

a

O.

/s:

( 1;2)
M
−

Ví d 3.
Cho hàm s


1
( )
2
x
y C
x
+
=
−
.
Tìm di
m
M
thuc  th hàm s (
C
) sao cho tip tuyn ti
M
vi  th ct các trc ta 
Ox,

Oy
ti

A
,
B
sao cho
OA

= 3
OB
, vi
O
là gc ta .
/s: Mt im
M
là
(3;4)
M

Ví d 4. Cho hàm s
( )
1
x
y C
x
=
+
.
Tìm di
m
M
thuc  th hàm s (

C
) sao cho khong cách t im
E
(1; 2) n tip tuyn ti
M
vi  th bng
1
.
2


/s: M

t

i

m M là
(0;0)
M

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1.
Cho hàm s


3 2
2 6 3
y x x x
= − + −

. Vi

t ph
ươ
ng trình ti

p tuy

n v

i

th

t

i giao

i

m c

a

th

và Ox.
Tài liu bài ging:

01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P1

Thầy Đặng Việt Hùng
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

/s:
13 1
2 2
y x
 
= −
 
 

Bài 2. Cho hàm s
3 2
2 3 1
y x x
= − +
có

th

là (C)

Tìm trên (C) nh


ng

i

m M sao cho ti

p tuy

n c

a (C) t

i M c

t tr

c tung t

i

i

m có tung

b

ng 8.

/s:
( 1; 4)

M
− −

Bài 3.
Cho hàm s


2
1
x
y
x
+
=
−

Vi

t ph
ươ
ng trình ti

p tuy

n c

a

th


hàm s

bi

t ti

p tuy

n c

t tr

c hoành, tr

c tung l

n l
ư
t t

i hai

i

m phân bi

t A
và B sao cho di

n tích tam giác OAB b


ng
50
3
(v
i
O
là gc to )
/s:
(2;4)
M

Bài 4. Cho hàm s
2 3
1
x
y
x
+
=
−

Vi
t phương trình tip tuyn ca  th hàm s bit tip tuyn ct trc hoành, trc tung ln lưt ti hai im phân bit
A

và
B
sao cho
OB

= 5
OA
(vi
O
là gc to )
/s:
5 17; 5 3
y x y x
= − + = − −

Bài 5. Cho hàm s
1
x
y
x
=
+

Tìm
im
M
thuc  th sao cho khong cách t im
( 1;1)
E
−
n tip tuyn ti
M
vi  th bng
2.

/s:
(0;0), ( 2; 2).
M M
− −

Bài 6. Cho hàm s
2
1
x
y
x
+
=
−

Tìm im
M
thuc  th sao cho khong cách t im
( 1;1)
E
−
n tip tuyn ti
M
vi  th ln nht.
/s:
max
2 (0;2), ( 2;0).
d M M= ⇔ −

Bài 7. Cho hàm s

3
2 1
x
y
x
−
=
+

Vi
t phương trình tip tuyn vi  th sao cho khong cách t im
1 1
;
2 2
I
 
−
 
 
n tip tuyn ti
M
bng
7 2
.
10


/s:
7 11.
y x

= +

Bài 8.
Cho hàm s


2 5
2
x
y
x
+
=
−
(1)
Vi

t ph
ươ
ng trình ti

p tuy

n c

a

th

hàm s


(1) bi

t ti

p tuy

n c

t tr

c hoành, tr

c tung l

n l
ư
t t

i hai

i

m phân
bi

t A và B sao cho OA = 9OB (v

i O là g


c to



)
Ví d 9.
Cho hm s


3
1
x
y
x
−
=
+
(C)
Vi

t ph
ươ
ng trình ti

p tuy

n c

a


th

hàm s

, bi

t ti

p tuy

n c

t tr

c Ox t

i A, c

t tr

c Oy t

i B sao cho OA = 4OB.
Ví d 10.
Cho hàm s


2
2 3
x

y
x
+
=
+
(1).
Vi

t ph
ươ
ng trình ti

p tuy

n c

a

th

hàm s

(1), bi

t ti

p tuy

n


ó c

t tr

c hoành, tr

c tung l

n l
ư
t t

i hai

i

m
phân bi

t
A
,
B
và tam giác
OAB
cân t

i g

c t


a


O
.

VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1







DẠNG 1. TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ HÀM SỐ (tip theo)

Công thức :
Phương trình tip tuyn ti im
(
)
(
)
(
)

; :
o o
M x y C y f x
∈ = là
( )
(
)
( )
(
)
(
)
o o
o o o o
x x
y y x x y y y x x f x
′ ′
= − + ⇔ = − +



Các l
ư
u ý :
+ N

u cho
x
o
thì tìm

y
o

=
f
(
x
o
).
+ N

u cho
y
o
thì tìm
x
o
b

ng cách gi

i ph
ươ
ng trình
f
(
x
) =
y
o

.
+ Tính
y
′
=
f
′
(
x
). Suy ra
y
′
(
x
o
) =
f
′
(
x
o
).
+ Ph
ươ
ng trình ti

p tuy

n
∆

là:
y
=
f
′
(
x
o
).(
x
–
x
o
) +
y
o
.

D
ạ
ng toán tr
ọ
ng tâm c
ầ
n l
ư
u ý :
Ti

p tuy


n t

i

i

m
M
thu

c

th

hàm phân th

c
ax b
y
cx d
+
=
+
c

t các ti
ệ
m c
ậ

n t
ạ
i
A, B.
Khi
đ
ó ta có các tính ch
ấ
t sau:
+ M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
AB

+ Di
ệ
n tích tam giác
IAB
luôn không
đổ
i, v
ớ
i
I
là giao
đ

iêm c
ủ
a hai ti
ệ
m c
ậ
n
+ Chu vi tam giác
IAB

đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t.
+ Bán kính
đườ
ng tròn n
ộ
i ti
ế
p tam giác
IAB
d
ạ
t gái tr
ị

l
ớ
n nh
ấ
t.
Ví d 1.
Cho hàm s
ố

2
( )
1
x
y C
x
+
=
−
.
G
ọ
i
M
là m
ộ
t
đ
i
ể
m thu

ộ
c
đồ
th
ị
hàm s
ố
. Ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i
M
c
ắ
t các ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i

A, B.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
M
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
AB.
b)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng di
ệ
n tích tam giác
IAB
không
đổ
i, v
ớ
i

I
là tâm
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a
đồ
th
ị
(
I
là giao c
ủ
a hai ti
ệ
m c
ậ
n)
Ví d 2.
Cho hàm s
ố

2 3
( )
2
x
y C
x

−
=
−
.
G
ọ
i
M
là m
ộ
t
đ
i
ể
m thu
ộ
c
đồ
th
ị
hàm s
ố
. Ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ

th
ị
t
ạ
i
M
c
ắ
t các ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i
A, B.
Tìm
đ
i
ể
m
M

đề

độ
dài
đ
o
ạ

n
AB
ng
ắ
n nh
ấ
t.
/s:
(3;3), (1;1)
M M

Ví d 3.
Cho hàm s
ố

2 1
( )
1
x
y C
x
+
=
−
.
G
ọ
i
M
là m

ộ
t
đ
i
ể
m thu
ộ
c
đồ
th
ị
hàm s
ố
. Ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i
M
c
ắ
t các ti

ệ
m c
ậ
n t
ạ
i
A, B.
Tìm
đ
i
ể
m
M

đề
chu vi
tam giác
IAB
nh
ỏ
nh
ấ
t, v
ớ
i
I
là tâm
đố
i x
ứ

ng c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
/s:
1 3
M
x = ±

BÀI TP T LUYN:
Bài 1.
Cho hàm s
ố

2 3
( )
2
x
y C
x
−
=
−
.
G

ọ
i
M
là m
ộ
t
đ
i
ể
m thu
ộ
c
đồ
th
ị
hàm s
ố
. Ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i

M
c
ắ
t các ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i
A, B.
Tìm
đ
i
ể
m
M

đề

đườ
ng
tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác
IAB
có di
ệ

n tích nh
ỏ
nh
ấ
t, v
ớ
i
I
là tâm
đố
i x
ứ
ng c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
/s:
(3;3), (1;1)
M M

Hướng dẫn:
Tam giác
IAB
vuông t
ạ

i
I
nên
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác
IAB
có
đườ
ng kính là
A
B, suy ra di
ệ
n tích
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p là
2
2
π π
4
AB
S R= =
, t

ừ

đ
ó bài toán quy v
ề
tìm
M

để

độ
dài
AB
ng
ắ
n nh
ấ
t.
Tài liệu bài giảng:

01. TIP TUYN CA  TH HÀM S – P2
Thy ng Vit Hùng
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

Bài 2. Cho hàm số

2 3
( )
mx
y C
x m
+
=
−
.
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Tìm điểm M đề tam giác
IAB có diện tích bằng 64.
/s:
58
2
m = ±

Bài 3. Cho hàm số
2
( )
1
x
y C
x
−
=
+
.
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Viết phương trình tiếp
tuyến tại M đề bán kính đường trỏn ngội tiếp tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất.
/s:

2(1 3)
y x= + ±

Bài 4. Cho hàm số
( )
1
x
y C
x
=
−
.
Gọi M là một điểm thuộc đồ thị hàm số. Tiếp tuyến với đồ thị tại M cắt các tiệm cận tại A, B. Viết phương trình tiếp
tuyến tại M biết chu vi tam giác IAB bằng
2(2 2)
+ .
/s:
4
y x
y x
= −


= − +


Bài 5.
Cho hàm s
ố

3 2
3 1
y x x
= + −
.
G
ọ
i M là m
ộ
t
đ
i
ể
m thu
ộ
c
đồ
th
ị
hàm s
ố
. Ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th

ị
t
ạ
i M c
ắ
t các tr
ụ
c t
ọ
a
độ
t
ạ
i A, B. Tìm t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m M
bi
ế
t OB = 3OA, v
ớ
i O là g
ố
c t
ọ

a
độ
.
/s:
( 1;1)
M
−

Bài 6
.
Cho hàm s
ố
y =
2 1
1
−
−
x
x
. G
ọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận, A là điểm trên (C) có hoành độ là a. Tiếp
tuyến tại A của (C) cắt hai đường tiệm cận tại P và Q. Chứng tỏ rằng A là trung điểm của PQ và tính diện tích tam giác
IPQ.

VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1

DNG 2. TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC
 Hệ số góc của một đường thẳng là tang (tan) của góc hợp bởi đường thẳng đó và chiều dương trục Ox.
Kí hiệu k = tanα.
 Nếu đường thẳng d hợp với trục Ox (không nói rõ chiều dương của trục Ox) thì k = ± tanα.
 Đường thẳng d đi qua hai điểm M, N thì hệ số góc của đường d được tính bởi
−
=
−
M N
d
M N
y y
k
x x

 Đường thẳng d đi qua điểm M(x
1
; y
1
) và có hệ số góc k thì có phương trình
(
)
1 1

: .
= − +
d y k x x y

Trong trường hợp tổng quát, đường thẳng
d có hệ số góc k thì luôn viết ở dạng d: y = kx + m.

 Cho hai đường thẳng
1 1 1
2 2 2
:
:
d y k x m
d y k x m
= +


= +


+ d
1
và d
2
song song v
ớ
i nhau thì có cùng h
ệ
s
ố

góc :
1 2
1 2
d d
k k
m m
=



≠



+
d
1
và
d
2

vuông góc
v
ớ
i nhau thì có tích h
ệ
s
ố
góc b
ằ

ng
−
1 :
1 2 2
1
1
. 1 .
= − ⇔ = −
d d d
d
k k k
k

 Đạo hàm tại một điểm x
o
thuộc đồ thị hàm số y = f(x) chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm đó.
T
ức là
(
)
.
′
=
tt o
k y x

Ví d 1:
Xác
đị
nh h

ệ
s
ố
góc k c
ủ
a các
đườ
ng cho d
ướ
i
đ
ây ?
a)
2 1 2
2 3 1 0 3 2 1 .
3 3 3
−
+ − = ←→ = − + ⇔ = + → = −
x y y x y x k
b)
1 3 1
5 3 0 5 3 .
5 5 5
− + + = ←→ = − ⇔ = − → =
x y y x y x k
c)
2 3 0 2 3 2.
+ + = ←→ = − → =
x y y x k

Ví d 2: Cho hàm số
3 2
( 1) 2 3
y x m x mx
= + − + +

Tìm m
để
ti
ế
p tuy
ế
n
a) t
ạ
i
đ
i
ể
m có hoành
độ
x = –3 song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d : 5x – y + 3 = 0
b) t
ạ

i
đ
i
ể
m có hoành
độ
x = 1 vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d’ : x – 2y + 3 = 0
Ví d 3:
Cho hàm s
ố

4 2
2( 1) 8 2
y x m x m
= + − − −

Tìm m
để
ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ

i các
đ
i
ể
m c
ố

đị
nh c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
vuông góc v
ớ
i nhau.
Ví d 4:
Cho hàm s
ố

3
x m
y
x m
+
=
−

Tìm m
để
ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
đồ
th
ị
và tr
ụ
c Oy vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d : x – 2y + 1 = 0
Ví d 5:
Cho hàm s

ố

3 2
1
y x x x
= + − +

G
ọ
i d là
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua
đ
i
ể
m A(1 ; 2) và có h
ệ
s
ố
góc k. Tìm k
để
d c
ắ
t
đồ
th

ị
(C) t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B, C sao
cho ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i B, C vuông góc v
ớ
i nhau.
Ví d 6:
Cho hàm s
ố

3 2

3 3.
y x x x
= − + +
M
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua A(2 ; 1) và có h
ệ
s
ố
góc k.
Tài liệu bài giảng:

01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P3
Thầy Đặng Việt Hùng
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

Tìm k ể đường thẳng d và đồ thị hàm số đã cho
a) cắt nhau tại duy nhất một điểm.
b) cắt nhau tại ba điểm phân biệt.

c) cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương.
Hưng dn gii :
Đường thẳng d qua A(2 ; 1) và có hệ số góc k nên có dạng d : y = k(x − 2) + 1.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị :
3 2 3 2
3 3 ( 2) 1 3 2 ( 2)
− + + = − + ⇔ − + + = −
x x x k x x x x k x

2
2
2
( 2)( 1) ( 2)
( ) 1 0, (1)
=

⇔ − − − = − ⇔

= − − − =

x
x x x k x
g x x x k

a)
Hai
đồ
th
ị
c

ắ
t nhau t
ạ
i duy nh
ấ
t m
ộ
t
đ
i
ể
m khi (1) vô nghi
ệ
m
5
0 1 4(1 ) 0 .
4
⇔ ∆ < ⇔ + + < ⇔ < −
k k
Vậy với
4
5
< −
k thì hai đồ thị đã cho cắt nhau tại duy nhất một điểm.
b) Hai đồ thị cắt nhau tại ba điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt và khác 2.
Điều đó xảy ra khi
5
0 1 4(1 ) 0
4
(2) 0 (2) 1 0

1

∆ > + + >
> −
 

⇔ ⇔
  
≠ = − ≠
 

≠

k
k
g g k
k

V
ậ
y v
ớ
i
4
5
1

> −




≠

k
k
thì hai
đồ
th
ị

đ
ã cho c
ắ
t nhau t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t.
c)
Do nghi
ệ
m x = 2 > 0 nên
để
ba giao
đ
i

ể
m có hoành
đ
ô d
ươ
ng thì (1) ph
ả
i có hai nghi
ệ
m d
ươ
ng phân bi
ệ
t và khác 2.
G
ọ
i hai nghi
ệ
m
đ
ó là x
1
; x
2
. Khi
đ
ó ta có
1 2
1 2
0

1 0
1
0 1 0
+ >
>


⇔ ⇔ < −
 
> − − >


x x
k
x x k

K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i di
ề
u ki
ệ
n t
ồ
n t
ạ

i ba giao
đ
i
ể
m
ở
câu b ta d
ượ
c
4
1
5
− < < −
k là giá tr
ị
c
ầ
n tim.
Ví d 7:
Cho hàm s
ố

3 2
2 3 1.
y x mx mx
= − + +

a) Tìm m
để
ti

ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i
đ
i
ể
m u
ố
n song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng ∆: 4x + y + 1= 0.
b) Tìm m
để
ti
ế
p tuy
ế

n v
ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i
đ
i
ể
m x = −2 vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng ∆′: 2x + 3y + 2= 0.
H
ư
ng d

n gi

i :
a)
Ta có
2
3 2

6 6
2 3 1
12 6 0
2

′
= − +

= − + + →

′′ ′′
= − → = ⇔ =


y x mx m
y x mx mx
m
y x m y x

Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
đ
i
ể
m u

ố
n có h
ệ
s
ố
góc là
2 2
3
6. 6 .
2 4 2 2
 
′
= = − + = − +
 
 
u
m m m m
k y m m m

Đườ
ng th
ẳ
ng ∆ có h
ệ
s
ố
góc xác
đị
nh b
ở

i
:4 1 0 4 1 4.
∆
∆ + + = ⇔ = − − → = −
x y y x k

Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
đ
i
ể
m u
ố
n song song v
ớ
i ∆ nên
2
2
2
3
4 3 2 8 0
4
2
3
∆

=


= ⇔ − + = − ⇔ − − = ⇔

= −


u
m
m
k k m m m
m

V
ậ
y, v
ớ
i
4
2;
3
= = −
m m thì ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i

đ
i
ể
m u
ố
n c
ủ
a
đồ
th
ị
song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng ∆.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
3

b) Tiếp tuyến tại x = −2 có hệ số góc là
(
)
2 24 12 13 24
′

= − = + + = +
tt
k y m m m
Đườ
ng th
ẳ
ng ∆′ có h
ệ
s
ố
góc xác
đị
nh b
ở
i
2 2 2
:2 3 2 0 3 2 2 .
3 3 3
′
∆
′
∆ + + = ⇔ = − − ⇔ = − − → = −
x y y x y x k

Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ

i
đ
i
ể
m x = −2 vuông góc v
ớ
i ∆′ nên
( )
2 45
. 1 13 24 1 26 48 3
3 26
′
∆
= − ⇔ − + = − ⇔ + = ⇔ = −
tt
k k m m m
V
ậy, với
45
26
= −m thì tiếp tuyến tại x = −2 vuông góc với ∆′.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1.
Cho hàm số
3 2
( 2) 3.
= − − + +
y x m x mx

a) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x = 1 song song với đường (d): y = 2x – 1.

b) Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ x = 0 vuông góc với đường (d): 4x – 3y = 0.
Bài 2. đồ thị hàm số y = –x
4
+ 2mx
2
– 2m + 1
Tìm m
để các tiếp tuyến với đồ thị tại A(1; 0), B(–1; 0) vuông góc với nhau.
Bài 3. Cho hàm số
3 2
3 2,
y x x x
= + + +
có đồ thị là (C) và một đường thẳng d đi qua A(−1; 3) có hệ số góc k.
a) Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại ba điểm phân biệt cùng có hoành độ âm.
b) Tìm k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến với (C) tại hai điểm B, C vuông góc với nhau.
Bài 4. Cho hàm số y = x
4
+ mx
2
– m – 1.
Tìm m
để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đường thẳng (d): y = 2x, với A là điểm cố định có hoành độ dương
c
ủa đồ thị hàm số.
Bài 5. Cho hàm số
(
)
3 1
.

+ −
=
+
m x m
y
x m

Tìm m
để
ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
v
ớ
i tr

ụ
c Ox song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng (d): y = –x –5.


VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1







DNG 2. TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC (tip theo)
Ví d 1:
Cho hàm số
2 1
,
1
−

=
−
x
y
x
có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao
cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM.
Đ/s: M(0; 1) và M(2; 3).
Ví d 2: Cho hàm số
2
,
2
=
−
x
y
x
có đồ thị là (C).
Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị sao cho tiếp tuyến cắt Ox, Oy tại các điểm A, B với
2
=
AB OA

Đ/s: d: x + y – 8 = 0
Ví d 3: Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 có
đồ thị là (C

m
); (m là tham s
ố).
Xác
định m để (C
m
) c
ắt đường thẳng: y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (C
m
) t
ại D và
E vuông góc với nhau.
Đ/s:
9 65
8
−
=m
Ví d 4:
(Trích
đề
thi
Đạ
i h
ọ
c kh
ố
i A n
ă
m 2011)

Cho hàm s
ố

1
,
2 1
− +
=
−
x
y
x
có
đồ
th
ị
là (C). Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
đườ
ng th
ẳ
ng d: y = x + m luôn c
ắ
t
đồ
th
ị

(C) t
ạ
i hai
đ
i
ể
m
phân bi
ệ
t A, B v
ớ
i m
ọ
i giá tr
ị
c
ủ
a m. G
ọ
i k
1
; k
2
là h
ệ
s
ố
góc c
ủ
a ti

ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
(C) t
ạ
i A, B. Tìm k
để
t
ổ
ng
1 2
+
k k

đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t.
Đ
/s:

(
)
1 2
min
1; 2
= − + = −
m k k
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:

Cho hàm s
ố

1
,
2
+
=
−
x
y
x
có
đồ
th
ị
là (C). G
ọ
i I là giao
đ

i
ể
m c
ủ
a hai ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C).
Tìm
đ
i
ể
m M trên
đồ
th
ị
sao cho ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i

đồ
th
ị
t
ạ
i M vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng IM.
Bài 2:
Cho hàm s
ố

( )
2 1
, .
1
−
=
+
x
y C
x

Tìm
đ
i

ể
m M thu
ộ
c
đồ
th
ị
(C)
để
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i M v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua M và giao
đ
i
ể
m hai

đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n có
tích h
ệ
s
ố
góc b
ằ
ng
−
9.
Bài 3:
Cho hàm s
ố

3 2
2 3.
= − + −
y x x
M
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng d

đ
i qua M(1 ; −2) và có h
ệ
s
ố
góc k.
a) Tìm k
để

đườ
ng th
ẳ
ng d và
đồ
th
ị
hàm s
ố

đ
ã cho c
ắ
t nhau t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ

t M(1 ; −2) ; A và B.
b) Tim k
để
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m A, B vuông góc v
ớ
i nhau.
Bài 4:
Cho hàm s
ố

3
– 3 1
= +
y x x

có
đồ
th
ị
là (C) và
đườ
ng th
ẳ
ng d: y = mx + m + 3.
Xác
đị
nh m
để
d c
ắ
t (C) t
ạ
i M(−2; 3), N, P sao cho các ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i N và P vuông góc v
ớ
i nhau.
Bài 5:
Cho hàm s

ố

3 2
– 3 4
= +
y x x
có
đồ
th
ị
là (C) và
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua A(2; 0) có h
ệ
s
ố
góc k.
Xác
đị
nh k
để
d c
ắ
t (C) t
ạ
i ba

đ
i
ể
m phân bi
ệ
t A, B, C sao cho ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i B và C vuông góc v
ớ
i nhau.
Bài 6:
Cho hàm s
ố

3 2
2 5
( 1) (3 2)
3 3
= − + − + − −
y x m x m x có
đồ
th
ị

),(
m
C
m là tham s
ố
.
Tìm m
để
trên
)(
m
C
có hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t
1 1 1 2 2 2
( ; ), ( ; )
M x y M x y
th
ỏ
a mãn
1 2
. 0
>
x x
và ti

ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
)(
m
C
t
ạ
i m
ỗ
i
đ
i
ể
m
đ
ó vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
: 3 1 0.
− + =
d x y

Bài 7:
Cho hàm s
ố

3 2
(1 2 ) (2 ) 2
= + − + − + +
y x m x m x m
(1) v
ớ
i m là tham s
ố
.
Tài liệu bài giảng:

01. TIP TUYN CA  TH HÀM S – P4
Thy ng Vit Hùng
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0 góc α, biết
1
cos
α .
26
=

Bài 8:
Cho hàm số
3
1
−
=
+
x
y
x
có
đồ
th
ị
là (C). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố

, bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
đ
ó c
ắ
t tr
ụ
c
hoành t
ạ
i A, c
ắ
t tr
ụ
c tung t
ạ
i B sao cho OA = 4OB.
Bài 9: Cho hàm s
ố

3 2
( ) 6 9 3
= = + + +
y f x x x x (C).
Tìm tất cả các giá trị k, để tồn tại 2 tiếp tuyến với (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua

các ti
ếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho
OA OB
2011.
=
.
Đ/s:
9
; 6039.
2
= =k k
HƯNG DN GII, ÁP S
Bài 1:
Cho hàm số
1
,
2
+
=
−
x
y
x
có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị (C).
Tìm điểm M trên đồ thị sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại M vuông góc với đường thẳng IM.
Ta có
2
1 2 3 3 3
1
2 2 2

( 2)
+ − +
′
= = = + → = −
− − −
−
x x
y y
x x x
x

G
ọ
i
( )
( )
3 3
; 1 ;1 .
2 2
 
∈ ⇒ = + → +
 
− −
 
o o o o
o o
M x y C y M x
x x

Ta có

2
1
lim
2
1
lim 1
2
→
→∞
+

= ∞


−

+

=

−

x
x
x
x
x
x
, từ đó đường x = 2 là tiệm cận đứng và y = 1 là tiệm cận ngang.
Điểm I là giao của hai tiệm cận nên I(2 ; 1).


Tiếp tuyến tại M có hệ số góc là
( )
2
3
( 2)
′
= = −
−
tt o
o
k y x
x


Đườ
ng th
ẳ
ng IM có h
ệ
s
ố
góc
2
3
1 1
2
3
2
( 2)

 
− +
 
−
−
 
= = =
− −
−
o
I M
IM
I M o
o
x
y y
k
x x x
x

 Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i M vuông góc v
ớ
i
đườ

ng IM khi
2 2
3 3
. 1 . 1
( 2) ( 2)
= − ⇔ − = −
− −
tt IM
o o
k k
x x

2
2 3 2 3
( 2) 3
2 3 2 3
 
− = = +
⇔ − = ⇔ ⇔
 
− = − = −
 
 
o o
o
o o
x x
x
x x

+ V
ớ
i
( )
3 3
2 3 1 1 1 3 2 3;1 3
2
3
= +
⇒
= + = + = + → + +
−
o o
o
x y M
x

+ V
ớ
i
( )
3 3
2 3 1 1 1 3 2 3;1 3
2
3
= −
⇒
= + = + = − → − −
−
−

o o
o
x y M
x

V
ậ
y có hai
đ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán.
Bài 2:
Cho hàm s
ố

( )
2 1
, .
1
−
=
+
x
y C
x

Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c
đồ
th
ị
(C)
để
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i M v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua M và giao

đ
i
ể
m hai
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n có
tích h
ệ
s
ố
góc b
ằ
ng
−
9.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
Ta có
( )
2
3

.
1
′
=
+
y
x
G
ọ
i
( )
2 1
;
1
−
 
∈
 
+
 
a
M a C
a

Ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ

i (C) t
ạ
i M có h
ệ
s
ố
góc:
( )
2
3
( ) .
1
′
= =
+
tt
k y a
a
Giao
đ
i
ể
m hai
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ
n I(−1; 2).
VINAMATH.COM

VINAMATH.COM
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
3

Đường thẳng IM có hệ số góc là
( )
2
3
.
1
−
−
= =
−
+
M I
IM
M I
y y
k
x x
a

Theo bài ta có
( ) ( )
( )
4
2 2

0
3 3
. 9 . 9 1 1
2
1 1
=

−
= − ⇔ = − ⇔ + = →

= −
+ +

tt IM
a
k k a
a
a a

V
ậ
y có 2
đ
i
ể
m M th
ỏ
a mãn
đề
bài là M(0;

−
3), M(
−
2; 5).
Bài 3:
Cho hàm s
ố

3 2
2 3.
= − + −
y x x
M
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua M(1 ; −2) và có h
ệ
s
ố
góc k.
a)
Tìm k
để

đườ

ng th
ẳ
ng d và
đồ
th
ị
hàm s
ố

đ
ã cho c
ắ
t nhau t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t M(1 ; −2) ; A và B.
b)
Tim k
để
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ

a
đồ
th
ị
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m A, B vuông góc v
ớ
i nhau.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
a)

Đườ
ng th
ẳ
ng d qua M(1 ; −2
)
và có h
ệ
s

ố
góc k nên có d
ạ
ng d : y = k(x − 1) − 2.
Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đồ
th
ị
:
3 2 3 2
2 3 ( 1) 2 2 1 ( 1)
− + − = − − ⇔ − + − = −
x x k x x x k x

2
2 2
1
( 1)( 1) ( 1)
1 ( ) 1 0, (1)
=


⇔ − − + + = − ⇔

− + + = ⇔ = − + − =

x
x x x k x
x x k g x x x k

Hai
đồ
th
ị
c
ắ
t nhau t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t khi (1) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t và khác 1.
Ta có
đ

i
ề
u ki
ệ
n
5
0 1 4( 1) 0
4
(1) 0 (1) 1 0
1

∆ > − − >
<
 

⇔ ⇔
  
≠ = − ≠
 

≠

k
k
g g k
k

V
ậ
y v

ớ
i
4
5
1

<



≠

k
k
thì hai
đồ
th
ị

đ
ã cho c
ắ
t nhau t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ

t, trong
đ
ó có
đ
i
ể
m M(1 ; −2).
b)
G
ọ
i A(x
1
; y
1
), B(x
2
; y
2
)
⇒
x
1
; x
2
là hai nghi
ệ
m c
ủ
a g(x) = 0, theo
đị

nh lí Vi-ét ta có
1 2
1 2
1
1
+ =


= −

x x
x x k

Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i A, B l
ầ
n l
ượ
t có h
ệ
s
ố
góc là
( )
( )

2
1 1 1
2
2 2 2
3 4
3 4

′
= = − +


′
= = − +


A
B
k y x x x
k y x x x

Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i A và B vuông góc v
ớ
i nhau khi
(

)
(
)
2 2
1 1 2 2
. 1 3 4 3 4 1
= − ⇔ − + − + = −
A B
k k x x x x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
9 12 16 1 9 1 12 1 16 1 1 9 14 14 0
⇔ − + + = − ⇔ − − − + − = − ⇔ − + =
x x x x x x x x k k k k k
Ph
ươ
ng trình trên vô nghi
ệ
m, v
ậ
y không có giá tr
ị
k nào th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u bài toán.
Bài 4:

Cho hàm s
ố

3
– 3 1
= +
y x x
có
đồ
th
ị
là (C) và
đườ
ng th
ẳ
ng d: y = mx + m + 3.
Xác
đị
nh m
để
d c
ắ
t (C) t
ạ
i M(−2; 3), N, P sao cho các ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ

a (C) t
ạ
i N và P vuông góc v
ớ
i nhau.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :

• Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (C) và (d):
3
– ( 3) – – 2 0
+ =
x m x m
2
2

1 3
( 1)( – – – 2) 0
( ) 2 0
= − ⇒ =

⇔ + = ⇔

= − − − =

x y
x x x m
g x x x m

d c
ắt (C) tại 3 điểm phân biệt
( )
9
1;3 , , , 0
4
M N P m m
− ⇔ > − ≠

Khi đó x
N
; x
P
là các nghiệm của phương trình
2
1
2 0

2
+ =

− − − = ⇒

= − −

N P
N P
x x
x x m
x x m

H
ệ số góc của tiếp tuyến tại N, P lần lượt là k
1
và k
2
thỏa mãn
2
1
2
2
3 3
3 3

= −

= −


N
P
k x
k x

Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau khi
2
1 2
3 2 2
3
. 1 9 18 1 0
3 2 2
3

− +
=


= − ⇔ + + = ⇔
− −

=


m
k k m m
m

Đố
i chi

ế
u v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n ta
đượ
c
3 2 2
3
m
− ±
= là các giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
4

Bài 5: Cho hàm số
3 2

– 3 4
= +
y x x
có
đồ
th
ị
là (C) và
đườ
ng th
ẳ
ng d
đ
i qua A(2; 0) có h
ệ
s
ố
góc k.
Xác
đị
nh k
để
d c
ắ
t (C) t
ạ
i ba
đ
i
ể

m phân bi
ệ
t A, B, C sao cho ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a (C) t
ạ
i B và C vuông góc v
ớ
i nhau.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
Ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng (d): y = k(x
−
2).
Ph

ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a (C) và d:
3 2 2
3 4 ( 2) ( 2)( 2 ) 0
x x k x x x x k
− + = − ⇔ − − − − =

( )
2
2
( ) 2 0, 1
A
x x
g x x x k
= =

⇔

= − − − =


Để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt, khác 2

0
9
0
(2) 0
4
k
f
∆ >

⇔ ⇔ − < ≠

≠

(*)
Theo
định lí Viet ta có:
1
2
M N
M N
x x
x x k
+ =


= − −


Các ti
ế

p tuy
ế
n t
ạ
i M và N vuông góc v
ớ
i nhau khi
( ) ( )
. 1 . 1
M N
M N x x
k k y y
′ ′
= − ⇔ = −

⇔
2 2 2
3 2 2
(3 6 )(3 6 ) 1 9 18 1 0
3
M M N N
x x x x k k k
− ±
− − = − ⇔ + + = ⇔ =
Đố
i chi
ế
u v
ớ
i

đ
i
ề
u ki
ệ
n (*) ta
đượ
c
3 2 2
3
m
− ±
= là các giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
Bài 6:
Cho hàm s
ố

3 2
2 5
( 1) (3 2)
3 3
= − + − + − −
y x m x m x có đồ thị
),(
m
C

m là tham số.
Tìm m để trên
)(
m
C
có hai điểm phân biệt
1 1 1 2 2 2
( ; ), ( ; )
M x y M x y
thỏa mãn
1 2
. 0
>
x x
và tiếp tuyến của
)(
m
C
tại mỗi
điểm đó vuông góc với đường thẳng
: 3 1 0.
− + =
d x y

Hướng dẫn giải:
Ta có hệ số góc của
1
: 3 1 0 .
3
− + = ⇒ =

d
d x y k Do đó
1 2
,
x x
là các nghiệm của phương trình
' 3
= −
y , hay
2 2
2 2( 1) 3 2 3 2 2( 1) 3 1 0
− + − + − = − ⇔ − − − − =
x m x m x m x m (1)
Yêu c
ầ
u bài toán t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i ph
ươ
ng trình (1) có hai nghi
ệ
m
1 2
,
x x
th

ỏ
a mãn
1 2
0
>
x x

2
3
' ( 1) 2(3 1) 0
1
3 1
1 .
0
3
2
 < −

∆ = − + + >


⇔ ⇔

− −

− < < −
>





m
m m
m
m

V
ậ
y k
ế
t qu
ả
c
ủ
a bài toán là
3
< −
m và
1
1 .
3
− < < −
m
Bài 7:
Cho hàm s
ố

3 2
(1 2 ) (2 ) 2
= + − + − + +

y x m x m x m
(1) v
ớ
i m là tham s
ố
.
Tìm m
để

đồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố
(1) có ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
o v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d: x + y + 7 = 0 góc
α

, bi
ế
t
1
cos
α .
26
=
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến, suy ra tiếp tuyến có véctơ pháp
1
( ; 1)
= −

n k
Đường thẳng d có véctơ pháp tuyến là
2
(1;1)
=

n
Ta có
1
1 2

2
2
1 2
2
3
.
1
1
2
cos
α
12 26 12 0
2
26
2 1
3

=

−
= ⇔ = ⇔ − + = ⇔


+
=


 
 
k

n n
k
k k
n n
k
k

Yêu c
ầ
u c
ủ
a bài toán th
ỏ
a mãn ⇔ ít nh
ấ
t m
ộ
t trong hai ph
ươ
ng trình:
1
'
=
y k
(1) và
2
'
=
y k
(2) có nghi

ệ
m x
⇔
2
2
3
3 2(1 2 ) 2
2
2
3 2(1 2 ) 2
3

+ − + − =



+ − + − =


x m x m
x m x m
⇔
/
1
/
2
0
0

∆ ≥


∆ ≥



có nghi
ệ
m
có nghi
ệ
m
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
5

⇔
2
2
8 2 1 0
4 3 0

− − ≥

− − ≥


m m

m m
⇔
1 1
;
4 2
3
; 1
4

≤ − ≥



≤ − ≥


m m
m m
⇔
1
4
≤ −
m hoc
1
.
2
≥
m
Bài 8:
Cho hàm số

3
1
−
=
+
x
y
x
có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó cắt trục
hoành tại A, cắt trục tung tại B sao cho OA = 4OB
Hướng dẫn giải:
Ta có OA = 4OB nênn ∆OAB có
1
tan
4
= =
OB
A
OA
⇒
tiếp tuyến AB có hệ số góc là
1
4
= ±
k
Phương trình
2
3
4 1
'

5
4
( 1)
=

= ⇔ = ⇔ ⇔

= −
+

x
y k
x
x

+ v
ới x = 3 ⇒ y = 0, tiếp tuyến có phương trình
1
( 3)
4
= −
y x
+ v
ới x = -5 ⇒ y = 2, tiếp tuyến có phương trình
1 1 13
( 5) 2
4 4 4
= + + ⇔ = +y x y x

VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1







DNG 3. TIP TUYN CA Ồ THỊ HÀM SỐ ĐI QUA MỘT ĐIÊM CHO TRƯỚC
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C). Điểm A(x
A
; y
A
) không thuộc đồ thị.
Viết viết các phương trình tiếp tuyến kẻ từ A đến đồ thị ta thực hiện như sau :
+ Gọi d là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k
(
)
:
→ = − +
A A
d y k x x y

+
Đườ

ng th
ẳ
ng d là ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) khi h
ệ
sau có nghi
ệ
m :
(
)
(
)
( )
( ) , 1
( ), 2

= − +


′
=



A A
f x k x x y
k f x

+ Ta gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình trên b
ằ
ng cách th
ế
(2) lên (1). Gi
ả
i (1)
đượ
c x r
ồ
i thay l
ạ
i vào (2) tìm k, t
ừ

đ
ó ta
đượ

c ph
ươ
ng
trình d
ườ
ng d chính là ti
ế
p tuy
ế
n c
ầ
n tìm.
Ví d 1.
Cho hàm s
ố

3
6
= − −
y x x
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n biêt tiêp tuy
ế

n
a)
ti
ế
p tuy
ế
n song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d: 2x – y + 1 = 0
b)
ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d’: 4x – y + 2 = 0
c)
bi
ế
t ti
ế

p tuy
ế
n
đ
i qua A(2; 0)
đế
n
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
// câu c khi gi
ả
ng th
ầ
y chép nh
ầ
m
đề
bài,
đ
ang lúc nhìn ví d
ụ
1 thì có con gì bay vào m
ắ
t nên nhìn nh
ầ
m sang ví d

ụ
2,
các em thông c
ả
m cho th
ầ
y nhé. He he//
Ví d 2.
Cho hàm s
ố

3
9
= − +
y x x

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n biêt tiêp tuy
ế
n
b)
ti
ế

p tuy
ế
n vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d: 3x + 23y + 2 = 0
c)
bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
đ
i qua A(3; 0)
đế
n
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
Ví d 3.
Cho hàm s
ố

3
9
= − +
y x x

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n biêt tiêp tuy
ế
n k
ẻ
t
ừ
O(0; 0)
đế
n
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
Ví d 4.

CMR không có ti
ế
p tuy
ế
n nào c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố

1
=
+
x
y
x
đi qua giao điểm I của 2 đường tiệm cận.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1.
Viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp sau:
a) Biết tiếp tuyến đi qua
2
; 1
3
 
−
 

 
A
đến đồ thị hàm số y = x
3
– 3x + 1
b) Kẻ từ A(0; 4) đến đồ thị hàm số
(
)
2
2
2 .
= −y x
Bài 2.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n k
ẻ
t
ừ

đ
i
ể
m

(
)
1; 2
−
A

đế
n
đồ
th
ị
hàm s
ố

2
.
2 1
+
=
−
x
y
x

Bài 3.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti

ế
p tuy
ế
n k
ẻ
t
ừ

đ
i
ể
m
(
)
0; 1
−
A

đế
n
đồ
th
ị
hàm s
ố

3 2
2.
= + − +
y x x x

Đ
/s:
4 1
= −
y x

Tài liệu bài giảng:

01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P5
Thầy Đặng Việt Hùng
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A(1; 4) đến đồ thị hàm số
3 2
2 3 1.
= − + +
y x x x

Đ/s:
3 1
= +
y x

Bài 5.

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n k
ẻ
t
ừ

đ
i
ể
m A(3; 4)
đế
n
đồ
th
ị
hàm s
ố

3
2 5.
= − + +
y x x

Đ
/s:
7 0
+ − =
x y
Bài 6.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n k
ẻ
t
ừ

đ
i
ể
m
1
;4
2
 
 
 
A

đế
n
đồ
th
ị
hàm s
ố

4 2
2 3.
= + −
y x x

Đ
/s:
8 8
= −
y x

Bài 7.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n k

ẻ
t
ừ

đ
i
ể
m
(
)
1; 6
−
A
đế
n
đồ
th
ị
hàm s
ố

1
.
2
+
=
+
x
y
x

Đ/s:
3 3
= − −
y x
Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A(2; 2) đến đồ thị hàm số
2 3
.
2
−
=
−
x
y
x

Đ/s:
4
= − +
y x
Hưng dn giải:
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp sau:
a)
Biết tiếp tuyến đi qua
 
−
 
 
2
; 1

3
A
đến đồ thị hàm số y = x
3
– 3x + 1
Gọi d là đường thẳng qua
2
; 1
3
 
−
 
 
A và có hệ số góc k
2
: 1.
3
 
→ = − −
 
 
d y k x

Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x
3
– 3x + 1 thì hệ sau có nghiệm:
( )
( )
3
2

2
3 1 1, 1
3
3 3, 2

 
− + = − −
 

 


= −

x x k x
k x

Thế (2) lên (1) ta được
( )
3 2 3 2
0
2
3 1 3 3 1 2 2 0
1
3
=

 
− + = − − − ⇔ − = ⇔
 


=
 

x
x x x x x x
x

 Với
2
0 3 : 3 1 3 1
3
 
= ⇒ = − → = − − − ⇔ = − +
 
 
x k d y x y x

 Với
1 0 : 1.
= ⇒ = → = −
x k d y

b) Tiếp tuyến kẻ từ A(0; 4) đến đồ thị hàm số
(
)
= −
2
2
2 .

y x
Gọi d là đường thẳng qua A(0; 4) và có hệ số góc k
: 4.
→ = +
d y kx

Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
(
)
2
2 4 2
2 4 4
= − = − +
y x x x thì h
ệ
sau có nghi
ệ
m:
(
)
( )
4 2
3
4 4 4, 1
4 8 , 2

− + = +


= −



x x kx
k x x

Ta có
( )
4 2
3
0
1 4
4
=

⇔ − = ⇔

= −

x
x x kx
k x x


V
ớ
i
(
)
0, 2 0 : 4
= ⇔ = → =

x k d y

V
ớ
i
3
3 3 3 3
2
3
0
4
4 4 4 8 3 4 0
4 2
4 8
3
3
=


= −


= − → → − = − ⇔ − = ⇔


= ⇔ = ±
= −





x
k x x
k x x x x x x x x
x x
k x x

+ N
ế
u x = 0 thì ta
đượ
c d : y = 4.
+ N
ế
u
2 8 8 16 16
: 4.
3 3 3 3 3 3 3 3
= ⇒ = − = − → = − +
x k d y x
+ N
ế
u
2 8 8 16 16
: 4.
3 3 3 3 3 3 3 3
= − ⇒ = − + = → = +
x k d y x
Bài 2. Vi
ế

t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n k
ẻ
t
ừ

đ
i
ể
m
(
)
−
1; 2
A

đế
n
đồ
th
ị
hàm s
ố

+

=
−
2
.
2 1
x
y
x

G
ọ
i d là
đườ
ng th
ẳ
ng qua A(1;
−
2) và có h
ệ
s
ố
góc k
: ( 1) 2.
→ = − −
d y k x

VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
3

Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
2 1
+
=
−
x
y
x
thì hệ sau có nghiệm:
( )
( )
( )
2
2
( 1) 2, 1
2 1
5
, 2
2 1
+

= − −

−



−

=

−

x
k x
x
k
x

Thay (2) lên (1) ta
được
( )
( )( ) ( ) ( )
2
2
2 5
( 1) 2 2 2 1 5 1 2 2 1 0
2 1
2 1
+ −
= − − ⇔ + − + − + − =
−
−
x
x x x x x
x
x

2
1
10 5 0
2
⇔ − = ⇔ = ±x x

V
ớ
i
( )
( )
2
1 5 5 5
: 1 2
2 2 2 3 2 2 3
2 1
−
= ⇒ = = → = − −
− −
−
x k d y x


V
ớ
i
( )
( )
2

1 5 5 5
: 1 2
2 3 2 2 3 2 2
2 1
− − −
= − ⇒ = = → = − −
+ +
− −
x k d y x

Nh
ậ
n xét : Ngoài cách gi
ả
i trên, ta còn có th
ể
th
ự
c hi
ệ
n bi
ế
n
đổ
i h
ệ
(1), (2) m
ộ
t cách linh ho
ạ

t h
ơ
n nh
ư
sau :
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
1 5
2 1
2 2
2 1 2
1 5 1 5
2 1 2 2
1 , 2 . 2 1 2
2 2 2 1 2
2 2 1
5
2 1

− +

= − − −

−

−
⇔ → + = − − −

−
−
−

=

−

x
k k
x
k
x
x
x
x
k
x

1 5 1 5 1 5 5 1 5
. . 2
2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 10
− −
⇔ + = − − − ⇔ = − − ⇔ =
− − − −
k k k
x x x x

Khi
đ
ó
( )
2 2
2
1 5
2 5. 5. 30 25 0 15 10 2
2 1 10
− −
   
⇔ = − ⇔ = − ⇔ + + = ⇔ = − ±
   
−
   
k
k k k k k
x

T
ừ đó ta được các tiếp tuyến cần tìm là
(
)
( )
15 10 2 1 2.
= − ± − −
y x

VINAMATH.COM

VINAMATH.COM