Nghiên cứu nội lực và chuyển vị của hệ dầm bằng phương pháp so sánh ( Luận văn thạc sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHÒNG
-----------------------------

LÊ KHẮC NGUYỄN

NGHIÊN CỨU NỘI LỰC VÀ CHUYỂN VỊ
CỦA HỆ DẦM BẰNG PHƢƠNG PHÁP SO SÁNH
Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Công trình Dân dụng & Công nghiệp
Mã số: 60.58.02.08

LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH. HÀ HUY CƢƠNG

Hải Phòng, 2015
1


Lời cảm ơn
Với tất cả sự kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất, tôi xin chân thành bày tỏ lòng
biết ơn của mình tới sự hƣớng dẫn tận tình và chu đáo của thầy hƣớng dẫn
GS.TSHK Hà Huy Cƣơng, các thầy cô trong khoa Sau đại học, khoa Xây dựng và
toàn thể các thầy cô giáo trƣờng Đại học Dân Lập Hải Phòng những ngƣời đã tạo
điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này.
Do những hạn chế về kiến thức, thời gian, kinh nghiệm và tài liệu tham khảo
nên thiếu sót và khuyết điểm là điều không thể tránh khỏi. Vì vậy, tôi rất mong nhận
đƣợc sự góp ý, chỉ bảo của các thầy cô giáo đó chính là sự giúp đỡ quý báu mà tôi
mong muốn nhất để cố gắng hoàn thiện hơn trong quá trình nghiên cứu và công tác
sau này.

Xin trân trọng cảm ơn!
Tác giả luận văn

Lê Khắc Nguyễn

2


MỞ ĐẦU
Bài toán cơ học kết cấu hiện nay nói chung đƣợc xây dựng theo bốn đƣờng lối
đó là: Phƣơng pháp xây dựng phƣơng trình vi phân cân bằng phân tố; Phƣơng pháp
năng lƣợng; Phƣơng pháp nguyên lý công ảo và Phƣơng pháp sử dụng trực tiếp
phƣơng trình Lagrange. Các phƣơng pháp giải gồm có: Phƣơng pháp đƣợc coi là
chính xác nhƣ, phƣơng pháp lực; Phƣơng pháp chuyển vị; Phƣơng pháp hỗn hợp;
Phƣơng pháp liên hợp và các phƣơng pháp gần đúng nhƣ, phƣơng pháp phần tử hữu
hạn; phƣơng pháp sai phân hữu hạn; phƣơng pháp hỗn hợp sai phân - biến phân.
Phƣơng pháp so sánh là phƣơng pháp đƣợc xây dựng dựa trên ý tƣởng đặc
biệt của K.F Gauss đối với cơ hệ chất điểm và đƣợc đề xuất bởi GS. TSKH Hà Huy
Cƣơng đối với cơ hệ môi trƣờng liên tục. Điểm đặc biệt của phƣơng pháp so sánh là
tìm đƣợc kết quả của bài toán chƣa biết thông qua kết quả của bài toán đã biết.
Đối tƣợng, phƣơng pháp và phạm vi nghiên cứu của đề tài
Trong luận văn này, tác giả sử dụng phƣơng pháp so sánh nói trên để xây
dựng và giải bài toán dầm chịu uốn có xét đến biến dạng trƣợt ngang do lực cắt Q
gây ra, chịu tác dụng của tải trọng tĩnh.
Do sự cần thiết của việc nghiên cứu nội lực và chuyển vị của kết cấu chịu
uốn, mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn này là:
Mục đích nghiên cứu của đề tài
“Nghiên cứu nội lực và chuyển vị của hệ dầm bằng phương pháp so sánh”
Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
1. Tìm hiểu và giới thiệu các phƣơng pháp xây dựng và các phƣơng pháp giải bài

toán cơ học kết cấu hiện nay.
2. Trình bày Phƣơng pháp Nguyên lý cực trị Gauss do GS. TSKH. Hà Huy Cƣơng
đề xuất, với các ứng dụng trong cơ học môi trƣờng liên tục nói chung và cơ học
vật rắn biến dạng nói riêng.
3. Giới thiệu lý thuyết xét biến dạng trƣợt đối với bài toán kết cấu chịu uốn (dầm và
khung) với việc dùng hai hàm chƣa biết là hàm độ võng y và hàm lực cắt Q.

3


4. Trình bày phƣơng pháp so sánh để xây dựng và giải bài toán dầm có xét đến biến
dạng trƣợt, chịu tác dụng của tải trọng tĩnh.
5. Lập chƣơng trình máy tính điện tử cho các bài toán nêu trên.
Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu
Việc xác định nội lực và chuyển vị của kết cấu dầm chịu uốn đã đƣợc nhiều
tác giả trong và ngoài nƣớc quan tâm nghiên cứu, các kết quả nghiên cứu hiện nay
nhìn chung đƣợc tìm thấy thông qua các phƣơng pháp giải trực tiếp. Khác với cách
làm hiện nay, tác giả luận văn giới thiệu phƣơng pháp so sánh để xây dựng và giải
bài toán kết cấu dầm chịu uốn một cách gián tiếp dựa trên ý tƣởng đặc biệt của K.F
Gauss khi nghiên cứu về cơ hệ chất điểm cùng với sự kế thừa, phát triển sáng tạo
của GS. TSKH. Hà Huy Cƣơng khi nghiên cứu hệ vật rắn biến dạng thuộc cơ hệ môi
trƣờng liên tục.

4


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của bản thân, đƣợc thực hiện
trên cơ sở nghiên cứu, tính toán dƣới sự hƣớng dẫn khoa học của GS.TSHK Hà
Huy Cƣơng.

Các số liệu trong luận văn có nguồn trích dẫn, kết quả trong luận văn là trung
thực.
Tác giả luận văn

Lê Khắc Nguyễn

5


MC LC
Thứ
tự

1

Nội dung

Số
trang

Mở đầu

2

Ch-ơng 1 - Các ph-ơng pháp xây dựng và các ph-ơng pháp giải bài toán cơ học kết cấu

4
4

1.1

Ph-ơng pháp xây dựng bài toán cơ học
Ph-ơng pháp xây dựng ph-ơng trình vi phân cân
bằng phân tố

1.2

Ph-ơng pháp năng l-ợng

7

1.3

Nguyên lý công ảo

10

1.4

Ph-ơng trình Lagrange

12

Bài toán cơ học kết cấu và các ph-ơng pháp giải

14

2.1

Ph-ơng pháp lực

15

2.2

Ph-ơng pháp chuyển vị

15

2.3

Ph-ơng pháp hỗn hợp và phơng pháp liên hợp

15

2.4

Ph-ơng pháp phần tử hữu hạn

16

2.5

Ph-ơng pháp sai phân hữu hạn

16

2.6

Ph-ơng pháp hỗn hợp sai phân - biến phân

16

Ch-ơng 2 - Ph-ơng pháp nguyên lý cực trị Gauss

17

2.1.

Nguyên lý cực trị Gauss

17

2.2

Ph-ơng pháp nguyên lý cực trị Gauss

19

2.3

Cơ hệ môi tr-ờng liên tục: ứng suất và biến dạng

26

2

2.4

Cơ học kết cấu

Ph-ơng pháp nguyên lý cực trị Gauss và các ph-2.5 ơng trình cân bằng của cơ hệ
Ph-ơng trình cân bằng tĩnh đối với môi tr-ờng
2.5.1 đàn hồi, đồng nhất, đẳng h-ớng
Ph-ơng trình vi phân của mặt võng của tấm chịu
2.5.2 uốn
Ch-ơng 2 - Ph-ơng pháp so sánh trong cơ học kết
cấu

4

32
35
36
38
41
6


3.1
3.2

Lý thuyết dầm có xét biến dạng tr-ợt
Ph-ơng pháp so sánh tính toán dầm có xét đến
biến dạng tr-ợt ngang.

41
47

3.2.1 Ph-ơng pháp sử dụng hệ so sánh.

47

3.2.2 Các ví dụ tính toán.

48

Kết luận

64

Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo

64

Danh mục tài liệu tham khảo

65

Mục lục

71

7


CHƢƠNG 1.
CÁC PHƢƠNG PHÁP XÂY DỰNG VÀ CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI
BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU
Trong chƣơng này trình bày các phƣơng pháp truyền thống để xây dựng các
bài toán cơ học nói chung; giới thiệu bài toán cơ học kết cấu (bài toán tĩnh) và các

phƣơng pháp giải thƣờng dùng hiện nay.
1. Phƣơng pháp xây dựng bài toán cơ học.
Bốn phƣơng pháp chung để xây dựng bài toán cơ học kết cấu đƣợc trình bày
dƣới đây. Dùng lý thuyết dầm chịu uốn để minh họa.
1.1. Phƣơng pháp xây dựng phƣơng trình vi phân cân bằng phân tố.
Phƣơng trình vi phân cân bằng đƣợc xây dựng trực tiếp từ việc xét các điều
kiện cân bằng lực của phân tố đƣợc tách ra khỏi kết cấu.Trong sức bền vật liệu khi
nghiên cứu dầm chịu uốn ngang sử dụng các giả thiết sau:
- Trục dầm không bị biến dạng nên không có ứng suất.
- Mặt cắt thẳng góc với trục dầm sau khi biến dạng vẫn phẳng và thẳng góc với
trục dầm (giả thiết Euler–Bernoulli).
- Không xét lực nén giữa các thớ theo chiều cao của dầm
Với giả thiết thứ ba thì chỉ có ứng suất pháp σx và các ứng suất tiếp σxz, σzx tác dụng
lên phân tố dầm (hình 1.3), ứng suất pháp σz bằng không. Hai giả thiết thứ ba và thứ
nhất dẫn đến trục dầm chỉ có chuyển vị thẳng đứng y(x) và nó đƣợc gọi là đƣờng độ
võng hay đƣờng đàn hồi của dầm. Giả thiết thứ nhất xem chiều dài trục dầm không
thay đổi khi bị võng đòi hỏi độ võng của dầm là nhỏ so với chiều cao dầm, ymax / h
1/5. Với giả thiết thứ hai thì biến dạng trƣợt do ứng suất tiếp gây ra không đƣợc xét
trong tính độ võng của dầm nhƣ trình bày dƣới đây. Gỉả thiết này chỉ đúng khi tỉ lệ
h/l

1/5. Chuyển vị ngang u của điểm nằm ở độ cao z so với trục dầm bằng

8


Biến dạng và ứng suất xác định nhƣ sau
d2y
d2y
 x   z 2 ;  xx   Ez 2

dx
dx
Momen tác dụng lên trục dầm:

Z

-h/2

TTH

h/2

u

Hình 1.2. Phân tố dầm

d2y
Ebh3 d 2 y
M    Ebz
dz  
dx 2
12 dx 2
h / 2
h/2

2

M  EJ (1.7)

hay

trong đó: EJ 

Ebh3
d2y
,   2
12
dx

EJ đƣợc gọi là độ cứng uốn của dầm;  là độ cong của đƣờng đàn hồi và sẽ đƣợc gọi
là biến dạng uốn; b là chiều rộng dầm. Để đơn giản trình bày, ở đây chỉ dùng trƣờng
hợp dầm có tiết diên chữ nhật.
Cách tính nội lực momen ở trên không xét đến biến dạng trƣợt do các ứng
suất tiếp gây ra. Tổng các ứng suất tiếp σzx trên mặt cắt sẽ cho ta lực cắt Q tác dụng
lên trục dầm:

Q

h/2



zx

dz

h / 2

Biểu thức của ứng suất tiếp σzx trong tích phân trên sẽ trình bày sau.
Nhờ các giả thiết nêu trên, thay cho trạng thái ứng suất trong dầm, ta chỉ cần nghiên

cứu phƣơng trình cân bằng của các nội lực M và Q tác dụng lên trục dầm.
Xét phân tố dx của trục dầm chịu tác dụng của các lực M,Q và ngoại lực phân bố q,
hình 1.3. Chiều dƣơng của M, Q và q trên hình vẽ tƣơng ứng với chiều dƣơng của
độ võng hƣớng xuống dƣới.

9


Q

q(x)

M

M + dM
o2

1

2 Q + dQ

dx
Hình 1.3. Xét cân bằng phân tố
Lấy tổng momen đối với điểm O2, bỏ qua các vô cùng bé bậc cao ta có:

dM
 Q  0 (1.8)
dx
Lấy tổng hình chiếu các lực lên trục thẳng đứng:

dQ
q 0
dx

(1.9)

Phƣơng trình (1.8) là phƣơng trình liên hệ giữa momen uốn và lực cắt,
phƣơng trình (1.9) là phƣơng trình cân bằng lực cắt Q và ngoại lực phân bố q. Đó là
hai phƣơng trình xuất phát (hai phƣơng trình đầu tiên) của phƣơng pháp cân bằng
phân tố. Lấy đạo hàm phƣơng trình (1.8) theo x rồi cộng với phƣơng trình (1.9), ta
có phƣơng trình dẫn xuất sau:
d 2M
q 0
dx 2

(1.10)

Thay M xác định theo (1.7) vào (1.10) nhận đƣợc phƣơng trình vi phân xác
định đƣờng đàn hồi của thanh.
d4y
EJ 4  q (1.11)
dx

Phƣơng trình (1.11) đƣợc giải với các điều kiện biên của y và các đạo hàm
đến bậc ba của y (4 điều kiện), hai điều kiện biên tại mỗi đầu cuối thanh.
Các điều kiện biên thƣờng dùng nhƣ sau:
a) Liên kết khớp tại x=0:
Chuyển vị bằng không, y x 0

d2y

 0 , momen uốn M  0 , suy ra
dx 2

0
x 0

10


b) Liên kết ngàm tại x=0:
Chuyển vị bằng không, y x0  0 , góc xoay bằng không,

dy
dx

0
x 0

c) Không có gối tựa tại x=0:
d2y
Momen uốn M  0 , suy ra
dx 2

x 0

d3y
 0 ; lực cắt Q=0, suy ra
dx 3

0

x 0

Các điều kiện tại x=l cũng lấy tƣơng tự nhƣ trên.
Bây giờ tìm hiểu sự phân bố ứng suất tiếp σzx trên chiều dày h của dầm. Trƣớc
tiên viết phƣơng trình cân bằng ứng suất trên trục x nhƣ sau:


 xz
 xx 
 0 hay
x
z

 xz  xx
d3y

  Ez 3
z
x
dx

Tích phân phƣơng trình trên theo z:  xz

Ez 2 d 3 y

 C x 
2 dx 3

Hàm C x  xác định từ điều kiện ứng suất tiếp bằng không tại mặt trên và mặt dƣới
dầm, z   . Ta có: C  x  

h
2

Eh 2 d 3 y
8 dx 3

Ứng suất tiếp phân bố trên mặt cắt dầm có dạng:
E d3y
4 z 2  h 2 
 xz  
3
8 dx

Đó là hàm parabol bậc hai. Ứng suất tiếp lớn nhất tại trục dầm (z=0) có giá trị bằng

 xz

z 0

Eh2 d 3 y

8 dx 3

Tích phân hàm ứng suất tiếp theo chiều cao dầm rồi nhân với chiều rộng b ta có
lực cắt Q tác dụng lên phần trái của dầm.
Ebh3 d 3 y
Q
12 dx 3
Eh 2 d 3 y
Ứng suất tiếp trung bình trên chiều cao dầm bằng:  

12 dx 3
tb
xz

Tỉ lệ giữa ứng suất tiếp max tại trục dầm và ứng suất trung bình α=1.5.

11


1.2. Phƣơng pháp năng lƣợng.
Năng lƣợng của cơ hệ bao gồm động năng T và thế năng П. Động năng đƣợc
xác định theo khối lƣợng và vận tốc chuyển động, còn thế năng П bao gồm thế năng
biến dạng và công của các trƣờng lực, phụ thuộc vào chuyển vị. Trƣờng lực là lực
có thế nhƣ lực trọng trƣờng. Các lực ngoài tác dụng lên cơ hệ là lực không thế.
Đối với hệ bảo toàn, năng lƣợng là không đổi:
T+ П = const

(1.12)

Do đó tốc độ thay đổi năng lƣợng phải bằng không:

Ta xét bài toán tĩnh, T=0, do đó:
П = const

(1.14)

Thế năng П có thể biểu thị qua ứng suất và nội lực cũng có thể biểu thị qua
chuyển vị và biến dạng. Vì vậy ta có hai nguyên lý biến phân năng lƣợng sau:
Nguyên lý thế năng biến dạng cực tiểu
Khi phƣơng trình cân bằng đƣợc biểu thị qua ứng suất hoặc nội lực và do đó

thế năng biến dạng cũng biểu thị qua ứng suất hoặc nội lực ta có nguyên lý thế năng
biến dạng cực tiểu, nguyên lý Castiliano (1847-1884). Nguyên lý phát biểu nhƣ sau:
Trong tất cả các trạng thái cân bằng lực có thể thì trạng thái cân bằng thực
xảy ra khi thế năng biến dạng là cực tiểu.
Trạng thái cân bằng lực có thể là trạng thái mà các lực tác dụng lên phân tố
thỏa mãn các phƣơng trình cân bằng. Ta viết nguyên lý dƣới dạng sau:
F   min

Với ràng buộc là các phƣơng trình cân bằng viết dƣới dạng lực.
Đối với dầm ta có:

12


Luận văn đầy đủ ở file:Luận văn Full