Tài liệu toán lớp 7

Gia s Ti Nng Vit

1

Ti liu toỏn lp 7
H THNG KIN THC TON HèNH 7
1. Đ-ờng trung trực của đoạn thẳng
a) Định nghĩa: Đ-ờng thẳng vuông
góc với một đoạn thẳng tại trung điểm
của nó đ-ợc gọi là đ-ờng trung trực của
đoạn thẳng ấy
b) Tổng quát:
a là đ-ờng trung trực của AB



a AB tại I

IA =IB

a

B

I

A

2. Các góc tạo bởi một đ-ờng thẳng cắt hai đ-ờng thẳng
a) Các cặp góc so le trong:
A

A1 và B3 ; A4 và B2 .
3 2
b) Các cặp góc đồng vị:
4 1
A1 và B3 ; A1 và B3 ;
A1 và B3 ; A1 và B3 .
2B
3
c) Khi a//b thì A1 và B2 ; A4 và B3 gọi
41
là các cặp góc trong cùng phía bù nhau

a

b

3. Hai đ-ờng thẳng song song

c
a) Dấu hiệu nhận biết
- Nếu đ-ờng thẳng c cắt hai đ-ờng
thẳng a, b và trong các góc tạo thành
có một cặp góc so le trong bằng nhau
(hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau)
thì a và b song song với nhau

a

b

b) Tiên đề Ơ_clít
- Qua một điểm ở ngoài một đ-ờng
thẳng chỉ có một đ-ờng thẳng song
song với đ-ờng thẳng đó

M

b
a

c, Tính chất hai đ-ờng thẳng song song
1


Gia s Ti Nng Vit

2

- Nếu một đ-ờng thẳng cắt hai đ-ờng thẳng song song thì:
Hai góc so le trong bằng nhau;
Hai góc đồng vị bằng nhau;
Hai góc trong cùng phía bù nhau.
d) Quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song

c
- Hai đ-ờng thẳng phân biệt
cùng vuông góc với đ-ờng thẳng
thứ ba thì chúng song song với
nhau

b
a

a c
a / / b
b c

- Một đ-ờng thẳng vuông góc với
một trong hai đ-ờng thẳng song
song thì nó cũng vuông góc với
đ-ờng thẳng kia

c
b

c b
c a
a / / b

a

e) Ba đ-ờng thẳng song song
- Hai đ-ờng thẳng phân biệt
cùng song song với một đ-ờng
thẳng thứ ba thì chúng song
song với nhau
a//c và b//c => a//b

a
b

c

4. Góc ngoài của tam giác
a) Định nghĩa: Góc ngoài của một
tam giác là góc kề bù với một góc của
tam giác ấy
b) Tính chất: Mỗi góc ngoài của tam
giác bằng tổng hai góc trong không kề
với nó
ACx A B

5. Hai tam giác bằng nhau
2

A

B

C

x


Gia s Ti Nng Vit

3

A
a) Định nghĩa: Hai tam giác bằng
nhau là hai tam giác có các cạnh t-ơng

ứng bằng nhau, các góc t-ơng ứng bằng
nhau

C

B
A'

ABC A 'B 'C'

AB A 'B '; AC A 'C'; BC B 'C'

A A '; B B '; C C'



C
'

B'
b) Các tr-ờng hợp bằng nhau của hai tam giác
*) Tr-ờng hợp 1: Cạnh - Cạnh - Cạnh
(c.c.c)
- Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba
cạnh của tam giác kia thì hai tam giác
đó bằng nhau
Nếu ABC và A'B'C' có:
AB A 'B '

AC A 'C' ABC A 'B 'C'(c.c.c)

BC B 'C'

*) Tr-ờng hợp 2: Cạnh - Góc - Cạnh
(c.g.c)
- Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam
giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa
của tam giác kia thì hai tam giác đó
bằng nhau
Nếu ABC và A'B'C' có:
AB A 'B '

B B ' ABC A 'B 'C'(c.g.c)
BC B 'C'


*) Tr-ờng hợp 3: Góc - Cạnh - Góc
(g.c.g)

3

A

C

B
A'

C'

B

'

A

C

B
A'

B'

C'


Gia sư Tài Năng Việt

4

A

- NÕu mét c¹nh vµ hai gãc kÒ cña tam
gi¸c nµy b»ng mét c¹nh vµ hai gãc kÒ
cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã
b»ng nhau
NÕu ABC vµ A'B'C' cã:
B  B' 

BC  B 'C'  ABC  A 'B 'C'(g.c.g )

C  C' 

C

B
A'

C'

B'

c) C¸c tr-êng hîp b»ng nhau cña hai tam gi¸c vu«ng
 Tr-êng hîp 1: NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy
b»ng hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c
vu«ng ®ã b»ng nhau.

B

B'

A

C A'

C'

 Tr-êng hîp 2: NÕu mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc nhän kÒ c¹nh
Êy cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc
nhän kÒ c¹nh Êy cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai gi¸c vu«ng ®ã
b»ng nhau.

B

B'

A

C A'

4

C'


Gia sư Tài Năng Việt

5

 Tr-êng hîp 3: NÕu c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän cña tam gi¸c
vu«ng nµy b»ng c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng
kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.

B

B'

A

C A'

C'

 Tr-êng hîp 4: NÕu c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam
gi¸c vu«ng nµy b»ng c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña tam
gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.

B

B'

A

C A'

C'

6. Quan hÖ gi÷a c¸c yÕu tè trong tam
gi¸c (quan hÖ gi÷a gãc vµ c¹nh ®èi diÖn
trong tam gi¸c)
- Trong mét tam gi¸c, gãc ®èi diÖn víi
c¹nh lín h¬n lµ gãc lín h¬n
ABC : NÕu AC > AB th× B > C

A

B

C

- Trong mét tam gi¸c, c¹nh ®èi diÖn víi gãc lín h¬n th× lín h¬n
ABC : NÕu B > C th× AC > AB

7. Quan hÖ gi÷a ®-êng vu«ng gãc vµ ®-êng xiªn, ®-êng xiªn vµ
h×nh chiÕu
 Kh¸i niÖm ®-êng vu«ng gãc, ®-êng xiªn, h×nh chiÕu cña
®-êng xiªn
- LÊy A  d, kÎ AH  d, lÊy B  d vµ B  H. Khi ®ã :

5


Gia s Ti Nng Vit

6

- Đoạn thẳng AH gọi là đ-ờng vuông
A
góc kẻ từ A đến đ-ờng thẳng d
- Điểm H gọi là hình chiếu của A trên
đ-ờng thẳng d
- Đoạn thẳng AB gọi là một đ-ờng
xiên kẻ từ A đến đ-ờng thẳng d
d
- Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu
B
H
của đ-ờng xiên AB trên đ.thẳng d
Quan hệ giữa đ-ờng xiên và đ-ờng vuông góc: Trong các
đ-ờng xiên và đ-ờng vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một
đ-ờng thẳng đến đ-ờng thẳng đó, đ-ờng vuông góc là đ-ờng
ngắn nhất.

Quan hệ giữa đ-ờng xiên và hình chiếu: Trong hai đ-ờng
xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đ-ờng thẳng đến đ-ờng thẳng
đó, thì:
- Đ-ờng xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
- Đ-ờng xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn
- Nếu hai đ-ờng xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và
ng-ợc lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đ-ờng xiên bằng
nhau.
8. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam
giác
- Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn
hơn độ dài cạnh còn lại.

A
AB + AC > BC
AB + BC > AC
AC + BC > AB

B

C

- Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ
hơn độ dài cạnh còn lại.
AC - BC < AB
AB - BC < AC
AC - AB < BC
- Nhận xét : Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn
hơn hiệu và nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại.
VD: AB - AC < BC < AB + AC

9. Tính chất ba đ-ờng trung tuyến của tam giác

6


Gia s Ti Nng Vit

7

Ba đ-ờng trung tuyến của một tam
giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó

A

cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2 độ

F

3

G

dài đ-ờng trung tuyến đi qua đỉnh ấy:
GA GB GC 2
DA
EB
FC
3

B

E
C

D

G là trọng tâm của tam giác ABC
10. Tính chất ba đ-ờng phân giác của tam giác
Ba đ-ờng phân giác của một
A
tam giác cùng đi qua một
điểm. Điểm này cách đều ba
cạnh của tam giác đó
- Điểm O là tâm đ-ờng tròn nội
tiếp tam giác ABC (lớp 9)

O
C

B
11. Tính chất ba đ-ờng trung trực của tam giác
Ba đ-ờng trung trực của một tam giác
A
cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều
ba đỉnh của tam giác đó
- Điểm O là tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp
tam giác ABC

O
B

C

12. Ph-ơng pháp chứng minh một số bài toán cơ bản (sử dụng
một trong các cách sau đây)
a) Chứng minh tam giác cân
1. Chứng minh tam giác có hai cạnh bằng nhau
2. Chứng minh tam giác có hai góc bằng nhau
3. Chứng minh tam giác đó có đ-ờng trung tuyến vừa là đ-ờng
cao
4. Chứng minh tam giác đó có đ-ờng cao vừa là đ-ờng phân giác
ở đỉnh
b) Chứng minh tam giác đều
1. Chứng minh tam giác đó có ba cạnh bằng nhau
2. Chứng minh tam giác đó có ba góc bằng nhau
3. Chứng minh tam giác cân có một góc là 600
c) Chứng minh một tứ giác là hình bình hành
7


Gia s Ti Nng Vit

8

1. Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành
2. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành
3. Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình
hành
4. Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành
5. Tứ giác có hai đ-ờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi

đ-ờng là hình bình hành
d) Chứng minh một tứ giác là hình thang: Ta chứng minh tứ giác
đó có hai cạnh đối song song
e) Chứng minh một hình thang là hình thang cân
1. Chứng minh hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau
2. Chứng minh hình thang có hai đ-ờng chéo bằng nhau
f) Chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật
1. Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật
2. Hình thanh cân có một góc vuông là hình chữ nhật
3. Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật
4. Hình bình hành có hai đ-ờng chéo bằng nhau là hình chữ nhật
g) Chứng minh một tứ giác là hình thoi
1. Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau
2. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau
3. Hình bình hành có hai đ-ờng chéo vuông góc với nhau
4. Hình bình hành có một đ-ờng chéo là đ-ờng phân giác của một
góc
h) Chứng minh một tứ giác là hình vuông
1. Hình chữ nhật co hai cạnh kề bằng nhau
2. Hình chữ nhật có hai đ-ờng chéo vuông góc
3. Hình chữ nhật có một đ-ờng chéo là đ-ờng phân giác của một
góc
4. Hình thoi có một góc vuông
5. Hình thoi có hai đ-ờng chéo bằng nhau
13. Đ-ờng trung bình của tam giác, của hình thang
a) Đ-ờng trung bình của tam giác
Định nghĩa: Đ-ờng trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối
trung điểm hai cạnh của tam giác
Định lí: Đ-ờng trung bình của tam giác thì song song với cạnh
thứ ba và bằng nửa cạnh ấy

8


9

Gia s Ti Nng Vit

A
E

D

DE / /BC, DE 1 BC
2

B

C

b) Đ-ờng trung bình của hình thang
Định nghĩa: Đ-ờng trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối
trung điểm hai cạnh bên của hình thang
Định lí: Đ-ờng trung bình của hình thang thì song song với hai
đáy và bằng nửa tổng hai đáy
B

A
EF//AB, EF//CD, EF AB CD

E

2

F

D

C

14. Tam giác đồng dạng
a) Định lí Ta_lét trong tam giác: Nếu một đ-ờng thẳng song song
với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên
hai cạnh đó những đoạn thẳng t-ơng ứng tỉ lệ

A
B 'C'/ /BC AB ' AC' ;
AB
AC
AB ' AC' ; B 'B C'C
B 'B
C'C AB
AC

B'

a

C'

B

C

b) Định lí đảo của định lí Ta_lét: Nếu một đ-ờng thẳng cắt hai cạnh
của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng t-ơng
ứng tỉ lệ thì đ-ờng thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác
Ví dụ: AB' AC' B'C'/ /BC ; Các tr-ờng hợp khác t-ơng tự
AB

AC

c) Hệ quả của định lí Ta_lét
- Nếu một đ-ờng thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song
song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh
t-ơng ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho. Hệ quả còn đúng trong
tr-ờng hợp đ-ờng thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt
phần kéo dài của hai cạnh còn lại ( B'C'/ /BC AB' AC' B'C' )
AB

9

AC

BC


10

Gia s Ti Nng Vit

A

a
C'

B'
A

C

B

a
B'

C'

C

B

d) Tính chất đ-ờng phân giác của tam giác: Đ-ờng phân giác
trong (hoặc ngoài) của một tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn
tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn đó

A

A

B

C

D

C

B

D'

DB AB
DC
AC

D'B AB
D'C
AC

ABC

S

e) Định nghĩa hai tam giác đồng dạng : Hai tam giác đồng dạng
là hai tam giác có các góc t-ơng ứng bằng nhau và các cạnh t-ơng ứng
tỉ lệ

A A '; B B '; C C'

A 'B 'C' AB

AC
BC
A 'B ' A 'C' B 'C' k( tỉ số đồng dạng )


MN / /BC AMN

S

f) Định lí về hai tam giác đồng dạng: Nếu một đ-ờng thẳng cắt hai
cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành
một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho

A

ABC

*) L-u ý: Định lí cũng đúng đối với tr-ờng
hợp đ-ờng thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh
của tam giác và song song với cạnh còn lại

M
B

g) Các tr-ờng hợp đồng dạng của hai tam giác

10

N

a
C


11

Gia s Ti Nng Vit

*)Tr-ờng hợp 1: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của
tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

A'
A

C

B'

Nếu ABC và A'B'C' có:
AB AC BC ABC
A 'B '
A 'C'
B 'C'

C
'
S

B

A 'B 'C'(c.c.c)

*)Tr-ờng hợp 2: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của
tam giác kia và hai góc tạo bởi các cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác
đồng dạng

A'
A

C

B'

C'

Nếu ABC và A'B'C' có:
AB BC
A 'B '
B 'C' ABC

B B'

S

B

A 'B 'C'(c.g.c)

*)Tr-ờng hợp 3: Nếu hai góc của tam giác này lần l-ợt bằng hai góc
của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng;

A'
A

C

B'

Nếu ABC và A'B'C' có:
A A '
ABC A 'B 'C'(g.g )
B B '

S

B

11

C
'


12

Gia s Ti Nng Vit

h) Các tr-ờng hợp đồng dạng của hai tam giác vuông
*)Tr-ờng hợp 1: Nếu hai tam giác vuông có một góc nhọn bằng nhau
thì chúng đồng dạng;

B'

B

C

A

C'

A
S

Nếu ABC và A'B'C' có:
0
A A ' 90
ABC A 'B 'C'
C C'


*)Tr-ờng hợp 2: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ
với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng
dạng;

B'
B

C

A

C'

A'
S

Hai tam giác vuông ABC và A'B'C' có:
AB AC ABC A 'B 'C'
A 'B '
A 'C'

*)Tr-ờng hợp 3: Nếu cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác
vuông này tỉ lệ với cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông
kia thì hai giác đó đồng dạng.

S

Hai tam giác vuông ABC và A'B'C' có:
AB BC ABC A 'B 'C'
A 'B '
B 'C'

S

15. Tỉ số hai đ-ờng cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng
dạng
- Tỉ số hai đ-ờng cao t-ơng ứng của hai tam giác đồng dạng bằng
tỉ số đồng dạng
- Tỉ sô diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình ph-ơng tỉ

số đồng dạng
- Cụ thể : A 'B'C' ABC theo tỉ số k

12


Gia s Ti Nng Vit

13

S
2
=> A 'H ' k và A 'B'C' k
AH

SABC

16. Hệ thức l-ợng trong tam giác vuông (lớp 9)
b2 ab'
c2 ac '
A
a2 b2 c2 (Pi_ta_go)
bc = ah
c
h
h2 b'c '
12 12 12
c'
b

c

B

h

b
b'

H

C

a

17. Diện tích các hình

b
a

h

a

S a.b

h
a

a

2

Sa

S 1 ah
2

S 1 ah
2

b
h

E

F
h

a

a

S 1 (a b)h EF.h
2

S 1 ah
2

d2

h
a
S a. h

d1

S 1 d1 d2
2

18. Học sinh cần nắm vững các bài toán dựng hình cơ bản (dùng
th-ớc và compa)
a) Dựng một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho tr-ớc;
b) Dựng một góc bằng một góc cho tr-ớc;
c) Dựng đ-ờng trung trực của một đoạn thẳng cho tr-ớc, dựng trung
điểm của một đoạn thẳng cho tr-ớc;
d) Dựng tia phân giác của một góc cho tr-ớc;
13


Gia sư Tài Năng Việt

14

e) Qua mét ®iÓm cho tr-íc, dùng ®-êng th¼ng vu«ng gãc víi mét ®-êng
th¼ng cho tr-íc;
f) Qua mét ®iÓm n»m ngoµi mét ®-êng th¼ng cho tr-íc, dùng ®-êng
th¼ng song song víi mét ®-êng th¼ng cho tr-íc;
g) Dùng tam gi¸c biÕt ba c¹nh, hoÆc biÕt hai c¹nh kÒ vµ gãc xen gi÷a,
hoÆc biÕt mét c¹nh vµ hai gãc kÒ.

14