Chuyên đề nguyên hàm tích phân môn toán lớp 12

Gia sư Tài Năng Việt



CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

A.

KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

I. NGUYÊN HÀM
1. Khái niệm.
Định nghĩa. Cho hàm số f ( x) xác định trên K (K là đoạn, khoảng, nửa khoảng).
Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K, nếu F '( x)  f ( x) ,
với mọi x  K .
Định lý. Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên khoảng K. Khi đó
a. Với mỗi hằng số C, hàm số G( x)  F ( x)  C cũng là một nguyên hàm của f ( x) .
b. Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm của f ( x) thì tồn tại hằng số C sao cho
G(x) = F(x) + C.
c. Họ tất cả các nguyên hàm của f ( x) là

 f ( x)dx  F ( x)  C , trong đó

F ( x) là một

nguyên hàm của f ( x) , C là hằng số bất kỳ.
d. Bảng các nguyên hàm cơ bản.
Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp

Nguyên hàm của hàm số hợp u  u( x)

 kdx  kx  C , k  R

 kdu  ku  C , k  R

x



dx 

1
.x 1  C (  1)
1 

u



du 

1
.u 1  C (  1)
1 



dx
 ln x  C ( x  0 )
x



du
 ln u  C ( x  0 )
u



dx
 2 x C
x



du
 2 u C
u

 e dx  e
x

x
 a dx 

x

 e du  e

C

u

ax
 C (0  a  1).
ln a

u
 a du 

u

C

au
 C (0  a  1).
ln a

 cos udu  sin u  C

 cos xdx  sin x  C
1


Gia sư Tài Năng Việt



 sin udu   cos u  C

 sin xdx   cos x  C
dx

 cos

2

x

 tan x  C ;

dx

 sin

2

x

du

 cos

  cot x  C .

2

u

 tan u  C ;

du

 sin

2

u

  cot u  C

Ngoài ra còn một số công thức thường gặp là.
k
 (ax  b) dx 

1 (ax  b) k 1
 C , (a  0, k  1);
a k 1

1

1 ax b
e
C;
a
1
 sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C

e

ax  b

2.

1

 ax  b dx  a ln ax  b  C , a  0.
1

 cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C

dx 

Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm
Định lý. Nếu F ( x), G( x) tương ứng là một nguyên hàm của f ( x), g ( x) thì
a.

 f '( x)dx  f ( x)  C

b.  [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx  F ( x)  G( x)  C ;
c.  a.f(x)dx  a  f ( x)dx  aF( x)  C (a  0) .
3. Một số phương pháp tìm nguyên hàm
a. Phương pháp đổi biến số
Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số u  u( x) có đạo hàm
liên tục trên K và hàm số y  f (u) liên tục sao cho f [u( x)] xác định trên K. Khi đó
nếu F là một nguyên hàm của f, tức là  f (u )du  F (u )  C thì

 f [u ( x)]dx=F[u(x)]+C .
b. Phương pháp tích phân từng phần
Một số dạng thường gặp:

Dạng 1.  P( x).eax b dx ,  P( x) sin(ax  b)dx ,  P( x)cos(ax  b)dx
c dv  sin(ax  b)dx, dv  cos(ax  b)dx)
Cách giải: Đặt u  P( x), dv  eax b dx ( hoaë

Dạng 2.  P( x) ln(ax  b)dx
Cách giải: Đặt u  ln(ax  b), dv  P( x)dx.

2


Gia sư Tài Năng Việt



I. TÍCH PHÂN.
1. Định nghĩa. Cho hàm f ( x) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K.
Nếu F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) thì hiệu số F (b)  F (a) được gọi là tích phân
b

b

của f ( x) từ a đến b và ký hiệu là

 f ( x)dx . Trong trường hợp

a  b thì

tích phân của f trên  a; b  .

 f ( x)dx

là

a

a

2. Tính chất của tích phân .
Cho các hàm số f ( x), g ( x) liên tục trên K và a, b, c là ba số thuộc K.
a

b

  f ( x)dx  0



a



a

f ( x)dx    f ( x )dx

a

b

c

b

a

a

c

  f ( x)dx   f ( x )dx   f ( x )dx

b

b

b

a

a

  k . f ( x )dx  k  f ( x )dx

b

b

b

a

a

a

  [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx

3. Một số phương pháp tính tích phân
 Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số

u (b )

b



f [u ( x)]u '( x)dx 

a



f (u )du . Trong

u (a)

đó f ( x) là hàm số liên tục và u ( x) có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp
f [u( x)] xác định trên J; a, b  J .
Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo hai cách
Cách 1. Đặt ẩn phụ u  u( x) ( u là một hàm của x)

Cách 2. Đặt ẩn phụ x  x(t ) ( x là một hàm số của t).
 Phương pháp tích phân từng phần.
Định lý. Nếu u( x), v( x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và a, b là hai số
b

b

thuộc K thì  u ( x)v '( x)dx  u ( x)v( x)   v( x)u '( x)dx
b
a

a

a

4. Ứng dụng của tích phân
 Tính diện tích hình phẳng
 Nếu hàm số y  f ( x) liên tục trên  a; b  thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ
b

thị hàm số y  f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b là S   f ( x) dx .
a

3


Gia sư Tài Năng Việt

 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  f ( x) , y  g ( x) và hai đường
thẳng x  a, x  b là
b

S   f ( x)  g ( x) dx
a

 Tính thể tích vật thể. Thể tích vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với
b

trục Ox tại các điểm a, b là V   S ( x)dx . Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của
a

vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là
x   a; b  và S(x) là một hàm liên tục.
 Tính thể tích khối tròn xoay.
 Hàm số y  f ( x) liên tục và không âm trên  a; b  . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y  f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b quay quanh trục hoành tạo nên
b

một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức V    f 2 ( x)dx .
a

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x  g ( y) , trục tung và hai đường thẳng
y  c, y  d quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi
d

công thức V    g 2 ( y)dy .
c

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Phần 1. Tìm nguyên hàm
Dạng 1: Tìm nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm .
Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số

(

1 3
 x )dx
x

a.  ( x  2)( x 2  2 x  4)dx

b.

d.  sin 4 xdx

e.  tan 4 xdx

g.

 sin 2 x.cos xdx

h.

2x x x
 10 .3 .5 dx

k.

x3  2 x  1
dx
x5

l.

 sin(2 x  1)dx



4

c.

 sin

f.

 cot

i.



2

xdx

4

xdx

( x 2  1)( x 2  3)
3

x2

m.  (1  2 x 2 )10 xdx

dx


Gia sư Tài Năng Việt

n.

1  ln x
 x dx



o.

x
 xe dx
2

p.

dx

 (1  2 x)

Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến.
Tính tích phân I   f ( x)dx
Phương pháp 1. Đổi biến t   ( x) , rút x theo t.
+) Xác định vi phân: dx   '(t )dt
+) Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử f ( x)dx  g (t )dt . Khi đó I   g (t )dt
Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ:
Dấu hiệu

Có thể chọn

Hàm số có mẫu

Đặt t là mẫu

Hàm f ( x,  ( x))

Đặt t   ( x)

Hàm f ( x, n  ( x), m  ( x))

Đặt t  mn  ( x)

Hàm f ( x) 

asin x  b cos x
c sin x  d cos x  e

Đặt t  tan

x
2

Hàm lẻ với sinx

Đặt t  cos x

Hàm lẻ với cosx

Đặt t  s inx

Hàm chẵn với sinx và cosx

t =tanx

Phương pháp 2. Đổi biến x   (t )
+) Lấy vi phân dx   '(t )dt
+) Biểu thị f(x) theo t và dt, Giả sử: f(x)dx= g(t)dt. Khi đó I   g (t )dt
Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc chọn ẩn phụ:
Dấu hiệu

Có thể chọn



 x | a | sin t ,  2  t  2

 x | a | cost , 0  t  

a2  x2

5

4


Gia sư Tài Năng Việt



x2  a2

|a| 


 x  sin t ,  2  t  2 ; t  0

x  | a | , 0  t   ;t  

cost
2

x2  a2




 x | a | tan t ,  2  t  2


 x | a | cott , 0  t  

ax
hoặc
ax

Đặt x  a cos 2t

ax
ax

Đặt x  a  (b  a)sin 2 t

( x  a)(b  x)

Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số
a.  (2 x  1)3 dx

b.

d.  sin(7 x  6)dx

e.

g.  sin 2012 x.cos xdx

h.

9x2

l.



o.

 cos (5 x  2) dx

r.
u.

1 x

3



2z
z 5

3

2

dz

1 x
 xe dx
2

1

 1 e

x

dx

m.  x 4 1  x 2 dx

dx

1

1

x

x 3 dx
 x4  x2  2

v.

x2
 (1  x)39 dx

4



n.



2x
dx
 4x  3
2x 1

x 2  x  2012
1
dx
x (1  x )2

t.

s.

2

k.

2

xdx
 2x2  2

 cos (3x  1) dx

sin(3 x  1)

x

q.  sin 4 x.cos xdx

x

2

f.

1
1
sin .cos dx
x
x

p.

2

c.  2 x( x 2  1)dx

x

2

xdx
 4x  5

Dạng 3. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần.
Bài 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số.
a.  xe x dx

b.  x 2 cos xdx

d.  x 2 ln xdx

e.



x ln( x  x 2  1)
x 1
2

6

c.  ( x  1).ln xdx
dx

f.  e x .cos 2 xdx

dx


Gia sư Tài Năng Việt

g.

x

 cos x dx



h.

2

dx

 sin

3

x

Dạng 4. Nguyên hàm của một số hàm phân thức hữu tỷ.
Bài 4. Tìm nguyên hàm
a.
d.
g.
i.

dx

4x  3

b.

 2 x  1 dx



2 x 2  3x  5
dx
x3

e.

x



x 2  3x  1
dx
x2  5x  6

h.



x3  2 x  1
dx
x2  9

k.

 2x  3

dx

c.

 (2 x  1)

f.

x



4x  2
dx
2
x  x 1

h.

3x3  14 x 2  13x  7
dx

x2  5x  6



x2  x  1
dx

( x  1)3

l.

x

2

2x  1
dx
 5x  6

2

2

4x  6
dx
 3x  4

2 xdx
2
3

Dạng 5. Nguyên hàm của một số hàm số lượng giác.
Các bài toán cơ bản:
a) Nguyên hàm của các hàm số có dạng:
 f ( x)  cos ax.cos bx

 f ( x)  sin ax.sin bx

 f ( x)  sin ax.cos bx

 f ( x)  sin 2 ax; cos2bx

Phương pháp chung: Dùng các công thức biến đổi, công thức hạ bậc để đưa về tổng các
nguyên hàm cơ bản.
Bài 5. Tìm các nguyên hàm:
a.  cos3x.cos 2 xdx

b.  s inx.cos 2 2 xdx

c.  cos3 2 x.sin 2 xdx

b) Nguyên hàm của các hàm số có dạng: f ( x)  sin n x.cosm x
Phương pháp chung: Dựa vào tính chẵn lẻ của m, n để biến đổi hoặc đặt ẩn phụ cho phù
hợp.
Bài 6. Tìm nguyên hàm
a.  (sin x  cos 2 x)dx
3

3

b.  (sin x  cos x)dx
5

7

5

cos3 x
c.  4 dx
sin x


Gia sư Tài Năng Việt

d.

dx

 sin



e.  sin 4 2xdx

3

x
2
sin x
dx
g. 
cos6 x

f.

dx

 sin

4

x

6

h.

tan x

 cos2 x dx

Dạng 6. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến lượng giác.
Bài 7. Tìm nguyên hàm
a.



a 2  x 2 dx

b.



x 2  a 2 dx

c.



x 2  a 2 dx

d.



ax
dx
ax

e.



( x  a)(b  x)dx

f.



1
dx
( x  a )( x  b)

g.

dx
 x2  a2

k.

(a1 x 2  b1 x  c1 )dx
 ( x  d )(ax 2  bx  c)

l.

 ( x  a ) ( x  b)

h.

dx
2

2

với ( a  b )

dx



m.

(a 2  x 2 )2 k 1



4sin x  3cos x

dx
s inx  2 cos x

n. 

8cos xdx
2  3 sin 2 x  cos2 x

Bài 8. Tìm nguyên hàm
a.



dx
(1  x 2 )3

cos2 x
d.  8 dx
sin x

g.

xdx



x 2  1. 1  1  x 2

x2

b.



e.



dx
( x  2)( x  1)

h.



2
dx
3 s inx  cos x

x2 1

dx

dx

c.



f.

 x

(1  x 2 )3
2x
x2 1

dx

Dạng 7. Nguyên hàm của một số hàm số mũ và lôgarit
Bài 9. Tìm nguyên hàm
a.

dx

 e (3  e
x

x

)

d.  x.ln 2 xdx

b.

 x.

ln x
dx

2  ln x

c.  ( x  1).e x 1dx

e.

e

dx
 ex  2

f.

2x

Phần 2. Tính tích phân

8



1  ln x
dx
x


Gia sư Tài Năng Việt

 Dạng 1. Dùng định nghĩa và các tính chất của tích phân.
Bài 10. Tính các tích phân
2

a.

3

2

1
x

b.  ( x  )2 dx

3
2
 ( x  3x  1)dx

2

1

c.  ( x 2 x  1)dx
0


3

d.

16



x 2  4 x  3 dx

e.

1

4

1
dx
x9  x


0

f.  tan 2 xdx
0


4

g.





(

2

x2  x  1
0 x  1 dx
1

5
 4sin x  cos x)dx
cos2 x

h.

i.



1  cos2 xdx

0

4







cos x  s inx.cos x
l. 
dx
2  s inx
0

3

4

x
x
k.  (sin  cos4 )dx
2
2
0
4


 sin

m.

2

dx
(5 x  6)

6

n.





2

2

 cos5x.sin3xdx



2

o.  s inx.cos ( x  )dx
2


4

p.

4

0

( x  1)dx
2
 x ln x

x
1

 Dạng 2. Tính tích phân bằng phương pháp phân tích
Bài 11. Tính tích phân

1

a.

1

xdx
0 ( x  1)2

b.

2

x dx
0 x2  1

c.  cos3 xdx
0







2

4

d.

7

dx
0 cos4 x

e.

sin xdx
0 cos x  s inx

f.

s inx  cos x  1

 s inx  2cos x  3 dx
0


4

3

g.  cos3 x.sin 2 xdx
0

h.

x
1

2

dx
( x  1)

 Dạng 3. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.
Bài 12. Tính các tích phân sau
2

a.  ( x  1) xdx
2

1

25

1

b.  x

1

5

0

9

x  1dx
6

c.

x
0

2

x2
dx
 4x  7


Gia sư Tài Năng Việt






3

d.


0

2x 1

2

x2  x  1

dx

cos3 x
 2 dx
 sin x
3

e.  ecos x s inx.cos xdx
2

f.

0

6





g.  sin xdx
5

h.



6

1  cos x .s inx.cos xdx i.
3

5

0

0

1  ln 3 x
1 x dx
e

2

2



ln 2

3

k.  (sin x  e
3

s inx

).cos xdx

l.



9

(3  e ) e dx
x 5

x



m.

0

0

e

x

x

4

dx

Bài 13. Tính các tích phân
1

3
2

d.


1
2



b.

2  x dx
2

e.

x2 1

2

9  3x 2 dx
x2

3

2

dx

x

c.

0

dx
1 x

2

2

dx
a. 
1  x2

0


1

0



f.

a

ax
dx , (a  0)
ax


8

6

g.

sin 2 xdx
0 2sin 2 x  cos2 x

x

h.

3

dx
x2  1

Bài 14. Tính các tích phân

1

a.

2012
 x sin xdx

1

1
2

d.

 1 x 
2
1 x ln  1  x  dx

cos4 x
0 sin 4 x  cos4 x dx

1

2

b.

cos xdx
ex  1
1



c.



e.

x sin xdx
0 4  cos2 x

1

 ln( x 

f.

x 2  1)dx

1

2





2

sin xdx
g.  x
3 1


2

4

h.  ln(1  t anx)dx

i.

 x.cos xdx
3

0

0


2

1  s inx
)dx
1  cos x

k.  ln(
0

1

l.

dx
0 e2 x  3

1

m.

 Dạng 4. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần.
Bài 15. Tính các tích phân
10

e
0

dx
.
 ex

2x


Gia sư Tài Năng Việt



2

1

6

b.  x 2 e2 x dx

a.  ( x  1)e2 x dx
0

1

5



d.  x 2 ln( x  1)dx

c.  (1  x) sin 3xdx
0
e

e.  e x cos xdx

3

f.

 cos(ln x)dx
0

0



ln(1  x)
1 x 2 dx
2

g.

2

h.  cos x.ln(1  cos x)dx
0

 Dạng 5. Liên kết phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần
Bài 16. Tính tích phân

1

a.  x (e  x  1)dx

2

2x

3

0

e5

ln x.ln(ln x)dx
b. 
x
e2

2

c.  ( x  sin 3 x  es inx ).cos xdx
0

 Dạng 6. Lập công thức tích phân truy hồi
Bài 17. Lập công thức tích phân truy hồi cho các tích phân sau.

2

a. I n   sin n xdx

1

b. I n   x n 1  xdx với n là số nguyên dương.

0

0

• Dạng 7. Ứng dụng của tích phân
Bài 18. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của các hàm số sau.
a. y  2 x 2  x 4 và trục hoành
b. y  x3  3x 2  4 và đường thẳng x  y  1  0
c. y  sin 2 x cos3 x ; y  0 và x  0; x 


2

d. y   x 2  2 x ; y  3x
x2
8
e. y  x ; y  ; y 
8
x
2

f. y  x 2  4 x  3 ; y  3  x
Bài 19. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục mỗi hình phẳng giới hạn bởi.
11


Gia sư Tài Năng Việt

a. y  ln x ; trục hoành và hai đường thẳng x  1, x  2 .
b. y  xe x , trục hoành và đường thẳng x  1
c. y  cos2 x  x sin x , y  0, x  0, x  2.
x2
, y  2, y  4 .
2

d. y 

Phần 3. Bài tập tổng hợp
Bài 20. Tính các tích phân.
(ln x  2013)2
a. 
dx
x
1
e

3x
b.  2
dx
( x  3)2
0

3

d.

x

5

1  x dx



2

2

f.

0





4

2


0

cos x  2sin x
2

2

dx



dx

 4sin x  3cos x  5

2

dx
h. 
(s inx  3cos x) 2
0

dx

x4  1

1



sin 2 x

x3



c.



s inx
e. 
dx
2  cos x
o

2

0

g.

2

1

i.  cos x cos x  cos3 xdx
0



2

k.  (es inx  cos x) cos xdx

1

2

cos xdx
2
sin x  4sin x  3
0

l. 

0

x

m.

4

0

x
dx
 3x 2  2

Bài 21. Tính các tích phân.

e

2

ln x

a.  2 dx
x
1

b.  x.cos
0

3x
x
.cos dx
2
2

1

c.  x3 ln( x 2  1)dx
0


1

d.  x ln( x  x  1)dx
2

0

ln 3

3

e.  x.tan xdx
2



f.

0

2 x3  4 x 2  x  3
g. 
dx
x2  2 x  3
0

e3

1

h.


e

0
ln 2

dx
x ln x ln(ln x)

i.

dx
x sin 2 (ln x)

m.



xe x
ex  1
e2 x
ex  2

1

dx

dx



2(2 x  1)
dx
k. 
2
(
x

2)(

x

1)
1

e4

2

l.




x2 1
1 x 4  1 dx
2

e2


3

3

n.



3

x 2  4 dx

o.



x3  2 x 2  x  2 dx

2

4

p.


 sin
6

12

2

dx
x . 4 cot x


Gia sư Tài Năng Việt

Bài 22. Tính tích phân.
ln 3



a.

e x  e x
b.  x  x dx
e e
0

(e  1)
x

ln 2

ln 5

1

e x dx
3

e

c.

x

ln 3

dx
 2e x  3



x4  1
e.  6 dx
x 1
0

3

1

3

ln(t anx)
d. 
dx
 sin 2 x

f.

dx

 x (1  x )
6

2

1

4
ln 3

 2(e

g.

x

0

x2
h. 
(1  x 2 )2
0

 1) e  1
x

i.

1 x
dx
1 x

1

2


0

2x  x 2 dx

0

l.

3

2

x
0 1  x8 dx

m. 
0


2 3



n.




1
2

k.

1

1

e x dx

5

o.

x x2  4

cos2 x  4sin 2 x

dx


4

6

dx

sin 2 x

tan x
0 cos2 x dx (B-08)

1  2sin 2 x
0 1  sin 2 x dx
4

p.



sin 2 x  s inx
dx
1  3cos x
0

e

2

q. (A-05) 

r.

ln x
1 x(2  ln x)2 dx

1  3ln x ln x
dx
x

e

s.


1



x  e  2x e
u. 
dx
1  2e x
0

3

1

t.  ln( x 2  x)dx
2

2

x

2 x

Bài 23. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau.
a. y 2  2 y  x  0, x  y  0
b. y  3  x  x 2 , y  2 x  1 .

3
c. y  0, y  s inx, x  , x 
.
2

2

d. y  x 2  4 x  3 , x  2, y  x  3.
e. y 

1
2 x

, y  2 x , x  1.

e
f. y  x 2 , y  2 x  x 2 , x  2.

g. y  (e  1) x, y  (1  e x ) x.
h. y  4 

x2
x2
, y

.
4
4 2

i. y  x 2  4 x  3 , y  x  3.

13



sin( x  )
4
dx
v. 
sin
2
x

2(1

s
inx
 cos x)
0
4


Gia sư Tài Năng Việt

Bài 24. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh
trục Ox
a. y 2  4 x, y  x
b. y  x ln x, y  0, x  e.


c. y  0, y  cos 2 x  x s in x , x  0, x 

2

.

Bài 25. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh
trục Oy: y  0, y  2 x  x 2 .
Bài 26. Tính các tích phân.


sin 2012 x
0 sin 2012 x  cos2012 x dx.

2
 2 ln( x  1  x )dx

b.

c.

1

sin 2 x
 1  2012x dx





x sin x  ( x  1) cos x
d. 
dx
x
sin
x

cos
x
0

1  x sin x
0 cos2 x dx

e.


2

cot x
2
 sin x 1  cos xdx

1



h.

x ln( x  2)

0

4 x

2

4x 1
dx
2x 1  2

4

3

4

g.



1

2

a.

f.


0

1



i.

dx

4 x3  6 x 2  2 x

0

x2  x  1

4


8



k.





( x  1)(1  2sin 2 x)  cos2 x
.
x cos 2 x  cos2 x
0
6

cos2 x
dx
1  ex

l.



8

Bài 27. Tính các tích phân.

1

a.

3

b.

1  ln(1  x)
dx
x2
1
3

4

x
0 x4  3x2  2 dx

 x(1  sin 2 x)dx

c.

0



Bài 28. Tính các tích phân
x2 1
a.  2 ln xdx
x
1
2

( x  1)2
c.  2

dx
x 1
0

1

1

b.  x 2  x dx
2

0

TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2009-2013


KQ:

8 

5 4

KQ:

1
27
(3  ln )
4
16

2

Bài 1: Tính I =  (cos3 x  1) cos 2 xdx - ĐHKA-2009
0
3

Bài 2: Tính I =

3  ln x

 x  1

2

dx - ĐHKB-2009

1

14

dx


Gia sư Tài Năng Việt

3

Bài 3: Tính I =

e

1
1

Bài 4: Tính I =

1
dx - ĐHKD-2009
1

KQ: ln(e2+e+1) – 2

x 2  e x  2 x 2e x
0 1  2e x dx - ĐHKA-2010
e

Bài 5: Tính I =

x



ln xdx

 x(2  ln x)

1 1  1  2e 
 ln 

3 2  3 
1

3

KQ:   ln

- ĐHKB-2010

2

KQ:

1


1
e

3

Bài 6: Tính I = I    2 x   ln xdx - ĐHKD-2010
x


KQ:


4

Bài 7: Tính I =



0

x sin x  ( x  1) cos x
dx - ĐHKA-2011
x sin x  cos x

KQ:

3
2

e2
1
2

 2 

 ln 
  1 
4
 2  4 





1  x sin x
dx
cos 2 x
0

3

Bài 8: Tính I = 

4

Bài 9: Tính I =


0

4x 1
dx
2x 1  2

KQ: 3 

- ĐHKD-2011

KQ:

34
3
 10 ln
3
5

KQ:

2 2

 ln 2  ln 3
3 3

KQ:

1
 2ln 3  3ln 2 
2

1  ln( x  1)
dx - KA-2012
x2
1
3

Bài 10:

Tính tích phân I  

Bài 11:

Tính tích phân I  

1

x3
dx. - ĐHKB-2012
x 4  3x 2  2

0

2

/ 4

Bài 12:

Tính tích phân I 

 x(1  sin 2x)dx - ĐHKD-2012

KQ:

0

2

Bài 13:

Tính tích phân I  
1
1

Bài 14:

2
 ln(2  3)
3

- ĐHKB-2011

x2  1
ln xdx - ĐHKA-2013
x2

Tính tích phân I   x 2  x 2 dx - ĐHKB-2013
0

( x  1) 2
dx - ĐHKD-2013
2
x

1
0

32



KQ:

5
3
ln 2 
2
2

KQ:

2 2 1
3

1

Bài 15:

Tính tích phân I  

15

1
4

KQ: 1  ln 2