Tuyển chọn bài giảng luyện môn toán lớp 10 (khoảng 450 trang)

lê hồng đức v-ơng ngọc
nguyễn tuấn phong lê hữu trí lê bích ngọc

các bài giảng trọng tâm theo
ch-ơng trình chuẩn

toán 10


lời nói đầu

Bộ giáo dục và Đào tạo đã công bố H-ờng dẫn ôn tập thi môn Toán THPT và
Cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán, đề thi đại học và cao đẳng môn Toán,
cụ thể:
cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT

I. Phần chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm)
Câu 1 (3 điểm):
Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số.
Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều
biến thiên của hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị
hàm số. Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho tr-ớc, t-ơng giao giữa
hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đ-ờng thẳng)
Câu 2 (3 điểm):
Hàm số, ph-ơng trình, bất ph-ơng trình mũ và logarit.
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
Bài toán tổng hợp.
Câu 3 (1 điểm): Hình học không gian (tổng hợp): tính diện tích xung quanh của hình nón
tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích của khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn
xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
II. Phần riêng (3 điểm)

1. Theo ch-ơng trình chuẩn:
Câu 4a (2 điểm):
Xác định toạ độ của điểm, vectơ Mặt cầu.
Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng, mặt phẳng.
Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí t-ơng đối của
đ-ờng thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu 5a (1 điểm):
Số phức: môđun của số phức, các phép toán trên số phức. Căn bậc hai của số
thực âm. Ph-ơng trình bậc hai hệ số thực có biệt thức âm.
ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
2. Theo ch-ơng trình nâng cao:
Câu 4b (2 điểm): Ph-ơng pháp toạ độ trong không gian
Xác định toạ độ của điểm, vectơ Mặt cầu.
Viết ph-ơng trình mặt phẳng, đ-ờng thẳng.
Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến đ-ờng thẳng, mặt phẳng, khoảng
cách giữa hai đ-ờng thẳng.
Vị trí t-ơng đối của đ-ờng thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu 5b (1 điểm):
Số phức: môđun của số phức, các phép toán trên số phức. Căn bậc hai của số
phức. Ph-ơng trình bậc hai hệ số phức. Dạng l-ợng giác của số phức.
Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất và một số yếu tố liên quan.
Trang 2 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham kho,.. file
word


Sự tiếp xúc của hai đ-ờng cong.
Hệ ph-ơng trình mũ và logarit.
ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
Cấu trúc của một đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng
I. Phần chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm)

Câu 1 (2 điểm):
Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số.
Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều
biến thiên của hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị
hàm số. Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho tr-ớc, t-ơng giao giữa
hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đ-ờng thẳng)
Câu 2 (2 điểm):
Ph-ơng trình, bất ph-ơng trình và hệ đại số.
Công thức l-ợng giác, ph-ơng trình l-ợng giác.
Câu 3 (1 điểm):
Tìm giới hạn.
Tìm nguyên hàm. Tính tích phân.
ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
Câu 4 (1 điểm): Hình học không gian (tổng hợp): quan hệ song song, quan hệ vuông góc của
đ-ờng thẳng, mặt phẳng. Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ
tròn xoay; tính thể tích của khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn
xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
Câu 5 (1 điểm): Toán tổng hợp.
II. Phần riêng (3 điểm)
1. Theo ch-ơng trình chuẩn:
Câu 6a (2 điểm): Ph-ơng pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian
Xác định toạ độ của điểm, vectơ.
Đ-ờng tròn, elíp, mặt cầu.
Viết ph-ơng trình mặt phẳng, đ-ờng thẳng.
Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí t-ơng đối của
đ-ờng thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu 7a (1 điểm):
Số phức.
Tổ hợp, xác suất, thồng kê.
Bất đẳng thức. Cực trị của biểu thức đại số.

2. Theo ch-ơng trình nâng cao:
Câu 6b (2 điểm): Ph-ơng pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian
Xác định toạ độ của điểm, vectơ.
Đ-ờng tròn, ba đ-ờng cônic, mặt cầu.
Viết ph-ơng trình mặt phẳng, đ-ờng thẳng.
Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến đ-ờng thẳng, mặt phẳng. Khoảng cách
giữa hai đ-ờng thẳng. Vị trí t-ơng đối của đ-ờng thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu 7b (1 điểm):
Trang 3 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham kho,.. file
word









Số phức.
Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất và một số yếu tố liên quan.
Sự tiếp xúc của hai đ-ờng cong.
Hệ ph-ơng trình mũ và logarit.
Tổ hợp, xác suất, thồng kê.
Bất đẳng thức. Cực trị của biểu thức đại số.

Dựa vào đó Nhóm Cự Môn chúng tôi xin trân trọng giới thiệu tới bạn đọc bộ sách:
Các bài giảng trọng tâm Môn Toán (gồm 3 tập)

miêu tả chi tiết ph-ơng pháp giải cho các dạng toán th-ờng gặp trong các đề thi tốt

nghiệp THPT, đại học và cao đẳng môn Toán.
Với môn Toán 10 phần kiến thức trọng tâm:
Đại số bao gồm các ch-ơng III, ch-ơng IV, ch-ơng V cùng một chút kiến thức
của ch-ơng II.
Hình học có một phần kiến thức của ch-ơng I, ch-ơng II, ch-ơng III.
Từ đó, cuốn Các bài giảng trọng tâm Toán 10 đ-ợc chia thành 2 phần:
Phần I: Đại số, bao gồm các chủ đề:
Chủ đề 1 - Hàm số
Chủ đề 2 - Ph-ơng trình và hệ ph-ơng trình bậc nhất
Chủ đề 3 - Bất đẳng thức
Chủ đề 4 - Ph-ơng trình bậc hai
Chủ đề 5 - Bất ph-ơng trình bậc hai
Chủ đề 6 - Hệ ph-ơng trình bậc hai
Chủ đề 7 - Ph-ơng trình, bất ph-ơng trình và hệ chứa dấu trị tuyệt đối
Chủ đề 8 - Ph-ơng trình, bất ph-ơng trình và hệ vô tỉ
Phần II: Hình học, bao gồm các chủ đề:
Chủ đề 1 - Vectơ trong mặt phẳng
Chủ đề 2 - Đ-ờng thẳng và các bài toán liên quan
Chủ đề 3 - Đ-ờng tròn và các bài toán liên quan
Chủ đề 4 - Elíp và các bài toán liên quan
Chủ đề 5 - Hypebol và các bài toán liên quan
Chủ đề 6 - Parabol và các bài toán liên quan

Tr-ớc mỗi phần nhỏ đều có:
Trang 4 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham kho,.. file
word


A. Kiến thức cần nhớ: Nhắc lại các nội dung kiến thức cơ bản mà các em học sinh
cần nhớ.

B. Ph-ơng pháp giải các dạng toán liên quan: Chia theo các chủ đề và ở đó
mỗi dạng toán đều đ-ợc trình bày theo phong cách thuật toán d-ới dạng
các b-ớc thực hiện cùng thí dụ minh hoạ ngay sau đó. Cuối mỗi thí dụ th-ờng
có nhận xét để giúp các em học sinh củng cố kiến thức.
C. Các bài toán chọn lọc: Bao gồm các ví dụ có tính tổng hợp cao và đ-ợc
trích ra từ các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng.
Với phong cách trình bày nh- vậy, cuốn tài liệu sẽ giúp tăng chất l-ợng bài giảng
cho các thầy, cô giáo và với các em học sinh nó sẽ cung cấp một bộ giáo trình hoàn
chỉnh về mặt kiến thức, dễ đọc, dễ hiểu.
Để cuốn tài liệu ngày càng hoàn hảo hơn Nhóm Cự Môn chúng tôi rất mong nhận
đ-ợc những ý kiến đóng góp quý báu của bạn đọc gần xa.
Chủ biên Lê Hồng Đức

Trang 5 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham kho,.. file
word


Mục lục
lời nói đầu
phần I: Đại số
ch-ơng I

hàm số bậc nhất và bậc hai
A. Kiến thức cần nhớ....................................................... .. ... ... ... ... ... .............7
B Ph-ơng pháp giải các dạng toán liên quan.................... . ... ... ... ... .. .10

Đ 1: Hàm số ........ ........ ........ ... ... ... ... ........... ........ ........ ........ ....... ... ... ... ..10
Đ 2: Hàm số bậc nhất ........ ........ ........ .... ... ... ... ... ....... ........ ........ ........ .......26
Đ 3: Hàm số bậc hai ........ ........ ........ ........ ........ ........ ... ... ... ... ... ........ ....... .32
C. Các bài toán chọn lọc .............................................................. ... . ....... ... 38

ch-ơng II

ph-ơng trình và hệ ph-ơng trình
A. Kiến thức cần nhớ.................................................. ... ... ..... ... ... ... .............43
B Ph-ơng pháp giải các dạng toán liên quan............... ... ... ... ........ ... .48

Đ 1:
Đ 2:
Đ 3:
Đ 4:
Đ 5:

Đại c-ơng về ph-ơng trình ... ........ ........ ........ ........ ........ .. ... ... ........ ....48
Ph-ơng trình bậc nhất và bậc hai một ẩn...... ........ ........ ........ ..... ....... 53
Một số ph-ơng trình quy về ph-ơng trình bậc nhất và bậc hai...... ........ ....71
Ph-ơng trình và hệ ph-ơng trình bậc nhất nhiều ẩn. ... ... ... ... .......... ....... 93
Hệ ph-ơng trình bậc hai hai ẩn...... ........ ........ ........ ...... ... ... ... ... .... .... 101

Trang 6 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham kho,.. file
word


C. Các bài toán chọn lọc .................................. ............................... ....... ... 114

ch-ơng IV

bất đẳng thức và bất ph-ơng trình
A. Kiến thức cần nhớ............................................... ... .......... ... ... ... .............129
B Ph-ơng pháp giải các dạng toán liên quan....... ... ... ... ............... ... .133

Đ 1:
Đ 2:
Đ 3:
Đ 4:
Đ 5:
Đ 6:
Đ 7:

Bất đẳng thức ...... ..... ........ ...... ..... ........ ...... ..... ........ ...... ....133
Bất ph-ơng trình .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ...154
Bất ph-ơng trình và hệ bất ph-ơng trình bậc nhất một ẩn . ... ... ... ... ...... 156
Dấu của nhị thức bậc nhất .................................................................... 162
Bất ph-ơng trình và hệ bất ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn ... ... ... ... ... ..... 168
Dấu của tam thức bậc hai ..................................................................... 171
Một số ph-ơng trình, bất ph-ơng trình quy về bậc hai...... ........ . ... ... .....188

C. Các bài toán chọn lọc .................................... ... ... ... ......................... ....... ... 194

ch-ơng V

cung và Góc l-ợng giác công thức l-ợng giác
A. Kiến thức cần nhớ.................................................... ... . ... ... ... ... .............219
B Ph-ơng pháp giải các dạng toán liên quan............ ... ... ... ......... ... . 222
C. Các bài toán chọn lọc .............................................................. . ........ ... 255

phần II: hình học
ch-ơng I

vectơ

A. Kiến thức cần nhớ...................................................... ... ...... ... ... ............. 267
B Ph-ơng pháp giải các dạng toán liên quan............... ... ... ... ...... ... . 271

Đ 1: Vectơ ........ ....... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..... ... . ... ... ... ... ... . 271
Đ 2: Hệ trục toạ độ ........ ........ .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ....... ... ... ... ... 287
C. Các bài toán chọn lọc ................................................ ................. ....... ... 296

ch-ơng II

tích vô h-ớng của hai vectơ và ứng dụng
A. Kiến thức cần nhớ....................................................... ... . ... ... ... ............. 305
B Ph-ơng pháp giải các dạng toán liên quan.................... ... ... ... . ... . 307

Đ 1: Giá trị l-ợng giác của một góc bất kì .. ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... .. 307
Đ 2: Tích vô h-ớng của hai vectơ ........ ....... ... ... ... . . ... ... ... ...... ... ... ... ... . 309
Trang 7 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham kho,.. file
word


Đ 3: Hệ thức l-ợng trong tam giác ........ ........ ........ ....... ... ... ... ... ... ... ... .... 322
C. Các bài toán chọn lọc ........................ ......................................... ....... ... 327

ch-ơng III

ph-ơng pháp toạ độ trong mặt phẳng
A. Kiến thức cần nhớ..................................... ... ................... ... ... ... ............. 337
B Ph-ơng pháp giải các dạng toán liên quan. ... ... ... .................... ... . 347

Đ 1:
Đ 2:

Đ 3:
Đ 4:
Đ 5:
Đ 6:

Đ-ờng thẳng ....... ........ ........ .... ... ... ... ... ... ... ...... . ... ... ... ... ........ 347
Đ-ờng tròn ...... ..... ... ... ... ... ... ... ... ..... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... 359
Đ-ờng Elíp. ........ ........ ...... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 377
Đ-ờng Hypebol....... ........ .... ...... ..... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... 389
Đ-ờng Parabol.... ........ ........ ... ... ... ... ........... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ..... 399
Ba đ-ờng Côníc.... ........ ........ .... ... ... ... ... ... ... ... ...... ... ... ... ... ..... .... 408

C. Các bài toán chọn lọc ................................................. ............... ....... ... 410

mục lục........ ............ ............ ....... ............ ..... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 335
XIN TRCH DN MT PHN CA B TI LIU NY

CHNG 1

HM S BC NHT V BC HAI

A. KIN THC CN NH

I. HM S
1.

TP XC NH CA HM S

Vi mt hm s y = f(x), ta cú:
D = {x | y tn ti},

khi ú D gi l tp xỏc nh ca hm s.
2.

S BIN THIấN CA HM S

nh ngha: Cho hm s y = f(x) xỏc nh trờn khong (a, b).
1. Mt hm s y = f(x) gi l tng hay ng bin trong khong (a, b) nu vi x1, x2
bt k thuc khong ú ta cú:
x1 < x2 f(x1) < f(x2).
2. Mt hm s y = f(x) gi l gim hay nghch bin trong khong (a, b) nu vi x1,
x2 bt k thuc khong ú ta cú
x1 < x2 f(x1) > f(x2).
Trang 8 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham kho,.. file
word


3.

TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.
 Hàm số y = f(x) được gọi là hàm chẵn nếu với mọi xD ta có:

 x  D
.

 f ( x)  f ( x)


Hàm số y = f(x) được gọi là hàm lẻ nếu với mọi xD ta có:

 x  D
.

 f ( x)   f ( x)

NhËn xÐt:


4.

Hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
Hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng.

TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Định nghĩa 1: Đường thẳng x = a là trục đối xứng của đồ thị y = f(x)
 với phép biến đổi toạ độ:

X  x  a
x  X  a
 

Y  y
y Y
hàm số Y = F(X) là hàm số chẵn.
5.

TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Định nghĩa: Điểm I(a; b) là tâm đối xứng của đồ thị y = f(x)
 với phép biến đổi toạ độ:

X  x  a
x  X  a
 

Y  y  b
y Y b
hàm số Y = F(X)b là hàm số lẻ.

II. HÀM SỐ BẬC NHẤT
Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y = ax + b, trong đó a, b là các hằng số và a 
0.
Cho hàm số:
y = ax + b, với a  0.
Miền xác định D = .
Sự biến thiên: là hàm số đơn điệu.
Cụ thể:
 Với a > 0, hàm số đồng biến.
 Với a < 0, hàm số nghịch biến.
Trang 9 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file
word


Bảng biến thiên:
Với a > 0
Với a < 0
x
x

-
+
-
+
+
+
y
y
-
-
Đồ thị: đồ thị của hàm bậc nhất là một đường thẳng (d), do đó chỉ cần xác định hai điểm
bất kỳ thuộc (d) ta sẽ có được đồ thị của (d).
 Nếu b = 0, đồ thị của (d) đi qua gốc toạ độ O và điểm A(1, a).


Nếu b  0, đồ thị của (d) đi qua hai điểm B(0, b) và C(

a>0

C

y

y=ax+b

B
a

y=ax

A
O 1

x

y

b
, 0).
a

a<0

B
a

A

O

1

C
x

Hệ số góc: hệ số a được gọi là hệ số góc của đường thẳng (d).

 Chú ý:



Cho hai đường thẳng (d1) và (d2):
(d1): y = a1x + b1 với a1  0,
(d2): y = a2x + b2 với a2  0.
(d1) // (d2)  a1 = a2 và b1  b2.
(d1) cắt (d2)  a1  a2.

III. HÀM SỐ BẬC HAI
Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y = ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là các
hằng số và a  0.
Nhận xét rằng:





Từ đó, nếu đặt:
 = b2  4ac, p = 

b
b2  b 2
b  b2  4ac

 2   + c = x   
.
2a 4a  4 a
4a
2a 

2

2
ax2 + bx + c = a  x  2 x.


b
và q = 
2a
4a

thì hàm số y = ax2 + bx + c có dạng y = a(x  p)2 + q.
Như vậy, nếu gọi (P0): y = ax2 thì để có được đồ thị của parabol y = ax2 + bx + c ta tịnh
tiến hai lần như sau:
1. Tịnh tiến (P0) sang phải p đơn vị nếu p > 0, sang trái p đơn vị nếu p < 0, ta
nhận được đồ thị hàm số y = a(x  p)2 gọi là (P1).
2. Tịnh tiến (P1) lên trên q đơn vị nếu q > 0, xuống dưới q đơn vị nếu q < 0, ta
nhận được đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c.
Trang 10 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file
word


th hm s bc hai: th ca hm s l mt Parabol (P) cú nh S(
nhn ng thng x =

b
lm trc i xng v:
2a

Hng b lừm lờn trờn nu a > 0.
Hng b lừm xung di nu a < 0.

T th hm s bc hai, ta suy ra bng bin thiờn:
Vi a > 0
x

-

y

+

b
2a
-


4a

Vy, ta cú kt lun:
o Hm s nghch
khong (-; o

o


b
,
) v
2a
4a

+

x

+

y

Vi a < 0

b
2a

4a
-

-

-
bin

+

-

Vy, ta cú kt lun:
trờn o Hm s ng bin trờn

b
).

2a

khong (-;-

b
).
2a

Hm s ng bin trờn khong o

Hm s nghch bin trờn

b
(; +).
2a

khong (-

Khi x=-

b
hm s t cc tiu
2a

ymin=f(-

o

Khi x=-

b
)=2a
4a

b
; +).
2a

b
hm s t cc i
2a

ymax=f(-


b
)=2a
4a

Để vẽ đồ thị hàm số bậc hai chúng ta không thực hiện các phép tịnh tiến từ đồ thị hàm số
y = ax2 mà thực hiện nh- sau:
Lấy ba điểm chủ đạo, gồm đỉnh S và hai điểm A, B đối xứng với nhau qua S.
Nối ASB để đ-ợc một góc rồi thực hiện vẽ đ-ờng cong parabol lựon theo đ-ờng
góc này.
Ta có các tr-ờng hợp:
Vi a > 0 thỡ:
y
y
y

(P)
B

A
-/4a

O



S
-b/2a

-b/a

-b/2a

O

-b/2a

-b/2a

O
-b/a

x

(P)
B

A

S

Vi a < 0 thỡ:
y
O

(P)
B

A

-b/a

x

-/4a

x

S

y

y

-b/a

-b/a
Trang 11
- xChia s,Ocung -b/2a
cp ti
liu, giỏo
-/4a
-/4aỏn, S thi, sỏch tham kho,.. file
S
S
-b/a
x
word
B
-b/2a
B
O
A
A
x

(P)

(P)

(P)

A

B

Nhận xét chung:




> 0 Parabol ct trc honh ti hai im phõn bit.
= 0 Parabol tip xỳc vi trc honh.
< 0 Parabol khụng ct trc honh.

B PHNG PHP GII CC DNG TON LIấN QUAN

Đ1. HM S
Dạng toán 1: Tỡm tp xỏc nh ca hm s
Phng phỏp thc hin
Ta la chn mt trong hai phng phỏp sau:
Ph-ơng pháp 1: Tỡm tp D ca x f(x) cú ngha, tc l tỡm:
D = {x | f(x) }.
Ph-ơng pháp 2: Tỡm tp E ca x f(x) khụng cú ngha, khi ú tp xỏc nh ca
hm s l D = \E.

Chỳ ý:

Thụng thng f(x) cho bi biu thc i s thỡ vi:



f1 ( x ), f 2 ( x ) có nghĩa
f1 ( x )
iu kin l

.
f2 ( x)
f2 ( x) 0
f1 ( x ) có nghĩa
f(x) = 2 k f1 ( x ) (k ) iu kin l
.
f1 ( x ) 0
f(x) =

Thí dụ 1. Tỡm tp xỏc nh ca cỏc hm s:
x 1
a. y = 2
.
b. y =
x 2x 3

x 1 +

x 2 3x 2 .

Gii
a. Hm s xỏc nh khi:

x 1
.
x 3

x22x 3 0

Vy, tp xỏc nh ca hm s l D =

b. Hm s xỏc nh khi:

\{3, 1}.

Trang 12 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham kho,.. file
word


 x  1
x 1  0
 x  1
x  2

 
  x  2  
 2
( x  1)( x  2)  0
 1  x  1
 x  3x  2  0
 x  1

Vậy, tập xác định của hàm số là D = [1; 1][2; +).

 Chú ý:

1
.
x3
rồi khẳng định hàm số xác định khi x + 3  0  x  3 và do đó tập
D = \{3}. Đây là lời giải sai vì phép biến đổi hàm số không phải là

phép biến đổi tương đương.

Trong câu a), nếu các em học sinh biến đổi hàm số về dạng y =

ThÝ dô 2. Tìm tập xác định của các hàm số:

1
.
2  3x 
1  2x

a. y =

 1
víi x  1

b. y =  x  3
.
 2  x víi x  1


 Giải
a. Hàm số xác định khi:

2  3x  0
x  2 / 3
1
 
x< .


2
x  1 / 2
1  2 x  0
1

Vậy, tập xác định của hàm số là D =  ;  .
2

b. Hàm số xác định khi:

 x  3  0 víi x  1
 x  3 víi x  1
x  1
 
 
.

2  x  0 víi x  1
 x  2 víi x  1
x  1
Vậy, ta được D =

 Nhận xét:

.

Như vậy, trong thí dụ trên:
 Ở câu a), miêu tả điều kiện có nghĩa của biểu thức trong dấu căn ở
dạng đơn và ở mẫu số.

 Ở câu b), chúng ta gặp dạng hàm số hợp.
ThÝ dô 3. Tìm m để hàm số sau xác định trên đoạn [1; 3]:
y = 1  2 x 2  mx  m  15 .

 Giải
Hàm số nghĩa khi:
1  2x2 + mx + m + 15  0  2x2 + mx + m + 15  1.
(1)
Trang 13 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file
word


Bài toán được chuyển về việc tìm m để (1) nghiệm đúng với x  [1; 3].
Điều kiện cần: Bất phương trình nghiệm đúng với x[1; 3]
 Nghiệm đúng với x = 1, x = 2

 9  m  8
| 2m  17 | 1  1  2m  17  1 
 


22  m = 8.
| 3m  23 | 1  1  3m  23  1  8  m  
3

Vậy, với m = 8 là điều kiện cần để (1) nghiệm đúng với x  [1; 3].
Điều kiện đủ: Với m = 8, ta có:
(1)  2x2  8x + 7  1  1  2x2  8x + 7  1
2
2



2 x  8 x  8  0
( x  2)  0
  2
  2
 1  x  3.

2 x  8 x  6  0 
x  4x  3  0

Vậy, với m = 8 thoả mãn điều kiện đầu bài.

D¹ng to¸n 2: Xét sự biến thiên của hàm số
Phương pháp thực hiện
Ta lựa chọn một trong hai phương pháp sau:
Ph-¬ng ph¸p 1: Sử dụng định nghĩa.
Ph-¬ng ph¸p 2: Thực hiện theo các bước:
B-íc 1: Lấy x1, x2(a, b) với x1  x2 ta thiết lập tỉ số:
A=

f ( x1 )  f ( x2 )
.
x1  x2

B-íc 2: Khi đó:
 Nếu A > 0 với mọi x1, x2(a, b) và x1  x2 thì hàm số
đồng biến trên (a, b).
 Nếu A < 0 với mọi x1, x2(a, b) và x1  x2 thì hàm số
nghịch biến trên (a, b).

ThÝ dô 1. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số:
a. y = f(x) = x + 3.
b. y = f(x) = x2 + x + 1.

 Giải
a. Với x1, x2 
và x1  x2 ta có:
f ( x1 )  f ( x2 ) ( x1  3)  ( x2  3)
A=
=
=1>0
x1  x2
x1  x2
Vậy, hàm số đồng biến.
b. Với x1, x2 
và x1  x2 ta có:

Trang 14 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file
word


f ( x1 )  f ( x2 ) ( x12  x1  1)  ( x22  x2  1)
A=
=
= x1 + x2 + 1.
x1  x2
x1  x2
Khi đó:




1
1
thì A > 0 suy ra hàm số đồng biến trên ( ; +).
2
2
1
1
Nếu x1, x2 <  thì A < 0 suy ra hàm số nghịch biến trên (;  ).
2
2
Nếu x1, x2 > 

 Chú ý:

1. Với hàm số y = f(x) = ax + b, a  0, thì:
Lấy x1, x2 
A=

và x1  x2 ta có:

f ( x1 )  f ( x2 ) (ax1  b)  (ax2  b)
=
= a.
x1  x2
x1  x2

Khi đó:
 Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến trên .

 Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến trên .

2. Với hàm số y = f(x) = ax2 + bx + c, a  0, thì:
Lấy x1, x2 

và x1  x2 ta có:

f ( x1 )  f ( x2 ) (ax12  bx1  c)  (ax22  bx2  c)
A=
=
x1  x2
x1  x2
b
= a(x1 + x2 + ).
a
Khi đó:
a. Với a > 0, ta có:


Nếu x1, x2 > 
(



b
 + ).
2a

Nếu x1, x2 < 


b
thì A > 0 nên hàm số đồng biến trên
2a

b
thì A < 0 nên hàm số nghịch biến trên (;
2a

b
).
2a

b. Với a < 0, ta có:

Trang 15 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file
word




Nếu x1, x2 > 
(



b
 + ).
2a

Nếu x1, x2 < 


b
thì A < 0 nên hàm số nghịch biến trên
2a

b
thì A > 0 nên hàm số đồng biến trên (;
2a

b
).
2a

ThÝ dô 2. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số:
a. y = f(x) = x3 + 2x + 8.
b. y = f(x) = x3 + 3x2 + 7x + 1.

 Giải

a. Với x1, x2 
A

và x1  x2 ta có:
=

f ( x1 )  f ( x2 )
x1  x2

=

( x13  2 x1  8)  ( x23  2 x2  8)
=
x1  x2

( x13  x23 )  (2 x1  2 x2 )
x1  x2
= x12  x22 + x1x2 + 2 =

1
1
(x1 + x2)2 + ( x12  x22 ) + 2 > 0, x.
2
2

Vậy, hàm số đồng biến trên .
b. Với x1, x2 
và x1  x2 ta có:
f ( x1 )  f ( x2 ) ( x13  3x12  7 x1  1)  ( x23  3x22  7 x2  1)
A=
=
x1  x2
x1  x2

( x13  x23 )  3( x12  x22 )  7( x1  x2 )
= x12  x22 + x1x2 + 3x1 + 3x2 + 7
x1  x2
1
1

= (x1 + x2)2 + ( x12  x22 ) + 3(x1 + x2) + 7
2
2
1
1
5
= [(x1 + x2)2 +6(x1 + x2) + 9] + ( x12  x22 ) +
2
2
2
1
1
5
= [(x1 + x2) + 3]2 + ( x12  x22 ) +
> 0, x.
2
2
2
=

Vậy, hàm số đồng biến trên

.

ThÝ dô 3. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số:
Trang 16 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file
word


 Giải

x2  x  1
b. y = f(x) =
.
x 1

2x  1
a. y = f(x) =
.
3x  1

a. Viết lại hàm số dưới dạng:
5
2
y=
+
.
3 3(3x  1)
1
Với x1, x2  \{ } và x1 < x2 ta có:
3
3x1 < 3x2  3x1  1 < 3x2  1  3(3x1  1) < 3(3x2  1)
2
2
5
5
5
5

>


+
>
+
3 3(3x1  1) 3 3(3x2  1)
3(3x1  1) 3(3x2  1)
 f(x1) > f(x2).
1
Vậy, hàm số luôn nghịch biến trên \{ }.
3
b. Viết lại hàm số dưới dạng:
1
.
y  x
x 1
Với x1, x2  \{1} và ở về cùng một phía so với 1, ta có:

1  
1 
 x1  x  1    x2  x  1 
f ( x1 )  f ( x2 ) 
1
2
 


A
x1  x2
x1  x2



 1
1 


 x1  1 x2  1 
x1  x2
x1  x2
 x1  x2  
1
 x1  1 x2  1  1 

>0
x1  x2
 x1  1 x2  1

 x1  x2   

Vậy, hàm số luôn đồng biến trên

\{1}.

ThÝ dô 4. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số:
a. y = f(x) =

 Giải

a. Với x1, x2 

x2  2 .

b. y = f(x) =

x2  2 x  3 .

và x1  x2 ta có:

Trang 17 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file
word


x 2  2  x22  2
f ( x1 )  f ( x2 )
= 1
x1  x2
x1  x2

A=
=

( x12  2)  ( x22  2)
( x1  x2 )( x  2  x  2)
2
1

2
2

=

x1  x2
x  2  x22  2
2
1

.

Khi đó:
 Nếu x1, x2 > 0 thì A > 0 suy ra hàm số đồng biến trên (0; +).
 Nếu x1, x2 < 0 thì A < 0 suy ra hàm số nghịch biến trên (; 0).
b. Với x1, x2 
và x1  x2 ta có:
A=

x12  2 x1  3  x22  2 x2  3
x1  x2

f ( x1 )  f ( x2 )
=
x1  x2

( x12  2 x1  3)  ( x22  2 x2  3)

=

( x1  x2 )

x1  x2  2
x  2 x1  3  x22  2 x2  3

2
1



x12  2 x1  3  x22  2 x2  3



=

.

Khi đó:
 Nếu x1, x2 > 1 thì A > 0 suy ra hàm số đồng biến trên (1; +).


Nếu x1, x2 < 1 thì A < 0 suy ra hàm số nghịch biến trên (; 1).

ThÝ dô 5. Cho hàm số:
ax
.
x2
a. Với a = 1, hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số trên (2; +).
b. Tìm a để hàm số đồng biến trên (2; +).

y = f(x) =

 Giải

Với x1, x2  (2; +) và x1  x2 ta có:

ax1
ax2

x  2 x2  2
f ( x1 )  f ( x2 )
2a
A=
= 1
=
.
x1  x2
( x1  2)( x2  2)
x1  x2
a. Với a = 1, suy ra:
A < 0 với mọi x1, x2(2; +) và x1  x2.
Vậy, với a = 1 hàm số nghịch biến trên (2; +).
b. Để hàm số đồng biến trên (2; +) điều kiện là:
A > 0 với mọi x1, x2(2; +) và x1  x2  2a > 0  a < 0.
Trang 18 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file
word


Vậy, với a < 0 thoả mãn điều kiện đầu bài.

D¹ng to¸n 3: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số
Phương pháp thực hiện
Ta thực hiện theo các bước sau:
B-íc 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó:

 Nếu D là tập đối xứng (tức là xD  xD), ta thực hiện tiếp bước
2.
 Nếu D không phải là tập đối xứng (tức là xD mà xD), ta kết luận
hàm số không chẵn cũng không lẻ.
B-íc 2: Xác định f(x) , khi đó:


Nếu f(x) = f(x) kết luận hàm số là hàm chẵn.




Nếu f(x) = f(x) kết luận hàm số là hàm lẻ.
Ngoài ra kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

ThÝ dô 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
x 4  3x 2  1
x2  1
a. y = f(x) =
.
b. y = f(x) =
.
x 1
x2  4
x2  1
c. y = f(x) =
.
d. y = f(x) = |x|3(x21).
x

 Giải

a. Vì tập xác định D = \{1} không phải là tập đối xứng nên hàm số không chẵn,
không lẻ.
b. Tập xác định D = \{2}  là tập đối xứng.
Xét:
(  x )4  3(  x )2  1 x 4  3x 2  1
f(–x) =
=
= f(x).
(  x )2  4
x2  4
Vậy, hàm số chẵn.
c. Tập xác định D = \{0}  là tập đối xứng. Xét:
(  x )2  1
x2  1
f(–x) =
=–
= –f(x)
x
x
Vậy, hàm số lẻ.
d. Tập xác định D =
 là tập đối xứng. Xét:
f(–x) = |–x|3[(–x)21] = |x|3(x21) = f(x).
Vậy, hàm số chẵn.

ThÝ dô 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
Trang 19 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file
word

a.

y  f ( x)  1  x  1  x . .

3

b. y = f(x) =

2 x  3 

3

2x  3

 Giải

a. Tập xác định D = [1; 1]  là tập đối xứng. Xét:
f(–x) = 1  (  x ) + 1  (  x ) = 1  x + 1  x = f(x).
Vậy, hàm số chẵn.
b. Hàm số xác định trên D =
là tập đối xứng. Ta có:
f(x) = 3 2(  x )  3  3 2(  x )  3 =  3 2 x  3 + 3 2 x  3 = f(x).
Vậy, hàm số là chẵn.

ThÝ dô 3. Xác định m để hàm số y = f(x) = x3 + (m21)x2 + m1 là hàm lẻ.

 Giải
Hàm số xác định trên D =

là tập đối xứng.
Khi đó, để hàm số là lẻ điều kiện là:

m 2  1  0

f(–x) = –f(x), m  

m  1  0

 m = 1.

Vậy, với m = 1 thoả mãn điều kiện đề bài.
n

 Chú ý: Với hàm đa thức bậc n dạng: y = f(x) =  a x
i 0

i

i

thì:

 Nếu các hệ số bậc lẻ bằng 0 thì hàm số là hàm chẵn.
 Nếu các hệ số bậc chẵn bằng 0 thì hàm số là hàm lẻ.
 Nếu tồn tại ít nhất một hệ số bậc chẵn và một hệ số bậc lẻ khác 0
thì hàm số không chẵn cũng không lẻ.
1
ThÝ dô 4. Cho hàm số y = f(x) =
. Tuỳ theo m hãy xét tính

(m  1) x 2  mx  1
chẵn, lẻ của hàm số.

 Giải
Ta xét các trường hợp:
Trường hợp 1: Với m = 0, ta được:
y=

1
.
x 1
2

Hàm số này xác định trên D =

\{1, 1} là tập đối xứng và có:

1
1
f(x) =
= 2
= f(x),
2
( x)  1 x  1
do đó, nó là hàm chẵn.
Trang 20 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file
word


Trường hợp 2: Với m = 1, ta được:

y=

1
.
x 1

Hàm số này xác định trên D =
không lẻ.

\{1} là tập không đối xứng do đó hàm số không chẵn,

Trường hợp 3: Với m  0  m  1.
Khi đó, hàm số g(x) = (m + 1)x2 + mx  1 không chẵn cũng không lẻ do đó hàm số y =
f(x) cũng không chẵn, không lẻ.
Kết luận:
 Với m = 0, hàm số là chẵn.
 Ngoài ra nó không chẵn, không lẻ.

ThÝ dô 5. Cho a, b 

, xác định tất cả các hàm số f(x) sao cho:
f(ax) + f(x) = b, với x  .

(1)

 Giải
a
a
a
x suy ra x = t và ax =

+ t. Khi đó:
2
2
2
a
a
(1)  f( + t) + f( t) = b, t 
2
2
b
b
a
a
 f( + t) + f( t) = 0, t  .
2
2
2
2
b
b
a
a
Đặt g(t) = f( + t) , suy ra g(t) = f( t) . Khi đó:
2
2
2
2
Đặt t =

(2)

(2)  g(t) + g(t) = 0, tR  g(t) = g(t), t 
 g(t) là hàm lẻ trên .

Vậy hàm số f(x) = g(x

b
a
)+
với g(x) là hàm lẻ tuỳ ý trên
2
2

.

D¹ng to¸n 4: Sơ lƣợc về phép tịnh tiến
Phương pháp thực hiện
Sử dụng kết quả: Trong mặt phẳng toạ độ, cho (G) là đồ thị của hàm số y = f(x), p và q là
hai số tuỳ ý. Khi đó:
1. Đồ thị hàm số y = f(x) + q có được khi tịnh tiến (G)
 Lên trên q đơn vị nếu q > 0.
 Xuống dưới q đơn vị nếu q < 0.
2. Đồ thị hàm số y = f(x  p) có được khi tịnh tiến (G)
 Sang phải p đơn vị nếu p > 0.
 Sang trái p đơn vị nếu p < 0.
Trang 21 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file
word


2  3x

2
. Hỏi muốn có đồ thị hàm số y =
thì phải tịnh
x
x
tiến (H) như thế nào ?

ThÝ dô 1. Cho (H): y =

 Giải
Ta có:
y=

2  3x
2
=
 3.
x
x

Vậy, muốn có đồ thị của hàm số này ta cần tịnh tiến (H) xuống dưới 3 đơn vị.

ThÝ dô 2. Hãy lựa chọn phép tịnh tiến song song với trục Oy để nhận được đồ thị
x2  2 x  3
x2  7
hàm số y =
từ đồ thị (H): y =
2 x
2 x

 Giải
Ta có:

x 2  2 x  3  2(2  x ) x 2  2 x  3
x2  7
y=
=
=
2.
2 x
2 x
2 x
Vậy, muốn có đồ thị của hàm số này ta cần tịnh tiến (H) xuống dưới 2 đơn vị.



Chú ý: Các em học sinh hẳn sẽ thắc mắc về lí do xác định được phép biểu
x2  7
diễn trên cho hàm số y =
, để trả lời câu hỏi này thông thường
2 x
chúng ta lựa chọn cách trình bày, giả sử:
x2  7
y=
= f(x) + b
2 x
x 2  (b  2) x  3  2b
x2  2 x  3
x2  7


=
+b=
.
2 x
2 x
2 x
Bằng việc đồng nhất hệ số, ta suy ra:

1  1

 b = 2.
0  b  2
 7  3  2b

Vậy, ta được:

x2  7
y=
= f(x)2.
2 x
Do đó, đồ thị của hàm số được suy ra bằng phép tịnh tiến (H) theo Oy
xuống dưới 2 đơn vị.

D¹ng to¸n 5: Trục đối xứng của đồ thị hàm số
Trang 22 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file
word


Phương pháp thực hiện
1. Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = f(x) nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng,

ta thực hiện theo các bước sau:
B-íc 1: Với phép biến đổi toạ độ

X  x  a
x  X  a
 

Y  y
y Y
hàm số có dạng:
Y = f(X + a)  Y = F(X)
(1)
B-íc 2: Nhận xét rằng hàm số (1) là hàm số chẵn.
B-íc 3: Vậy, đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng.
2. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số y = f(x) nhận đường thẳng x = a làm trục
đối xứng, ta thực hiện theo các bước sau:
B-íc 1: Với phép biến đổi toạ độ

X  x  a
x  X  a
 

Y  y
y Y
hàm số có dạng:
Y = f(X + a)  Y = F(X)
(1)
B-íc 2: Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = a làm trục đối xứng
 hàm số (1) là hàm số chẵn  tham số .
B-íc 3: Kết luận.

3. Tìm phương trình đường cong đối xứng với (C): y = f(x) qua đường thẳng y = a, ta
thực hiện theo các bước sau:
B-íc 1: Gọi (H) là đường cong đối xứng với (C): y = f(x) qua đường y = a.
B-íc 2: Khi đó, với mỗi M(x, y)(H)
 M1(x1; y1)(C) sao cho M đối xứng với M1 qua đường thẳng y = a
  x1, y1 thoả mãn:

 y1  f ( x1 )

 x1  x
 y  y  2a
 1
B-íc 3:

(I)

Khử x1, y1 từ hệ (I) ta được phương trình của đường cong (H).

ThÝ dô 1. Tìm trục đối xứng của đồ các thị hàm số:
a. y = x2 + 4x + 3.
b. y = x4 + 2x2 + 2.

 Giải
a. Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng là x = a.
Khi đó, với phép biến đổi toạ độ:

Trang 23 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file
word

X  x  a
x  X  a
 

Y  y
y Y
hàm số:
Y = (X + a)2 + 4(X + a) + 3 là hàm số chẵn.
Ta có:
Y = (X + a)2 + 4(X + a) + 3 = X2 + 2(a + 2)X + a2 + 4a + 3.
Hàm số (1) là hàm số chẵn
a+2=0a=–2
Vậy, đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng x + 2 = 0.
b. Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng là x = a.
Khi đó, với phép biến đổi toạ độ:

(1)

X  x  a
x  X  a
 

Y  y
y Y
hàm số:
Y = (X + a)4 + 2(X + a)2 + 2 là hàm số chẵn
Ta có:
Y = (X + a)4 + 2(X + a)2 + 2
= X4 + 4aX3 + (6a2 + 2)X2 + (4a3 + 4a)X + 2a + 2
Hàm số (1) là chẵn:

 4a  0

 

3
 4a  4a  0

(1)

 a = 0.

Vậy, đồ thị hàm số có trục đối xứng là trục tung.

ThÝ dô 2. Cho hàm số:
y = x4 + 4mx32(m1)x22mx + 1.
Tìm m để đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy.

 Giải

Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy là x = a (a  0).
Khi đó, với phép biến đổi toạ độ:

X  x  a
x  X  a
 

Y  y
y Y
hàm số:

Y = (X + a)4 + 4m(X + a)3 – 2(m–1)(X + a)2 – 2m(X + a) + 1 là chẵn.
Ta có:
Y = (X + a)4 + 4m(X + a)3 – 2(m – 1)(X + a)2 – 2m(X + a) + 1
= X4 + (4a + 4m)X3 + (6a2 + 12ma – 2m + 2)X2 +
+ (4a3 + 12ma2 – 4ma + 4a – 2m)X +
+ a4 + 4ma2–2(m–1)a2–2ma + 1.

(1)

Trang 24 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file
word


Hàm số (1) chẵn:

 4a  4m  0

 

a  m

 

3
2
4a  12ma  4ma  4a  2m  0
4m  2m  3m  0
m 0
1  13
.

 4m2 + 2m  3 = 0  m =
4
1  13
Vậy, với m =
thoả mãn điều kiện đầu bài.
4
3

2

D¹ng to¸n 6: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số
Phương pháp thực hiện
1. Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = f(x) nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng, ta thực
hiện theo các bước sau:
B-íc 1: Với phép biến đổi toạ độ

X  x  a


Y  y  b

x  X  a

y Y b

hàm số có dạng:
Y + b = f(X + a)  Y = F(X)
(1)
B-íc 2: Nhận xét rằng hàm số (1) là hàm số lẻ.
B-íc 3: Vậy, đồ thị hàm số nhận điểm I(a, b) làm tâm đối xứng.

2. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số y = f(x) nhận điểm I(a, b) làm tâm đối
xứng, ta thực hiện theo các bước sau:
B-íc 1: Thực hiện phép biến đổi toạ độ

X  x  a
x  X  a
 

Y  y  b
y Y b
hàm số có dạng:
Y + b = f(X + a)  Y = F(X)
(1)
Đồ thị hàm số nhận I(a, b) làm tâm đối xứng
 hàm số (1) là hàm số lẻ  tham số .
B-íc 3: Kết luận.
3. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = f(x) đối xứng qua điểm I(a, b), ta thực
hiện theo các bước sau:
B-íc 1: Lấy hai điểm A(xA, y(xA)) và B(xB, y(xB)) thuộc đồ thị hàm số.
B-íc 2: Hai điểm A và B đối xứng qua điểm I(a, b)
B-íc 2:

 x A  x B  2a
 toạ độ A và B.
 y A  yB  2b

 

Trang 25 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo,.. file
word