Tuyển chọn bài giảng luyện môn toán lớp 11 (khoảng 450 trang)

lê hồng đức v-ơng ngọc
lê viết hoà lê hữu trí lê bích ngọc

các bài giảng trọng tâm theo
ch-ơng trình chuẩn

toán 11


Trang 2 - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham
khảo,.. file word


lời nói đầu

Bộ giáo dục và Đào tạo đã công bố H-ờng dẫn ôn tập thi môn Toán THPT và
Cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán, đề thi đại học và cao đẳng môn Toán,
cụ thể:
cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT

I. Phần chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm)
Câu 1 (3 điểm):
Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số.
Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều
biến thiên của hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị
hàm số. Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho tr-ớc, t-ơng giao giữa
hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đ-ờng thẳng)
Câu 2 (3 điểm):
Hàm số, ph-ơng trình, bất ph-ơng trình mũ và logarit.
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
Bài toán tổng hợp.

Câu 3 (1 điểm): Hình học không gian (tổng hợp): tính diện tích xung quanh của hình nón
tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích của khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn
xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
II. Phần riêng (3 điểm)
1. Theo ch-ơng trình chuẩn:
Câu 4a (2 điểm):
Xác định toạ độ của điểm, vectơ Mặt cầu.
Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng, mặt phẳng.
Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí t-ơng đối của
đ-ờng thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu 5a (1 điểm):
Số phức: môđun của số phức, các phép toán trên số phức. Căn bậc hai của số
thực âm. Ph-ơng trình bậc hai hệ số thực có biệt thức âm.
ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
2. Theo ch-ơng trình nâng cao:
Câu 4b (2 điểm): Ph-ơng pháp toạ độ trong không gian
Xác định toạ độ của điểm, vectơ Mặt cầu.
Viết ph-ơng trình mặt phẳng, đ-ờng thẳng.
Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến đ-ờng thẳng, mặt phẳng, khoảng
cách giữa hai đ-ờng thẳng.
Vị trí t-ơng đối của đ-ờng thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu 5b (1 điểm):
Số phức: môđun của số phức, các phép toán trên số phức. Căn bậc hai của số
phức. Ph-ơng trình bậc hai hệ số phức. Dạng l-ợng giác của số phức.
Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất và một số yếu tố liên quan.
Sự tiếp xúc của hai đ-ờng cong.
Trang 3 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham
kho,.. file word

Hệ ph-ơng trình mũ và logarit.
ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
Cấu trúc của một đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng
I. Phần chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm)
Câu 1 (2 điểm):
Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số.
Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều
biến thiên của hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị
hàm số. Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho tr-ớc, t-ơng giao giữa
hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đ-ờng thẳng)
Câu 2 (2 điểm):
Ph-ơng trình, bất ph-ơng trình và hệ đại số.
Công thức l-ợng giác, ph-ơng trình l-ợng giác.
Câu 3 (1 điểm):
Tìm giới hạn.
Tìm nguyên hàm. Tính tích phân.
ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
Câu 4 (1 điểm): Hình học không gian (tổng hợp): quan hệ song song, quan hệ vuông góc của
đ-ờng thẳng, mặt phẳng. Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ
tròn xoay; tính thể tích của khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn
xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
Câu 5 (1 điểm): Toán tổng hợp.
II. Phần riêng (3 điểm)
1. Theo ch-ơng trình chuẩn:
Câu 6a (2 điểm): Ph-ơng pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian
Xác định toạ độ của điểm, vectơ.
Đ-ờng tròn, elíp, mặt cầu.
Viết ph-ơng trình mặt phẳng, đ-ờng thẳng.
Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí t-ơng đối của
đ-ờng thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.

Câu 7a (1 điểm):
Số phức.
Tổ hợp, xác suất, thồng kê.
Bất đẳng thức. Cực trị của biểu thức đại số.
2. Theo ch-ơng trình nâng cao:
Câu 6b (2 điểm): Ph-ơng pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian
Xác định toạ độ của điểm, vectơ.
Đ-ờng tròn, ba đ-ờng cônic, mặt cầu.
Viết ph-ơng trình mặt phẳng, đ-ờng thẳng.
Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến đ-ờng thẳng, mặt phẳng. Khoảng cách
giữa hai đ-ờng thẳng. Vị trí t-ơng đối của đ-ờng thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.
Câu 7b (1 điểm):
Số phức.
Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất và một số yếu tố liên quan.
Trang 4 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham
kho,.. file word







Sự tiếp xúc của hai đ-ờng cong.
Hệ ph-ơng trình mũ và logarit.
Tổ hợp, xác suất, thồng kê.
Bất đẳng thức. Cực trị của biểu thức đại số.

Dựa vào đó Nhóm Cự Môn chúng tôi xin trân trọng giới thiệu tới bạn đọc bộ sách:
Các bài giảng trọng tâm Môn Toán (gồm 3 tập)

miêu tả chi tiết ph-ơng pháp giải cho các dạng toán th-ờng gặp trong các đề thi tốt
nghiệp THPT, đại học và cao đẳng môn Toán.
Với môn Toán 11 phần kiến thức trọng tâm:
Đại số và Giải tích có một phần kiến thức của ch-ơng I (ph-ơng trình l-ợng
giác), ch-ơng II, một phần kiến thức của ch-ơng III (giới hạn của hàm số),
ch-ơng IV.
Hình học gồm kiến thức của ch-ơng II, ch-ơng III.
Từ đó, cuốn Các bài giảng trọng tâm Toán 11 đ-ợc chia thành 2 phần:
Phần I: Đại số và Giải tích, bao gồm các chủ đề:
Chủ đề 1 - Ph-ơng trình l-ợng giác cơ bản
Chủ đề 2 - Các dạng ph-ơng trình l-ợng giác th-ờng gặp
Chủ đề 3 - Các ph-ơng pháp giải ph-ơng trình l-ợng giác
Chủ đề 4 - Tổ hợp, xác suất, thống kê
Chủ đề 5 - Giới hạn của hàm số
Chủ đề 6 - Đạo hàm và các bài toán liên quan
Phần II: Hình học, bao gồm các chủ đề:
Chủ đề 1 - Đại c-ơng về đ-ờng thẳng và mặt phẳng
Chủ đề 2 - Hai đ-ờng thẳng song song
Chủ đề 3 - Đ-ờng thẳng song song với mặt phẳng
Chủ đề 4 - Hai mặt phẳng song song
Chủ đề 5 - Vectơ trong không gian
Chủ đề 6 - Hai đ-ờng thẳng vuông góc
Chủ đề 7 - Đ-ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng
Chủ đề 8 - Hai mặt phẳng vuông góc
Chủ đề 9 - Khoảng cách

Tr-ớc mỗi phần nhỏ đều có:
A. Kiến thức cần nhớ: Nhắc lại các nội dung kiến thức cơ bản mà các em học sinh
cần nhớ.

Trang 5 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham
kho,.. file word


B. Ph-ơng pháp giải các dạng toán liên quan: Chia theo các chủ đề và ở đó
mỗi dạng toán đều đ-ợc trình bày theo phong cách thuật toán d-ới dạng
các b-ớc thực hiện cùng thí dụ minh hoạ ngay sau đó. Cuối mỗi thí dụ th-ờng
có nhận xét để giúp các em học sinh củng cố kiến thức.
C. Các bài toán chọn lọc: Bao gồm các ví dụ có tính tổng hợp cao và đ-ợc
trích ra từ các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng.
Với phong cách trình bày nh- vậy, cuốn tài liệu sẽ giúp tăng chất l-ợng bài giảng
cho các thầy, cô giáo và với các em học sinh nó sẽ cung cấp một bộ giáo trình hoàn
chỉnh về mặt kiến thức, dễ đọc, dễ hiểu.
Để cuốn tài liệu ngày càng hoàn hảo hơn Nhóm Cự Môn chúng tôi rất mong nhận
đ-ợc những ý kiến đóng góp quý báu của bạn đọc gần xa.
Chủ biên Lê Hồng Đức

Trang 6 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham
kho,.. file word


Mục lục
lời nói đầu
phần I: Đại số và giải tích
Ch-ơng I:

hàm số l-ợng giác và ph-ơng trình l-ợng giác

A. Kiến thức cần nhớ....................................................... .. ... ... ... ... ... .................7
B Ph-ơng pháp giải các dạng toán liên quan.................... . ... ... ... ... .14

Đ 1:
Đ 2:
Đ 3:
Đ 4:

Các hàm số l-ợng giác.... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. .......... .............. ....... 14
Ph-ơng trình l-ợng giác cơ bản.......................... ............................................. 24
Một số ph-ơng trình l-ợng giác đơn giản ....................... ........... .... 34
Một số ph-ơng pháp giải ph-ơng trình l-ợng giác....................... . .... .... 45

C. Các bài toán chọn lọc .................................... ... ... ... ............................. ....... ... 64
Ch-ơng II: tổ hợp và xác suất
A. Kiến thức cần nhớ....................................................... .. ... ... ... ... ... ............... 83
B Ph-ơng pháp giải các dạng toán liên quan.................... . ... ... ... ... ... . 90

Đ 1:
Đ 2:
Đ 3:
Đ 4:
Đ 5:
Đ 6:

Hai quy tắc đến cơ bản ....................................... ... ... ... ... ... ............. ....... ... 90
Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.............................. ... ... ... ... ... .................... ... 95
Công thức nhị thức Niutơn ............... ..... ..... ...................................... ... ...... 114
Biến cố và xác suất của biến cố.... ...................................... ... ............. .... ... 121
Các quy tắc tính xác suất.... ...................................... ... ............. .......... .... .. 123
Biến ngẫu nhiên rời rạc .......... ...................................... ... ............. .......... ....126

C. Các bài toán chọn lọc .................................... ... ... ... ................................... ... 129
Ch-ơng III: dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân
A. Kiến thức cần nhớ....................................................... .. ... ... ... ... ... ............. 147
B Ph-ơng pháp giải các dạng toán liên quan.................... . ... ... ... ... .. .149

Đ 1:
Đ 2:
Đ 3:
Đ 4:

Ph-ơng pháp quy nạp toán học................................. ..... ....................... .... .. 149
Dãy số ...................................................................... ..... ....................... ....... 153
Cấp số cộng .......................................................... ..... .......................... ..... .. 162
Cấp số nhân .. ........................................................ ..... ......................... . .. 168
C. Các bài toán chọn lọc .................................... ... ... ... ......................... ......... ... 174
Trang 7 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham
kho,.. file word


Ch-ơng IV: giới hạn
A. Kiến thức cần nhớ....................................................... .. ... ... ... ... ... ............. 183
B Ph-ơng pháp giải các dạng toán liên quan.................... . ... ... ... ... .. .190

Đ 1: Giới hạn dãy số ................................................... ..... ............................ .... .. 190
Đ 2: Giới hạn hàm số ................................................... ..... ........................... .... .. 200
Đ 3: Hàm số liên tục...... ....................................... ........ ........ ..... .... .... .... ..... 230
C. Các bài toán chọn lọc .................................... ... ... ... ........................... ....... ... 238
Ch-ơng V: đạo hàm
A. Kiến thức cần nhớ....................................................... .. ... ... ... ... ... ............. 251
B Ph-ơng pháp giải các dạng toán liên quan................... . ... ... ... ... .. . 256

Đ 1: Đạo hàm .............................. .... .............. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..... ....... 256
Đ 2: Vi phân .................................................................................. .... ...... .. ...... .. 287
Đ 3: Đạo hàm cấp cao .................................................................... .... ..... .. ...... .. 289
C. Các bài toán chọn lọc .................................... ... ... ... ......................... ...... .. ... 298

phần II: hình học
Ch-ơng I:

đ-ờng thẳng và mặt phẳng trong không gian
Quạn hệ sonh song

A. Kiến thức cần nhớ....................................................... .. ... ... ... ... ... ............. 313
B Ph-ơng pháp giải các dạng toán liên quan.................... . ... ... ... ... .. .321

Đ 1:
Đ 2:
Đ 3:
Đ 4:

Đại c-ơng về đ-ờng thẳng và mặt phẳng......... .................................. ......... . 321
Hai đ-ờng thẳng song song ........................................................ ... .............. 333
Đ-ờng thẳng song song với mặt phẳng....................................... .................. 338
Hai mặt phẳng song song ........................................................ .... ................ 341

C. Các bài toán chọn lọc .................................... ... ... ... ......................... ........ ... 348
Ch-ơng II: vectơ trong không gian

quan hệ vuông góc trong không gian
A. Kiến thức cần nhớ....................................................... .. ... ... ... ... ... ............. 359
B Ph-ơng pháp giải các dạng toán liên quan.................... . ... ... ... ... .. .364

Đ 1:
Đ 2:
Đ 3:
Đ 4:
Đ 5:

Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ ............. ................... 364
Hai đ-ờng thẳng vuông góc với nhau.................... .... ..... .. ...... .. ........ ....... 395
Đ-ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng................. .... ..... .. ...... .. ... .... ....... 401
Hai mặt phẳng vuông góc...................................... .... ..... .. ......... .. ...... .......407
Khoảng cách ............. ............. .............................. .... ..... .. .. ...... .. ...... ......411

C. Các bài toán chọn lọc .................................... ... ... ... ................... ...... ....... ... 421
mục lục................................... ... ... ... ... ... ............. ... ... ............. ... ... ....... ... ...... 447

Trang 8 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham
kho,.. file word


XIN TRCH DN MT PHN NI DUNG TI LIU NY

phần I: đại số và giải tích
ch-ơng 1

hàm số l-ợng giác và
ph-ơng trình l-ợng giác

A. Kiến thức cần nhớ

I. các hàm số l-ợng giác
1.

Hàm tuần hoàn

Hàm số f(x) xác định trên tập hợp D gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số d-ơng T sao cho
với mọi x D ta có:
xT D và x + T D
(1)
f(x + T) = f(x)
(2)
Số nhỏ nhất (nếu có) trong các số T có các tính chất trên gọi là chu kì cơ sở của hàm tuần
hoàn f(x).

Chú ý: (Các đấu hiệu để biết hàm số f(x) không phải là hàm tuần hoàn): Hàm
số f(x) không phải là hàm tuần hoàn khi một trong các điều kiện sau
bị vi phạm:
a. Tập xác định của hàm số là tập hữu hạn.
b. Tồn tại số a sao cho hàm số không xác định với x > a hoặc x < a.
c. Ph-ơng trình f(x) = k có nghiệm nh-ng số nghiệm hữu hạn.
d. Ph-ơng trình f(x) = k có vô số nghiệm sắp thứ tự:
...< xn < xn + 1 <...
mà |xn xn + 1| 0 hay .
Trang 9 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham
kho,.. file word


2.

hàm số l-ợng giác biến số thực

2.1.

Hàm số y = sinx

Ta có:



Hàm số y = sinx là hàm số lẻ trên .
Hàm số y = sinx tuần hoàn với chu kì 2.
Xét hàm số y = sinx trên [0; ].
Chiều biến thiên: Dựa vào đ-ờng tròn l-ợng giác ta đ-ợc:
x 0
x
/2


/2
1

y 0
0
y
0

1
Đồ thị:
y

0

/2
1

0


0

1
3

2



/2

O /2

2

3 x

1 1 với mọi x.
Từ đây, ta có nhận xét quan trọng là sinx
2.2.

Hàm số y = cosx

Ta có:


Hàm số y = cosx là hàm số chẵn trên .
Hàm số y = cosx tuần hoàn với chu kì 2.
Xét hàm số y = cosx trên [0; ].
Chiều biến thiên: Dựa vào đ-ờng tròn l-ợng giác ta đ-ợc:
x 0
x
/2


/2
y 1
0
y
0

1
1
Đồ thị:
y

0
1

/2
0

1

1
3

2

/2

O /2



3
2

x

1
Từ đây ta có nhận xét quan trọng là cosx 1 với mọi x.
2.3.

Hàm số y = tanx

y

Ta có:

Trang 10 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham
/2
kho,.. file word

3/2 x
O /2
3/2




Hàm số y = tanx là hàm số lẻ

trên \{ + k, k }.
2
Hàm số y = tanx tuần hoàn với
chu kì .

Xét hàm số y = tanx trên [0; ).
2
Chiều biến thiên: Dựa vào đ-ờng tròn l-ợng giác ta đ-ợc:
x 0
x
/2
/2
+

y
y
0

Đồ thị: hình trên.

0
0

/2
+

Chú ý: Trong hệ trục toạ độ Oxy các đ-ờng thẳng có ph-ơng trình x = 2


2.4.

+ k,

k

đ-ợc gọi là các đ-ờng tiệm cận của đồ thị hàm số y = tanx.

Hàm số y = cotx

y

Ta có:


Hàm số y = cotx là hàm số lẻ
3/2

trên \{k, k }.
3/2
/2
O

/2
Hàm số y = cotx tuần hoàn với
chu kì .

Xét hàm số y = cotx trên (0; ].
2
Chiều biến thiên: Dựa vào đ-ờng tròn l-ợng giác ta đ-ợc:
x 0
x
0
/2
/2
/2
+

+
y
y
0
0

Đồ thị: hình trên.

Chú ý: Trong hệ trục toạ độ Oxy các đ-ờng thẳng có ph-ơng trình x = k,

x



k

đ-ợc gọi là các đ-ờng tiệm cận của đồ thị hàm số y = cotx.

II. Ph-ơng trình l-ợng giác cơ bản
1.

Ph-ơng trình sinx = m

Ta biện luận theo các b-ớc sau:
B-ớc 1: Nếu m > 1 ph-ơng trình vô nghiệm.
B-ớc 2: Nếu m 1, khi đó đặt m = sin, ta đ-ợc:
Trang 11 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham
kho,.. file word


x 2k
sinx = sin
,k .
x 2k
Đặc biệt: Ta có các kết quả:
sinx = 0 x = k, k .


sinx = 1 x =
+ 2k, k .

sinx = 1 x = + 2k, k
2
2
2.

Ph-ơng trình cosx = m

Ta biện luận theo các b-ớc sau:
B-ớc 1: Nếu m > 1 ph-ơng trình vô nghiệm.
B-ớc 2: Nếu m 1, khi đó đặt m = cos, ta đ-ợc:
x 2k
cosx = cos
,k .
x 2k
Đặc biệt: Ta có các kết quả:

cosx = 0 x =
+ k, k .
2
cosx = 1 x = 2k, k .
cosx = 1 x = + 2k, k
3.

.

.

Ph-ơng trình tanx = m

Ta biện luận theo các b-ớc sau:

Đặt điều kiện:

cosx 0 x
+ k, k .
2
Xét hai khả năng:
Khả năng 1: Nếu m đ-ợc biểu diễn qua tan của góc đặc biệt, giả sử , khi đó ph-ơng
trình có dạng:
tanx = tan x = + k, k .
Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn đ-ợc qua tan của góc đặc biệt, khi đó đặt m =
tan, ta đ-ợc:
tanx = tan x = + k, k .
hoặc sử dụng kí hiệu x = arctanm + k, k .
Trong cả hai tr-ờng hợp ta đều kết luận ph-ơng trình có một họ nghiệm.

Nhận xét: Nh- vậy, với mọi giá trị của tham số ph-ơng trình luôn có nghiệm.
4.

Ph-ơng trình cotx = m

Ta biện luận theo các b-ớc sau:
Đặt điều kiện:
sinx 0 x k, k
Xét hai khả năng:

.

Trang 12 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham
kho,.. file word

Khả năng 1: Nếu m đ-ợc biểu diễn qua cot của góc đặc biệt, giả sử , khi đó ph-ơng
trình có dạng :
cotx = cot x = + k, k .
Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn đ-ợc qua cot của góc đặc biệt, khi đó đặt m =
cot, ta đ-ợc
cotx = cot x = + k, k .
hoặc sử dụng kí hiệu x = arccotm + k, k .
Trong cả hai tr-ờng hợp ta đều kết luận ph-ơng trình có một họ nghiệm.

Nhận xét: Nh- vậy, với mọi giá trị của tham số ph-ơng trình luôn có nghiệm.
III. một số ph-ơng trình l-ợng giác đơn giản
1.

Ph-ơng trình bậc nhất đối với một hàm số l-ợng giác

Chuyển ph-ơng trình về dạng ph-ơng trình l-ợng giác cơ bản.
2.

Ph-ơng trình bậc hai đối với một hàm số l-ợng giác

Đặt hàm số l-ợng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ nếu có (thí dụ t = sinx hoặc t =
cosx, điều kiện t 1), rồi giải ph-ơng trình theo ẩn phụ này.
3.

Ph-ơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Ph-ơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng:
asinx + bcosx = c.
Để giải ph-ơng trình (1) ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

(1)

Cách 1: Thực hiện theo các b-ớc:

B-ớc 1: Kiểm tra:
1. Nếu a2 + b2 < c2 ph-ơng trình vô nghiệm.
2. Nếu a2 + b2 c2, khi đó để tìm nghiệm của ph-ơng trình (1) ta
thực hiện tiếp b-ớc 2.

B-ớc 2: Chia hai vế ph-ơng trình (1) cho a 2 b2 , ta đ-ợc:
a
a b
a
2

Vì (

sinx +

2

)2 + (

b
a b
b
2

2

cosx =

c
a b2
2

)2 = 1 nên tồn tại góc sao cho

a b
a
b
cos ,
sin .
2
2
2
a b
a b2
Khi đó, ph-ơng trình (1) có dạng:
c
sinx.cos + sin.cosx =
2
a b2
a b
2

2

2

2

Trang 13 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham
kho,.. file word


c

sin(x + ) =

.
a b2
Đây là ph-ơng trình cơ bản của hàm số sin.
Cách 2: Thực hiện theo các b-ớc:
x
B-ớc 1: Với cos = 0 x = + 2k, kiểm tra vào ph-ơng trình.
2
x
x
B-ớc 2: Với cos 0 x + 2k, đặt t = tan , suy ra:
2
2
2
2t
1 t
sinx =
và cosx =
.
2

1 t
1 t2
Khi đó, ph-ơng trình (1) có dạng:
2t
1 t2
a.
+
b.
=c
1 t2
1 t2
(c + b)t2 2at + c b = 0.
(2)
B-ớc 3: Giải ph-ơng trình (2) theo t.
Cách 3: Với những yêu cầu biện luận tính chất nghiệm của ph-ơng trình trong (; ), ta có
thể lựa chọn ph-ơng pháp điều kiện cần và đủ.
2

Nhận xét quan trọng:
1. Cách 1 th-ờng đ-ợc sử dụng với các bài toán yêu cầu giải ph-ơng trình và

tìm điều kiện của tham số để ph-ơng trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc giải
và biện luận ph-ơng trình theo tham số.
2. Cách 2 th-ờng đ-ợc sử dụng với các bài toán yêu cầu giải ph-ơng trình và
tìm điều kiện của tham số để ph-ơng trình có nghiệm thuộc tập D với D
[0; 2].
3. Cách 3 th-ờng đ-ợc sử dụng với các bài toán yêu cầu biện luận theo tham
số để ph-ơng trình k có nghiệm thuộc tập D với D[0; 2] .
4. Từ cách giải 1 ta có đ-ợc kết quả sau:
a 2 b2 asinx + bcosx a 2 b2

kết quả đó gợi ý cho bài toán về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số
dạng y = a.sinx + b.cosx, y =

a.sin x b.cos x
và ph-ơng pháp đánh giá cho
c.sin x d.cos x

một số ph-ơng trình l-ợng giác.

Dạng đặc biệt: Ta có các kết quả:


sinx + cosx = 0 x =



sinx cosx = 0 x =


+ k, k
4


+ k, k
4

.
.

Trang 14 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham

kho,.. file word


4.

Ph-ơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx

Ph-ơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx có dạng:
asin2x + bsinx.cosx + ccos2x = d.
(1)
Để giải ph-ơng trình (1) ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:
Cách 1: Thực hiện theo các b-ớc:

B-ớc 1: Với cosx = 0 x = + k, k .
2
Khi đó, ph-ơng trình (1) có dạng a = d.

- Nếu a = d, thì (1) nhận x =
+ k làm nghiệm.
2

- Nếu a d, thì (1) không nhận x =
+ k làm nghiệm.
2

B-ớc 2: Với cosx 0 x + k, k .
2
Chia hai vế của ph-ơng trình (1) cho cos2x 0, ta đ-ợc:
a.tan2x + b.tanx + c = d(1 + tan2x).
Đặt t = tanx, ph-ơng trình có dạng:

(a d)t2 + bt + c d = 0.
(2)
B-ớc 3: Giải ph-ơng trình (2) theo t
Cách 2: Sử dụng các công thức:
1 cos 2x
1 cos 2x
1
sin2x =
, cos2x =
và sinx.cosx = sin2x
2
2
2
ta đ-ợc:
b.sin2x + (c a)cos2x = d c a.
(3)
Đây là ph-ơng trình bậc nhất của sin và cos.

Nhận xét quan trọng:
1. Cách 1 th-ờng đ-ợc sử dụng với các bài toán yêu cầu giải ph-ơng trình và tìm
điều kiện của tham số để ph-ơng trình có nghiệm thuộc tập D.
2. Cách 2 th-ờng đ-ợc sử dụng với các bài toán yêu cầu giải ph-ơng trình và tìm
điều kiện của tham số để ph-ơng trình có nghiệm, vô nghiệm hoặc giải và biện
luận ph-ơng trình theo tham số.
5.

Ph-ơng trình đối xứng đối với sinx và cosx

Ph-ơng trình đối xứng đối với sinx và cosx có dạng:
a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0

hoặc a(sinx cosx) + bsinx.cosx + c = 0.
Để giải ph-ơng trình (1) ta thực hiện theo các b-ớc sau:

B-ớc 1: Đặt sinx + cosx = t, điều kiện t 2 sinx.cosx =

(1)
(1')
t2 1
.
2

Trang 15 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham
kho,.. file word


Khi đó, ph-ơng trình có dạng:
t2 1
at + b
+ c = 0 bt2 + 2at + 2c b = 0. (2)
2
B-ớc 2: Giải (2) theo t và chọn nghiệm t0 thoả mãn điều kiện t 2
Với t = t0, ta đ-ợc:
t


sinx + cosx = t0 2 sin(x + ) = t0 sin(x + ) = 0 .
4
4
2
Đây là ph-ơng trình cơ bản của hàm số sin.

Chú ý:

1. Ta có thể giải (1) bằng cách đặt ẩn phụ z =


x, khi đó ta có:
4


x) = 2 cosz
4
1
1
1
1
1


sinx.cosx = sin2x = sin2( z) = sin( 2z)= cos2z = (2cos2z1)
2
2
2
2
2
4
2

sinx + cosx =

2 cos(

Khi đó, ph-ơng trình ban đầu đ-ợc đ-a về dạng ph-ơng trình bậc 2 đối với cosz.
2. Ph-ơng trình (1') đ-ợc giải t-ơng tự nh- (1) với ẩn phụ:

t = sinx cosx, điều kiện t

2 sinx.cosx =

1 t2
.
2

B Ph-ơng pháp giải các dạng toán liên quan

Đ1. các hàm số l-ợng giác
Dạng toán 1: Tập xác định của hàm số l-ợng giác
Ph-ơng pháp áp dụng
Muốn tìm tập xác định D của hàm số y = f(x) ta lựa chọn một trong hai ph-ơng pháp sau:
Ph-ơng pháp 1. Tìm tập D của x để f(x) có nghĩa, tức là tìm:
D = {x
| f(x) có nghĩa}.
Ph-ơng pháp 2. Tìm tập E của x để f(x) không có nghĩa, khi đó tập xác định của hàm số
là: D = \E.

Chú ý: Với các hàm số l-ợng giác chúng ta cần biết thêm:
1. Hàm số y = sinx xác định trên
và sinx 1 với mọi x.
Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì 2 và nó là hàm số lẻ nên nếu có
sinx = sin x = + 2k hoặc x = + 2k, k .

sinx = 0 x = k, k .

Trang 16 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham
kho,.. file word


sinx = 1 x =


+ 2k, k
2

; sinx = 1 x =


+ 2k, k
2

.

2. Hàm số y = cosx xác định trên
và cosx 1 với mọi x.
Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì 2 và nó là hàm số chẵn nên nếu có:
cosx = cos x = + 2k hoặc x = + 2k, k .

cosx = 0 x =
+ k.
2
cosx = 1 x = 2k, k ; cosx = 1 x = + 2k, k .

3. Hàm số y = tanx xác định trên \{ + k, k }.
2
Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì nên nếu có:
tanx = tan x = + k, k .
4. Hàm số y = cotx xác định trên \{k, k }.
Ngoài ra, từ tính tuần hoàn với chu kì nên nếu có:
cotx = cot x = + k, k .

Thí dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a. y =

1 cos x
.
sin x

b. y =

1 sin x
.
1 cos x

Giải
a. Điều kiện:
sinx 0 x k, k .
Vậy, ta đ-ợc tập xác định của hàm số là D = \{k, k }.
b. Điều kiện:
1 + cosx 0 cosx 1 x + 2k, k .
Vậy, ta đ-ợc tập xác định của hàm số là D = \{ + 2k, k

}.

Thí dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a. y =

3 sin x .

b. y =

1
1 cos x

.

Giải
a. Điều kiện:
3 sinx 0.
Vì sinx 1 nên 3 sinx 2 với mọi x.
Vậy, ta đ-ợc tập xác định của hàm số là D =

.

Trang 17 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham
kho,.. file word


b. Điều kiện:
1 cosx > 0 cosx < 1 cosx 1 x 2k, k .
Vậy, ta đ-ợc tập xác định của hàm số là D = \{2k, k }.

Thí dụ 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a. y = tan(2x +


).
3

b. y = cot(3x


).
4

Giải
a. Điều kiện:




2x +

+ k x
+k ,k
12
3
2
2
Vậy, ta đ-ợc tập xác định của hàm số là D =

b. Điều kiện:

3x k x
+k ,k
12
4
3
Vậy, ta đ-ợc tập xác định của hàm số là D =

.

\{



+k ,k
12
2

}.

\{



+k ,k
12
3

}.

.

Dạng toán 2: Xét tính tuần hoàn của các hàm số l-ợng giác
Ph-ơng pháp thực hiện
1. Để chứng minh hàm số y = f(x) tuần hoàn, ta thực hiện theo các b-ớc:
B-ớc 1: Xét hàm số y = f(x), tập xác định là D, ta cần dự đoán số thực d-ơng T0 sao
cho:
Với mọi x D, ta có:
xT0 D và x + T0 D
(1)
f(x + T0) = f(x)
(2)
B-ớc 2: Vậy hàm số y = f(x) là tuần hoàn.
2. Chứng minh rằng T0 là chu kì của hàm số, tức là chứng minh T0 là số nhỏ nhất (1), (2), ta
thực hiện phép chứng minh bằng phản chứng theo các b-ớc:
B-ớc 1: Giả sử có số T sao cho 0 < T < T0 thoả mãn tính chất (2):
xD, f(x + T) = f(x) ...
mâu thuẫn với giả thiết 0 < T < T0.
B-ớc 2: Mâu thuẫn này chứng tỏ T0 là số d-ơng nhỏ nhất thoả mãn (2).
B-ớc 3: Vậy hàm số y = f(x) là tuần hoàn với chu kì cơ sở T0.
3. Xét tính tuần hoàn của các hàm số l-ợng giác, chúng ta sử dụng các kết quả:
a. Hàm số y = sinx và y = cosx, tuần hoàn với chu kì 2.
Mở rộng: Hàm số y = sin(ax + b) và y = cos(ax + b) với a 0 tuần hoàn với chu kì
2
.
a
Trang 18 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham
kho,.. file word

b. Hàm số y = tanx và y = cotx, tuần hoàn với chu kì .
Mở rộng: Hàm số y = tan(ax + b) và y = cot(ax + b) với a 0 tuần hoàn với chu kì

.
a
c. Cùng với kết quả của định lý:
Định lí: Cho cặp hàm số f(x), g(x) tuần hoàn trên tập M có các chu kì lần l-ợt là a
a
và b với
. Khi đó, các hàm số F(x) = f(x) + g(x), G(x) = f(x).g(x) cũng
b
tuần hoàn trên M.
Mở rộng: Hàm số F(x) = mf(x) + ng(x) tuần hoàn với chu kì T là bội số chung
nhỏ nhất của a, b.

Thí dụ 1. Chứng minh rằng mỗi hàm số đều tuần hoàn với chu kì :
a. y = sin2x.
b. y = 3tan2x + 1.

Giải

Để chứng minh hàm số y = f(x) tuần hoàn với chu kì , ta đi chứng minh:
f(x + k) = f(x) với k , x thuộc tập xác định của hàm số.
a. Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số cosin (cụ thể cos( + 2k) = cos), ta có ngay:
1
1
f(x + k) = sin2(x + k) = [1 cos(2x + 2k)] = (1 cos2x)
2
2

= sin2x = f(x) với mọi x.
b. Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số tang (cụ thể tan( + k) = tan), ta có ngay:
f(x + k) = 3tan2(x + k) + 1 = 3tan2x + 1 = f(x) với mọi x.

Thí dụ 2. Cho hàm số y = f(x) = A.sin(x + ), (A, và là các hằng số; A và
khác 0). Chứng minh rằng với mỗi số nguyên k, ta có:
f(x + k.

Giải

2
) = f(x) với mọi x.


Sử dụng tính chất tuần hoàn của hàm số sin, ta có ngay:
2
2
f(x + k.
) = A.sin[(x + k.
) + ] = A.sin(x + 2k + )


= A.sin(x + ) = f(x) với mọi x.

Thí dụ 3. Hãy xem những hàm số nào trong các hàm số cho d-ới đây là hàm tuần
hoàn và xác định chu kì nhỏ nhất (nếu có) của chúng:
a. f(x) = tan(3x

Giải

).
6

b. f(x) = 2cos2(2x +


).
3

Trang 19 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham
kho,.. file word


a. Hàm số tuần hoàn với chu kì T =


.
3

b. Viết lại hàm số d-ới dạng:
2

f(x) = 2cos2(2x + ) = 1 + cos(4x +
).
3
3
2

Do đó f(x) là hàm tuần hoàn với chu kì

= .
2
4



Chú ý: Rất nhiều học sinh khi thực hiện câu b) đã vội vàng đ-a ra kết luận
rằng "Hàm số tuần hoàn với chu kì T = ".

Dạng toán 3: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số l-ợng giác
Ph-ơng pháp thực hiện
Ta thực hiện theo các b-ớc sau:
B-ớc 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó:
Nếu D là tập đối xứng (tức là x D x D), ta thực hiện tiếp b-ớc
2.
Nếu D không phải là tập đối xứng (tức là x D mà x D), ta kết luận
hàm số không chẵn cũng không lẻ.
B-ớc 2: Xác định f(x) , khi đó:
Nếu f(x) = f(x) kết luận hàm số là hàm chẵn.
Nếu f(x) = f(x) kết luận hàm số là hàm lẻ.
Ngoài ra kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.

Chú ý:

Với các hàm số l-ợng giác cơ bản, ta có:
1. Hàm số y = sinx là hàm số lẻ.
2. Hàm số y = cosx là hàm số chẵn
3. Hàm số y = tanx là hàm số lẻ.
4. Hàm số y = cotx là hàm số lẻ.

Thí dụ 1. Xét tính chất chẵn lẻ của các hàm số sau:
a. y = sinx cosx.
b. y = sinx.cos2x + tanx.

Giải
a. Hàm số xác định trên
là tập đối xứng.
Ta có:
f(x) = sin(x) cos(x) = sinx cosx f(x).
Vậy, hàm số y = sinx cosx không lẻ, không chẵn.

b. Hàm số xác định trên \{ + k, k } là tập đối xứng.
2
Ta có:
Trang 20 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham
kho,.. file word


f(x) = sin(x).cos2(x) + tan(x) = sinx.cos2x tanx
= (sinx.cos2x + tanx) = f(x).
Vậy, hàm số y = sinx.cos2x + tanx là hàm số lẻ.

Thí dụ 2. Xét tính chất chẵn lẻ của các hàm số sau:
a. y = cos (x

Giải
a. Hàm số xác định trên
Ta có:
f(x) = cos (x

).
4

b. y = tan x .

c. y = tanx sin2x.

là tập đối xứng.


) = cos (x + ) f(x).
4
4


) không lẻ, không chẵn.
4

b. Hàm số xác định trên \{ + k, k } là tập đối xứng.
2
Ta có:
f(x) = tanx = tanx = f(x).
Vậy, hàm số y = tanx là hàm số chẵn.

c. Hàm số xác định trên \{ + k, k } là tập đối xứng.
2
Ta có:
f(x) = tan(x) sin(2x) = tanx + sin2x = (tanx sin2x) = f(x).
Vậy, hàm số y = tanx sin2x là hàm số lẻ.

Vậy, hàm số cos (x

Dạng toán 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Ph-ơng pháp thực hiện
Sử dụng các tính chất của các hàm số l-ợng giác cơ bản.

Thí dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
a. y = 2cos(x +


) + 3.
3

b. y = 1 sin x 2 1.

c. y = 4sin x .

Giải
a. Nhận xét rằng:


cos(x + ) 1 1 cos(x + ) 1
3
3

2 + 3 2cos(x + ) + 3 2 + 3 1 y 5
3
Trang 21 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham
kho,.. file word

từ đó, suy ra yMax = 5 và yMin = 1.
b. Ta lần l-ợt có nhận xét:
1 sin x 2 0 y =

1 sin x 2 1 1 yMin = 1.

sin(x2) 1 sin(x2) 1 1 sin(x2) 2





1 sin x 2

2

y = 1 sin x 2 1 2 1 yMax = 2 1.
c. Nhận xét rằng:
sin x 1 1 sin x 1 4 y = 4sin x 4
từ đó, suy ra yMax = 4 và yMin = 4.

Dạng toán 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số l-ợng giác
Ph-ơng pháp thực hiện
1. Với các hàm số l-ợng giác cơ bản, ta có:
a. Hàm số y = sinx

Đồng biến trên khoảng ( + 2k,
2

Nghịch biến trên khoảng ( + 2k,
2
b. Hàm số y = cosx


+ 2k) với k .
2
3
+ 2k) với k .
2



Đồng biến trên khoảng ( + 2k, 2k) với k

.



Nghịch biến trên khoảng (2k, + 2k) với k

.

c. Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng (



+ k, + k) với k
2

2

d. Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng (k, + k) với k

.

.

2. Với các hàm số l-ợng giác phức hợp, để xét sự biến thiên của nó ta sử dụng định nghĩa.
3. Các phép biến đổi đồ thị cơ bản đ-ợc tổng kết theo sơ đồ sau:
y=f(x)

Đối xứng qua Ox

Tịnh tiến theo Ox,
a đơn vị

Tịnh tiến theo Oy,
b đơn vị

Đối xứng qua Oy

y=f(x)

Đối xứng
qua gốc O

y = f(x)

Tịnh tiến theo

y = f(x + a) + b

vectơ v (a, b)
Tịnh tiến theo Ox,
a đơn vị

Đối xứng qua Ox

y=f(x)

y = f(x + a)

Đối xứng qua Oy

Tịnh tiến theo Oy,
b đơn vị

y = f(x) + b

4. Với các hàm số chứa dấu trị tuyệt đối, ta có các kết quả: Từ đồ thị hàm số y = f(x):
Trang 22 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham
kho,.. file word


a. Đồ thị y = f(x) gồm:
Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f(x).
Đối xứng phần đồ thị phía d-ới trục hoành của y = f(x) qua trục hoành.
b. Đồ thị y = f(x) gồm:
Phần bên phải Oy của đồ thị y = f(x).

Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy.
c. Để suy ra đồ thị y = f(x) chúng ta thực hiện liên tiếp hai qui tắc, cụ thể có thể
lựa chọn một trong hai l-ợc đồ sau :


Từ y = f(x) suy ra y = f(x)= g(x) và lại từ y = g(x) cuối cùng suy ra y = g(x)
= f(x).



Từ y = f(x) suy ra y = f(x) = h(x) và lại từ y = h(x) cuối cùng suy ra y = h(x)
= f(x).

d. Đồ thị hàm số y = u(x).v(x) với f(x) = u(x).v(x) gồm:
Phần của đồ thị y = f(x) trên miền u(x) 0.
Đối xứng phần đồ thị y = f(x) trên miền u(x) < 0 qua trục hoành.
e. Đ-ờng cong y = f(x) gồm:
Phần đồ thị từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f(x).
Đối xứng phần đồ thị trên qua trục hoành đ-ợc nửa đ-ờng cong còn lại.

Thí dụ 1. Cho các hàm số f(x) = cosx, g(x) = tanx và các khoảng:
3
),
2
31 33
J3 = (
;
),
4
4

J1 = ( ;


; ),
4 4
452
601
J4 = (
;
).
3
4

J2 = (

Hỏi hàm số nào trong hai hàm số đó đồng biến trên khoảng J1 ? Trên
khoảng J2 ? Trên khoảng J3 ? Trên khoảng J4 ? (Trả lời bằng cách lập
bảng).

Giải
a. Hàm số f(x) = cosx đồng biến trên khoảng J1, và ta có bảng:
x
3/2
0
y
1
Ta có nhận xét:
452
601

2

J4 = (
;
) = (150
; 150 )
3
4
3
4

Trang 23 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham
kho,.. file word


2

; ) hàm số f(x) = cosx đồng biến. Do đó, hàm số f(x) = cosx
3
4
cũng đồng biến trên khoảng J4.
Ta có bảng:
x 2/3
/4
2 /2
y
3 /2

mà trong khoảng (

b. Hàm số g(x) = tanx đồng biến trên khoảng J1, và ta có bảng:
x
3/2
+
y
0
Hàm số g(x) = tanx đồng biến trên khoảng J2, và ta có bảng:
x /4
/4
1
y
1
31 33


Ta có nhận xét J3 = (
;
) = (8 ; 8 + )
4
4
4
4

mà trong khoảng ( ; ) hàm số g(x) = tanx đồng biến. Do đó, hàm số g(x) = tanx
4 4
cũng đồng biến trên khoảng J3 Bảng t-ơng tự nh- trên.

Chú ý:

Chúng ta cũng có thể trình bày về tính đồng biến của các hàm số dựa

trên bảng ghi nhớ nh- sau:
a. Vì hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng:
Đk = (



+ 2k,
+ 2k) với k
2
2



; ) Đ0 = ( , ) (ứng với k = 0)
2 2
4 4
hàm số y = sinx đồng biến trên J2.
15 17
31 33
J3 = (
;
) Đ4 = (
,
) (ứng với k = 4)
2
2
4
4
hàm số y = sinx đồng biến trên J3.
b. Vì hàm số y = cosx đồng biến trên khoảng Đk = ( + 2k, 2k) với k

và:
3
J1 = ( ;
) Đ1 = (, 2) (ứng với k = 1)
2
hàm số y = cosx đồng biến trên J1.
452 601
J4 = (
;
) Đ75 = (151, 150) (ứng với k = 75)
3
4
hàm số y = cosx đồng biến trên J4.

và J2 = (

Trang 24 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham
kho,.. file word


c. Vì hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng Đk = (




+ k,
+ k) với k
2
2

và:

3
3 5
) Đ2 = (
,
) (ứng với k = 2)
2
2
2
hàm số y = tanx đồng biến trên J1.


J2 = ( ; ) Đ0 = ( , ) (ứng với k = 0)
2 2
4 4
hàm số y = tanx đồng biến trên J2.
15 17
31 33
J3 = (
;
) Đ8 = (
,
) (ứng với k = 8)
2
2
4
4
hàm số y = sinx đồng biến trên J3.

J1 = ( ;

Thí dụ 2. a. Từ đồ thị của hàm số y = cosx, hãy suy ra đồ thị của các hàm số
y = cosx + 2, y = cos(x


) và vẽ đồ thị của các hàm số đó:
4

b. Hỏi mỗi hàm số đó có phải là hàm số tuần hoàn không ?

Giải
a. Ta lần l-ợt có:
Tịnh tiến đồ thị của hàm số y = cosx theo trục Oy lên trên 2 đơn vị ta đ-ợc đồ thị
hàm số y = cosx + 2, ta có hình vẽ a).
y
3

y

y = cosx + 2

1
1

/2

/2
O /2

x

y = cosx

y = cos(x
O /2

1




)
4

x

y = cosx
1

Tịnh tiến đồ thị của hàm số y = cosx theo trục
Oxbsang phải một đoạn
ta đ-ợc
Hình
4
Hình a

đồ thị hàm số y = cos(x ), ta có hình vẽ b).

4
b. Mỗi hàm số đó đều là hàm số tuần hoàn.


Thí dụ 3. Xét hàm số y = f(x) = sinx.
a. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên chẵn m ta có f(x + m) = f(x)
với mọi x.
b. Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [1 ; 1].
c. Vẽ đồ thị hàm số đó.
Trang 25 - Chia s, cung cp ti liu, giỏo ỏn, thi, sỏch tham
kho,.. file word