THIẾT KẾ VÀ SỬ DỤNG BÀI TOÁN MỞ TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG” Chuyên ngành LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN Mã số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

Chủ đề 2: Chỉ ra các thao tác tư duy của q trình tư duy
( Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa,
trừu tượng hóa) thơng qua một số ví dụ trong chủ đề Hình học
giải tích trong mặt phẳng.

PHÚ THỌ 5/2017

PHÚ THỌ , NĂM 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

THIẾT KẾ VÀ SỬ DỤNG BÀI TOÁN MỞ
TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ
“PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG”

Chuyên ngành:
LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MƠN TỐN
Mã số:


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phịng Sau đại học, Ban chủ
nhiệm khoa Tốn - Công nghệ , các cán bộ, giảng viên trường Đại học Hùng
Vương , đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành khóa học và trang bị
đầy đủ kiến thức để tôi thực hiện thành công việc nghiên cứu, hồn thiện luận
văn.

Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS. Phan Thị Tình ,
người đã trực tiếp hướng dẫn, truyền đạt kiến thức lý luận và tận tình chỉ bảo
cho tơi nhiều kinh nghiệm q báu trong suốt q trình nghiên cứu hồn
thành luận văn.
Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cơ giáo trong tổ
Tốn cùng các em HS các trường THPT Việt Trì - Phú Thọ, THPT Chuyên
Hùng Vương đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong q trình nghiên cứu và
thực nghiệm.
Cuối cùng tơi xin cảm ơn gia đình và các bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ
tơi trong suốt q trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Mặc dù bản thân đã rất cố gắng trong quá trình nghiên cứu tuy nhiên
luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong q thầy cơ giáo, các
bạn đồng nghiệp quan tâm góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!


MỤC LỤC
Trang
DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT.............................................................iv
DANH MỤC CÁC HÌNH........................................................................................v
MỞ ĐẦU..................................................................................................................1
1. Lí do chọn đề tài................................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu.........................................................................................2
3. Đối tượng nghiên cứu........................................................................................2
4. Phạm vi nghiên cứu...........................................................................................2
5. Giả thuyết khoa học...........................................................................................2
6. Nhiệm vụ nghiên cứu........................................................................................3
7. Phương pháp nghiên cứu...................................................................................3
8. Bố cục đề tài......................................................................................................3
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN...............................................5

1.1. Tư duy, tư duy sáng tạo...................................................................................5
1.1.1. Tư duy.....................................................................................................5
1.1.2. Tư duy sáng tạo.......................................................................................7
1.2. Bài toán mở..................................................................................................10
1.2.1. Các quan niệm về bài tốn mở...............................................................10
1.2.2. Bài tốn mở góp phần phát huy tính sáng tạo, chủ động, tích cực cho học
sinh.................................................................................................................. 17
1.3. Thực trạng việc giảng dạy chủ đề “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” ở
trường phổ thông.................................................................................................19
1.3.1. Cấu trúc và phân phối chương trình nội dung “Phương pháp tọa độ trong
mặt phẳng” trong chương trình Trung học phổ thông......................................19
1.3.2. Những yêu cầu cần đạt khi dạy chủ đề “Phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng” ở trường Trung học phổ thông.............................................................20
1.3.3 Thực trạng việc giảng dạy chủ đề “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
theo hướng sử dụng bài toán mở......................................................................22

i


1.4. Những thuận lợi và khó khăn trong dạy học chủ đề “Phương pháp tọa độ
trong mặt phẳng” theo hướng thiết kế các bài tốn mở........................................24
1.4.1. Thuận lợi................................................................................................24
1.4.2. Khó khăn...............................................................................................25
TĨM TẮT CHƯƠNG 1........................................................................................26
CHƯƠNG 2: THIẾT KẾ VÀ SỬ DỤNG BÀI TOÁN MỞ TRONG DẠY HỌC
CHỦ ĐỀ “PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG”.......................27
2.1. Định hướng thiết kế các bài toán mở............................................................27
2.1.1. Thiết kế bài toán mở phải phù hợp với với nội dung chương trình........27
2.1.2. Thiết kế bài tốn mở phải phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh 27
2.1.3. Thiết kế bài toán mở giúp giáo viên sáng tạo các bài tốn đóng nhằm

phát triển tư duy cho học sinh..........................................................................28
2.2. Thiết kế các bài toán mở trong dạy học chủ đề “Phương pháp tọa độ trong
mặt phẳng”..........................................................................................................29
2.2.1. Thiết kế bài toán mở bằng cách yêu cầu thay đổi một hoặc nhiều giả
thiết từ một bài toán cho trước.........................................................................29
2.2.2. Thiết kế bài toán mở bằng cách thay đổi yêu cầu tìm một kết quả bằng
yêu cầu tìm nhiều kết quả từ một bài tốn đã có..............................................39
2.2.3. Thiết kế bài toán mở bằng cách nêu yêu cầu lập bài toán mới...............43
2.2.4. Thiết kế bài toán mở bằng cách nêu u cầu tìm nhiều lời giải cho một
bài tốn............................................................................................................53
2.3. Một số đề xuất về việc sử dụng bài toán mở trong dạy học chủ đề “Phương
pháp tọa độ trong mặt phẳng”..............................................................................56
2.3.1. Sử dụng các bài tốn mở trong q trình hệ thống lại các kiến thức hoặc
các dạng toán cơ bản nhằm củng cố kiến thức, kỹ năng cho học sinh.............57
2.3.2. Sử dụng trong quá trình sinh hoạt chuyên đề của tổ, nhóm chun mơn
đối với giáo viên..............................................................................................63
TĨM TẮT CHƯƠNG 2........................................................................................67
CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM.........................................................68
3.1. Mục đích thực nghiệm..................................................................................68
3.2. Nội dung thực nghiệm..................................................................................68
3.3. Tổ chức thực nghiệm....................................................................................70
ii


3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm......................................................................71
3.4.1. Đánh giá định lượng..............................................................................71
3.4.2. Đánh giá định tính.................................................................................72
TĨM TẮT CHƯƠNG 3........................................................................................73
KẾT LUẬN CHUNG.............................................................................................74
TÀI LIỆU THAM KHẢO.....................................................................................75

PHỤ LỤC.............................................................................................................PL1

iii


DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT

Chữ viết tắt

Viết đầy đủ

BT

Bài toán

BTM

Bài toán mở

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

HSG

Học sinh giỏi

SBT

Sách bài tập

SGK

Sách giáo khoa

TDST

Tư duy sáng tạo

TH

Trường hợp

THPT

Trung học phổ thông

THCS

Trung học cơ sở

tr.

Trang

VTCP

Vectơ chỉ phương

VTPT

Vectơ pháp tuyến

iv


DANH MỤC CÁC HÌNH

Các hình

Trang

Hình 1

9

Hình 2

13

Hình 3

21

Hình 4

41

Hình 5

42

Hình 6

47

Hình 7

49

Hình 8

50

Hình 9

52

Hình 10

52

Hình 11

52

Hình 12

52

Hình 13

53

Hình 14

54

v


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong giai đoạn hiện nay, khi khoa học và cơng nghệ đang có những
bước tiến nhảy vọt, nền kinh tế hội nhập ở nước ta đang phát triển mạnh mẽ
thì việc địi hỏi ở nguồn nhân lực Việt Nam khơng chỉ có thể lực, tầm vóc tốt
mà cịn cần phải có sự phát triển tồn diện về trí tuệ, có ý chí, năng lực và đạo
đức, có năng lực tự học, tự đào tạo, năng động, chủ động, tự lực, sáng tạo, có
tri thức và kỹ năng nghề nghiệp cao, có khả năng thích ứng và nhanh chóng
tạo được thế chủ động trong mơi trường sống và làm việc [18]. Để đào tạo ra
những con người khơng chỉ giỏi về kiến thức mà cịn chủ động, sáng tạo trong
cơng việc thì ngồi việc xây dựng nội dung chương trình giáo dục thì phương
pháp giáo dục của mỗi người giáo viên có vai trị hết sức quan trọng.
Nghị quyết Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo
dục đã nêu: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng
hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ

năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy
móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để
người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực” [1].
Từ những yêu cầu của xã hội và việc định hướng đổi mới phương pháp
dạy học trong các mơn học nói chung thì việc đổi mới trong cách dạy, cách
học mơn Tốn nói riêng là u cầu cấp thiết. Dạy học BTM là một trong các
cách dạy ngồi phát huy được tính sáng tạo, nó cịn rèn luyện cho HS tính chủ
động, tính tích cực. Ở đây HS không chỉ tham gia giải quyết các BT đã có sẵn
mà cịn được tham gia vào q trình sáng tạo các bài tập.
Trong chương trình mơn Tốn phổ thơng thì nội dung “Phương pháp
tọa độ trong mặt phẳng” là một trong những nội dung quan trọng, nó góp
phần phát triển tư duy cho HS, đặc biệt là tư duy sáng tạo bởi nội dung này
1


chính là cầu nối để HS tìm thấy sự liên hệ giữa Hình học và Đại số, Giải tích.
Các BT về nội dung này thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh
đại học, cao đẳng và chọn HSG… ở mức độ vận dụng cao bởi tính sáng tạo
của nó. Nội dung “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” được đưa vào
chương III trong sách giáo khoa Hình học lớp 10 ở cả chương trình cơ bản và
nâng cao. Thực tế cho thấy, việc thiết kế và sử dụng BTM trong dạy học mơn
Tốn nói chung và dạy học chủ đề “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” nói
riêng chưa được quan tâm đúng mức.
Đã có một số bài báo và các luận văn thạc sĩ, luận án tiến sĩ đề cập đến
BTM nhưng chưa có cơng trình nào đề cập đến việc khai thác và sử dụng các
BTM trong dạy học nội dung “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”. Vì
những lí do trên đây, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu:
Thiết kế và sử dụng bài toán mở trong dạy học chủ đề
“Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”
2. Mục đích nghiên cứu

Đề xuất một số hướng thiết kế và cách thức sử dụng BTM trong dạy
học chủ đề “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” ở trường THPT.
3. Đối tượng nghiên cứu
Quá trình dạy học chủ đề “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” ở
trường THPT.
4. Phạm vi nghiên cứu
Luận văn tập trung nghiên cứu việc thiết kế và sử dụng BTM trong dạy
học chủ đề “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” cho HS khá và giỏi mơn
Tốn.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu GV thiết kế và sử dụng hợp lý BTM trong dạy học chủ đề
“Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” thì sẽ phát huy được tính sáng tạo, sự
2


chủ động, tính tích cực của HS, đồng thời phát triển tư duy cho HS và góp
phần nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề này.
6. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống hóa những nghiên cứu lí luận về BTM
- Khảo sát thực trạng sử dụng BTM trong dạy học chủ đề “Phương
pháp tọa độ trong mặt phẳng”.
- Thiết kế BTM trong dạy học chủ đề “Phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng”.
- Đề xuất cách thức sử dụng BTM trong dạy học chủ đề “Phương pháp
tọa độ trong mặt phẳng”.
- Tiến hành thực nghiệm sư phạm bước đầu minh họa cho tính khả thi,
tính hiệu quả của những đề xuất về việc thiết kế và sử dụng BTM trong dạy
học chủ đề “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng”.
7. Phương pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu, phân tích, tổng hợp,

hệ thống hóa… các tài liệu có liên quan đến đề tài.
+ Phương pháp quan sát: Tiến hành dự giờ, quan sát và điều tra thực
trạng thiết kế và sử dụng BTM trong dạy học chủ đề “Phương pháp tọa độ
trong mặt phẳng”.
+ Phương pháp thực nghiệm sư phạm. Tiến hành thực nghiệm dạy học
một số nội dung thuộc chủ đề “Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng” ở một
số trường THPT nhằm minh họa cho tính khả thi và tính hiệu quả của những
đề xuất trong luận văn.
8. Bố cục đề tài
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, danh mục viết tắt,
luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
3


Chương 2: Thiết kế và sử dụng BTM trong dạy học chủ đề “Phương
pháp tọa độ trong mặt phẳng”.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

4


CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Tư duy, tư duy sáng tạo
1.1.1. Tư duy
a) Khái niệm về tư duy
Tư duy là khái niệm được nhiều ngành khoa học, nhiều nhà nghiên cứu
quan tâm.
Triết học nghiên cứu tư duy dưới góc độ nhận thức: Tư duy là sản
phẩm cao cấp của dạng vật chất hữu cơ có tổ chức cao, đó là bộ não của con

người. Trong quá trình phản ánh hiện thực khách quan bằng những khái niệm,
phán đốn… Tư duy bao giờ cũng có mối liên hệ nhất định với một hình thức
hoạt động của vật chất, với sự hoạt động của não người (dẫn theo [20], tr.11).
Sinh lý học nghiên cứu cơ chế hoạt động thần kinh cao cấp với tư cách
là nền tảng vật chất của các quá trình tư duy ở con người(dẫn theo [20], tr.7):
Tư duy là một hình thức hoạt động của hệ thần kinh, thể hiện qua việc tạo ra
các liên kết giữa các phần tử đã ghi nhớ, được chọn lọc và kích thích chúng
hoạt động để thực hiện sự nhận thức về thế giới xung quanh, định hướng cho
hành vi phù hợp với môi trường sống.
Tâm lý học nghiên cứu diễn biến của quá trình tư duy, mối quan hệ qua
lại cụ thể của tư duy với các khía cạnh khác của nhận thức (dẫn theo [20],
tr.7). Tư duy là một quá trình tâm lý thuộc nhận thức lý tính, là một mức độ
nhận thức mới về chất so với cảm giác và tri giác. Tư duy phản ánh những
thuộc tính bên trong, bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự vât,
hiện tượng mà trước đó ta chưa biết.
Trong q trình xác định sự khác nhau giữa tâm lý người và động vật,
các nhà tâm lý học cũng chỉ ra sự khác nhau căn bản giữa tư duy con người và
hoạt động tâm lý động vật. Đó là tư duy con người sử dụng khái niệm để ghi
5


lại những kết quả trừu tượng hóa; tư duy được ra đời từ lao động và trên cơ sở
sự phát triển của xã hội.
Theo nghĩa từ điển: “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức,
đi sâu vào cái bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những
hình thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán, suy lý” [14].
Qua những quan niệm trên về tư duy có thể hiểu rằng:“Tư duy là sản
phẩm cao cấp của một vật chất hữu cơ đặc biệt, tức là bộ não, qua quá trình
hoạt động của sự phản ánh hiện thực khách quan bằng biểu tượng, khái niệm,
phán đoán,…Tư duy bao giờ cũng liên hệ với một hình thức nhất định của sự

vận động của vật chất với sự hoạt động của não bộ; là quá trình nhận thức,
phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của
sự vật hiện tượng bằng những hình thức như cảm giác, tri giác, biểu tượng,
khái niệm, phán đốn, suy luận” [20].
b) Q trình tư duy
Tư duy là một hoạt động trí tuệ, với quá trình gồm bốn bước cơ bản
sau:
 Bước 1: Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy.
 Bước 2: Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình
thành giả thuyết về cách giải quyết vấn đề.
 Bước 3: Xác minh giả thuyết trong thực tiễn.
 Bước 4: Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng.
Quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể tiến hành các thao tác
trí tuệ: Phân tích – tổng hợp; so sánh – tương tự; khái quát hóa – đặc biệt hóa;
…[20].
*) Phân tích – tổng hợp:
Theo quan điểm của triết học: Phân tích là phương pháp phân chia cái
toàn thể ra thành từng bộ phận, từng mặt, từng yếu tố để nghiên cứu và hiểu
6


được các bộ phận, mặt, yếu tố đó. Tổng hợp là phương pháp dựa vào sự phân
tích và liên kết, thống nhất các bộ phận, mặt, yếu tố, để nhận thức được cái
tồn diện.
Phân tích và tổng hợp có mối quan hệ hữu cơ, hai mặt đối lập của một
quá trình thống nhất. Phân tích được tiến hành theo hướng tổng hợp còn tổng
hợp được dựa trên các kết quả đã phân tích.
Trong hoạt động dạy và học mơn Tốn, phân tích và tổng hợp là thao
tác tư duy được diễn ra thường xuyên và rất quan trọng đặc biệt là trong q
trình giải tốn.

*) So sánh – tương tự
Theo từ điển Tiếng Việt: So sánh là “xem xét cái này với cái kia để thấy
sự giống và khác nhau, hoặc sự hơn kém nhau” [14]. So sánh nhằm mục đích
phát hiện những đặc điểm chung và những đặc điểm riêng khác nhau ở một số
đối tượng, sự kiện. Tương tự là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính
chất và quan hệ của những đối tượng khác nhau.
*) Khái quát hóa – đặc biệt hóa
Khái quát hóa là việc chuyển từ nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã
cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách
nêu đặc điểm chung của các phần tử của tập hợp xuất phát. Đặc biệt hóa là
q trình ngược lại của khái quát hóa, là việc chuyển từ nghiên cứu một tập
hợp đối tượng đã cho về nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong nó.
Khái quát hóa, đặc biệt hóa là các thao tác tư duy thường xuyên được
vận dụng trong dạy học mơn Tốn đặc biệt trong việc hướng dẫn HS tìm tịi
và giải tốn.
1.1.2. Tư duy sáng tạo
a) Khái niệm về tư duy sáng tạo

7


TDST là một trong những loại hình tư duy có vai trị quan trọng trong
dạy học nói chung và dạy học mơn Tốn nói riêng. Khái niệm tư duy sáng tạo
được nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài nước đề cập đến.
Theo các nhà tâm lí học: TDST là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân
đồng thời là hạt nhân cơ bản của giáo dục; là những năng lực tìm thấy những
ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ mới; là một chức năng của kiến
thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá … (dẫn theo [20]).
Theo các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh, Tôn Thân [11]
“TDST là một dạng tư duy độc lập tạo ra ý tưởng mới, độc đáo, có hiệu quả

giải quyết vấn đề cao. Ý tưởng mới được thể hiện ở chỗ phát hiện vấn đề mới,
tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Tính độc đáo của ý tưởng mới thể
hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất”.
Trong cuốn “Sáng tạo Toán học”, G.Polya cho rằng: “Một tư duy gọi là
có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một BT cụ thể nào đó. Có thể coi là
sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải BT sau này. Các
BT vận dụng những phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng mn
màu mn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao, thí dụ: Những lúc cố
gắng của người giải vạch ra được các phương thức giải áp dụng cho những
BT khác. Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng
hạn, lúc ta để lại một BT tuy khơng giải được nhưng tốt vì đã gợi ý cho người
khác những suy nghĩ có hiệu quả” [16].
Trong [10], tác giả V.A.Krutexki cho rằng có thể biểu diễn mối quan hệ
giữa các khái niệm “tư duy tích cực”, “tư duy độc lập” và “tư duy sáng tạo”
dưới dạng những vịng trịn đồng tâm, trong đó tư duy tích cực là cơ sở của tư
duy độc lập, tư duy độc lập là cơ sở của TDST.

8


Tư duy sáng tạo

Tư duy độc lập

Tư duy tích cực

Hình 1
Cụ thể ở HS các mức độ tư duy trên được biểu hiện như sau:
+ Tư duy tích cực: HS chăm chú lắng nghe, cố gắng hiểu, tích cực xây
dựng bài, thực hiện các công việc mà GV yêu cầu.

+ Tư duy độc lập: HS tự đọc, tự tìm hiểu các vấn đề, tự giải quyết các
bài tập hoặc chứng minh vấn đề nào đó.
+ Tư duy sáng tạo: HS tự nêu ra, khám phá vấn đề, tự tìm ra hướng giải
quyết mới trên các kiến thức đã có.
b) Các yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo
+ Tính mềm dẻo: Là khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này
sang hoạt động trí tuệ khác. Trong học tập mơn Tốn, tính mềm dẻo của
TDST được biểu hiện ở việc thực hiện linh hoạt các thao tác tư duy, vận dụng
linh hoạt kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm đã có vào hồn cảnh mới khi có
những yếu tố đã thay đổi, khả năng nhìn nhận ra vấn đề mới trong điều kiện
quen thuộc.
+ Tính nhuần nhuyễn: Là khả năng sử dụng nhiều loại hình tư duy đa
dạng trong phát hiện và giải quyết vấn đề. Trong học tập mơn Tốn, tính
nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo được biểu hiện bởi tính đa dạng về phương
pháp xử lí khi giải tốn, khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh
khác nhau, là khả năng giải quyết một BT một cách thành thạo.
9


+ Tính độc đáo: Là khả năng tìm kiếm được kiến thức mới chưa ai biết,
giải pháp tối ưu. Trong học tập mơn Tốn, tính độc đáo được biểu hiện bởi
khả năng tìm ra hướng mới, lạ để giải quyết vấn đề, khả năng tìm ra những
mối liên hệ, sự liên tưởng và những sự kết hợp mới.
+ Tính thăng hoa: Thể hiện ở sản phẩm tìm được mang tính phát triển,
được ứng dụng rộng rãi (dẫn theo [20]).
1.2. Bài toán mở
1.2.1. Các quan niệm về bài toán mở
BTM là khái niệm đã được nhiều nhà nghiên cứu đề cập đến. Sau đây
là một số quan niệm về BTM:
+) Theo Pehkonen: “BT kết thúc mở đưa ra những tình huống và yêu

cầu HS đưa thêm những giả thiết vào BT để một tính chất nào đó được thỏa
mãn, giải thích các kết quả, tạo ra các BT mới có liên quan hay tổng qt hóa
BT” [22].
+) Theo tác giả Tơn Thân: “Bài tập mở là một dạng bài tập trong đó
điều phải tìm khơng được nêu lên một cách tường minh, người ta phải tìm
hoặc chứng minh tất cả các kết quả có thể có, hoặc phải đốn nhận, phát hiện
các kết luận cần chứng minh [19].
+) Trong [2], tác giả Nguyễn Văn Bàng quan niệm: BTM có 3 tính
chất:
a) BT ngắn dễ hiểu vì thuộc về một lĩnh vực nhận thức quen thuộc đối
với HS.
b) BT không quy về việc áp dụng trực tiếp những thuật toán hay thủ
thuật giải đã biết, cũng khơng có những hướng dẫn về phương pháp
giải, do đó, BT khơng có câu hỏi về chứng minh.

10


c) Người giải phải vận hành các thao tác mò mẫm, dự đoán, biện luận
hoặc phải lựa chọn, điều chỉnh thêm về giả thiết mới có thể tìm
được đầy đủ lời giải và kết quả.
+) Trong [13], tác giả Bùi Huy Ngọc quan niệm BTM về phía giả thiết,
BTM về phía kết luận như sau:
i)

BTM về phía giả thiết là BT mà HS có tham gia vào việc xây
dựng giả thiết hay phải lựa chọn, điều chỉnh thêm về giả thiết.

ii)

BTM về phía kết luận là BT mà khi giải phải mị mẫm, dự đốn,
biện luận nhiều trường hợp...

+) Tác giả Bùi Văn Nghị: “BTM được hiểu là BT mà đáp số của nó
khơng phải là duy nhất, có nhiều phương án khác nhau để giải quyết nó với
các kết quả khác nhau” [12].
Như vậy có nhiều phát biểu khác nhau của nhiều nhà nghiên cứu về
BTM nhưng đều nêu lên đặc trưng của BTM là tính mở ở lời giải, ở câu trả
lời. Ta xét một số ví dụ cụ thể về BTM sau đây để thấy được điều đó:
Ví dụ 1.1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC
có B  3;2  ; C  4;1 và có diện tích bằng 3. Hãy bổ sung thêm yếu tố vào giả
thiết để có thể xác định được tọa độ đỉnh A .
Lời giải của BT:
Giả sử A  x0 ; y0  . Ta có phương trình đường thẳng BC : x  y  5  0 và độ
dài cạnh BC  2 .
Khoảng cách từ A đến BC : h 

S

x0  y0  5
2

x  y0  5 x0  y0  5
1
2 0

.
2
2
2

11

� Diện tích tam giác ABC là


x0  y0  5  6
x0  y0  11
�
�
��
Từ giả thiết S  3 � �
. Như vậy để xác định
x0  y0  5  6
x0  y0  1
�
�

được tọa độ điểm A ta cần thiết lập một phương trình hai ẩn x0 , y0 nữa. Các
yêu cầu có thể thêm là:
1) Điểm A nằm trên đường thẳng nào đó khơng song song hoặc trùng
với đường thẳng BC , chẳng hạn d : x  y  1  0.
2) Trọng tâm của tam giác nằm trên đường thẳng nào đó chẳng hạn

d : x  y  2  0.
3) Trung điểm M của AB hay của AC nằm trên đường thẳng nào đó
chẳng hạn d : x  y  1  0.
4) Các yêu cầu trên hoàn toàn tương tự khi thay đường thẳng bởi đường
2
2

tròn  C  : x  y  5.

Có thể nghĩ theo hướng khác, về dạng của tam giác, các đường trong tam
giác. Chẳng hạn:
5) Tam giác ABC cân tại A hoặc B, C.
6) Tam giác ABC vuông tại A hoặc B, C.
7) Đường trung tuyến BM hoặc CN có phương trình: x  y  2  0.
…
Nhận xét: Câu trả lời của BT là các yếu tố cần bổ sung vào giả thiết.
Rõ ràng đáp số của BT không duy nhất, và các yếu tố cần thêm ở đây tùy theo
cách nghĩ của HS, chẳng hạn: điểm A thuộc đường thẳng, đường trịn nào đó;
trung điểm của cạnh AB thuộc đường thẳng, đường tròn nào đó; trọng tâm
của tam giác ABC thuộc đường thẳng, đường trịn nào đó; dạng của tam giác
ABC , … Để tìm ra câu trả lời cần có sự mị mẫm, dự đốn, … Theo các quan
niệm trên ta có thể thấy đây là một BTM.

12


Ví dụ 1.2: Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy , cho đường thẳng

d : x  y  2m  0 (m là tham số) và đường tròn  C  : x 2  y 2  4 y  4  0 . Có
thể kết luận gì về vị trí tương đối giữa d và  C  ?
Nhận xét: Câu trả lời của BT là các vị trí tương đối có thể xảy ra giữa đường
thẳng d và đường tròn  C  . Ở đây do phương trình đường thẳng d cịn phụ
thuộc tham số m nên các vị trí tương đối giữa d khơng cắt, cắt hay tiếp xúc
với  C  tùy theo các giá trị của m . Đây chính là BTM ở kết luận theo quan
niệm của tác giả Bùi Huy Ngọc.
Lời giải của BT:
Ta có  C  có tâm I  0;2  , bán kính R  2 2 .

Khoảng cách từ I đến d : h 

0  2  2m
2

 2 m 1

TH 1: h  R � m  1  2 � m � �; 1 � 3; � .Ta có d � C   �
m  1
�
TH 2: h  R � �
. Ta có d tiếp xúc với  C  .
m

3
�

TH 3: h  R � m � 1;3 . Ta có d cắt  C  tại 2 điểm phân biệt.
Ví dụ 1.3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC
. Gọi H là chân đường cao hạ từ A ; M , N lần lượt là trung điểm của các
cạnh

BC , AB . Biết đường thẳng

AH : x  2 y  1  0 , đường thẳng

AM : x  y  2  0 , và điểm N  3; 2  . Có thể tìm được tọa độ của các điểm
nào trong hình đã cho? Hãy tìm tọa độ các điểm đó.
Nhận xét: Ở ví dụ trên ta đã thay yêu cầu cụ thể là:
“Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC ” như

Hình 2
13


thơng thường bằng câu hỏi: “Có thể tìm được tọa độ của các điểm nào trong
hình đã cho?”.
Rõ ràng cách hỏi này thể hiện tính “mở” rõ hơn bởi việc tìm được những
điểm nào cịn phụ thuộc vào năng lực, kiến thức của từng HS. Để tìm được
kết quả BT ngồi huy động vốn kiến thức, kinh nghiệm, HS cịn cần phải có
sự suy đốn, mị mẫm. Đây là BTM theo quan niệm của các tác giả Tôn Thân,
Nguyễn Văn Bàng.
Lời giải của BT:
Ta có thể xác định được tọa độ của tất cả các điểm có trên hình.
�x  2 y  1  0
� A  3;1
+) A  AH �AM � Tọa độ điểm A thỏa mãn hệ �
�x  y  2  0

+) N là trung điểm của cạnh AB � B  3; 5 
+) Đường thẳng BC  AH và đi qua B  3; 5  � BC có phương trình:

�3 1 �
2 x  y  1  0 . Từ đó ta tìm thêm được các điểm H � ;  �
, M  1; 1
�5 5 �
+) M là trung điểm BC � C  1;3 .
Ví dụ 1.4: Cho các điểm A  1;2  ; B  2; 1 ; C  4; 3 . Hãy nêu các cách
khác nhau để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Lời giải của BT: Có thể xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác theo các

cách sau:
Cách 1: Gọi I  a; b  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
2
2
�
�IA  IB
Ta có: IA  IB  IC � � 2
2
�IA  IC

2
2
2
2
�
 a  1   b  2    a  2    b  1
�
��
2
2
2
2
a

1

b

2


a

4

b

3








�
�

14


3
1
�3 1�
 ; �
.
Giải hệ được: a   ; b   � I �
2
2
�2 2�

Cách 2: Gọi d1; d 2 là các đường trung trực của các cạnh AB; BC

uuur
�3 1 �
d1 đi qua � ; �và có VTPT là AB  1; 3 nên có phương trình: x  3 y  0 .
�2 2 �
Tương tự phương trình đường thẳng d 2 : 3x  y  5  0 .

�3 1�
.
I là giao điểm của d1; d 2 � I � ;  �
�2 2�
Cách 3: Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác có dạng
x 2  y 2  2ax  2by  c  0  * . Tọa độ các điểm A, B, C thỏa mãn phương

1  4  2a  4b  c  0
�
�
3
1
4  1  4a  2b  c  0 . Giải hệ ta được a   ; b  
trình  * nên có hệ: �
2
2
�
16

3

8

a

6
b

c

0
�

�3 1�
 ; �
.
Từ đó ta có I �
� 2 2�
Cách 4: Gọi d1 là đường thẳng đi qua A và vng góc AB ; d 2 là
đường thẳng đi qua C và vng góc AB ; M là giao điểm của d1; d 2 � M .
Điểm I là trung điểm của A, M � I .
Cách 5: Nhận xét

ABC là tam giác vuông tại B. Suy ra tâm I của

đường tròn này là trumg điểm của cạnh BC � …
Nhận xét: Câu trả lời của BT là các cách khác nhau để xác định tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Rõ ràng câu trả lời của BT là khơng
duy nhất. Việc tìm ra nhiều cách giải khác nhau của cùng một BT phụ thuộc
vào khả năng tư duy của từng HS và phụ thuộc vào các cách nhìn khác nhau.
Đây cũng là một BTM theo các quan niệm trên.

15

Ví dụ 1.5: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho đường tròn

 C  : x2  y 2  4

và đường thẳng  d  : 3 x  4 y  5  0 . Hãy lập các BT về viết

phương trình đường thẳng có liên quan đến đường thẳng  d  và đường tròn

 C .
Lời giải của BT:
+ Chú ý đến điều kiện đường thẳng đi qua tâm của đường tròn  C  ta có thể
lập các BT sau:
BT 1.4.1: Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm của  C  và vng
góc với đường thẳng  d  .
BT 1.4.2: Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm của  C  và song
song với đường thẳng  d  .
BT 1.4.3: Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm của  C  và tạo với
đường thẳng
cos  

1
5 2

 d

một góc bằng  nào đó (Chẳng hạn  thỏa mãn

).

+ Chú ý đến các vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường trịn ta có thể lập
các BT sau:
BT 1.4.4: Viết phương trình đường thẳng song song (vng góc) với
đường thẳng d và tiếp xúc với  C  .
BT 1.4.5:Viết phương trình đường thẳng song song (vng góc) với
đường thẳng d và cắt  C  tại hai điểm A, B thỏa mãn:
+ AB  2 3
+ AB lớn nhất

16


+ Tam giác OAB có chu vi 4  2 3
+ Tam giác OAB có diện tích bằng

3

+ Tam giác OAB có diện tích lớn nhất
+ Tam giác OAB là tam giác vng
+ Tam giác OAB đều
….
Có thể lập các BT tương tự bằng cách thay điều kiện song song (vng góc),
bằng điều kiện đường thẳng tạo với d một góc  nào đó.
Qua các ví dụ trên về BTM ta có thể thấy các quan niệm của các nhà
nghiên cứu về BTM đều có những đặc điểm chung. Đó là tính mở ở câu trả
lời của BT. Nhằm phù hợp với mục đích dạy và học nội dung “Phương pháp
tọa độ trong mặt phẳng”, trong luận văn chúng tôi có sử dụng các quan niệm
của các tác giả Nguyễn Văn Bàng, Tôn Thân, Bùi Huy Ngọc, Bùi Văn Nghị
về BTM.

1.2.2. Bài tốn mở góp phần phát huy tính sáng tạo, chủ động, tích cực
cho học sinh
Trong [19], theo tác giả Tơn Thân: “BTM kích thích óc tị mị khoa học,
đặt HS trước một tình huống có vấn đề với những cái chưa biết, những cái cần
khám phá, giúp HS thấy có nhu cầu, có hứng thú và quyết tâm huy động kiến
thức, kĩ năng, kinh nghiệm và năng lực TDST của bản thân để tìm tịi, phát
hiện các kết quả còn tiềm ẩn trong BT”. Rèn luyện cho HS giải quyết các
BTM cũng góp phần phát triển năng lực phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng
đi mới, tạo ra kết quả mới. Qua đó góp phần bồi dưỡng TDST cho HS.
Theo [12], tác giả Bùi Văn Nghị quan niệm BTM như là một môi
trường tương tác giữa GV và HS. Ở mơi trường tương tác đó HS được tham
gia vào sáng tạo các BT cùng với GV. Qua đó tính nhuần nhuyễn, tính mềm
dẻo của TDST được rèn luyện thêm.
17