Nghiên cứu cấu trúc, phân loại và một số tính chất quang của bán dẫn chấm lượng tử

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong xu thế phát triển về khoa học kỹ thuật và công nghệ, con người không
ngừng tìm kiếm, chế tạo ra những vật liệu mới. Nhằm giúp con người đáp ứng
được nhu cầu phát triển không ngừng trong lĩnh vực này. Vật liệu nano chính là
một trong những lĩnh vực nghiên cứu đỉnh cao sôi động nhất trong thời gian gần
đây. Điều đó được thể hiện bằng số các công trình khoa học, các ứng dụng của
công nghệ nano trong đời sống hiện nay. Tính chất thú vị của vật liệu nano bắt
nguồn từ kích thước của chúng rất nhỏ bé – kích thước nanomet. Đối với vật
liệu khối, độ dài tới hạn của các tính chất rất nhỏ so với độ lớn của vật liệu.
Nhưng đối với vật liệu nano thì điều đó không đúng nên các tính chất khác lạ bắt
đầu từ nguyên nhân này.
Việc phát hiện hay sự ra đời của chấm lượng tử chính là một bước tiến quan
trọng trong việc phát triển lĩnh vực vật liệu cấu trúc nano (vật liệu bán dẫn thấp
chiều). Alexey Ekimov lần đầu tiên phát hiện ra chấm lượng tử vào năm
1981 trong một ma trận thủy tinh. Sau đó Louis E. Brus quan sát thấy chúng
trong dung dịch dạng keo vào năm 1985. Thuật ngữ "chấm lượng tử" được ra
đời vào năm 1988 đặt ra bởi Mark Reed [7]. Người ta đã nghiên cứu chấm lượng
tử này và phát hiện rằng có tính năng ưu việt, mở ra được nhiều tiềm năng ứng
dụng phát triển kỹ thuật và công nghệ mới đầy sáng tạo. Do đó, việc nghiên cứu
và chế tạo chấm lượng tử đang là một lĩnh vực rất nóng, mà các nhà khoa học
trong nước và ngoài nước quan tâm. Nhằm đưa ra những ứng dụng hữu ích nâng
cao giá trị cuộc sống của chúng ta. Chấm lượng tử được xem là vật liệu đặc biệt
được chế tạo từ vật liệu bán dẫn, kim loại hoặc polymer. Bán dẫn chấm lượng tử
chính là một trong những vật liệu có tầm ảnh hưởng quan trọng sự phát triển của
vật liệu bán dẫn.
Là một sinh viên ngành Vật lí, với mong muốn tìm hiễu rõ bán dẫn chấm
lượng tử có những tính năng ưu việt gì, dẫn đến những tiềm năng ứng dụng
trong khoa học, công nghệ hiện nay.
Với lí do trên, tôi chọn đề tài:
1

“Nghiên cứu cấu trúc, phân loại và một số tính chất quang của bán dẫn
chấm lượng tử”
2. MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU
Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu tổng quan về bán dẫn chấm lượng tử và
tính hệ số hấp thụ photon trong mô hình bán dẫn chấm lượng tử.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Để đạt được mục tiêu trên, những nhiệm vụ nghiên cứu cụ thể bao gồm:
- Nghiên cứu tìm hiểu về các vật liệu thấp chiều.
- Tìm hiểu cấu trúc chấm lượng tử.
- Phân loại chấm lượng tử.
- Biểu thức hàm sóng và năng lượng của chấm lượng tử trong từ trường
ngoài.
- Tính hệ số hấp thụ photon trong mô hình bán dẫn chấm lượng tử.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết.
5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu những vấn đề tổng quan về bán dẫn chấm lượng tử. Chỉ xét
quá trình hấp thụ một photon.
6. BỐ CỤC CỦA KHÓA LUẬN
Ngoài các phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của khóa
luận gồm 2 chương:
Chương 1. Giới thiệu tổng quan về bán dẫn chấm lượng tử.
Chương 2. Trình bày phương pháp tính hệ số hấp thụ quang-từ trong mô hình
bán dẫn chấm lượng tính toán.

2

CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ BÁN DẪN CHẤM LƯỢNG TỬ
1.1. Các hệ lượng tử
Vật liệu và linh kiện nano, loại vật liệu chỉ có kích cỡ chỉ vào khoảng 1nm
- 100 nm. Loại vật liệu này đã và đang thu hút sự quan tâm nghiên cứu của rất
nhiều nhà khoa học ở Việt Nam cũng như trên toàn thế giới. Sở dĩ như vậy là do
những tiềm năng ứng dụng trong công nghệ và đời sống. Những vật liệu này thể
hiện những tính chất vật lí và hoá học rất mới lạ. Các tính chất đó không hề có
trong các nguyên tử riêng biệt hay trong vật liệu khối có cùng thành phần hóa
học. Những vật liệu nano đó có thể được định nghĩa là những hệ trong đó có ít
nhất một chiều có kích cỡ nanomet. Ta biết rằng không gian thực gồm ba chiều,
vậy khi giảm đi một, hai hoặc ba chiều của vật liệu khối xuống kích thước cỡ
nanomet. Ta sẽ thu được các cấu trúc tương ứng gọi là giếng lượng tử - hệ hai
chiều (2D), dây lượng tử - hệ một chiều (1D) và chấm lượng tử - hệ không chiều
(0D) [9].
1.1.1. Hệ hai chiều – giếng lượng tử
Khi kích thước của vật rắn theo một phương nào đó bị giảm xuống chỉ
còn cỡ nanomet, các điện tử chỉ có thể chuyển động tự do theo hai phương có
kích thước thông thường. Theo phương bị giảm kích thước cỡ nanomet thì điện
tử không thể di chuyển tự do, tức ở phương này có hiệu ứng giam giữ lượng tử,
năng lượng bị lượng tử hóa thành các mức gián đoạn theo chiều bị giới hạn này.
Như vậy, trong trường hợp này, chuyển động của điện tử bị giới hạn trong
một chiều và tự do trong hai chiều. Vì vậy, người ta gọi vật liệu này là vật liệu
hai chiều, hệ hai chiều, giếng lượng tử hay là hố lượng tử.
Hình 1 biểu diễn mô hình hố lượng tử đơn giản nhất có thể nuôi cấy được.
Đây là trường hợp một cấu trúc GaAs/AlGaAs (Gallium arsenide/Aluminium
gallium arsenide) được lớn lên trên đế GaAs. Cấu trúc này gồm một lớp bán dẫn
GaAs có chiều dày d (chỉ cỡ 10nm), được đặt xen kẽ giữa hai lớp bán dẫn
AlGaAs có bề dày lớn hơn. Độ dày d được chọn sao cho chuyển động của điện
tử trong lớp GaAs bị lượng tử hóa. Hệ tọa độ được đặt sao cho phương z trùng

3


với phương lớn lên của tinh thể, còn các trục x và y nằm trong mặt phẳng đế.
Theo cách này, chuyển động của hạt theo phương z bị lượng tử hóa, còn theo
phương x, y hạt chuyển động tự do.

Hình 1. Mô hình giếng lượng tử đơn
Nửa dưới của hình 1 mô tả sự thay đổi theo không gian của vùng dẫn và
vùng hóa trị dọc theo phương z. Độ rộng vùng cấm của AlGaAs lớn hơn so với
của GaAs, khi đó các đường biên tương ứng với trạng thái thấp nhất trong vùng
dẫn và cao nhất trong vùng hóa trị của GaAs nằm giữa khe vùng cấm của
AlGaAs. Như vậy, đã có hàng rào thế được sinh ra tại biên tiếp xúc giữa các lớp
bán dẫn, do sự không liên tục của vùng dẫn và vùng hóa trị, hình thành nên một
giếng thế ở lớp GaAs, trong trường hợp này gọi là giếng lượng tử. Các điện tử
trong vùng dẫn và lỗ trống trong vùng hóa trị bị bẫy và bị giam nhốt trong các
giếng thế này. Theo đó, chuyển động của chúng theo phương z bị lượng tử hóa,
nhưng theo mặt phẳng (x,y) vẫn là tự do.
1.1.2. Hệ một chiều - dây lượng tử
Khi kích thước của vật rắn giảm xuống cỡ nanomet theo hai chiều, còn
chiều còn lại có kích thước thông thường. Khi đó, điện tử bị giới hạn theo hai
chiều, nó chuyển động tự do dọc theo chiều dài của dây. Phổ năng lượng gián
đoạn theo hai chiều trong không gian. Hệ này còn gọi là hệ một chiều hay dây
lượng tử.

4


1.1.3. Hệ không chiều - chấm lượng tử
Khi kích thước của vật rắn giảm xuống cỡ nanomet theo cả ba chiều

không gian, các điện tử bị giới hạn theo cả ba chiều và hoàn toàn không thể
chuyển động tự do. Phổ năng lượng bị gián đoạn theo cả ba chiều trong không
gian. Hệ này còn gọi là hệ không chiều hay là chấm lượng tử.
1.2. Khái niệm bán dẫn chấm lượng tử
Bán dẫn chấm lượng tử là một tinh thể bán dẫn cỡ một vài nanomet, trong
đó các điện tử đều bị giam giữ trong cả ba chiều không gian.
Hoạt động của điện tử trong một chấm như vậy là rất khác thường, vì điện
tử xem như bị nhốt trong một không gian khá chật hẹp. Các mức năng lượng của
nó bị tách ra thành các mức riêng biệt như các mức năng lượng của nguyên tử.
Vì vậy mà người ta gọi là chấm lượng tử hay tạm gọi là nguyên tử nhân tạo [4].
Năm 1988, giáo sư vật lý Mark A. Reed (Đại học Yale) mới đặt tên cho
những tinh thể bé xíu này là chấm lượng tử [7]. Bởi kích thước quá nhỏ khiến
chúng chịu ảnh hưởng của định luật lượng tử. Nghĩa là, mỗi chấm lượng tử ở
kích thước và cấu trúc nhất định sẽ mang đặc tính cụ thể. Việc thêm hoặc bớt dù
chỉ một nguyên tử trong cấu trúc cũng làm thay đổi tính chất của chấm. Như
vậy, tính chất và kích thước của chấm lượng tử liên quan chặt chẽ với nhau. Đây
cũng là chìa khóa mở ra những ứng dụng tuyệt vời cho loại vật liệu nano này.
Hình 1 minh họa một bán dẫn chấm lượng tử được làm từ CdSe/ZnS.
Gồm lõi là từ vật liệu CdSe, vỏ là vật liệu ZnS.

Hình 2. Bán dẫn chấm lượng tử làm từ chất bán dẫn
5


Thường cấu trúc của chấm lượng tử là cấu trúc lõi – vỏ (core – shell). Lớp
vật liệu dùng làm vỏ được lựa chọn thường phải có cấu trúc tinh thể tương tự
với vật liệu lõi, nhưng có năng lượng vùng cấm lớn hơn của chấm lượng tử lõi.
Hạt tải trong chấm lượng tử lõi sẽ chịu sự giam giữ lượng tử của lớp vỏ. Ngoài
ra lớp vỏ bọc còn có tác dụng thụ động hoá các liên kết hở tại bề mặt của lõi và
tạo thành một hàng rào thế năng giam giữ các hạt tải điện của lõi. Ví dụ như trên

đã chọn ZnS làm vỏ bọc cho chấm lượng tử CdSe.
1.3. Hoạt động của bán dẫn chấm lượng tử
Năng lượng bị gián đoạn theo cả ba chiều không gian nên ta có các mức
năng lượng khác nhau. Tuy nhiên, mức năng lượng được điều chỉnh bởi kích
thước của chấm lượng tử chứ không phải là chất của vật liệu đó.

Hình 3. Hoạt động của bán dẫn chấm lượng tử
Chúng ta biết rằng, nếu cung cấp năng lượng nguyên tử chính là năng
lượng của photon. Ta có thể tăng một điện tử bên trong nó lên một mức năng
lượng cao hơn, quá trình này chính là quá trình hấp thụ. Khi ở các mức kích
thích, mức năng lượng càng cao thì thời gian sống của điện tử càng ngắn. Nên
sau khi hết thời gian sống điện tử có xu hướng trở lại mức thấp hơn, nguyên tử
phát ra một photon ánh sáng với cùng năng lượng mà nguyên tử ban đầu hấp
thụ, quá trình này chính là quá trình phát xạ.
Các chấm lượng tử được tạo ra từ cùng một chất liệu sẽ phát
ra các màu khác nhau tùy thuộc vào độ lớn (kích thước) của chúng.

6


Hình 4. Mô tả bán dẫn chấm lượng tử cùng một chất liệu nhưng kích thước khác
nhau
Các chấm lượng tử lớn nhất tạo ra các bước sóng dài nhất (và tần số thấp
nhất), trong khi các chấm nhỏ nhất tạo ra các bước sóng ngắn hơn (và tần số cao
hơn). Trong thực tế, điều đó có nghĩa là các chấm lớn tạo ra ánh sáng đỏ và các
chấm nhỏ tạo thành màu xanh dương, với các chấm có kích thước trung bình tạo
ra ánh sáng xanh (và phổ màu quen thuộc của các màu khác nữa). Đối với một
dấu chấm nhỏ, nó sẽ có một vùng cấm lớn hơn. Vì vậy cần nhiều năng lượng
hơn để kích thích nó. Bởi vì tần số của ánh sáng phát ra tỉ lệ thuận với năng
lượng, các chấm nhỏ hơn với năng lượng cao hơn tạo ra tần số cao hơn (và các

bước sóng ngắn hơn). Các chấm lớn hơn, chúng phát ra các tần số thấp hơn (và
các bước sóng dài hơn) [3][5].
1.4. Hiệu ứng giam giữ lượng tử
Khi kích thước của hạt giảm xuống xấp xỉ bán kính Bohr của exciton thì
có thể xảy ra hiệu ứng kích thước lượng tử hay còn gọi là hiệu ứng giam giữ
lượng tử. Trong đó các trạng thái của điện tử bị lượng tử hóa.
Nếu kích thước của khối bán dẫn giảm xuống cỡ nanomet, thì các hạt tải
điện bị giam giữ sẽ thể hiện tính chất giống như một hạt chuyển động trong một
giếng thế. Nghiệm của phương trình Schrodinger trong trường hợp này là các
sóng dừng (sóng đứng) bị giam trong giếng thế và năng lượng bị gián đoạn [9].
Sự giam giữ lượng tử thường tạo ra sự mở rộng vùng cấm với sự giảm về
mặt kích thước của chấm lượng tử. Vùng cấm trong một vật liệu là năng lượng
7


để tạo ra một điện tử và lỗ trống tại trạng thái nghỉ ở một khoảng cách đủ xa
tránh khỏi sự tương tác Coulomb của chúng. Nếu một hạt tải đến gần một hạt
khác, chúng có thể hình thành một cặp điện tử – lỗ trống, nghĩa là một exciton,
có năng lượng khoảng vài eV thấp hơn vùng cấm. Người ta có thể coi exciton
như nguyên tử Hydro nhưng sự khác nhau về khối lượng hiệu dụng của điện tử
và lỗ trống trong bán dẫn không lớn bằng sự khác nhau giữa khối lượng của điện
tử và proton trong nguyên tử Hydro [8]. Khoảng cách giữa điện tử và lỗ trống
được gọi là bán kính Bohr (rB ). Nếu me và mh là khối lượng của điện tử và lỗ
trống, thì bán kính rB sẽ được xác định bằng công thức:
rB =

hɛ 1
e

(

2

me

+

1
mh

),

(1.1)

trong đó, h là hằng số planck, ɛ là hằng số điện môi, e là điện tích nguyên tố.
Nếu bán kính R của chấm lượng tử xấp xỉ rB, hoặc nhỏ hơn rB thì chuyển
động của điện tử và lỗ trống sẽ bị giới hạn bởi kích thước của chấm lượng tử nó
tạo ra sự phát quang và sự tăng năng lượng chuyển tiếp exciton và có dịch
chuyển xanh trong vùng cấm của chấm lượng tử. Bán kính Bohr exciton là giá
trị ngưỡng, và hiệu ứng giam giữ trở nên quan trọng khi bán kính của chấm
lượng tử nhỏ hơn. Đối với chấm lượng tử nhỏ, năng lượng liên kết exciton lớn
hơn nhiều trong vật liệu khối. Đối với vật liệu có ε tương đối cao hoặc me và mh
nhỏ thì rB lớn hơn [10][11].
Có ba chế độ giam giữ lượng tử đã được nghiên cứu, tùy thuộc vào kích
thước của chấm lượng tử: R >> rB , R ≈ rB, R << rB, trong đó R là bán kính của
chấm lượng tử. Các chế độ này được gọi tương ứng là chế độ giam giữ lượng tử
yếu, chế độ giam giữ lượng tử trung gian và chế độ giam giữ lượng tử mạnh.
 Chế độ giam giữ lượng tử yếu
Trong trường hợp bán kính của hạt rất lớn so với bán kính Bohr exciton của
vật liệu (R >> rB), năng lượng liên kết của một exciton Eex , là lớn hơn năng
lượng lượng tử của cả điện tử và lỗ trống và phổ quang học của chấm lượng tử

được xác định bởi sự giam giữ lượng tử của khối tâm exciton. Năng lượng
chuyển dời quang học thấp nhất được cho bởi biểu thức:
8


ηω = Eg - Eex +

η2 π2
2MR2

(1.2)

ở đây Eg là năng lượng vùng cấm của bán dẫn khối và M = me + mh là tổng
khối lượng hiệu dụng của điện tử và lỗ trống. Trường hợp này gọi là chế độ
giam giữ lượng tử yếu và có thể quan sát được trong các chấm lượng tử có kích
thước đủ lớn.
 Chế độ giam giữ lượng tử trung gian
Chế độ giam giữ trung gian xảy ra trong bán dẫn với các giá trị rất khác nhau
của khối lượng hiệu dụng của điện tử và lỗ trống trong dãi kích thước trung gian
re > R > rh với re =

kħ2

kħ2

m∗e e

m∗h e2

và rh =

2

tương ứng là bán kính Borh của điện tử

và lỗ trống.
Trong trường hợp này, lỗ trống chuyển động trong thế năng trung bình của
điện tử. Do điện tử chuyển động nhanh hơn rất nhiều, vì vậy lỗ trống gần như
được định xứ ở tâm của chấm lượng tử. Lỗ trống chuyển động xung quanh tâm
của tinh thể trong phạm vi nhỏ hơn rất nhiều so với bán kính. Trạng thái cơ bản
của exciton phụ thuộc vào kích thước có thể được mô tả giống như một hạt định
xứ tại tâm chấm lượng tử.
 Chế độ giam giữ lượng tử mạnh
Trong trường hợp này tương ứng với các chấm lượng tử kích thước nhỏ, bán
kính của hạt rất nhỏ so với bán kính Bohr exciton của vật liệu (R << rB). Với
những loại tinh thể này, phổ quang học có thể được xem như phổ chuyển dời
giữa các mức năng lượng lượng tử của điện tử và lỗ trống. Tương tác Coulomb
giữa điện tử và lỗ trống làm giảm năng lượng của các chuyển dời này một chút.
Quy tắc chọn lọc chi phối chuyển dời vùng - vùng giữa các mức lượng tử phụ
thuộc kích thước của vùng dẫn và vùng hoá trị có dạng parabol, là rất đơn giản:
chuyển dời chỉ được phép giữa các mức có cùng số lượng tử. Khi vật liệu càng
nhỏ các đặc tính quang và điện có sự khác xa so với vật liệu khối. Khi các chiều
giam giữ giảm và tiến dần tới một giới hạn nào đó phổ năng lượng trở nên tách
biệt, dẫn đến độ rộng vùng cấm phụ thuộc vào kích thước các hạt. Nói một cách
9


khác khi hạt nano càng nhỏ thì độ rộng vùng cấm càng lớn, bước sóng phát ra
của hạt dịch về phía ánh sáng xanh.
1.5. Các mức năng lượng trong bán dẫn chấm lượng tử
Trong chấm lượng tử, hệ thức tán sắc năng lượng vẫn có dạng parabol

giống vật liệu khối. Tuy nhiên, vì trong chấm lượng tử chỉ tồn tại các mức năng
lượng gián đoạn, nên các dạng parabol là một tập hợp các điểm. Các mức năng
lượng của chấm lượng tử có thể đánh giá theo mô hình hạt trong hộp thế. Năng
lượng thấp nhất của điện tử trong một giếng thế một chiều là [9]:
EW,1d =

h2

(1.3)

8mL2

trong đó L là độ rộng của giếng thế
Trong chấm lượng tử, các hạt tải điện bị giam giữ trong cả ba chiều và hệ
này có thể được mô tả như một giếng thế ba chiều vô hạn: thế năng bằng không
tại mọi nơi bên trong giếng thế, nhưng bằng vô cùng tại các thành của giếng.
Chúng ta cũng gọi giếng thế này là hộp thế. Dạng đơn giản nhất của hộp thế ba
chiều có thể là một hình cầu hay một hình lập phương.
Nếu hộp thế có dạng hình lập phương cạnh L, thì phương trình
Schrodinger đối với một trong ba bậc tự do tịnh tiến có thể giải một cách độc lập
với nhau, và khi đó năng lượng điểm không toàn phần sẽ đơn giản bằng tổng
năng lượng điểm không ứng với từng bậc tự do:
EW,3d(c) = 3EW,1d =

3h2
8mL2

(1.4)

Nếu hộp thế có dạng hình cầu đường kính L, thì phương trình Schrodinger

có thể giải bằng cách sử dụng tọa độ cầu và tách phương trình thành hai phần:
phần xuyên tâm và phần chứa xung lượng. Khi đó, mức năng lượng thấp nhất
(ứng với xung lượng bằng không) bằng:
EW,3d(s) =

h2
2mL2

(1.5)

Một lần nữa hiệu ứng giam giữ lượng tử lai trở nên đáng kể. Các hạt tải
điện bị giam giữ càng mạnh, thì khoảng cách giữa các mức năng lượng riêng
biệt, cũng như giá trị của năng lượng điểm không càng lớn. Các hạt tải điện bị
10


giam giữ trong hình cầu đường kính L có năng lượng điểm không cao hơn
trường hợp các hạt tải điện bị giam giữ trong hình lập phương cạnh L, nghĩa là:
EW,3d(s) > EW,3d(c)
π

Đó là do thể tích của hình cầu L3 nhỏ hơn thể tích của hình lập phương (L3 ).
6

Một cặp điện tử - lỗ trống liên kết (exciton) có thể được tạo ra trong chấm
lượng tử bằng quá trình kích thích quang học hoặc bằng cách tiêm hạt tải điện.
Năng lượng tối thiểu của vùng cấm Eg cần thiết để tạo ra một cặp điện tử - lỗ
trống trong một chấm lượng tử hình thành từ một số đóng góp. Đóng góp thứ
nhất là năng lượng cần thiết để vượt qua vùng cấm của vật liệu khối Eg (b).
Đóng vai trò quan trọng khác là năng lượng giam giữ các hạt tải điện (điện tử lỗ trống):

EW = EW (e− ) + EW (h+ )

(1.6)

Đối với hạt lớn (ví dụ, vật liệu khối L → ∞), EW tiến tới không.
Năng lượng giam giữ toàn phần đối với một exciton trong một chấm
lượng tử hình cầu, đó là năng lượng thấp nhất hay năng lượng điểm không trong
giếng thế:
EW =

h2

(1.7)

2m∗ L2

trong đó m∗ là khối lượng rút gọn của exciton, được tính bằng biểu thức:
1
m∗

=

1
m∗e

+

1
m∗h

(1.8)

với m∗e và m∗h lần lượt là khối lượng hiệu dụng của điện tử và lỗ trống.
Khi tìm năng lượng cần thiết để tạo ra một exciton, ta còn phải quan tâm
đến một số hạng khác. Đó là năng lượng tương tác Coulomb Ec giữa điện tử và
lỗ trống. Độ lớn của số hạng Ec phụ thuộc vào lực hút giữa điện tử và lỗ trống
và hiệu ứng che chắn các hạt tải điện bởi tinh thể (cường độ của hiệu ứng này
phụ thuộc vào hằng số điện môi ɛ của chất bán dẫn):
Ec = -

1,8e2

(1.9)

2πɛɛ0 L

Số hạng này có thể rất đáng kể, vì khoảng cách trung bình giữa điện tử và
lỗ trống trong chấm lượng tử là khá nhỏ.
11


Như vậy, vùng cấm trong chấm lượng tử bán dẫn hình cầu có dạng:
Eg (d) = Eg (b) + EW + Ec ,

(1.10)

nghĩa là, khi kích thước giảm, Eg (d) tăng.
Biểu thức (1.10) chỉ là kết quả của phép gần đúng bậc một. Nhiều hiệu
ứng khác như tính bất đẳng hướng của tinh thể, tương tác spin – quỹ đạo sẽ
được xét đến trong các phép tính phức tạp hơn. Trong phép gần đung bậc một,

vùng cấm của chấm lượng tử có chứa hai số hạng phụ thuộc vào kích thước. Đó
là năng lượng giam giữ EW tỉ lệ nghịch với L2 và năng lượng tương tác Coulomb
Ec tỉ lệ với L. Ngoài ra, năng lượng giam giữ EW là số hạng mang dấu dương.
Do đó, ngay cả năng lượng của trạng thái thấp nhất trong chấm lượng tử cũng
luôn luôn tăng cao so với trường hợp vật liệu khối. Ngược lại, tương tác
Coulomb trong cặp điện tử – lỗ trống luôn luôn là tương tác hút, Ec mang dấu
âm, do đó sẽ làm giảm năng lượng tạo thành cặp. Vì sự phụ thuộc 1/ L2 , nên đối
với các chấm lượng tử có kích thước rất nhỏ, hiệu ứng giam giữ lượng tử trở nên
chiếm ưu thế.
1.6. Cấu trúc của bán dẫn chấm lượng tử
1.6.1. Kích thước và mật độ trạng thái
Chấm lượng tử có kích thước và số lượng nguyên tử rất khác với vật liệu
khối. Dải năng lượng của vật liệu khối gần như liên tục vì số nguyên tử cấu
thành nó rất lớn. Tuy nhiên, nếu ta thu hẹp kích thước của vật liệu khối đến kích
thước nanomet và số lượng nguyên tử đến một giá trị từ 100 đến 10.000 nguyên
tử. Thì dải năng lượng đặc trưng cho tính khối bị biến mất thay vào đó là sự hình
thành những mức năng lượng riêng biệt. Ta có thể gọi đây là sự lượng tử hoá
năng lượng trong một không gian cực nhỏ. Quang phổ của nó sẽ cho đường phổ
quang hẹp, riêng biệt. Chấm lượng tử của cùng một vật liệu có thể phát xạ nhiều
màu sắc khác nhau khi ta thay đổi kích thước của chúng. Một chấm lượng tử
thường được miêu tả như là một nguyên tử nhân tạo bởi vì điện tử bị giam giữ
về mặt chiều thì giống như là trong một nguyên tử và có các trạng thái năng
lượng gián đoạn. Các mức năng lượng gián đoạn sinh ra các phổ hấp thụ, các
12


phổ phát xạ hẹp và nhọn đối với các chấm lượng tử, thậm chí ngay tại nhiệt độ
phòng.
Hình 5 biểu diễn 16 màu sắc phát xạ từ nhỏ (xanh) đến lớn (đỏ) của chấm
lượng tử CdSe được kích thích bởi đèn tử ngoại gần, với kích thước chấm lượng

tử khác nhau có thể từ 1 đến 10 nm. Nửa dưới biểu diễn phổ phát quang của vài
chấm lượng tử CdSe [1].

Hình 5. Phổ năng lượng chấm lượng tử CdSe
Một đặc tính duy nhất của chấm lượng tử là sự giam giữ lượng tử theo cả
ba chiều, nó làm thay đổi mật độ trạng thái gần rìa dãy. Biểu đồ mật độ trạng
thái như một hàm năng lượng được biểu diễn trong hình 6. Trong một số tính
chất thể hiện sự phụ thuộc của vào kích thước của chấm lượng tử, có hai tính
chất đặc biệt quan trọng. Thứ nhất là dịch chuyển xanh của năng lượng vùng
cấm khi đường kính của hạt nano phụ thuộc vào loại bán dẫn. Nó được gọi là
hiệu ứng giam giữ. Hiệu ứng này tạo ra sự thay đổi giữa khe năng lượng và kích
thước của chấm lượng tử. Năng lượng vùng cấm phụ thuộc vào cấu tạo và kích
thước của chất bán dẫn. Tính chất quan trọng thứ hai là quan sát các trạng thái
năng lượng tách biệt do một lượng nhỏ các nguyên tử trong chấm lượng tử so
với vật liệu khối. Điều này dẫn đến trạng thái năng lượng của mỗi mức năng
lượng biểu diễn theo hàm sóng giống nguyên tử hơn. Vì hàm sóng, nghiệm của
phương trình Schrodinger của chấm lượng tử rất giống với hàm sóng của các
13


điện tử chuyển động quanh hạt nhân và có đỉnh nhọn phát xạ giống như nguyên
tử. Khoảng cách mức năng lượng phổ biến của chấm lượng tử dao động từ 10 –
100 meV [2].
Hình 6 biểu diễn mật độ trạng thái của vật liệu khối và vật liệu thấp chiều.
Do tính chất khác nhau nên mật độ trạng thái của các điện tử được biểu diễn
khác nhau. Đối với chấm lượng tử - hệ không chiều, sự phân bố các điện tử là
một đường thẳng hẹp. Do điện tử không thể dịch chuyển tự do trong cả ba chiều.

Hình 6. Biểu đồ biểu diễn của mật độ trạng thái của vật liệu bán dẫn
(Bulk: khối; Quantum well: giếng lượng tử; Quantum wire: dây lượng tử;

Quantum dot: chấm lượng tử)
Đối với vật rắn khối có thể coi như một tinh thể vô hạn theo ba chiều,
năng lượng của điện tử là liên tục. Mật độ trạng thái D(E) đối với điện tử tự do
trong hệ ba chiều tỷ lệ với căn bậc hai của năng lượng:
D(E) ~ √E
Trong vật rắn hai chiều, mật độ trạng thái đối với một trạng thái k cho
trước không phụ thuộc vào năng lượng E và có dạng hàm bậc thang.
Trong vật rắn một chiều, các trạng thái được phép của điện tử trong vật
rắn được mô tả như những sóng phẳng song song với trục k x trong không gian k
ba chiều. Mật độ trạng thái D(E) trong một đường dọc theo trục k x tỷ lệ với căn

14


bậc hai của năng lượng. Mỗi đường hypecbol trên hình tương ứng với một trạng
thái (k y , k z ) riêng biệt.
Đối với chấm lượng tử, mật độ trạng thái D(E) dọc theo một chiều chứa
hàm δ (Delta) tương ứng với các trạng thái riêng biệt. Trong một chấm lượng tử,
chuyển động của các điện tử bị giới hạn trong cả ba chiều, vì thế trong không
gian k chỉ tồn tại các trạng thái gián đoạn (k x , k y , k z ) và chỉ có các mức năng
lượng gián đoạn. Các mức năng lượng này chỉ có thể được biểu diễn như các
đỉnh δ trong phân bố một chiều đối với mật độ trạng thái D(E). Như vây chúng
ta thấy rằng, các vùng năng lượng hội tụ về các mức năng lượng giống như
trong nguyên tử. Sự biến đổi này đặc biệt lớn tại các bờ vùng năng lượng, do đó
ảnh hưởng đến các tính chất bán dẫn nhiều hơn đến các kim loại.
1.6.2. Cấu trúc bề mặt
Tỷ lệ nguyên tử trên bề mặt so với nguyên tử trong chấm lượng tử có liên
quan đến kích thước của chấm. Kích thước của chấm càng nhỏ thì tỉ lệ này sẽ
tăng. Số nguyên tử trên bề mặt và tỉ lệ nguyên tử trên bề mặt so với tổng số
nguyên tử trong chấm được xác định như sau [2]:

nm = 4n2/3

(1.11)

với nm là số nguyên tử trên bề mặt, n là tổng số nguyên tử trong chấm lượng tử
f=

nm
n

= 4

r0
r

(1.12)

với ro là bán kính nguyên tử, r là bán kính của chấm lượng tử
Từ biểu thức (2) cho thấy kích thước của chấm giảm thì f tăng lên và xấp
xỉ gần bằng 1, lúc này hầu như 100% nguyên tử đều ở trên bề mặt. Nếu kích
thước của chấm nhỏ hơn 1nm thì có tập hợp ít nhất vài chục nguyên tử. Khi kích
thước chấm giảm đi thì hiệu ứng có liên quan đến các nguyên tử bề mặt. Sự
thay đổi tỷ lệ nguyên tử bề mặt so với tổng nguyên tử của chấm có ảnh hưởng
quan trọng đến tính chất quang của chấm lượng tử. Ví dụ, khoảng 15% nguyên
tử trong chấm lượng CdSe 5 nm ở trên bề mặt [2]. Tỷ lệ bề mặt này có thể tăng
cường hoặc giảm tốc độ truyền các hạt mang điện phát quang do mật độ bề mặt
cao. Trạng thái bề mặt của chấm lượng tử có thể ảnh hưởng đến sự hấp thụ
15

quang (kích thích quang phát quang), hiệu suất lượng tử, cường độ phát quang.
Nhìn chung, trạng thái bề mặt xuất hiện từ liên kết sai hỏng tại bề mặt hồi phục
và bị ảnh hưởng bởi các thành phần hoá học và các lỗ hổng. Năng lượng trạng
thái bề mặt nằm trong vùng cấm của chấm lượng tử. Vì thế, chúng có thể bẫy
các hạt mang điện (điện tử và lỗ trống) và hoạt động như chất khử (điện tử) và
chất oxi hóa (lỗ trống). Các phản ứng điện hóa hoặc hoạt động tại bề mặt có thể
ảnh hưởng đặc biệt đến tính dẫn điện và tính chất quang của chấm lượng tử. Sự
thụ động hóa bề mặt của chấm lượng tử có thể giam giữ hạt tải bên trong lõi và
tăng cường tính chất quang của chấm lượng tử. Nhưng bề mặt thụ động này hoạt
động như chất cách điện cũng như rào cản của sự dẫn điện [1][4].
1.7. Phân loại bán dẫn chấm lượng tử
Trong các tính toán, người ta thường phân biệt các chấm lượng tử theo
nhiều cách:
- Phân loại theo hình dạng: Người ta thường phân loại chấm lượng tử theo
hình dạng của chúng. Một số loại chấm lượng tử có hình dạng khác nhau thường
hay được quan tâm nghiên cứu gồm có chấm lượng tử hình cầu, chấm lượng tử
hình elip. Các kết quả nghiên cứu cho thấy, các chấm lượng tử có hình dạng
khác nhau thể hiện các tính chất khác nhau [15]. Đối với chấm lượng tử hình
cầu, bán kính của chấm là một thông số vô cùng quan trọng. Còn đối với chấm
lượng tử hình elip, thì thông số β được xác định phụ thuộc vào các bán trục của
elip là một thông số quy định tính chất của chấm lượng tử hình elip.
- Phân loại theo các dạng thế năng giam giữ theo các phương: Chúng ta
biết rằng, hạt tải trong chấm lượng tử bị giam giữ theo cả ba phương không gian.
Nếu thay đổi các dạng thế năng giam giữ theo các phương khác nhau, chúng ta
có các mô hình chấm lượng tử khác nhau.
Một số dạng thế năng thường gặp bao gồm:
+ Thế giam giữ vuông góc sâu vô hạn (theo phương x):
Vx = {

0 , 0 < x < Lx

,
∞ , 𝑥 ≤ 0, 𝑥 ≥ Lx

ở đây, Lx là kích thước của chấm lượng tử theo phương x
16

(1.13)


+ Thế giam giữ dạng parabol (theo phương y):
1

Vy = m∗ ωy 2 y 2 ,
2

(1.14)

với ωy là tần số giam giữ của thế parabol.
+ Thế giam giữ bán parabol (theo phương z) [14]:
1

Vx = {

2

m ∗ ωz 2 z 2 , z ≥ 0
0
, z< 0

(1.15)

với ωz là tần số giam giữ của thế bán parabol.
- Phân loại theo số điện tử có trong chấm lượng tử: Chúng ta biết rằng,
chấm lượng tử là một cấu trúc rất nhỏ, số lượng nguyên tử nhiều và do đó số
điện tử trong chấm lượng tử góp phần vào việc quyết định và thay đổi tính chất
của chấm. Vì vậy, trong các nghiên cứu và tính toán, người ta thường chọn mô
hình chấm lượng tử có số điện tử xác định là 1, 2, 3…[12] [13] [14].
- Phân loại chấm lượng tử theo tạp chất: Một số nghiên cứu về chấm
lượng tử có khảo sát các chấm lượng tử được pha tạp. Như vậy, có thể thấy rằng,
có chấm lượng tử thuần khiết và chấm lượng tử có pha tạp. Tạp chất thường
được nhắc đến là tạp chất hydrogen. Các kết quả nghiên cứu cho thấy sự có mặt
của tạp chất trong chấm lượng tử làm ảnh hưởng đến các tính chất quang của
chấm.
1.8. Tính chất quang của bán dẫn chấm lượng tử
1.8.1. Các mức năng lượng trên phổ huỳnh quang
Trong phổ huỳnh quang, màu của ánh sáng khác nhau tùy thuộc vào năng
lượng phát ra từ tinh thể. Ánh sáng đỏ được kết hợp với năng lượng thấp hơn và
ánh sáng màu xanh với năng lượng cao hơn.
Trong chấm lượng tử, khi có sự kích thích các điện tử hấp thụ photon.
Làm cho các điện tử từ trạng thái cơ bản nhảy lên mức năng lượng cao hơn. Quá
trình hấp thụ có thể nhiều photon, tức là hấp thụ năng lượng lớn thì các điện tử
sẽ nhảy lên mức năng lượng cao hơn.
Chấm lượng tử có thể hấp thụ bức xạ điện từ trở nên kích thích và phát ra
một tần số ánh sáng để trở về trạng thái nghỉ của nó.
17


1.8.2. Ảnh hưởng của kích thước
Kích thước của một chấm lượng tử tỷ lệ nghịch với mức năng lượng vùng
cấm, và do đó làm thay đổi ánh sáng tần số phát ra có ảnh hưởng đến màu

sắc. Các chấm nhỏ phát ra ánh sang màu xanh có năng lượng cao hơn, trong khi
các chấm lớn hơn phát ra ánh sáng đỏ năng lượng thấp hơn.
Nó cũng có thể cho các chấm lượng tử lớn hơn để sở hữu một số mức
năng lượng được liên kết chặt chẽ hơn. Điều này cho phép sự hấp thụ các photon
với các mức tần số khác nhau, chẳng hạn như ở các đầu màu đỏ của quang phổ
ánh sang.
1.8.3. Ảnh hưởng của hình dạng
Nghiên cứu gần đây cũng đã gợi ý rằng hình dạng của các chấm lượng tử
có thể đóng một vai trò trong năng lượng cấp dải của các chấm và kết quả là ảnh
hưởng đến tần số của ánh sáng huỳnh quang phát ra hoặc hấp thụ.
Tuy nhiên, không có đủ bằng chứng để hỗ trợ giả thuyết này và thông tin
hiện có sẵn không hỗ trợ việc xây dựng các chấm lượng tử để tối ưu hóa hình
dạng của chúng cho các đặc tính quang học cụ thể [6].
1.8.4. Ảnh hưởng của cấu trúc
Chấm lượng tử hai vỏ được nghiên cứu để tăng cường tính chất quang. Sự
khác biệt và sự lệch mạng trong vùng cấm rất quan trọng đối với tính chất của
lõi/vỏ của chấm lượng tử. Vùng cấm và biên hấp thụ hoàn toàn của vật liệu lõi
và vỏ cũng quan trọng đối với sự chiếm đóng hạt tải điện từ lõi đến trạng thái bề
mặt của vỏ.
Các chấm lượng tử cũng có thể được tổng hợp với một vỏ bảo vệ để kéo
dài tuổi thọ của nó và tăng tần số phát xạ huỳnh quang. Ví dụ, một chấm lượng
tử gồm CdSe có thể có vỏ bảo vệ dày hơn được làm từ ZnS.
1.9. Bài toán chuyển động của hạt trong giếng thế một chiều vuông góc sâu
vô hạn
Xét hạt có khối lượng m chuyển động dọc theo trục x trong giếng thế
vuông góc sâu vô hạn có dạng như sau:
18


0 , 0 < x < Lx

∞ , 𝑥 ≤ 0, 𝑥 ≥ Lx

Vx = {

+ Hamiltonian của hạt ( 0 < x < Lx ):
̂=T
̂+U
̂ = -ħ
H

2

d2

(1.16)

2m dx2

+ Phương trình Schrodinger cho các trạng thái dừng của hạt trong giếng thế:
̂ φ(x) = Eφ(x)
H
<=> -

2mE
ħ2

dx2

2m

d2 φ(x)

<=>
Đặt k 2 =

ħ2 d2 φ(x)

dx2

suy ra k =

+

(1.17)

= Eφ(x)

2mE
ħ2

φ(x) = 0

√2mE
ħ

Ta có :
d2 φ(x)
dx2

+ k 2 φ(x) = 0

(1.18)

+ Phương trình có nghiệm tổng quát:
φ(x) = Acoskx + Bsinkx, A2 + B 2 > 0

(1.19)

+ Các hằng số tích phân A, B sẽ được tìm từ các điều kiện biên:
 φ(x)|x = 0 = A = 0 => B ≠ 0 => φ(x) = Bsinkx
 φ(x)|x = Lx = BsinkLx = 0 => sinkLx = 0
<=> kLx = nπ
=> k n =
nπ

Suy ra φn (x) = Bsin

Lx

nπ
Lx

x

(1.20)

+ Tìm B từ điều kiện chuẩn hóa hàm sóng:
L

x

∫0 |φn (x)|2 dx = 1

L

<=> B 2 ∫0 x sin2 (

nπ
Lx

1

Lx

2

2nπ

<=> B 2 ( x −

(1.21)
x) = 1

sin

2nπ
Lx

L

<=> B 2 ( x) = 1

2

<=> B = √

2
L

19

L

x)|0x = 1


2

nπ

L

Lx

Vậy φn (x) = √ sin

x, n = 1, 2, 3..

(1.22)

+ Năng lượng của hạt là:
E=

k2 ħ2
2m

=

π2 n2 ħ2
L2x 2m

=

ħ2 π2
2mL2x

n2

(1.23)

Nhận xét: Năng lượng của hạt trong giếng thế bị lượng tử hóa, trong trường
hợp này n được gọi là số lượng tử. Phổ năng lượng của hạt chuyển động trong
giếng thế chỉ có thể nhận các giá trị gián đoạn phụ thuộc vào các số nguyên n.
Chính hiệu ứng giam giữ lượng tử đã làm cho năng lượng của hạt lượng tử hóa
thành các mức gián đoạn.

20


CHƯƠNG 2
TÍNH HỆ SỐ HẤP THỤ MỘT PHOTON
TRONG MÔ HÌNH BÁN DẪN CHẤM LƯỢNG TỬ

2.1. Mô hình bán dẫn chấm lượng tử tính toán
Ta biết rằng, bán dẫn chấm lượng tử có các điện tử đều bị giam giữ lượng
tử trong cả ba chiều không gian. Tuy nhiên, trong thực tế ta chưa biết cụ thể nó
giam giữ theo dạng thế năng nào. Vì vậy, để tính hệ số hấp thụ quang – từ của
bán dẫn chấm lượng tử, chúng tôi chọn đưa ra mô hình bán dẫn chấm lượng tử,
giả định các dạng thế năng theo cả ba chiều.
Mô hình bán dẫn chấm lượng tử như sau:
Theo phương x, sự giam giữ điện tử được đặc trưng bởi thế vuông góc sâu
vô hạn có thế năng là:
0 , 0 < x < Lx
,
∞ , 𝑥 ≤ 0, 𝑥 ≥ Lx

Vx = {

(2.1)

và năng lượng và hàm sóng có dạng
En =

ħ2 π2
2m∗ Lx 2

n2 ,

(2.2)

2

nπx

Lx

Lx

Ψn (x) = √ sin

,

(2.3)

trong đó, m∗ là khối lượng hiệu dụng của điện tử, Lx là chiều rộng giếng thế
năng theo phương x, n được gọi là số lượng tử, n = 1, 2, 3.... Phổ năng lượng của
hạt chuyển động trong thế vuông góc sâu vô hạn chỉ có thể nhận các giá trị gián
đoạn phụ thuộc vào các số nguyên n.
Theo phương y, sự giam giữ điện tử được đặc trưng bởi thế parabol, thế
năng có dạng
1

Vy = m∗ ωy 2 y 2 ,
2

(2.4)

trong đó, ωy là tần số giam giữ của thế parabol. Năng lượng của điện tử theo
phương này sẽ có dạng:
1

En = (n + ) ħωy,
2

với n = 0, 1, 2...
21

(2.5)


Theo phương z, sự giam giữ điện tử đặc trưng bởi thế tam giác, dạng thế
năng này được giới thiệu bởi Fang và Howard [17], có thế năng kí hiệu là Vz , ta
giả định rằng theo phương này điện tử chỉ ở trạng thái mức năng lượng thấp nhất
E0z và có hàm sóng
ξ0 z
2

3/2

Ψ0 (z) = ξ0 ze

,

(2.6)

với ξ0 = 3/< Lz >, < Lz > là độ dày trung bình theo phương z.
⃗
Mô hình bán dẫn chấm lượng tử này được đặt vào một từ trường tĩnh B
⃗ (0,0,B).
theo phương z, B
Hamiltonian của một điện tử có thể được đưa ra như sau:
He =

1
2m∗

(p + eA)2 +

1
2

m∗ ω2y y 2 + V0 (z)

Như vậy, phổ năng lượng và của điện tử trong mô hình chấm lượng tử này
trong từ trường được xác định như sau:
1

ħ2 π2

2

2m∗ Lx 2

Eα = EN,n,0 = (N + )ħω
̃c +
2

nπx

Lx

Lx

|λ⟩ = ψN,n,0 = √ sin

n2 + E0z

ΦN (y − y0 )ψ0 (z)

(2.7)
(2.8)

trong đó N, n là số lượng tử, ω
̃ c = (ω2c + ω2y )1/2 với ωc = eB/m∗ là tần số
cyclotron, Φ(y − y0 ) là các hàm sóng dao động điều hòa.
2.2. Biểu thức của hệ số hấp thụ quang- từ
Hệ số hấp thụ quang – từ gây ra bởi quá trình hấp thụ photon đồng thời hấp
thụ hay phát xạ phonon, được cho bởi công thức [18]
K(Ω) =

1
V0 (I/ħΩ)

±
∑α,α′ Wα,α′
fα (1 - fα′ ),

(2.9)

trong đó, V0 = SL là thể tích của hệ, I/ħΩ là số photon có năng lượng là ħΩ
được bơm vào hệ trên một đơn vị diện tích trong một giây, Ω = 2π/f là tần số góc
của photon, I là cường độ quang học, I = nr cɛ0 Ω2 A20 /2, nr là chiết suất của vật
liệu, c là vận tốc ánh sáng trong chân không, ɛ0 là độ từ thẩm chân không, A0 là

độ lớn của thế vectơ của trường điện từ. Trong phương trình (2.9), fα = fN,n,0 và
fα′ = fN′,n′,0 là hàm phân bố của điện tử ở trạng thái đầu và trạng thái cuối.
22


Yếu tố ma trận dịch chuyển trên một đơn vị diện tích đối với tương tác
điện tử – photon – phonon trong các hệ hạt tải hai chiều, bao gồm quá trình hấp
thụ l – photon [19] [20], được cho bởi công thức Born bậc hai:
±
Wα,α
′=

2π
ħ3 Ω

±
rad 2
2
∑q ∑𝑙 | Mα,α
′ | |Mα,α′ |
2

(α0 q⊥ )2𝑙
(𝑙!)22𝑙

× δ(Eα′ − Eα − 𝑙ħΩ ± ħω0 ),

(2.10)

ở đây, chỉ số (+) ở trên và chỉ số (-) ở dưới tương ứng lần lượt với quá trình phát

xạ và quá trình hấp thụ phonon, α0 là tham số biểu diễn.
±
Yếu tố ma trận tương tác điện tử – phonon Mα,α
′ được xác định bởi công

thức:
±
2
|Mα,α
′| =

4πe2 χ∗ ħω0
ɛ0 V0 q2

|J00 (qz )|2 |JNN′ (𝑢)|2 N0± δn,n′ ,

(2.11)

trong đó, χ∗ = (1⁄χ∞ − 1⁄χ0 ) với χ∞ và χ0 tương ứng với hằng số điện môi cao
tần và thấp tần.
⃗ = (q⊥ , qz ) là vectơ sóng của phonon khối với q2⊥ = q2x + q2y .
q
N0± = N0 + 1/2 ± 1/2 với N0 = [eħω0 ⁄(kBT) − 1]−1 là thừa số Bose xác định số
phonon có năng lượng ħω0 và [21]
|JNN′ (𝑢)|2 =

N2 ! −𝑢 N −N
N −N
e 𝑢 1 2 [LN12 2 (𝑢)]2 ,
N1 !

+∞

J00 (qz ) = ∫−∞ Ψ0∗ (z)e±𝑖qz z Ψ0 (z)dz,

(2.12)
(2.13)

trong đó, 𝑢 = α
̃2c (q2x + b̃2 q2y ) với b̃ = ωc /ω
̃ c, α
̃c = (ħ/m∗ ω
̃ c )1/2 là bán kính hiệu
dụng của quỹ đạo electron ở trạng thái cơ bản, N1 = max(N, N′),
N2 = min(N, N′), M = N1 − N2 và LM
N (𝑢) là đa thức Laguerre liên kết.
Trong phương trình (2.10), yếu tố ma trận trạng thái cơ bản đối với tương
tác giữa photon và các hạt tải được xác định như sau [18]
rad
Mα,α
′ =

eΩA0
2

Bα,α′

(2.14)

với Bα,α′ = [y0 δN′,N + (α
̃c ⁄√2)(√NδN′,N−1 + √N + 1δN′,N+1 )]δn,n′ (2.15)

trong đó, y0 = -b̃α
̃2c k x , k x là thành phần vectơ sóng của điện tử theo phương x.

23


2.3. Tính hệ số hấp thụ một photon trong mô hình bán dẫn chấm lượng tử
Trong phần này, chúng ta sẽ sử dụng biểu thức hệ số hấp thụ quang – từ ở
trên để tính toán biểu thức hệ số hấp thụ quang từ trong mô hình bán dẫn chấm
lượng tử đã chọn được trình bày trong phần 2.1.
Thay phương trình (2.11) và (2.14) vào (2.10), ta có :
±
Wα,α
′ =

2π 4πe2 χ∗ ħω0 e2 Ω2 A20
ħ 3 Ω2

×
±
<=> Wα,α
′ =

×

ɛ0 V0

(α0 q⊥ )2𝑙
(𝑙!)22𝑙

0 V0

(α0 q⊥ )2𝑙
(𝑙!)22𝑙

1
q2

|𝐽00 (𝑞𝑧 )|2 |𝐽𝑁𝑁′ (𝑢)|2 N0± δn,n′ |Bα,α′ |2

δ(Eα′ − Eα − 𝑙ħΩ ± ħω0 )

2π2 e4 χ∗ A20 ω0
ħ2 ɛ

∑q ∑ 𝑙

4

∑q ∑𝑙

1
q2

|𝐽00 (𝑞𝑧 )|2 |𝐽𝑁𝑁′ (𝑢)|2 N0± δn,n′ |Bα,α′ |2

δ(Eα′ − Eα − 𝑙ħΩ ± ħω0 )

(2.16)

Tổng theo q được tính bằng cách sử dụng công thức chuyển tổng thành
tích phân sau đây:
∑𝑞 →

V0
(2π)3

∫ q⊥ dq⊥ dqz dφ

(2.17)

Ta có :
V0
(2π)3

∫ q⊥ dq⊥ dqz dφ =

∞

V0
(2π)3

+∞

2π

∫0 q ⊥ dq⊥ ∫−∞ dqz ∫0 dφ

(2.18)

2π

+ Tính ∫0 dφ = φ|2𝜋
0 = 2π
+∞

+ Tính ∫−∞ dqz , với hàm sóng Ψ0 (z) được trình bày trong phương trình (2.6),
tích phân trên qz được cho bởi [22]
+∞ |J00 (qz )|2

∫−∞

q2⊥ +q2z

dqz =

3πξ0
8q2⊥

I(ζ0 ) =

F00
q2⊥

(2.19)

trong đó, F00 = 3πξ0 I(ζ0 )/8
với I(ζ0 ) = 1/(1 + ζ0 ) + 1/(1 + ζ0 )2 + 1/(1 + ζ0 )3 , ζ0 = ξ0 /q ⊥ .
Tổng theo l là tổng theo số photon hấp thụ. Ở đây, chúng tôi chỉ xét
trường hợp hấp thụ một photon, tức là l =1.

Với l = 1, phương trình (2.16) trở thành:
±
Wα,α
′

=
×

2π2 e4 χ∗ A20 ω0 V0
ħ2 ɛ0 V0
α20 q2⊥
4

∞ 1

2πF00 ∫0
3

(2π)

q2

|𝐽𝑁𝑁′ (𝑢)|2 N0± δn,n′ |Bα,α′ |2

δ(Eα′ − Eα − ħΩ ± ħω0 )q⊥ dq⊥ ,
24


±
<=> Wα,α

′ =

e4 χ∗ A20 ω0 F00 α20
8ħ2 ɛ

0

∞

±
∫0 |𝐽𝑁𝑁′ (𝑢)|2 N0 δn,n′ |Bα,α′ |2

× δ(Eα′ − Eα − ħΩ ± ħω0 )q⊥ dq⊥ ,
̃ 2c q2⊥
α

Sử dụng u ≈
±
Wα,α
′ =

2

, phương trình (2.20) trở thành:

e4 χ∗ A20 ω0 F00 α20
8ħ2 ɛ

0

+ Tính

(

2

N0± δn,n′ |Bα,α′ | δ(Eα′ − Eα − ħΩ ± ħω0 )

̃ 2c q2⊥
α

∞

× ∫0 |𝐽𝑁𝑁′ (
∞
∫0 |𝐽𝑁𝑁′

̃ 2c q2⊥
α
2

(2.20)

2

2

)| q ⊥ dq⊥ ,

(2.21)

2

)| q⊥ dq⊥
2 2

̃ c q⊥
α
N −N2
∞ N2 ! −( 2 ) α
̃ 2c q2⊥ 1
=∫0
e
(
)
N1 !
2

N −N2

[LN12

(

̃ 2c q2⊥
α
2

)]2 q⊥ dq⊥ (2.22)

Áp dụng công thức tính tích phân [22]:
2

∞

I1 = ∫0 e−x x M [LM
N (x)] dx =
Thực hiện biến đổi số tích phân: u =
Đạo hàm hai vế ta có: q⊥ dq⊥ =
∞

Ta có: ∫0 |𝐽𝑁𝑁′ (

(N+M)!
N!

̃ 2c q2⊥
α
2

suy ra q2⊥ =

2𝑢
̃ 2c
α

d𝑢
̃ 2c
α

̃ 2c q2⊥
α
2

2

)| q⊥ dq⊥

2 2

=
=
=

̃ c q⊥
α
N −N2
∞ −( 2 ) α
̃ 2c q2⊥ 1
e
(
)
∫
̃ 2c 0
N1 ! α
2

N2 ! 1

N −N2

[LN12

̃ 2c q2⊥
α

(

2

)]2 d𝑢

N2 ! 1 (N2 + N1 − N2 )!
̃ 2c
N1 ! α
N2 !
1
̃ 2c
α

Ở đây, M = N1 − N2
Vậy suy ra:
±
Wα,α
′ =

e4 χ∗ A20 ω0 F00 α20
8ħ2 ɛ

̃ 2c

0α

2

N0± δn,n′ |Bα,α′ | δ(Eα′ − Eα − ħΩ ± ħω0 (2.23)

Với hàm Delta được tính:
δ(Eα − Eα′ − ħΩ ± ħω0 )
25