Tuyển tập các dạng bài luyện thi ĐH lượng giác
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (201.91 KB, 12 trang )
Phương trình lượng giác NXT - FIT
Lượng giác
Phần 1: Hàm số lượng giác
A. Kiến thức cần nhớ
1. Các hằng đẳng thức cơ bản
a)
1cossin
22
=+
xx
b)
x
x
x
cos
sin
tan
=
c)
x
x
x
sin
cos
cot
=
d)
x
x
2
2
cos
1
tan1
=+
e)
x
x
2
2
sin
1
cot1
=+
f)
1cot.tan
=
xx
2. Giá trị của các hàm lượng giác cung liên quan đặc biệt
a) Hai cung đối nhau b) Hai cung bù nhau c) Hai cung khác nhau 2
π
xx
xx
xx
xx
cot)cot(
tan)tan(
sin)sin(
cos)cos(
−=−
−=−
−=−
=−
xx
xx
xx
xx
cot)cot(
tan)tan(
cos)cos(
sin)sin(
−=−
−=−
−=−
=−
π
π
π
π
xx
xx
xx
xx
cot)2cot(
tan)2tan(
cos)2cos(
sin)2sin(
=+
=+
=+
=+
π
π
π
π
d) Hai cung khác nhau
π
e) Hai cung phụ nhau
xx
xx
xx
xx
cot)cot(
tan)tan(
cos)cos(
sin)sin(
=+
=+
−=+
−=+
π
π
π
π
xxxx
xxxx
tan
2
cot ; cot
2
tan
sin
2
cos ; cos
2
sin
=
−=
−
=
−=
−
ππ
ππ
B. Bài tập
1. Tìm các giá trị của
α
để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
αα
cos1
1
;
sin1
1
−
=
+
=
BA
2. Xét dấu của các biểu thức sau:
a)
oo
132sin123sin
−
b)
oo
316cot304cot
−
3. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
oooo
540cos3990sin41170cos2540tan5
−++
b)
3
19
cos2
4
13
tan3
6
25
sin3
πππ
+−
c)
oooo
75sin55sin35sin15sin
2222
+++
d)
oooo
75cos55cos35cos15cos
2222
+++
e)
12
11
sin
12
9
sin
12
7
sin
12
5
sin
12
3
sin
12
sin
222222
ππππππ
+++++
f)
12
11
cos
12
9
cos
12
7
cos
12
5
cos
12
3
cos
12
cos
222222
ππππππ
+++++
g)
++−+
+−+
aaaa
2
3
tan)2cot(
2
cos)sin(
π
π
π
π
h)
aaaaA
2224
cos.sincossin
++=
i)
2
cos.
2
sin
2
tan
1
2
cos
2
sin
2
aaa
aa
B
−
−
+
=
j)
oo
ooo
C
342cot252tan
156cos530tan).260tan(696cos
22
22
+
−−+
=
k)
( )
2
2
7cot
4
13
cot
2
7
tan
4
17
tan
−++
−+
bb
π
πππ
l)
−
+
−
+
−
−
+
−
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x
cos1
cos1
cos1
cos1
sin1
sin1
sin1
sin1
m)
)tan1(cos)cot1(sin
33
aaaa
+++
2K2+ - 1 -
Phương trình lượng giác NXT - FIT
n)
bb
b
cottan
tan
+
o)
a
aa
4
44
cos
sincos1
−−
p)
+−
−
−−−
xxx
xxx
2
3
cot).cot(.
2
sin
)2sin().2cos().sin(
π
π
π
πππ
q)
22
)2cos(
2
3
cos)sin(
2
sin
−+
−+
−+
−
xxxx
π
π
π
π
r)
−++
+
+
−
aaaaa
2
3
tan).tan(
3
5
cos.
3
2
tan.
3
sin
π
π
πππ
s)
)5,3tan()6cot(
)4tan()5,5cot(
ππ
ππ
−−−
−+−
ba
ba
t)
oooooo
700tan.400tan.260tan.250tan.190tan.50tan
4. Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh:
a)
-cosAC)cos(B ;sin)sin(
=+=+
CBA
c)
-cotCB)cot(A ;tan)tan(
=+−=+
BCA
b)
2
sin
2
CB
cos ;
2
cos
2
BA
sin
AC
=
+
=
+
d)
2
tan
2
BA
cot ;
2
cot
2
tan
CBCA
=
+
=
+
5. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
2cossin
cos2
−+
+
=
xx
x
y
6. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trong khoảng
ππ
<<−
x
:
4sincos2
3sin2cos
+−
++
=
xx
xx
y
.
7. Gọi a, b, c là các cạnh đối diện với các góc tương ứng của tam giác ABC.
a) Cho
ACB
222
sin2sinsin
=+
. Chứng minh
o
60A
≤
.
b)
ABCcbaCcBbAa
∆⇒++=++
)coscoscos(2
đều.
c) Chứng minh:
1sinC.sinA-sinB.sinC-sinA.sinB-Csinsinsin0
<++<
BA
Phần 2: Các công thức lượng giác
I. Công thức cộng
A. Kiến thức cần nhớ
bababa
abbaba
sinsincoscos)cos()2
cossincossin)sin()1
=±
±=±
ba
ba
ba
tantan1
tantan
)tan()3
±
=±
B. Bài tập
1. Chứng minh các công thức sau:
a)
+=
−=+
aaaa
4
sin2
4
cos2sincos
ππ
b)
−=
+=−
aaaa
4
sin2
4
cos2sincos
ππ
2. Rút gọn các biểu thức:
a)
++−
+−
aa
aa
4
sin2sin2
4
cos2cos2
π
π
b)
ooooo
79cos.69cos21cos.11cos10cos
++
c)
bababa tan.tan)cot().tan(tan
−−−
3. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
a)
tanCtanA.tanB.tanCtanBAtan
=++
b)
1
2
tan.
2
tan
2
tan.
2
tan
2
tan.
2
tan
=++
ACCBBA
c)
1cot.cotcot.cotcot.cot
=++
ACCBBA
d)
2
cot.
2
cot.
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
CBACBA
=++
2K2+ - 2 -
Phương trình lượng giác NXT - FIT
4. a) Cho
4
π
=−
ba
, chứng minh:
a
b
b
tan
tan1
tan1
=
−
+
và
b
a
a
tan
tan1
tan1
−=
+
−
.
b) Cho
4
π
=+
ba
, chứng minh:
2)tan1)(tan1(
=++
ba
và
2)cot1)(cot1(
=−−
ba
c) Cho
nya
max
=−
=+
)tan(
)tan(
. Chứngminh:
ab
ba
yx
+
−
=+
1
)tan(
.
d) Cho
5
2
tan
=
a
,
7
3
tan
=
b
)10( va, b
<<
. Tìm a + b.
e) Cho
2
1
tan
−=
a
)
2
(
π
π
<<
a
và
3tan
=
b
)
2
0(
π
<<
b
. Tìm a + b.
f) Cho
3
2
1tan
=
a
,
4
1
tan
=
b
)10( va, b
<<
. Tìm a - b.
g) Cho
12
1
tan
=
a
,
5
2
tan
=
b
,
3
1
tan
=
b
. Chứng minh a + b + c = 45
o
.
5. Tìm giá trị các hàm số lượng giác góc:
o
15
hoặc
12
π
và
o
75
hoặc
12
5
π
.
6. Cho
γβα
, ,
thoả mãn điều kiện:
2
π
γβα
=++
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
αγγββα
tan.tan1tan.tan1tan.tan1
+++++=
A
7. Chứng minh rằng nếu các góc của tam giác A, B, C thoả mãn một trong các đẳng thức sau thì tam giác
ABC cân:
a)
)cot(cot
2
1
sinsin
coscos
22
22
22
BA
BA
BA
+=
+
+
b)
A
C
B
cos2
sin
sin
=
c)
)tantan(
2
tan BbAa
A
ba
+=+
d)
BABA
2
tan.tantan2tan
=+
II. Công thức nhân đôi nhân ba.
A. Lý thuyết cần nhớ
aaa
aaa
a
a
a
aaaaa
aaa
cos3cos43cos
sin4sin33sin
tan1
tan2
2tan
1sco2sin21sincos2cos
cossin22sin
3
3
2
2222
−=
−=
−
=
−=−=−=
=
B. Bài tập
1. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
aaaa
aa
sin3coscos3sin
4
sin.
4
sin
−
+
−
ππ
b)
8tan
1
8
tan
2
π
π
−
c)
ooo
80cos.40cos.20cos
d)
)sin(coscossin2
22
aaaa
−
e)
aaaa
4224
sincossin6cos
+−
f)
2
cos
2
sin4cos
222
aa
a
−
g)
aa
22
cossin81
−
h)
ooo
40cos20cos10cos8
i)
aaaa 3sincos43cossin4
33
+
j)
aa 2sin4sin4
24
+
k)
5
2
cos
5
cos
ππ
l)
oooo
80cos60cos40cos20cos
m)
aaaaaa 32tan3216tan168tan84tan42tan2tan
+++++
n)
aa
aa
3coscos
3sinsin
3
3
−
+
o)
aa
aa
3sinsin
3coscos
+
−
2. Chứng minh:
a)
aaaa 3sin
4
1
3
sin
3
sinsin
=
+
−
ππ
. Áp dụng với
9
π
=
a
.
b)
118sin818sin8
23
=+
2K2+ - 3 -
Phương trình lượng giác NXT - FIT
c)
32
cot
32
tan
16
tan2
8
tan48
ππππ
=+++
d)
572tan36tan
22
=
oo
e)
aaaa 3cos
4
1
3
cos
3
coscos
=
+
−
ππ
. Tính:
18
7
cos
18
5
cos
18
cos
πππ
f)
a
aa
a
2
3
tan31
tantan3
3tan
−
−
=
g)
aaaa 3tan
3
tan
3
tantan
=
+
−
ππ
. Chứng minh:
5210
15
66tan54tan6tan
+
−
=
ooo
.
3. a) Cho
)0,(
2
sin
>
+
=
ba
ba
ab
α
. Tìm
α
2sin
,
α
2cos
,
α
2tan
.
b) Cho
2
1
2
cos
a
a
+
=
α
. Tìm
α
2sin
,
α
2cos
,
α
2tan
.
c) Cho
4
5
cossin
=+
αα
. Tìm
α
2sin
,
α
2cos
,
α
2tan
.
4. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số sau:
a)
−
+=
4
sin
4
sin
ππ
xxy
b)
xxy
44
sincos
−=
c)
xxy
22
cossin81
−=
III. Công thức hạ bậc. Công thức viết các hàm lượng giác theo
2
tan
a
t
=
.
A. Lý thuyết cần nhớ
aa
aa
2
2
sin22cos1
cos22cos1
=−
=+
2
1
2
sin
t
t
a
+
=
2
2
1
1
cos
t
t
a
+
−
=
2
1
2
tan
t
t
a
−
=
B. Bài tập
1. Chứng minh các biểu thức sau:
a)
2
tan
2sinsin2
2sinsin2
2
a
aa
aa
=
+
−
b)
−=
++
+−
a
aa
aa
4
tan
2cos2sin1
2cos2sin1
π
c)
2
cos4)cos(cos)sin(sin
222
ba
baba
+
=+++
d)
a
aa
cot2
2
cot
2
tan
−=
e)
−=
−
+
24
cot
sin1
sin1
2
a
a
a
π
f)
( )( )
1223'307tan
−−=
o
g)
2
cos2)cos(coscos)sin(sinsin
2
ba
baabaa
−
=+++
h)
2
sin4)cos(cos)sin(sin
222
ba
baba
−
=−+−
i)
a
a
a
a
sin1
24
sin
sin1
24
sin
+
−
−
−
+
ππ
)0(
π
<<
a
2. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
α
cos
2
1
2
1
2
1
2
1
++
)0(
πα
≤<
b)
α
cos
2
1
2
1
2
1
2
1
+−
)0(
πα
≤<
c)
2
cot1
2
cot2
2
a
a
+
d)
4
tan
4
cot
2
tan
2
cot
aa
aa
+
−
2K2+ - 4 -
Phương trình lượng giác NXT - FIT
e)
2
tan1
2
tan
2
tan1
2
tan
a
a
a
a
−
+
+
f)
2
tan1
1
2
tan1
1
aa
+
−
−
g)
αα
αα
sin2sin
2coscos1
−
+−
h)
α
α
α
α
cos1
cos
.
2cos1
2sin
++
3. Tìm giá trị biểu thức
a)
a
a
cos23
sin
−
biết
2
2
tan
=
a
b)
aa
aa
sintan
sintan
−
+
Biết
15
2
2
tan
=
a
4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
a)
xxy
2
sin2cos2
+=
b)
xxy 2cossin2
2
−=
c)
22
)cos(sin
4
sin xxxy
−+
−=
π
IV. Công thức biến đổi tổng và tích
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Công thức biến đổi tích thành tổng
[ ]
[ ]
[ ]
)cos()cos(
2
1
sinsin
)cos()cos(
2
1
coscos
)sin()sin(
2
1
cossin
bababa
bababa
bababa
+−−=
−++=
−++=
2. Công thức biến đổi tổng thành tích
2
sin.
2
sin2coscos
2
cos.
2
cos2coscos
2
sin.
2
cos2sinsin
2
cos.
2
sin2sinsin
baba
ba
baba
ba
baba
ba
baba
ba
−+
−=−
−+
=+
−+
=−
−+
=+
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
sinsin
)sin(
cotcot
sinsin
)sin(
cotcot
coscos
)sin(
tantan
coscos
)sin(
tantan
−
−=−
+
=+
−
=−
+
=+
B. Bài tập
1. Rút gọn biếu thức
a)
N)(n )cos(...)2cos()cos(cos
∈+++++++
nbababaa
b)
aaaa
aaaa
7sin5sin3sinsin
7cos5cos3coscos
+++
−+−
c)
aaa
aaa
3sin2sinsin
3cos2cos2cos
++
++
d)
a
aa
a
cos2
6
2cos
6
2cos
cos
+−
−
−
ππ
e)
2
cotcot
3
cos
3
cos
a
a
aa
−
−+
+
ππ
f)
aaaa 2cos
2
1
4cos
4
1
cos2cos
2
−−
g)
2cos4cos1cos3cos
22
−+
h)
)158sin112(sin203sin291sin1sin
ooooo
+++
i)
)140sin130(sin185sin2125cos35cos
ooooo
+++
j)
oooo
80sin60sin40sin20sin
k)
oooo
80tan60tan40tan20tan
2. Chứng minh:
a)
16
3
80sin60sin40sin20sin
=
oooo
2K2+ - 5 -
