CÁC ĐỀ ÔN TẬP HỌC KỲ II 11 2009

ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC 2008 - 2009
ĐỀ 1
( Thời gian làm bài 90 phút )
Câu I ( 1,0 điểm )
Một cấp số cộng có số hạng đầu là 16 , công sai là
−
4 và tổng là
−
72 . Hỏi cấp số cộng
có bao nhiêu số hạng .
Câu II ( 3,0 điểm )
a. Tìm giới hạn của dãy số (
n
u
) với
n
u n 7 3n 2= + − +
b. Tìm giới hạn sau :
2
2
x 1
x 3x 2
lim
2x 2x
→−
+ +
+
c. Xét tính liên tục của hàm số
2
o
2x x 1

f (x) 1
n 1

− + − −
= = −

≤ −

nÕu x > 1
t¹i x
2x + 3 Õu x
.
Câu III ( 3,0 điểm )
a. Tìm đạo hàm của hàm số
sin x
y
x 1
=
−
.
b. Cho hàm số
3 2
f (x) x 3x 9x 2009= − − + +
. Hãy giải bất phương trình
f '(x) 0≤
.
c. Cho hàm số
2
y 1 x= +
. Chứng minh rằng :

2
y.y'' (y') 1+ =


Câu IV ( 3,0 điểm )
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD) .
a. Chứng minh rằng : mp(SAB)
⊥
mp(SBC) .
b. Chứng minh rằng : BD
⊥
mp(SAC) .
c. Biết SA=
a 6
3
. Tính góc giữa SC và mp(ABCD) .
. . . . . . . .Hết . . . . . . .
HƯỚNG DẪN
Câu I ( 1,0 điểm )

Gọi n là số lượng số hạng ,
1
u
là số hạng đầu tiên , d là công sai của cấp số cộng .
Áp dụng công thức :
n 1
n
S [2u (n 1)d]
2

= + −
, ta có :

2
n 3
n
72 [2.16 (n 1)( 4)] 2n 18n 72 0
n 12
2
= −

− = + − − ⇔ − − = ⇔

=

( lo¹i )
( nhËn )
Vậy cấp số cộng này có 12 số hạng .
Câu II ( 3,0 điểm )
a. ( 1đ ) Ta có :
n
7 2
lim u lim n[ 1 3 ]
n n
= + − +

Vì
7 2
lim n , lim[ 1 3 ] 1 3 0
n n

= +∞ + − + = − <
nên
n
lim u = −∞
Giáo Viên TRẦN VĂN NÊN - 1 -
ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC 2008 - 2009
b. (1đ)
2
2
x 1 x 1 x 1
x 3x 2 (x 1)(x 2) x 2 1 2 1
lim lim lim
2x(x 1) 2x 2 2
2x 2x
→− →− →−
+ + + + + − +
= = = = −
+ −
+
c. (1đ) Tập xác định D =
¡
Ta có : f(
−
1) = 3+2(
−
1) = 1

2 2
x ( 1) x ( 1)
lim f (x) lim ( 2x x 1) 2( 1) 1 1 4

+ +
→ − → −
= − + − = − − − − = −

x ( 1) x ( 1)
lim f (x) lim (2x 3) 3 2( 1) 1
− −
→ − → −
= + = + − =
Vì
x ( 1) x ( 1)
lim f (x) lim f (x)
+ −
→ − → −
≠
nên không tồn tại
x 1
lim f (x)
→−

Vậy hàm số đã cho không liên tục tại
o
x 1= −
Câu III ( 3,0 điểm )
a. (1đ) Ta có :
2 2 2
(sin x)'.(x 1) sin x.(x 1)' cos x.(x 1) sin x (x 1)cos x sin x
y'
(x 1) (x 1) (x 1)
− − − − − − −

= = =
− − −
b. (1đ) Ta có :
2
f '(x) 3x 6x 9= − − +

Do đó :
2 2
f '(x) 0 3x 6x 9 0 x 2x 3 0 x 3 x 1≤ ⇔ − − + ≤ ⇔ − − + ≤ ⇔ ≤ − ∨ ≥
c) (1đ) Ta có :
2 2 2
y 1 x y 1 x 2y.y' 2x y.y' x y '.y' y.y'' 1= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = ⇒ + =
Hay
2 2
(y ') y.y'' 1 y.y'' (y ') 1 pcm)+ = ⇔ + = (®
Câu IV ( 3,0 điểm )
a. (1đ) Vì
SA (ABCD) SA BC⊥ ⇒ ⊥
(1) , do
BC (ABCD)⊂
.
Mặt khác :
BC AB
⊥
(2) , do ABCD là hình vuông .
Từ (1) , (2) suy ra
BC (SAB) (SBC) (SAB)⊥ ⇒ ⊥
, Vì
BC (SBC)⊂
b. (1đ) Ta có :

AC BD⊥
(3) , do ABCD là hình vuông
Vì
SA (ABCD) SA BD⊥ ⇒ ⊥
(4) , do
BD (ABCD)⊂
.
Từ (3),(4) suy ra :
BD (SAC)⊥
c. (1đ) Do
(ABCD) (ABCD)
SA (ABCD) A hc S AC hc SC⊥ ⇒ = ⇒ =
Suy ra góc giữa SC và mp(ABCD) là
·
SCA
Tam giác SAC vuông tại A , ta có :

· ·
a 6
SA 3
3
tanSCA SCA 30
AC 3
a 2
= = = ⇒ =
o

Giáo Viên TRẦN VĂN NÊN - 2 -
ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC 2008 - 2009
ĐỀ 2

( Thời gian làm bài 90 phút )
Câu I ( 1,0 điểm )
Một cấp số nhân có chín số hạng , biết số hạng đầu là 5 và số hạng cuối là 1280 . Tính
công bội q và tổng
9
S
các số hạng .
Câu II ( 3,0 điểm )
d. Tìm giới hạn của dãy số (
n
u
) với n
2
1 3 5 ... (2n 1)
u
n 1
+ + + + −
=
+
e. Tìm giới hạn sau :
x 1
3 6
lim ( )
1 x
1 x
→
−
−
−
f. Xét tính liên tục của hàm số

o
3x 1
f (x) 1
x 2
n 1
−


≠
= =

−

− =

nÕu x 1
t¹i x
2 Õu x
.
Câu III ( 3,0 điểm )
c. Tìm đạo hàm của hàm số
y x 6 x= −
.
d. Cho hàm số
2
f (x) x sin x cos x= + +
. Hãy tính :
f ''(1) , π f ''( )
.
e. Cho hàm số

x 3
f (x)
x 3
−
=
+
. Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số , biết tiếp
tuyến có hệ số góc là 1 .

Câu IV ( 3,0 điểm )
Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh bằng a và AB vuông góc với mặt phẳng
(BCD) . Gọi I và E lần lượt là trung điểm của BC và CD . .
c. Chứng minh rằng : Mp(ABC)
⊥
mp(ADI) .
d. Chứng minh rằng : CD
⊥
mp(ABE) .
c. Tính khoảng cách từ D đến mp(ABC) .
. . . . . . . .Hết . . . . . . .
HƯỚNG DẪN
Câu I ( 1,0 điểm )

Ta có n = 9 là số lượng số hạng ,
1
u
=5 là số hạng đầu tiên ,
9
u
=1280 là số hạng đầu tiên ,

q là công bội của cấp số nhân .
Áp dụng công thức
8 8 8 8 8
9 1
u u .q 1280 5.q q 256 q 2 q 2= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± : , ta có :
+ q = 2
⇒
9 9
9 1
q 1 2 1
S u . 5. 2555
q 1 2 1
− −
= = =
− −
+ q =
−
2
⇒
9 9
9 1
q 1 ( 2) 1
S u . 5. 855
q 1 ( 2) 1
− − −
= = =
− − −
Câu II ( 3,0 điểm )
c. ( 1đ ) Ta có : ta có tổng
n

S 1 3 5 ... (2n 1)= + + + + −
là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số
cộng có
1 n
u 1,u 2n 1= = −
, do đó :
2
n
n(n 2n 1)
S 1 3 5 ... (2n 1) n
2
+ −
= + + + + − = =
Giáo Viên TRẦN VĂN NÊN - 3 -
ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC 2008 - 2009
Suy ra :
2
n
2 2
2
1 3 5 ... (2n 1) n 1
lim u lim lim lim 1
1
n 1 n 1
1
n
+ + + + −
= = = =
+ +
+

d. (1đ)
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
3 6 3 3 x 6 3( x 1) 3( x 1) 3 3
lim ( ) lim ( ) lim lim lim
1 x 1 x 1 x 2
1 x (1 x)(1 x ) 1 x
→ → → → →
+ − − − −
− = = = = = −
− − −
− − + +
c. (1đ) Ta có : f(1) =
−
2
Vì
x 1 x 1
3x 1 3.1 1
lim f (x) lim 2 f (1)
x 2 1 2
→ →
− −
= = = − =
− −
Vậy hàm số đã cho liên tục tại
o
x 1=
Câu III ( 3,0 điểm )
a. (1đ) Ta có :
x.( 1) 12 3x
y' 6 x x.( 6 x)' 6 x

2 6 x 2 6 x
− −
= − + − = − + =
− −
b. (1đ) Ta có :
f '(x) 2x sin x cosx= − + − − , f ''(x) = 2 cosx sinx
Do đó :
f ''(1) 2 sin1 cos1 0,983= − + ≈ π − π − π ; f ''( ) = 2 cos sin = 3
c) (1đ) Gọi
o
x
là hoành độ tiếp điểm . Vì
2
6
f ' (x)
(x 3)
=
+
.
Theo giả thiết , ta có :
2
o o o
2
o
6
f ' (x ) 1 1 (x 3) 3 x 3 6
(x 3)
= ⇔ = ⇔ + = ⇔ = − ±
+
Áp dụng công thức :

o o o
y y f ' (x )(x x )− = −

o o
x 3 6 y 1 6+ = − + ⇒ = −
⇒
tiếp tuyến
1
( ): y x 4 2 6∆ = + −

o o
x 3 6 y 1 6+ = − − ⇒ = +
⇒
tiếp tuyến
2
( ) : y x 4 2 6∆ = + +
Câu IV ( 3,0 điểm )
d. (1đ) Vì
AB (BCD) AB DI⊥ ⇒ ⊥
(1) , do
DI (BCD)⊂
.
Mặt khác :
DI BC⊥
(2) , do DI là đường cao của tam giác BCD .
Từ (1) , (2) suy ra
DI (ABC) (ADI) (ABC)⊥ ⇒ ⊥
, vì
DI (ADI)⊂
e. (1đ) Ta có :

BE CD
⊥
(3) , do BE là đường cao của tam giác BCD .
Vì
(ABC) (ABC)
AB (BCD),B (BCD) B hc A BE hc AE⊥ ∈ ⇒ = ⇒ =
(4)
Từ (3),(4) suy ra :
CD AE⊥
(5) , do định lí 3 đường vuông góc .
Từ (3),(5) suy ra : CD
⊥
(ABE) .
f. (1đ) Do
DI (ABC),I (ABC) d(D,(ABC)) DI⊥ ∈ ⇒ =
=
a 3
2
Giáo Viên TRẦN VĂN NÊN - 4 -
ÔN TẬP KIỂM TRA HK2 – LỚP 11NC . NĂM HỌC 2008 - 2009
ĐỀ 3
( Thời gian làm bài 90 phút )
Câu I ( 1,0 điểm )
Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng . Biết
5
9
u 19
u 35
=



=

Câu II ( 3,0 điểm )
g. Tìm giới hạn của dãy số (
n
u
) với
n
2n sin n
u
n
+
=
h. Tìm giới hạn sau :
2
x 2
x 2 x
lim
x 4x 4
→
+ +
− + −
i. Cho hàm số
3
2
x
f (x)
n 1


−

=

− ≥ −


nÕu x < 1
2x 3 Õu x
. Chứng minh rằng hàm số f(x) liên tục trên
¡
.
Câu III ( 3,0 điểm )
f. Tìm đạo hàm của hàm số
y x cos3x=
.
g. Cho hàm số
y sin 2x cos 2x= −
. Hãy giải bất phương trình
y '' 0=
.
c. Cho hàm số
y 2x 1= +
có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết rằng
tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d) :
1
y x 1
3
= +
.

Câu IV ( 3,0 điểm )
Cho tam giác đều ABC cạnh a . Trên đường vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại B , ta lấy
một điểm M sao cho MB = 2a . Gọi I là trung điểm của BC .
e. Chứng minh rằng : AI
⊥
mp(MBC) .
f. Tính góc hợp bởi đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC) .
c. Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (MIA) .
. . . . . . . .Hết . . . . . . .
HƯỚNG DẪN
Câu I ( 1,0 điểm )

Gọi
1
u
là số hạng đầu tiên , d là công sai của cấp số cộng .
Áp dụng công thức :
n 1
u u (n 1)d= + −
, ta có :

1
1
5
9
1
u 4d 19
u 3
u 19
u 35

u 8d 35
d 4
+ =
=


=

⇔ ⇔
  
=
+ =
=



Vậy cấp số cộng này có
1
u 3, d 4= =
.
Câu II ( 3,0 điểm )
e. ( 1đ ) Ta có :
n n n
sin n sin n sin n
u 2 u 2 lim(u 2) lim
n n n
= + ⇒ − = ⇒ − =

Vì
sin n 1 1 sin n

| | lim 0 n 0
n n n n
≤ = = , nª lim
nên
n
limu 2=
f. (1đ)
2 2
x 2 x 2
x 2 x x 2 x
lim lim
x 4x 4 (x 2)
→ →
+ + + +
= = −∞
− + − − −
Vì
2 2
x 2 x 2
lim ( x 2 x) 4 lim [ (x 2) ] 0 (x 2) 0
→ →
+ + = − − = − − < , vµ
c. (1đ) Tập xác định D =
¡
Giáo Viên TRẦN VĂN NÊN - 5 -