Hướng dẫn giải một số bài toán nâng cao về ứng dụng của tích phân vũ hồng quý file word có lời giải chi tiết image marked

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

d

Biên soạn: Vũ Hồng Quý

Bài toán 1. Cho hình vuông có cạnh bằng . Tại bốn đỉnh người ta vẽ
lần lượt bốn đường tròn có bán kính bằng nhau và bằng 1cm. Tính thể
tích phần được tô màu khi quay hình phẳng xung quanh trục .
20
.
B. V = 102 +
A. V = 62 + 16.
3
C. V = 82 +

44
.
3

D. V = 62 +

52
.
3

Bài toán 2.Một hình xuyến dạng cái phao có kích thước như hình vẽ. Tính
thể tích của hình đó theo R và r.

A. V = 22 r 2R.

B. V = 22 rR2 .

C. V = 2 r 2R.

D. V = 2 rR2 .

Bài toán 3. Cho một khối chỏm cầu (S ) có bán kính R và chiều cao h. Tính thể tích V của khối
chỏm cầu (S)
h



h

B. V = h2  R −  .
3

h

C. V = h2  R +  .
2

h

D. V = h2  R −  .
2


A. V = h2  R +  .
3

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Bài toán 4 (Sở GD Hà Tĩnh). Ta vẽ nửa đường tròn
như hình vẽ bên, trong đó đường kính của đường tròn
lớn gấp đôi đường kính của nửa đường tròn nhỏ. Biết
rằng nửa hình tròn đường kính AB có diện tích là 32
và BAC = 300. Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo
thành khi quay hình phẳng (H) (phần tô đậm) xung
quanh đường thẳng AB.
A.

620

3

C. 279

B.

784

3

D.

325

3

Bài toán 5 (Quốc học Huế-L2). Người ta dựng một
cái lều vải (H) có dạng hình “chóp lục giác cong đều”
như hình vẽ bên. Đáy của (H) là một hình lục giác đều
cạnh 3m . Chiều cao = 6m (SO vuông góc với mặt
phẳng đáy). Các cạnh bên của (H) là các sợi dây
C1,C2 ,C3 ,C4 ,C5 ,C6 nằm trên các đường parabol có trục
đối xứng song song với SO. Giả sử giao tuyến (nếu
có) của (H) với mặt phẳng (P) qua trung điểm của SO
thì lục giác đều có cạnh 1m. Tính thể tích phần không
gian nằm bên trong cái lều (H) đó.
A.

135 3 3
(m ).
5

B.

96 3 3
(m ).
5

C.

135 3 3
(m ).
4

D.

135 3 3
(m ).
8

Bài toán 6 (Sở GD Vĩnh Phúc): Một thùng đựng nước có
dạng hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy bằng R. Khi đặt
thùng nước nằm ngang như hình 1 thì khoảng cách từ trục
hình trụ tới mặt nước bằng

R 3
(mặt nước thấp hơn trục của
2

hình trụ). Khi đặt thùng nước thẳng đứng như hình 2 thì chiều
cao của mực nước trong thùng là h2. Tính tỉ số

A.

2 − 3 13
12

B.

− 3
6

h1
.
h

C.

2 − 3
12

D.

3
4

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Bài toán 7. Câu lạc bộ bóng đá AS Roma dự
định xây dựng SVĐ mới có tên là Stadio
della Roma để làm sân nhà của đội bóng thay
thế cho sân bóng Olimpico. Hệ thống mái của
SVĐ Stadio della Roma dự định được xây
dựng có dạng hai hình elip như hình bên với
hình elip lớn bên ngoài có độ dài trục lớn là
146 mét, độ dài trục nhỏ là 108 mét, hình elip
nhỏ bên trong có độ dài trục lớn là 110 mét,
độ dài trục nhỏ là 72 mét. Giả sử chi phí vật
liệu là 100 ϵ mỗi mét vuông. Tính chi phí cần
thiết để xây dựng hệ thống mái sân.
A. 98100 ϵ

B. 98100 ϵ

C. 196200 ϵ

D. 196200 ϵ

Bài toán 8. Một khối nón (N) có bán kính đáy r, thiết diện qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng
đáy là một tam giác đều. Cắt khối nón bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và vuông góc
với đường sinh của khối nón để lấy một cái nêm (xem hình vẽ).

Kí hiệu V là thể tích cái nêm. Thể tích V là ?
A. V =

r3
2 3

B. V =

r3
3

C. V =

r 3
2 3

D. V =

r 3
3

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

ĐÁP ÁN
1-D

2-A

3-B

4-B

5-D

6-A

7-D

8-A

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Bài toán 1. Cho hình vuông có cạnh bằng . Tại bốn đỉnh
người ta vẽ lần lượt bốn đường tròn có bán kính bằng nhau và
bằng 1cm. Tính thể tích phần được tô màu khi quay hình
phẳng xung quanh trục .

B. V = 102 +

A. V = 62 + 16.
C. V = 82 +

44
.
3

D. V = 62 +

20
.
3

52
.
3

Hướng dẫn giải
Trước khi đến với lời giải của bài toán này chúng ta sẽ cùng giải Bài toán 2 như sau:
Bài toán 2. Một hình xuyến dạng cái phao có kích thước như hình vẽ. Tính thể tích của hình đó
theo R và r.

C. V = 2 r 2R.
Hướng dẫn giải

B. V = 22 rR2 .

A. V = 22 r 2R.

D. V = 2 rR2 .

Xét hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ.
Khi đó hình xuyến dạng cái phao được tạo ra khi ta quay đường tròn tâm (O;R) và bán kính r

xung quanh trục Ox.
y = R + r 2 − x 2

 Phương trình đường tròn x 2 + (y − R)2  

y = R − r 2 − x 2

r

(

 V =   R + r 2 − x2
−r

) (
2


−  R − r 2 − x2


)

2


2
2
 dx = 4R  r − x dx .


−r
r

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất



2


2

−r→
2
r→

Đặt x = r sint  dx = r costdt ⎯⎯⎯→ V = 4R  (r cost)2
−
2


2
sin2t
= 2r 2 R  (1 + cos2t)dt = 2r 2R(t +
= 22 r 2R → Đáp án A

2  

−
−

2
 2

2

Vậy ta có công thức tính thể tích của một hình xuyến dạng cái phao có kích thước như hình vẽ
là:

V = 22 r2R
Quay trở lại với Bài toán 1 ta có vật thể được tạo thành
khi quay hình phẳng xung quanh trục XY có hình dạng
như hình bên.
Khi đó thể tích vật thể được tạo thành sẽ bằng tổng thể
tích của hình trụ có bán kính R = 2 , chiều cao h = 4 và 2
hình xuyến dạng cái phao có R = 2, r = 1 trừ đi 2 lần thể
tích của

1
nửa bên trong hình xuyến dạng cái phao có R
2

= 2, r = 1.
Vậy V(H) = .22.4 + 2.22 .12.2 − V ' = 82 + 16 − V ' .
Với V’ là thể tích một nửa bên trong của hình xuyến dạng cái
phao có R = 2, r = 1.
 V’ là thể tích của nửa hình tròn tâm (I) , bán kính r = 1
quay xung quanh trục Ox như hình vẽ.

1

(

V ' =   22 − 2 − 1 − x 2
−1

)

2

1

)

(

4
dx =   x 2 − 1 + 4 1 − x 2 dx = 22 − 
3
−1

(Cách tính tương tự như khi chúng ta tính thể tích cái phao
trên).


4 

52

→ Đáp án D.
Vậy V(H) = 82 + 16 −  22 −   = 62 +

3 
3

Bài toán 3. Cho một khối chỏm cầu (S ) có bán kính R và chiều cao h. Tính thể tích V của khối
chỏm cầu (S)
h



h


B. V = h2  R −  .
3


h


C. V = h2  R +  .
2


A. V = h2  R +  .
3

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất






h

D. V = h2  R −  .
2


Hướng dẫn giải
Ta có khối chỏm cầu thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi
y = R2 − x 2
quay quanh trục x

x = R − h,(0  h  R)
R

x2  R
 V(S) =   (R2 − x 2 )dx =   R2x − 
3  R−h

R− h


R3
(R − h)3 
h
2
=   R3 −
− R2 (R − h) +
 = h  R − 

3
3 
3


→ Đáp án B.

Chú ý: Ta có thể mở rộng công thức khi đề bài cho dữ kiện theo


h

B.

784

3

D.

325

3

h

cách khác: V = h2  R −  = (h2 + 3r 2 ) (với r là bán kính đường
3 6

tròn đáy của chỏm cầu)

Bài toán 4 (Sở GD Hà Tĩnh). Ta vẽ nửa đường tròn
như hình vẽ bên, trong đó đường kính của đường tròn
lớn gấp đôi đường kính của nửa đường tròn nhỏ. Biết
rằng nửa hình tròn đường kính AB có diện tích là 32
và BAC = 300. Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo
thành khi quay hình phẳng (H) (phần tô đậm) xung
quanh đường thẳng AB.
A.

620

3

C. 279

Hướng dẫn giải
Cách 1. Dựng hệ trục toạ độ như hình vẽ.
Ta có:

1
R
S = 32  R2 = 64  R = 8  r = = 4
2
2

2

(C) : y = 64 − (x − 8)

2


(C') : y = 16 − (x − 4)
BAC = 300  BAC = 300  Phương trình đường

thẳng
AC : y = x.tan300  y =

x
3

Vậy thể tích vật thể cần tính là:
16
8
 12 x2
 casio 784
V =    dx +  64 − (x − 8)2 dx −  16 − (x − 4)2 dx  ⎯⎯⎯
→

3
12
6
 0 3

→ Đáp án là B

(

)

(

)

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Cách 2. Ta có thể tích vật thể cần tính bằng tổng thể tích khối nón cụt có bán kính đáy lớn
R = 4 3 , bán kính đáy nhỏ r = 2 3 , chiều cao h = 6 và khối chỏm cầu có chiều cao h = 4 , bán
kính R = 8 trừ thể tích khối chỏm cầu có chiều cao h = 2 , bán kính R = 4.
1

(

)



2

4



2 

784

 → Đáp án B.
Vậy suy ra V =   .6 (4 3)2 + 4 3.2 3 + (2 3) 42  8 −  − 22  4 −   =
3

3 
3


3
Bài toán 5 (Quốc học Huế-L2). Người ta dựng một
cái lều vải (H) có dạng hình “chóp lục giác cong đều”
như hình vẽ bên. Đáy của (H) là một hình lục giác đều
cạnh 3m . Chiều cao = 6m (SO vuông góc với mặt
phẳng đáy). Các cạnh bên của (H) là các sợi dây
C1,C2 ,C3 ,C4 ,C5 ,C6 nằm trên các đường parabol có trục
đối xứng song song với SO. Giả sử giao tuyến (nếu
có) của (H) với mặt phẳng (P) qua trung điểm của SO
thì lục giác đều có cạnh 1m. Tính thể tích phần không
gian nằm bên trong cái lều (H) đó.

A.

135 3 3
(m ).
5

B.

96 3 3
(m ).
5

C.

135 3 3
(m ).
4

D.

135 3 3
(m ).
8

Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ.
Gọi phương trình parabol của ( C1 ) là:
1

a = 2
0 = 9a + 3b + c 
7
1
7


y = ax 2 + bx + c  3 = a + b + c  b = −  y = x 2 − x + 6
2
2
2
6 = c


c = 6




Khi cắt (H) bởi mặt phẳng vuông góc với trục Oy tại điểm
có tung độ y, ( 0  y  6 ) ta được thiết diện là một hình lục
1
2

7
2

giác đều có độ dài cạnh x xác định bởi y = x 2 − x + 6
Do
7 − 1 + 8y
x 2 3 3 3  7 − 1 + 8y 
0 y  3  x =
 S(y) = 6
=


2
4
2 
2


2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

2

3 3  7 − 1 + 8y 
135 3 3
Vậy thể tích túp lều là: V = 
(m ) → Đáp án D.

 dy =
2
2
8
0


6

Bài toán 6 (Sở GD Vĩnh Phúc): Một thùng đựng nước có
dạng hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy bằng R. Khi đặt
thùng nước nằm ngang như hình 1 thì khoảng cách từ trục
R 3
(mặt nước thấp hơn trục của
2

hình trụ tới mặt nước bằng

hình trụ). Khi đặt thùng nước thẳng đứng như hình 2 thì chiều
cao của mực nước trong thùng là h2. Tính tỉ số

A.

2 − 3 13
12

h1
.
h

− 3
6

B.

C.

2 − 3
12

D.

3
4

Hướng dẫn giải
Thể tích lượng nước có trong thùng ở hình 1 là: V = S.h
Thể tích lượng nước có trong thùng ở hình 2 là: V ' = S'.h1
Do V = V ' 

h1 S
S

= =
h S' R2

Trong đó S là diện tích chỏm cầu trong hình bên
R

 S = 2



R2 − x 2 dx

R 3
2

Đặt
x = R→ t =


2


2

x = Rsint  dx = Rcostdt ⎯⎯⎯⎯⎯
→ s = 2  Rcost R2 − (Rsint)2 dx
R 3

x=

2

→t =


3

3


 2 − 3 3 
1
+
cos2t
t
sin2t

2
= 2 (Rcost)2 dx = 2R2 
dx = 2R2  +
= R2 

 12 
2
4 
2





3
3
3

2


2

(

R2 2 − 3 3
h
S
Vậy suy ra 1 = 2 =
h R

12
R2

)

=

2 − 3 3
→ Đáp án A.
12

Chú ý: Ta có CT tính nhanh diện tích, thể tích chỏm cầu (S) có bán kính R và chiều cao h như
sau:


h

2
S = R  2 −  − R cos 
h



với  = arcsin .

R
V = h2  R − h 



3


– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Bài toán 7. Câu lạc bộ bóng đá AS Roma dự định xây dựng SVĐ mới có tên là Stadio della
Roma để làm sân nhà của đội bóng thay thế cho sân bóng Olimpico. Hệ thống mái của SVĐ
Stadio della Roma dự định được xây dựng có dạng hai hình elip như hình bên với hình elip lớn
bên ngoài có độ dài trục lớn là 146 mét, độ dài trục nhỏ là 108 mét, hình elip nhỏ bên trong có độ
dài trục lớn là 110 mét, độ dài trục nhỏ là 72 mét. Giả sử chi phí vật liệu là 100 ϵ mỗi mét vuông.
Tính chi phí cần thiết để xây dựng hệ thống mái sân.
A. 98100 ϵ

B. 98100 ϵ

C. 196200 ϵ

D. 196200 ϵ

Hướng dẫn giải
Cách 1: Dùng ứng dụng tích phân.
Hình elip lớn có độ dài trục lớn là 146m, độ dài trục
nhỏ là 108m
a = 73
x2
y2
x2

 PT (E1 ) : 2 + 2 = 1  y = 54 1 − 2 .
73 54
73
b = 54

Hình elip nhỏ có độ dài trục lớn là 110m, độ dài trục nhỏ là
72m
a = 55
x2
y2
x2

 PT (E2 ) : 2 + 2 = 1  Y = 36 1 − 2
55 36
55

b = 36

Do tính đối xứng của hình elip nên ta có diện tích
hệ thống mái của SVĐ là:

55
 73
 casio
x2
x2
S = 4  54 1 − 2 dx −  36 1 − 2 dx −  ⎯⎯⎯
→ S = 1962(m2 )
0

73
55
0



 Chi phí cần thiết để xây dựng hệ thống mái sân bằng
196200 (ϵ) → Đáp án D.
Cách 2: Áp dụng CT tính diện tích hình elip S = ab
a = 73
 S1 = .73.54 = 3942(m2 ).
b
=
54


+) Hình elip lớn có 

a = 55
 S2 = .55.36 = 1980(m2 ) .
b
=
36


+) Hình elip nhỏ có 

Vậy diện tích hệ thống mái của SVĐ là: S = S1 = S2 = 1962(m2 )
 Chi phí cần thiết để xây dựng hệ thống mái sân bằng 100S = 196200 (ϵ)→ Đáp án D.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Bài toán 8. Một khối nón (N) có bán kính đáy r, thiết diện qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng
đáy là một tam giác đều. Cắt khối nón bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và vuông góc
với đường sinh của khối nón để lấy một cái nêm (xem hình vẽ).

Kí hiệu V là thể tích cái nêm. Thể tích V là ?
A. V =

r3
2 3

B. V =

r3

C. V =

3

r 3
2 3

D. V =

r 3
3

Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ và cắt cái nêm bởi một
mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x ta
được một thiết diện là một tam giác vuông ABC như hình vẽ
r

 Thể tích V của cái nêm cần tính là: V =  S(x)dx với
−r

S(x) = SABC
ABC vuông tại B  SABC =

1
AB.BC
2

OAC vuông tại A  AC = r 2 − x2

1
1 2

2
BC = 2 AC = 2 r − x
3 2

 SABC =
(r − x 2 )
8
3
2
2
AB = AC.sin60' =
r −x

2
r

Vậy V =  S(x)dx =
−r

r
3
3 2
x3  r
r3
2
2
(r

−
x
)dx
=
r
.x
−
=
→ Đáp án A.


8 −r
8 
3  −r 2 3

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất