Một số bài toán nâng cao về dãy và chuỗi số thực

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ THANH VÂN
MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO VỀ
DÃY VÀ CHUỖI SỐ THỰC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ THANH VÂN
MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO VỀ
DÃY VÀ CHUỖI SỐ THỰC
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60 46 01 13
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN VĂN NGỌC
Thái Nguyên - 2015
Lời cảm ơn
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tạị Trường Đại học Khoa
học, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Ngọc. Thầy
đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo để tôi có thể hoàn thành luận văn này, tôi xin
được gửi tới Thầy lòng biết ơn sâu sắc.
Tôi xin được cảm ơn Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã
cho tôi cơ hội được học tập và hoàn thành chương trình cao học dưới sự giảng
dạy nhiệt tình, tâm huyết của các thầy, cô giáo.
Tôi xin cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng và Trường Trung học
phổ thông Hồng Bàng, nơi tôi công tác đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành
khóa học này.
Cuối cùng xin được cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi
để hoàn thành nhiệm vụ của mình.

Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015
Học viên
Nguyễn Thị Thanh Vân
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan Luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp Toán sơ
cấp với đề tài " Một số bài toán nâng cao về dãy và chuỗi số thực " là do tôi
thực hiện, không sao chép và không trùng lặp về nội dung với bất kỳ tài liệu
nào cùng chủ đề. Các tài liệu mà tôi tham khảo trong quá trình hoàn thành
Luận văn này được trích dẫn đầy đủ.
Học viên
Nguyễn Thị Thanh Vân
iii
Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Một số bài toán nâng cao về dãy số 3
1.1 Các khái niệm cơ bản về dãy số. Các dãy số đặc biệt . . . . . . 3
1.1.1 Khái niệm cơ bản về dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Các dãy số đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Một số kỹ thuật nghiên cứu dãy số lặp . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Dẫn luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Kỹ thuật phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Kỹ thuật lượng giác hóa và kỹ thuật phương trình đại số 13
1.2.4 Kỹ thuật tuyến tính hóa dãy lặp phi tuyến . . . . . . . . 15
1.3 Một số bài toán nâng cao tìm số hạng tổng quát của dãy số . . 19
1.3.1 Dẫn luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.2 Một số bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Giới hạn của các dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.1 Lý thuyết tóm tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.2 Một số bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
iv
1.5 Các tính chất của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 Một số bài toán liên quan đến chuỗi số 50
2.1 Các khái niệm cơ bản về chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.1.1 Khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.1.2 Chuỗi hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.1.3 Các phép toán của chuỗi hội tụ . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2 Hội tụ của các chuỗi số dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.1 Tiêu chuẩn so sánh hơn thua . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.2 Tiêu chuẩn so sánh tỷ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.3 Tiêu chuẩn D’ Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.4 Tiêu chuẩn Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.5 Tiêu chuẩn tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.6 Tiêu chuẩn Raabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.7 Tiêu chuẩn Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.8 Một số chuỗi dương đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3 Chuỗi có dấu bất kỳ và chuỗi đan dấu . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.1 Chuỗi có dấu bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.2 Chuỗi đan dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4 Một số bài toán về tính toán hoặc đánh giá các chuỗi . . . . . . 56
2.4.1 Tìm tổng của các chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.2 Đánh giá các chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5 Các bài toán về tính hội tụ của các chuỗi số . . . . . . . . . . . 64
Kết luận 76
Tài liệu tham khảo 77
1
Mở đầu
Dãy số và giới hạn của dãy số là chuyên mục quan trọng của Giải tích

Toán học được dạy ở bậc Trung học Phổ thông. Các bài toán về dãy số có
sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẻ đẹp và tính độc đáo của các phương pháp và kỹ
thuật giải các bài toán khác nhau về dãy số.
Các vấn đề cơ bản của dãy số bao gồm: xác định số hạng tổng quát, tìm
giới hạn và một số tính chất, như tính bị chặn, tính đơn điệu, tính nguyên v.v
Các bài toán về dãy số thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp,
nhất là cấp Quốc gia và Quốc tế. Vì thế, việc tìm hiểu và học hỏi nâng cao về
dãy số và các bài toán liên quan là cần thiết trong việc học tập và giảng dạy
Toán học ở bậc Phổ thông.
Một vấn đề Toán học khác có liên quan mật thiết với dãy số, đó là chuỗi
số (tổng vô hạn). Theo định nghĩa, chuỗi số là giới hạn của dãy số dạng tổng
lim
n→+∞
n

k=1
a
k
, trong đó {a
k
} là dãy số vô hạn cho trước. Trong Giải tích 11 đã
có giới thiệu qua về tổng vô hạn, đó là tính tổng vô hạn các số hạng của một
cấp số nhân có công bội với trị tuyêt đối nhỏ hơn 1. Các vấn đề về xét tính
hội tụ của chuỗi cũng như tính toán hay đánh giá các tổng vô hạn rất thú vị
và có nhiều ứng dụng thực tiễn. Vì thế, chuỗi số thực cũng là đối tượng được
đề cập trong luận văn này.
Mục tiêu của luận văn này nhằm đề cập đến một số vấn đề cơ bản của dãy
số và chuỗi số thông qua các phương pháp giải các bài toán về dãy và chuỗi số
mà đa phần ở mức nâng cao hoặc khó. Nội dung của luân văn này được hình
thành chủ yếu từ tài liệu [6].

Luận văn có bố cục: Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận và Tài
2
liệu tham khảo.
Chương 1: Một số bài toán nâng cao về dãy số: gồm các khái niệm cơ bản
về dãy số, hệ thống một số bài toán về dãy số với bài toán về dãy số lặp, bài
toán nâng cao tìm số hạng tổng quát của dãy số, bài toán tìm giới hạn của dãy
số, bài toán sử dụng các tính chất của dãy số.
Chương 2: Một số bài toán liên quan đến chuỗi số: gồm các khái niệm cơ
bản về chuỗi số, hệ thống một số bài toán về chuỗi số như tính toán và đánh
giá chuỗi số, bài toán về tính hội tụ của các chuỗi số dương.
Để hiểu và trình bày vấn đề một cách dễ dàng, tôi đã trình bày đầy đủ
các khái niệm cơ bản, giải tường minh các bài toán miêu tả. Đặc biệt làm sáng
tỏ các khái niệm và các kết quả, các bài toán được tính toán cẩn thận, đầy đủ
và chi tiết. Các tính toán này thường không được trình bày trong các tài liệu
trích dẫn.
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015
Học viên
Nguyễn Thị Thanh Vân
3
Chương 1
Một số bài toán nâng cao về
dãy số
Chương này trình bày những khái niệm cơ bản của dãy số và những kỹ
thuật thông dụng nghiên cứu dãy số truy hồi, đó là kỹ thuật phương trình sai
phân, kỹ thuật lượng giác hóa và kỹ thuật tuyến tính hóa. Những kiến thức
này được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [2], [3] và [4]. Các bài toán nâng
cao trình bày trong chương này (các mục 1.3, 1.4 và 1.5) được hình thành chủ
yếu từ tài liệu [6].
1.1 Các khái niệm cơ bản về dãy số. Các dãy số đặc
biệt

1.1.1 Khái niệm cơ bản về dãy số
Định nghĩa 1.1. Cho A là một tập con khác rỗng của tập số nguyên dương
Z
+
(hoặc tập các số tự nhiên N). Dãy số là một hàm số từ A vào R. Các số
hạng của dãy số thường được ký hiệu là a
n
, b
n
, x
n
, y
n
, u
n
, v
n
, Dãy số thường
được ký hiệu là (x
n
) hoặc {x
n
}.
4
Định nghĩa 1.2. Dãy số (u
n
) được gọi là tăng (tăng không ngặt, giảm, giảm
không ngặt), nếu u
n
< u

n+1
(u
n
≤ u
n+1
, u
n
> u
n+1
, u
n
≥ u
n+1
).
Định nghĩa 1.3. Dãy số (u
n
) được gọi là bị chặn trên, nếu tồn tại số M,
sao cho u
n
≤ M, ∀n. Dãy được gọi là bị chặn dưới, nếu tồn tại số m, sao cho
u
n
≥ m, ∀n. Dãy số được gọi là bị chặn, nếu tồn tại các số M, m, sao cho
m ≤ u
n
≤ M, ∀n.
1.1.2 Các dãy số đặc biệt
1. Cấp số cộng
Định nghĩa 1.4. Dãy số (u
n

), n ∈ N
∗
, được gọi là cấp số cộng, nếu bắt đầu từ
số hạng thứ hai, số đứng sau bằng số đứng liền trước cộng với một số không
đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Vậy ta có
u
n+1
= u
n
+ d ⇔ u
n+1
− u
n
= d.
Tính chất. Mỗi số hạng của một cấp số cộng là trung bình cộng của hai số
hạng kề với nó:
u
k
=
u
k+1
+ u
k−1
2
.
Công thức số hạng tổng quát. Giả sử (u
n
), n ∈ N
∗
là cấp số cộng với công

sai d. Khi đó số hạng thứ n được tính theo công thức
u
n
= u
1
+ (n − 1)d.
Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng
S
n
= u
1
+ u
2
+ + u
n
=

u
1
+ u
n
2

n =

2u
1
+ (n − 1)d
2


n.
2. Cấp số nhân
5
Định nghĩa 1.5. Dãy số (u
n
), n ∈ N
∗
, được gọi là cấp số nhân, nếu bắt đầu từ
số hạng thứ hai, số đứng sau bằng số đứng liền trước nhân với một số không
đổi q = 0. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. Vậy ta có
u
n+1
= u
n
.q ⇔
u
n+1
u
n
= q.
Tính chất. Bình phương của mỗi số hạng của một cấp số nhân bằng tích của
hai số hạng kề với nó:
u
2
k
= u
k+1
.u
k−1
.

Công thức số hạng tổng quát. Giả sử (u
n
), n ∈ N
∗
là cấp số nhân với công
bội q. Khi đó số hạng thứ n được tính theo công thức
u
n
= u
1
q
n−1
.
Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân
S
n
= u
1
+ u
2
+ + u
n
=








u
1
n, nếu q = 1,
u
1
1 − q
n
1 − q
, nếu q = 1.
3. Cấp số cộng-nhân
Định nghĩa 1.6. Cấp số (u
n
) được gọi là cấp số cộng-nhân, nếu
u
n+1
= qu
n
+ d, q = 0.
4. Cấp số điều hòa
Định nghĩa 1.7. Dãy số (u
n
) được gọi là cấp số điều hòa nếu tất cả số hạng
của dãy đều khác không và thỏa mãn hệ thức
u
n
=
2u
n−1
u
n+1

u
n−1
+ u
n+1
,
hay
1
u
n
=
1
2

1
u
n−1
+
1
u
n+1

.
6
5. Dãy tuần hoàn
Định nghĩa 1.8. Dãy số (u
n
) được gọi là dãy tuần hoàn, nếu tồn tại số nguyên
dương k, sao cho u
n+k
= u

n
, ∀n ∈ A. Số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa mãn
hệ thức này gọi là chu kỳ.
Nhận xét rằng, nếu chu kỳ k = 1, thì u
n+1
= u
n
, ∀n ∈ A. Trong trường
hợp này ta có dãy hằng.
6. Dãy Fibonacci
Định nghĩa 1.9. Dãy số Fibonacci (F
n
) là dãy số được xác định bởi
F
0
= 0, F
1
= 1, F
n+2
= F
n+1
+ F
n
,
nghĩa là bắt đầu từ số hạng thứ ba, số đứng sau bằng tổng của hai số đứng
liền trước.
1.2 Một số kỹ thuật nghiên cứu dãy số lặp
1.2.1 Dẫn luận
Trong mục trên chúng ta đã nói đến cấp số cộng, cấp số nhân, cấp số
cộng-nhân, cấp số tuần hòa, cấp số Fibonacci. Đó là các dãy lặp tuyến tính hệ

số hằng, tức là có thể biểu diễn ở dạng
u
n
= a
1
u
n−1
+ a
2
u
n−2
+ + a
k
u
n−k
+ b
n
. (1.1)
Những dãy lặp mà không được cho trực tiếp bởi công thức dạng (1.1)
được gọi là dãy lặp phi tuyến. So với dãy lặp tuyến tính, dãy lặp phi tuyến
phức tạp hơn rất nhiều và đang được nhiều người quan tâm ( thuộc lĩnh vực
Phương trình sai phân phi tuyến).
7
Tuy nhiên, có nhiều dãy lặp phi tuyến có thể được đưa về dãy lặp tuyến
tính bằng kỹ thuật đơn giản được trình bày dưới đây, mà ta gọi là Kỹ thuật
tuyến tính hóa.
Mục này, ngoài kỹ thuật tuyến tính hóa đối với dãy lặp phi tuyến còn
trình bày kỹ thuật Lượng giác hóa và đặc biệt là kỹ thuật Phương trình sai
phân.
1.2.2 Kỹ thuật phương trình sai phân

1. Phương trình sai phân cấp một hệ số hằng. Trước hết xét phương
trình thuần nhất
au
n+1
+ bu
n
= 0, ab = 0. (1.2)
Nghiệm tổng quát của (1.2) được cho bởi công thức
u
n
= Cq
n
, q =
−b
a
. (1.3)
Tiếp theo, xét phương trình sai phân cấp một hệ số hằng không thuần
nhất
au
n+1
+ bu
n
= f
n
, ab = 0. (1.4)
Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất bằng tổng của
nghiệm riêng u
∗
n
với nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương

ứng.
Sau đây sẽ trình bày cách tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần
nhất với vế phải ở một số dạng đặc biệt sau:
a) Giả sử f
n
là một đa thức bậc m của n : f
n
= P
m
(n). Tìm u
∗
n
dưới dạng:
Nếu q = 1 thì u
∗
n
= Q
m
(n).
Nếu q = 1 thì u
∗
n
= nQ
m
(n),
trong đó Q
m
(n) là một đa thức bậc m của n.
8
b) Giả sử f

n
= αβ
n
, αβ = 0. Tìm u
∗
n
dưới dạng:
Nếu q = β, thì u
∗
n
= Cβ
n
,
Nếu q = β, thì u
∗
n
= Cnβ
n
c) Nếu f
n
= A cos nα + B sin nα thì nghiệm riêng có dạng u
∗
n
= A
∗
cos nα +
B
∗
sin nα.
d) Nếu f

n
= f
n1
+ f
n2
+ + f
ns
, thì ta tìm nghiệm riêng ở dạng u
∗
n
= u
∗
n1
+
u
∗
n2
+ u
∗
ns
với u
∗
nj
là nghiệm tương ứng với f
nj
.
• Một số bài toán áp dụng
Bài toán 1.1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số truy hồi sau đây
u
n+1

= 2u
n
− n, n = 0, 1, , u
0
= 3.
Lời giải. Ta viết lại công thức truy hồi ở dạng phương trình sai phân
2u
n
− u
n+1
= n. (1.5)
Phương trình thuần nhất 2u
n
− u
n+1
= 0 có phương trình đặc trưng
2 − q = 0 ⇔ q = 2. Do đó nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có
dạng ˜u
n
= C2
n
. Vì q = 2 = 1, nên nghiệm riêng của phương trình sai phân
(1.5) được tìm ở dạng u
∗
n
= An + B. Thay vào (1.5), ta được
2(An + B) − [A(n + 1) + B] = n.
Từ đây ta có A = B = 1, u
∗
n

= n + 1. Do đó u
n
= ˜u
n
+ u
∗
n
= C2
n
+ n + 1.
Với u
0
= 3, suy ra C = 2. Vậy ta có công thức số hạng tổng quát của dãy số
u
n
= 2
n+1
+ n + 1.
Bài toán 1.2. Giải phương trình sai phân
u
n+1
=
1
√
2
u
n
−
1
√

2
sin
nπ
4
, u
0
= 1. (1.6)
9
Lời giải. Phương trình đặc trưng q −
1
√
2
= 0 ⇔ q =
1
√
2
. Nghiệm tổng
quát của phương trình thuần nhất ˜u
n
= C

1
√
2

n
. Tìm nghiệm riêng u
∗
n
của

phương trình ở dạng u
∗
n
= A cos
nπ
4
+ B sin
nπ
4
. Thay vào phương trình (1.6)
dễ dàng tìm được A = 1, B = 0. Suy ra u
∗
n
= cos
nπ
4
. Do đó
u
n
= C

1
√
2

n
+ cos
nπ
4
.

Với u
0
= 1, suy ra C = 0. Nghiệm của phương trình (1.6) là u
n
= cos
nπ
4
.
2. Phương trình sai phân cấp hai hệ số hằng
• Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất. Xét phương trình
au
n+2
+ bu
n+1
+ cu
n
= 0 (1.7)
Phương trình đặc trưng của phương trình (1.7) là
aq
2
+ bq + c = 0. (1.8)
Ký hiệu ˜u
n
là nghiệm tổng quát của phương trình (1.7). Dễ dàng chứng
minh được các khẳng định sau đây. 1) Nếu phương trình đặc trưng (1.8) có
hai nghiệm thực phân biệt q
1
, q
2
thì nghiệm tổng quát của phương trình thuần

nhất có dạng
˜u
n
= αq
n
1
+ βq
n
2
,
trong dó α, β là các hằng số tùy ý. 2) Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm
kép thực q
1
= q
2
= q, thì nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có
dạng
˜u
n
= (α + βn)q
n
.
3) Nếu phương trình đặc trưng (1.8) có các nghiệm phức q
1
= r(cos ϕ +
i sin ϕ), q
2
= r(cos ϕ − i sin ϕ) thì nghiệm tổng quát của phương trình thuần
nhất sẽ là
˜u

n
= r
n
[α cos(nϕ) + β sin(nϕ)],
10
trong đó α, β là các hằng số tùy ý.
• Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất. Xét phương trình
sai phân cấp hai không thuần nhất hệ số hằng
au
n+2
+ bu
n+1
+ cu
n
= f
n
. (1.9)
Ký hiệu u
∗
n
là nghiệm riêng của phương trình (1.9), còn ˜u
n
là nghiệm tổng
quát của phương trình thuần nhất tương ứng. Khi đó, nghiệm tổng quát của
phương trình (1.9) sẽ là u
n
= ˜u
n
+ u
∗

n
. Ta sẽ tìm nghiệm riêng u
∗
n
theo một số
trường hợp đặc biệt của f
n
.
1) Trường hợp f
n
= P
k
(n) là đa thức bậc k của n:
- Nếu phương trình đặc trưng không có nghiệm q=1, thì nghiệm riêng có dạng
u
∗
n
= Q
k
(n).
- Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm đơn q
1
= 1 thì nghiệm riêng có dạng
u
∗
n
= nQ
k
(n).
- Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép q

1
= q
2
= 1 thì nghiệm riêng có
dạng
u
∗
n
= n
2
Q
k
(n).
2) Trường hợp f
n
= β
n
P
k
(n) :
- Nếu phương trình đặc trưng không có nghiệm q = β, thì nghiệm riêng u
∗
n
sẽ
là
u
∗
n
= β
n

Q
k
(n).
- Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm đơn q = β thì nghiệm riêng có dạng
u
∗
n
= nβ
n
Q
k
(n).
11
- Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép q
1
= q
2
= β thì nghiệm riêng có
dạng
u
∗
n
= n
2
β
n
Q
k
(n).
3) Trường hợp f

n
= P
m
(n) cos(nβ) + Q
l
(n) sin(βn). Ký hiệu k = max{m, l} :
- Nếu α = cos β ±i sin β(i
2
= −1) không là nghiệm của phương trình đặc
trưng thì nghiệm riêng có dạng
u
∗
n
= T
k
(n) cos(nβ) + R
k
(n) sin(nβ),
trong đó T
k
(n), R
k
(n) là các đa thức bậc k của n.
- Nếu α = cos β ± i sin β(i
2
= −1) là nghiệm của phương trình đặc trưng
thì nghiệm riêng có dạng
u
∗
n

= nT
k
(n) cos(nβ) + nR
k
(n) sin(nβ).
• Các bài toán áp dụng
Bài toán 1.3. Tìm số hạng tổng quát của dãy số {u
n
} được cho bởi công thức
truy hồi sau đây







u
n
=
5
2
u
n−1
− u
n−2
−
(n − 2)
2
2

− n +
7
2
, n = 2, 3,
u
0
= 1, u
1
= 3
(1.10)
Lời giải. Dãy số đã cho tương đương với phương trình sai phân







2u
n+2
− 5u
n+1
+ 2u
n
− n
2
− 2n + 3, n = 0, 1,
u
0
= 1, u

1
= 3.
(1.11)
Phương trình đặc trưng 2q
2
− 5q + 2 = 0 có các nghiệm q
1
= 2, q
2
=
1
2
.
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng
˜u
n
= A2
n
+ B2
−n
.
12
Nghiệm riêng được tìm ở dạng
u
∗
n
= an
2
+ bn + c.
Thay nghiệm riêng vào hai vế của phương trình (1.8) dễ dàng tìm được

a = 1, b = c = 0. Suy ra u
∗
n
= n
2
. Do đó ta có
u
n
= u
∗
n
+ ˜u
n
= n
2
+ A2
n
+ B2
−n
.
Sử dụng các giá trị ban đầu u
0
= 1, u
1
= 3, ta tìm được A = 1, B = 0.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số dã cho là u
n
= 2
n
+ n

2
.
Bài toán 1.4. Tìm số hạng tổng quát của dãy số {u
n
} được cho bởi công thức
truy hồi sau đây







u
n
= 3u
n−1
− 2u
n−2
+ (n − 4) cos
(n − 2)π
2
+ 3(n − 1) sin
(n − 2)π
2
, n = 2, 3,
u
0
= 1, u
1

= 3.
(1.12)
Lời giải. Bài toán (1.12) tương đương với phương trình sai phân
u
n+2
− 3u
n+1
+ 2u
n
= (n − 2) cos
nπ
2
+ 3(n + 1) cos
nπ
2
, n = 0, 1, (1.13)
Với các giá trị ban đầu u
0
= 1, u
1
= 3. Phương trình đặc trưng q
2
−3q+2 =
0 có các nghiệm q
1
= 1, q
2
= 2. Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình
thuần nhất là ˜u
n

= A + B2
n
.
Vì α = cos
π
2
± sin
π
2
không là nghiệm của phương trình đặc trưng, nên
nghiệm riêng có dạng
u
∗
n
= (an + b) cos
nπ
2
+ (cn + d) sin
nπ
2
.
Thay nghiệm riêng u
∗
n
vào phương trình (1.13), sử dụng các công thức
cos(n + 2)
π
2
= −cos
nπ

2
,
13
sin(n + 2)
π
2
= −sin
nπ
2
,
cos(n + 1)
π
2
= −sin
nπ
2
,
sin(n + 1)
π
2
= cos
nπ
2
,
thực hiện so sánh hệ số của cos
nπ
2
và sin
nπ
2

, ta có hệ phương trình























a − 3c = 1,
−2a + b − 3c − 3d = −2,
3a + c = 3,
3a + 3b − 2c + d = 3.
Nghiệm của hệ này là a = 1, b = c = d = 0. Do đó u
∗

n
= n cos
nπ
2
. Suy ra
u
n
= ˜u
n
+ u
∗
n
= A + B2
n
+ n cos
nπ
2
.
Sử dụng các điều kiện u
0
= 1, u
1
= 3 ta tìm được A = B = 1.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho được cho bởi công thức
u
n
= 1 + 2
n
+ n cos
nπ

2
.
1.2.3 Kỹ thuật lượng giác hóa và kỹ thuật phương trình đại số
Để minh họa cho kỹ thuật Lượng giác hóa và kỹ thuật Phương trình đại
số, ta xét bài toán sau đây:
Bài toán 1.5. Tìm x
n
, biết rằng
x
0
= a, x
n+1
= x
2
n
− 2. (1.14)
Lời giải.
14
Đặt x
n
= 2y
n
⇒ y
n
=
x
n
2
, y
0

=
x
0
2
=
a
2
. Do đó công thức (1.14) trở thành
y
0
=
a
2
, y
n+1
= 2y
2
n
− 1. (1.15)
• Nếu |a| ≤ 2, từ (1.20) dễ dàng thấy rằng |y
n
| ≤ 1, ∀n. Do đó ta đặt y
o
= cos α.
Khi đó từ (1.20) ta có
y
1
= 2y
2
0

− 1 = 2 cos
2
α − 1 = cos 2α = cos β, β = 2α,
y
2
= 2y
2
1
− 1 = 2 cos
2
β − 1 = cos 2β,
y
3
= 2y
2
2
− 1 = 2 cos
2
2β − 1 = cos 4β.
Chúng ta sẽ chứng minh y
n
= cos(2
n−1
β). Thật vây, công thức này đã
đúng với n = 1, 2, 3. Giả sử với n = k công thức đúng
y
k
= cos(2
k−1
β).

Với n = k + 1 ta có
y
k+1
= 2y
2
n
− 1 = cos[2(2
k−1
β)] = cos(2
k
β).
Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có công thức tổng quát của dãy số truy
hồi đã cho là
y
n
= cos(2
n−1
β) = cos(2
n
α), cos α =
a
2
, |a| ≤ 2.
Do đó ta có công thức tổng quát của dãy số đã cho là
x
n
= 2 cos(2
n
α), n = 0, 1, 2,
• Nếu |a| > 2 thì |y

0
| > 1. Khi đó ta đặt
y
0
=
1
2

b +
1
b

,
trong đó b là nghiệm của phương trình bậc hai
15
b
2
− 2y
0
b + 1 = 0. (1.16)
Khi đó ta có
y
1
= 2y
2
0
− 1 = 2

1
2


b +
1
b

2
− 1 =
1
2

b
2
+
1
b
2

.
Ta sẽ chứng minh công thức
y
n
=
1
2

b
2
n
+
1

b
2
n

. (1.17)
Thật vậy, công thức (1.17) đã đúng với n = 0 và n = 1.
Giả sử công thức này đúng với n = k, ta chứng minh nó đúng với n = k + 1.
Thật vậy, ta có
y
k+1
= 2y
2
k
− 1 = 2

1
2

b
2
k
+
1
b
2
k

2
− 1 =
1

2

b
2
k+1
+
1
b
2
k+1

.
Vậy theo nguyên lý quy nạp, công thức (1.17) được chứng minh.
Nhận xét rằng b và
1
b
là nghiệm của phương trình bậc hai (1.16). Nghiệm
của phương trình này là
b
1
= y
0
+

y
2
0
− 1, b
2
= y

0
−

y
2
0
− 1.
Do đó ta có công thức số hạng tổng quát
y
n
=
1
2

y
0
+

y
2
0
− 1

2
n
+

y
0
−


y
2
0
− 1

2
n

. (1.18)
Suy ra số hạng tổng quát của dãy {x
n
} là
x
n
=
1
2

a +
√
a
2
− 4

2
n
+

a −

√
a
2
− 4

2
n

. (1.19)
1.2.4 Kỹ thuật tuyến tính hóa dãy lặp phi tuyến
Xét hệ thức lặp (phương trình sai phân phi tuyến) bậc k dạng
u
n
= ϕ(u
n−1
, u
n−2
, , u
n−k
), n > k, n, k ∈ N
∗
(1.20)
16
với các điều kiện ban đầu
u
1
= α
1
, u
2

= α
2
, , u
n
= α
n
.
Giả sử phương trình (1.20) là tuyến tính hóa được. Khi đó, điều kiện cần
là tồn tại các số x
1
, x
2
, , x
n
sao cho
u
n
= x
1
u
n−1
+ x
2
u
n−2
+ + x
n
u
n−k
. (1.21)

Để tìm x
1
, x
2
, , x
k
, trước hết theo công thức (1.20) ta tính
u
k+1
= ϕ(α
k
, α
k−1
, , α
1
),
u
k+2
= ϕ(α
k+1
, α
k
, , α
2
),

u
2k
= ϕ(α
2k−1

, α
2k−2
, , α
k
)
rồi sau đó giải hệ phương trình đại số tuyến tính























x

1
α
k
+ x
2
α
k−1
+ + x
k
α
1
= u
k+1
,
x
1
α
k+1
+ x
2
α
k
+ + x
k
α
2
= u
k+2
,

x
1
α
2k−1
+ x
2
α
2k−2
+ + x
k
α
k
= u
2k
.
(1.22)
Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (1.22) ta tìm được các số x
1
, x
2
, , x
k
.
Như thế nghĩa là công thức (1.21) đúng với n = k + 1, k + 2, , 2k. Tiếp theo,
phải chứng minh công thức (1.21) cũng đúng với n = 2k + 1, 2k + 2, , 2k, ,
tức là đúng với mọi n trong tập xác định của hệ thức lặp (1.20). Vấn đề này
thường được chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Nếu điều này được chứng
minh, thì ta nói hệ thức lặp phi tuyến (1.20) được tuyến tính hóa bởi công thức
(1.21).
17

Bài toán 1.6. (Vô địch Moscow lần thứ 16) Dãy (u
n
) được cho bởi công thức
u
1
= u
2
= 1, u
n
=
u
2
n−1
+ 2
u
n−2
, n ≥ 3 (1.23)
Chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy (u
n
) là các số nguyên.
Lời giải. Giả sử (1.23) có dạng
u
n
= x
1
u
n−1
+ x
2
u

n−2
. (1.24)
Từ (1.23) ta có
u
3
=
u
2
2
+ 2
u
1
=
1
2
+ 2
1
= 3,
u
4
=
u
2
3
+ 2
u
2
=
3
2

+ 2
1
= 11.
Thay vào (1.24) ta có







u
3
= x
1
u
2
+ x
2
u
1
,
u
4
= x
1
u
3
+ x
2

u
2
⇔







x
1
+ x
2
= 3,
3x
1
+ x
2
= 11.
Hệ trên đây có nghiệm x
1
= 4, x
2
= −1. Thế các giá trị này vào (1.24), ta được
u
n
= 4u
n−1
− u

n−2
. (1.25)
Bây giờ bằng phương pháp quy nạp ta sẽ chứng minh dãy u
n
thỏa mãn (1.23)
u
1
= u
2
= 1, u
n
=
u
2
n−1
+ 2
u
n−2
có dạng tuyến tính
u
n
= 4u
n−1
− u
n−2
, n ≥ 3.
Thật vây, với u
1
= u
2

= 1 với n = 3, ta có
u
3
=
u
2
2
+ 2
u
1
=
1
2
+ 2
1
= 3,
u
3
= 4u
2
− u
1
= 4 − 1 = 3.
18
Giả sử công thức (1.23) với n = k dãy
u
1
= u
2
= 1, u

k
=
u
2
k−1
+ 2
u
k−2
(1.26)
có dạng tuyến tính là
u
k
= 4u
k−1
− u
k−2
. (1.27)
Từ (1.26) và (1.27), suy ra
u
2
k−1
+ 2 = u
k
u
k−2
= (4u
k−1
− u
k−2
)u

k−2
= 4u
k−1
u
k−2
− u
2
k−2
⇔ u
2
k−2
+ 2 = 4u
k−1
u
k−2
− u
2
k−1
.
Ta phải chứng minh (1.25) đúng với n = k + 1. Ta có
u
k+1
=
u
2
k
+ 2
u
k−1
=

(4u
k−1
− u
k−2
)
2
+ 2
u
k−1
=
16u
2
k−1
− 8u
k−1
u
k−2
+ u
2
k−2
+ 2
u
k−1
=
16u
2
k−1
− 8u
k−1
u

k−2
+ 4u
k−1
u
k−2
− u
2
k−1
u
k−1
=
15u
2
k−1
− 4u
k−1
u
k−2
u
k−1
= 15u
k−1
− 4u
k−2
= 15u
k−1
− 4(4u
k−1
− u
k

)
= 4u
k
− u
k−1
.
Vậy
u
k+1
= 4u
k
− u
k−1
.
Do đó, với u
1
= u
2
= 1 thì u
n
= 4u
k
− u
k−1
(n ≥ 3) là những số nguyên.
19
1.3 Một số bài toán nâng cao tìm số hạng tổng quát
của dãy số
1.3.1 Dẫn luận
Bài toán về xác định số hạng tổng quát hay số hạng nào đó của một dãy

số là một trong những bài toán cơ bản và quan trọng của dãy số. Đối với các
cấp số, vấn đề này là rất đơn giản. Đối với các dãy số truy hồi tuyến tính, hoặc
phi tuyến đơn giản, trong mục 1.2 đã trình bày một số kỹ thuật tìm số hạng
tổng quát, đó là kỹ thuật phương trình sai phân hệ số hằng, kỹ thuật lượng
giác hóa và kỹ thuật tuyến tính hóa.
Trong mục này sẽ xét bài toán liên quan đến số hạng tổng quát của các
dãy số có độ khó cao hơn, như dãy cho bởi phương trình sai phân tuyến tính
hệ số biến thiên đặc biệt, dãy phi tuyến cao v.v
1.3.2 Một số bài toán
Bài toán 1.7. (Olympic sinh viên năm 2009) Giả sử dãy số (x
n
) được xác định
bởi công thức







x
1
= 1, x
2
= 1,
x
n
= (n − 1)(x
n−1
+ x

n−2
), n = 3, 4, 5,
(1.28)
Tính x
2009
Lời giải. Từ điều kiện đã cho, ta có
x
n
− nx
n−1
= −x
n−1
+ (n − 1)x
n−2
, n = 3, 4, 5,
Đặt y
n
= x
n
− nx
n−1
thì ta có y
n
= −y
n−1
,
và y
2
= x
2

− 2x
1
= −1 nên y
n
= (−1)
n+1
.