16 bài tập trắc nghiệm vận dụng cao về hình học không gian DẠNG 2 NÂNG CAO về xác ĐỊNH và TÍNH góc file word có lời giải image marked

VẬN DỤNG CAO VỀ HÌNH KHÔNG GIAN (P3)
DẠNG 2. NÂNG CAO VỀ XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH GÓC
Câu 1: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và

A' A = A' B = A'C = a
A. 75

7
. Số đo góc giữa hai mặt phẳng ( ABB ' A ') và ( ABC )
12
B. 30

C. 45

D. 60

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có . Gọi H là trung
điểm của AB, SH ⊥ ( ABC ) . Mặt phẳng ( SBC ) tạo với đáy một góc 60 . Cosin góc giữa 2
mặt phẳng ( SAC ) và ( ABC ) là:
A.

5
5

B.

5
4

10
5

C.

D.

1
7

Câu 3: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a. Biết SO ⊥ ( ABCD ) ,

AC = a và thể tích khối chóp là
A.

6
7

B.

a3 3
. Cosin góc giữa 2 mặt phẳng ( SAB ) và ( ABC ) là:
2

3
7

C.

1
7

D.

2
7

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a , SB = 3 và

( SAB )

vuông góc với đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC. Cosin của

góc giữa 2 đường thẳng SM và DN là:

2

A. −

5

B.

2
5

C. −

1
5

D.

1
5

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, có AB = 2a ,

AD = DC = a , SA = a và SA ⊥ ( ABCD ) . Tan của góc giữa 2 mặt phẳng

( ABCD )
A.

( SBC )

và

là:

1

B.

3

3

C.

D.

2

1
2

Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ ( ABC ) , SA = a 3 .
Cosin của góc giữa 2 mặt phẳng ( SAB ) và ( SBC ) là:
A. −

2
5

B.

2
5

C. −

1
5

D.

1
5

Trang 1 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Câu 7: Cho tứ diện ABCD có các mặt ( ABC ) và ( ABD ) là các tam giác đều cạnh a, các mặt

( ACD ) và ( BCD )

vuông góc với nhau. Tính số đo của góc giữa hai mặt đường thẳng AD và

BC.
A. 30.

B. 60.

C. 90.

D. 45.

Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a 2 , AC = 2a .
Mặt bên SAC là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Cạnh bên SA
hợp với mặt đáy một góc  thõa mãn cos  =

21
. Góc giữa hai đường thẳng AC và SB
6

bằng
A. 30.

B. 45.

C. 60.

D. 90.

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A;D, với AB = 3a ,
AD = 2a , DC = a . Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng ( ABCD ) là H thuộc AB

với AH = 2 HB . Biết SH = 2a , cosin của góc giữa SB và AC là:
A.

2
2

B.

2
6

C.

1
5

D. −

1
5

Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy.
Biết SA = a , AB = a , BC = a 2 . Gọi I là trung điểm của BC. Côsin của góc giữa 2 đường
thẳng AI và SC là:
A.

2
3

B.

2
3

C.

2
3

D.

2
8

Câu 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B có AB = BC = a
; SA ⊥ ( ABC ) . Biết mặt phẳng ( SBC ) tạo với đáy một góc 60 . Cosin góc tạo bởi đường
thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) là:
A.

10
.
15

B.

10

.
10

C.

10
.
20

D.

10
.
5

Câu 12: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại B có AB = a 3 ,

BC = a . Biết A ' C = 3a . Cosin góc tạo bởi đường thẳng A'B và mặt đáy ( ABC ) là:
A.

10
4

B.

10
6

C.

6
4

D.

15
5

Trang 2 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam
giác đều và SC = a 2 . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. Cosin của
góc giữa SC và mặt phẳng ( SHD ) là
A.

3
5

5
3

B.

C.

2
5

5

2

D.

Câu 14: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A có AB = AC = 4a , góc

BAC = 120 Gọi M là trung điểm của BC,N là trung điểm của AB, SAM là tam giác cân tại
S và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết SA = a 2 . Góc giữa SN và mặt phẳng

( ABC ) là:
A. 30.

D. 90.

C. 60.

B. 45.

Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc

( ABCD )

của S lên

( ABCD )
A.

là trọng tâm G của ABD . Biết SG = 2a , cosin của góc giữa SD và

là:

5
21

5
21

B. −

C.

5
41

5
41

D. −

Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB = 4a , AD = a 3 .
Điểm H nằm trên cạnh AB thỏa mãn AH =

1
HB. Hai mặt phẳng ( SHC ) và ( SHD ) cùng
3

vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết SA = a 5 . Cosin của góc giữa SD và ( SBC ) là:
A.

5

12

B.

5
13

C.

4
13

D.

1
3

Đáp án
1-D

2-D

3-C

4-D

5-D

6-D

11-D

12-C

13-A

14-A

15-B

16-D

7-B

8-D

9-C

10-A

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án D
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC mà A ' A = A ' B = A ' C  A ' H ⊥ ( ABC ) .
Gọi M là trung điểm của AB suy ra CM ⊥ AB mà A ' H ⊥ AB  AB ⊥ ( A ' MH ) .
Trang 3 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải



( AA ' B ' B )  ( A ' MH ) = A ' M
+) 

 ( ( AA ' B ' B ) ; ( ABC ) ) = ( A ' M ; MH ) = A ' MH .

( ABC )  ( A ' MH ) = MH
+)

ABC

 A' M =

đều

cạnh

A ' A2 − AM 2 =

a

a
3

 MH =

MC a 3
=
,
3
6

A ' MA

vuông

tại

.

+) Xét tam giác A’MH vuông tại H, ta có cos A ' MH =

MH
a 3 a
1
=
:
=
A' M
6
3 2

 A ' MH = 60

Câu 2: Đáp án D

 AB ⊥ BC
( SAB )  ( ABC ) = AB
 BC ⊥ ( SAB ) mà 
.
Ta có 
 SH ⊥ BC
( SAB )  ( SBC ) = SB
 ( ( SBC ) ; ( ABC ) ) = ( SB; AB ) = SBA = 60  SH = tan 60.BH

Từ H kẻ HK ⊥ AC mà SH ⊥ AC  AC ⊥ ( SHK ) .


( SHK )  ( SAC ) = SK
Mà 
 ( ( SAC ) ; ( ABC ) ) = ( SK ; HK ) = SKH .

( SHK )  ( ABC ) = HK
Lại có HK =

BH
2

=

AB
2 2

= 2 và SH = 2 3 .

Xét tam giác SHK vuông tại H, ta có

tan SKH =

SH
1
.
= 6  cos SKH =
HK
7

Câu 3: Đáp án C
Từ O kẻ OH ⊥ AB mà SO ⊥ AB  AB ⊥ ( SHO ) .


( SHO )  ( SAB ) = SH
 ( ( SAB ) ; ( ABC ) ) = SHO.
+) 
SHO

ABC
=
OH
(
)
(
)


+) VS . ABC D

1
a3 3
a3 3
= .SO.S ABC D =
 SO = 3a
mà SABC D =
3
2
2

+) OAB vuông tại O  OH . AB = OA.OB  OH =
+) SHO vuông tại O  tan SOH =

a 3
.
4

SH
a 3
= 3a :
=4 3.
OH
4

Trang 4 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

M


+) 1 + tan 2  =

1
1
1
 cos SHO =
= .
2
cos 
1 + tan 2 SHO 7

Câu 4: Đáp án D
Kẻ ME ND , E  AD  ND ( SMN )  ( SM ; ND ) = SME
2

+) ME 2 = AE2 + AM 2  ME =

a 5
a
AE2 + AM 2 =   + a 2 =
.
2
2

+) SA2 + SB 2 = AB 2  SAB vuông tại S  SM =

AB 2a
=
= a.
2
2

+) Kẻ SH ⊥ AB  SH ⊥ ( ABC D)  SH ⊥ AD mà AB ⊥ AD.
2

a 5
a
 AD ⊥ ( SAB )  SA ⊥ AD  SE = SA2 + AE2 = a 2 +   =
2
2

+) Xét SME với ME =

cos SME =

a 5
a 5
, SE =
, SM = a , ta có
2
2

SM 2 + ME 2 − SE 2
=
2.SM .ME

a2
2.a.

a 5
2

=

1
5

Câu 5: Đáp án D
Gọi M là trung điểm của AB  AM = BM = AD = CD = a

 AMC D là hình vuông  AC = BC = a 2  AC 2 + BC 2 = AB2

 ABC vuông tại C  AC ⊥ BC mà SA ⊥ BC  BC ⊥ ( SAC )

( SBC )  ( SAC ) = SC
 ( ( SBC ) ; ( ABC D ) ) = SCA .
+) 

( ABC D )  ( SAC ) = AC
+) SAC vuông tại A  tan SCA =

SA
a
1
=
=
.
AC a 2
2

Câu 6: Đáp án D
Gọi M là trung điểm của AC  BM ⊥ AC.

 SA ⊥ BM
 BM ⊥ ( SAC ) .
Kẻ MK ⊥ SC , K  SC , ta có 
 AC ⊥ BM
+) ABC đều cạnh a  BM = BC 2 − MC 2 =

a 3

.
2

Trang 5 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


+) tan SCA =

SA
3
a 3
= 3  sin SCA =
 MK =
AC
2
4

+) BMK vuông tại M  tan MKB =

BM
1
= 2  cos MKB =
.
MK
5

Câu 7: Đáp án B
Ta có ( AC D) ⊥ ( BC D) và ( AC D)  ( BC D) = C D.

 HC 2 = BC 2 − BH 2


Kẻ BH ⊥ C D ( H  C D )  BH ⊥ ( AC D )   H D2 = B D2 − BH 2
 HA2 = BA2 − BH 2

Mà BC = BD = BA = a  HC = H D = HA  ACD vuông tại A.
Hơn nữa AC = AD = a  ACD vuông cân tại A.
Ta có BC = BD = a  H là trung điểm của cạnh CD  AH ⊥ CD.
Dựng hình bình hành ACPD như hình vẽ.
Mà ACD vuông cân tại A  tứ giác ACPD là hình vuông.
Ta có ( AD; BC ) = ( CP; CB ) → mục tiêu tính BCP.
Lại có CP = AD = BC = a và BP = BA = a  BCP đều  BCP = 60  ( AD; BC ) = 60 .
Cách 2: Ta có cos ( AD; BC ) =

AD.BC
AD.BC

=

AD.BC
a2

.

1
1
1
Lại có BC = BH + HC = BH − CD  AD.BC = AD.BH − AD.CD = − AD.CD
2
2
2

a2
1
1
1
a
1
= − AD.CD cos 45 = − a.a 2.
=−
 cos ( AD; BC ) = 22 =  ( AD; BC ) = 60.
2
2
2
2
a
2
2

Câu 8: Đáp án D
Kẻ SH ⊥ AC  SH ⊥ ( ABC ) mà SAC cân tại S H là trung
điểm của cạnh AC.
Ta có

BC = AC 2 − AB2 = a 2  ABC

vuông cân tại

B  AC ⊥ BH .
Mà AC ⊥ SH  AC ⊥ ( SHB )  AC ⊥ SB.
Câu 9: Đáp án C

Trang 6 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Ta có cos ( SB; AC ) =

AC.SB
(1)

AC.SB

Cạnh AC = AD2 + CD2 = a 5 và SB = SH 2 + HB2 = a 5.
Lại có SB = HB − HS  AC.SB = AC.HB − AC.HS = AC.HB
= AC.HB cos BAC = AC.HB cos ACD
= AC.HB.

CD
= HB.CD = a.a = a 2 .
AC

Thế vào vào (1)  cos ( SB; AC ) =

a2

1
= .
a 5.a 5 5

Câu 10: Đáp án A
Ta có cos ( AI ; SC ) =

AI .SC
(1)

AI .SC

2

a 2
3
Lại có AI = AB + IB = a + 
  AI = a .
2
 2 
2

2

2

2

SC 2 = SA2 + AC 2 = SA2 + AB 2 + BC 2 = a 2 + a 2 + 2a 2  SC = 2a.

(

1
Ta có SC = SA + AC  AI .SC = AI .SA + AI . AC = AI . AC = . AC. AB + AC
2

)

1
1
3a 2 1
AB 3a 2 1
3a 2 a 2
2
2
= AC + AC. AB cos BAC =
+ AC. AB.
=
+ AB =
+
= 2a 2 .
2
2
2
2
AC
2
2
2
2

2a 2

Thế vào (1)  cos ( AI ; SC ) =

a

3
.2a
2

=

2
.
3

Câu 11: Đáp án D
Ta có cos ( SC ; ( ABC ) ) = cos SCA =

AC a 2
=
SC
SC

(1)

 BC ⊥ AB
 BC ⊥ ( SAB )  BC ⊥ SB
Lại có 
 BC ⊥ SA
 ( ( SBC ) ; ( ABC ) ) = SBC = 60
 tan 60 =

SA
= 3  SA = a 3.

AB

 SC = SA2 + AC 2 = 3a2 + 2a2 = a 5
Trang 7 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Thế vào (1)  cos ( SC; ( ABC ) ) =

a 2
a 5

=

10
.
5

)

= 2a.

Câu 12: Đáp án C
Ta có AC =

(

AB 2 + BC 2 = a 2 + a 3

( 3a )

 AA ' = A ' C 2 − AC 2 =

2

2

− ( 2a ) = a 5
2

Ta có A ' B  ( ABC ) = B và A ' A ⊥ ( ABC )

 ( A ' B, ( ABC ) ) = A ' BA
AB
=
A' B

Ta có cos A ' BA =

AB
AB + A ' A
2

2

=

a 3

(a 3) + (a 5 )
2

2

=

6
4

Câu 13: Đáp án A
Do ABC là tam giác đều nên SH ⊥ AB
Ta có CH = HB 2 + BC 2 =

a 5
 SH 2 + CH 2 = SC 2 = 2a 2
2

 SHC vuông tại H  SH ⊥ HC  SH ⊥ ( ABCD )
CI ⊥ DH
 CI ⊥ ( SHD )
Gọi I = DH  CK ta có 
CI ⊥ SH
 ( SH , ( SHD ) ) = CSI . Ta có CI =

 SI = SC 2 − CI 2 =

CD 2 2a 5
=
CK
5

a 30
SI
3
 cos CSI =
=
.
5
SC
5

Câu 14: Đáp án A
Gọi H là trung điểm AM  SH ⊥ AM  SH ⊥ ( ABC )
Ta có SN  ( ABC ) = N và SH ⊥ ( ABC )  ( SN , ( ABC ) ) = SNH
Do AB = 4a; BAC = 120  BM = 2a 3; AM = 2a
Ta có NH =

1
1
BM = a 3 , AH = AM = a  SH = SA2 − AH 2 = a
2
2

Ta có tan SNH =

SH
1
=
 SNH = 30.
NH
3

Câu 15: Đáp án B
Trang 8 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Ta có SD  ( ABCD ) = D và SG ⊥ ( ABC D)

 ( S D, ( ABC D) ) = ( S D, DG ) = S DG
Ta có DG =

2
2 a 5 a 5
DM = .
=
3
3 2
3

 S D = SG 2 + DG 2 =

a 41
GD
5
 cos SDG =
=
3
SD
41

Câu 16: Đáp án D


 BC ⊥ AB
( SHC ) ⊥ ( ABCD )
 BC ⊥ ( SAB )
 SH ⊥ ( ABCD ) .Kẻ NK ⊥ SB ta có 
Ta có 
BC
⊥
SH
SHD
⊥
ABCD
(
)
(
)




 BC ⊥ HK mà HK ⊥ SB  HK ⊥ ( SBC ) . Gọi I là giao điểm của DH và BC.
Qua D kẻ đường thẳng song song với HK cắt IK tại J  DJ ⊥ ( SBC )

 ( SD, ( SBC ) ) = ( SD, SJ ) = DSJ . Ta có
Ta có AH =
Ta có

IH 3 HK
4

= =
 DJ = HK
ID 4 DJ
3

1
AB = a  SH = SA2 − AH 2 = 2a .
4

1
1
1
13
6a
=
+
=
 HK =
2
2
2
2
HK
HB
HS
36a
13

 DJ =

4
8a
. Ta có HD = AH 2 + AD2 = 2a  SD = SH 2 + HD2 = 2a 2
HK =
3
13

 SJ = SD 2 − DJ 2 =

2a 130
SJ
5
 cos DSJ =
=
13
SD
13

Trang 9 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải