Chuyên đề tích phân phạm thanh phương, lê bá bảo file word có lời giải chi tiết image marked

Chuyên đề: TÍCH PHÂN

Câu lạc bộ Giáo viên trẻ Tp. Huế
Tác giả: PHẠM THANH PHƯƠNG

Biên tập: LÊ BÁ BẢO (Huế)

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG
Chủ đề 2: TÍCH PHÂN
I. ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
ĐỊNH NGHĨA

1.

Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số thực bất kì thuộc K . Nếu F là một nguyên
hàm của f trên K thì hiệu số F ( b ) − F ( a ) gọi là tích phân của f từ a đến b , ký hiệu
b



f ( x ) dx. Nếu a < b thì

a

b

 f ( x ) dx

gọi là tích phân của f trên đoạn  a; b .

a

b
Hiệu số F ( b ) − F ( a ) còn được ký hiệu là F ( x ) , do đó nếu F là một nguyên hàm của f
a
b

trên K thì

b

 f ( x ) dx = F ( x ) a = F (b ) − F ( a )
a

Vì



f ( x ) dx là một nguyên hàm bất kỳ của f nên ta có

 f ( x ) dx = (  f ( x ) dx ) a
b

b

a

Ta gọi a là cận dưới, b là cận trên, x là biến lấy tích phân, f là hàm số dưới dấu tích
phân, f ( x ) dx là biểu thức dưới dấu tích phân.
Tích phân chỉ phụ thuộc vào 2 cận tích phân và biểu thức dưới dấu tích phân, nó không
phụ thuộc vào biến lấy tích phân, tức là:

b



b

b

a

a

f ( x ) dx =  f ( t ) dt =  f ( u ) du = F ( b ) − F ( a )

a

Ví dụ
3
1 
1
1
1

 2 1
3 
 

1: I =   4 x +
 dx =  2 x + ln 2 x − 1  1 = 18 + ln 5  −  2 + ln1 = 16 + ln 5
2x −1 

2
2
2
2



 

1
3

Ví dụ 2: I = 
1

( x − 1)
x

2

3
 x2
3
x2 − 2 x + 1
1

dx = 
dx =   x − 2 +  dx =  − 2 x + ln x 
x
x

 2
1
1
1
3

9
 1

=  − 6 + ln 3  −  − 2 + ln1 = ln 3
2
 2


– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chuyên đề: TÍCH PHÂN
2
 y4
2

2
Ví dụ 3: I =   y 3 + 2 y −  dy =  + y 2 − 2 ln y 
y
 4
1
1

1

 27
= ( 4 + 4 − 2 ln 2 ) −  + 1 − 2 ln1 =
− 2 ln 2
4
 4




cos 2t 
1 
1


Ví dụ 4: I =  ( 2 cos t − sin 2t ) dt =  2sin t +
 2 = 2 −  −0 +  =1
2 
2 
2

0
0 
2


4





(

)

4

(

)

Ví dụ 5: I =  4 + cot 2 s ds =  3 + 1 + cot 2 s ds = ( 3s − cot s )


2



2

4



2

 3
  3
 −3 − 4
=

− 1 − 
− 0 =
4
 4
  2


2.

TÍNH CHẤT

Với 2 hàm số f , g liên tục trên K và a, b, c là 3 số thực bất kỳ thuộc K , ta có:
•

a
f ( x ) dx = 0
a



a
b
f
x
dx
=
−
( )
b f ( x ) dx
a

•

c
c
b
f
x
dx
+
f
x
dx
=
f ( x ) dx
( )  ( )

a
b
a



b
b
b


f
x


g
x
dx
=
f
x
dx

( ) ( )
a ( ) a g ( x ) dx
a

•

b
b
k
.
f
x
dx
=
k
.
( )
a f ( x ) dx, k 
a

Dùng định nghĩa tích phân, ta chứng minh được 2 tính chất sau:

•

Nếu f ( x )  0 trên  a; b thì

b

 f ( x ) dx  0 .
a

•

Nếu f ( x )  g ( x ) trên  a; b thì

b



b

f ( x ) dx   g ( x ) dx .

a

a

II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH, ĐƯA VỀ TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢN

1.

- Phương pháp này tính được các tính phân hàm đa thức, hàm có chứa dấu trị tuyệt đối,
1 số hàm lượng giác đơn giản.
- Để tính tích phân theo phương pháp này, cần phải nắm định nghĩa tích phân, các tính
chất tích phân và thuộc bảng nguyên hàm để có thể biến đổi hàm dưới dấu tích phân về các
hàm thường gặp. Từ đó, học sinh có thể linh hoạt đưa bài toán mới về những bài toán cơ
bản.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chuyên đề: TÍCH PHÂN
1

x

Ví dụ 1: Tính I = 

( x + 1)

0

x

Gợi ý: Đặt

( x + 1)

2

=

dx

2

A ( x + 1) + B
A
B
x
+
, x  −1 
=
, x  −1
2
2
2
x + 1 ( x + 1)
( x + 1)
( x + 1)

A =1
A =1
x
1
1
=
−
 x = Ax + A + B, x  −1  

. Do đó

2
2
( x + 1) x + 1 ( x + 1)
A + B = 0
 B = −1
1
1
1 
1 1
1

 dx = ln x + 1 +
Khi đó: I =  
−
= ln 2 −
2

 x + 1 ( x + 1) 
x + 1 0
2

0


Ta tìm ra A, B như trên bằng phương pháp đồng nhất hệ số. Ngoài ra ta có thể phân tích và
biến đổi trực tiếp như sau:
1

Ví dụ 2: Tính I = 
0

x

( x + 1)

x ( x − 1)
x2 − 4

2

=

x +1 −1

( x + 1)

2

=

1
1
−
, các này hiệu quả hơn.
x + 1 ( x + 1)2

dx

Gợi ý: Với mọi x 0;1 , ta có:

x( x + 1) x 2 + x x 2 − 4 + x + 4
1 2x
4
= 2
=
= 1+ . 2
+ 2
.
2
2
x −4
x −4
x −4
2 x −4 x −4

4 
1
2x
4
 1 2x
Lúc đó: I =  1 + . 2
+ 2
+ 2
dx
 dx = dx +  2
2 x −4 x −4
2 0 x −4 0 x −4
0
0
1

1

(

)

(

)

1

1

2
1
1
1 d x −4
( x + 2) − ( x − 2)
=  dx + 
+
dx
2
2 0 x −4
x + 2 ) ( x − 2)
0
0 (
1

2
1
1
1 d x −4
1 
 1
=  dx + 
+
−

 dx
2

2
x
−
4
x
−
2
x
+
2


0
0
0
1

1 1
1
x−2 1
1 3
1
= x + ln x 2 − 4 + ln
= 1 + ln + ln
0 2
0
x+2 0
2 4
3
2

Ví dụ 3: Tính I =



x 2 − 1 dx

−2

 x 2 − 1, khi x 2 − 1  0  x 2 − 1, khi x  (−, −1]  [1, +)
=
Gợi ý: Ta có: x − 1 = 
2
2
2
1 − x , khi x − 1  0 1 − x , khi x   −1,1
2

−1

Khi đó: I =



−2

1

2

x − 1 dx +  x − 1 dx +  x − 1 dx =
2

2

−1

2

1

−1

 (x

−2

2

)

1

(

)

2

(

)

− 1 dx +  1 − x dx +  x 2 − 1 dx
−1

2

1

 x3
 −1 
2
x3  1  x3
=  − x + x −  + − x = 4
3  −1  3
 3

 −2 
1

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chuyên đề: TÍCH PHÂN


Ví dụ 4: Tính I =  cos 4 xdx
0
2
2
 1 + cos 2 x  cos 2 x + 2 cos 2 x + 1
=
Gợi ý: Dùng công thức lượng giác: cos 4 x = ( cos 2 x ) = 

2
4


2

1 + cos 4 x
+ 2 cos 2 x + 1
cos 4 x + 4 cos 2 x + 3
2
=
=
4

8

1
1 sin 4 x
  3
+ 2sin 2 x + 3x  =
( cos 4 x + 4cos 2 x + 3) dx = 

80
8 4
0 8


Khi đó: I =


6

Ví dụ 5: Tính I =  sin x.cos 5 xdx
0

Gợi ý: Dùng công thức lượng giác: sin x.cos 5 x =


1
( sin 6 x − sin 4 x )
2



16
1 cos 6 x cos 4 x 
1
Ta có: I =  ( sin 6 x − sin 4 x ) dx =  −
+
 6 =−
20
2
6
4 
48
0

Bài tập tương tự:
2

Bài tập 1. Tính I = 
1

2x +1
dx
2
x + 4x + 4

3x 2 − 1
dx
x2 − 9
0
2

Bài tập 2. Tính I = 


3

4

Bài tập 4. Tính I =  sin 2 xdx

Bài tập 3. Tính I =  1 − x dx

0

0


4

(

)

Bài tập 5. Tính I =  4 cos 4 x − 3cos 2 x dx
0

2.
-

PHƯƠNG PHÁP DÙNG VI PHÂN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN
Một số bài toán đơn giản không cần phải đưa ra biến mới, tức là không cần đặt t = t ( x ) ,

biến lấy tích phân vẫn là biến x , cận lấy tích phân không đổi. Nói cách khác, ta có thể trình
bày gọn bằng công thức vi phân dt ( x ) = t ' ( x ) dx . Cách làm này ngắn gọn, hiệu quả trong rất
nhiều bài toán tích phân.
-

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) và t = t ( x ) là một hàm của biến x thì
b

b

 f t ( x ) dt ( x ) = F t ( x ) a
a

Chẳng hạn với t là hàm bậc nhất t = t ( x ) =  x +  ( a  0) thì

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chuyên đề: TÍCH PHÂN
b

b

1

b

1

 f ( x +  ) dx =   f ( x +  ) df ( x +  ) =  .F ( x +  ) a
a

a


4

Ví dụ 1: Tính I =  tan xdx
0





4

4





4
d ( cos x )
sin x
2
Gợi ý: I =  tan xdx = 
dx = − 
dx = − ln cos x 4 = − ln

= ln 2
cos x
cos x
2
0
0
0
0

1

dx
e +1
0

Ví dụ 2: Tính I = 

x

(

)

(

)

1 ex + 1 − ex
1
1

1
1 d ex + 1
dx
ex
Gợi ý: I =  x
=
dx =  dx −  x
dx = dx −  x
e + 1 0
ex +1
e +1
e +1
0
0
0
0
0
1

1
1
2e
= x − ln e x + 1 = 1 − ln ( e + 1) + ln 2 = ln
0
0
1+ e


1 − 2sin 2 x
dx

1 + sin 2 x
0
4

Ví dụ 3: Tính I = 






cos 2 x
1 4 d (1 + sin 2 x ) 1
1
Gợi ý: I = 
dx = 
= ln 1 + sin 2 x 4 = ln 2
1 + sin 2 x
2 0 1 + sin 2 x
2
2
0
0
4

3

Ví dụ 4: Tính I =  2 x + 3dx
1

3

3

3
1
1
1 ( 2 x + 3) 2 3 ( 2 x + 3) 2 3 27 − 5 5
=
=
Gợi ý: I =  ( 2 x + 3) 2 d ( 2 x + 3) = .
3
1
1
21
2
3
3
2
ln 3

Ví dụ 5: Tính I =

e x dx



(1 + e )
x

0

ln 3

Gợi ý: I =


0

ln 3

x

e dx

(1 + e )
x

3

=

3

3
x 2

 (1 + e ) d (1 + e )
0

x

(

1 + ex
=
1
−
2

)

−

1
2

ln 3
−2 ln 3
=
= 2 −1
0
1 + ex 0

Bài tập tương tự:

4

Bài tập 1. Tính I =  cot xdx
0


3

Bài tập 2. Tính I = 
0

2 + tan 3 x
dx
cos 2 x

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chuyên đề: TÍCH PHÂN

6

2 cos 2 x − 1
dx
Bài tập 3. Tính I = 
3 + sin 2 x
0

3

Bài tập 4. Tính I = 
2

4x − 3

dx
2 x − 3x + 1
2

ln 6

Bài tập 5. Tính I =

e

e x + 3dx

x

0

3. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
- Cho các hàm số u(x), v(x) có đạo hàm liên tục trên K và hai số thực a, b thuộc K , ta có:
b

b
b b
b b
a u ( x )v ' ( x ) dx = u ( x ) v ( x ) a − a v ( x ) u ' ( x )dx . Viết gọn: a udv = uv a − a vdu

- Nếu hàm số f(x) là tích của 2 trong 4 hàm: hàm lũy thừa y=xa , hàm số mũ
y = a x , y = e x , hàm lôgarit y = logax, y = lnx, hàm lượng giác y = sin x, y = cos x thì ta sử

dụng phương pháp tích phân từng phần, tức là biến đổi f(x)dx về dạng u ( x ) v ' ( x ) dx .
- Việc lựa chọn u và dv phải thỏa mãn các điều kiện sau: du đơn giản, v dễ tìm, tích

b

b

a

a

phân mới  vdu đơn giản hơn tích phân ban đầu  udv . Chọn hàm để đặt bằng u theo thứ tự
ưu tiên giảm dần như sau: hàm lôgarit, hàm lũy thừa, hàm số mũ, hàm lượng giác.
1

(

)

Ví dụ 1: Tính I =  x.ln 1 + x 2 dx
0

(

)

Gợi ý: Đặt u = ln 1 + x 2 , dv = xdx , ta có: du =
Khi đó: I =

=

2x
x2

dx
,
v
=
chọn
1 + x2
2

1
1 1 x3
x2
ln 2 
x 
1
ln 1 + x 2 − 
dx
=
−
x−
dx = − + ln 2

2
2 

0 0 1+ x
2
2 0  1+ x 
2

(

)

 1 ln 2  1 ln 2 
ln 2  x 2 1
1
−  − ln 1 + x 2  =
− −
= − + ln 2

2  2 2
2 2 2 
2
0

(

)

1

Ví dụ 2: Tính I =  x 2 .e− x dx
0

Gợi ý: Đặt u =x2, dv = e-xdx, ta có: du = 2xdx, chọn v = -e-x
1
1
1
1
−x

Khi đó: I = −e .x
+ 2 x.e dx = − + 2 K , với K =  xe
. − x dx
0 0
e
0

(

−x

2

)

Tính K: Đặt u = x2, dv = e-xdx, ta có: du = dx, chọn v = -e-x.

(

Khi đó: K = − x.e− x

)

1 1 −x
1
1
1 1 
2
+  e dx = − − e− x = − −  − 1 = − + 1
0 0

0
e
e e 
e

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chuyên đề: TÍCH PHÂN

5
Vậy I = − + 2
e
2

ln x
dx
3
x
1

Ví dụ 3: Tính I = 

Gợi ý: Đặt u = lnx, dv =
Khi đó: I = −

dx
dx
1
,ta có du =

, chọn v = − 2
3
2x
x
x

2
ln x 2
dx
ln 2
1 2 3 − 2 ln 2
+
=−
− 2 =
2
3

2x 1 1 2x
8
4x 1
16
e2

1 
 1
Ví dụ 4: Tính I =   2 −
 dx
ln
x
ln

x


e
e
x (1 − ln x )
1 − ln x
Gợi ý: I =  2 dx = 
dx
ln x
x.ln 2 x
e
e
e2

2

Đặt u = x (1 − ln x ) , dv =

1
1
dx , ta có du = − ln xdx , chọn v = −
2
ln x
x.ln x

x (1 − ln x ) e2 e
e2
e2
Khi đó: I =

−  dx = − e2 − e = e −
ln x
2
2
e e
2

3

Ví dụ 5: Tính I = 
1

3 + ln x

( x + 1)

2

Gợi ý: Đặt u = 3 + ln x, dv =

(

)

dx
dx

( x + 1)

2

, ta có: du =

dx
1
, chọn v = −
. Khi đó:
x +1
x

3
3
3 + ln x 3
dx
3 + ln 3 3
1 
3 − ln 3
x 3 1
27 
1
I=
+
=−
+ +  −
dx =
+ ln
=  3 + ln 

x + 1 1 1 x ( x + 1)
4

2 1  x x +1 
4
x +1 1 4 
16 

Bài tập tương tự:
1

Bài tập 1. Tính I =  x.ln ( x + 1) dx

2

Bài tập 2. Tính I =  ( x 2 + x − 1) e x dx
1

0


2

Bài tập 3. Tính I =  x.sin xdx
0

2

Bài tập 4. Tính I =  x.e x dx
1

e

Bài tập 5. Tính I =  ln xdx
1

4. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1
-

Đặt t = t(x), với x là biến ban đầu, t là biến mới. Khi đổi biến phải đổi cận.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chuyên đề: TÍCH PHÂN
- Cho hàm số t = t(x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = g(t) liên tục và hàm hợp
g t ( x )  xác định trên K, a và b là hai số thuộc K, ta có

b

t (b)

a

t(a)

 g t ( x ) .t ' ( x ) dx =  g ( t ) dt
b

-

Các bước thực hiện phép đổi biến số dạng 1 để tính tích phân I =  f ( x ) dx :
a

+ Bước 1: Đặt t = t(x), suy ra dt = t ' ( x ) dx
Đổi cận: x = a  t = t ( a ) =  , x = b  t = t (b ) = 
+ Bước 2: Biến đổi f ( x ) dx = g (t ) dt

1



+ Bước 3: Khi đó:

x a
2

dx = ln x + x 2  a + C (đơn giản hơn tích phân đã cho).

Giả sử G ( t ) là một nguyên hàm của g ( t ) thì I = G ( t )





4

Ví dụ 1: Tính I = 
0

(

dx

tan x + 3 tan x + 2 cos 2 x

)

2

Gợi ý: Đặt t = tanx  dt =


1
dx. Đổi cận: x = 0  t = 0, x =  t = 1
2
cos x
4

( t + 2) − ( t + 1) dt
1
1
dt = 
dt = 
2
t + 3t + 2
t + 1)( t + 2 )
t + 1)( t + 2 )
0
0 (
0 (

1

1

Lúc đó: I = 

1

1 
t +1 1
4
 1
= 
−
dt
=
ln
= ln

t +1 t + 2 
t+2 0
3
0
1

2

x
dx
x −1
1 1+

Ví dụ 2: Tính I = 

Gợi ý: Đặt t = x − 1  x = t 2 + 1  dx = 2tdt. Đổi cận: x = 1  t = 0, x = 2  t = 1

t 2 +1
t3 + t
2 

2tdt = 2
dt = 2  t 2 − t + 2 −
 dt
1
+
t
1
+
t
1
+
t


0
0
0

1

1

Lúc đó: I = 

 t3 t2
= 2  − + 2t − 2ln 1 + t
3 2

1

 1 11
 = − 4ln 2.
0 3


2

Ví dụ 3: Tính I =  sin 5 xdx
0

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chuyên đề: TÍCH PHÂN




2

2

0

0

(

)

Gợi ý: I =  sin 4 x.sin xdx =  1 − cos 2 x .sin xdx
2

Đặt t = cos x  dt = − sin xdx. Đổi cận: x = 0  t = 1, x =
0

(

Khi đó: I = − 1 − t

2

)

 2t 3 t 5  1 8
dt =  1 − 2t 2 + t 4 dt =  t −
+  =
3 5  0 15

0
1

2

1


2

(

)

1
dx
4sin x + 3cos x + 5

Ví dụ 4: Tính I = 
0

Gợi ý: Đặt t = tan


t =0
2

x
1
, ta có dt = .
2
2

1
x
1
2dt
dx = 1 + tan 2  dx = 1 + t 2 dx  dx =
x
2
2
2
1+ t2
cos 2
2

(

1

)


2t
1− t2
, cos x =
Ta có: sin x =
. Đổi cận: x = 0  t = 0, x =  t = 1
2
2
2
1+ t
1+ t

1

Khi đó: I = 
0

(

8t + 3 1 − t
8

Ví dụ 5: Tính I =

Gợi ý: I =

x
3

x +1
2

) + 5 (1 + t )
2

dt = 
0

1

(t + 2)

2

dt = −

1 1 1
=
t+2 0 6

x2 + 1

xdx
2

2

dx

x
3

8

1

2

, đặt t = x2 + 1 , ta có t 2 = x 2 + 1  2tdt = 2 xdx  xdx = tdt

Đổi cận: x = 3  t = 2, x = 8  t = 3
3

Khi đó: I = 
2

(

3
3
tdt
dt
1  1
1 
1 t −1 3 1 3
=
=
−
= ln

 dt = ln


2
2 t +1 2 2 2
t − 1 t 2 ( t − 1)( t + 1) 2 2  t − 1 t + 1 

)

Bài tập tương tự:
1

Bài tập 1. Tính I =  (1 − x ) dx
7

e x (1 + x)
dx
2 + xe x
0
2

Bài tập 2. Tính I = 

0


1

Bài tập 3. Tính I =  x ( 2 x − 1) dx
10

2

Bài tập 4. Tính I =  sin 2 x.cos 2 xdx

0



3
8

Bài tập 5. Tính I = 
0

5.

x
dx
1+ x

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2
- Đặt x = x(t), với biến x là biến ban đầu, t là biến mới. Khi đổi biến phải đổi cận.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chuyên đề: TÍCH PHÂN
- Cách này áp dụng cho 1 số bài toán đặc thù mà không thể hoặc gặp khó khăn khi áp
dụng phương pháp phân tích, phương pháp đổi biến dạng 1 hoặc tích phân từng phần. Sau đây,
là một số gợi ý cho các trường hợp cụ thể:
o

  
Nếu f(x) chứa 1 − x 2 , đặt x = sin t, t   − ;  hoặc x = cos t , t 0,   .
 2 2

a2 − x2 ( a  0) , đặt x = a sin t hoặc x = a cos t .
a 2 − ( x +  ) ; ( a  0 ) , đặt  x +  = a sin t hoặc  x +  = a cos t .
2

o

x 2 − 1 , đặt x =

Nếu f(x) chứa

x2 − a 2 ( a  0) , đặt x =

( x +  )
o

2

f ( x) =

a
a
hoặc x =
.
cos t
sin t

a
a
hoặc  x +  =
.
cos t
sin t

− a 2 ; ( a  0 ) , đặt  x +  =

1
hoặc f(x) chứa
x +1

Nếu f ( x ) =

f ( x) =

1
1
  
 
, t   − ;  \ 0 hoặc x =
, t   0;   \  
sin t
cos t
 2 2
2

2

1
hoặc f(x) chứa
x + a2
2

1

( x +  )

2

+a

2

  
x2 + 1 , đặt x = tan t , t   − ,  .
 2 2

x2 + a 2 ( a  0) , đặt x = a tan t

( x +  )

hoặc f(x) chứa

2

+ a 2 ( a  0 ) , đặt  x +  = a tan t
b

Các bước thực hiện phéo đổi biến số dạng 2 để tính tích phân I =  f ( x ) dx :
a

+ Bước 1: Đặt x = x ( t ) , suy ra dx = x ' ( t ) dt .
Đổi cận: x = a  t =  , x = b  t = 
+ Bước 2: Biến đổi f ( x ) dx thành g ( t ) dt .
+ Bước 3: Khi đó



1
x a
2

dx = ln x + x 2  a + C (đơn giản hơn tích phân đã cho). Giả sử

G ( t ) là một nguyên hàm của g ( t ) thì I = G ( t )
2
2

Ví dụ 1: Tính


0

x2
1 − x2




dx

  
Gợi ý: Đặt x = sin t , t   − ;  , ta có: dx = cos tdt , 1 − x 2 = 1 − sin 2 t = cos 2 t = cos t
 2 2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

Chuyên đề: TÍCH PHÂN

Đổi cận: x = 0  t = 0, x =


2

t =
2
4






sin t.cos tdt
14
1 1
 1

Khi đó: I = 
=  sin 2 tdt =  (1 − cos 2t ) dt =  t − sin 2t  4 = − .
cos t
20
2 2
0 8 4
0
0

2

4

4

2

Ví dụ 2: Tính I =  x 2 4 − x 2 dx
1



  
Gợi ý: Đặt x = 2sin t , t   − ;  , ta có dx = 2cos tdt . Đổi cận: x = 1  t = , x = 2  t =
6
2
 2 2
Ta có:

4 − x2 = 4 − sin 2 t = 2 cos2 t = 2 cos t = 2cos t . Khi đó:









3
 sin 4t  2 2
I =  4sin 2 t.2 cos t.2 cos tdt =4  sin 2 2tdt = 2  (1 − cos 4t ) dt = 2  t −
+
 =
4 
3
4




6
6
6
6
2

2

Ví dụ 3: Tính I =

2
3


1

Gợi ý: Đặt x =

2

dx
x2 −1


2

1
− cos t
  
, t   − ;   dx =
dt . Đổi cận: x = 1  t = , x =
t = .
2
sin t
sin t
2
3
3
 2 2



cos t
dt 2
2
dt
1
cos t

. Ta có 2 cách sau:
. Khi đó: I = −  sin t = 
x2 −1 =
−1 =
2
cos t
sin t
sin t

 sin t
2
3
sin t
3

Ta có:

t


d  tan 
1
dt
1
dt
t 2
2
= 
= 
= ln tan

= ln 3
Cách 1: I = 
t
t
t
t
t

2  sin cos
2  tan cos 2
2

tan
3
3
2
2
2
2 3
2
3






2

2

2

Cách 2: Đặt u = tan
1

đó: I =



1
3

2du
=
2u

t
1
t
1
2du
2u
 du = 1 + tan 2  dt = 1 + u 2 dt  dt =
,sin t =
. Khi
2
2
2
2

2
1+ u
1+ u2

(

)

1
du
1 u = ln u 1 = ln 3
3
3
1

1

1
dx
2
1
+
x
0

Ví dụ 4: Tính I = 

1
  
dt = 1 + tan 2 t dt

Gợi ý: Đặt x = tan t , t   − ;  , ta có: dx =
2
cos
t
2
2



(

)

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chuyên đề: TÍCH PHÂN


Đổi cận: x = 0  t = 0, x = 1  t =
−1

Ví dụ 5: I =

x

−3
−1

Gợi ý: I =

2



(
)

. Khi đó: I = 
2
4
1 + tan t
0
4

1 + tan 2 t dt

4

=  dt =
0


4

1
dx
+ 6 x + 13
1

 ( x + 3)

2

−3

  
dx. Đặt x + 3 = 2 tan t , t   − ;  , ta có dx = 2 1 + tan 2 t dt
 2 2
+4

(



Đổi cận: x = −3  t = 0, x = −1  t =


4

(

) dt = 1

4

2 1 + tan 2 t

0

4 tan t + 4

. Khi đó: I = 

2

)





4

dt = .
2
8
0

Bài tập tương tự:
1

Bài tập 1. Tính I =  1 − x 2 dx

3

Bài tập 2. Tính I =  x 4 9 − x 2 dx
0

0

0

Bài tập 3. Tính I = 
1
2

1− x

0

Bài tập 5. Tính I = 

−1

6.

e

dx
2

Bài tập 4. Tính I = 
1

dx
x 1 + ln 2 x

(

)

dx
3 − x2 − 2 x

MỘT SỐ LƯU Ý VỀ PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
- Các phép đổi biến sau đây có thể xem là đổi biến dạng 1, cũng có thể xem là đổi biến

dạng 2, cách đặt t = t ( x ) hoặc x = x ( t ) rất đơn giản, chẳng hạn: t = − x, t =


− x, t =  − x,...
2

Các biến đổi thường gặp:



o

Đổi biến với I để có I =  +  .I  I =

o

Đổi biến với I, ta có 2 I = I + I = K  I =

o

1− 

với  ,   ,   1

1
K , với K là tích phân đơn giản.
2

Biến đổi I thành tổng I = I1 + I 2 , thực hiện phép đổi biến đối với I1 hay I 2 ta được

I1 = − I 2 hay I1 + I 2 = K , với K là tích phân đơn giản.

- Học sinh cần đặc biệt chú ý đến tính chẵn, lẻ của hàm f(x). Ta xét 3 loại tích phân sau:
a

 Loại 1: Tích phân

 f ( x ) dx , với a  0, f ( x ) là hàm lẻ trên đoạn −a; a , tức là

−a

f ( − x ) = − f ( x ) , x −a; a
Cách giải:

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chuyên đề: TÍCH PHÂN
0

a

−a

0

 f ( x ) dx +  f ( x ) dx = I

Cách 1: (Phân tích thành 2 tích phân) I =
0

a

a

0

1

+ I2

Với I1 : đặt t = − x  I1 = −  f ( −t ) dt = −  f ( x ) dx = − I 2  I = 0
−a

Cách 2: (Tính trực tiếp) Đặt t = − x  I = −  f ( −t ) dt =
a

a

a

−a

−a

 − f (t ) dt = −  f (t ) dt = − I

 2I = 0  I = 0
1

Ví dụ: Tính I =  x10 sin xdx
−1

Gợi ý:
0

0

1

1

Cách 1: I =  x sin xdx +  x sin xdx = I1 + I 2 , trong đó I1 =  x sin xdx, I 2 =  x10 sin xdx .
10

10

10

−1

−1

0

0

Đối với I1 : đặt t = -x, ta có dt = −dx,sin x = − sin t , x10 = t10 .
Đổi cận: x = −1  t = 1, x = 0  t = 0.
0

1

1

1

0

0

Khi đó: I1 =  t10 .sin tdt = −  t10 .sin tdt = −  x10 .sin xdx = − I 2 . Suy ra I = 0
Cách 2: Đặt t = − x , ta có dt = −dx,sin x = − sin t , x10 = t10 .
Đổi cận: x = −1  t = 1, x = 1  t = −1.
−1

1

1

−1

Khi đó: I =  t10 .sin tdt = −  t10 .sin tdt = − I . Suy ra 2I = 0  I = 0 .

f ( x)

a

 Loại 2: Tích phân I =

k

x

−a

+1

dx , với a  0, k  , f ( x ) là hàm chẵn trên đoạn  −a; a  ,

tức là f ( − x ) = f ( x ) , x −a; a.
0

Cách 1: (tách thành 2 tích phân) I =

f ( x)

k

+1

x

−a

f ( −t )

0

Với I1 : đặt t = − x  I1 = − 
a

a

 I = I1 + I 2 = 
0

k x. f ( x)
1+ k x

k −t + 1
a

dx + 
0
−a

Cách 2: Đặt t = − x  I = − 
a

a

dt = 

0

f ( x)
k x +1

f ( −t )
k −t + 1

a

dx + 

f ( x)

k x +1
0

dx = I1 + I 2 .

a t
a
f (t )
k . f (t )
k x. f ( x)
dt = 
dt
=
dx
t
x


1
1
+
k
1
+
k
0
0
+1
kt

a

dx =  f ( x ) dx.
0
a

dt =



−a

a
a
f (t )
k t . f (t )
k x. f ( x)

dt = 
dt = 
dx
1
1+ kt
1+ k x
−a
−a
+
1
kt

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chuyên đề: TÍCH PHÂN
a

f ( x)

 1+ k

Khi đó: 2 I = I + I =

x

a

dx +

−a



k x. f ( x)
1+ k x

−a

a

dx =



−a

a

1
f ( x ) dx  I =  f ( x ) dx
2 −a

1

Ví dụ: I =

cos xdx
ex +1
−1



Gợi ý:
0

0

1

1

cos xdx
cos xdx
cos xdx
cos xdx
, I2 =  x
+ x
= I1 + I 2 , trong đó I1 =  x
x
e +1
e +1 0 e +1
e +1
−1
−1
0

Cách 1: I = 

Đối với I1 , đặt t = − x , ta có dt = −dx, cos x = cos t. Đổi cận: x = −1  t = 1, x = 0  t = 0.

0

1

1

1

cos tdt
cos tdt
et .cos tdt
e x .cos xdx
=
=
=
0 1 + e x
e − t + 1 0 1 + 1 0 1 + et
1
et

Khi đó: I1 = − 

(

)

1
1 e x + 1 cos xdx
1
1

e x .cos xdx
cos xdx
Suy ra: I = 
+ x
=
=  cos xdx = sin x = sin1.
x
x
0
0
1+ e
e +1 0
e +1
0
0
1

Cách 2: Đặt t = − x , ta có dt = −dx, cos x = cos t. Đổi cận: x = −1  t = 1, x = 1  t = −1.
−1

Khi đó: I =

1

1

1

cos tdt
cos tdt

et .cos tdt
e x .cos xdx
=
=
=
1 e−t + 1 −1 1
 1 + et −1 1 + e x
−1
+
1
et
1

Suy ra: 2 I = I + I =

1

1
1
cos xdx
e x .cos xdx
+
−1 e x + 1 −1 1 + e x = −1 cos xdx = sin x −1 = 2sin1  I = sin1.

Loại 3: Tích phân I =  f ( x ) dx , với a =  ,
a



0


;... và f ( x ) có chứa các hàm lượng
2

giác
Cách giải: Ta thử đặt t = a − x , khi biến đổi hàm f ( x ) về hàm g ( t ) phải chú ý các cung có
liên quan đặc biệt (hai cung bù nhau, phụ nhau,...). Chú ý tính chất của tích phân:

I =  f ( x ) dx =  f ( t ) dt.
b

b

a

a



Ví dụ: I =  2
0

Đặt t =

cos 4 x
dx
cos 4 x + sin 4 x





− x , ta có dt = −dx , đổi cận: x = 0  t = , x =  t = 0. Khi đó:
2
2
2



cos 4  − t 


sin 4 t
sin 4 x
2 
2
I = − 
dt =  2
dt
=
0 sin 4 x + cos4 x dx
0 sin 4 t + cos 4 t


4 
4
2
cos  − t  + sin  − t 
2 
2 

0

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Suy ra: 2 I = I + I = 



2
0

Kết quả: I = 






cos 4 x
sin 4 x

2
dx + 
dx =  2 dx = . Vậy I =
4
4
4
4

0
0
4
cos x + sin x
sin x + cos x
2

cos n x

dx = , với mọi số tự nhiên n  0 .
n
n
cos x + sin x
4

2
0

Bài tập tương tự:


x 7 − x5 + x3 − x
dx
cos 4 x

Bài tập 1. I =  4
−

4

Gợi ý: đặt t = − x



Bài tập 2. I =  4 ln (1 + tan x ) dx

Gợi ý: đặt t =

0

−1

Bài tập 5. I =

2

(

dx
x
e + 1 x2 + 1

Gợi ý: đặt t = − x

Đáp án: I =

Gợi ý: đặt t = − x

Đáp án: I = ln 2 − 2 +

)(

(




.ln 2
8

Đáp án: I = 0

)

) dx

ln x 2 + 1

1

Đáp án: I =

Gợi ý: đặt t = − x

1

Bài tập 4. I = 


−x

4

1− x
dx
1+ x

1

Bài tập 3. I =  21 x 2 .ln
−

Đáp án: I = 0

e +1
x

−1


4


2

III. MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP
1. MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ
• Bài toán 1: I = 





Ta biến đổi: I =
Ta có: dx = s .

1
dx, với m  0; mx 2 + nx + p vô nghiệm.
mx + nx + p
2

1 
1
  
dx, s  0. Đặt x + r = s tan t , t   − ; 
2


m (x + r) + s
 2 2

(

)

dt
2
= s 1 + tan 2 t dt và ( x + r ) + s = s. (1 + tan 2 t )
2
cos t

2
t
1 t2 s (1 + tan t ) dt
1 2
1
Khi đó: I = 
=
dt =
( t2 − t1 )

2
t
m 1 s. (1 + tan t )
m s t1
m s

1
1
1
  
dx = 
dx , đặt x + 1 = 2 tan t , t   − ; 
2
−1 x + 2 x + 5
−1
 2 2
( x + 1) + 4

Ví dụ: I = 

(

1

2

)

 dx = 2 1 + tan t dt , x = −1  t = 0, x = 1  t =
2

• Bài toán 2: I = 






4

;I = 



4
0

(

)

2 1 + tan 2 t dt
4 tan t + 4
2



= 4
0

1

dt =
2
8

ax + b
dx, với m  0; mx 2 + nx + p vô nghiệm.
mx + nx + p
2

Ta chú ý ( mx 2 + nx + p ) ' = 2mx + n và biến đổi:

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chuyên đề: TÍCH PHÂN

 
a  2mx + n

an  
1
a
an 

2
dx
+
b
−
dx
=
.ln
mx
+
nx
+
p
+ b −
.K ,


2
2




  2m 
2m mx + nx + p

2m  mx + nx + p
2m


1
dx (xem Bài toán 1).
với K = 
2
 mx + nx + p

I=

1 3 ( x + 1) + 1
1
3x + 4
3 1 2x + 2
1
dx
=
dx
=
dx
+
−1 x2 + 2 x + 5 2 −1 x2 + 2 x + 5 −1 x2 + 2 x + 5 dx
−1 x 2 + 2 x + 5

Ví dụ : I = 

1

1
1
3
1
= .ln x 2 + 2 x + 5
+ 2
dx (xem thêm ví dụ của Bài toán 1)
−
1
−1
2
x + 2x + 5

Lưu ý: Trong Bài toán 1 và Bài toán 2, f ( x ) là phân thức hữu tỉ có bậc tử nhỏ hơn 2. Nếu
tử là đa thức P ( x ) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2 thì ta biến đổi

(

)

P ( x ) = Q ( x ) . px 2 + qx + r + R ( x ) (nói đơn giản: chia tử cho mẫu để tìm thương Q ( x ) và

phần dư R ( x ) ), suy ra
• Bài toán 3: I = 

1

( mx

+ nx + p

2

)

R ( x)

= Q ( x) +

px + qx + r





Ta biến đổi: I = 

P ( x)
2

k

px + qx + r
2

, với R ( x ) có bậc nhỏ hơn 2.

dx, với k nguyên, k  2 , mx 2 + nx + p vô nghiệm.

  

dx, s  0 . Đặt x + r = s tan t , t   − ; 
2
 2 2
m k . ( x + r ) + s 





1

k



(

)

2
Ta có: dx = s 1 + tan 2 t dt và ( x + r ) + s  = s k . (1 + tan 2 t )



1
Khi đó: I = k
m

k

(
)
 s . 1 + tan t
(
)

s 1 + tan 2 t dt

t2

t1

k

2

=

k

s
k k
m .s

t2


t1

dt

(

1 + tan 2 t

)

k −1

=

k

s
k k
m .s

t1

 ( cos t )

2 k −2

dt.

t2

(xem thêm Bài toán 8 sau đây về phương pháp tính tích phân của hàm số cos n t )
Ví dụ: I = 

1

1

−1

(x

2

+ 2 x + 5)

2

dx = 

1

1

−1

( x + 1)2 + 4



2

dx


  
Đặt x + 1 = 2 tan t , t   − ;   dx = 2 (1 + tan 2 t ) dt . Đổi cận: x = −1  t = 0, x = 1  t = ;
4
 2 2
I =



4
0

(

)

2 1 + tan 2 t dt

( 4 tan

2

t+4

• Bài toán 4: I = 

)

2



1 
dt
1 4
1 4
1  sin 2t 
2
= 4
=
cos
tdt
=
1 + cos 2t ) dt =  t +
(
 4.
2


8 0 tan t + 1 8 0
16 0
16 
2 
0
ax + b





( mx

2

+ nx + p

)

k

dx, với k nguyên, k  2 , m  0; mx 2 + nx + p vô nghiệm.

Ta chú ý ( mx 2 + nx + p ) ' = 2mx + n và biến đổi như sau:

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chuyên đề: TÍCH PHÂN
I=

a 
2mx + n
an  
1
a
an 


dx +  b −
dx =

.K +  b −

 .L
k
k


2m  mx 2 + nx + p
2m   mx 2 + nx + p
2m
2m 



(

)

- Với K = 
- Với L = 

2mx + n





( mx

+ nx + p

2





(

)

k

1

(

mx 2 + nx + p

)

)

dx , dùng vi phân hoặc biến đổi t = mx 2 + nx + p .

dx : xem Bài toán 3.

k

Lưu ý: Trường hợp từ đa thức P ( x ) có bậc lớn hơn hoặc bằng 2, ta dùng phương pháp đồng

nhất thức (xem Bài toán 6) để đưa về dạng như Bài toán 3 và Bài toán 4.
• Bài toán 5: I = 

P ( x)





( ax + b ) . ( cx + d )
i

k

dx, với i, k là các số nguyên dương, bậc của đa thức

P ( x ) nhỏ hơn bậc của mẫu.
Đặt f ( x ) =

Ai
Bk
A1
A2
B1
B2
+
+ ... +
+
+
+ ... +

, với mọi
2
i
2
k
ax + b ( ax + b )
( ax + b ) cx + d ( cx + d )
( cx + d )

b
d
x  − , x  − . Đồng nhất thức để tìm A1 , A2 ,..., Ai , B1 , B2 ,..., Bk . Ngoài ra có thể dùng
a
c
phương pháp hệ số bất định để tìm A1 , A2 ,..., Ai , B1 , B2 ,..., Bk .
• Bài toán 6: I = 

P ( x)





( mx

2

+ nx + p ) . ( qx 2 + rx + s )
i

k

dx, với i, k là các số nguyên dương,

mx 2 + nx + p và qx 2 + rx + s vô nghiệm, bậc của đa thức P ( x ) nhỏ hơn bậc của mẫu. Đặt

f ( x) =

Ax+B
C x+D
A1 x + B1
A x+B
C x + D1
C x+D
+ 2 2 2 + ... + i i i + 21
+ 2 2 2 + ... + k k k , x 
2
mx + nx + p
qx + rx + s
(_)
(_)
(_)
(_)

f ( x ) là hàm dưới dấu tích phân. Đồng nhất thức hoặc dùng phương pháp hệ số bất định để
tìm các số Ai , Bi , Ci , Di ở tử các phân thức.


Lưu ý:
- Ở đây ta không xét tích phân của hàm hữu tỉ f ( x ) =

P ( x)

Q ( x)

với P ( x ) = Q ' ( x ) , vì nó

đơn giản, chỉ cần đặt t = Q ( x )  dt = P ( x ) dx hoặc dùng vi phân.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chuyên đề: TÍCH PHÂN
P ( x)

- Nếu phân thức hữu tỉ

Q ( x)

có bậc P ( x ) lớn hơn hoặc bằng bậc Q ( x ) thì thực hiện

phép chia P ( x ) cho Q ( x ) ta được

P ( x)

= R ( x) +

Q ( x)

P1 ( x )

Q ( x)

, trong đó bậc P1 ( x ) bé hơn bậc

Q ( x) .
- Đa thức Q ( x ) khác 0 với hệ số thực có duy nhất 1 cách phân tích thành tích các nhị
thức bậc nhất và tam thức bậc hai với biệt thức   0 . Bài toán 5 và Bài toán 6 đã xét
Q ( x ) = ( ax + b ) . ( cx + d ) và Q ( x ) = ( mx 2 + nx + p ) . ( qx 2 + rx + s ) . Cách làm tương tự đối
i

i

k

k

với đa thức Q ( x ) = ( ax + b ) . ( cx + d ) . ( mx 2 + nx + p ) . ( qx 2 + rx + s ) trong đó i, j, k, h là các
i

k

j

h

số nguyên dương, hai tam thức mx 2 + nx + p và qx 2 + rx + s vô nghiệm. Cụ thể, ta đặt
Bj
Ai
A1

A2
B1
B2
+
+ ... +
+
+
+ ... +
2
i
2
j
ax + b ( ax + b )
( ax + b ) cx + d ( cx + d )
( cx + d )

f ( x) =
+

C1 x + D1
C2 x + D2
+
2
mx + nx + p mx 2 + nx + p

(

)

2

+ .. +

Ck x + Dk

( mx

2

+ nx + p

)

k

+

E1 x + F1
E2 x + F2
+
2
qx + rx + s
qx 2 + rx + s

(

)

2

+ .. +

( qx

b
d
với mọi x  − , x  − . Đồng nhất thức hoặc dùng phương pháp hệ số bất định để tìm các
a
c
số ở tử các phân thức.
Ví dụ: I = 

3

2

3x 4 + x 2 + x + 2
dx
x5 − x 4 + x3 − x 2 + x − 1

Ta có: x5 − x 4 + x3 − x 2 + x − 1 = ( x − 1) ( x 2 − x + 1)( x 2 + x + 1)
I =

3

2

3x 4 + x 2 + x + 2
dx
( x − 1) x 2 − x + 1 x 2 + x + 1

(

)(

)

3x 4 + x 2 + x + 2
A
Bx + C
Dx + E
=
+
+
, x  1
2
( x − 1) x 2 − x + 1 x 2 + x + 1 x − 1 x − x + 1 x 2 + x + 1

Đặt

(

)(

)

Quy đồng, rút gọn 2 mẫu, đồng nhất các hệ số ở 2 vế ta được hệ 5 phương trình 5 ẩn, tính
được A = 2, B = 1, C = −1, D = 0, E = 1.
1
1



2 x − 1) −
(


3
2
x
−
1
1
2
1


2+
Khi đó: I =  
+ 2
+ 2
dx =  
+2 2
dx

2
2 x −1
2 x −1
x − x +1 x + x +1 
x
−

x
+
1
x
+
x
+
1





3

=

3

2

Eh x + Fh

3
2
1 3 2x −1
1 3 dx
dx
dx +  2
dx −  2

+ 2
2
2
2
x −1
2 x − x +1
2 x − x +1
x + x +1

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

2

+ rx + s

)

h


Chuyên đề: TÍCH PHÂN
3
1
dx
dx

3 1 3
=  2 ln ( x − 1) + ln x 2 − x + 1  − 
+
2

2

2
2
2

2 2 
1 3
1 3

x
−
+
x
+



 +
2 4
2 4



(

Với I1 = 

dx

3

2

Với I 2 = 

2

1 3

x−  +
2 4

dx

3

2

2

1 3

x+  +
2 4


)

, đặt x −

1
3
  
=
tan t , t   − ; 
2 2
 2 2

, đặt x +

1
3
  
=
tan t , t   − ; 
2 2
 2 2

• Bài toán 7: (Một số kỹ thuật khác dùng trong tích phân hàm hữu tỉ)


Thứ nhất, kỹ thuật giảm chênh lệch giữa bậc tử và bậc mẫu:

Ví dụ 1: I = 

2

1

dx
(Nhiều tài liệu gọi đây là kỹ thuật “Nhảy tầng lầu”)
x +1
4

1
1
2
2
2 1+
2 1−
2
1 2 x +1 − x −1
1 2 x2 + 1
1 2 x2 −1
1
1
x dx −
x 2 dx
I= 
dx =  4 dx −  4 dx = 
4

2 1
x +1
2 1 x +1
2 1 x +1
2 1 x2 + 1
2 1 x2 + 1
2

x
x2

(

) (

)

1
1


dx− 
2 dx+

1
1
1 3 dt
1 3 du
x
x
=   2  −   2  = 2 2
− 2 2
21
21
2 0 t +2 2 2 u −2
1
1
x−  +2

x+  −2
x
x


2

Ví dụ 2: I = 

2

1

dx
(Kỹ thuật “Nhảy tầng lầu” đơn giản chỉ là kỹ thuật phân tích – rút gọn)
x +1
6

4
4
4
2
2
2
2
1 2 ( x + 1) − ( x − 1)
1 2 ( x − x + 1) + x − ( x + 1)( x − 1)
I= 
dx = 
dx

2 1 ( x 2 + 1)( x 4 − x 2 + 1)
2 1
( x2 + 1)( x4 − x2 + 1)


1  

1
−
2
3
2
2

 dx
2



2 x dx
2 x − 1 dx
1 2 dx
1 2 dx
1 d x
x2  

= 

=  2
+

+
+
+
2  1 x + 1 1 x 6 + 1 1 x 4 − x 2 + 1  2  1 x 2 + 1 3 1 x3 2 + 1 1 x 2 − 1 + 1 



x 2 

(

)

( )
( )


1 

 2
2 d x3
2 dx+
 
1
1
dx
1
x 

, lần lượt đặt x = tan t , x3 = tan t , u = x +

=  2
+ 
+
2
2
1
3

x
2  x +1 3 1 x +1 1 
1

 x +  − 3
x




( )
( )



Thứ hai, kỹ thuật phân tích tử thức để rút gọn mẫu thức:

Ví dụ 3: I = 

2

1

4
4
dx
1 2
dx
1 2 ( x + 4) − x
1 2 1
x3 
=
=
dx
=
−

dx
5 x5 + 20 x 5 1 x ( x 4 + 4 ) 20 1 x ( x 4 + 4 )
20 1  x x 4 + 4 

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Ví dụ 4: I = 

2

1

=



dx
x ( x − 1)( x + 7 )( x + 8)


1 2 x ( x + 7 ) − ( x − 1)( x + 8 )
1 2
1
1
dx =  
−
dx

8 1 x ( x − 1)( x + 7 )( x + 8 )
8 1  ( x − 1)( x + 8 ) x ( x + 7 ) 

Thứ ba, làm xuất hiện đạo hàm ở tử thức rồi đặt ẩn phụ:

Ví dụ 5: I = 

2

1

(x

2

)(

) dx

+ 1 x2 + 2 x −1
x − 14 x − 1
6

3

Chia tử và mẫu cho x 3 ta được: I = 

2

1

1 
1
1
1



 
1 + 2  x − + 2 
 x − + 2 d  x − 
2
x
x
x

 x 
 dx =

 
3

1
 3 1
1
1


x −  + 3  x −  − 14
 x − 3  − 14

x 

x
x



3
3
1
t+2
t+2
2
t
=

x
−
Đặt
, ta được: I =  3
dt =  2
dt
0
0
x
t + 3t − 14
( t − 2 ) ( t 2 + 2t + 7 )

Ví dụ 6: I = 

2

1

x2 + 1
dx
x4 + 1

1

1
dx− 
2
2 dt
1
x

x 2 dx = 2 
Chia tử và mẫu cho x 2 ta được: I = 
(với t = x − )
= 2
2

1
1
1 t +2
1
x
1

x2 + 2
x
−
+
2


x
x

1+



Thứ tư, đặt ẩn phụ t =

( 3x − 5)

I =
12
−1
( x + 2)

10

Ví dụ 7:

2

ax + b
ad − bc
 dt =
(còn gọi là “chồng chất nhị thức”)
2
cx + d
( cx + d )

dx
 3x − 5 
dx =  
.

2
−1
 x + 2  ( x + 2)
10

2

3x − 5
11
dx
dt
1 14 10
 dt =
dx 
= . Khi đó I =  t dt .
Đặt t =
2
2
x+2
11 −8
( x + 2)
( x + 2 ) 11

Ví dụ 8: I = 

2

1

=

2

1

Đặt t =

1

( 3x − 2 ) ( 3x + 4 )
7

3

dx

1
10
 3x − 2 

 . ( 3x + 4 )
 3x + 4 
7

dx = 

2

1

1
 3x − 2 


 3x + 4 

7

.

1

.

dx

( 3x + 4 ) ( 3x + 4 )
8

2

3x − 2
18
dx
dt
 dt =
dx 
=
2
2
3x + 4
( 3x + 4 )
( 3x + 4 ) 18
2
3x − 2
6

1
1− t
1 (1 − t ) dt
5
= 1−

=
. Khi đó: I = 1 .
.
3x + 4
3x + 4
3x + 4
6
68 18
7 t
8

Ta có: t =

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chuyên đề: TÍCH PHÂN
2.

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC


• Bài toán 8: I =  cos4 xdx (Ví dụ 4 phần II.1): dùng công thức, đưa về cos 2 x, cos 4 x .
0



I =  2 sin 5 xdx (V dụ 3 phần II.4): đổi biến dạng 1 với cách đặt t = cos x .
0

Tương tự đối với các hàm: sin 2 x,sin 4 x,sin 6 x,..., cos 2 x, cos 4 x, cos6 x,... (số mũ chẵn).
sin 3 x,sin 5 x,sin 7 x,..., cos3 x, cos5 x, cos7 x,... (số mũ lẻ).

• Bài toán 9: I = 





Đặt t = tan

1
dx
d sin x + e cos x + f

x
1− t2
1
x
1
2dt
.
cos
x

=
, ta có: dt = 1 + tan 2  dx = (1 + t 2 ) dx  dx =
Ta
có:
2
2
2
2
1+ t2
1+ t2

và d sin x + e cos x + f =
Đổi cận: x =   t = tan
Khi đó: I = 

(

) (

)

2t.d + 1 − t 2 .e + 1 + t 2 . f
1+ t2

mt 2 + nt + p
=
1+ t2




= t1 , x =   t = tan = t2 .
2
2

2dt
(xem Bài toán 1 nếu mẫu vô nghiệm hoặc Bài toán 5 nếu mẫu có
mt + nt + p

t2

2

t1

nghiệm).
• Bài toán 10: I = 





Đặt

a sin x + b cos x + c
dx
d sin x + e cos x + f

a sin x + b cos x + c
d cos x − e sin x
C

= A + B.
+
, x  D (TXĐ)
d sin x + e cos x + f
d sin x + e cos x + f d sin x + e cos x + f

 a sin x + b cos x + c = A ( d sin x + e cos x + f ) + B ( d cos x − e sin x ) + C, x  D
Đồng nhất các hệ số của sin x , cos x và hệ số tự do để tìm A, B, C.


d cos x − e sin x 
Cdx
dx + 
Khi đó: I =   A + B.


 d sin x + e cos x + f
d sin x + e cos x + f 


= ( Ax + B.ln d sin x + e cos x + f
trong đó K = 







Ví dụ 1: I =  2

0



)  + C.K ,

dx
(xem Bài toán 9)
d sin x + e cos x + f

sin x + 7 cos x + 6
dx
4sin x + 3cos x + 5

Đặt sin x + 7cos x + 6 = A ( 4sin x + 3cos x + 5) + B ( 4cos x − 3sin x ) + C, x 

 sin x + 7cos x + 6 = ( 4 A − 3B ) sin x + (3A + 4B ) cos x + 5 A + C, x 

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chuyên đề: TÍCH PHÂN

 4 A − 3B = 1
A =1


 3 A + 4 B = 7   B = 1
5 A + C = 6
C = 1




4cos x − 3sin x
1


Khi đó: I =  2 1 +
+
dx
0
 4sin x + 3cos x + 5 4sin x + 3cos x + 5 





1
= ( x + ln 4sin x + 3cos x + 5 ) 2 +  2
dx
0 4sin x + 3cos x + 5
0

=


K =2
0

9 

1

9
+ ln +  2
dx = + ln + K , với
2
8 0 4sin x + 3cos x + 5
2
8



1
dx.
4sin x + 3cos x + 5

Đặt t = tan

x
1
x
1
2dt
2t
1− t 2
 dt = 1 + tan 2  dx = 1 + t 2 dx  dx =
,sin
x
=
,cos

x
=
2
2
2
2
1+ t2
1+ t2
1+ t2

(

Đổi cận: x = 0  t = 0, x =

K =

(

8t + 3 1 − t

Vậy I =

2

2

1

0



2

 t = 1 , do đó

) + 5 (1 + t )
2

)

dt = 

1

0

1

(t + 2)

2

dt =

1
6



9 1
+ ln +
2
8 6

Lưu ý: Nếu b =c = f = 0 hoặc a = c = f = 0 thì có thể phân tích tử số P(x) để tìm nhanh các

P ( x)

số A, B thỏa mãn:

d sin x + e cos x

=

A ( d sin x + e cos x ) + B ( d cos x − e sin x )
d sin x + e cos x

, việc này khá

đơn giản (Kỹ thuật thêm bớt).
3.

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
1

dx

−1

1 + x + 1 + x2

• Bài toán 11: I = 

Đặt t = x + 1 + x 2  t − x = 1 + x 2  ( t − x ) = 1 + x 2  x =
2

t 2 −1
t2 +1
 dx =
dt
2t
2t 2

Đổi cận: x = −1  t = 2 − 1, x = 1  t = 2 + 1
2 +1

Khi đó: I =



2 −1

(t

2

)

+ 1 dt

t (1 + t )
2

=

1
2

2 +1

2 +1

1  1
1 1 2 
 2− +
 dt =  −  − ln t + 2 ln t + 1
t
t t +1 
2 t 
2 −1 



1
2 −1
2 +2 1 
=  2 + ln
+ 2 ln
 = 2 + 2 ln

2
2 +1
2  2 

(

)

2 − 1 + 2 ln

(

2 −1

)

1
2 + 1  = .2 = 1
 2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Chú ý: với cách đặt t = mx + mx 2 + nx + p có thể giải được 1 số bài toán đặc thù.
2

• Bài toán 12: I =  x 2 x 2 + 4dx
0

u = x
Đặt 
, ta có
2
dv = x x + 4dx
Khi đó: I =

(

1 2
x +4
3

)

du = dx


1 2
v = x + 1
3


)

3
2

2 12
x2 + 4 −  x2 + 4

0 30

)

(

(

2

=

(

)

1 2
x +1
3

x2 + 1

x 2 + 4dx

2

32 2 1 2 2
4
=
−  x x + 4dx −  x 2 + 4dx

3
30
30
2

=

32 2 1
4
− .I −  x 2 + 4dx
3
3
30

2
x
 2
Suy ra: I = 8 2 −  x 2 + 4dx = 8 2 −   . x 2 + 4 + 2.ln x + x 2 + 4  
 0
2
0

(

)

(

= 8 2 − 2 2 + 2ln 1 + 2  = 6 2 − 2ln 1 + 2




)



Tổng quát: I =  x 2 x 2  adx, ( a  0 )


Cách giải: (phương pháp tích phân từng phần) Đặt u = x, dv = x x 2  adx
1

• Bài toán 13: I =  x 2 + 1dx
0







4
4
1
dt
cos tdt 4 cos tdt
  
Cách 1: Đặt x = tan t , t   − ,   dx =
dt
,

I
=
=
0 cos3 t 0 cos4 t = 0 1 − sin 2 t
cos 2 t
 2 2

(



0

2



4

Đặt u = sin t  du = cos tdt , I = 

)

du

( u + 1) ( u − 1)
2

2

=

1 4 1
1
1
1 

 du
+
−
+
2
4 0  u + 1 ( u + 1) u − 1 ( u − 1)2 





1  u +1
1
1 
1

=  ln
−
−
 4 =  2 + ln 1 + 2 
4  u −1 u +1 u −1 
2
0

Cách 2: Đặt t = x + x 2 + 1  ( t − x ) = x 2 + 1  x =
2

 dx =

t2 +1
dt và
2t 2

(

)

t 2 −1
2t

x2 + 1 = t −

t 2 −1 t 2 + 1
=
2t
2t

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chuyên đề: TÍCH PHÂN
Đổi cận: x = 0  t = 1, x = 1  t = 1 + 2
1+ 2

Khi đó: I =


1

=

t2 +1 t2 +1
. 2 dt =
2t
2t

(

1+ 2


1

 t 2 ln x
1 
1  1+ 2
t 1
− 2
 + + 3 dt =  +
2
8t  1
 4 2t 4t 
8

)

1
2 + ln 1 + 2 

2

Cách 3: (Tích phân từng phần) Đặt u = x 2 + 1, dv = dx, ta có du =
1

Khi đó: K = 

x2 + 1 −1

0

x2 + 1

1

1

1

dx = x + 1dx − 
2

0

x2 + 1

0

(

= I − ln x + x 2 + 1

(

xdx
x2 + 1

,v = x .

dx

) 10 = I − ln (1+ 2 )

)

(

)

1
Suy ra: I = 2 −  I − ln 1 + 2   I =  2 + ln 1 + 2 




2



Một số công thức nguyên hàm cần chú ý:


• Vì  x 2  a  =



x
x a
2

x 2
a
x  a  ln x + x 2  a + C , a  0 (1)
2
2

nên I =

Nếu không chứng minh công thức (1) bằng đạo hàm, có thể biến đổi như sau:



x
x a
2

dx = 

2x
2 x a
2

)

(


• Vì ln x + x 2  a  =



dx = 

(

d x2  a

)=

2 x a
2

1

nên

x a
2



x2  a + C

1
x a
2

dx = ln x + x 2  a + C , a  0 (2)

Nếu không chứng minh công thức (2) bằng đạo hàm, có thể biến đổi như sau:



1
x a
2

x

1+
dx = 

x  a dx =

x + x2  a

2

Mở rộng công thức (2), ta có:

(



x+ x a
2

1

( x +  )

a
x 2
• Vì 
x  a + ln x + x 2  a
2
2



(

d x + x2  a

)

2

a

) = ln x +

dx =

1



x2  a + C

.ln  x +  +

( x +  )

2

a +C


2
 = x  a nên

x
a
x 2  adx = . x 2  a  ln x + x 2  a + C , a  0 (3)
2

2

Nếu không chứng minh công thức (3) bằng đạo hàm, ta thực hiện như sau:
Đặt I =  x x 2  adx và u = x 2  a , dv = dx , ta được:

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chuyên đề: TÍCH PHÂN

I =  x x 2  adx − 

= x x2  a − I  

x2

dx = x x 2  a − 


dx =x x 2  a −   x 2  adx
x2  a


x2  a  a

x2  a
a
dx = x x 2  a − I  a ln x + x 2  a + C
2
x a




dx 
x2  a 
a

x
a
Suy ra: I = . x 2  a  ln x + x 2  a + C
2
2


1

• Bài toán 14: I = 

dx

mx + nx + p
2



Đặt  = n2 − 4mp. (Ta không xét  = 0 , đơn giản)


- Nếu   0 và m < 0 thì I = 



1

(x + r)

m.

2

+s

dx, s  0. Đặt x + r = s tan t hoặc xem thêm

công thức (2) nói trên.


- Nếu   0 và m > 0 thì I = 


Đặt x + r =



1

1
1
dx =
dx,s  0.


2
m  ( x − x1 )( x − x2 )
m. ( x + r ) − s

s
hoặc đặt t = x − x1 + x − x2 hoặc xem thêm công thức (2) nói trên.
sin t


- Nếu   0 và m < 0 thì I = 


1
−m . s − ( x + r )

2

dx, s  0. Đặt x + r = s sin t

Sau đây là 3 ví dụ với 3 trường hợp trên.
2

Ví dụ 1: Tính I = 
1
2

1
x2 − 2x + 2
2

1

Ta có: I = 

x2 − 2 x + 2

1

dx = 

Cách 1: Đặt x − 1 = tan t , −
Ta có:

( x − 1)

2



4

4

0

1


2

1

( x − 1)

t 

+ 1 = tan 2 t + 1 =



Khi đó: I = 

dx


2

2

+1

dx

, ta có dx =

dt

, x = 1  t = 0, x = 2  t =
2

cos t
4

1
1
=
2
cos t cos t



4
dt
cos t
cos t
=
dt
=
dt
2

cos t 0 cos t
1 − sin 2 t
0

Đặt u = sin t , ta được: I =

2
2


0

du
1
=
2
1− u
2

2
2


0

2
1 
1 u +1
 1
−
2 = ln 1 + 2

 du = ln
2 u −1
 u + 1 u −1 
0

(

)

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất