115 câu hỏi trắc nghiệm vận dụng số phức nguyễn văn lực file word có lời giải chi tiết image marked

BÀI TOÁN VẬN DỤNG SỐ PHỨC

 Dạng 1. Bài toán liên quan đến nghiệm phức

Câu 1. Biết z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z2 − z + 2 = 0. Tính

A.

1
.
2

3
B. − .
2

C.

3
.
2

D.

z1 z2
+ .
z2 z1

5
.
2

Hướng dẫn giải
 z + z = 1
z z
z 2 + z22 ( z1 + z2 ) − 2z1z2 1 − 2.2
3
 1+ 2 = 1
=
=
=− .
• 1 2
z2 z1
z1z2
z1z2
2
2
 z1z2 = 2
2

Câu 2. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 − 4z + 9 = 0. Tổng P = z1 + z2
bằng:
A. 3

B. 6

C. 18

D. 4

Hướng dẫn giải

 z = 2 + 5i
z2 − 4z + 9 = 0   1
 z1 = z2 = 22 +
 z2 = 2 − 5i

( )
5

2

= 3  P = 6.

Câu 3. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 − 4z + 5 = 0. Khi đó, z12 + z2 2 bằng:

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

1


A. 6

B. 5

C. 4

D. 7

Hướng dẫn giải
z12 + z22 = ( z1 + z2 ) − 2z1 z2 = 42 − 2.5 = 16 − 10 = 6.

2

Câu 4. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z 2 − 5z + 10 = 0, với z1 có phần ảo dương.
Phần thực và phần ảo của số phức w = 4 z1 − 2 z2 lần lượt là
A. 5;

B. −5; − 15

15

C. 5; − 15

D. −5;

15

Hướng dẫn giải
Tính  = −15
Phương trình có 2 nghiệm phức z1 =

5
15
5
15
+
i ; z2 = −
i
2
2
2

2

Suy ra w = 5 + 15i . Vậy phần thực và phần ảo của w lần lượt là 5;

15 .

Câu 5. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình 2z2 − 4z + 5 = 0. Khi đó, giá trị của biểu
thức A = z1 + z2 + 4 bằng
A. 6

B. 4

C. 2

D. 5

Hướng dẫn giải
Tính  = −16
Suy ra pt có 2 nghiệm phức z1 = 1 +

16
16
i ; z2 = 1 −
i
3
3

Vậy A = 6 .
Câu 6. Kí hiệu z1 , z2 lần lượt là hai nghiệm phức của phương trình 2z2 − 2z + 5 = 0. Giá trị
2

2

của biểu thức A = z1 − 1 + z2 − 1 bằng:
A. 25

B.

5

C. 5

D. 2 5

Hướng dẫn giải

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

2


Giải phương trình 2z2 − 2z + 5 = 0 tính được các nghiệm z1 =

2

2

Tính A = z1 − 1 + z2 − 1 =

1 3

1 3
+ i ; z2 = − i
2 2
2 2

5 5
+ =5
2 2

Câu 7. Phương trình 2z2 − 4z + 14 = 0 có hai nghiệm z1 , z2 . Giá trị của biểu thức
2

2

A = 2 z1 − 3 z2 bằng

A. - 14

B. - 13

C. 14

D. 13

Hướng dẫn giải
PT z2 − 4z + 14 = 0 có nghiệm là z1 = 2 − i 10; z2 = 2 + i 10

(

)

2
Vậy A = 2  22 + 10  − 3 22 + (− 10)2 = −14



Câu 8. Gọi x, y là hai số thực thỏa: x ( 3 − 5i ) − y ( 2 − i ) = 4 − 2i . Khi đó 2x − y bằng
2

A. 2 .

B. 0 .

C. 1 .

D. −2 .

Hướng dẫn giải
x ( 3 − 5i ) − y ( 2 − i ) = 4 − 2i
2

 3 x − 5 xi − y ( 3 − 4i ) = 4 − 2i

 3 x − 3 y + ( −5 x + 4 y ) i = 4 − 2i

10
 x = − 3
3x − 3 y = 4



−5 x + 4 y = −2
 y = − 14

3

Vậy 2x − y = −2.
Câu 9. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 3 = 0. Tìm số phức liên hợp
của số phức w = ( 5 − 2i )( z1 + z2 ) ?
A. w = 10 + 4i

B. w = −10 − 4i

C. w = 10 − 4i

D. w = −10 + 4i

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

3


Hướng dẫn giải

 z = −1 + i
2
2
z 2 + 2z + 3 = 0  ( z + 1) + 1 = 0  ( z + 1) = i 2   1
.
z
=

−
1
−
i
 2

w = ( 5 − 2i )( −2 ) = −10 + 4i  w = −10 − 4i.
Câu 10. Gọi z1 , z2 là các nghiệm của phương trình z2 + 2z + 5 = 0. Tính giá trị biểu thức:
2

2

A = z1 + z2 − 4 z1 . z2
A. 10

B. 20

C. −10.

D. 5

Hướng dẫn giải
z = 5
 z = −1 + 2i
1
z2 + 2z + 5 = 0   1

.
z
=

−
1
−
2
i

z
=
5
 2
 2

z = 5
 z1 = −1 − 2i
1

.
Ta có: 
z = 5
 z2 = −1 + 2i
 2
2

2

A = z1 + z2 − 4 z1 . z2
=

( 5) + ( 5)
2

2

− 4. 5. 5

= 5 + 5 − 4.5 = −10.
2

Câu 11. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 4z + 7 = 0. Khi đó z1 + z2

2

bằng:
A. 10

B. 7

C. 14

D. 15

Hướng dẫn giải

 z = 2 + 3i
2
2
z 2 + 4z + 7 = 0   1
 z1 = z2 = 22 +
 z2 = 2 − 3i

( )
3

2

= 7  P = 14.

Câu 12. Biết z1 , z2 là các nghiệm của phương trình 2 z 2 + 3 z + 3 = 0. Tính T = z12 + z2 2 .

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

4


A. T = −

9
4

B. T =

9
4

C. T = −

45
16

D. T = −

3
4

Hướng dẫn giải
T = z1 + z2 = ( z1 + z2 )
2

2

2

2


3
3 3
9
− 2 z1 z2 =  −
− 2. = − 3 = − .
 2 
2 4
4



Câu 13. Biết z1 , z2 là các nghiệm của phương trình z 2 + 2 z + 5 = 0. Tính T =

A. T =

− 2
5

B. T =

2
5

C. T =

− 2
10

D. T =

1 1
+ .
z1 z2

2
10

Hướng dẫn giải

T=

1 1 z1 + z2 − 2
+ =
=
.

z1 z2
z1 z2
5

Câu 14. Phương trình z2 + az + b = 0 có một nghiệm phức là z = 1 + 2i . Tổng 2 số a và b bằng
:
A. 0.

B. −4.

C. −3.

D. 3.

Hướng dẫn giải
Vì z = 1 + 2i là một nghiệm của phương trình nên:
(1 + 2i )2 + a(1 + 2i ) + b = 0  ( a + b − 3) + (2a + 4)i = 0
a + b − 3 = 0
a = −2


2a + 4 = 0
b = 5

a+b = 3.
Câu 15. Gọi z là nghiệm phức có phần thực dương của phương trình:
z 2 + (1 + 2i )z − 17 + 19i = 0 . Khi đó, giả sử z2 = a + bi thì tích của a và b là:

A. −168.

B. −12.

C. −240.

D. −5.

Hướng dẫn giải

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

5


Ta có:  = (1 + 2i )2 − 4.( −17 + 19i) = 65 − 72i = (9 − 4i)2  z = −4 + 3i

a = 7
z 2 = a + bi  (−4 + 3i)2 = a + bi  7 − 24i = a + bi  
 a.b = −168
b
=
−
24

Câu 16. Xác định m để phương trình z2 + mz + 3i = 0 có 2 nghiệm phức z1 , z2 thõa mãn

z12 + z2 2 = 8.
A. m = 3 + i hoặc m = −3 − i.

B. m = 3 + i hoặc m = −3 + i.

C. m = 3 − i hoặc m = −3 − i.

D. m = 3 − i hoặc m = −3 + i.
Hướng dẫn giải

z12 + z2 2 = 8  ( z1 + z2 ) − 2 z1 z2 = 8  ( −m ) − 6i = 8
2

2

m = 3 + i
2
 m2 = 8 + 6i = 32 + 2.3.i + i 2  m2 = ( 3 + i )  
 m = −3 − i
Câu 17. Phương trình z 2 − ( 5 − m + 2i ) z + 5 + ( m − 1) i = 0 có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn

z12 + z2 2 − 3z1 .z2 = −20 + 7i khi m bằng
A. 2.

C. −2.

B. 3.

D. 1.

Hướng dẫn giải
Theo định lý Vi-ét, ta có
 z1 + z2 = 5 − m + 2i

 z1 .z2 = 5 + ( m − 1) i

Theo giả thiết

z12 + z2 2 − 3z1 .z2 = −20 + 7i
 ( z1 + z2 ) − 5z1 .z2 = −20 + 7 i
2

(

)

 m2 − 10 m − 4 + ( 25 − 9 m ) i = −20 + 7 i
m2 − 10 m − 4 = −20

25 − 9m = 7
m=2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

6


Câu 18. Cho phương trình z2 − mz + 2m − 1 = 0 trong đó m là tham số phức; giá trị m để
phương trình có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn z12 + z2 2 = −10.
A. m = 2 − 2 2i; m = 2 + 2 2i.

B. m = 4 − 2 3; m = 4 + 2 3

C. m = 1 − 3i; m = 2 + 3i.

D. m = 1 − 3i; m = 1 + 3i.
Hướng dẫn giải

•

(z

1

+ z2 ) − 2 z1 z2 = 10  ( m ) − 2 ( 2m − 1) = −10
2

2

 m2 − 4m + 12 = 0  ( m − 2 ) + 8 = 0
2

(

 ( m − 2 ) = 2 2i
2

)

2

 m = 2 + 2 2i

 m = 2 − 2 2i

Câu 19. Tìm số thực m = a − b 20 ( a , b là các số nguyên khác 0 ) để phương trình
2 z 2 + 2 ( m − 1) z + ( 2m + 1) = 0 có hai nghiệm phức phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = 10.

Tìm a.
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn giải

 ' = m2 − 6m − 1  R

(

) (

TH1:  '  0 hay m  −; 3 − 10  3 + 10; +

)

Khi đó z1 + z2 = 10  z12 + z2 2 + 2 z1 z2 = 10.
 ( 1 − m ) − ( 2m + 1) + 2m + 1 = 10
2

 2m + 1  0


2
 m = 1 + 10
 ( 1 − m ) = 10


 m = 3 − 20
2m + 1  0
 m2 − 6m − 11 = 0
 

(

TH2:  '  0 hay m  3 − 10; 3 + 10

( loai )

)

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

7


Khi đó: z1 + z2 = 10 

Hay

( 1 − m ) + ( −m
2

2

(

1 − m + i − m2 − 6m − 1
2

) + 1 − m − i − (m

2

− 6m − 1

2

)

= 10.

)

+ 6m + 1 = 10  m = 2.

Vậy m = 2 hoặc m = 3 − 20.
Câu 20. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z3 − 3z2 + 4z − 12 = 0. Tính
P = z1 − z2 .

A. P = 0.

B. P = 16.

C. P = 4.

D. P = −4.

Hướng dẫn giải
 z1 = 2i

z − 3z + 4 z − 12 = 0  z + 4 ( z − 3 ) = 0   z2 = −2i
 z3 = 3
3

2

(

2

)

 z = 2i
Vậy hai nghiệm phức của phương trình là  1
.
 z2 = −2i
P = z1 − z2 = 4.

Câu 21. Gọi z1 , z2 , z3 là ba nghiệm của phương trình z3 − 1 = 0. Khi đó S = z1 + z2 + z3 .
bằng
A. S = 1.

B. S = 4.

C. S = 2.

D. S = 3.

Hướng dẫn giải

é
êz = 1
ê
éz = 1
ê
- 1 + 3i
2
3
ê
 êêz =
z - 1 = 0  (z - 1)(z + z + 1) = 0  ê 2
2
êëz + z + 1 = 0
ê
ê
1
3i
êz =
êë
2
S = 3.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

8


Câu 22. Phương trình z4 − z2 − 6 = 0 có 4 nghiệm phức phân biệt. Khi đó tổng môđun của các
nghiệm phức trong phương trình là:
B. 2 3 + 2 2

A. 4

C. 2 3

D.

3+ 2

Hướng dẫn giải
z2 = 3
z4 – z2 – 6 = 0   2
. Do đó phương trình có 4 nghiệm phức z1,2 =  3; z3,4 =  2 i
 z = −2

Vậy tổng mođun các nghiệm là z1 + z2 + z3 + z4 = 2 3 + 2 2.
Câu 23. Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là các nghiệm của phương trình z4 + z2 − 6 = 0. Giá trị của
T = z1 + z2 + z3 + z4 . là:

B. 2 2 + 2 3

A. 1

C. 2 2 − 2 3

D. 7

Hướng dẫn giải
Giải phương trình z4 + z2 − 6 = 0 ta được z1 = 2; z2 = − 2; z3 = i 3; z4 = −i 3

T = z1 + z2 + z3 + z4 = 2 2 + 2 3
Câu 24. Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm phức của phương trình z4 + z2 − 63 = 0.
Tính tổng T = z1 + z2 + z3 + z4 .
A. T = 6.

B. T = 2 7.

C. T = 3 + 2 7.

D. T = 6 + 2 7.

Hướng dẫn giải
 z = 3
z2 = 9
Ta có : z − 2 z − 63 = 0   2
.

 z = −7
 z = i 7
4

2

Câu 25. Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm của phương trình z4 + 4z2 − 77 = 0. Tính tổng
S = z1 + z2 + z3 + z4 .

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

9


A. S = 2 7 + 2 11

B. S = 2 7 − 2 11

C. S = 2 7

D. S = 2 11
Hướng dẫn giải


Ta có: z + 4 z − 77 = 0  

4

2

 z= 7


z 2 = −11
 z = i 11

z2 = 7

 S = z1 + z2 + z3 + z4 = 2 7 + 2 11 .

(

)(

)

Câu 26. Tính tổng mô-đun tất cả các nghiệm của phương trình: ( z + i ) z 2 − 1 z 3 + i = 0
A. 3.

B. 4.

C. 6.

D. 8.

Hướng dẫn giải
 z = −i
 z = −i

 z = −i

 z = 1
z
=


1

2
3

 z = i
.
( z + i ) z − 1 z + i = 0   z = 1   z = i

z3 − i3 = 0
 2
−i  5


 z + iz − 1 = 0
 z =
2

(

)(

)

Suy ra tổng mô-đun các nghiệm bằng 6.
4

 z −1 
Câu 27. Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là các nghiệm phức của phương trình 
 = 1 Giá trị của

 2z − i 

(

)(

)(

)(

)

P = z12 + 1 z22 + 1 z32 + 1 z42 + 1 là:

A.

17
.
9

B.

9
.
17

C.

17
.

8

D.

8
.
17

Hướng dẫn giải
Đặt X =

 X = 1
z −1
, phương trình trở thành: X 4 = 1  (X 2 − 1)(X 2 + 1) = 0  
2z − i
 X = i

X =1

z −1
= 1  z − 1 = 2z − i  z1 = −1 + i  z12 + 1 = 1 − 2i
2z − i

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

10


X = −1 

X=i

z −1
1 1
2
= −1  z − 1 = −2z + i  z2 = + i  z22 + 1 = 1 + i
2z − i
3 3
9

z −1
2 4
13 16
= i  z − 1 = (2z − i)i  z3 = + i  z32 + 1 =
+ i
2z − i
5 5
25 25

X = −i 

z −1
= −i  z − 1 = −(2z − i)i  z4 = 0  z42 + 1 = 1
2z − i

(

)(

)(

)(

)

 P = z12 + 1 z22 + 1 z32 + 1 z42 + 1 =

17
.
9

Câu 28. Cho hai số thực x, y thỏa phương trình 2 x + 3 + ( 1 − 2 y ) i = 2 ( 2 − i ) − 3 yi + x . Khi đó
biểu thức P = x2 − 3xy − y nhận giá trị nào sau đây?
A. P = 13 .

B. P = −3 .

C. P = 11 .

D. P = −12 .

Hướng dẫn giải
Ta có 2 x + 3 + ( 1 − 2 y ) i = 2 ( 2 − i ) − 3 yi + x

2 x + 3 = 4 + x
x = 1
 ( 2 x + 3 ) + ( 1 − 2 y ) i = ( 4 + x ) + ( −3 y − 2 ) i  
.

1 − 2 y = −3 y − 2

 y = −3
Suy ra x 2 − 3xy − y = 1 − 3.1. ( −3 ) − ( −3 ) = 13.
Câu 29. Cho số phức thỏa mãn z + (1 − 2i ) z = 2 − 4i Tìm môđun của w = z2 − z ?
A.

10.

B. 10 .

C. 5 2 .

D. 2 5

Hướng dẫn giải
Gọi z = a + bi  z = a − bi
Khi đó

z + (1 − 2i ) z = 2 − 4i  a + bi + (1 − 2i )( a − bi ) = 2 − 4i

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

11


 a + bi + a − bi − 2ai − 2b = 2 − 4i  2a − 2b − 2ai = 2 − 4i
 2 a − 2b = 2
a = 2


−2a = −4

b = 1

z = 2 + i  z2 + z = 5 + 5i  w = 5 2 .
Câu 30. Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là 4 nghiệm phức của phương trình z 4 + ( 4 − m ) z 2 − 4m = 0. Tìm tất
cả các giá trị m để z1 + z2 + z3 + z4 = 6.
A. m = −1.

C. m = 3.

B. m = 2.

D. m = 1.

Hướng dẫn giải

 z1,2 = 2i
nếu m  0 hoặc
z 4 + ( 4 − m ) z 2 − 4m = 0  z 2 + 4 z 2 + m = 0  
 z3,4 =  −m

(

)(

)

 z1,2 = 2i
nếu m  0.

 z3,4 =  m


6 = z1 + z2 + z3 + z4 = 4 + 2 −m
Khi đó 
 m = −1.
m

0



6 = z1 + z2 + z3 + z4 = 4 + 2 m
hoặc 
 m = 1.
m

0



Kết hợp lại thì m = 1 thoả mãn bài toán.

 Dạng 2. Tìm số phức thỏa điểu kiện cho trước

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

12


Câu 31. Cho ( x + 2i ) = yi ( x , y  R ) . Giá trị của x và y bằng:
2

A. x = 1 và y = 4 hoặc x = −1 và y = −4.
B. x = 3 và y = 12 hoặc x = −3 và y = −12.
C. x = 2 và y = 8 hoặc x = −2 và y = −8.
D. x = 4 và y = 16 hoặc x = −4 và y = −16.
Hướng dẫn giải
Với x, y  R ta có
 x 2 − 4 = 0
 x = 2
2
2
x
+
2
i
=
yi

x
−
4
+
4
xi
=
yi


(
)


4 x = y
y = 4x

với x = 2  y = 8; x = −2  y = −8.
Câu 32. Cho ( x + 2i ) = 3x + yi ( x, y  R ) . Giá trị của x và y bằng:
2

A. x = 1 và y = 2 hoặc x = 2 và y = 4 .
B. x = −1 và y = −4. hoặc x = 4 và y = 16 .
C. x = 2 và y = 5 hoặc x = 3 và y = −4.
D. x = 6 và y = 1 hoặc x = 0 và y = 4.
Hướng dẫn giải

( x + 2i )

2

= 3x + yi  x2 – 4 + 4 xi = 3x + yi

 x 2 − 4 = 3x
 x = −1; y = −4


 4 x = y
 x = 4; y = 16

Câu 33. Cặp số ( x; y ) thỏa mãn điều kiện

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

13


( 2x − 4 y + 1) + ( x − 3y ) i = ( 4x + 2 y + 3 ) + ( 3x − y + 5 ) i là:
 −13 3 
A. 
; .
 4 4

5 3
B.  ; −  .
4 4

 11 −9 
C.  ;  .
 4 4 

 −43 9 
D. 
; .
 4 4

Hướng dẫn giải

( 2 x − 4 y + 1) + ( x − 3 y ) i = ( 4 x + 2 y + 3 ) + ( 3 x − y + 5 ) i

13
x
=

−

2 x − 4 y + 1 = 4 x + 2 y + 3
−2 x − 6 y = 2

4



3
x
−
3
y
=
3
x
−
y
+
5
−
2
x
−
2
y
=
5



y =

4

 z + z2 = 1 + 3i
Câu 34. Biết rằng z1 = a1 + 2i , z2 = a2 + i và  1
. Tìm z1 , z2 :
z1 − z2 = −1 + i
A. z1 = 2i , z2 = 1 + i.

B. z1 = 3i , z2 = 1 + i.

C. z1 = 2i , z2 = 1 + 2i.

D. z1 = i , z2 = 2 + i.
Hướng dẫn giải

 z + z2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i = 1 + 3i
 a +a =1
a = 0
Ta có:  1
 1 2
 1
z1 − z2 = (a1 − a2 ) + (b1 − b2 )i = −1 + i a1 − a2 = −1
a2 = 1
 z1 = 2i , z2 = 1 + i

Câu 35. Tìm số phức z thỏa mãn z 2 + 1 = −1 + 2 3i ?
A. 1 + 3i và 1 − 3i .

B. 1 + 3i và −1 − 3i .

C. −1 + 3i và 1 − 3i .

D. 1 − 3i và −1 − 3i .
Hướng dẫn giải

Ta có z 2 + 1 = −1 + 2 3i  z 2 = −2 + 2 3i
Gọi z = a + bi  z 2 = a 2 − b2 + 2abi = −2 + 2 3i

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

14


 2 3
2
2
a − a2 = −2

a − b = −2


 a2


b = 3
2ab = 2 3


a


( )

2

( )

+2 a

2

 a2 = 1
−3=0  2
 a = −3 ( l )

a = 1  b = 3
a2 = 1  
 a = −1  b = − 3
Câu 36. Số phức z thỏa mãn z + z = 3 + 4i

A. z = −

7
+ 4i.
6

C. z = −7 + 6i.

B. z = −7 + 4i.

D. z = 7 + 6i.

Hướng dẫn giải
Đặt z = a + bi . từ z + z = 3 + 4i suy ra:

a2 + b2 = a + bi = 3 + 4i  b = 4 và

 a2 + 16 = ( 3 − a ) = 9 − 6a + a2  6a = −7  a = −
2

Vậy z = −

a2 + 16 + a = 3.

7
6

7
+ 4i.
6
2

Câu 37. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 = z + z
A. 0.

C. 3.

B. 1.

D. 2.

Hướng dẫn giải
Gọi z = a + bi ( a , b  R )
2
2
2
2
 2b 2 + a = 0
2
a − b = a + b + a

Ta có : z 2 = z + z  a2 − b2 + 2abi = a2 + b2 + a − bi  
2ab = −b
b(2 a + 1) = 0

 2b 2 + a = 0

1 
1
a=−
a=−




b
=
0



2
2.


  b = 0

1
 a = 0 b = − 1 b = 1

a
=
−

 
2 
2
2

Vậy có 3 số phức z thỏa đề bài.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

15


(

)

Câu 38. Cho số phức z = a + bi thỏa mãn zz + 3 z − z = 5 + 12i . Mối liên hệ giữa a và b là:
A. a = 2b .

B. a = 3b .

C. b = 2a .

D. b = 3a .

Hướng dẫn giải
Đặt z = a + bi

( a , b  R ) , suy ra z = a − bi .

Theo giả thiết, ta có ( a + bi )( a − bi ) + 3 ( a + bi ) − ( a − bi )  = 5 + 12i
a2 + b2 = 5
a = 1

 a2 + b2 + 6bi = 5 + 12i  

.
6b = 12
b = 2


Câu 39. Tìm số phức z thỏa mãn: (2 + i)z = (3 − 2i)z − 4(1 − i) .
A. z = 3 − i.

B. z = −3 − i.

C. z = 3 + i.

D. z = −3 + i.

Hướng dẫn giải

( 2 + i ) z = ( 3 − 2i ) z − 4 (1 − i )  ( 2 + i )( a + bi ) = ( 3 − 2i )( a − bi ) − 4 (1 − i )
3a + 5b − 4 = 0
a = 3


a − b − 4 = 0
b = −1

Câu 40. Tìm số phức z biết z thỏa mãn phương trình

A. 1.

B. 1 + i.

z
z

+z=2

C. 1 − i.

D. i.

Hướng dẫn giải

z
z

+ z = 2  z + z.z = 2 z

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

16


 a + bi + a 2 + b 2 = 2 ( a − bi )

(

)

 a + a 2 + b 2 + bi = 2a − 2bi
 a = 1
z=1

2
2
2
b
=
0
a + a + b = 2 a
a − a = 0



 

b
=
−
2
b
b
=
0
a = 0



 z = 0 ( loai )
 b = 0

Câu 41. Tìm số phức z , biết

A. z =

−2 36
+ i.
65 65

1 − 2i
1 − 3i
.

z=
1+ i
2 − 3i

B. z =

−2 20
+ i.
65 65

C. z =

−30 36
+ i.
65 65

D. z =

2 36
+
i.
65 65

Hướng dẫn giải

(1 − 3i )(1 + i )  z = 4 − 2i  z = −2 + 36 i .
1 − 2i
1 − 3i
z=
z=

1+ i
2 − 3i
−4 − 7 i
65 65
( 2 − 3i )(1 − 2i )
Câu 42. Cho hai số phức phân biệt z1 , z2 thỏa điều kiện

z1 + z2
là số ảo. Khẳng định nào sau
z1 − z2

đây là đúng?
A. z1 = 1; z2 = 1.

B. z1 = z2 .

D. z1 = − z2 .

C. z1 = z2 .
Hướng dẫn giải

z 1 z1  z2  z1 − z2  0. .

Thì

z1 + z2
z + z2  z1 + z2
là số ảo  1
+
z1 − z2

z1 − z2  z1 − z2


z1 + z2 z1 + z2
+
=0
=0
z1 − z2 z1 − z2


(

)

 ( z1 + z2 )( z1 − z2 )+  ( z1 − z2 )( z1 + z2 ) = 0  2 z1 z1 − z2 z2 = 0

 z1 z1 − z2 z2 = 0  z1 − z2 = 0.

Câu 43. Số phức z = a + bi thỏa mãn

z

2

z

+ 2iz +

2 (z + i)
1− i

= 0 . Khi đó

a
bằng:
b

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

17


A. −5 .

B.

3
.
5

3
C. − .
5

D. 5 .

Hướng dẫn giải
Ta có

z

2

z

+ 2iz +

2 (z + i)
1−i

=0

2 ( z + i )( 1 + i )
z.z
+ 2iz +
=0
z
(1 − i )(1 + i )

 z + 2iz + ( z + i )(1 + i ) = 0  ( a − bi ) + 2i ( a + bi ) + ( a + bi + i )(1 + i ) = 0

1
a = − 3
2a − 3b − 1 = 0
a 3
 2a − 3b − 1 + ( 3a + 1) i = 0  

. Vậy = .
b 5
 3a + 1 = 0

b = − 5

9

Câu 44. Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z = 2 và z 2 là số
thuần ảo.
A. z = 1  i hoặc z = −1  i.

B. z = −1  i.

C. z = −1  i.

D. z = −1 − i.
Hướng dẫn giải

z1 = 2  a2 + b2 = 2 và z2 = a2 − b2 + 2abi là số thuần ảo nên a2 − b2 = 0
 a = 1; b = 1
Do đó 
.
 a = −1; b = 1
Câu 45. Số phức z thỏa mãn: z − ( 2 + i ) = 10 và z.z = 25 là:
A. z = 3 + 4i và z = 5.

B. z = 3 − 4i và z = 5.

C. z = 4 − 3i và z = −5.

D. z = 4 + 3i và z = 5.
Hướng dẫn giải

Đặt z = x + yi; x, y  R

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

18


 z − ( 2 + i ) = 10
( x − 2)2 + ( y − 1)2 = 10
x = 3  y = 4



 2
2
 x + y = 25
x = 5  y = 0
 z.z = 25

(

)

Câu 46. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z.z = 10 z + z và z có phần ảo bằng ba lần phần
thực?
A. 0.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Hướng dẫn giải
Đặt z = a + bi

(

( a , b  R ) , suy ra z = a − bi .

)

Từ zz = 10 z + z , ta có ( a + bi )( a − bi ) = 10 ( a + bi ) + ( a − bi )   a2 + b2 = 20a ( 1)
Hơn nữa, số phức z có phần ảo bằng ba lần phần thực nên b = 3a ( 2 )
a 2 + b2 = 20a
a = 2
a = 0

Từ ( 1) và ( 2 ) , ta có 
hoặc 
.
b = 3a
b = 6
b = 0

Vậy có 2 số phức cần tìm là: z = 2 + 6i và z = 0 .
Câu 47. Cho số phức z có mô đun bằng 2017 và w là số phức thỏa mãn biểu thức

1 1
1

. Môđun của số phức w bằng:
+ =
z w z+w
A. 1.

B. 2.

C. 2016.

D. 2017.

Hướng dẫn giải

( z + w ) − zw = 0
1 1
1
z+2
1

−

Từ + =
z w z+w
zw
z+w
zw ( z + w )
2

 z 2 + w2 + zw = 0  z 2 + zw +

1 2 3 2
w + w =0
4
4

2
2

1 
3 2

1   i 3w 
 z + w = − w  z + w = 

2 
4
2   2 



2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

19


2

2

 1 i 3

w   i 3w 
z
 z = − 
.
Từ  z +  = 

 w  w =



2  2 
2
2



1
i
3


 − 

2 
 2

2017

Suy ra: w =

1 3
+
4 4

= 2017.

Câu 48. Cho hai số phức u, v thỏa mãn u = v = 10 và 3u − 4v = 2016. Tính M = 4u + 3v .
A.

2984.

2884.

B.

2894.

C.

D.

24.

Hướng dẫn giải
2

Ta có z = z.z. Đặt N = 3u − 4v .

(

)

(

)

Khi đó N 2 = ( 3u − 4v ) 3u − 4v = 9 u + 16 v − 12 uv + vu .
2

2

2

2

(

)

Tương tự ta có M 2 = 16 u + 9 v − 12 uv + vu .

(

2

Do đó M 2 + N 2 = 25 u + v

2

) = 5000. .

Suy ra M 2 = 5000 − N 2 = 5000 − 2016 = 2984  M = 2984. .
Câu 49. Giá trị của tham số thực m bằng bao nhiêu để bình phương số phức z =

m + 9i
là số
1− i

thực?
A. m = 9 .

B. m = −9 .

C. m = 9 .

D. Không có giá trị m thỏa.
Hướng dẫn giải

(

)

(

)

2
2

2
m2 − 81 + 18mi  m − 81 + 18mi  .2i
m + 9i )
(
 m + 9i 
Giả sử w = z = 
=
=
 =
2
−2i
−2i.2i
 1− i 
(1 − i )
2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

20


=

(

)

−36m + 2 m2 − 81 i
4

 m2 − 81 
= −9m + 
i .
2 


m2 − 81
Để w = z là số thực 
= 0  ( m − 9 )( m + 9 ) = 0  m = 9 .
2
2

m − 1 + 2 ( m − 1) i

Câu 50. Tổng các giá trị của tham số thực m để số phức z =
C. −1.

B. −3.

A. 15.

1 − mi

là số thực bằng:

D. 2 3.

Hướng dẫn giải
 m − 1 + 2 ( m − 1) i  . ( 1 + mi )
=

.
1 − mi
1 + m2
−2m2 + 3m − 1 m 2 + m − 2
=
+
i
1 + m2
1 + m2

m − 1 + 2 ( m − 1) i

Ta có z =

Để z là số thực  m2 + m − 2 = 0  m = 1 hoặc m = −2 .
Vậy m = 1 hoặc m = −2 .

Câu 51. Xét số phức z =

1− m
1
m  R ) . Tìm m để z.z = .
(
1 − m(m − 2i )
4

A. m = 1  2.

C. m = −1  2.

B. m = 1.

D. m = 0.

Hướng dẫn giải

(

)

1 − m)
( 1 − m ) 1 − m2 2 m ( 1 − m )
(
1− m
1− m
z=
=
=
=
−
i
2
2
2
2
1 − m(m − 2i ) 1 − m2 + 2mi 1 − m2 + 2mi
1+ m
1+ m

(

(

( 1 − m ) 1 − m2
1
z.z = 
4
4
1 + m2
2

(

)

)

2

+

4 m2 ( 1 − m )

(1 + m )
2

4

2

)

(

( 1 − m ) 1 + m2
1
= 
4
4
1 + m2
2

(

)

(

)

2

)

(1 − m) = 1
1
= 
2
4
4

1 + m2
2

(

)

 1− m 1
 m = −1 − 2
 1 + m2 = 2
 m2 + 2m − 1 = 0
 1− m 
1

=






2 
2
4
1+ m 
 m = −1 + 2
 1− m = − 1
 m − 2m + 3 = 0
 1 + m2
2

2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

21


Câu 52. Cho số phức z =

A. .

m+1
( m  Z ) . Số các giá trị nguyên của m để z − i  1 là
1 + m ( 2 i − 1)

B. 1.

C. 4.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải
Ta có z − i =

 z−i =

m + 1 − i ( 1 + 2mi − m ) 3m + 1 + ( m − 1) i
m+1
−i =
=

1 − m + 2mi
1 + m ( 2 i − 1)
1 + m ( 2i − 1)

3 m + 1 + ( m − 1) i
1 − m + 2mi

1

 3m + 1 + ( m − 1) i  1 − m + 2mi  ( 3m + 1) + ( m − 1)  (1 − m ) + 4m2
2

2

2

1
 5m2 + 6m + 1  0  −1  m  − .
5
Vì m  Z  Không có giá trị của m thỏa mãn.
Câu 53. Tìm phần thực của số phức z = (1 + i ) , n  ¥ thỏa mãn phương trình
n

log 4 ( n − 3 ) + log n ( n + 9 ) = 3.

A. 5.

B. 6.

C. 7.

D. 8.

Hướng dẫn giải
Điều kiện n  3. n  ¥
Phương trình log 4 ( n − 3 ) + log n ( n + 9 ) = 3  log 4 ( n − 3 )( n + 9 ) = 3  n = 7 (so đk)
3

7
2
3
z = ( 1 + i ) = ( 1 + i ) . ( 1 + i )  = ( 1 + i )( 2i ) = 8 − 8i.



Vậy phần thực của số phức z là 8.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

22


Câu 54. Số phức cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 = z2 = z3 = 1 và z1 + z2 + z3 = 1 .
Mệnh đề nào sau đây là sai.
A. Trong ba số đó có hai số đối nhau.
B. Trong ba số đó phải có một số bằng 1.
C. Trong ba số đó có nhiều nhất hai số bằng 1.
D. Tích của ba số đó luôn bằng 1.
Hướng dẫn giải
Ta có: z1 + z2 + z3 = 1  1 − z1 = z2 + z3 .

Nếu 1 − z1 = 0 thì z2 + z3 = 0  z2 = − z3 .
Nếu 1 − z1  0 thì điểm P biểu diễn số phức 1 − z1 = z2 + z3 không trùng với góc tọa độ O.
Gọi M là điểm biểu diễn của số phức − z1 và A là điểm biểu diễn của số 1.
Khi đó ta có OA + OM = OP (do P là điểm biểu diễn của số 1 + ( − z1 ) ) nên OAPM là hình
bình hành. Mà z1 = z2 = z3 = 1 nên các điểm biểu diễn cho ba số z1 , z2 , z3 đều nằm trên
đường tròn đơn vị. Ta cũng có OA = OM = 1 nên OAPM là hình thoi. Khi đó ta thấy M , A
là giao điểm của đường trung trực đoạn OP với đường tròn đơn vị.
Tương tự do P cũng là điểm biểu diễn của z2 + z3 , nếu M ' và A ' là hai điểm biểu diễn
của số z2 , z3 thì ta cũng có M ', A ' là giao điểm đường trung trực của OP và đường tròn
đơn vị.
Vậy M '  M, A '  A hoặc ngược lại. Nghĩa là z2 = 1, z3 = − z1 hoặc z3 = 1, z2 = − z1 .
Do đó A. B là mệnh đề đúng.

C đúng là hiển nhiên, vì nếu ba số đều 1 một thì tổng bằng 3.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

23


D sai vì với z1 = 1, z2 =

2
2
2
2
+
i , z3 = −
−
i thỏa hai tính chất trên của đề bài nhưng

2
2
2
2

z1 z2 z3  1.

Câu 55. Số phức 2ix + 3 = 5x + 4i thỏa mãn: ( 3 + i ) z + (1 + 2i ) z = 3 − 4i là:
A. z = 2 + 3i.

C. z = −1 + 5i.

B. z = 2 + 5i.

D. z = −2 + 3i.

Hướng dẫn giải
Đặt z = a + bi từ ( 3 + i ) z + (1 + 2i ) z = 3 − 4i

 ( 3 + i )( a − bi ) + ( 1 + 2i )( a + bi ) = 3 − 4i
 3a + b − 3bi + ai + a − 2b + bi + 2ai = 3 − 4i
4a − b = 3
a = 2
 4 a − b + ( 3 a − 2b ) i = 3 − 4i  

3a − 2b = −4
b = 5
Vậy z = 2 + 5i.

 Dạng 3. Modul nhỏ nhất, lớn nhất

Câu 56. Cho số phức z thoả mãn điều kiện z − 2 + 3i = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của z .
A.

13 − 3.

B. 2.

C.

13 − 2.

D. −2.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

24


Hướng dẫn giải

y
x
O
z
M

C

Các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn z − 2 + 3i = 3

nằm
I

trên đường tròn ( C ) tâm I ( 2; −3 ) và bán kính R = 3.
(Ý nghĩa hình học của z : độ dài OM )
Ta có z đạt giá trị nhỏ nhất  điểm M  ( C ) và OM nhỏ nhất.
(Bài toán hình học giải tích quen thuộc)
Ta có: OM  OI − IM = OI − R = 13 − 3.
Dấu " = " xảy ra khi M là giao điểm của ( C ) và đoạn thẳng OI .
Vậy GTNN của z là:

13 − 3.

Câu 57. Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z − 2 + 3i =

3
. Số phức z có môđun nhỏ
2

nhất là
A. z =

26 − 3 13 78 − 9 13
+
i.
13
26

B. z =

26 − 2 13 78 − 3 13
+
i.
13
26

C. z =

26 − 13 78 − 13
+
i.
13
26

D. z =

26 + 13 78 + 13
+
i.
13
26

Hướng dẫn giải
Xét biểu thức z − 2 + 3i =

3
(1) . Đặt z = x + yi. Khi đó ( 1) trở thành
2

( x − 2) + ( y + 3)i =

3
2
9
4

 ( x − 2)2 + ( y + 3)2 = .

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

25