Phương trình oxyz PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG cơ bản 182 BTTN ( lý thuyết + bài tập vận dụng có lời giải) image marked

HTTP://DETHITHPT.COM

TỔNG BIÊN SOẠN VÀ TỔNG HỢP

182 BTTN PHƯƠNG TRÌNH
ĐƯỜNG THẲNG CƠ BẢN
TÀI LIỆU ÔN TẬP VÀ GIẢNG DẠY CHO HỌC SINH
THƯỜNG


HTTP://DETHITHPT.COM

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
Bài tốn 1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI .
Phương pháp:
Để xét vò trí tương đối giữa hai đường thẳng
x - x1 y - y1 z - z1
x - x 2 y - y2 z - z2
và d 2 :
.
d1 :
=
=
=
=
a1
b1
c1
a2
b2
c2

Ta làm như sau:
ìï x1 + a1t = x 2 + a 2 t '
ïï
Xét hệ phương trình : ïí y1 + b1t = y 2 + b 2 t ' (*)
ïï
ïïỵ z1 + c1t = z 2 + c2 t '
· Nếu (*) có nghiệm duy nhất (t 0 ; t '0 ) thì hai đường thẳng d1 và d 2 cắt nhau tại

A (x1 + a1t 0 ; y1 + b1t 0 ;z1 + c1t 0 ).
· Nếu (*) có vô số nghiệm thì hai đường thẳng d1 và d 2 trùng nhau

· Nếu (*) vô nghiệm, khi đó ta xét sự cùng phương của hai véc tơ
ur
uur
u1 = (a1 ; b1 ;c1 ) và u 2 = (a 2 ; b 2 ;c 2 ) .

ur
uur
+) Nếu u1 = ku 2 Þ d1 / /d 2
ur
uur
+) Nếu u1 ¹ k.u 2 thì d1 và d 2 chéo nhau.

Ví dụ 1. Trong không gian hệ toạ độ Oxyz ,

x- 1 y z+ 2
= =
và mặt phẳng (P) : x - 2y + z = 0 . Gọi C là giao
2
1

- 1
điểm của D với (P) , M là điểm thuộc D . Tính khoảng cách từ M đến (P) , biết

1. Cho đường thẳng D :

MC = 6
2. Cho các điểm A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P) : x + y + z - 20 = 0 . Xác đònh

tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt
phẳng (P)
Lời giải.

ìï x = 1 + 2t
ïï
,t Ỵ R .
1. Cách 1: Phương trình tham số của D : í y = t
ïï
ïïỵ z = - 2 - t
Thay x, y, z vào phương trình (P) ta được :

1+ 2t - 2t - t - 2 = 0 Û t = - 1 Þ C(- 1; - 1; - 1).
Điểm M Ỵ D Û M(1 + 2t; t; - 2 - t) Þ MC = 6 Û (2t + 2) 2 + (t + 1) 2 + (t + 1) 2 = 6
é
1
êt = 0 Þ M(1;0; - 2) Þ d (M;(P)) =
ê
6
Û ê
.
ê

1
êt = - 2 Þ M(- 3; - 2;0) Þ d (M;(P) ) =
êë
6
r
Cách 2: Đường thẳng  có u = (2;1; - 1) là VTCP
r
Mặt phẳng (P) có n = (1; - 2;1) là VTPT
1


HTTP://DETHITHPT.COM
r r
·
Gọi H là hình chiếu của M lên (P) , suy ra cos HMC
= cos u, n nên ta có

( )

·
d(M, (P)) = MH = MC.cos HMC
=

1
.
6

ìï x = 2 - t
ïï
uuur

2. Ta có AB = (- 1;1; 2), phương trình AB : í y = 1 + t
ïï
ïïỵ z = 2t

uuur
Vì D thuộc đường thẳng AB Þ D (2 - t;1 + t; 2t ) Þ CD = (1- t; t; 2t ) .
r
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P ): n = (1;1;1)
r uuur
Vì C không thuộc mặt phẳng (P ) nên CD / / (P) Û n.CD = 0

Û 1.(1- t )+ 1.t + 1.2t = 0 Û t = -

ỉ5 1
Vậy D çç ; ; çè 2 2

1
.
2

ư
.
1÷
÷
÷
ø

Ví dụ 2. Trong không gian hệ toạ độ Oxyz ,

x y- 1 z

=
= . Xác đònh tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho
2
1
2
khoảng cách từ M đến D bằng OM
ìï x = 3 + t
ïï
x- 2 y- 1 z
=
= . Xác đònh toạ độ điểm M
2. Cho hai đường thẳng D 1 : í y = t
và D 2 :
ïï
2
1
2
ïïỵ z = t
thuộc D 1 sao cho khoảng cách từ M đến D 2 bằng 1

1. Cho đường thẳng D :

Lời giải.

1. Vì M Ỵ Ox Þ M(m;0;0)

r
Đường thẳng D đi qua N(0;1;0) có u = (2;1;2) là VTCP nên
uuur r
éNM, u ù

ê
ú
5m 2 + 4m + 8
d(M, D ) = ë r û =
3
u
5m2 + 4m + 8
= t Û m2 - m - 2 = 0 Û m = - 1, m = 2 .
3
Vậy có hai điểm M thỏa yêu cầu bài toán: M1 (- 1;0;0), M 2 (2;0;0) .
r
2. Đường thẳng D 2 qua A (2;1;0) có u = (2;1; 2) VTCP
uuur
uuur r
= (t - 2; - 2;3 - t )
Vì M Ỵ D 1 Þ M (3 + t; t; t )Þ AM (t + 1; t - 1; t )Þ éêAM.u ù
ú
ë
û
uuur r
éAM.u ù
ê
ú
2
2
2
Nên d (M, D 2 ) = 1 Û ë r û = 1 Û (t - 2) + (- 2) + (3 - t ) = 9
u
Nên d(M, D ) = OM Û

ét = 1 Þ M(4;1;1)
Û 2t 2 - 10t + 8 = 0 Û ê
.
êët = 4 Þ M(7; 4; 4)

2


HTTP://DETHITHPT.COM
Ví dụ 3. Trong không gian hệ toạ độ Oxyz :

x- 2 y+ 1
z
=
=
và mặt phẳng (P) : x + y + z - 3 = 0 . Gọi I là
1
- 2
- 1
giao điểm của D và (P) . Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc với D

1. Cho đường thẳng D :

và MI = 4 14

Đề thi ĐH Khối B – 2011
x + 2 y- 1 z + 5
=
=
2. Cho đường thẳng D :

và hai điểm A(- 2;1;1), B(- 3; - 1; 2) . Tìm tọa độ
1
3
- 2
điểm M thuộc đường thẳng D sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 3 5
Đề thi ĐH Khối B – 2011
Lời giải.

1. Ta có D cắt (P) tại I(1;1;1) .

uur
Điểm M(x; y;3 - x - y) Ỵ (P) Þ MI = (1- x;1- y; x + y - 2)
r
Đường thẳng D có a = (1; - 2; - 1) là VTCP
uur r
ìï MI.a = 0
ìï y = 2x - 1
ïìï x = - 3 hoặc ìïïí x = 5
Û íï
Û
Ta có : ïí
í
ïï MI 2 = 16.14 ïïỵ (1- x)2 + (1- y) 2 + (- 2 + x + y) 2 = 16.14 ïïỵ y = - 7
ïïỵ y = 9
ỵ
Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu bài toán: M(- 3; - 7;13) và M(5;9; - 11) .
2. Vì M Ỵ D Þ M(- 2 + t;1 + 3t; - 5 - 2t)
uuur
uuur
uuur uuur

Ta có AB = (- 1; - 2;1), AM = (t;3t; - 6 - 2t) Þ éêAB, AMù
= (t + 12; - t - 6; - t)
ú
ë
û
1 uuur uuur
=3 5
Do đó SD MAB = 3 5 Û éêAB, AM ù
ú
û
2ë
1
Û
(t + 12) 2 + (- t - 6) 2 + t 2 = 3 5
2
Û t 2 + 12t = 0 Û t = 0, t = - 12 .
Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu bài toán: M(- 2;1; - 5) và M(- 14; - 35;19) .
Ví dụ 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình :

x- 1 y- 3 z + 1
x+ 1 y z+ 9
=
= =
=
, d2 :
. Xác
2
1
1
1

6
- 2
đònh tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d1 sao cho khoảng cách từ M đến đường
x - 2y + 2z - 1 = 0 và hai đường thẳng d1 :

thẳng d 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau
Lời giải.

Giả sử M (a; b;c) là điểm cần tìm.
a + 1 b c + 9 ìïï a = b - 1
= =
Þ í
Vì M Ỵ D 1 Þ
ïïỵ c = 6b - 9
1
1
6
Khoảng cách từ M đến mp (P) là: d = d(M;(P)) =

a - 2b + 2c - 1
12 + (- 2) 2 + 22

=

11b - 20
.
3

Gọi (Q) là mp qua M và vuông góc với D 2 , ta có:
Suy ra (Q) : 2(x - a) + 1(y - b) - 2(z - c) = 0 Û 2x + y - 2z + 9b - 16 = 0

Gọi H là giao điểm của (Q) và D 2 , suy ra tọa độ H là nghiệm của hệ :
3


HTTP://DETHITHPT.COM
ìï 2x + y - 2z + 9b - 16 = 0
ïï
Þ H(- 2b + 3; - b + 4; 2b - 3)
í x - 1 y- 3 z + 1
ïï
=
=
ïỵ 2
1
- 2
2
Do đó MH = (3b - 4)2 + (2b - 4)2 + (4b - 6)2 = 29b2 - 88b + 68
(11b - 20) 2
Yêu cầu bài toán trở thành: MH = d Û 29b - 88b + 68 =
9
2
2
Û 261b - 792b + 612 = 121b - 440b + 400
53
Û 140b 2 - 352b + 212 = 0 Û 35b 2 - 88b + 53 = 0b = 1, b =
.
35
ỉ18 53 3 ư
Vậy có 2 điểm thoả mãn là: M(0;1; - 3) và M çç ; ; ÷
÷

÷.
çè35 35 35 ø
2

2

2

Ví dụ 5.Xét vò trí tương đối giữa các đường thẳng D 1 , D 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng

D1 :

x- 1 y+ 1 z- 5
x + 1 y+ 1 z- 1
=
=
=
=
và D 2 :
, tìm giao điểm của chúng (nếu có).
2
4
3
3
1
5

Lời giải.

ur

Đường thẳng D 1 qua điểm M1 (1; - 1; 5) và có u1 (2; 3; 1) là VTCP.
uur
Đường thẳng D 2 qua điểm M2 (- 1; - 1; 1) và có u 2 (4; 3; 5) là VTCP.
uuuuur
r r
Cách 1: Ta có M1M 2 (- 2; 0; - 4) và [u1 , u1 ]= (12; - 6; - 6), nên
r r uuuuur
[u1 , u1 ].M1M 2 = - 24 + 0 + 24 = 0
Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M.
ur
uur
Cách 2: Ta có u1 (2; 3; 1), u 2 (4; 3; 5) không cùng phương nên hai đường thẳng hoặc cắt
nhau, hoặc chéo nhau.
Chuyển hai phương trình về dạng tham số và xét hệ phương trình
ìï 1 + 2u = - 1 + 4v
ìï u - 2v = - 1
ïï
ïï
1
+
3u
=
1
+
3v
Û
í
í u - v = 0 Û u = v = - 1.
ïï
ïï

ïïỵ 5 + u = 1 + 5v
ïïỵ u - 5v = - 4
Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M(3; 2; 6).
Góc giữa hai đường thẳng
ur uur
u1.u 2
ur uur
8+ 9+ 5
11
cos(D 1 , D 2 ) = cos(u1 , u 2 ) = ur uur =
=
14. 50 5 7
u1 . u 2

ỉ 11 ÷
ư
Þ (D 1 , D 2 ) = arccos çç
» 33, 740
÷
÷
çè5 7 ø
Ví dụ 6.Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của A(2; 1; 4) lên:

1. Mặt phẳng (P) : 2x − y − z + 7 = 0.
2. Đường thẳng  :

x −1 y − 2 z −1
=
=
.

1
1
2

Lời giải.

1. Lập phương trình đường thẳng d đi qua A và d ⊥ (P). Khi đó điểm H là giao điểm của
d và (P).
4


HTTP://DETHITHPT.COM
Vì n (P) (2; − 1; − 1) nên đường thẳng d đi qua A(2; 1; 4) và d ⊥ (P) có phương trình là
x = 2 + 2t

y = 1 − t (t  R). Điểm H  d nên H(2 + 2t;1 − t;4 − t ).
z = 4 − t


Mà điểm H  (P) nên 2(2 + 2t ) − (1 − t ) − (4 − t ) + 7 = 0  t = −1.
Vậy tọa độ H(0;2; 5).
2. Có hai cách giải.
Cách 1: Lập phương trình mặt phẳng (  ) qua A và (  ) ⊥ , tọa độ điểm H là giao của
(  ) và .
Vì u  (1; 1; 2) nên mặt phẳng (  ) qua A và (  ) ⊥  có phương trình là x + y + 2z − 11 = 0.
x = 2
x + y + 2z − 11 = 0


Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ  x − 1 y − 2 z − 1  y = 3, hay H(2;3;3).

 1 = 1 = 2

z = 3
Cách 2: Vì H   nên H chỉ phụ thuộc một ẩn. Sử dụng điều kiện AH ⊥  ta tìm được
tọa độ H .
Vì H   nên H(1 + t; 2 + t; 1 + 2t )  AH(t − 1; t + 1; 2t − 3).

Vì AH ⊥  nên AH.u  = 0  t − 1 + t + 1 + 2(2t − 3) = 0  t = 1.
Vậy tọa độ H(2;3;3).

Ví dụ 7. Xét vò trí tương đối giữa đường thẳng d và mp (a ) . Tìm tọa độ giao điểm của

chúng nếu có :
ìï x = 12 + 4t
ïï
1. d : í y = 9 + 3t ,t Ỵ ¡
ïï
ïïỵ z = 1 + t
x + 10 y - 4 z - 1
=
=
2. d :
- 3
4
- 1

(a ) : 3x + 4y - z - 2 = 0

(a ) : y + 4z + 17 = 0

Lời giải.

uur
uur
Ta kí hiệu u d là VTCP của đường thẳng D , n a là VTPT của mp (a )
1. Cách 1 : Thay phương trình của d vào phương trình của () ta có :
3(12 + 4t) + 4(9 + 3t) - 1- t - 2 = 0 Û 23t + 69 = 0 Û t = - 3
Vậy d cắt (a ) tại A(0; 0; - 2) .
uur
uur
uur uur
Cách 2 : Ta có : u d = (4;3;1), na = (3; 4; - 1) Þ u d .n a = 35 ¹ 0 .
Vậy d và (a ) cắt nhau.
2. Cách 1 : Xét hệ phương trình
ìï 2x + 3y + 6z + 2 = 0 ìï y = - 4z - 17
ïï
ïï
Û í 2x - 6z - 49 = 0
í x+ y+ z+ 5= 0
ïï
ïï
ïïỵ y + 4z + 17 = 0
ïïỵ x - 3y - 12 = 0
Ta thấy hệ này vô nghiệm suy ra d / /(a ) .
uur
uur
uur uur
Cách 2 : Ta có : u d = (- 3; 4; - 1), n a = (0;1; 4) Þ u d .n a = 0
Mặt khác điểm M(- 10; 4;1) Ỵ d mà M Ï (a ) Þ d / /(a ) .
5

HTTP://DETHITHPT.COM
Ví dụ 8. Tính khoảng cách từ A(2;3; - 1) đến đường thẳng D :

x- 3 y- 2 z
=
=
1
3
2

Lời giải.

r
Đường thẳng D đi qua B(3; 2;0) và có u = (1;3;2) là VTCP
Cách 1: Gọi H là hình chiếu của A lên D , suy ra H (3 + t;2 + 3t;2t )
uuur
Þ AH = (t + 1;3t - 1; 2t + 1)
uuur r
Vì AH ^ D Þ AH.u = 0 Û 1(t + 1) + 3(3t - 1) + 2(2t + 1) = 0 Û t = 0
uuur
Do đó AH = (1; - 1;1) Þ d (A, D ) = AH = 3 .
uuur
uuur r
Cách 2: Ta có AB = (1; - 1;1)Þ éêAB, u ù
= (- 5; - 1;4)
ú
ë
û

uuur r
éAB, u ù
2
2
2
êë
ú
û = (- 5) + (- 1) + 4 = 3 .
Do đó d (A, D ) =
r
12 + 32 + 22
u

Ví dụ 9. Tìm m để hai đường thẳng sau cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm của chúng :

d1 :

x- 6 y+ 2 z- 3
=
=
2
4
m- 1

d2 :

x- 4 y- 3 z- 2
=
=
4

- 1
2

Lời giải.

Cách 1 :

ìï x = 6 + 2t
ìï x = 4 + 4t '
ïï
ïï
Ta có ptts của đường thẳng d1 : í y = - 2 + 4t
và d 2 : í y = - t '
ïï
ïï
ïïỵ z = 3 + (m - 1)t
ïïỵ z = 2 + 2t '
ìï 6 + 2t = 4 + 4t '
ïï
Ta có d1 và d 2 cắt nhau Û hệ í - 2 + 4t = 3 - t '
có nghiệm duy nhất.
ïï
ïïỵ 3 + (m - 1)t = 2 + 2t '
Từ hai phương trình đầu của hệ ta tìm được t = t ' = 1 thay vào phương trình thứ ba ta có :
3 + (m - 1).1 = 2 + 2 Þ m = 2 .
Khi đó tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là : A (8;2;4).
Cách 2 :

ur
Đường thẳng d1 có VTCP u1 = (2; 4; m - 1) và đi qua M1 (6; - 2;3)

uur
Đường thẳng d 2 có VTCP u 2 = (4; - 1; 2) và đi qua M2 (4;0; 2)
ur uur
uuuuur
=
(m
+
7;4m
8;
18),
M
Do đó : éêu1 , u 2 ù
1M 2 = (- 2;2; - 1)
ú
ë
û
uuuuur
ìï éuur , uuur ù.M
M =0
ïï êë 1 2 ú
û 1 2
Û - 2(m + 7) + 2(4m - 8) + 18 = 0
Ta có d1 và d 2 cắt nhau Û í ur uur
ïï éu , u ù¹ 0r
ïïỵ êë 1 2 ú
û

Û m = 2 và tọa độ giao điểm là : A (8;2;4).
Ví dụ 10.Cho đường thẳng D :

x- 1 y+ 2 z+ 1
=
=
và điểm A(2; - 5; - 6)
2
1
- 3
6


HTTP://DETHITHPT.COM
1. Tìm tọa độ hình chiếu của A lê đường thẳng D
2. Tìm tọa độ điểm M nằm trên D sao cho AM = 35
Lời giải.

r
Ta có u = (2;1; - 3) là VTCP của đường thẳng D
1. Cách 1.
Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng D , suy ra
uuur
H (1+ 2t; - 2 + t; - 1- 3t ) Þ AH = (2t - 1; t + 3; - 3t + 5) .
uuur r
Vì AH ^ D Þ AH.u = 0 Û 2(2t - 1) + (t + 3) - 3(- 3t + 5) = 0

Û 14t - 14 = 0 Û t = 1 Vậy H (3; - 1; - 4).
Cách 2. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với D
Suy ra phương trình (P) : 2x + y - 3z - 17 = 0 . Khi đó H = D Ç (P) nên tọa độ của H
ìï 2x + y - 3z - 17 = 0
ï
là nghiệm của hệ: ïí x - 1 y + 2 z + 1 , giải hệ này ta tìm được H (3; - 1; - 4).

ïï
=
=
ïỵ 2
1
- 3
uuur
2. Vì M Ỵ D Þ M (1 + 2t; - 2 + t; - 1- 3t ) Þ AM = (2t - 1; t + 3; - 3t + 5)

Nên AM =

35 Û (2t - 1) 2 + (t + 3) 2 + (3t - 5) 2 = 35

Û t 2 - 2t = 0 Û t = 0, t = 2
· t = 0 Þ M(1; - 2; - 1)
· t = 2 Þ M(5;0; - 7) .

· = 1200 ,a > 0. Điểm I
Ví dụ 11. Cho tam giác AIB có A(- a 3; 0; 0), B(a 3; 0; 0) và AIB
thuộc trục tung và có tung độ âm. Trên đường thẳng qua I song song với trục Oz lấy
các điểm C, D sao cho tam giác ABC vuông, tam giác ABD đều và C, D có cao độ
dương. Tìm tọa độ các điểm I, C, D.
Lời giải.

Tìm tọa độ điểm I.
Vì I thuộc trục tung và có tung độ âm nên I(0; t; 0), t < 0.
uur
uur
Ta có IA(- a 3; - t; 0), IB(a 3; - t; 0) nên
uur uur

uur uur
IA.IB
· = cos(IA; IB) = uur uur
cos AIB
IA . IB

Û cos1200 =

- 3a 2 + t 2
(- a 3) 2 + (- t 2 ) + 02 . (a 3) 2 + (- t 2 ) + 02

ét = a
Û 3a 2 + t 2 = 2(3a 2 - t 2 ) Û t 2 = a 2 Û ê
Þ I(0; - a; 0).
êët = - a
Vậy điểm I(0; - a; 0).
Đường thẳng qua I và song song với trục Oz có phương trình
ìï x = 0
ïï
D : í y = - a (t Ỵ ¡ ).
ïï
ïïỵ z = t
Tìm tọa độ điểm C.
7


HTTP://DETHITHPT.COM
uuur
uur
Vì C Ỵ D nên C(0; - a; t), t > 0. Ta có CA(- a 3; a; - t), CB(a 3; a; - t).

Rõ ràng CA = CB nên tam giác ABC phải vuông tại C.
ét = 2a
uuur uur
Hay CA.CB = 0 Û - 3a 2 + a 2 + t 2 = 0 Û t 2 = 2a 2 Û êê
.
êët = - 2a
Mà t > 0 nên C(0; - a; 2a).
Tìm tọa độ điểm D. Vì D Ỵ D nên D(0; - a; t), t > 0.
uuur
uuur
Ta có DA(- a 3; a; - t), DB(a 3; a; - t).
Rõ ràng DA = DB nên tam giác ABC đều khi và chỉ khi
ét = 2 2a
uuur
uuur
DA = AB Û 3a 2 + a 2 + t 2 = 12a 2 Û t 2 = 8a 2 Û êê
.
êët = - 2 2a
Mà t > 0 nên D(0; - a; 2 2a).
Vậy các điểm cần tìm là I(0; - a; 0), C(0; - a; 2a), D(0; - a; 2 2a).
Ví dụ 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz :

ìï x = - 1- 2t
ïï
x y z
, t Ỵ ¡ . Xét vò trí tương đối giữa d1
1. Cho hai đường thẳng: d1 : = = ; d 2 : í y = t
ïï
1 1 2
ïïỵ z = 1 + t

và d 2 . Tìm tọa độ các điểm M Ỵ d1 , N Ỵ d 2 sao cho MN song song với mp (P): x - y + z = 0
và độ dài MN =

2;

x- 3 y- 3 z- 3
x+ 5 y+ 2 z
=
=
=
= . Chứng minh rằng d1
; d2 :
2
6
2
3
1
2
và d 2 cắt nhau tại I . Tìm tọa độ các điểm A, B lần lượt thuộc d1 ,d 2 sao cho tam giác

2. Cho hai đường thẳng: d1 :

AIB cân tại I và có diện tích bằng

41
42

Lời giải.

ur

1. Đường thẳng d1 đi qua O(0;0;0) có u1 = (1;1; 2) là VTCP,

Đường thẳng d 2 đi qua A (- 1;0;1) có VTCP u2 = (- 2;1;1)
uuur
ur uur
ur uur uuur
éu ;u ùOA = 4 ¹ 0
=
1;
5;3
Þ
Suy ra OA = (- 1;0;1), éêu1 , u 2 ù
(
)
ú
êë 1 2 ú
ë
û
û
Do đó d1 ,d 2 chéo nhau.
Ta có M Ỵ d1 Þ M (t; t;2t ), N Ỵ d 2 Þ N (- 1- 2s;s;1+ s)
uuur uur
ìï MN / / (P ) ïì MN.n = 0 ïì t = - s
p
Þ íï
Û íï
Theo đề bài ta có ïí
ïï MN = 2 ïï MN = 2
ïï (t - s)2 + 4t 2 + (1- 3t )2 = 2
ỵ

ỵï
ỵï
ỉ4 4 8 ư ỉ1 4 3 ư
÷
ç
Giải hệ và kiểm tra điều kiện song song ta được M çç ; ; ÷
÷
÷
÷, N èçç 7 ; - 7 ; 7 ø
÷
çè 7 7 7 ø
thỏa mãn.

8


HTTP://DETHITHPT.COM
ìï x - 3 y - 3 z - 3 ì
ïï x = 1
ïï
=
=
ï
ï 2
2
1
Û í y= 1
2. Xét hệ phương trình : í
ïï x + 5 y + 2 z
ïï

=
=
ïï
ïỵï z = 2
3
2
ïỵ 6
Vây d1 cắt d 2 tại giao điểm I (1;1;2).
ur
d1 đi qua điểm M1 (3;3;3) có u1 = (2; 2;1) là VTCP ;
uur
d 2 đi qua M 2 (- 5; - 2;0) và có u 2 = (6;3; 2) là VTCP.

Gọi j là góc giữa hai đường thẳng d1 và d 2 . Ta có :
ur uur
u1.u 2
20
41
cos j = ur uur =
Þ sin j = 1- cos 2 j =
21
21
u1 . u 2
Giả sử IA = IB = a > 0 . diện tích của tam giác IAB là
1
41
41
S = .IA.IB.sin j = a 2
=
Þ a = 1.

2
42
42
uur
A Ỵ d1 Þ A(3 + 2t;3 + 2t;3 + t) Þ IA = (2t + 2; 2t + 2; t + 1)
é
2
êt = ỉ5 5 7 ư
ỉ1 1 5 ư
ê
3
Þ IA 2 = 1 Û 9(t + 1) 2 = 1 Û ê
Þ A1 çç ; ; ÷
, A 2 çç ; ; ÷
÷
÷
÷
÷.
ç
è3 3 3 ø
èç3 3 3 ø
4
ê
êt = êë
3
uur
B Ỵ d 2 Þ B(- 5 + 6t; - 2 + 3t; 2t) Þ IB = (6t - 6;3t - 3; 2t - 2)
é 8
êt =
ỉ13 10 16 ư

ỉ1 4 12 ư
ê 7
2
2
Þ IB = 1 Û 49(t - 1) = 1 Û ê
Þ B1 çç ; ; ÷
, B2 çç ; ; ÷
÷
÷
÷
÷.
ç
è7 7 7 ø
èç7 7 7 ø
ê 6
êt =
êë 7
Vậy có 4 cặp điểm A, B cần tìm là:
ỉ5 5 7 ư ỉ13 10 16 ư
ỉ1 1 5 ư
ỉ5 5 7 ư
ỉ13 10 16 ư
ỉ1 4 12 ư
÷
çç ; ; ÷
çç ; ; ÷
çç ; ; ÷
çç ; ; ÷
ç
A çç ; ; ÷

A
;
;
B
B
hoặc
hoặc
A
;
B
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷ èç 7 7 7 ø
÷ èç7 7 7 ø
÷
÷
÷ èçç 7 ; 7 ; 7 ø
÷ hoặc
çè3 3 3 ø
çè3 3 3 ø
çè3 3 3 ø
ỉ1 1 5 ư ỉ1 4 12 ư÷
ç
A çç ; ; ÷
÷
÷; B èçç7 ; 7 ; 7 ø÷

÷.
çè3 3 3 ø
Ví dụ 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz : cho mặt phẳng (a ) : 3x + 2y - z + 4 = 0 và

hai điểm A(4; 0; 0), B(0; 4; 0). Gọi I là trung điểm đoạn thẳng AB.
1. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (a ).
2. Xác đònh tọa độ điểm K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng (a ), đồng thời K
cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng (a ).
Lời giải.

ìï x = 4 - t
ïï
uuur
(t Ỵ ¡ ).
1. AB(- 4; 4; 0) nên đường thẳng AB có phương trình í y = t
ïï
ïïỵ z = 0
Gọi M = AB Ç (a ) thì M(4 - t; t; 0) và thỏa mãn
3(4 - t) + 2t - 0 + 4 = 0 Û t = 16 Þ M(- 12; 16; 0).
9


HTTP://DETHITHPT.COM
Vậy giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (a ) là M(- 12; 16; 0).
2. Trung điểm của AB là I(2; 2; 0).
Đường thẳng KI qua I và vuông góc với (a ) : 3x + 2y - z + 4 = 0 có phương trình
ìï x = 2 + 3t
ïï
KI : í y = 2 + 2t (t Ỵ R), nên K(2 + 3t; 2 + 2t; - t).
ïï

ïïỵ z = - t
3(2 + 3t )+ 2 (2 + 2t )+ t + 4
Ta có: d(K, (a )) =
= 14 t + 1 .
32 + 22 + 12
Mà OK = d(K, (a )) nên
2

2

(2 + 3t ) + (2 + 2t ) + t 2 = 14 t + 1
14t 2 + 20t + 8 = 14 (t 2 + 2t + 1) Û 8t + 6 = 0
ỉ 1 1
3
Þ K çç- ; ;
çè 4 2
4
ỉ 1 1 3ư
Vậy điểm cần tìm là K çç- ; ; ÷
.
÷
çè 4 2 4 ÷
ø
Û t= -

ư
3÷
.
÷
÷

4ø

Bài tốn 2. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
r

Dạng 1: d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y0 ; z 0 ) và có VTCP a = (a1;a 2 ;a 3 ) :

ìï x = x o + a1t
ïï
(d) :ïí y = yo + a 2 t
(t Ỵ ¡ )
ïï
ïïỵ z = zo + a 3 t
uuur
Dạng 2: d đi qua hai điểm A, B :
Một VTCP của d là AB .
Dạng 3: d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y0 ; z 0 ) và song song với đường thẳng D cho trước:
Vì d P D nên VTCP của D cũng là VTCP của d .
Dạng 4: d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y0 ; z 0 ) và vng góc với mặt phẳng (P) cho trước:
Vì d ^ (P)nên VTPT của (P) cũng là VTCP của d .
Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) , (Q):
• Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP.

ì
ïïỵ (Q)

ï (P)
– Tìm toạ độ một điểm A Ỵ d bằng cách giải hệ phương trình ïí
(với việc chọn giá trị cho một ẩn)

r

r

r

– Tìm một VTCP của d : a = én P , n Q ù
ë
û
• Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d , rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.
Dạng 6: d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y0 ; z 0 ) và vng góc với hai đường thẳng d1 , d 2 :

r

r
ë

r

Vì d ^ d1 , d ^ d 2 nên một VTCP của d là: a = éa d1 , a d2 ù

û

Dạng 7: d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y0 ; z 0 ) , vng góc và cắt đường thẳng D .
• Cách 1: Gọi H là hình chiếu vng góc của M0 trên đường thẳng D .

ìï H Ỵ D
ïí uuuur
ïï M 0 H ^ ur V
ỵ

10


HTTP://DETHITHPT.COM
Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M 0 , H .
• Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d , (Q)là mặt phẳng đi qua A và chứa d . Khi đó

d = (P) Ç (Q)
Dạng 8: d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y0 ; z 0 ) và cắt hai đường thẳng d1 , d 2 :
• Cách 1: Gọi M1 Î d1 , M 2 Î d 2 Từ điều kiện M, M1 , M 2 thẳng hàng ta tìm được M1 , M 2 . Từ đó suy ra
phương trình đường thẳng d .
• Cách 2: Gọi (P)= (M0 , d1 ) , (Q)= (M0 ,d 2 ) . Khi đó d = (P) Ç (Q), do đó, một VTCP của d có thể
r
r r
chọn là a = én P , n Q ù.
ë
û
Dạng 9: d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d1 , d 2 :
Tìm các giao điểm A = d1 Ç (P), B = d 2 Ç (P). Khi đó d chính là đường thẳng AB .
Dạng 10: d song song với D và cắt cả hai đường thẳng d1 , d 2 :
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa D và d1 , mặt phẳng (Q) chứa D và d 2 .
Khi đó d = (P) Ç (Q).
Dạng 11: d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 , d 2 chéo nhau:

ìï MN ^ d1
• Cách 1: Gọi M Î d1 , N Î d 2 . Từ điều kiện ïí
, ta tìm được M, N .
ïïî MN ^ d 2

Khi đó, d là đường thẳng MN .

• Cách 2:
r
r r
– Vì d ^ d1 và d ^ d 2 nên một VTCP của d có thể là: a = éa d1 , a d2 ù.

ë

û

– Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d1 , bằng cách:
+ Lấy một điểm A trên d1 .

r

r r
ë
û
– Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và d1 .
+ Một VTPT của (P) có thể là: n P = éa, a d1 ù.

Khi đó d = (P) Ç (Q).
Dạng 12: d là hình chiếu của đường thẳng D lên mặt phẳng (P) :
• Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa D và vuông góc với mặt phẳng (P) bằng cách:
– Lấy M Î D .

r

r

r

– Vì (Q) chứa D và vuông góc với D nên n Q = [a D , n P ].
Khi đó d = (P) Ç (Q).
Dạng 13: d đi qua điểm M , vuông góc với d1 và cắt d 2 :
• Cách 1: Gọi N là giao điểm của d và d 2 .Điều kiện MN ^ d1 , ta tìm được N .
Khi đó, d là đường thẳng M, N .
• Cách 2:
– Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d1 .
– Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d 2 .
Khi đó d = (P) Ç (Q).

11


HTTP://DETHITHPT.COM
Ví dụ 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz :

x + 1 y z- 3
= =
. Viết phương trình đường thẳng
2
1
- 2
D đi qua điểm A , vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox
Đề thi ĐH Khối D –
2011

1. Cho điểm A(1; 2;3) và đường thẳng d :

Lời giải.

1. Gọi M là giao điểm của đường thẳng D với Ox
uuur
r
Suy ra M(m;0;0) Þ AM = (m - 1; - 2; - 3) , đường thẳng D có a = (2;1; - 2) là VTCP
uuur r
uuur
Vì AM ^ d Þ AM.a Û m = - 1 Þ AM = (- 2; - 2; - 3)
x- 1 y- 2 z- 3
=
=
Vậy phương trình đường thẳng D là:
.
2
2
3
Ví dụ 15. Lập phương trình chính tắc của đường thẳng D , biết:

D đi qua M (1;0; - 1) và vuông góc với hai đường thẳng

ìï x = t
ïï
x
y+ 2 z- 1
d1 :
=
=
; d 2 : í y = - 1- 2t
ïï
- 5

8
3
ïïỵ z = 0
Lời giải.

ur
uur
Ta có: d1 có u1 = (5; - 8; - 3) VTCP; d 2 có u 2 = (1; - 2;0) là VTCP
r
Cách 1: Giả sử u = (a;b;c) là một VTCP của  .
Vì D vuông góc với d1 và d 2 nên
uur ur
ì a = 2b
ìï u .u = 0
r b
ìïï 5a - 8b - 3c = 0 ïïï
ï
1
Û í
Û í
Þ u = .(6;3; 2)
í uur uur
2
ïï u .u = 0 ïïỵ a - 2b = 0
ïï c = b
3
2
ïỵ
ïỵ
3

ìï x = 1 + 6t
ïï
, tỴ
Phương trình D là: í y = 3t
ïï
ïïỵ z = - 1 + 2t
r
Cách 2. Vì D ^ d1 , D ^ d 2 nên u =

¡ .

ur uur
éu , u ù= (- 6; - 3; - 2) là một VTCP của D
êë 1 2 ú
û
ìï x = 1- 6t
ïï
, tỴ ¡ .
Suy ra phương trình D là: í y = - 3t
ïï
ïïỵ z = - 1- 2t
Ví dụ 16. Lập phương trình chính tắc của đường thẳng D , biết:

ìï x = 1 + t
ïï
1. D đi qua A (1; 2;1) đồng thời D cắt đường thẳng d1 : í y = 2 - t và vuông góc với
ïï
ïïỵ z = t
x + 1 y- 1 z + 3

=
=
đường thẳng d 2 :
;
2
1
- 2
12


HTTP://DETHITHPT.COM
2. D đi qua B(9; 0; - 1) , đồng thời D cắt hai đường thẳng D 1 :
D2 :

x- 1 y- 3 z + 1
=
=
,
2
- 1
1

x + 2 y- 3 z- 4
=
=
- 1
1
- 3

Lời giải.

1. Cách 1: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và d1 , khi đó ta có D Ì (P)
ur
Ta có đường thẳng d1 đi qua M(1; 2; 0) và có u1 = (1; - 1;1) là VTCP
r
uuur ur
Nên n = éêAM, u1 ù
= (- 1; - 1;0) là VTPT của (P) .
ú
ë
û
r
r uur
uur
ïì D Ì (P)
u
D
Vì ïí
, suy ra u = éên, u 2 ù
là
VTCP
của
(trong
đó
=
2;
2;1
(
)
2 = (2;1; - 3) là VTCP của

ú
ë
û
ïïỵ D ^ d 2
đường thẳng d 2 ).
x- 1 y- 2 z- 1
=
=
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng D là:
.
2
- 2
1
uuur
Cách 2: Gọi E = D Ç d1 , suy ra E (1+ t;2 - t; t ) nên AE = (t; - t; t - 1)
uuur uur
uuur
Vì D ^ d 2 Þ AE.u 2 = 0 Û 2t - t - 2(t - 1) = 0 Û t = 2 Þ AE = (2; - 2;1)
x- 1 y- 2 z- 1
=
=
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng D là:
.
2
- 2
1
ur
2. Đường thẳng D 1 đi qua C(1;3; - 1) và có v1 = (2; - 1;1) là VTCP
uur
Đường thẳng D 2 đi qua D(- 2;3; 4) và có v 2 = (- 1;1; - 3) là VTCP

ur
ur uuur
Gọi (a ) là mặt phẳng đi qua B và D 1 , suy ra D Ì (a ) và n1 = éêv1 , BCù
= (- 3; - 8; - 2) là
ú
ë
û
VTPT của (a ) .
uur
uur uuur
= (14;38;8) là VTPT
Gọi (b) là mặt phẳng đi qua B và D 2 , suy ra D Ì (b) và n 2 = éêv2 , BDù
ú
ë
û
của (b) .
r
ur uur
= (12; - 4; - 2) là VTCP
Ta có D là giao tuyến của (a ) và (b) nên a = éên1 , n 2 ù
ú
ë
û
Vây phương trình chính tắc của đường thẳng D là:
x- 9
y
z+ 1
=
=
.

6
- 2
- 1
3.
Ví dụ 17. Viết phương trình tham số của đường thẳng D , biết:

1. D là giao tuyến của hai mặt phẳng (a ) : x + y + z - 3 = 0 và (b) : 2y - z - 1 = 0
2. D là giao tuyến của hai mặt phẳng (a ) : x + y - z + 3 = 0 và (b) : 2x - y + 5z - 4 = 0 .
x- 1 y- 2
z
=
=
3. D là hình chiếu vuông góc của d :
lên mp (a ) : x + y + z - 1 = 0
1
2
- 1
Lời giải.

1. Để lập phương trình đường thẳng D ta có các cách sau
uur
ur
Cách 1: Ta có n1 = (1;1;1) và n 2 = (0; 2; - 1) lần lượt là VTPT của (a ) và (b)
r
ur uur
= (- 3;1;2) là VTCP của D
Do D = (a ) Ç (b) , suy ra a = éên1 , n 2 ù
ú
ë
û

13


HTTP://DETHITHPT.COM
ìï x + y + z - 3 = 0
Xét hệ phương trình ïí
(*). Cho y = 1 Þ x = z = 1 , suy ra M(1;1;1) Ỵ D
ïïỵ 2y - z - 1 = 0
ìï x = 1- 3t
ïï
Vậây phương trình tham số của đường thẳng D là: í y = 1 + t , t Ỵ ¡ .
ïï
ïïỵ z = 1 + 2t
ìï x + y + z - 3 = 0
Cách 2: Xét N(x; y; z) Ỵ D Û N Ỵ (a ) Ç (b) Û ïí
ïïỵ 2y - z - 1 = 0
ìï x = 4 - 3t
ïï
Đặt y = t , ta có: í y = t
, t Ỵ ¡ , đây chính là phương trình tham số của D .
ïï
ïïỵ z = - 1 + 2t
Cách 3: Trong hệ (*) cho y = 0 Þ z = - 1, x = 4 . Do đó điểm E(4;0; - 1) Ỵ D
Hay D º ME , từ đó ta lập được phương trình tham số của D là:
ìï x = 4 - 3t
ïï
,t Ỵ ¡ .
í y= t
ïï

ïïỵ z = - 1 + 2t
2. Để lập phương trình đường thẳng D ta có các cách sau
Cách 1: Ta có A(- 1; - 1;1), B(- 5;6; 4) là hai điểm chung của (a ) và (b)
uuur
Þ A, B Ỵ d Þ AB = (- 4;7;3) là một VTCP của d
ìï x = - 1- 4t
ïï
Phương trình tham số của d : í y = - 1 + 7t , t Ỵ R .
ïï
ïïỵ z = 1 + 3t
x + 1 y+ 1 z- 1
=
=
Phương trình chính tắc của d :
.
- 4
7
3
ur
uur
Cách 2: Ta có n1 = (1;1; - 1), n 2 = (2; - 1;5) lần lượt là VTPT của (a ), (b)
r
ur uur
= (4; - 7; - 3)
Vì d là giao tuyến của (a ) và (b) nên u = éên1 , n 2 ù
ú
ë
û
Từ đó ta lập được phương trình cuả d .
ìï M Ỵ (a ) ìïï x + y - z + 3 = 0

Û í
Cách 3: Ta có M(x; y; z) Ỵ d Û ïí
ïïỵ M Ỵ (b)
ïïỵ 2x - y + 5z - 4 = 0
ìï
1 4
ïï x = - t
ìï x + y = - 3 + t
ï
3 3
Û í
Đặt z = t ta được: ïí
ïïỵ 2x - y = 4 - 5t ïï
10 7
+ t
ïï y = 3 3
ïỵ
ìï
1 4
ïï x = - t
ï
3 3
, tỴ ¡ .
Phương trình tham số của d : í
ïï
10 7
+ t; z = t
ïï y = 3 3
ïỵ
3. Để lập phương trình đường thẳng D ta có các cách sau

r
Đường thẳng d đi qua M(1; 2; 0) và có v = (1;2; - 1) là VTCP.
r
Mặt phẳng (a ) có n = (1;1;1) là VTPT
14


HTTP://DETHITHPT.COM
ìï x - 1 y - 2
z
ïï
=
=
Xét hệ phương trình í 1
2
- 1 , giải hệ này ta được x = 0, y = 0, z = 1 , suy ra d và
ïï
ïỵ x + y + z - 1 = 0
(a ) cắt nhau tại I(0;0;1) và I Ỵ D .
Cách 1: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với (a )
ur
r r
Ta có n1 = éêv, nù
= (3; - 2; - 1) là VTPT của (P)
ë ú
û
r
r ur
Vì D = (a ) Ç (P) nên u = éên, n1 ù
= (- 1; - 4;5) là VTCP của D

ë ú
û
x
y
z- 1
=
=
Vậy phương trình của đường thẳng D là:
.
- 1 - 4
5
r
Cách 2. Gọi N là hình chiếu của M lên (a ) , vì MN ^ (a ) nên n = (1;1;1) là VTCP
x- 1 y- 2 z
=
=
của MN , suy ra phương trình MN :
1
1
1
ìï x - 1 y - 2 z
ï
=
=
Do N = MN Ç (a ) nên tọa độ của N là nghiệm của hệ: ïí 1
1
1
ïï
ïỵ x + y + z - 1 = 0
ỉ1 4 2 ư

1
4
2
Giải hệ này ta tìm được: x = , y = , z = - Þ N çç ; ; - ÷
.
÷
çè3 3 3 ÷
ø
3
3
3
Khi đó đường thẳng D º IN , từ đó ta lập được phương trình D :
x
y
z- 1
=
=
.
- 1 - 4
5
Ví dụ 18. Cho đường thẳng D và mặt phẳng (P) có phương trình:
ìï x = 1 + 2t
ïï
D :í y = - 1- t (t Ỵ ¡ ), (P) : 2x - y + 2z = 11 = 0.
ïï
ïïỵ z = 2t
1. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của A(1; - 2; - 5) trên D ;
2. Tìm tọa độ điểm A¢ sao cho AA¢= 2AH và ba điểm A, A¢, H thằng hàng;
3. Tìm tọa độ điểm B¢ đối xứng với điểm B(1; - 1; 2) qua (P) .
Lời giải.

uur
1. Đường thẳng D có u D = (2; - 1; 2) là VTCP
uuur
Cách 1: Vì H Ỵ D nên H(1+ 2t; - 1- t; 2t) Þ AH = (2t; 1- t; 2t + 5).
uuur uur
Điểm H là hình chiếu của A trên D nên AH.u D = 0, hay
2.(2t) - 1.(1- t) + 2(2t + 5) = 0 Û t = - 1 Þ H(- 1; 0; - 2).
Vậy điểm cần tìm là H(- 1; 0; - 2) .
Cách 2: Gọi (a ) là mặt phẳng qua A(1; - 2; - 5) và vuông góc với D .
uur
Ta có một véc tơ pháp tuyến của (a ) là n a = (2; - 1; 2) nên
(a ) : 2x - y + 2z - 6 = 0.
Điểm H là hình chiếu của A trên D thì H = (P) Ç D Þ H(- 1; 0; - 2) .
2. Gọi A¢(x; y; z).
Vì ba điểm A, A¢, H thằng hàng và AA¢= 2AH nên có hai trường hợp
15


HTTP://DETHITHPT.COM
uuur

uuur

· AA ¢= 2AH, khi đó H là trung điểm AA ' nên
ìï x A + x A ¢ = 2x H
ìï x A ¢ = 2x H - x A ìï x A ¢ = - 3
ïï
ï
ï

ïí y + y = 2y Û ïïí y = 2y - y Þ ïïí y = 2 .
H
H
A
A¢
ïï A
ïï A ¢
ïï A ¢
ïïỵ z A + z A ¢ = 2z H
ïïỵ z A ¢ = 2z H - z A
ïïỵ z A ¢ = 1

Vậy A¢(- 3; 2; 1).
uuur
uuur
· AA¢= - 2AH, khi đó ta có
ìï x A ¢ - 1 = - 2.(- 2) ìï x A ¢ = 5
ïï
ï
ïí y + 2 = - 2.2 Û ïïí y = - 6 Þ A ¢(5; - 6; - 11).
ïï A ¢
ïï A ¢
ïïỵ z A ¢ + 5 = - 2.3
ïïỵ z A ¢ = - 11
Vậy có hai điểm thỏa mãn là A¢(- 3; 2; 1) hoặc A¢(5; - 6; - 11).
3. Gọi d là đường thẳng đi qua B(1; - 1; 2) và d ^ (P), khi đó một véc tơ phương của d
là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng.
uur
x- 1 y+ 1 z- 2
=

=
.
Ta có u d = (2; - 1; 2) nên d :
2
- 1
2
Điểm K là hình chiếu của B trên (P) thì K = d Ç (P), nên tọa độ K là nghiệm của hệ
ìï x - 1 y + 1 z - 2
ï
=
=
phương trình: ïí 2
- 1
2 Þ H(- 3; 1; - 2).
ïï
ïỵ 2x - y + 2z = 11 = 0
Điểm B ' đối xứng với B qua (P) khi H là trung điểm của BB ' nên tọa độ điểm B '
cần tìm B¢(- 7; 3; - 6) .
Ví dụ 19. Trong không gian Oxyz ,

1. Cho mặt phẳng (a ) : 2x - 2y + z - n = 0 và đường thẳng D :

x- 1 y+ 1
z- 3
=
=
. Tìm
2
1
2m - 1

m, n để:
a) Đường thẳng D nằm trong mp(a )
b) Đường thẳng D song song với mp(a )
2. Tìm m để :
x - 6 y + 3 z - 1+ m
x- 4
y
z+ 2
=
=
=
=
a) Hai đường thẳng d1 :
và d 2 :
cắt nhau. Tìm giao
2
- 2
m- 1
4
- 3
2
điểm của chúng.

ìï x = (- 2m 2 + m + 1)t
ïï
b) Đường thẳng d m : ïí y = 1- (4m 2 + 4m + 1)t song song với (P) : 2x - y + 2 = 0 .
ïï
ïï z = - 2 + (m 2 - m)t
ỵ

Lời giải.

r

1. Mặt phẳng (a ) có n = (2; - 2;1) là VTPT

r
Đường thẳng D đi qua A(1; - 1;3) và có u = (2;1; 2m - 1) là VTCP

a) Cách 1: Ta có B(3;0;2m + 2)Ỵ D

16


HTTP://DETHITHPT.COM
ìï A Ỵ (a )
D Ì (a ) Û ïí
Û
ïïỵ B Ỵ (a )

ìï 7 - n = 0
Û
íï
ïïỵ 8 + 2m - n = 0

ìï n = 7
ïï
í
ïï m = - 1
ïỵ

2

ìï n = 7
ïï
.
í
ïï m = - 1
ïỵ
2
ì
n
¹
7
ïï
ìï A Ï (a ) ìï 7 - n ¹ 0
b) Ta có: D / /(a ) Û ïí r r
.
Û íï
Û íï
ïï n.u = 0
ïïỵ 2m + 1 = 0 ïï m = - 1
ỵ
ïỵ
2
2. a) Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
ìï 6 + 2t = 4 + 4t '
ïï
ìï t = - 3, t ' = - 1
Û ïí
Þ m= 2.

í - 3 - 2t = - 3t '
ïï
ïïỵ 1- m + (m - 1).(- 3) = - 4
ïïỵ 1- m + (m - 1)t = - 2 + 2t '
ìï A Ỵ (a )
Cách 2: Ta có D Ì (a ) Û ïí r r
Û
ïï n.u = 0
ỵ

ìï 7 - n = 0
Û
íï
ïïỵ 2m + 1 = 0

Khi đó hai đường thẳng cắt nhau tại A(0;3; 4) .
b) Cách 1:
r
Đường thẳng d m đi qua A(0;1; - 2) có u = (- 2m2 + m + 1; - 4m2 - 4m - 1;m2 - m) là VTCP.
r
Mặt phẳng (P) có n = (2; - 1;0) là VTPT
rr
ìï u.n = 0
ìï - 4m 2 + 2m + 2 + 4m 2 + 4m + 1 = 0
1
ï
Û m= - .
Ta có d m / /(P) Û í
Û ïí
ïï A Ï (P) ỵïï - 1 + 2 ¹ 0

2
ỵ
Cách 2: Ta có d m / /(P) Û hệ phương trình sau vô nghiệm:
ìï x = (- 2m 2 + m + 1)t
ïï
ïï y = 1- (4m 2 + 4m + 1)t
ïí
ïï z = - 2 + (m 2 - m)t
ïï
ïïỵ 2x - y + 2 = 0
Thay ba phương trình đầu vào phương trình cuối ta được: (6m + 3)t = - 1
1
Do đó hệ vô nghiệm Û m = - .
2
Ví dụ 20. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz : cho tứ diện ABCD có các đỉnh A (1; 2;1),

B(- 2;1;3), C(2; - 1;1) và D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho
khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P)
Lời giải.

Mặt phẳng (P) thoả mãn yêu cầu bài toán trong hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: (P) đi qua A, B song song với CD .
r
uuur uuur
uuur
uuur
= (- 8; - 4; - 14) là VTPT của (P).
Ta có AB = (- 3; - 1;2), CD = (- 2;4;0) , suy ra n = éêAB,CDù
ú
ë

û
Phương trình (P): 4x + 2y + 7z - 15 = 0 .
Trường hợp 2: (P) đi qua A, B và cắt CD tại I , suy ra I là trung điểm của CD Do đó
uur
I(1;1;1) Þ AI = (0; - 1;0) .

17


HTTP://DETHITHPT.COM
r
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): n =

uuur uur
éAB, AIù= (2;0;3) .
êë
ú
û

Phương trình (P) : 2x + 3z - 5 = 0 .
Vậy (P) : 4x + 2y + 7z - 15 = 0 hoặc (P) : 2x + 3z - 5 = 0 .
x = −1 − 2t
x − 2 y −1 z −1

Ví dụ 21. Cho đường thẳng 1 :
và đường thẳng 2 : y = 2 + 3t (t  R).
=
=
3
1

1
z = 1

Lập phương trình đường thẳng  cắt  1 và cắt  2 đồng thời thỏa mãn:
1.  nằm trong mặt phẳng (P) : 2x + 3y − z + 2 = 0.
x − 2 y +1 z −3
=
=
.
2.  song song với đường thẳng d :
4
3
1
3.  đi qua điểm M(1; − 5; − 1).
Lời giải.
1. Vì  cắt  1 và cắt  2 đồng thời  nằm trong mặt phẳng (P), nên  chính là đường

thẳng đi qua các giao điểm của  1 và  2 với (P).
Gọi A = 1  (P) thì tọa độ A là nghiệm của hệ
x − 2 y −1 z −1
=
=

1
1  A( −1; 0; 0).
 3
2x + 3y − z + 2 = 0
B =  2  (P).
Vì B  2
nên B( −1 − 2t; 2 + 3t; 1).

2( −1 − 2t ) + 3(2 + 3t ) + 1 = 0  t = −1  B(1; − 1; 1).

Gọi

Lại

có

B  (P)

nên

Ta có AB(2; − 1; 1) nên phương trình đường thẳng cần tìm là
:

x −1 y +1 z −1
=
=
.
2
−1
1

2. Có nhiều cách giải bài toán này, chẳng hạn:
Cách 1: Tìm một điểm thuộc .
Vì  cắt  1 và song song với d, nên  nằm trong mặt phẳng (  ) chứa  1 và song song
với d. Ta có (  ) qua M 1 (2; 1; 1), (  ) có một véc tơ pháp tuyến là
n (  ) = u 1 , u d  = ( −2; 1; 5) nên (  ) : − 2 x + y + 5z − 2 = 0.
  (  )
C = 2  (  )  C( −1 − 2t;2 + 3t;1)

Ta
có
nên

   2 = C

và

thỏa

mãn

−2( −1 − 2t ) + (2 + 3t ) + 5 − 2 = 0  t = −1, nên C(1; − 1; 1).

Lại có  // d nên một véc tơ chỉ phương của  là u d (4; 3; 1), do đó phương trình cần tìm
:

x −1 y +1 z −1
=
=
.
4
3
1

Cách 2: Xác đònh hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng .
 là giao tuyến của hai mặt phẳng
- Mặt phẳng (  ) chứa  1 và song song với d.
- Mặt phẳng (  ) chứa  2 và song song với d.
Ta có (  ) : − 2 x + y + 5z − 2 = 0.

Mặt phẳng ( ) qua M 2 ( −1; 2; 1), đồng thời ( ) có một véc tơ pháp tuyến là
n (  ) = u 2 , u d  = (3; 2; − 18) nên () :3 x + 2y − 18z + 17 = 0.

18


HTTP://DETHITHPT.COM
Hai điểm D( −3; − 4; 0), E(1; − 1; 1) là các điểm chung của mặt phẳng (  ) và ( ), nên
phương trình cần tìm là  :

x −1 y +1 z −1
=
=
.
4
3
1

Cách 3: Xác đònh tọa độ hai giao điểm.
Gọi N 1 =   1  N 1 (2 + 3t 1 ; 1 + t 1 ; 1 + t 1 ) và N 2 =   2 thì
N 2 ( −1 − 2t 2 ; 2 + 3t 2 ; 1)  N 1N 2 ( −3 − 2t 2 − 3t 1 ; 1 + 3t 2 − t 1 ; − t 1 ).

Ta có  // d nên N 1N 2 // u d , do đó
t − 2t 2 = 3
t = 1
−3 − 2t 2 − 3t 1 1 + 3t 2 − t 1 −t 1
=
=
 1
 1

4
3
1
2t 1 + 3t 2 = −1
t 2 = −1
Vì thế N 1 (5; 2; 2), N 2 (1; − 1; 1). Phương trình đường thẳng cần tìm
x −1 y +1 z −1
:
=
=
.
4
3
1

3. Bài toán này cũng có thể giải bằng ba cách như bài toán trên. Ở đây, chúng tôi
giới thiệu cách 1.
Vì  cắt  1 và qua M, nên  nằm trong mặt phẳng (Q) chứa  1 và qua M(1; − 5; − 1). Ta
có M 1 (2; 1; 1)  1 ,MM 1 (1; 6; 2), u 1 (3;1;1).
Một véc tơ pháp tuyến của (Q) là n (Q) = u 1 , MM 1  = ( −4; − 5; 17) nên
(Q) : 4x + 5y − 17z + 4 = 0.

  (Q)
F =  2  (Q)  F( −1 − 2t;2 + 3t;1)
nên

   2 = F
4( −1 − 2t ) + 5(2 + 3t ) − 17 + 4 = 0  t = −1, nên F( −3; 5; 1).
Vậy  là đường thẳng M F.
Ta có MF( −4; 10;2) = 2( −2;5;1) nên phương trình  là

x −1 y + 5 z +1
:
=
=
.
−2
5
1

Ta

có

và

thỏa

mãn

Ví dụ 22. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC , biết:

1. Đỉnh A(1; - 3; 2), phương trình hai đường trung tuyến:
ìï x = 2 + 3t
ìï x = - 3t '
ïï
ïï
BM : í y = - 2 - 3t (t Ỵ ¡ ), CN : í y = - 1 (t, t ' Ỵ ¡ ).
ïï
ïï
ïïỵ z = - 1- t

ïïỵ z = 1 + 5t '
2. Đỉnh A(1; 2; 7) và phương trình hai đường cao:
x- 3 y- 2 z- 5
x- 1 y- 5 z- 4
BE :
=
=
, CF :
=
=
.
2
1
- 3
2
- 3
1
3. Đỉnh A(3; 2; 3), phương trình phân giác trong góc B và đường cao CK là:
x- 1 y- 4 z- 3
x- 2 y- 3 z- 3
BD :
=
=
, CK :
=
=
.
1
- 2
1

1
1
- 2
Lời giải.

1. Tọa độ của điểm B và trung điểm N của AB lần lượt là
B(2 + 3b; - 2 - 3b; - 1- b), N(- 3n; - 1; 1 + 5n).
Theo công thức tính tọa độ trung điểm, ta có

19


HTTP://DETHITHPT.COM
ìï x A + x B = 2x N ìï 1 + 2 + 3b = - 6n
ïï
ï
ïí y + y = 2y Û íï - 3 - 2 - 3b = - 2 Û ïíìï b = - 1
B
N
ïï A
ïï
ïn= 0
ïïỵ z A + z B = 2z N
ïïỵ 2 - 1- b = 2 + 10n ïỵ
uuur
Tọa độ điểm B(- 1; 1; 0) Þ AB(- 2; 4; - 2) = - 2(1; - 2; 1).
x- 1 y+ 3 z- 2
=
=
.

Phương trình đường thẳng chứa cạnh AB :
1
- 2
1
Tương tự, ta có M(2 + 3m; - 2 - 3m; - 1- m), C(- 3c; - 1; 1 + 5c) nên
ìï x A + x C = 2x M ìï 1- 3c = 4 + 6m
ïï
ï
ïí y + y = 2y Û íï - 3 - 1 = - 4 - 6m
ïíìï c = - 1
Û
C
M
ïï A
ïï
ïïỵ m = 0
ïïỵ z A + z C = 2z M
ïỵï 2 + 1 + 5c = - 2 - 2m
uuur
Tọa độ điểm C(3; - 1; - 4) Þ AC(2; - 2; - 2) = - 2(- 1; 1; 1).
x- 1 y+ 3 z- 2
=
=
.
Phương trình đường thẳng chứa cạnh AC :
- 1
1
1
uuur
Ta có BC(4; - 2; - 4) = - 2(- 2; 1: 2) nên phương trình đường thẳng chứa cạnh

x- 3 y+ 1 z+ 4
BC :
=
=
.
- 2
1
2
2. Phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; 2; 7) và vuông góc với BE là 2x + y - 3z + 17 = 0.
Ta có C = CF Ç (P) nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình
ìï x - 1 y - 5 z - 4
ïï
=
=
- 3
1 Þ C(13; - 13; 10).
í 2
ïï
ïỵ 2x + y - 3z + 17 = 0
(Q) qua A(1; 2; 7) và vuông góc với CF là
Phương trình mặt phẳng
(Q) : 2x - 3y + z - 3 = 0.
Ta có B = BF Ç (Q) nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương
ìï x - 3 y - 2 z - 5
ï
=
=
trình: ïí 2
1
- 3 Þ B(5; 3; 2).

ïï
ïỵ 2x - 3y + z - 3 = 0
Do đã biết tọa độ ba đỉnh của tam giác nên các phương trình đường thẳng chứa cạnh
của tam giác ABC là
ìï x = 1 + t
ìï x = 7 - t
ìï x = 1
ïï
ïï
ïï
AB : í y = 2 , BC : í y = 2 + 2t , CA : í y = 2 + 2t .
ïï
ïï
ïï
ïïỵ z = 5 - t
ïïỵ z = - 1
ïïỵ z = 5 - t
3. Mặt phẳng (a ) qua A(3; 2; 3) vuông góc với CK là
(a ) : x + y - 2z + 1 = 0.
Vì B = (a ) Ç BD nên tọa độ điểm B thỏa mãn hệ phương trình
ìï x + y - 2z + 1 = 0
ïï
í x - 1 y - 4 z - 3 Þ B(1; 4; 3).
ïï
=
=
ïỵ 1
- 2
1
Muốn tìm tọa độ điểm C ta tìm điểm A¢ đối xứng với điểm A qua phân giác trong góc

B. Điểm A¢ thuộc đường thẳng BC nên lập được phương trình đường thẳng BC và tìm
được C = BC Ç CK.
20


HTTP://DETHITHPT.COM
Gọi H là hình chiếu của A trên BD, suy ra H(1 + t; 4 - 2t;3 + t).
uuur
r
Ta có AH(t - 2; 2 - 2t; t), u BD (1; - 2; 1) nên
uuur r
AH.u BD = 0 Û 1.(t - 2) - 2.(2 - 2t) + t = 0 Û t = 1
Vậy H(2; 2; 4).
Gọi A¢ đối xứng với A qua BD thì A¢(1; 2; 5).
Đường thẳng BC là đường thẳng BA¢ nên có phương trình là
ìï x = 1
ïï
BC : í y = 2 - t .
ïï
ïïỵ z = 5 + t
ìï x C = 1 = 2 + c
ïï
Tọa độ điểm C thỏa mãn hệ ïí yC = 2 - t = 3 + c Þ C(1; 2;5).
ïï
ïïỵ z C = 5 + t = 3 - 2c
Phương trình các đường thẳng cần tìm là
ìï x = 3 - t
ìï x = 1
ìï x = 1- t
ïï

ïï
ïï
AB : í y = 2 + t , BC : í y = 2 - t , CA : í y = 2 .
ïï
ïï
ïï
ïïỵ z = 3
ïïỵ z = 5 + t
ïïỵ z = 5 + t
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số

ìï x = 2 + t
ïï
. Phương trình chính tắc của đường thẳng d là?
í y = - 3t
ïï
ïïỵ z = - 1 + 5t
A.

x- 2
y
z+ 1
=
=
1
- 3
5

B. x - 2 = y = z + 1

C.

x + 2 y z- 1
= =
- 1
3
- 5

D.

x+ 2
y
z- 1
=
=
1
- 3
5

Câu 2. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D có phương trình chính tắc
x- 3 y+ 1 z
=
= . Phương trình tham số của đường thẳng D là?
2
- 3
1

ìï x = 3 + 2t
ïï

A. í y = - 1- 3t
ïï
ïïỵ z = t

ìï x = 2 + 3t
ïï
B. í y = - 3 - t
ïï
ïïỵ z = t

ìï x = - 3 + 2t
ïï
C. í y = 1- 3t
ïï
ïïỵ z = t

ìï x = - 3 - 2t
ïï
D. í y = 1 + 3t
ïï
ïïỵ z = t

21


HTTP://DETHITHPT.COM
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ A cho đường thẳng d :

uur
đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương a d là

uur
A. M (- 2;1;3), a d = (2; - 1;3)
uur
C. M (2; - 1;3), a d = (- 2;1;3)

x + 2 y- 1 z- 3
=
=
. Đường thẳng d
2
- 1
3

uur
B. M (2; - 1; - 3), a d = (2; - 1;3)
uur
D. M (2; - 1;3), a d = (2; - 1; - 3)

ìï x = t - 2
ïï
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ A cho đường thẳng d : í y = 2 + 3t . Đường thẳng d đi qua
ïï
ïïî z = 1 + t
uur
điểm M và có vectơ chỉ phương a d là
uur
uur
A. M (- 2; 2;1), a d = (1;3;1)
B. M (1; 2;1), a d = (- 2;3;1)
uur

uur
C. M (2; - 2; - 1), a d = (1;3;1)
D. M (1; 2;1), a d = (2; - 3;1)
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình tham số của
r
đường thẳng d qua điểm M (- 2;3;1) và có vectơ chỉ phương a = (1; - 2; 2) ?

ìï x = - 2 + t
ïï
A. í y = 3 - 2t
ïï
ïïî z = 1 + 2t

ìï x = 1 + 2t
ïï
B. í y = - 2 - 3t
ïï
ïïî z = 2 - t

ìï x = 1- 2t
ïï
C. í y = - 2 + 3t
ïï
ïïî z = 2 + t

ìï x = 2 + t
ïï
D. í y = - 3 - 2t
ïï
ïïî z = - 1 + 2t

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc D
của đường thẳng đi qua hai điểm A (1; - 2;5) và B(3;1;1)?
A.

x- 1 y+ 2 z- 5
=
=
2
3
- 4

B.

x- 3 y- 1 z- 1
=
=
1
- 2
5

C.

x + 1 y- 2 z + 5
=
=
2
3
- 4

D.

x- 1 y+ 2 z- 5
=
=
3
1
1

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ A cho tam giác ABC có A (- 1;3;2), B(2;0;5),C(0; - 2;1).
Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC là.
A.

x + 1 y- 3 z- 2
=
=
2
- 4
1

B.

x- 1 y+ 3 z+ 2
=
=
2
- 4
1

C.

x- 1 y+ 3 z+ 2
=
=
- 2
4
- 1

D.

x- 2 y+ 4 z+ 1
=
=
1
- 1
3
22


HTTP://DETHITHPT.COM
uur uur
Câu 8.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác a D = n P = (2; - 1;1) với

A (1;4; - 1), B(2;4;3),C(2;2; - 1). Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song
với BC là

ìï x = 1
ïï
A. í y = 4 + t
ïï

ïïî z = - 1 + 2t

ìï x = 1
ïï
B. í y = 4 + t
ïï
ïïî z = 1 + 2t

ìï x = 1
ïï
C. í y = 4 + t
ïï
ïïî z = - 1- 2t

ìï x = 1
ïï
D. í y = 4 - t
ïï
ïïî z = - 1 + 2t

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz . Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm

M (1;3;4) và song song với trục hoành là.
ìï x = 1 + t
ïï
A. í y = 3
ïï
ïïî y = 4

ìï x = 1

ïï
B. í y = 3 + t
ïï
ïïî y = 4

ìï x = 1
ïï
C. í y = 3
ïï
ïïî y = 4 - t

ìï x = 1
ïï
D. í y = 3
ïï
ïïî y = 4 + t

ìï x = 1- 2t
ïï
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : í y = t
. Phương trình
ïï
ïïî z = - 3 + 2t
chính tắc của đường thẳng D đi qua điểm A (3;1; - 1) và song song với d là
A.

x- 3 y- 1 z + 1
=
=
- 2

1
2

B.

x + 3 y+ 1 z- 1
=
=
- 2
1
2

C.

x + 2 y- 1 z- 2
=
=
3
1
- 1

D.

x- 2 y+ 1 z+ 2
=
=
3
1
- 1

Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ A cho đường thẳng d :

x - 2 y- 1 z- 3
=
=
. Phương trình
2
- 1
3

tham số của đường thẳng D đi qua điểm M (1;3; - 4) và song song với d là

ìï x = 1 + 2t
ïï
A. í y = 3 - t
ïï
ïïî z = - 4 + 3t

ìï x = - 1 + 2t
ïï
B. í y = - 3 - t
ïï
ïïî z = 4 + 3t

23


HTTP://DETHITHPT.COM
ìï x = - 1 + 2t
ïï

C. í y = - 3 - t
ïï
ïïî z = 4 + 3t

ìï x = 2 + t
ïï
D í y = - 1 + 3t
ïï
ïïî z = 3 - 4t

Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ A cho mặt phẳng (P): 2x - y + z - 3 = 0 . Phương trình chính
tắc của của đường thẳng D đi qua điểm M(- 2;1;1) và vuông góc với (P) là
A.

x + 2 y- 1 z- 1
=
=
2
- 1
1

B.

x- 2 y- 1 z- 1
=
=
2
- 1
1

C.

x + 2 y- 1 z- 1
=
=
2
1
1

D.

x + 2 y- 1 z- 1
=
=
2
- 1
- 1

Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (a ): x - 2y + 2z - 3 = 0 .Phương trình
tham số của đường thẳng d đi qua A (2;1; - 5) và vuông góc với (a ) là

ìï x = 2 + t
ïï
A. í y = 1- 2t
ïï
ïïî z = - 5 + 2t

ìï x = - 2 - t
ïï
B. í y = - 1 + 2t

ïï
ïïî z = 5 - 2t

ìï x = - 2 + t
ïï
C. í y = - 1- 2t
ïï
ïïî z = 5 + 2t

ìï x = 1 + 2t
ïï
D. í y = - 2 + t
ïï
ïïî z = 2 - 5t

Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ A phương trình đường thẳng D đi qua điểm A (2; - 1;3) và
vuông góc với mặt phẳng (Oxz) là.

ìï x = 2
ïï
A. í y = - 1 + t
ïï
ïïî z = 3

ìï x = 2
ïï
B. í y = 1 + t
ïï
ïïî z = 3

ìï x = 2
ïï
C. í y = 1- t
ïï
ïïî z = 3

ìï x = 2 + t
ïï
Dí y = - 1
ïï
ïïî z = 3 + t

Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng D đi qua điểm
r
r
M(2;1; - 5), đồng thời vuông góc với hai vectơ a = (1; 0;1)và b = (4;1; - 1) là
A.

x- 2 y- 1 z + 5
=
=
- 1
5
1

B.

x + 2 y+ 1 z- 5
=
=

- 1
5
1

C.

x + 2 y+ 1 z- 5
=
=
1
- 5
- 1

D.

x + 1 y- 5 z- 1
=
=
2
1
- 5

24