LOGARIT c2 PHƯƠNG TRÌNH, bất PHƯƠNG TRÌNH mũ (lý thuyết + bài tập vận dụng có lời giải) image marked

HTTP://DETHITHPT.COM

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Phương trình mũ cơ bản a x = b ( a  0, a  1) .
● Phương trình có một nghiệm duy nhất khi b  0 .
● Phương trình vô nghiệm khi b  0 .
2. Biến đổi, quy về cùng cơ số

a

f ( x)

=a

g ( x)

0  a  1
.
 a = 1 hoặc 
 f ( x ) = g ( x )

3. Đặt ẩn phụ

f  a g ( x )  = 0

g ( x)

t = a  0
.
( 0  a  1)  

f
t
=
0
(
)



Ta thường gặp các dạng:
● m.a 2 f ( x ) + n.a f ( x ) + p = 0
1
● m.a f ( x ) + n.b f ( x ) + p = 0 , trong đó a.b = 1 . Đặt t = a f ( x ) , t  0 , suy ra b f ( x ) = .
t

● m.a

2 f ( x)

+ n. ( a.b )

f ( x)

+ p.b

2 f ( x)

= 0 . Chia hai vế cho b

2 f ( x)

a
và đặt  
b

f ( x)

=t 0.

4. Logarit hóa
0  a  1, b  0
● Phương trình a f ( x ) = b  
.
 f ( x ) = log a b
f x
g x
f x
g x
● Phương trình a ( ) = b ( )  log a a ( ) = log a b ( )  f ( x ) = g ( x ) .log a b
f x
g x
hoặc logb a ( ) = logb b ( )  f ( x ) .logb a = g ( x ) .

5. Giải bằng phương pháp đồ thị
o Giải phương trình: a x = f ( x ) ( 0  a  1) .

( )

o Xem phương trình ( ) là phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị y = a x

y = f ( x ) . Khi đó ta thực hiện hai bước:
➢ Bước 1. Vẽ đồ thị các hàm số y = a x ( 0  a  1) và y = f ( x ) .

( 0  a  1)

và


HTTP://DETHITHPT.COM
➢ Bước 2. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của hai đồ thị.

6. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
o Tính chất 1. Nếu hàm số y = f ( x ) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên ( a; b ) thì số
nghiệm của phương trình f ( x ) = k trên ( a; b ) không nhiều hơn một và f ( u ) = f ( v )  u = v,

u, v  ( a; b ) .
o Tính chất 2. Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) ; hàm số

y = g ( x ) liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của
phương trình f ( x ) = g ( x ) khơng nhiều hơn một.
o Tính chất 3. Nếu hàm số y = f ( x ) luôn đồng biến (hoặc ln nghịch biến) trên D thì bất
phương trình f ( u )  f ( v )  u  v ( hoac u  v ) , u, v  D .
7. Sử dụng đánh giá
o Giải phương trình f ( x ) = g ( x ) .

 f ( x )  m
 f ( x ) = m
o Nếu ta đánh giá được 
thì f ( x ) = g ( x )  
.

 g ( x )  m
 g ( x ) = m
8. Bất phương trình mũ
• Khi giải bấ t phương triǹ h mũ, ta cầ n chú ý đế n tiń h đơn điê ̣u của hàm số mũ.

a

f ( x)

a

g ( x)

 a  1

 f ( x )  g ( x )
. Tương tự với bấ t phương trình da ̣ng:

0

a

1



  f ( x )  g ( x )


a f ( x)  a g ( x)

 f ( x)
 a g( x)
a
 f ( x)
g x
a ( )
 a

• Trong trường hơ ̣p cơ số a có chứa ẩ n số thi:̀ a M  a N  ( a − 1)( M − N )  0 .
• Ta cũng thường sử du ̣ng các phương pháp giải tương tự như đố i với phương triǹ h mũ:
+ Đưa về cùng cơ số .
+

Đă ̣t ẩ n phu ̣.

+

Sử du ̣ng tính đơn điê ̣u: 

 y = f ( x ) đồ ng biế n trên D thi:̀ f ( u )  f ( v )  u  v
 y = f ( x ) nghich
̣ biế n trên D thì: f ( u )  f ( v )  u  v

Chủ đề 3.4 - PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
NHẬN BIẾT – THƠNG HIỂU


HTTP://DETHITHPT.COM
Câu 1. Cho phương trình 3x
A. 28

2

− 4 x +5

= 9 tổng lập phương các nghiệm thực của phương trình là:

B. 27

C. 26

D. 25

Hướng dẫn giải

3x

2

− 4 x +5

x = 1
= 9  x2 − 4 x + 5 = 2  x2 − 4 x + 3 = 0  
x = 3

Suy ra 13 + 33 = 28 . Chọn đáp án A
Câu 2. Cho phương trình : 3x

2

−3 x +8

= 92x −1 , khi đó tập nghiệm của phương trình là:

A. S = 2;5

 −5 − 61 −5 + 61 
B. S = 
;

2
2




 5 − 61 5 + 61 

C. S = 
;

2 

 2


D. S = −2; −5 .
Hướng dẫn giải

3x

2

−3 x +8

 3x

2

= 92x −1

−3 x +8

x = 5
= 34x − 2  x 2 − 3 x + 8 = 4x − 2  x 2 − 7 x + 10 = 0  
x = 2

Vậy S = 2;5
x

1− x

Câu 3. Phương trình 3
A. 1.

1
= 2 +   có bao nhiêu nghiệm âm?
9

B. 3.

C. 2.

D. 0.

Hướng dẫn giải
x

Phương trình tương đương với

x

2x

3
1
1
1
= 2 +    3.   = 2 +   .
x
3
9
 3
 3

x
t = 1
1
Đặt t =   , t  0 . Phương trình trở thành 3t = 2 + t 2  t 2 − 3t + 2 = 0  
.

3
t = 2
x

1
● Với t = 1, ta được   = 1  x = 0 .
3
x

1
● Với t = 2 , ta được   = 2  x = log 1 2 = − log3 2  0 .
 3
3
Vậy phương trình có một nghiệm âm.


HTTP://DETHITHPT.COM

 1 
Câu 4. Số nghiệm của phương trình 9 + 9. 

 3
x
2

A. 2.

2 x+2

− 4 = 0 là:

B. 4.

C. 1.

D. 0.

Hướng dẫn giải
1
Phương trình tương đương với 3 + 9.  
3

x +1

−4=0

x

x

1
1
 3x + 3.   − 4 = 0  3x + 3. x − 4 = 0  32 x − 4.3x + 3 = 0 .
3
3

t = 1
Đặt t = 3x , t  0 . Phương trình trở thành t 2 − 4t + 3 = 0  
.
t = 3

● Với t = 1, ta được 3x = 1  x = 0 .
● Với t = 3 , ta được 3x = 3  x = 1 .
Vậy phương trình có nghiệm x = 0 , x = 1 .
Câu 5. Cho phương trình : 2

28
x+ 4
3

= 16x

2

−1

. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.
B. Tổng các nghiệm của phương tình là một số nguyên .
C. Nghiệm của phương trình là các số vơ tỉ.
D. Phương trình vơ nghiệm.
Hướng dẫn giải

2

28
x+4
3

 x  −1  x  1


 x  −1  x  1
 x=3
 x = 3  x = − 2
28

x 2 −1
2
2


= 16

x + 4 = 4 ( x − 1)    7 x + 3 = 3x − 3  
7.
3
3
x=−

 7 x + 3 = −3x 2 + 3 
7
3


 x = 0  x = −
3
 

 7 
Nghiệm của phương trình là : S = − ;3 .

 3 
7
Vì − .3 = −7  0 . Chọn đáp án A
3

Câu 6. Phương trình 28− x .58− x = 0, 001. (105 )
2

A. 5

2

B. 7

1− x

có tổng các nghiệm là:
C. 7

Hướng dẫn giải

D. – 5


HTTP://DETHITHPT.COM

( 2.5)

8− x 2

= 10−3.105−5 x  108− x = 102−5 x  8 − x 2 = 2 − 5 x  x = −1; x = 6
2

Ta có : −1 + 6 = 5 . Chọn đáp án A
Câu 7. Phương trình 9 x − 5.3x + 6 = 0 có nghiệm là:
A. x = 1, x = log3 2

B. x = −1, x = log3 2

C. x = 1, x = log 2 3

D. x = −1, x = − log3 2

Hướng dẫn giải
Đặt t = 3x ( t  0 ), khi đó phương trình đã cho tương đương với

t = 2  x = log3 2
t 2 − 5t + 6 = 0  

t = 3
x = 1
Câu 8. Cho phương trình 4.4 x − 9.2 x+1 + 8 = 0 . Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Khi đó,
tích x1.x2 bằng :
A. −2

C. −1

B. 2

D. 1

Hướng dẫn giải
Đặt t = 2 x ( t  0 ), khi đó phương trình đã cho tương đương với

t = 4
x = 2
4t − 18t + 8 = 0   1   1
t =
 x2 = −1
 2
2

Vậy x1.x2 = −1.2 = −2 . Chọn đáp án A
Câu 9. Cho phương trình 4 x − 41− x = 3 . Khẳng định nào sau đây sai?
A. Phương trình vơ nghiệm
B. Phương trình có một nghiệm
C. Nghiệm của phương trình là ln lớn hơn 0
D. Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 42x − 3.4 x − 4 = 0
Hướng dẫn giải
Đặt t = 4 x ( t  0 ), khi đó phương trình đã cho tương đương với

t = 4
t 2 − 3t − 4 = 0  
 x =1
t = −1( L)
Chọn đáp án A
Câu 10. Cho phương trình 9 x
A. −2

2

+ x −1

B. 2

− 10.3x

2

+ x−2

+ 1 = 0. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là:

C. 1
Hướng dẫn giải

D. 0


HTTP://DETHITHPT.COM
Đặt t = 3x

2

+ x −1

( t  0 ), khi đó phương trình đã cho tương đương với

 x = −2
2

3x + x −1 = 3
t = 3
x = 1
2


3t − 10t + 3 = 0 
 x2 + x −1 1  
3
t = 1
x = 0
=

 3

3
 x = −1
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng −2.

Câu 11. Nghiệm của phương trình 2 x + 2 x +1 = 3x + 3x +1 là:
A. x = log 3
2

3
4

C. x = 0

B. x = 1

D. x = log 4
3

2
3

Hướng dẫn giải
x

2 +2
x

x +1

= 3 +3
x

x +1

3
3 3
 3.2 = 4.3    =  x = log 3
2 4
2 4
x

x

Câu 12. Nghiệm của phương trình 22 x − 3.2 x+ 2 + 32 = 0 là:
C. x 2;8

B. x 4;8

A. x 2;3

D. x 3;4

Hướng dẫn giải
2x = 8
x = 2
22 x − 3.2 x + 2 + 32 = 0  22 x − 12.2 x + 32 = 0   x

x = 3
2 = 4

Câu 13. Nghiệm của phương trình 6.4 x − 13.6 x + 6.9 x = 0 là:
2 3
B. x   ; 
3 2

A. x 1; −1

C. x −1;0

D. x 0;1

Hướng dẫn giải
2x

x

3
3
6.4 − 13.6 + 6.9 = 0  6   − 13   + 6 = 0
2
2
x

x

x

 3  x 3
  =
2
x = 1
2


x
 3
 x = −1
  = 2
3
 2 

Câu 14. Nghiệm của phương trình 12.3x + 3.15x − 5x+1 = 20 là:
A. x = log3 5 − 1

B. x = log3 5

C. x = log3 5 + 1
Hướng dẫn giải

D. x = log5 3 − 1


HTTP://DETHITHPT.COM

12.3x + 3.15x − 5x+1 = 20  3.3x ( 5x + 4 ) − 5 ( 5x + 4 ) = 0  ( 5 x + 4 )( 3x+1 − 5 ) = 0

 3x+1 = 5  x = log3 5 − 1
Câu 15. Phương trình 9 x − 5.3x + 6 = 0 có tổng các nghiệm là:

A. log3 6

B. log 3

2
3

C. log 3

3
2

D. − log3 6

Hướng dẫn giải
9 x − 5.3x + 6 = 0

(1)  ( 32 )

x

(1)

− 5.3x + 6 = 0  ( 3x ) − 5.3x + 6 = 0
2

(1')

t = 2 ( N )
Đă ̣t t = 3x  0 . Khi đó: (1')  t 2 − 5t + 6 = 0  
t = 3 ( N )
Với t = 2  3x = 2  x = log 3 2 .
Với t = 3  3x = 3  x = log 3 3 = 1 .
Suy ra 1 + log3 2 = log3 3 + log3 2 = log3 6
Câu 16. Cho phương trình 21+ 2 x + 15.2 x − 8 = 0 , khẳng định nào sau dây đúng?

A. Có một nghiệm.

B. Vơ nghiệm

C. Có hai nghiệm dương

D. Có hai nghiệm âm
Hướng dẫn giải

21+ 2 x + 15.2 x − 8 = 0

( 2)

( 2)  2.22 x + 15.2x − 8 = 0  2. ( 2x )

2

+ 15.2 x − 8 = 0

( 2' )

 1
t=
Đă ̣t t = 2  0 . Khi đó: ( 2 ')  2t + 15t − 8 = 0   2

t = −8
x

Với t =

2

(N)
( L)

1
1
1
 2 x =  x = log 2  x = −1
2

2
2

Câu 17. Phương trình 5x + 251− x = 6 có tích các nghiệm là :
 1 + 21 

 2 

A. log 5 

 1 − 21 

 2 

B. log 5 

C. 5

Hướng dẫn giải

 1 + 21 

 2 

D. 5log 5 


HTTP://DETHITHPT.COM

(1)

5x + 251− x = 6

(1)  5x +

25
25
25
− 6 = 0  5x +
− 6 = 0  5x +
−6 = 0
x
x
2
x 2
25
5
5
( )
( )

(6 ') .

Đă ̣t t = 5 x  0 .


t = 5

25
1 + 21

3
2
Khi đó: ( 6 ')  t + 2 − 6 = 0  t − 6t + 25 = 0  ( t − 5 ) ( t − t − 5 ) = 0  t =
t
2

t = 1 − 21

2

Với t = 5  5x = 5  x = 1 .
Với t =

 1 + 21 
1 + 21
1 + 21
 5x =
 x = log5 
 .
2
2
 2 

 1 + 21 
 1 + 21 
Suy ra: 1.log 5 
 = log 5 

 2 
 2 

(

Câu 18. Phương trình 7 + 4 3
A. x = log 2+

(

3

)

) + (2 + 3)
x

x

= 6 có nghiệm là:

(

B. x = log 2 3

2

)

C. x = log 2 2 + 3 D. x = 1

Hướng dẫn giải

(

Đặt t = 2 + 3

)

x

( t  0 ), khi đó phương trình đã cho tương đương với

t = 2
t2 + t − 6 = 0  
 x = log 2+ 3 2
( )
t = −3( L)
x

1
Câu 19. Tập nghiệm của bất phương trình    32 là:
2

B. x  ( −;5)

A. x  ( −; −5)

C. x  ( −5; + )

D. x  ( 5; + )

Hướng dẫn giải
x

x

−5

1 1
1
   32        x  −5
2 2
2

Câu 20. Cho hàm số f ( x ) = 22 x.3sin x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
2

A. f ( x )  1  x ln 4 + sin 2 x ln 3  0 .

B. f ( x )  1  2 x + 2sin x log 2 3  0

C. f ( x )  1  x log3 2 + sin 2 x  0 .

D.

f ( x )  1  2 + x2 log 2 3  0 .

(N)
(N )
( L)

HTTP://DETHITHPT.COM
Hướng dẫn giải

(

f ( x )  1  ln 22x.3sin

2

x

)  ln1  x ln 4 + sin x ln 3  0
2

Chọn đáp án A

Câu 21. Tập nghiệm của bất phương trình 2 x + 2 x +1  3x + 3x −1
A. x  2; + )

C. x  ( −;2 )

B. x  ( 2; + )

D. ( 2;+ )

Hướng dẫn giải
x

2 +2

x

x +1

 3 +3
x

x −1

4
3 9
 3.2  .3x      x  2
3
4
2
x

x

1
Câu 22. Nghiệm của bất phương trình    3 x+1 là :
9

 x  −2

2x

C. −1  x  0

B. x  −2

A. 
 −1  x  0

D. −1  x  0

Hướng dẫn giải
Điề u kiê ̣n: x  −1
−2 x

pt  3


3

2x
x +1

 −2 x 

2x
2x
 1


+ 2x  0  2x 
+ 1  0
x +1
x +1
 x +1 

2x ( x + 2)
 x  −2
 x  −2
0
. Kế t hơ ̣p với điề u kiê ̣n  
x +1
 −1  x  0
 −1  x  0

Câu 23. Nghiệm của bất phương trình 16 x − 4 x − 6  0 là
A. x  log 4 3.

B. x  log 4 3.

C. x  1.
Hướng dẫn giải

Đặt t = 4 x ( t  0 ), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với
t 2 − t − 6  0  −2  t  3  0  t  3  x  log 4 3.

Câu 24. Tập nghiệm của bất phương trình

x  1
A. 
 x  log3 2

3x
 3 là:
3x − 2

B. x  log3 2 C. x  1

D. log3 2  x  1

Hướng dẫn giải

D. x  3


HTTP://DETHITHPT.COM
3 x  3
x  1
3x
3x − 3
3 x
0 x

x
3 −2
3 −2
 x  log 3 2
3  2

Câu 25. Tập nghiệm của bất phương trình 11

x +6

 11x là:
C. x  3

B. x  −6

A. −6  x  3

D. 

Hướng dẫn giải

11

x+6

 x  0
 −6  x  0

x
+
6

0


 11x  x + 6  x  
  x  0
 −6  x  3
 x  0

 −2  x  3


  x + 6  x 2

Câu 26. Tập nghiệm của bất phương trình
A. −1  x  1

1
1
 x+1
là:
3 + 5 3 −1
x

B. x  −1

C. x  1

D. 1  x  2

Hướng dẫn giải
Đặt t = 3x ( t  0 ), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với

3t − 1  0
1
1
1


  t  3  −1  x  1.
t + 5 3t − 1
3

3t − 1  t + 5
x2 − x +1

2x −1

5
5
Câu 27. Cho bất phương trình  
   , Tập nghiêm của bất phương trình có dạng S = ( a; b ) .
7
7
Giá trì của biểu thức A = b − a nhận giá trị nào sau đây?
B. −1

A. 1

C. 2

D. −2

Hướng dẫn giải

5
 
7

x2 − x +1

5
 

7

2x −1

 x 2 − x + 1  2x − 1  x 2 − 3x + 2  0  1  x  2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (1;2) . Chọn đáp án A
Câu 28. Tập nghiệm của bất phương trình 4 x − 3.2 x + 2  0 là:
A. x  ( −;0)  (1; + )

B. x  ( −;1)  ( 2; + )

C. x  ( 0;1)

D. x  (1;2 )
Hướng dẫn giải

2x  2
x  1

4 − 3.2 + 2  0   x
x  0
2  1
x

x

Câu 29. Tập nghiệm của bất phương trình 3x.2 x+1  72 là

HTTP://DETHITHPT.COM
A. x  2; + )

D. x  ( −;2

C. x  ( −;2 )

B. x  ( 2; + )

Hướng dẫn giải

3x.2 x +1  72  2.6 x  72  x  2
x

Câu 30. Tập nghiệm của bất phương trình 3x +1 − 22 x +1 − 12 2  0 là:
A. x  ( 0; + )

C. x  ( −;0 )

B. x  (1; + )

D. x  ( −;1)

Hướng dẫn giải

3

x +1

−2

2 x +1

x

x

 16  2  4  2
− 12  0  3.9 − 2.16 − 12  0  3. − 2.   −    0
 9  3
x
2

x
2

x
2

x
2

x

 4 2
   1  x  0
3
Câu 31. Tập nghiệm của bất phương trình




A. x   0;log 3 3

2 

2.3x − 2 x + 2
 1 là:
3x − 2 x
C. x  (1;3

B. x  (1;3)



D. x  0;log 3 3

2 

Hướng dẫn giải
x

x

2.3x − 2 x + 2
3x − 2 x

3
3
2.   − 4
2.   − 4

2
2
 1   x
−1  0
 1   x
3
3
  −1
  −1
2
2

x

3
x
  −3
2
3
  x
 0  1     3  0  x  log 3 3
2
3
2
  −1
2
 
1

3

 2 x  2 
Câu 32. Tập nghiệm của bất phương trình 
 
 là:
 5  5
 1
A.  0; 
 3

 1
B.  0; 
 3

1

C.  −; 
3


1

D.  −;   ( 0; + )
3


Hướng dẫn giải
Vì

2

1
1 − 3x
1
00 x .
 1 nên bất phương trình tương đương với  3 
x
x
3
5


HTTP://DETHITHPT.COM
 1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  0;  .
 3

Câu 33. Nghiệm của bất phương trình 2 x + 4.5 x − 4  10 x là :

x  0
x  2

B. x  0

A. 

D. 0  x  2

C. x  2
Hướng dẫn giải

2 x + 4.5 x − 4  10 x  2 x − 10 x + 4.5x − 4  0  2 x (1 − 5 x ) − 4 (1 − 5 x )  0  (1 − 5 x )( 2 x − 4 )  0
 1 − 5 x  0
 5 x  1
 x
 x
x  2
 2 − 4  0
 2  4



 x  ( −;0 )  ( 2; + )
x
x
x0


1
−
5

0
5

1






 2 x − 4  0
 2 x  4



Câu 34. Tập nghiệm của bất phương trình 2 x − 21−

B. ( −8;0 )

A. −1  x  1

x

 1 là con của tập nào sau đây?

D. ( 0;1

C. (1;9 )
Hướng dẫn giải

2 x − 21−

(1)  2

x

x

(1) . Điề u kiê ̣n:

1
−

2
2

x

1

x0

( 2 ) . Đă ̣t t = 2

x

. Do x  0  t  1

t  1
t  1
1 t  2 1 2
( 2 )   2   2
t
−

1
t
−
t
−

2

0

 t

 2  0  x 1

x

Chủ đề 3.4 - PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
VẬN DỤNG
Câu 35. Nghiệm của phương trình 4x

2

−3 x + 2

+ 4x +6 x+5 = 42 x +3x+7 + 1 là:
2

A. x −5; −1;1;2 B. x −5; −1;1;3

2

C. x −5; −1;1; −2

D. x 5; −1;1;2

Hướng dẫn giải

4x −3x+2 + 4x +6 x+5 = 42 x +3x+7 + 1  4x
2

 4x

2

2

−3 x + 2

(1− 4

2

x2 + 6 x +5

) − (1− 4

x2 + 6 x +5

2

−3 x + 2

+ 4x

2

+ 6 x +5

) = 0  (4

x 2 −3 x + 2

−3 x + 2

2

+ 6 x +5

+1

− 1 1 − 4x

+ 6 x +5

)=0

= 4x

2

.4x

)(

 4 x −3 x + 2 − 1 = 0
 x 2 − 3x + 2 = 0

 x = −1  x = −5




2
2
 x = 1 x = 2
1 − 4 x +6 x +5 = 0
 x + 6x + 5 = 0
2

2


HTTP://DETHITHPT.COM
Câu 36. Phương trình

(

A. 1

3− 2

) +(
x

3+ 2

) = ( 10 )

B. 2

x

x

có tất cả bao nhiêu nghiệm thực.

C. 3

D. 4

Hướng dẫn giải

(

3− 2

) +(
x

3+ 2

) = ( 10 )
x

x

x

x

 3− 2  3+ 2
 
 +
 =1
10  
10 


x

 3− 2  3+ 2
Xét hàm số f ( x ) = 
 +

10  
10 


x

Ta có: f ( 2) = 1
Hàm số f ( x ) nghịch biến trên ¡ do

3− 2
3+ 2
 1;
1

10
10

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2
Câu 37. Phương trình 32 x + 2 x ( 3x + 1) − 4.3x − 5 = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm.
A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Hướng dẫn giải
32 x + 2 x ( 3x + 1) − 4.3x − 5 = 0  ( 32 x − 1) + 2 x ( 3x + 1) − ( 4.3x + 4 ) = 0
 ( 3x − 1)( 3x + 1) + ( 2 x − 4 ) ( 3x + 1) = 0  ( 3x + 2 x − 5 )( 3x + 1) = 0  3x + 2 x − 5 = 0

Xét hàm số f ( x ) = 3x + 2 x − 5 , ta có : f (1) = 0

f ' ( x ) = 3x ln 3 + 2  0; x  ¡ . Do đó hàm số f ( x ) đồng biến trên ¡
Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x = 1
Câu 38. Phương trình 2x −3 = 3x

2

−5 x + 6

có hai nghiệm x1 , x2 trong đó x1  x2 , chọn phát biểu đúng?

A. 3x1 − 2 x2 = log3 54

B. 2 x1 − 3x2 = log3 54

C. 2 x1 + 3x2 = log3 54

D. 3x1 + 2 x2 = log3 54
Hướng dẫn giải

Lấ y logarit cơ số 2 hai vế (hoă ̣c có thể lấ y log3 hai vế ), ta đươ ̣c: ( 3)  log 2 2 x −3 = log 3 3x
 ( x − 3) log 2 2 = ( x 2 − 5 x + 6 ) log 2 3  ( x − 3) − ( x − 2 )( x − 3) log 2 3 = 0

2

−5 x + 6


HTTP://DETHITHPT.COM
x = 3
x − 3 = 0
x = 3
 ( x − 3) . 1 − ( x − 2 ) log 2 3 = 0  


1

1 − ( x − 2 ) log 2 3 ( x − 2 ) log 2 3 = 1  x − 2 = log 3

2

x = 3

x = 3
x = 3



 x = log3 2 + 2  x = log3 2 + log3 9  x = log3 18

(

Câu 39. Cho phương trình 7 + 4 3

) + (2 + 3)
x

x

= 6 . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Phương trình có một nghiệm vơ tỉ

B. Phương trình có một nghiệm hữu tỉ

C. Phương trình có hai nghiệm trái dấu

D. Tích của hai nghiệm bằng −6

Hướng dẫn giải

(

7+4 3

) (
x

+ 2+ 3

(

)

(

)

x

)

x

(8)

=6

(

2
(8)   2 + 3  + 2 + 3




Đă ̣t t = 2 + 3

x

)

x

(

)

2

(

x
−6 = 0   2+ 3  + 2+ 3



)

x

−6 = 0

(8' )

0.

t = 2
Khi đó: ( 8')  t 2 + t − 6 = 0  
t = −3

(N)
.
( L)

(

Với t = 2  2 + 3

)

x

= 2  x = log 2+ 3 2
( )

Chọn đáp án A
Câu 40. Phương trình 33+3 x + 33−3 x + 34+ x + 34− x = 103 có tổng các nghiệm là :

A. 0

B. 2

C. 3

D. 4

Hướng dẫn giải
33+3 x + 33−3 x + 34+ x + 34− x = 103

( 7 )  27.33 x +
Đă ̣t t = 3x +

(7)

27
81
1

+ 81.3x + x = 103  27.  33 x + 3 x
3x
3
3
3



 x 1
 + 81.  3 + x
3





3
 = 10


1 Côsi
1
 2 3x. x = 2
x
3
3
3

1
1
1
1
1

 t =  3x + x  = 33 x + 3.32 x. x + 3.3x. 2 x + 3 x  33 x + 3 x = t 3 − 3t
3 
3
3
3
3

3

Khi đó: ( 7 ')  27 ( t 3 − 3t ) + 81t = 103  t 3 =
Với t =

10
1 10
 3x + x =
3
3
3

( 7 '')

103
10
t = 2
27
3

(N )

(7 ')


HTTP://DETHITHPT.COM
y = 3
1 10
2
Đă ̣t y = 3  0 . Khi đó: ( 7 '')  y + =  3 y − 10 y + 3 = 0  
y = 1
y 3

3
x

(N)
(N)

Với y = 3  3x = 3  x = 1
Với y =

1
1
 3 x =  x = −1
3
3

Câu 41. Phương trình 9sin x + 9cos x = 6 có họ nghiệm là :
2

2

A. x =

π kπ
+ , (k  ¢ )
4 2

B. x =

π kπ
+ , (k  ¢ )
2 2

C. x =

π kπ
+ , (k  ¢ )
6 2

D. x =

π kπ
+ , (k  ¢ )
3 2

Hướng dẫn giải
9sin x + 9cos x = 6  91−cos x + 9cos x = 6 
2

2

2

9

2

Đă ̣t t = 9cos x , (1  t  9 ) . Khi đó: (*) 
2

9cos

(*)

+ 9cos x − 6 = 0
2

2

x

9
+ t − 6 = 0  t 2 − 6t + 9 = 0  t = 3
t

Với t = 3  9cos x = 3  32cos x = 31  2cos 2 x − 1 = 0  cos 2 x = 0  x =
2

2

(

Câu 42. Với giá trị nào của m thì phương trình 2 + 3

B. m  2

A. m  2

x

(

) + (2 − 3)

x

)(

)

(

(

Đă ̣t t = 2 + 3

(1)  t +

)

x

(

 2− 3

)

x

) (2 − 3 )
x

x

1
= , t  ( 0, + ) .
t

1
1
= m  f (t ) = t + = m
t
t

x

= m có hai nghiệm phân biệt?

D. m  2

Hướng dẫn giải câu 25 & 26
Nhâ ̣n xét: 2 + 3 2 − 3 = 1  2 + 3

= m vô nghiệm?

D. m  2

C. m = 2

B. m  2

(

x

C. m = 2

Câu 43. Với giá trị nào của m thì phương trình 2 + 3

A. m  2

) + (2 − 3)

π kπ
+
, (k  ¢ )
4 2

(1') , t  ( 0, + ) .

= 1.


HTTP://DETHITHPT.COM
Xét hàm số f ( t ) = t +
Ta có: f ' ( t ) = 1 −

1
xác đinh
̣ và liên tu ̣c trên ( 0, + ) .
t

1 t 2 −1

= 2 . Cho f ' ( t ) = 0  t = 1 .
t2
t

Bảng biế n thiên:

−1

t

+

1

0

f ' (t )

−

+

0

+

+
f (t )
2

Dựa vào bảng biế n thiên:
+

Nế u m  2 thì phương triǹ h (1') vô nghiê ̣m  pt (1) vô nghiê ̣m.

Bài 25 chọn đáp án A
+

Nế u m = 2 thì phương triǹ h (1') có đúng mô ̣t nghiê ̣m t = 1  pt (1) có đúng mô ̣t nghiê ̣m

(

t = 2+ 3
+

)

x

=1 x = 0 .

Nế u m  2 thì phương triǹ h (1') có hai nghiê ̣m phân biê ̣t  pt (1) có hai nghiê ̣m phân biê ̣t.
Bài 26 chọn đáp án A

Câu 44. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình 2x

2

+4

=2

(

) + 22( x +2) − 2x +3 + 1 . Khi đó, tổng hai

2 x2 +1

2

2

nghiệm bằng
C. −2

B. 2

A. 0

D. 1

Hướng dẫn giải

2x

2

+4

=2

(

) + 22( x +2) − 2 x

2 x2 +1

Đặt t = 2 x

2

+1

(t  2)

2

2

+3

+ 1  8.2 x

2

+1

=2

(

) + 4.22( x +1) − 4.2 x

2 x2 +1

2

2

+1

+1

, phương trình trên tương đương với

8t = t 2 + 4t 2 − 4t + 1  t 2 − 6t −1 = 0  t = 3 + 10 (vì t  2 ). Từ đó suy ra


HTTP://DETHITHPT.COM

3 + 10
 x1 = log 2
2
2
2 x +1 = 3 + 10  

 x = − log 3 + 10
2
 2
2

Vậy tổng hai nghiệm bằng 0 .
Câu 45. Để phương trình ( m + 1)16x − 2 ( 2m − 3) 4x + 6m + 5 = 0 có hai nghiệm trái dấu thì m phải thỏa
mãn điều kiện:
A. −4  m  −1.

B. Không tồn tại m .

C. −1  m 

3
.
2

5
D. −1  m  − .
6

Hướng dẫn giải
Đặt

4 x = t  0 . Phương trình đã cho trở thành: ( m + 1) t 2 − 2 ( 2m − 3) t + 6m + 5 = 0. (*)
144444444444442 44444444444443
f (t )

Yêu cầu bài tốn

 (*) có hai nghiệm t1 , t2 thỏa mãn 0  t1  1  t2

m + 1  0

m + 1  0


 ( m + 1) f (1)  0
 ( m + 1)( 3m + 12 )  0  −4  m  −1.


( m + 1)( 6m + 5)  0 ( m + 1)( 6m + 5 )  0

Câu 46. Cho bất phương trình:

1
1

. Nghiệm của bất phương trình thuộc tập nào sau đây:
3 − 1 1 − 3x−1
x

A. S = ( −1;0  (1; + )

B. S = ( −1;0  (1; + )

C. S = ( −;0

D. S = ( −;0)
Hướng dẫn giải

1
 5 x  1  −1  x  0
1

6 − 6.5 x


 x +1
0 5

 x
5 x +1 − 1 5 − 5 x
( 5 − 1)( 5 − 5x )
 x 1
 5 5
1

Vậy S = ( −1;0  (1; + )
Câu 47. Bất phương trình 25− x

0  x  2

A.  x  1 − 3
x  1+ 3


2

+ 2 x +1

+ 9− x

B. x  0

2

+ 2 x +1

 34.15− x

2

+2 x

có tập nghiệm là:

C. x  2

Hướng dẫn giải

D. 1 − 3  x  0


HTTP://DETHITHPT.COM

(
5

)

2 − x 2 + 2 x +1

25− x

2

+ 2 x +1

+ 9− x

2

+ 2 x +1

 34.15− x

2

+2 x

 
 3

+1 

−x
34  5 (

2

0  x  2

  x  1− 3
x  1+ 3



)

+ 2 x +1

. 
15  3 

Câu 48. Phương trình 4 x − m.2 x +1 + 2m = 0 có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 + x2 = 3 khi:
C. m = 1 .

B. m = 2 .

A. m = 4 .

D.

m = 3.

Hướng dẫn giải

Ta có: 4 x − m.2 x +1 + 2m = 0  ( 2 x ) − 2m.2 x + 2m = 0
2

(*)

Phương trình (*) là phương trình bậc hai ẩn 2 x có:  ' = ( − m ) − 2m = m 2 − 2m .
2

m  2
Phương trình (*) có nghiệm  m2 − 2m  0  m ( m − 2 )  0  
m  0
Áp dụng định lý Vi-ét ta có: 2 x1.2 x2 = 2m  2 x1 + x2 = 2m
Do đó x1 + x2 = 3  23 = 2m  m = 4 .
Thử lại ta được m = 4 thỏa mãn. Chọn A.
Câu 49. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình 2sin x + 3cos x  m.3sin
2

B. m  4

A. m  4

C. m  1

2

2

x

có nghiệm:

D. m  1

Hướng dẫn giải
Chia hai vế của bất phương trình cho 3sin x  0 , ta được
2

2

 
3

sin 2 x

1
+ 3.  
9

sin 2 x

2
Xét hàm số y =  
3

m
sin 2 x

1
+ 3.  
9

sin 2 x

là hàm số nghịch biến

Ta có: 0  sin 2 x  1 nên 1  y  4
Vậy bất phương trình có nghiệm khi m  4 . Chọn đáp án A

Câu 50. Cho bất phương trình: 9x + ( m − 1) .3x + m  0 (1) . Tìm m để (1) nghiệm đúng x  1

A. m  −

3
2

B. m  −

3
2

C. m  3 + 2 2
Hướng dẫn giải

D. m  3 + 2 2


HTTP://DETHITHPT.COM
Đặt t = 3x , t  3 bất phương trình đã cho thành: t 2 + ( m −1) .t + m  0 nghiệm đúng t  3



t2 − t
 −m nghiệm đúng t  3 .
t +1

Xét hàm số g ( t ) = t − 2 +

2
2
, t  3, g ' ( t ) = 1 −

 0, t  3 . Hàm số đồng biến trên
2
t +1
( t + 1)

3
3
3
3;+) và g ( 3) = 2 . Yêu cầu bài toán tương đương −m  2  m  − 2