25 tài liệu góc giữa đường thẳng và mặt phẳng file word có lời giải chi tiết image marked

25 tài liệu - Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng - File word có lời giải chi tiết
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên ( ABC )
trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và
( ABC ) .
A. 60°

B. 75°

C. 45°

D. 30°

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a 6 . Gọi  là
góc giữa SC và mp ( ABCD ) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A.  = 30

B. cos  =

3
3

C.  = 45

D.  = 60

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA ⊥ ( ABCD ) . Biết SA =
Tính góc giữa SC và ( ABCD ) .
A. 30°

B. 60°

C. 75°

a 6
.
3

D. 45°

Câu 4. Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1D1 . Gọi  là góc giữa AC1 và mp ( A1BCD1 ) . Chọn khẳng định
đúng trong các khẳng định sau?
A.  = 30

B. tan  =

2
3

C.  = 45

D. tan  = 2

Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BC = a . Hình chiếu vuông góc
của S lên ( ABC ) trùng với trung điểm BC. Biết SB = a . Tính số đo góc giữa SA và ( ABC ) .
A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 75°

Câu 6. Cho tứ diện ABCD đều. Gọi  là góc giữa AB và mp ( BCD ) . Chọn khẳng định đúng trong các
khẳng định sau?
A. cos  =

3
3

B. cos  =

3
4

C. cos = 0

D. cos  =

3
2

Câu 7. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và BC = a . Trên đường thẳng qua A vuông góc với ( ABC )
lấy điểm S sao cho SA =
A. 75°

a 6
. Tính số đo góc giữa đường thẳng SB và ( ABC ) .
2
B. 30°

C. 45°

D. 60°

Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB = 2a; AD = 2a 3 và SA ⊥ ( ABCD ) .
Gọi M là trung điểm của CD, biết SC tạo với đáy góc 45°. Cosin góc tạo bởi đường thẳng SM và mặt
phẳng ( ABCD ) là:


A.

3
13

B.

13
29

377
29

C.

D.

277
29

Câu 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B có AB = BC = a; SA ⊥ ( ABC ) . Biết mặt
phẳng ( SBC ) tạo với đáy một góc 60°. Cosin góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABC ) là:

A.

10
15

B.

10
10

C.

10
20

D.

10
5

Câu 10. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B ' C ' có đáy là tam giác vuông tại B có AB = a 3; BC = a . Biết

A' C = 3a . Cosin góc tạo bởi đường thẳng A ' B và mặt đáy ( ABC ) là:
A.

10
4

B.

10
6

C.

6
4

D.

15
5

Câu 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABC = 60 , tam giác SBC là tam giác
đều và có cạnh bằng 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính góc giữa đường thẳng SA và
mặt phẳng đáy ( ABC )
A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAD đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính tan của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABCD ) .
A.

3

B.

15
5

C.

1
3

D.

5

Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều cạnh a và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy ( ABCD ) . Tính cot của góc giữa SD và ( ABCD ) .
A.

5
15

B.

15
5

3

C.

D.

3
2

Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAC )
cùng vuông góc với đáy ( ABCD ) và SA = 2a . Tính cosin của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng

( SAD )
A.

5
5

B.

2 5
5

C.

1
2

D. 1

Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. Tính tan của góc tạo
bởi giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( SHK ) .
A.

7

B.

2
4

C.

7
7

D.

14
4


Câu 16. Cho hình lăng trụ ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD = 60 . Hình chiếu
vuông góc của B ' xuống mặt đáy trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy và cạnh bên BB ' = a . Tính
góc giữa cạnh bên và mặt đáy.
A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

Câu 17. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2 2 , AA ' = 4 .
Tính góc giữa đường thẳng A ' C với mặt phẳng ( AA ' B ' B ) .
A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, BC = 2a . Hai mặt bên

( SAB )

và ( SAD ) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD ) , SA = a 15 . Tính góc tạo bởi đường

thẳng SC và mặt phẳng ( ABD ) ?
A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên SA = 2a và vuông
góc với mặt đáy ( ABCD ) . Tính tan của góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng đáy ( ABCD ) .
A. 2 2

3

B.

C. 2

D. 1

Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết rằng SA ⊥ ( ABCD ) ,

SA =

a 15
. Gọi M là trung điểm của BC. Tính góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng ( ABCD ) .
2

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°

Câu 21. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA = 2a và vuông góc với
đáy. Tính sin của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( SAB ) .
A.

85
10

B.

51
17

C.

3
2

D.

15
10

Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 4a, cạnh bên SA = 2a .
Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ( ABCD ) là trung điểm H của đoạn thẳng AO. Tính tan
góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ( ABCD ) .
5

A.

B. 1

10
5

C.

D.

3

Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = a 3 . Hình chiếu
a
vuông góc H của S lên mặt đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC và SH = . Gọi M, N lần lượt là
2
trung điểm của các cạnh BC, SC. Tính tan của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ( ABCD ) .
A.

4
5

B.

3
4

C.

2
3

D. 1


Câu 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng a, SO vuông góc với mặt
đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng

( ABCD) , biết

A. 30°

MN =

a 10
.
2
B. 45°

C. 60°

D. 90°

Câu 25. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, biết rằng

AB = BC = a , AD = 2a, SA = a 2, SA ⊥ ( ABCD ) . Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( SAD ) .
A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 90°


HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Chọn đáp án C
Ta có tam giác ABC đều nên AH ⊥ BC; AH =

a 3

2

Mặt khác tam giác SBC đều cạnh a nên SH =

a 3
2

Do SH ⊥ ( ABC )  SH ⊥ AH  SHA vuông cân tại H.
Khi đó SAH = 45 suy ra ( SA, ( ABC ) ) = 45
Câu 2. Chọn đáp án D

Ta có: AC = a 2 suy ra tan SCA =

SA a 6
=
= 3
AC a 2

Do đó  = SCA = 60
Câu 3. Chọn đáp án A

Ta có: AC = a 2 suy ra tan SCA =
Do đó  = SCA = 30

SA
a 6
1
=
=
AC 3a 2

3


Câu 4. Chọn đáp án D
Gọi O là tâm hình lập phương và I là tâm hình chữ nhật
 AI ⊥ A1B
 AI ⊥ ( BCD1 A1 )
ABB1 A1 ta có: 
 AI ⊥ BC
Khi đó ( AC1 , ( A1BCD1 ) ) = AOI
AI
Mặt khác tan AOI =
=
OI

a 2
2 = 2
a
2

Câu 5. Chọn đáp án C

Tam giác ABC vuông tại A nên AH =
Lại có SH = SB 2 − BH 2 =
Khi đó tan SAH =

BC a
=
2
2

a 3
.
2

SH
= 3  ( SA, ( ABC ) ) = SAH = 60
AH

Câu 6. Chọn đáp án A

Gọi M là trung điểm của CD và H là trọng tâm tam giác BCD
Khi đó AH ⊥ ( BCD ) . Mặt khác BH =

2
2 a 3 a 3
BM = .
=
3
3 2
2


Do đó cos SBH =

BH
3
3
.
=

 cos  =
AB
3
3

Câu 7. Chọn đáp án D

Ta có AB =

BC
a
=
2
2

Do SA ⊥ ( ABC )  ( SB, ( ABC ) ) = SBA
Mặt khác tan SBA =

SA a 6 a 2
=
:
= 3
AB
2
2

Do đó ( SB, ( ABC ) ) = 60
Câu 8. Chọn đáp án C
Do SA ⊥ ( ABCD ) nên ( SC, ( ABCD ) ) = SCA = 45
Khi đó SA = AC = AB 2 + AD2 = 4a

Lại có MD =

CD AB
=
= a  AM =
2
2

AM
=
SM

Khi đó cos SMA =

AD 2 + DM 2 = a 13

AM
SA2 + AM 2

Do đó cos ( SM , ( ABCD ) ) =

=

377
0
29

377
.
29

Câu 9. Chọn đáp án D
Do SA ⊥ ( ABC ) lại có BC ⊥ AB  BC ⊥ ( SBA)
Khi đó

(( SBC ) , ( ABC )) = SBA = 60

Ta có SA = AB tan 60 = a 3; AC = AB 2 + BC 2 = a 2
Khi đó cos SCA =

AC
=
SC

Do đó cos ( SC , ( ABC ) ) =

AC
SA2 + AC 2

10
.
5

=

10
5


Câu 10. Chọn đáp án C

Ta có: AC = AB 2 + BC 2 = 2a; AA ' = A ' C 2 − AC 2 = a 5
Do AA ' ⊥ ( ABC ) nên ( A ' B, ( ABC ) ) = A ' BA
Lại có cos A ' BA =

AB
=
A' B

AB
AB 2 + AA '2

=

a 3
3a 2 + 5a 2

=

6
.
4

Câu 11. Chọn đáp án C

Gọi H là trung điểm của BC ta có: SH ⊥ BC
Mặt khác ( SBC ) ⊥ ( ABC ) nên giao tuyến SH ⊥ ( ABC )
Lại có: SH =

BC 3
BC a 3

= a 3; AH =
=
2
2
2

Do đó tan SAH =

SH
= 3  SAH = 60 = ( SA, ( ABC ) ) .
AH

Câu 12. Chọn đáp án B
Gọi H là trung điểm của AD ta có: SH ⊥ AD
Mặt khác ( SAD ) ⊥ ( ABC ) nên giao tuyến SH ⊥ ( ABCD )
Lại có: SH =

AD 3 a 3
a 5
=
; HB = HA2 + AB 2 =
2
2
2

Do đó tan SBH =

SH
3
15

=
=
= tan ( SB, ( ABCD ) ) .
HB
5
5


Câu 13. Chọn đáp án A
Gọi H là trung điểm của AB ta có: SH ⊥ AB
Mặt khác ( SAB ) ⊥ ( ABC ) nên giao tuyến SH ⊥ ( ABCD )
Lại có: SH =

AB 3 a 3
a 5
=
; HD = HA2 + AD 2 =
2
2
2

Do đó cot SDH =

HD
5
5
=
=
= cot ( SD, ( ABCD ) ) .
SH

3
15

Câu 14. Chọn đáp án B


( SAB ) ⊥ ( ABCD )
Do 
 SA ⊥ ( ABCD )
SAC
⊥
ABCD
(
)
(
)


 AB ⊥ AD
 AB ⊥ ( SAD )
Lại có: 
 AB ⊥ SA

Ta có:

cos BSA =

SA
=
SB

SA
SA + AB
2

2

=

2
2 5
=
= cos ( SB, ( SAD ) )
5
5

.
Câu 15. Chọn đáp án C

Ta có sin ( SA, ( SHK ) ) =

d ( A, ( SHK ) )
SA

=

d
.
a

1
a2
a2
a2
a
Lại có d .HK = S AHK =
d =
=
=
2
8
4 HK 4. a 2 2 2
2

 sin ( SA, ( SHK ) ) =

1
2 2
1

1
 tan ( SA, ( SHK ) ) = 2 2 =
.
1
7
1−
8


Câu 16. Chọn đáp án B

Ta có OB =

BD AB a
=
=
2
2
2

 cos OBB ' =

OB 1
=  OBB ' = 60 .
BB ' 2

Câu 17. Chọn đáp án A

Góc cần tính là CA ' B .
Ta có tan CA ' B =

BC
2 2
1
=
=
 CA ' B = 30 .
A' B
3
42 + 8

Câu 18. Chọn đáp án C
Ta có SA ⊥ ( ABCD )  ( SC, ( ABD ) ) = SCA .
Lại có tan SCA =

SA
a 15
=
= 3  SCA = 60 .
AC
a 2 + 4a 2

Câu 19. Chọn đáp án A
Ta có tan ( SO, ( ABCD ) ) = tan SOA =

SA 2a
=
=2 2.
a
OA
2


Câu 20. Chọn đáp án C

SA
Ta có tan ( SM , ( ABCD ) ) = tan SMA =
=
AM

a 15
2
= 3
2
a
a2 +
4

 ( SM , ( ABCD ) ) = 60 .
Câu 21. Chọn đáp án D
Gọi M là trung điểm của AB  CM ⊥ AB
CM ⊥ AB
 CM ⊥ ( SAB ) mà SC ⊥ ( ABC ) = S
Ta có 
CM ⊥ SA

 ( SC, ( SAB ) ) = ( SC, SM ) = MSC
Ta có CM =

a 3
a 17
, SM = SA2 + AM 2 =
2
2

 SC = SM 2 + MC 2 = a 5
 sin MSC =

MC
15

=
.
SC
10

Câu 22. Chọn đáp án C
Ta có SD  ( ABCD ) = D và SH ⊥ ( ABCD )

 ( SD, ( ABCD ) ) = ( SD, HD ) = SDH
Ta có AH =

1
1
AC =
4
4

( 4a )

2

+ ( 4a ) = a 2
2

 HD = AH 2 + AD 2 − 2 AH . AD.cos 45 = a 10

 tan SDH =

SA
2a

10
.
=
=
AH a 10
5


Câu 23. Chọn đáp án B
Qua N kẻ đường thẳng song song với SH cắt CH tại K

 NK ⊥ ( ABCD ) .
Ta có MN  ( ABCD ) = M  và NK ⊥ ( ABCD )

 ( MN , ( ABCD ) ) = MN , MK = KMN
Ta có NK =

1
2a
1
a
SH = . Ta có BH = BH =
3
3
2
4

 SB = SH 2 + HB 2 =

5a

1
5a
 MN = SB =
6
2
12

 MK = MN 2 − NK 2 =

a
NK 3
 tan KMN =
= .
3
MK 4

Câu 24. Chọn đáp án C
Qua M kẻ đường thẳng song song với SO cắt AC tại H

 MH ⊥ ( ABCD ) .
Ta có MN  ( ABCD ) = N và MH ⊥ ( ABCD )

 ( MN , ( ABCD ) ) = ( MH , HN ) = MNH
Ta có CH =

3
3 2
3a 2
AC =
a + a2 =

4
4
4

 HN = CH 2 + CN 2 − 2C.C.cos 45 =
 MH = MN 2 − NH 2 =
 MNH = 60 .

a 10
4

a 30
MH
 tan MNH =
= 3
4
HN


Câu 25. Chọn đáp án C
Gọi M là trung điểm của AD  CM ⊥ AD
CM ⊥ AD
 CM ⊥ ( SAD )
Ta có 
CM ⊥ SA

mà SC  ( SAC ) = S

 ( SC, ( SAD ) ) = ( SC, SM ) = MSC
Ta có CM = a, SC = SA2 + AC 2 = 2a

 SM = SC 2 − CM 2 = a 3
 tan MSC =

SM
= 3  MSC = 60 .
CM