CHỦ đề 1 vấn đề 2 DẠNG TOÁN về cực TRỊ của hàm số image marked

VẤN ĐỀ 2: DẠNG TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
LÝ THUYẾT CĂN BẢN CẦN NẮM VỮNG
 Định nghĩa:
- Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (có thể a là − ; b là + ) và
điểm x 0  ( a; b ) .
1) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f ( x )  f ( x 0 ) với mọi x  ( x 0 − h; x 0 + h ) và x  x 0 thì ta
nói hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại x 0 .
2) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f ( x )  f ( x 0 ) với mọi x  ( x 0 − h; x 0 + h ) và x  x 0 thì ta
nói hàm số y = f ( x ) đạt cực tiểu tại x 0 .
 Chú ý:
1) Nếu hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại x 0 thì x 0 được gọi là điểm cực đại của hàm số;

f ( x 0 ) được gọi là giá trị cực đại của hàm số, kí hiệu là fCD ; còn điểm M ( x 0 ;f ( x 0 ) ) được
gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
2) Nếu hàm số y = f ( x ) đạt cực đại tại x 0 thì x 0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số;

f ( x 0 ) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số, kí hiệu là f CT ; còn điểm M ( x 0 ;f ( x 0 ) ) được
gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
3) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực
tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
4) Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số có đạo hàm trên khoảng (a ; b)và đạt cực đại
hoặc cực tiểu tại x 0 thì f ' ( x 0 ) = 0 .
 Định lí 1:
- Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục trên khoảng K = ( x 0 − h; x 0 + h ) và có đạo hàm trên K
hoặc trên K \ x 0  , với h > 0.
1) Nếu f ' ( x 0 )  0 trên khoảng ( x 0 − h; x 0 ) và f ' ( x 0 )  0 trên khoảng ( x 0 ; x 0 + h ) thì x 0 là
một điểm cực đại của hàm số y = f ( x ) .
2) Nếu f ' ( x 0 )  0 trên khoảng ( x 0 − h; x 0 ) và f ' ( x 0 )  0 trên khoảng ( x 0 ; x 0 + h ) thì x 0 là
một điểm cực tiểu của hàm số y = f ( x ) .
Minh họa:
Trang 1 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

x0 − h

x

f '( x)

x0 + h

x0

+

0

f (x)

x

x0 − h

f '( x)

-

-

0

f (x)

fCD

f CT

 Qui tắc tìm cực trị 1:
1) Tìm tập xác định.
2) Tính f ' ( x ) . Tìm các điểm tại đó f ' ( x ) bằng 0 hoặc f ' ( x ) không xác định.
3) Lập bảng biến thiên.
4) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Minh họa:

1
5x 2
1) Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x ) = x 3 −
+ 6x − 4 .
3
2
- Tập xác định: D =

.

1

x = 3  y ( 3) =

2
y ' = x 2 − 5x + 6; y ' = 0  
x = 2  y ( 2) = 2


3
lim y = +; lim y = −

x →+

x →−

- Bảng biến thiên:
x

−

y’

2
+

0

-

0

+

+

2
3

y

+

3

−

1
2

 2
- Suy ra đồ thị hàm số đã cho có một điểm cực đại  2;  , một điểm cực tiểu
 3

2) Tìm cực trị của hàm số y =
- Tập xác định: D =

x0 + h

x0

 1
 3; 
 2

x−4
.
x −5

\ 5 .

Trang 2 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

+


y' =

−1

( x − 5 )2

 0; x  5 .

lim y = 1; lim+ y = +; lim− y = −

x →

x →5

x →5

- Bảng biến thiên:
x

−

y’

y

+

5
-

-

+

1
−

1

Suy ra hàm số không có cực trị.
 Định lí 2:
- Giả sử hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai trong khoảng ( x 0 − h; x 0 + h ) , với h > 0. Khi
đó:
1) Nếu f ' ( x 0 ) = 0 , f '' ( x 0 )  0 thì x 0 là điểm cực tiểu.
2) Nếu f ' ( x 0 ) = 0 , f '' ( x 0 )  0 thì x 0 là điểm cực đại.
 Qui tắc tìm cực trị 2:
1) Tìm tập xác định.
2) Tính f ' ( x ) . Giải phương trình f ' ( x ) và kí hiệu xi ( i = 1, 2,.., n )
3) Tính f '' ( x ) và f '' ( x i ) .
4) Dựa vào dấu của f '' ( x i ) suy ra tính chất cực trị của điểm x i .
Minh họa:

1

5x 2
+ 6x − 4
1) Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f ( x ) = x 3 −
3
2
- Tập xác định: D =

.

1

x = 3  y ( 3) =

2
y ' = x 2 − 5x + 6; y ' = 0  
x = 2  y ( 2) = 2

3
y '' = 2x − 5

y'' ( 2) = −1  0  x = 2 là điểm cực đại của hàm số.
y'' ( 3) = 1  0  x = 3 là điểm cực tiểu của hàm số.
Trang 3 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


 2
 1
- Suy ra đồ thị hàm số đã cho có một điểm cực đại  2;  , một điểm cực tiểu  3; 
 3
 2

2) Tìm cực trị của hàm số y =
- Tập xác định: D =
y' =

−1

x−4
.
x −5

\ 5 .

 0; x  5 .

( x − 5 )2

Suy ra hàm số không có cực trị.
 Tổng kết:
- Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng (a;b) và x 0  ( a; b ) .


f ' ( x )  0, x  ( x 0 − h; x 0 )
 x 0 là điểm cực đại của hàm số y = f ( x ) .
1) 
f
'
x

0,


x

x
;
x
+
h
(
)
(
)

0
0


f ' ( x )  0, x  ( x 0 − h; x 0 )
 x 0 là điểm cực tiểu của hàm số y = f ( x ) .
2) 
f
'
x

0,

x

x
;

x
+
h
(
)
(
)

0
0

f ' ( x 0 ) = 0
 x 0 là điểm cực tiểu của hàm số y = f ( x ) .
3) 
f
''
x

0
(
)

0
f ' ( x 0 ) = 0
 x 0 là điểm cực đại của hàm số y = f ( x )
4) 
f '' ( x 0 )  0
BÀI TẬP MINH HỌA
Ví dụ 1: Hàm số c y = x 4 − 2mx 2 + 4 có 3 cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn
ngoại tiếp nhỏ nhất bằng bao nhiêu ?

A. m =

1
2

B.

3

1
2

C. m = 0

D.

3

1
3

HƯỚNG DẪN GIẢI
* Phân tích
Cách 1: giải theo hướng truyền thống

x = 0
y ' = 4x 2 − 4mx, y ' = 0   2
x = m
- Để hàm có 3 cực trị thì m > 0 (1)

(

) (

Gọi A ( 0; 4 ) ; B − m; −m 4 + 4 ; C

m; −m 4 + 4

)

Trang 4 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


SABC =

1
1
1
d ( A; BC ) .BC = y B − y A . x C − x B = m 2 .2 m
2
2
2

AB = AC = m4 + m; BC = 2 m

(

)

m4 + m 2 m 1  2 1 

AB.AC.BC
R=
=
= m + 
4S
2
m
4.m 2 m
1
1
Vậy tới đây công việc ta cần làm là tìm min của biểu thức: A =  m 2 + 
2
m

Nhắc lại: Bất đẳng thức Cauchy
Với 3 số không âm a, b, c ta có: a + b + c  3. 3 a.b.c
Dấu đẳng thức xảy ra  a = b = c
- Áp dụng vào bài toán:
Vậy A 

A
1
1
1
1 1
1
= m2 + = m2 +
+
 3.3 m3 .
.

= 3. 3
2
m
2m 2m
2m 2m
4

33 1
2 4

- Dấu “=” xảy ra khi m2 =

1
1
m= 3
2m
2

- Giá trị nhỏ nhất của bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi 3 điểm cực trị có thể
đạt được là:

1
3 31
khi m = 3
.
2
2 4

Cách 2: Sử dụng công thức giải nhanh kết hợp với máy tính Casio



2

1 b
a 
  −

- Áp dụng công thức R =
2 a  2   b  
 

2

1
1
R =  m2 + 
2
m

- Tới đây các bạn có thể dùng Cauchy vì điều kiện m > 0. Nhưng ta có thể tìm nhanh giá trị
max – min bằng Casio như sau:
+ B1. Bấm MODE 7 (TABLE), nhập vào giá trụ biểu thức

1 2 1 
m + 
2
m

+ B2: Vì m > 0 nên cho Start một giá trị lớn hơn 0, ở đây tác giả lấy Start 0.5 End là

5 và bước nhảy Step là 0.5 (nên chọn để có khoảng 8-10 giá trị là được)
+ B3: Quan sát kết quả màn hình máy tính
Trang 5 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Ta nhận xét sau: với x = 0.5 f(x) bắt đầu giảm và đến khi x = 1 f(x) lại bắt đầu tăng.
Từ đó có thể nhận xét giá trị nhỏ nhất của f(x) nằm trong (1.125;1) và x sẽ thuộc (0.5;1)
Tuy nhiên có tới 3 đáp án thỏa nhận xét trên, vì vậy ta phải chia nhỏ bước nhảy lại:
Cho giá trị start là 0.1, end là 1 với step là 0.1 ta có kết quả sau:

Nhận xét điểm giá trị nhỏ nhất của f(x) nằm trong khoảng (0.9542;0.945) (giá trị chính xác

3 1
khi giải bằng cách 1 là f ( x ) = .3 = 0.9449407... )
2 4
Khi đó x thuộc khoảng (0.7;0.8)
So sánh đáp án chỉ có đáp án B m = 3

1
= 0.7937... thỏa mãn nhận xét trên
2

Lưu ý: Ta không thể tìm chính xác giá trị m bằng Casio nếm m không phải số hữu tỉ vì vậy
khuyến khích các bạn sử dụng bất đẳng thức khi tìm được R.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + x . Tìm m để đường thẳng đi qua 2 cực trị của hàm số đã
cho tiếp xúc với đường tròn ( C ) : ( x − m + 1) + ( y − m ) =
2

A. m =

4
7

B. m =

6
7

2

1
25

C. Cả A và B đúng

D. Cả A và B sai

HƯỚNG DẪN GIẢI
* Phân tích:
Nhắc lại kiến thức:
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm bậc 3 là phần dư của phép chia
x b 
CALC giá trị i vào phương trình y − y '  +  (chuyển sang chế độ số phức).
 3 9a 

Đường thẳng ax + by + c = 0 tiếp xúc với đường tròn tâm I ( x 0 ; y0 ) bán kính R
Trang 6 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

y
hoặc

y'




ax 0 + by 0 + c
a 2 + b2

=R

- Từ phân tích trên: y ' = 3x 2 − 6x + 1
 x −3 
- Nhập vào máy tính phương trình: x 3 − 3x 2 + x − 3x 2 − 6x + 1  +
 , CALC tại x = i (nhớ
 3 9.1 

(

)

chuyển sang số phức MODE 2).
Vậy ta được đường thẳng qua 2 điểm cực trị là: 4x + 3y −1 = 0 ( d )
- Để đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) có tâm I ( m − 1;m ) bán kính R = 5



14 ( m − 1) + 3m − 1
42 + 32

6


m=

1 7m − 5 = 1
7
= 

4
5 7m − 5 = −1 
m=

7

Chọn C
Ví dụ 3: Cho hàm số y =

x 2 − 2x + 4
có 2 điểm cực trị không thuộc đường thẳng y = ux + v.
1 − 2x

giá trị u + v bằng bao nhiêu ?
A. 0

B.

C. 1

D. 2

HƯỚNG DẪN GIẢI

* Phân tích:

(x
Gọi y là đường thẳng cực đại và cực tiểu đi qua y =

2

)

− 2x + 4 '

(1 − 2x ) '

= 2 − 2x

Với giá trị tương ứng u = −2; v = 2  u + v = 0
Chọn A
Ví dụ 4: Xác định m để hàm y = x 4 − 2 ( 3m − 4 ) x 2 + 3m + 1 số có 3 điểm cực trị tạo thành
tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1:
A. m =1, m = 2

B. m = 1, m = - 2

C. m = -2

D. m = 2

HƯỚNG DẪN GIẢI
* Phân tích:
Cách 1: Dùng công thức

Cho 3 cực trị tạo thành tam giác với hệ số a = 1. Khi đó bán kính đường tròn nội tiếp bằng

Trang 7 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


r=

1+

( b ')2
3
1 − ( b ')

b

b' = 
2


- Áp dụng công thức trên vào bài toán ta được: r =

( b ')2
3
1 − ( b ')

1+

b ' = 1

 b ' = −2

 4 − 3m = 1
m = 1


 4 − 3m = −2
m = 2
- Tuy dùng công thức nhưng chúng ta vẫn phải xét điều kiện có 3 cực trị:
Để hàm số có 3 cực trị

−b
4
= 3m − 4  0  m 
2a
3

Vậy nhận m = 2.
Cách 2: Thay đáp án
Thay giá trị của m vào hàm số tìm ra tọa độ các điểm cực trị. Với giá trị của m nào thỏa mãn
điều kiện đề bài thì ta chấp nhận đáp án đó
Ghi chú: Đây là dạng câu hỏi thiên về tự luận và hiếm gặp trong khi trắc nghiệm. Ở đây tác giả
chỉ giới thiệu và chỉ giải bằng phương pháp trắc nghiệm, bạn đọc muốn tìm hiểu rõ về dạng này
có thể tìm đọc các tài liệu tự luận liên quan
Chọn D

(

)

Ví dụ 5: Tìm m để hàm số y = − x 3 + 3x 2 + 3 m2 − 1 x + 3m2 − 1 có 2 cực trị x1 , x 2 thỏa điều

kiện cách đều gốc tọa độ:
 −1 1 
A. m   0; ; 
 2 2

C. m =

B. m = 0

1
2

D. Đáp án khác

HƯỚNG DẪN GIẢI
* Phân tích:

(

)

y ' = −3x 2 + 6x + 3 m 2 − 1

(1)

Để hàm số đạt 2 cực trị  ' = 9m2  0  m  0

(

) (

Gọi 2 điểm cực trị lần lượt là A 1 − m; −2 − 2m3 , B 1 + m; −2 + 2m3

)

Để hàm số có 2 điểm cực trị cách đều trục tọa độ khi và chỉ khi
1

m=

2
OA = OB  8m3 = 2m  
(thỏa điều kiện 1)
 m = −1

2

Trang 8 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Chọn D
Ví dụ 6: Tìm m để hàm số y = x 3 − ( m + 2 ) x 2 + ( 3m − 1) x + m2 + 5 có 2 cực trị x1 , x 2 thỏa

x1.x 2 = 2
A.

−5
3

B.

−7
3

C.

7
3

D.A và C đều thỏa mãn

HƯỚNG DẪN GIẢI
* Phân tích:

y ' = −3x 2 − 2 ( m + 2 ) x + 3m − 1
Để hàm số đạt 2 cực trị thỏa mãn đề bài

( m + 2 )2 − 3m + 1  0
m 2 + m + 5  0, m
 '  0


c
  3m − 1

=2
 x1.x 2 = 2
 =2

 3

a
7

m=

3m − 1 = 6
3
3m − 1 = −6  
−

m = 5

3

Chọn D

(

)

Ví dụ 7: Xác định m để hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3 m2 − 1 x − m3 + 4m − 1 có 3 cực trị tạo
thành 1 tam giác sao cho diện tích tam giác đó lớn nhất và tìm giá trị đó ?
5

2

A. m = 0; Smax = 32

B. m = 0; Smax = 35

C. m = − 3; Smax = 0

D. m = 3; Smax = 0
HƯỚNG DẪN GIẢI

* Phân tích
Cách 1: giải theo tự luận

(

)

y ' = 4x 3 − 4 3 − m 2 x

x = 0
y' = 0  
2
x = 3 − m
Để hàm số có 3 cực trị thì 3 − m2  0  − 3  m  3

(1)

Trang 9 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Nhận xét: Tới đây ta có thể mạnh dạn loại 2 câu C, D vì với điều kiện m như vậy sẽ không tồn
tại 3 cực trị. Nên nhớ: chọn 1 trong 2 cơ hội đúng cao hơn rất nhiều so với chọn 1 trong 4 và
tuyệt đối không được bỏ câu nào khi làm bài trắc nghiệm.
Gọi 3 điểm cực trị của hàm số

(

) (

(

)

A 0; m 2 − 1 ; B − 3 − m 2 ; −m 4 + 7m − 10 ; C
SABC =

3 − m 2 ; −m 4 + 7m − 10

)
(

1
1
1
d ( A; BC ) = y B − y A . x C − x B = m 4 − 6m 2 + 9 .2 3 − m 2 = 3 − m 2
2
2
2

)

5
2

m 2  0 m  3 − m 2  3 m

(

Vậy 3 − m2

)

5
2

5

 32

Dấu “=” xảy ra khi m = 0
Cách 2: Dùng công thức giải nhanh:
Nhắc lại công thức: Nếu 3 điểm cực trị của hàm trùng phương tạo thành 1 tam giác có diện tích S
thì S =

5
b ')
(
−

a3

Áp dụng công thức trên vào bài toán này

( −2 (3 − m ))
−

2

S=

13

5

=

(

5
3 − m2 2

Vậy với giá trị m = 0 thì Smin

)



5
32

5
= 32

Chọn A
Ví dụ 8: Cho đồ thị hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m 2 + m + 1 , tìm m để đồ thị hàm số có 3 cực trị
thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1?

A. m = −1; m =
C. m =

−1 + 5
−1 − 5
;m=
2
2

−1 + 5
−1 − 5
;m=
2
2

B. m = −1; m =

−1 + 5
2

D. Đáp án khác
HƯỚNG DẪN GIẢI

* Phân tích:
Cách 1: Dùng tính chất để giải:

Trang 10 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


x = 0

y ' = 4x 3 − 4mx, y ' = 0   2
x = m
Để hàm số có hai cực trị  m  0 (1)

) (

(

) (

Gọi các điểm cực trị A 0; m2 + m + 1 ; B − m; m + 1 ; C
SABC =

)

m; m + 1

1
1
1
d ( A; BC ) = y B − y A . x C − x B = m 2 .2 m = m 2 . m
2
2
2

AB = AC = m + m4 , BC = 2 m
Nhắc lại: SABC =

AB.AC.BC
AB.AC.BC

R=
4R
4SABC

(

)

m + m4 2 m
AB.AC.BC
Vậy R =
=
=1
4SABC
4.m2 m

m = 1

−1 − 5
3
 m − 2m + 1 = 0   m =

2

 m = −1 + 5

2

So với điều kiện (1) ta loại đi m =

−1 − 5
2

Cách 2: Dùng công thức giải nhanh:
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi 3 cực trị của hàm trùng phương

ax 4 + bx 2 + c
1
R=
2a


a 
2
 ( b ' ) −

( b ') 


2

1
1 
2
Áp dụng công thức trên vào bài toán: R =  ( b ' ) −
 =1
2
( b ') 



m = 1

−1 − 5
3
3
 ( b ') − 2 ( b ' ) − 1 = 0  −m + 2m − 1 = 0  m =

2

 m = −1 + 5

2

Trang 11 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


So với điều kiện tồn tại 3 cực trị ta loại m =

−1 − 5
2

Vậy giá trị m vừa tìm được thỏa điều kiện (1)
Chọn B
Ghi chú: Trên Internet dạo này có rất nhiều tài liệu Casio thần thánh hóa và những bài như câu
73 thường sẽ giải quyết theo hướng thay đáp án, tuy nhiên tác gải đã cố tình cho vào 4 đáp án
khác nhau cộng với câu D “Đáp án khác”. Vì vậy bắt buộc người giải phải tìm được tất cả giá trị
m thỏa. Từ đây tác giả khuyên các bạn chỉ xem Casio là công cụ tính toán.

(

)

Ví dụ 9: Với giá trị nào của m thì hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3 m2 − 1 x − m3 + 4m − 1 có hai
điểm cực trị tạo với gốc tọa độ 1 tam giác vuông tại O?
B. m −1;2

A. m 1; −2

C. m 1;2

D. Đáp án khác

HƯỚNG DẪN GIẢI
* Phân tích:

(

)

y ' = 3x 2 − 6mx + 3 m 2 − 1

x = m +1
y' = 0  
x = m −1

 ' = m2 − m2 + 1 = 1  0 suy ra hàm số luôn có cực đại, cực tiểu
Gọi A ( m + 1;m − 3) ; B ( m −1;m + 1) là 2 điểm cực trị của hàm số

OA = ( m + 1; m − 3)
OB = ( m − 1; m + 1)

Để tam giác OAB vuông tại O thì OA.OB = 0

 m = −1
 ( m + 1)( m − 1) + ( m − 3)( m + 1) = 0  
m = 2
Chọn B
Ví dụ 10: Cho hàm số: y = x 4 + ( 5m − 2 ) x 2 + m2 − 3 , tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành
tam giác có góc bằng 300 .

A. m =

3

−56 − 32 5
5

C. Cả A và B

3

B.

−8
+2
3
5

D. Không có m thỏa mãn điều kiện đề bài

Trang 12 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI
* Phân tích:
Nhận xét: Đề bài cho 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 300 nhưng không nói là góc nằm
ở đỉnh cân hay ở đáy, vì vậy ta phải chia ra 2 trường hợp: rất nhiều bạn chỉ làm 1 trường hợp dẫn
tới đáp án sai.
- Trường hợp 1:
Góc tại đỉnh cân bằng 300
3
b3 + 8
3
−56 − 32 3 + 2
0
3
=
cos
30
=

b
=
−
56
−
32
3

m
=

3
2
5
b −8

- Trường hợp 2:
Góc tại đáy bằng 300  góc tại đỉnh bằng 1200 (nhớ là 1200 không phải 1500 )

b3 + 8
−1
−8
= cos1200 =
 3b3 = −8  b = 3
3
2
3
b −8
3

Vậy m =

−8
+2
3
5

Chọn C
Ghi chú:Với những bài có đáp án xấu như bài này khi giải bằng phương pháp tự luận sẽ khá
phức tạp, bạn đọc có thể tự giải để so sánh đáp án.
MỘT SỐ THỦ THUẬT, KỸ NĂNG CẦN BIẾT

 Máy tính Casio (hướng dẫn này dành cho Casio fx-570VN PLUS)
- Nhấn SHIFT và nhấn các phím có nhãn chữ màu vàng để sử dụng các chức năng của hàm đó.
- Nhấn ALPHA và nhấn các phím có nhãn chữ màu đỏ để sử dụng các chức năng của hàm đó.
- Phím CALC dùng để thay thế giá trị và tính.
Áp dụng:

( X + 2Y )

1) Nhập

Y ? , nhập

(

2

, nhấn CALC , màn hình sẽ hiện X ? , nhập 3 , nhấn = , màn hình sẽ hiện

5 , nhấn = , màn hình sẽ hiện 29 + 12 5 . Ta được đáp án trên màn hình là kết

)

2

quả của 3 + 2. 5 .

Trang 13 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


2) Nhập

( X − 2Y )

, nhấn CALC , màn hình sẽ hiện X ? , nhập 2 , nhấn = , màn hình sẽ

2X

5 , nhấn = , màn hình sẽ hiện 12 − 4 5 . Ta được đáp án trên màn hình là

hiện Y ? , nhập

(2 − 2 5 )
kết quả của
2.2

- Nhấn SHIFT 

2

.

 d

 dx


 tính giá trị của đạo hàm tại một điểm cho trước.

Áp dụng

1
5x 2
+ 6x − 4 ?
1) Kiểm tra x = 2 có phải là điểm cực đại của hàm số y = f ( x ) = x 3 −
3
2
Cách 1: Dùng phương pháp thủ công, tính đạo hàm và vẽ bảng biến thiên.
Cách 2:
Nhấn

SHIFT 

 d

 dx


d  1 2 5X 2
+ 6X − 4 
 X −
dx  3
2



 , nhập



d  1 2 5X 2

, màn hình sẽ hiện
+ 6X − 4 
 X −
dx  3
2
 x =2

. Sau đó áp dụng quy tắc tìm cực trị 2 để tìm ra kết quả,..

x =2

0

y ' ( 2) = 0

Cách 3: Thử với  y ' ( 2 + 0.1)  0  x = 2 là điểm cực đại

 y ' ( 2 − 0.1)  0
Nhấn

SHIFT 

 d

 dx


d  1 2 5X 2
+ 6X − 4 
 X −

dx  3
2



 , nhập



d  1 2 5X 2
, màn hình sẽ hiện
+ 6X − 4 
 X −
dx  3
2
x
=
2


.

x =2

0

Trang 14 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Nhấn SHIFT 

 d

 dx


 , nhập



d  1 2 5X 2
+ 6X − 4 
 X −
dx  3
2
 x =2+0.1


d  1 2 5X 2
, màn hình sẽ hiện
+ 6X − 4 
 X −
dx  3
2
 x =2+0.1

.

−0.09
Nhấn SHIFT 

 d

 dx


d  1 2 5X 2
+ 6X − 4 
 X −
dx  3
2



 , nhập


x = 2−0.1


d  1 2 5X 2
, màn hình sẽ hiện
+ 6X − 4 
 X −
dx  3
2
 x =2−0.1

. Bạn đọc tự suy ngẫm nhé.

0.11
1 3 5x 2
2) Kiểm tra x = 3 có phải là điểm cực tiểu của hàm số y = f ( x ) = x −
+ 6x − 4 ?
3
2
Cách 1: Dùng phương pháp thủ công, tính đạo hàm và vẽ bảng biến thiên.
Cách 2:
Nhấn

SHIFT 

 d

 dx


d  1 2 5X 2
+ 6X − 4 
 X −
dx  3
2



 , nhập



d  1 2 5X 2

, màn hình sẽ hiện
+ 6X − 4 
 X −
dx  3
2
 x =3

. Sau đó áp dụng quy tắc tìm cực trị 2 để tìm ra kết quả,..

x =3

0

 y ' ( 3) = 0

Cách 3: Thử với  y ' ( 3 + 0.1)  0  x = 3 là điểm cực đại

 y ' ( 3 − 0.1)  0
Nhấn

SHIFT 

 d

 dx


d  1 2 5X 2
+ 6X − 4 
 X −

dx  3
2



 , nhập



d  1 2 5X 2
, màn hình sẽ hiện
+ 6X − 4 
 X −
dx  3
2
 x =3

.

x =3

0

Trang 15 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Nhấn SHIFT 

 d


 dx


d  1 2 5X 2
+ 6X − 4 
 X −
dx  3
2



 , nhập



d  1 2 5X 2
, màn hình sẽ hiện
+ 6X − 4 
 X −
dx  3
2
 x =3+0.1

.

x =3+ 0.1

0.11
Nhấn SHIFT 

 d

 dx


d  1 2 5X 2
+ 6X − 4 
 X −
dx  3
2



 , nhập



d  1 2 5X 2
, màn hình sẽ hiện
+ 6X − 4 
 X −
dx  3
2
 x =3−0.1

. Bạn đọc tự suy ngẫm nhé.

x =3−0.1

−0, 09

BÀI TẬP MINH HỌA
Ví dụ 1: Hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 4 có 3 cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại
tiếp nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
A. m =

1
2

B. m = 3

1
2

C. m = 0

D. m = 3

1
3

HƯỚNG DẪN GIẢI
Đáp án B
* Phân tích:
Cách 1: giải theo hướng truyền thống

x = 0
y ' = 4x 3 − 4mx, y ' = 0   2
x = m
- Để hàm có 3 cực trị thì m > 0 (1)

(

) (

Gọi A ( 0; 4 ) ; B − m; −m 4 + 4 ; C
SABC =

m; −m 4 + 4

)

1
1
1
d ( A; BC ) .BC = y B − y A . x C − x B = m 2 .2 m
2
2
2

AB = AC = m4 + m; BC = 2 m

(

)

m4 + m 2 m 1  2 1 
AB.AC.BC
R=
=
= m + 

4S
2
m
4.m 2 m
1
1
Vậy tới đây công việc ta cần làm là tìm min của biểu thức: A =  m 2 + 
2
m

Trang 16 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Nhắc lại: Bất đẳng thức Cauchy
Với 3 số không âm a, b, c ta có: a + b + c  3. 3 a.b.c
Dấu đẳng thức xảy ra  a = b = c
- Áp dụng vào bài toán:
Vậy A 

A
1
1
1
1 1
1
= m2 + = m2 +
+
 3.3 m3 .
.
= 3. 3

2
m
2m 2m
2m 2m
4

33 1
2 4

- Dấu “=” xảy ra khi m2 =

1
1
m= 3
2m
2

- Giá trị nhỏ nhất của bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi 3 điểm cực trị có thể
đạt được là:

3 31
1
khi m = 3
.
2
2 4

Cách 2: Sử dụng công thức giải nhanh kết hợp với máy tính Casio




2

1 b
a 
  −

- Áp dụng công thức R =
2 a  2   b  
 

2

1
1
R =  m2 + 
2
m

- Tới đây các bạn có thể dùng Cauchy vì điều kiện m > 0. Nhưng ta có thể tìm nhanh giá trị
max – min bằng Casio như sau:
+ B1. Bấm MODE 7 (TABLE), nhập vào giá trụ biểu thức

1 2 1 
m + 
2
m

+ B2: Vì m > 0 nên cho Start một giá trị lớn hơn 0, ở đây tác giả lấy Start 0.5 End là
5 và bước nhảy Step là 0.5 (nên chọn để có khoảng 8-10 giá trị là được)

+ B3: Quan sát kết quả màn hình máy tính

Ta nhận xét sau: với x = 0.5 f(x) bắt đầu giảm và đến khi x = 1 f(x) lại bắt đầu tăng.
Từ đó có thể nhận xét giá trị nhỏ nhất của f(x) nằm trong (1.125;1) và x sẽ thuộc (0.5;1)
Tuy nhiên có tới 3 đáp án thỏa nhận xét trên, vì vậy ta phải chia nhỏ bước nhảy lại:
Trang 17 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Cho giá trị start là 0.1, end là 1 với step là 0.1 ta có kết quả sau:

Nhận xét điểm giá trị nhỏ nhất của f(x) nằm trong khoảng (0.9542;0.945) (giá trị chính xác

3 1
khi giải bằng cách 1 là f ( x ) = .3 = 0.9449407... )
2 4
Khi đó x thuộc khoảng (0.7;0.8)
So sánh đáp án chỉ có đáp án B m = 3

1
= 0.7937... thỏa mãn nhận xét trên
2

Lưu ý: Ta không thể tìm chính xác giá trị m bằng Casio nếm m không phải số hữu tỉ vì vậy
khuyến khích các bạn sử dụng bất đẳng thức khi tìm được R.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + x . Tìm m để đường thẳng đi qua 2 cực trị của hàm số đã
cho tiếp xúc với đường tròn ( C ) : ( x − m + 1) + ( y − m ) =
2

A. m =

4
7

B. m =

6
7

2

1
25

C. Cả A và B đúng

D. Cả A và B sai

HƯỚNG DẪN GIẢI
Đáp án C
* Phân tích:
Nhắc lại kiến thức:
Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm bậc 3 là phần dư của phép chia

y
hoặc
y'

x b 
CALC giá trị i vào phương trình y − y '  +  (chuyển sang chế độ số phức).
 3 9a 

Đường thẳng ax + by + c = 0 tiếp xúc với đường tròn tâm I ( x 0 ; y0 ) bán kính R


ax 0 + by 0 + c
a 2 + b2

=R

- Từ phân tích trên: y ' = 3x 2 − 6x + 1
 x −3 
- Nhập vào máy tính phương trình: x 3 − 3x 2 + x − 3x 2 − 6x + 1  +
 , CALC tại x = i (nhớ
 3 9.1 

(

)

chuyển sang số phức MODE 2).
Trang 18 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Vậy ta được đường thẳng qua 2 điểm cực trị là: 4x + 3y −1 = 0 ( d )
- Để đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) có tâm I ( m − 1;m ) bán kính R = 5
6

m=

14 ( m − 1) + 3m − 1 1 7m − 5 = 1

7

= 

4
5 7m − 5 = −1 
42 + 32
m=

7

Ví dụ 3: Cho hàm số y =

x 2 − 2x + 4
có 2 điểm cực trị không thuộc đường thẳng y = ux + v.
1 − 2x

giá trị u + v bằng bao nhiêu ?
A. 0

B.

C. 1

D. 2

HƯỚNG DẪN GIẢI
Đáp án A
* Phân tích:

(x
Gọi y là đường thẳng cực đại và cực tiểu đi qua y =

2

)

− 2x + 4 '

(1 − 2x ) '

= 2 − 2x

Với giá trị tương ứng u = −2; v = 2  u + v = 0
Ví dụ 4: Xác định m để hàm y = x 4 − 2 ( 3m − 4 ) x 2 + 3m + 1 số có 3 điểm cực trị tạo
thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1:
A. m =1, m = 2

B. m = 1, m = - 2

C. m = -2

D. m = 2

HƯỚNG DẪN GIẢI
Đáp án D
* Phân tích:
Cách 1: Dùng công thức
Cho 3 cực trị tạo thành tam giác với hệ số a = 1. Khi đó bán kính đường tròn nội tiếp bằng
r=

1+

( b ')2
3
1 − ( b ')

b

b' = 
2


- Áp dụng công thức trên vào bài toán ta được: r =

1+

( b ')2
3
1 − ( b ')

b ' = 1

 b ' = −2

 4 − 3m = 1
m = 1


 4 − 3m = −2

m = 2
- Tuy dùng công thức nhưng chúng ta vẫn phải xét điều kiện có 3 cực trị:
Trang 19 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Để hàm số có 3 cực trị

−b
4
= 3m − 4  0  m 
2a
3

Vậy nhận m = 2.
Cách 2: Thay đáp án
Thay giá trị của m vào hàm số tìm ra tọa độ các điểm cực trị. Với giá trị của m nào thỏa mãn
điều kiện đề bài thì ta chấp nhận đáp án đó
Ghi chú: Đây là dạng câu hỏi thiên về tự luận và hiếm gặp trong khi trắc nghiệm. Ở đây tác giả
chỉ giới thiệu và chỉ giải bằng phương pháp trắc nghiệm, bạn đọc muốn tìm hiểu rõ về dạng này
có thể tìm đọc các tài liệu tự luận liên quan.

(

)

Ví dụ 5: Tìm m để hàm số y = − x 3 + 3x 2 + 3 m2 − 1 x + 3m2 − 1 có 2 cực trị x1 , x 2 thỏa điều
kiện cách đều gốc tọa độ:
 −1 1 
A. m   0; ; 
 2 2

C. m =

B. m = 0

1
2

D. Đáp án khác

HƯỚNG DẪN GIẢI
Đáp án D
* Phân tích:

(

)

y ' = −3x 2 + 6x + 3 m 2 − 1

(1)

Để hàm số đạt 2 cực trị  ' = 9m2  0  m  0

(

) (

Gọi 2 điểm cực trị lần lượt là A 1 − m; −2 − 2m3 , B 1 + m; −2 + 2m3

)

Để hàm số có 2 điểm cực trị cách đều trục tọa độ khi và chỉ khi
1

m=

2
OA = OB  8m3 = 2m  
(thỏa điều kiện 1)
−
1
m =

2

Ví dụ 6: Tìm m để hàm số y = x 3 − ( m + 2 ) x 2 + ( 3m − 1) x + m2 + 5 có 2 cực trị x1 , x 2 thỏa

x1.x 2 = 2
A.

−5
3

B.

−7
3

C.

7
3

D.A và C đều thỏa mãn

HƯỚNG DẪN GIẢI
Đáp án D
* Phân tích:
Trang 20 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


y ' = −3x 2 − 2 ( m + 2 ) x + 3m − 1
Để hàm số đạt 2 cực trị thỏa mãn đề bài

( m + 2 )2 − 3m + 1  0
m 2 + m + 5  0, m

'

0



c
  3m − 1

 x1.x 2 = 2
 =2
 3 =2

a


7

m = 3
3m − 1 = 6
3m − 1 = −6  

 m = −5

3

(

)

Ví dụ 7: Xác định m để hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3 m2 − 1 x − m3 + 4m − 1 có 3 cực trị tạo
thành 1 tam giác sao cho diện tích tam giác đó lớn nhất và tìm giá trị đó ?
5

2

A. m = 0; Smax = 32

B. m = 0; Smax = 35

C. m = − 3; Smax = 0

D. m = 3; Smax = 0

HƯỚNG DẪN GIẢI

Đáp án A
* Phân tích
Cách 1: giải theo tự luận

(

)

y ' = 4x 3 − 4 3 − m 2 x

x = 0
y' = 0  
2
x = 3 − m
Để hàm số có 3 cực trị thì 3 − m2  0  − 3  m  3

(1)

Nhận xét: Tới đây ta có thể mạnh dạn loại 2 câu C, D vì với điều kiện m như vậy sẽ không tồn
tại 3 cực trị. Nên nhớ: chọn 1 trong 2 cơ hội đúng cao hơn rất nhiều so với chọn 1 trong 4 và
tuyệt đối không được bỏ câu nào khi làm bài trắc nghiệm.
Gọi 3 điểm cực trị của hàm số

(

)

(

) (

A 0; m 2 − 1 ; B − 3 − m 2 ; −m 4 + 7m − 10 ; C

SABC

3 − m 2 ; −m 4 + 7m − 10

)
(

1
1
1
= d ( A; BC ) = y B − y A . x C − x B = m 4 − 6m 2 + 9 .2 3 − m 2 = 3 − m 2
2
2
2

)

5
2

m 2  0 m  3 − m 2  3 m

Trang 21 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

(

Vậy 3 − m2

)

5
2

5

 32

Dấu “=” xảy ra khi m = 0
Cách 2: Dùng công thức giải nhanh:
Nhắc lại công thức: Nếu 3 điểm cực trị của hàm trùng phương tạo thành 1 tam giác có diện tích S
thì S = −

( b ' )5
a3

Áp dụng công thức trên vào bài toán này
S=

( (
−

−2 3 − m 2
13

))

5

=

(

5
2 2
3− m

Vậy với giá trị m = 0 thì Smin

)



5
32

5
= 32

Ví dụ 8: Cho đồ thị hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m 2 + m + 1 , tìm m để đồ thị hàm số có 3 cực trị
thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1?
A. m = −1; m =
C. m =

−1 + 5

−1 − 5
;m=
2
2

−1 + 5
−1 − 5
;m=
2
2

B. m = −1; m =

−1 + 5
2

D. Đáp án khác
HƯỚNG DẪN GIẢI

Đáp án B
* Phân tích:
Cách 1: Dùng tính chất để giải:

x = 0
y ' = 4x 3 − 4mx, y ' = 0   2
x = m
Để hàm số có hai cực trị  m  0 (1)

(

) (

) (

Gọi các điểm cực trị A 0; m2 + m + 1 ; B − m; m + 1 ; C
SABC =

)

m; m + 1

1
1
1
d ( A; BC ) = y B − y A . x C − x B = m 2 .2 m = m 2 . m
2
2
2

AB = AC = m + m4 , BC = 2 m
Nhắc lại: SABC =

AB.AC.BC
AB.AC.BC
R=
4R
4SABC

Trang 22 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

(

)

m + m4 2 m
AB.AC.BC
Vậy R =
=
=1
4SABC
4.m2 m

m = 1

−1 − 5
3
 m − 2m + 1 = 0   m =

2

 m = −1 + 5

2

So với điều kiện (1) ta loại đi m =

−1 − 5
2

Cách 2: Dùng công thức giải nhanh:
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi 3 cực trị của hàm trùng phương

ax 4 + bx 2 + c
1
R=
2a


a 
2
 ( b ' ) −

( b ') 


2

1
1 
2
Áp dụng công thức trên vào bài toán: R =  ( b ' ) −
 =1
2
( b ') 


m = 1

−1 − 5

3
3
 ( b ') − 2 ( b ' ) − 1 = 0  −m + 2m − 1 = 0  m =

2

 m = −1 + 5

2

So với điều kiện tồn tại 3 cực trị ta loại m =

−1 − 5
2

Vậy giá trị m vừa tìm được thỏa điều kiện (1)
Ghi chú: Trên Internet dạo này có rất nhiều tài liệu Casio thần thánh hóa và những bài như
câu 73 thường sẽ giải quyết theo hướng thay đáp án, tuy nhiên tác gải đã cố tình cho vào 4
đáp án khác nhau cộng với câu D “Đáp án khác”. Vì vậy bắt buộc người giải phải tìm được
tất cả giá trị m thỏa. Từ đây tác giả khuyên các bạn chỉ xem Casio là công cụ tính toán

(

)

Ví dụ 9: Với giá trị nào của m thì hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3 m2 − 1 x − m3 + 4m − 1 có hai
điểm cực trị tạo với gốc tọa độ 1 tam giác vuông tại O?
A. m 1; −2

B. m −1; 2

C. m 1;2

D. Đáp án khác

Trang 23 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


HƯỚNG DẪN GIẢI
Đáp án B
* Phân tích:

(

)

y ' = 3x 2 − 6mx + 3 m 2 − 1

x = m +1
y' = 0  
x = m −1

 ' = m2 − m2 + 1 = 1  0 suy ra hàm số luôn có cực đại, cực tiểu
Gọi A ( m + 1;m − 3) ; B ( m −1;m + 1) là 2 điểm cực trị của hàm số

OA = ( m + 1; m − 3)
OB = ( m − 1; m + 1)
Để tam giác OAB vuông tại O thì OA.OB = 0

 m = −1

 ( m + 1)( m − 1) + ( m − 3)( m + 1) = 0  
m = 2
* Phân tích:

(

)

y ' = 3x 2 − 6mx + 3 m 2 − 1

x = m +1
y' = 0  
x = m −1

 ' = m2 − m2 + 1 = 1  0 suy ra hàm số luôn có cực đại, cực tiểu
Gọi A ( m + 1;m − 3) ; B ( m −1;m + 1) là 2 điểm cực trị của hàm số

OA = ( m + 1; m − 3)
OB = ( m − 1; m + 1)
Để tam giác OAB vuông tại O thì OA.OB = 0

 m = −1
 ( m + 1)( m − 1) + ( m − 3)( m + 1) = 0  
m = 2
Ví dụ 10: Cho hàm số: y = x 4 + ( 5m − 2 ) x 2 + m2 − 3 , tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành
tam giác có góc bằng 300 .

A. m =

3

−56 − 32 5
5

3

B.

−8
+2
3
5

Trang 24 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


D. Không có m thỏa mãn điều kiện đề bài

C. Cả A và B

HƯỚNG DẪN GIẢI
Đáp án C
* Phân tích:
Nhận xét: Đề bài cho 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 300 nhưng không nói là góc nằm
ở đỉnh cân hay ở đáy, vì vậy ta phải chia ra 2 trường hợp: rất nhiều bạn chỉ làm 1 trường hợp dẫn
tới đáp án sai.
- Trường hợp 1:
Góc tại đỉnh cân bằng 300
3
b3 + 8

3
−56 − 32 3 + 2
0
3
= cos 30 =
 b = −56 − 32 3  m =
3
2
5
b −8

- Trường hợp 2:
Góc tại đáy bằng 300  góc tại đỉnh bằng 1200 (nhớ là 1200 không phải 1500 )

b3 + 8
−1
−8
= cos1200 =
 3b3 = −8  b = 3
3
2
3
b −8
3

Vậy m =

−8
+2
3

5

Chọn C
Ghi chú:Với những bài có đáp án xấu như bài này khi giải bằng phương pháp tự luận sẽ khá
phức tạp, bạn đọc có thể tự giải để so sánh đáp án.
BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Câu 1: Hàm số y = − x 3 + 3x 2 + 1 đạt cực tiểu tại:
A. x = 0

B. x = 2

C. Không có cực tiểu D. Đáp án khác

Câu 2: Khẳng định nào sau đây là sai:
A. y =

3x + 2
có đạt cực tiểu tại – 1.
x +1

B. y =

x3
+ x 2 + 4x không có cực trị.
3

C. y = x 4 + 6x 2 + 2 đạt cực tiểu là 0.
D. Nếu đạo hàm không đổi dấu trên TXĐ thì hàm không có cực trị.

3x 2

− 3x 3 là:
Câu 3: Cực trị hàm số y =
2
Trang 25 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải