CHỦ đề 1 vấn đề 4 các DẠNG TOÁN về TIỆM cận image marked

VẤN ĐỀ 4: CÁC DẠNG TOÁN VỀ TIỆM CẬN
LÝ THUYẾT CĂN BẢN CẦN NẮM VỮNG
Mô ̣t số quy tắ c tim
̀ giới ha ̣n: (đã đươ ̣c ho ̣c ở lớp dưới)
Quy tắ c 1:
- Nế u lim f ( x ) =  và lim g ( x ) = L  0 thì lim f ( x ) g ( x )  đươ ̣c cho trong bảng sau:
x →x0
x →x0
x →x0

lim f ( x )

Dấ u của L

+

+

+

+

-

−

−

+

−

−

-

+

x →x0

lim f ( x ) g ( x ) 

x →x0

MINH HỌA
1) Tìm lim 3x 2 + 8
x →−


8 
8 


x 2  3 + 2  = lim  x  3 + 2  
x  x →− 
x  



Ta có: lim 3x 2 + 8 = lim
x →−



Vì 
 xlim
 →−

x →−

lim x = +

x →−

 lim 3x 2 + 8 = +
8 

x →−
3+ 2  = 3  0
x 


5


−2x 4 + + 9 
2) Tim
̀ xlim

→−
x




5
 
5
9 


Ta có: lim  −2x 4 + + 9  = lim  x 4  −2 + 5 + 4  
x →−
x
→−
x
x x 


 


lim x 4 = +
x →−

5


 lim  −2x 4 + + 9  = −
Vì 
5
9 


x →−
x


 xlim
 −2 + 2 + 4  = −2  0
x
x 
 →− 
Quy tắ c 2:
- Nế u lim f ( x ) = L  0, lim g ( x ) = 0 và g ( x )  0 hoă ̣c g ( x )  0 với mo ̣i x  J \ x 0  trong
x →x
x →x
0

0

f (x)
đươ ̣c cho trong bảng sau:
0 g(x)

đó J là mô ̣t khoảng nào đó chứa x 0 thì lim
x→x

Trang 1 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


lim f ( x ) g ( x ) 

Dấ u của L

Dấ u của g(x)

+

+

+

+

-

−

-

+

−

-

-

+

x →x0

MINH HỌA
1) Tìm lim

x →−3

2x − 9

( x + 3)

4

 lim ( 2x − 9 ) = −15  0
 x →−3
2x − 9
4

= −
Vì  lim ( x + 3) = 0  lim
4
x →−3
x →−3
x + 3)
(

4
 ( x + 3)  0, x  0
2) Tim
̀ lim+
x →4

2x − 2
x−4

 lim+ ( 2x − 2 ) = 6  0
 x →4
2x − 2
= +
Vì  lim+ ( x − 4 ) = 0  lim+
x →4 x − 4
 x →4
 x − 4  0, x  4

Đinh
̣ nghia:
̃
- Cho hàm số y = f ( x ) xác đinh
̣ trên mô ̣t khoảng vô ha ̣n (là khoảng da ̣ng ( a; + ) , ( −;b )
hoă ̣c ( −; + ) ). Đường thẳ ng y = y0 là đường tiêm
̣ câ ̣n ngang (hay tiê ̣m câ ̣n ngang) của đồ
thi ̣hàm số y = f ( x ) nế u it́ nhấ t mô ̣t trong các điề u kiê ̣n sau đươ ̣c thỏa mañ .

lim f ( x ) = y0 , lim f ( x ) = y0

x →+

x →−

MINH HỌA
1) Cho hàm số y = f ( x ) =

4
−9
x

4

Đồ thi ha
̣ ̀ m số có tiê ̣m câ ̣n ngang y = −9 vì lim f ( x ) = lim  − 9  = −9
x →+
x →+ x



2) Cho hàm số y = f ( x ) =

1− 5 x
x x

Trang 2 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


y = f (x) =

1− 5 x
1
5
=
−
x x
x x x

5
 1
Đồ thi ha
− =0
̣ ̀ m số có tiê ̣m câ ̣n ngang y = 0 vì lim f ( x ) = lim 
x →+
x →+ x x
x

Đinh
̣ nghia:
̃
Đường thẳ ng x = x 0 là đường tiêm
̣ câ ̣n đứng (hay tiê ̣m câ ̣n đứng) của đồ thi ̣ hàm số

y = f ( x ) nế u it́ nhấ t mô ̣t trong các điề u kiê ̣n sau đươ ̣c thỏa mañ
lim f ( x ) = −, lim− f ( x ) = +

lim f ( x ) = +, lim− f ( x ) = −

x → x 0+

x → x 0+

x →x0

x →x0

MINH HỌA

1) Cho hàm số y = f ( x ) =
y = f (x) =

4
−9
x

4
4 − 9x
−9 =
x
x

- Đồ thi ̣hàm số có tiê ̣m câ ̣nd dứng x = 0 vì
 lim+ ( 4 − 9x ) = 4  0
 x →0
 4 − 9x 
 lim+ f ( x ) = lim+ 
lim+ x = 0

 = +
x
→
0
x
→
0
x →0
x




x

0,

x

0


2) Cho hàm số y = f ( x ) =

1− 5 x
x x

- Đồ thi ̣hàm số có tiê ̣m câ ̣n đứng x = 0 vi:̀

(

)

 lim 1 − 5 x = 1  0
 x → 0+
 1− 5 x 

 lim+ f ( x ) = lim+ 
 = +
lim+ x x = 0


x →0
x →0
x →0
 x x 

 x x  0, x  0
BÀI TẬP MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho y =

mx − 1
. Với giá tri ̣nào của m thì tam giác ta ̣o bởi hai đường tiê ̣m câ ̣n và
x − m +1

đường thẳ ng y = 2x + 1 có chu vi là 6?
A. 8 + 3 5

B. 8 − 3 5

C. 9 − 3 5

D. 3 5 − 9

HƯỚNG DẪN GIẢI

Trang 3 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


- Ta có: x = m − 1 và y = m lầ n lươ ̣t là tiê ̣n câ ̣m đứng và tiê ̣m câ ̣n ngang của đồ thi ̣ hàm số
y=

mx − 1
x − m +1

- Do đó O ( m −1, m) là tâm đố i xứng của đồ thi ha
̣ ̀ m số y =

mx − 1
x − m +1

- Thay x = m − 1 vào y = 2x + 1 ta đươ ̣c: y = 2 ( m −1) + 1 = 2m −1

 A ( m − 1, 2m − 1) là giao điể m của tiê ̣m câ ̣n đứng của đồ thi ̣ hàm số y =

mx − 1
và
x − m +1

đường thẳ ng y = 2x + 1
- Thay y = m vào y = 2x + 1 , ta đươ ̣c m = 2x + 1  x =

m −1
2

mx − 1
 m −1 
 B
, m  là giao điể m của tiê ̣m câ ̣n ngang của đồ thi ̣ hàm số y =
và đường
x − m +1
 2



thẳ ng y = 2x + 1
- Ta phải lưu ý rằ ng nế u m = 1 thì A = B = C và không ta ̣o thành tam giác, do đó m  1
- Từ các dữ kiê ̣n trên ta có:

OA = 2m − 1 − m = m − 1
OB = m − 1 −

m −1 1
= m −1
2
2
2


5
2
2
 m − 1 
 m −1 
AB = ( m − 1) − 
m −1
  + ( 2m − 1 − m ) = 
 + ( m − 1) =
2
 2 
 2 

2

Chu vi ABC : C ABC = m − 1 +
Để CABC = 6;

1
5
3+ 5
m −1 +
m −1 =
m −1
2
2
2

m − 1 = 9 − 3 5
m = 8 − 3 5
3+ 5
m −1 = 6  m −1 = 9 − 3 5  

2
1 − m = 9 − 3 5
 m = 3 5 − 8

Ta thấ y chỉ có đáp án B thỏa mañ m = 8 − 3 5

 Cho ̣n B
Ví dụ 2: Cho y =

2x + 1
. Tiń h diê ̣n tić h tam giác ta ̣o bởi đường tiê ̣m câ ̣n của hàm số đã cho

3x − 2

và đường thẳ ng y = 2x + 1 ?
A.

5
12

B.

25
18

C.

5
6

D.

25
36

Trang 4 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


HƯỚNG DẪN GIẢI
2 2
- Ta có: O  ;  là tâm đố i xứng của đồ thi ̣hàm số đã cho.
3 3

- Go ̣i A, B lầ n lươ ̣t là giao điể m của tiê ̣m câ ̣n đứng x =

2
2
và tiê ̣m câ ̣n ngang y = của đồ thi ̣
3
3

hàm số với đường thẳ ng y = 2x + 1 .
- Thay x =

2
2
7
2 7
vào y = 2x + 1 ta đươ ̣c: 2. + 1 =  A  ; 
3
3
3
3 3

- Thay y =

2
2
−1
 1 2
 B − ; 
vào y = 2x + 1 ta đươ ̣c: 2x + 1 =  x =

3
3
6
 6 3

- Từ những điề u trên ta có: OB =

2 1 5
7 2 5
+ = và OA = − =
3 6 6
3 3 3

1
1 5 5 25
 SOAB = .OA.OB = . . =
2
2 6 3 36

 Cho ̣n D
Ví dụ 3: Cho ( C ) : y =

ax + 2
. Đă ̣t M là tâm đố i xứng của (C), N là giao điể m của tiê ̣m câ ̣n
2x − 3a

đứng và tru ̣c hoành, O là gố c to ̣a đô ̣, P là giao điể m tiê ̣m câ ̣n ngang và tru ̣c tung. Hiǹ h chữ
nhâ ̣t MNOP có diê ̣n tić h là 4. Tiń h tấ t cả các giá tri cu
̣ ̉ a a,
A.

4 3
3

B.

−4 3
3

C. 

4 3
3

D. 4

HƯỚNG DẪN GIẢI
Phân tích:
Ta có: x =

a
3a
là tiê ̣m câ ̣n đứng và y = là tiê ̣m câ ̣n ngang của (C)
2
2

3a a 3a 2
Diê ̣n tích hình chữ nhâ ̣t MNOP : S = xy = . =
2 2
4

Do đó

3a 2
4 3
=4a=
4
3

 Cho ̣n C
Lưu ý: Các em hấ p tấ p ở câu này có thể bỏ qua ý “tấ t cả giá tri ̣ của a” và cho ̣n nhầ m sang
đáp án A hoă ̣c B.
Nhâ ̣n xét: Qua bài này ta có thề suy ra diộn tích hình chữ nhật ABCD (nếu có) tạo bởi hai
đường tiê ̣m cận x = x 0 và y = y0 của đồ thi ha
̣ ̀ m số và hai tru ̣c to ̣a đô ̣ là S = x 0 y0
Trang 5 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Ví dụ 4: Với giá tri ̣ nào của m thì C1 : y =

x −3
x+2
và C2 : 2
sẽ có chung tâm đố i
2
m x + 2m
2mx + m

xứng?
A. m = −2

B. m = 2

C. m = 0

D. Không có giá tri m
̣ thỏa mañ
HƯỚNG DẪN GIẢI

Phân tích:
Ta thấ y rằ ng với m = 0 , cả hai hàm số y =

x+2
x −3
và y = 2
đề u không xác đinh
̣
2
2mx + m
m x + 2m

m0
Với m  0 , x =

−m
−2
1
1
và x =
lầ n lươ ̣t là tiê ̣m câ ̣n đứng, y =
và y = 2 lầ n lươ ̣t là

2m
m
m
2

tiê ̣m câ ̣n ngang của ( C1 ) và ( C2 )
Xét:

−2 −m
=
 m 2 − 4 = 0  m = 2 (1)
m
2

Và :

m = 0
1
1
= 2  m2 − 2m = 0  
(2)
2m m
m = 2

Kế t hơ ̣p (1) và (2)  m = 2

 Cho ̣n B
Lưu ý:
- Mô ̣t số em nhìn thấ y đa thức ở tử của hai hàm số là x + 2 và x − 3 khác nhau, liề n nghi ̃
chúng không thể chung tâm đố i xứng và cho ̣n ngay đáp án D là rấ t sai lầ m.

- Ta rút ra mô ̣t kế t luâ ̣n là đố i với hàm số y =

ax + b
, c  0, ad − bc  0 , giá tri ̣ b không làm
cx + d

ảnh hưởng đế n tâm đố i xứng cũng như hai đường tiê ̣m câ ̣n của hàm số .
Ví dụ 5: Cho C : y =
C1 : y =

A.

( m + 1) x − 2 . Đinh
̣ m để C co tiê ̣m câ ̣n ngang trung vơi tiê ̣m câ ̣n ngang
m2 x + 2m

́

̀

́

2x − 2
?
x +1

−1
2

B. 0

C. -1

D. 2

HƯỚNG DẪN GIẢI
- Xét C1 : y =

2x − 2
2x − 2
= 2  y = 2 là tiê ̣m câ ̣n ngang của C1
, ta có lim y = lim
x
→+
x
→+
x +1
x +1

Trang 6 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


- Xét C : y =

( m + 1) x − 2
m2 x + 2m

Với m = 0 , hàm số y =

( m + 1) x − 2

m2 x + 2m

Với m = −1 , ta đươ ̣c hàm số y =

không xác đinh
̣ x 

, ta loa ̣i B

−2
x−2

Đồ thi ha
̣ ̀ m số trên nhâ ̣n đường thẳ ng y = 0  y = 2 là tiê ̣m câ ̣n ngang, ta loa ̣i C.

( m + 1) x + 2 =
lim

Với m  0 và m  −1 , xét lim y =
x →+
x →+

Để C nhâ ̣n y = 2 làm tiê ̣m câ ̣n ngang thì

Xét các đáp án, chỉ có A thỏa m =

2mx + m 2

2
x = m +1

lim
x →+
2m mh2
m2 +
x
m +1−

 m =1
m +1
2

=
2

2m
−
m
−
1

 m = −1
m2

2

−1
2

 Cho ̣n A
x2 + 2

Ví dụ 6: Cho hàm số y = 2
. Tìm m để đồ thi ̣hàm số có duy nhấ t mô ̣t tiê ̣m câ ̣n
2x − 2mx + m
đứng và tiê ̣m câ ̣n đứng đó cắ t parabol ( P ) : y = x 2 − 2x + 2 ta ̣i điể m có tung đô ̣ là 2?
B. m = 0

A. m = 2

C. m = −2

D. m = 1

HƯỚNG DẪN GIẢI
- Đồ thi ̣hàm số y =

x2 + 2
có duy nhấ t mô ̣t tiê ̣m câ ̣n đứng
2x 2 − 2mx + m

 phương trình 2x 2 − 2mx + m = 0 có nghiê ̣m kép
m = 2
  ' = 0  m 2 − 2m = 0  
m = 0
Với m = 2, y =

x2 + 2
2x 2 − 4x + 2

- Xét: 2x 2 − 4x + 2 = 0  2 ( x − 1) = 0  x = 1
2

Kiể m tra giới ha ̣n ta đươc̣ x = 1 là tiê ̣m câ ̣n đứng của y =

x2 + 2
2x 2 − 2mx + m

2
2
Để tim
̀ giao điể m của x = 1 và (P), ta thay x = 1 vào y = x − 2x + 2 :1 − 2 + 2 = 1  2  m = 2

không thỏa mañ .
Trang 7 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Với m = 0 , y =

x2 + 2
2x 2

Hàm số trên nhâ ̣n x = 0 là tiê ̣m câ ̣n đứng
Thay x = 0 vào y = x 2 − 2x + 2 , ta đươ ̣c: 02 − 2.0 + 2 = 2 (thỏa mañ )
Do đó ta nhâ ̣n m = 0

 Cho ̣n B
Ví dụ 7: Cho f ( x ) =

2x + 1
. Đồ thi ̣hàm số y = f ' ( x ) có:
x +3

A. x = −3 là tiê ̣m câ ̣n đứng, y = 2 là tiê ̣m câ ̣n ngang
B. x = 3 là tiê ̣m câ ̣n đứng, y = −2 là tiê ̣m câ ̣n ngang
C. x = −3 là tiê ̣m câ ̣n đứng, y = 5 là tiê ̣m câ ̣n ngang
D. x = −3 là tiê ̣m câ ̣n đứng, y = 0 là tiê ̣m câ ̣n ngang
HƯỚNG DẪN GIẢI
Ta có: y = f ' ( x ) =

5

( x + 3)

2

- Xét ( x + 3) = 0  x = −3
2

lim 5 = 5  0



5
2

lim ( x + 3) = 0
y = lim
= +
  xlim
2
x →−2

x →−3−
→ 2−
x + 3)
(

2
( x + 3)  0, x  −3
x →−3+

̣ ̀ m số y =
 x = −3 là tiê ̣m câ ̣n đứng của đồ thi ha
- Đồ ng thời: lim y = lim
x →+

x →+

5

( x + 3)

2

5

( x + 3)

2

=0

 y = 0 là tiê ̣m câ ̣n ngang của đồ thi ha
̣ ̀ m số y =

5

( x + 3)

2

 Cho ̣n D
Lưu ý: Đố i với bài này nế u các em không đo ̣c ki ̃ có thể nhầ m lẫn giữa f ' ( x ) với f ( x ) và
cho ̣n sai sang đáp án A.
Ví dụ 8: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa f ( 3) = 1 và đồ thi ̣của nó có hai tiê ̣m câ ̣n đứng đố i xứng
qua gố c to ̣a đô ̣?
Trang 8 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


A. y =

x
2
x −1

B. y =

x+2
x2 − 4

C. y =

x2 − 6
x+4

D. y =

x −3
x − 2x − 3
2

HƯỚNG DẪN GIẢI
Để ý thấ y các đáp án đề u là hàm số có da ̣ng y =

f (x)
g(x)

Đồ thi ha
̣ ̀ m số có 2 tiê ̣m câ ̣n đứng  g ( x ) có ít nhấ t hai nghiê ̣m phân biê ̣t x1 , x 2
Đồ ng thời di các tiê ̣m câ ̣n đứng đố i xứng qua gố c to ̣a đô ̣ nên x1 + x 2 = 0
Do đó, ta loa ̣i đươ ̣c C và D
Xét với f ( x ) = y =

3
3
x
=  1  loa ̣i A
, ta có: f ( 3) = 2
3 −1 8
x −1
2

Như vâ ̣t chỉ còn đáp án B
Ta có thể kiể m tra la ̣i: f ( x ) = y =

x+2
3+ 2
 f ( 3) = 2
= 1 (thỏa mañ )
2
x −4
3 −4

 Cho ̣n B
MỘT SỐ THỦ THUẬT, KĨ NĂNG CẦN BIẾT
Máy tính Casio (hướng dẫn này dành cho Casio fx-570VN PLUS)
và nhấ n các phim
́ có nhañ chữ màu vàng để sử du ̣ng các chức năng của hàm

- Nhấ n
đó.

và nhấ n các phím có nhañ chữ màu đỏ để sử du ̣ng các chức năng của hàm

- Nhấ n
đó.

dùng để thay giá tri va
̣ ̀ tiń h…

- Phím

Áp du ̣ng:
1/ Nhâ ̣p
hiê ̣n

, nhấ n
, nhâ ̣p

(

, nhấ n

kế t quả của 3 + 2 5

)

, màn hiǹ h sẽ hiê ̣n
, màn hiǹ h sẽ hiê ̣n

, nhâ ̣p 3

, nhấ n

, màn hiǹ h sẽ

. Ta đươ ̣c đáp án trên màn hiǹ h là

2

Trang 9 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

2/ Nhâ ̣p
hiê ̣n

, nhâ ̣p
̉

, nhâ ̣p

, nhấ n

, màn hình sẽ

. Ta đươ ̣c đáp án trên màn hình là

, màn hình sẽ hiê ̣n

, nhấ n

(2 − 2 5 )
kế t qua cua
̉

, màn hiǹ h sẽ hiê ̣n

, nhấ n

2

2.2

- Thay các giá tri ̣xấ p xỉ để tính lim.
Áp du ̣ng
1) Cho hàm số y = f ( x ) =

4
−9
x

 4 − 9x 
Đồ thi ha
̣ ̀ m số có tiê ̣m câ ̣n đứng x = 0 vì lim+ 
 = +
x →0 
x 

Thử bằ ng cách nhâ ̣p

, nhấ n

, màn hiǹ h sẽ hiê ̣n

, nhâ ̣p

, nhấ n

4

, màn hình hiê ̣n số khá lớn. Vâ ̣y ta có thể dự đoán khi x → 0 thì  − 9  → 
X



2) Cho hàm số y = f ( x ) =

1− 5 x
x x

5
 1
− =0
Đồ thi ha
̣ ̀ m số có tiê ̣m câ ̣n ngang y = 0 vì lim f ( x ) = lim 
x →+
x →+ x x
x


Thử bằ ng cách nhâ ̣p
nhấ n

, nhấ n

, màn hình sẽ hiê ̣n

, nhâ ̣p

 1− 5 x
, màn hiǹ h hiê ̣n số xấ p xỉ 0. Vâ ̣y ta có thể dự đoán khi x → + thì 
 x x

,

 → 0


BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Câu 1: Đồ thị hàm số nào sau đây có tiệm cận?
A. y = ax + b

B. y = ax 4 + bx 2 + d

C. y = ax 3 + bx 2 + cx + d

D. y =

ax + b
, c  0, ad − bc  0
cx + d '

Câu 2: Trong các hàm số dưới đây, đồ thi ̣của hàm nào có tiê ̣m câ ̣n đứng

2x 2 + 3
A. y = 2
x + 2x + 4

x 3 + 2x
B. y = 4
x +1

Trang 10 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

C. y =

3x + 1
2x − 1

Câu 3: Đồ thi ̣hàm số y =
A. x =

3
2

D. y = sin x
3x + 1
có tiê ̣m câ ̣n đứng là?
2x − 4

C. y = 2

B. x = 2

D. y =

3
2

D. y =

2x + 1

x2 −1

Câu 4: Đồ thi ̣hàm số nào không có tiê ̣m câ ̣n đứng?
A. y =

2x + 1
x2 +1

B. y =

4x + 1
1− x

C. y =

x +3
x2

Câu 5: Tiê ̣m câ ̣n đứng của đồ thi ̣hàm số y = f ( x ) nế u có thì luôn:
A. Song song với tru ̣c tung

B. Vuông góc với tru ̣c tung

C. Song song với tru ̣c hoành

D. Song song hoă ̣c trùng với tru ̣c tung

Câu 6: Đồ thi ̣hàm số nào sau đây có tiê ̣m câ ̣n ngang?
A. y =

2x 2 + 4
x−2

Câu 7: Đồ thi ̣hàm số y =
A. x = 2

B. y = 2x + 5 −

4
C. y = tan x
3x − 2

D. y =

2x + 3
5−x

2x − 4
có tiê ̣m câ ̣n ngang là?
x +1

B. y = −1

C. x = −1

D. y = 2

Câu 8: Đồ thi ̣hàm số nào sau đây không có tiê ̣m câ ̣n ngang?
A. y =

3
+ 4 − 2x
x −1

B. y =

x 2 + 2x − 3
x2 − 9

C. y =

4x − 2
2x − 1

D. y = 2x

Câu 9: Nế u đồ thi ha
̣ ̀ m số y = f ( x ) có tiê ̣m câ ̣n ngang thi:̀
A. Tiê ̣m câ ̣n ngang luôn trùng với tru ̣c hoành
B. Tiệm cận ngang luôn song song với trục hoành
C. Tiệm cận ngang luôn song song với trục tung
D. Tiệm cận ngang luôn vuông góc với trục tung
Câu 10: Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nếu có thì luôn:
A. Cắt nhau tại gốc tọa độ

B. Song song nhau

C. Song song hoặc trùng nhau

D. Vuông góc nhau

Câu 11: Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận?
4
A. y = 2x + 1 +
x −1

B. y = tan x

x 4 + 3x 2 + 2
C. y =
6

D. y = e x

Trang 11 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Câu 12: Cho hàm số y =

−5

( x − 2)

2

và các mê ̣nh đề sau:

(I): Đồ thi ha
̣ ̀ m số luôn nằ m dưới tru ̣c hoành
(II): Đồ thi ̣hàm sôs có tiê ̣m câ ̣n đứng là x = 2

(III): Đồ thi ̣hàm số không có tiê ̣m câ ̣n ngang
(IV): Hàm số có đa ̣o hàm y ' =

−10x − 2

( x − 2)

4

(V): Hàm số luôn nghich
̣ biế n trên tâ ̣p xác đinh
̣
Các mê ̣nh đề không chính xác là?s
A. (III)

B. (V)

C. (I), (II)

Câu 13: Tâm đố i xứng của đồ thi ̣hàm số y =
 2
A.  5; 
 5

2 
B.  ;5 
5 

Câu 14: Đồ thi ̣hàm số y =
A. 2

2x + 1
là:
5− x

C. ( 5; −2 )

D. ( −2;5)

x −3
có bao nhiêu tiê ̣m câ ̣n?
2 + 4x 2

B. 1

Câu 15: Đồ thi ̣hàm sô y =

D. Cả A và B

C. 0

D. 3

3x 2
có:
2x 2 + 3x

A. 1 tiê ̣m câ ̣n đứng và 1 tiê ̣m câ ̣n ngang

B. 2 tiê ̣m câ ̣n đứng

C. 2 tiê ̣m câ ̣n đứng, 1 tiê ̣m câ ̣n ngang

D. it́ nhấ t 3 tiê ̣m câ ̣n

Câu 16: Đồ thi ̣hàm số y = 2x +

3
có:
x −5

A. Tiê ̣m câ ̣n ngang là y = 2x

B. Tiê ̣m câ ̣n đứng là x = 5

C. Tiê ̣m câ ̣n ngang là x = 5

D. Tiê ̣m câ ̣n đứng là y = 5

Câu 17: Tiê ̣m câ ̣n của đồ thi ̣hàm số y = f ( x ) đi qua điể m M ( 3; 2 ) và vuông góc tru ̣c hoành
có thể là?
A. Đường thẳ ng y = 3x + 2

B. Tiê ̣m câ ̣n ngang y = 2

C. Tiê ̣m câ ̣n đứng x = 3

D. A, B, C đề u sai

Câu 18: Đồ thi ̣hàm số y =

x
x −4
2

có:

A. 1 tiê ̣m câ ̣n đứng, 1 tiê ̣m câ ̣n ngang

B. 2 tiê ̣m câ ̣n đứng, 1 tiê ̣m câ ̣n ngang

C. 2 tiê ̣m câ ̣n đứng, 2 tiê ̣m câ ̣n ngang

D. 1 tiê ̣m câ ̣n đứng, 2 tiê ̣m câ ̣n ngang

Trang 12 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Câu 19: Đồ thi ̣hàm số nào sau đây có nhiề u hơn hai tiê ̣m câ ̣n?
A. y =

2x + 1
x+2

B. y =

Câu 20: Cho hàm số y =

3
15x + 1

C. y =

x2 +1
x 2 − 5x + 6

D. y =

x2 − 6
x2 + 2

3x 2 + 4
. Cho ̣n phát biể u đúng:
x 2 − 5x + 6

A. x = 0 không là tiê ̣m câ ̣n đứng của đồ thi ̣hàm số
B. Hàm số không xác đinh
̣ trên

\ 2, −3

C. Đồ thi ̣hàm số có 3 đường tiê ̣m câ ̣n đứng
D. Hàm số đơn điê ̣u trên toàn bô ̣
Câu 21: Hàm số y =

x + a
đi qua điể m A ( 2;0) . Tiê ̣m câ ̣n đứng của đồ thi ̣hàm số này là?
4x − 9

B. x =

A. x = 1

9
4

Câu 22: Đồ thi ̣(C) của hàm số y =

C. x =

D. x = 1

x + 3
đi qua A ( 2;1) . Tâm đố i xứng của (C) là?
2x + 1

 −1 
B.  ; 2 
 2 

A. ( 2;1)

1
2

Câu 23: Xác đinh
̣ hàm số y = f ( x ) =

1 
C.  ;1

2 

 −1 1 
D.  , 
 2 2

2x + a
sao cho đồ thi ̣ (C) của hàm số đã cho có tiê ̣m
5a − b

câ ̣n đứng x = 2 và đi qua P ( 3;1)
A. y =

2x + 2
5x − 10

B. y =

2x − 1
5x − 10

C. y =

2x − 3
5x − 10

D. y =

2x
5x − 10

Câu 24: Hàm số y = f ( x ) thỏa mañ các tính chấ t sau:
- Đồ ng biế n trên các khoảng xác đinh
̣
- Không xác đinh
̣ ta ̣i x = 2
- Tiê ̣m câ ̣n ngang của đồ thi ̣hàm số nằ m trên tru ̣c tung và cách tru ̣ tung mô ̣t đoa ̣n d = 3
- Hàm số đó có thể là:
A. y =

3x

( x − 2)

2

B. y =

3x − 7
x−2

C. y =

3x 2 − 2
x−2

D. y =

3x 2 − 1
x2 − 4

 2x + 3
,x  2

Câu 25: Cho (C) : y = f ( x ) =  4 − 2x
3
2

 x + 3x + 1, x  2
Điề u kiê ̣n nào sau đây là đúng?
Trang 13 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


A. (C) không có tiê ̣m câ ̣n

B. (C) có tiê ̣m câ ̣n đứng

C. (C) có tiê ̣m câ ̣n ngang

D. (C) có nhiề u hơn mô ̣t tiê ̣m câ ̣n

1
1
3
x 2 − 6x + 5
Câu 26: Cho y =
và các đường thẳ ng: d1 : x = ; d 2 : y = − ; d 3 : y = −
2
2
2

2x + 3

Các đường thẳ ng là tiê ̣m câ ̣n của đồ thi la
̣ ̀:
A. d1

B. d 2

D. Cả 3 đề u sai

C. d3

 1 − x 2 , −1  x  1

 x−2
Câu 27: Cho y = f ( x ) = 
. Phát biể u nào sau đây không chiń h xác.
,x 1
x
−
1

x 2 , x  −1



A. D =

là tâ ̣p xác đinh
̣ của hàm số y = f ( x )

B. Hàm số nhâ ̣n giá tri ̣0 khi biế n x = 0
C. x = 1 là tiê ̣m câ ̣n đứng của đồ thi ̣hàm số y = f ( x )
D. y = 1 là tiê ̣m câ ̣n ngang của đồ thi ̣hàm số y = f ( x )
Câu 28: Đồ thi ̣hàm số y =
A. 2

1
x 2 − 2 ( m − 1) x + ( m + 1) − 4
2

B. 3

có bao nhiêu tiê ̣m câ ̣n
D. Không thể xác đinh
̣

C. 1

Câu 29: Cho i, j lầ n lươ ̣t là tiê ̣m câ ̣n đứng của đồ thi ̣ của hai hàm số y =

y=

2x + 5
và
x −3

x2 + 2
. Khẳ ng đinh
̣ nào đúng?

x2 − 4

A. i = j

B. i  j

C. i  j

D. i, j không tồ n ta ̣i

mx 2 + 1
Câu 30: Với giá tri ̣nào của m thì đồ thi ̣hàm số y =
có tiê ̣m câ ̣n ngang?
2x − 3
A. 0

B. 2

Câu 31: Đồ thi ̣hàm số y =
A. a  −7

C.

3
2

D. 1

6
có tiê ̣m câ ̣n đứng khi?

x + 2ax − 6a + 7
2

B. a  7

C. a  −7 hoă ̣c a  1 D. a  1

Câu 32: Đồ thi ̣ hàm số có tiê ̣m câ ̣n đứng đi qua M

(

)

3,1 và có da ̣ng y =

x +1
. Giá tri ̣
2x − m

của m là:
Trang 14 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


A. 2

3

B.

C.

1
2

D. 2 3

Câu 33: Go ̣i m, n, p, q lầ n lươ ̣t là tổ ng số tiê ̣m câ ̣n ngang và đứng của: y =
y=

2x + 2
x 2 + 3x + 1
; y= 2
; y=
x −1
x − 4x − 5

A. m = n  p  q

x
x2 − 4

x 2 − 2x + 3
;
x −3

. So sánh nào sau đây là đúng?

B. q  p  n  m

D. m = n = p = q

C. m  n  p  q

 3 1
Câu 34: Cho đồ thi ̣ hàm số có giao của hai đường tiê ̣m câ ̣n là M  ;  và đi qua A ( 3,1) .
 2 3

Hàm số đó có thể là?
A. y =

x+4
3x − 2

2x + 1
x −3

B. y =

C. y =

x+5
3x − 2

D. y =

3x − 2
x+4

3mx 2 + 2m + 9
Câu 35: Cho hàm số y =

. Với giá tri ̣ nào của m thì đồ thi ̣ hàm số có tiê ̣m
(3m2 − 2) x 2 + 2
câ ̣n ngang y = 3 ?
A. 1

B.

1
3

C.

2
3

D. 3

Câu 36: Đồ thi ̣hàm số nào sau đây thỏa mañ khoảng cách từ giao điể m của nó với tru ̣c tung
đế n tiê ̣m câ ̣n ngang của nó bằ ng
A. y =

x−2
2x − 2

1
?
2

B. y =

x+2
2x − 1

C. y =

x+2
2x + 1

D. y =

x−2
2x + 1

Câu 37: Cho a và b lầ n lươ ̣t là tiê ̣m câ ̣n đứng và tiê ̣m câ ̣n ngang của đồ thi ̣ hàm số

(m
y=

2

+ 2m − 4 ) x 2 − ( 2m + 1)

( 2m + 3) x 2 − 9

, với m là nghiê ̣m nguyên dương của phương triǹ h

m2 − 4 = 0, a và b lầ n lươ ̣t có những giá tri ?̣
A. a = 1, b = 

4

9

B. a = −1, b = −

4
9

C. a = 1, b =

4
9

D. a = 1, b =

4
9

Đáp án
1-D

2-C

3-B

4-A

5-D

6-D

7-D

8-A

9-D

10-D

11-C

12-D

13-C

14-B

15-A

16-C

17-C

18-C

19-C

20-A

21-B

22-D

23-B

24-B

25-C

26-B

27-B

28-B

29-C

30-A

31-C

32-D

33-C

34-A

35-A

36-A

37-D

Trang 15 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án D
Phân tích: Đây là câu hỏi rấ t cơ bản chỉ để kiể m tra kiế n thức lý thuyế t.
Các đồ thi ̣ hàm số đa thức như hàm bâ ̣c nhấ t y = ax + b , hàm bâ ̣c hai y = ax 2 + bx + c , hàm
bâ ̣c ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d , hàm trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c đề u không có tiê ̣m câ ̣n.
Như vâ ̣t ta có thể dễ dàng loa ̣i bỏ đáp án A, B và C
Đồ thi ̣ hàm phân thức hữu tỷ da ̣ng y =

ax + b
, với điề u kiê ̣n c  0 , ad − bc  0 có tiê ̣m câ ̣n
cx + d

đứng và tiê ̣m câ ̣n ngang
Câu 2: Đáp án C
Đồ thị hàm số y = f ( x ) có tiệm cận đứng x = x 0 nếu ít nhất một trong bốn điều sau đây
được thỏa:
lim f ( x ) = +

x → x 0+

lim f ( x ) = +

x → x 0−

lim f ( x ) = −

lim f ( x ) = −

x → x 0+

Phân tích: Tuy nhiên, đối với hàm số phân thức dạng y =

x → x 0−

f (x)
(đã tố i giản), ta có thể giải
g(x)

nhanh bằng cách giải phương trình g ( x ) = 0 , các nghiệm của phương trình này (nếu có) thì
thường chính là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

f (x)
(ta phải kiểm tra lại bằng
g(x)

cách tiń h giới ha ̣n).
Dễ dàng nhận thấy rằng hàm số y = sin x có tập xác định trên

và đồ thị của hàm này

không có tiệm cận. Như vậy ta nhanh chóng loại được đáp án D.
Ta la ̣i có hai phương trình x 4 + 1 = 0 và x 2 + 2x + 4 = 0 vô nghiê ̣m trên trường số thực. Nên
đồ thi hai
̣ hàm số của hai đáp án A và B cũng không có tiê ̣m câ ̣n đứng.
Câu 3: Đáp án B

Phân tích: Xét 2x − 4 = 0  x = 2
lim ( 3x + 1) = 7  0 

3x + 1
= +
Ta có: lim+ ( 2x − 4 ) = 0   lim+ y = lim+
x → 2 2x − 4
x →2
 x →2
2x − 4  0, x  2 
x → 2+

Đo đó đường thẳ ng x = 2 là tiê ̣m câ ̣n đứng của đồ thi ̣hàm số
Câu 4: Đáp án A
Trang 16 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Phân tích: Thay vì đi tim
̣ nghiã , ta có thể phân tić h nhanh bằ ng cách sau
̀ tiê ̣m câ ̣n theo đinh
đây.
Ta thấ y cả ba phương trình: 1 − x = 0, x 2 = 0, x 2 − 1 = 0 đề u có nghiê ̣m. Do đó đồ thi ̣ của các
hàm số y =

4x + 1
x +3
2x + 1
,y = 2 ,y = 2
. Như vâ ̣y đáp án B, C, D có thể không chính xác.
1− x

x
x −1

Nhưng ta chắ c chắ n mô ̣t điề u rằ ng phương triǹ h x 2 + 1 = 0 không có nghiê ̣m trên trường số
thực do đó ta dễ dàng cho ̣n đươ ̣c đáp án A.
Lưu ý: Ở đây ho ̣c sinh nên đo ̣c kỹ câu hỏi, khi các em chỉ lướt sơ qua thì có thể nhầ m đề là
“Hàm số nào sau đây có tiê ̣m câ ̣n đứng” và cho ̣n sai!
Câu 5: Đáp án D
Tiê ̣m câ ̣n đứng của đồ thi ̣hàm số nế u có thì luôn song song hoă ̣c trùng với tru ̣c tung.
Câu 6: Đáp án D
Hàm số y = f ( x ) có tiê ̣m câ ̣n ngang y = y0 nế u mô ̣t trong hai điề u sau đây đươ ̣c thỏa:

lim f ( x ) = y0

x →+

Phân tích: Đố i với hàm phân thức y =

f (x)
với f ( x ) ,g ( x ) là các hàm đa thức, đồ thi ̣hàm
g(x)

số sẽ không có tiê ̣m câ ̣n ngang khi bâ ̣c của f(x) lớn hơn bâ ̣c của g(x).
Từ đây ta thấ y ngay đáp án A không thỏa mañ .
Ở câu B, y = 2x + 5 −

4
6x 2 + 11x − 14
=
cũng không thỏa mañ .

3x − 2
3x − 2

Đồ thi ha
̣ ̀ m số y = tan x chỉ có tiê ̣m câ ̣n đứng, nên ta cũng loa ̣i đáp án C.
Lưu ý: Đố i với hàm số có da ̣ng y = ax + b +

A
, a  0, A  0 ta luôn có thể kế t luâ ̣n đồ thi ̣
cx + d

hàm số không có tiê ̣m câ ̣n ngang, mà có tiê ̣m câ ̣n xiên y = ax + b
Câu 7: Đáp án D

4
2−
2x − 4
x =2
= lim
Phân tích: Xét lim y = lim
x →+
x →+ x + 1
x →+
1
1+
x
Do đó đồ thi ̣hàm số đã cho có tiê ̣m câ ̣n ngang y = 2

Trang 17 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

Nhâ ̣n xét: - Đồ thi ̣hàm phân thức hữu tỷ da ̣ng y =
ngang y =

ax + b
, c  0, ad − bc  0 luôn có tiê ̣m câ ̣n
cx + d

a
c

- Những em quá vô ̣i hoă ̣c quá chủ quan có thể nhầ m lẫn giữa tiê ̣m câ ̣n đứng và tiê ̣m câ ̣n
ngang hoă ̣c giữa x và y. Cầ n lưu ý để tránh cho ̣n đáp án sai!
Câu 8: Đáp án A
Phân tích: Đối với hàm phân thức y =

f (x)
với f(x), g(x) là các hàm đa thức, đồ thi ̣hàm số
g(x)

sẽ không có tiê ̣m câ ̣n ngang khi bâ ̣c của f(x) lớn hơn bâ ̣c của g(x).
Do đó đáp án A là không thỏa mañ .
Với đáp án B, lim y = lim
x →+
x →+

x + 2x − 3
= lim
x →+
x2 − 9

2

2 3
−
x x 2 = 1 co tiê ̣m câ ̣n ngang. Ta co mô ̣t
́
́
9
1− 2
x

1+

nhâ ̣n xét ngắ n là đố i với hàm phân thức hữu tỷ, khi bâ ̣c của x ở tử bằ ng bâ ̣c của x ở mẫu, đồ
thi ̣hàm số thường có tiê ̣m câ ̣n ngang.
Đáp án C cũng thỏa mañ .
Đáp án D thỏa mañ vì lim y = lim 2x = 0
x →−
x →−
Lưu ý: Nhiều em do vội vàng hoặc chưa vững kiến thức có thế lầm hàm y = 2x thành hàm
y = 2x , hoă ̣c sẽ nghi ̃ hàm y = 2x không có tiê ̣m câ ̣n và dẫn tới cho ̣n sai.

Câu 9: Đáp án D
Phân tích: Tiê ̣m câ ̣n ngang của đồ thi ̣hàm số y = f ( x ) luôn vuông góc với tru ̣c tung.
Như vâ ̣t ta nhâ ̣n ra ngay đáp án là D
Ghi chú: Câu này là lý thuyết thuần túy nên rất dô, tuy nhiên nếu đọc đáp án lướt qua các em
có thể nhầm rằng "tiệm cận ngang luôn song song với trục hoành" và chọn đáp án là B.
Thật ra, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số luôn song song hoặc trùng với trục hoành mới
chính xác
Câu 10: Đáp án D

Phân tích: Tiệm cận ngang và tiệm cận đúng của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu có thì luôn
vuông góc nhau.
Câu 11: Đáp án C
Trang 18 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Phân tích: Để ý ta thấy đồ thị hàm số y =

x 4 + 3x 2 + 2 x 4 x 2 1
=
+ + không có tiê ̣m câ ̣n
6
6
2 3

x 4 + 3x 2 + 2
Lưu ý: - Một số em lướt nhanh qua có thể lầ m hàm y =
là hàm phân thức hữu
6
tỷ và bỏ qua.
- Hàm số mũ y = e x có tiê ̣m câ ̣n ngang bên trái và hàm lươ ̣ng giác y = tan x có tiê ̣m câ ̣n
đứng, các em chưa vững lỹ thuyế t cũng có thể lầ m là chúng không có tiê ̣m câ ̣n.
- những em hấ p tấ p có thể nhâ ̣n đinh
̣ hàm y = 2x + 1 +

4
thành hàm bâ ̣c nhấ t y = 2x + 1
x −1

nên cũng có thể cho ̣n sai.

- Các em nên đo ̣c kỹ đề để tránh nhầ m lẫn giữa câu hỏi “không có tiê ̣m câ ̣n” và “có tiê ̣m
câ ̣n”.
Câu 12: Đáp án D
Phân tích: Ta nhâ ̣n ra rằ ng hàm số y =

−5

( x − 2)

2

 0, x 

/ 2 nên đồ thị của nó luôn nằm

bên dưới trục hoành. Đồng thời tại x = 2 hàm số không xác đinh
̣ nên đường thẳ ng x = 2 là
tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Như vậy (I) và (II) đúng. Ta loại C.
Xét lim y = lim
x →+
x →+

−5

( x − 2)

2

= 0 nên hàm số nhâ ̣n đường thẳ ng y = 0 (tru ̣c hoành) làm tiê ̣m câ ̣n

ngang. Mê ̣nh đề (III) sai.
Đồng thời để ý một chút ta sẽ nhận ra rằng hàm số này không xác định trên toàn R nên cũng
không thể nghịch biến trên R được. Vậy mệnh đề (V) cũng sai.
Do đó ta có thể chọn ngay đáp án D mà không cần xét tính đúng - sai của mê ̣nh đề (IV),
Ghi chú: Vì đây là câu hỏi trăc nghiệm nên đôi khi ta can bò qua một số các bước không cần
thiết như tính đạo hàm ở mệnh đề (IV). Trong một số trường hợp, việc tính đạo hàm có thế
gây mất thời gian của một số em, nên cân đọc kĩ đề cũng như đáp án, để tránh lãng phí thời
gian vô ích.
Câu 13: Đáp án C
Phân tích: Đố i với hàm phân thức hữu tỷ y =

ax + b
, c  0, ad − bc  0 ta có:
cx + d

Tâm đố i xứng là giao điể m của hai đường tiê ̣m câ ̣n.
Dễ dàng ta thấ y đồ thi ha
̣ ̀ m số y =

2x + 1
nhâ ̣n đường thẳ ng x = 5 làm tiê ̣m câ ̣n đứng.
5− x

Trang 19 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


2x + 1
= −2 . Do đó đường thẳ ng y = −2 là tiê ̣m câ ̣n ngang của đồ thi ̣
x →+ 5 − x

Ta la ̣i có: lim y = lim
x →+

hàm số .
Từ đó ta suy ra ( 5, −2 ) là tâm đố i xứng của đồ thi ̣hàm số .
Nhâ ̣n xét: Các em học sinh thường bất cấn khi quan sát đa thức "5 − x" ở mẫu. Mô ̣t số em
lướt dễ nhầ m số tự do “5” thành đa thức “5x” dẫn tới nhầ m tiê ̣m câ ̣n ngang thành y =

2
và
5

cho ̣n đáp án A.
Ngoài ra các em cũng có thể nhầ m lẫn giữa tiê ̣m câ ̣n đứng và tiê ̣m câ ̣n ngang, hoă ̣c chưa biế t
tâm đố i xứng là gì do kiế n thức cơ bản còn yế u, dẫn tới cho ̣n sai.
Câu 14: Đáp án B
Phân tích: lim y = lim
x →+
x →+

x −3
= 0 nên đồ thi ̣ hàm số nhâ ̣n đường thẳ ng y = 0 là tiê ̣m câ ̣n
2 + 4x 2

ngang.
Ta la ̣i có: 2 + 4x 2  0, x 

, nên hàm số không có tiệm cận đứng.

Những vấn đề về tiệm cận xiên không có trong kiến thức của chương trình chuẩn, nhưng ta

có thể nhớ rằng "đồ thị hàm phân thức hữu tỷ nếu đã có tiệm cận ngang thì sẽ không có tiệm
cận xiên".
Như vâ ̣y, đồ thi ̣của hàm số đã cho chỉ có mô ̣t tiê ̣m câ ̣n.
Lưu ý: Các em cẩ n thâ ̣n quan sát mẫu số , tránh nhầ m lẫn hàm "2 + 4x 2 " thành "2 + 4x " , dẫn
đế n kế t luâ ̣n hàm số có thêm tiê ̣m câ ̣n đứng x =

−1
và cho ̣n sai.
2

Câu 15: Đáp án A
Phân tích: Ta có: lim y = lim
x →+
x →+

ngang y =

3x 2
2
3
= lim
= nên đồ thi ̣ hàm số có tiê ̣m câ ̣n
2
x
→+
3
2x + 3x
2
2+
x

3
2

3x 2
3x
=
Ta để ý sẽ thấ y y = 2
2x + 3x 2x + 3
Xét phương triǹ h: 2x + 3 = 0  x =

−3
2

Trang 20 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải



−9
 0
3
2

x →−
2

3x
lim + ( 2x + 3) = 0   lim + y = lim +
= −
3

3
3 2x + 3
x →−
x
→−
x
→−

2
2
2

−3 
2x + 3  0, x 
2 
lim + ( 3x ) =

Do đó đường thẳ ng x = −

3
là tiê ̣m câ ̣n đứng của đồ thi ̣hàm số .
2

Như vâ ̣y đồ thi ̣hàm số có mô ̣t tiê ̣m câ ̣n đứng và 1 tiê ̣m câ ̣n ngang.
Nhâ ̣n xét: Sai lầ m phổ biế n ở đây là các em thường không nhâ ̣n ra hàm số y =

3x 2
còn
2x 2 + 3x

có thể đơn giảm đi x, dẫn tới xét phương triǹ h y = 2x 2 + 3x có hai nghiê ̣m và kế t luâ ̣n đồ thi ̣
hàm số đã cho con đế n 2 đường tiê ̣m câ ̣n đứng và cho ̣n sai!
Câu 16: Đáp án C
Phân tích: Như đã phân tić h ở các câu trước đồ thi ̣ hàm số y = 2x +

3
sẽ không có tiê ̣m
x −5

câ ̣n ngang.
Ta la ̣i thấ y: đồ thi ha
̣ ̀ m số y = 2x +

3
2x 2 − 10x + 3
có mô ̣t tiê ̣m câ ̣n đứng x = 5
=
x −5
x −5

Như vâ ̣y ta cho ̣n ngay đươ ̣c C.
Câu 17: Đáp án C
Phân tích: Ta thấ y ngay rằ ng đường tiê ̣m câ ̣n mà vuông góc với tru ̣c hoành thi chỉ có thể là
tiê ̣m câ ̣n đứng, trong các đáp án chỉ có x = 3 thỏa điề u này. Kiể m tra la ̣i ta thấ y đường x = 3
có đi qua M ( 3; 2 )
Lưu ý: nhắ c nhở lại rằng đôi khi các câu hòi trắc nghiệm có thể đánh lạc hướng chúng ta,
như trong trường hợp câu này nếu tinh ý phán đoán một chút ta có thể nhâ ̣n ra ngay kết quà là
C mà không cầ n kiểm tra tính đúng-sai của A, B, D (vì trắc nghiệm chi cỏ một đáp án đúng)
Câu 18: Đáp án C
- Xét:

 x=2
x2 − 4 = 0  x2 − 4 = 0  
 x = −2

- Từ đây nhìn nhanh ta có hàm số có hai tiê ̣m câ ̣n đứng là x = 2 và x = −2
- Giải thić h ki ̃ hơn:

Trang 21 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


lim x = 2  0



x

2
lim x − 4 = 0   lim+ y = lim+
= +;
2
x → 2+
x →2
x →2
x −4

x 2 − 4  0, x  2 

x → 2+

lim x = −2  0



x

2
lim− x − 4 = 0
 lim− y = lim−
= −;

2
x →2
x →2
x −4
 x →2
x 2 − 4  0, x  −2 

x → 2−

Như vâ ̣y đáp án A và D đã bi ̣loa ̣i
Ta la ̣i xét: lim y = lim
x →+

Và lim y = lim
x →−
x →−

x →+

x
x −4
2

x
x −4
2

= lim

x →−

= lim

x →+

x
4
x 1− 2
x

x
4
x 1− 2
x

= lim

x →−

= lim

x →+

1
4
− 1− 2
x

1
4
1− 2
x

=1

= −1

- Như vâ ̣y đồ thi ̣hàm số cũng có hai tiê ̣m câ ̣n ngang là y = 1 và y = −1
Vâ ̣y đồ thi ̣hàm số này có hai tiê ̣m câ ̣n ngang và hai tiê ̣m câ ̣n đứng.
Lưu ý: Bài này dễ khiế n các em sai vì lầ m tưởng giới ha ̣n của hàm y =

x
x −4
2

khi x → +

và khi x → − là như nhau. Hai giới ha ̣n này khác nhau vì khi đưa x 2 ra khỏi biể u thức
chứa căn thì ta phải đă ̣t x trong dấ u giá tri ̣ tuyê ̣t đố i. Như vâ ̣y, ta có nhâ ̣n xét rằ ng, với các

hàm phân thức hữu tỷ thì thường giới ha ̣n khi x → + và khi x → − là bằ ng nhau, nhưng
với hàm căn thức thì cầ n phải xem xét kiể m tra cẩ n thâ ̣n.
Câu 19: Đáp án C
Phân tích: Từ các bài tâ ̣p trên ta dễ dàng nhâ ̣n ra ngay đồ thi ̣ hàm số y =
hàm số y =

2x + 1
và đồ thi ̣
x+2

3
chỉ có hai tiê ̣m câ ̣n. Như vâ ̣y A và B không phải đáp án chiń h xác.
15x + 1

Đáp án D cũng bi ̣ loa ̣i vì y =

x2 − 6
chỉ có mô ̣t tiê ̣m câ ̣n ngang, và không có tiê ̣m câ ̣n đứng
x2 + 2

(do x 2 + 2  0, x  )
Như vâ ̣t chỉ còn đáp án C. Ta có thể kiể m tra la ̣i.
Câu 20: Đáp án A
Câu 21: Đáp án B
Trang 22 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


9
Phân tích: Ta thấ y ngay phương triǹ h 4x − 9 = 0  x = . Dựa vào đinh
̣ nghiã và các quy

4

tắ c tính giới ha ̣n nên đường thẳ ng x =

9
là tiê ̣m câ ̣n đứng của đồ thi ̣hàm số cầ n tim
̀ .
4

Lưu ý: Các em làm câu này thường dễ bi ̣ mắ c lừa, dành thời gian cho viê ̣c tiń h giá tri ̣ của a,
thâ ̣m chí còn có thể vì vâ ̣t mà lẫn lô ̣n giá tri ̣của a và x dẫn tới kế t quả sai!
Câu 22: Đáp án D
Phân tích: Ta đã biết vói hàm số loại này thì đồ thị sẽ cỏ tâm đối xứng là giao điểm của hai
đường tiệm cận.
Dễ thấy đường thẳng x =
Và đường thẳng y =

−1
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Do đó ta loại được A và C.
2

a
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
2

Do hàm số đi qua A ( 2;1) nên thay vào y =

 hàm số là y =

ax + 3

ta đươ ̣c: 2.2 + 1 = 2a + 3  a = 1
2x + 1

x +3
1
và đường thẳ ng y = là tiê ̣m câ ̣n ngang của đồ thi ̣hàm số .
2x + 1
2

 −1 1 
Do đó  ,  là tâm đố i xứng của đồ thi ̣hàm số .
 2 2

Câu 23: Đáp án B
Ta có tiê ̣m câ ̣n đứng của đồ thi ̣là: x =

b
−b  b2 − 4ac
2x + a
= 2  b = 10
y=
5
2a
5x − 10

Đồ ng thời đồ thi ̣ hàm số đi qua P ( 3;1) nên thay vào

y=

2x + a

5x − 10

ta đươc̣ :

5.3 −10 = 2.3 + a  a = −1
Do đó hàm số cầ n tim
̀ là: y =

2x − 1
5x − 10

Câu 24: Đáp án B
Theo đề bài, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) nằm trên và cách trục hoành y = 0
mô ̣t đoa ̣n d = 3

 y = 3 là tiê ̣m câ ̣n ngang của đồ thi ̣hàm số .

Trang 23 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


2
3x − 2
3x − 2
x = + nên đồ thi ̣ham số không
Xét hàm số y =
có lim y = lim
= lim
̀
x
→+

x
→+
x →+
2
x−2
x−2
1−
x
3x −

2

2

có tiê ̣m câ ̣n ngang.
Và hàm số y =

3x

( x − 2)

2

có lim y = lim
x →+
x →+

3x

( x − 2)

2

3x
3
= lim
=03
x →+ x − 4x + 4
x →+
4
x −4+
x

= lim

2

nên tiê ̣m câ ̣n ngang của đồ thi ̣hàm số không thỏa mañ .
Ta loa ̣i A và C
Ta la ̣i xét hàm số y =

 hàm số y =

−22x
3x 2 − 1
0x0
có y ' =
2
2
2

x −4
x
−
4
(
)

3x 2 − 1
không đồ ng biế n trên các khoảng xác đinh.
̣
x2 − 4

Loa ̣i D. Như vâ ̣y chì còn B.
Ta có thể kiể m tra la ̣i, đồ thi ̣ hàm số y =

3x − 7
không xác đinh
̣ ta ̣i x = 2 . Đồ ng thời:
x−2

7
3−
3x − 7
x = 3 nên y = 3 la tiê ̣m câ ̣n ngang cua y = 3x − 7
lim y = lim
= lim
̉
̀
x →+
x →+ x − 2

x →+
2
x−2
1−
x
Và y ' =

1

( x − 2)

2

 0, x 

y=

3x − 7
đồ ng biế n trên các khoảng xác đinh.
̣
x−2

Câu 25: Đáp án C
Phân tích: Xét x  2 , ta thấ y hàm số y = x 3 + 3x 2 + 1 là hàm đa thức bâ ̣c ba nên đồ thi ̣hàm
số sẽ không có tiê ̣m câ ̣n.
Xét x  2 , hàm số y =

2x + 3
có x = 2 là tiê ̣m câ ̣n đứng nhưng điề u này bi ̣ loa ̣i. (do ta chỉ
4 − 2x

xét x  2 ). Từ đây ta thấ y đáp án B không thỏa mañ .

3
2+
2x + 3
x = −1
= lim
Ta có: lim y = lim
x →−
x →− 4 − 2x
x →− 4
−2
x
Do đó (C) có y = −1 là tiê ̣m câ ̣n ngang, đồ ng thời đây cũng là tiê ̣m câ ̣n duy nhấ t.
Như vâ ̣y ta có thể loa ̣i D và A
Trang 24 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Nhâ ̣n xét: Những em ít tiế p xúc với những da ̣ng hàm số có điề u kiê ̣n theo x chẳ ng ha ̣n như
f ( x ) , a  x  b
 f ( x ) , x  a

y=
, y =  g ( x ) , x  a ,... nên dễ bỡ ngỡ. Tuy nhiên những da ̣ng này cũng đề u
g ( x ) , x  a
 h (x), x  b


có cách làm tương tự với hàm số y = f ( x ) thông thường, các đinh

̣ lý, tiń h chấ t đề u có thể áp
du ̣ng biǹ h thường ta chỉ cầ n lưu ý thêm điề u kiê ̣n của x cho đúng với đề bài.
Câu 26: Đáp án B
Phân tích: Ta thấ y tiê ̣m câ ̣n đứng của đồ thi ̣hàm số là x =

Đồ ng thời xét: lim y = lim
x →+

Và lim y = lim
x →−
x →−

x − 6x + 5
= lim
x →+
2x + 3
2

x →+

x − 6x + 5
= lim
x →+
2x + 3
2

Nên đồ thi ̣hàm số nhâ ̣n y =
Do đó, đồ thi ̣hàm số y =

−3

2

6 5
6 5
+ 2
1− + 2
x x = lim
x x =1
x
→+
3
3
2

2+
x2+ 
x
x


x 1−

6 5
6 5
+ 2
− 1− + 2
x x = lim
x x = −1
x
→−

3
3
2

2+
x2+ 
x
x


x 1−

−1
1
và y =
làm các tiê ̣m câ ̣n ngang.
2
2

−3
1
−1
x 2 − 6x + 5
có 3 đường tiê ̣m câ ̣n là x = ; y = ; y =
2
2
2
2x + 3

So sánh đáp án ta thấ y chỉ có B là thỏa mañ .

Lưu ý: Một số em có thể nhầm lẫn giữa các ký hiê ̣u x và y của tiê ̣m cận đúng và tiệm cận
ngang, dẫn tới chọn sai sang đáp án A hoặc C. Các em nên cẩn thận, phân biệt thật kỹ các
khái niệm theo định nghĩa, để tránh nhầm lẫn và chọn sai đáp án.
Đồng thời lưu ý với các em một lần nữa rằ ng khi đưa x ra khỏi biểu thức chứa căn, cần phải
có dấu giá trị tuyệt đối.
Câu 27: Đáp án B
Phân tích: lầ n lươ ̣t xét: - Hàm số y = 1 − x 2 , −1  x  1 xác đinh
̣ trên  −1;1)
- Hàm số y =

x−2
, x  1 xác đinh
̣ trên 1;+ ) và đồ thi ̣ hàm số có tiê ̣m câ ̣n đứng là x = 1 ,
x −1

2
1−
x−2
x =1)
= lim
tiê ̣m câ ̣n ngang là y = 1 (do lim y = lim
x →+
x →+ x − 1
x →+
1
1−
x
Trang 25 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải