VECTO TÍCH của một VECTƠ với một số (lý thuyết, các dạng bài tập có lời giải) file word

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
§3 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
r
r
1. Định nghĩa: Tích của vectơ a với số thực k ¹ 0 là một vectơ, kí hiệu là ka , cùng
r
r
hướng với cùng hướng với a nếu k > 0 , ngược hướng với a nếu k < 0 và có độ dài
r
bằng k a

r r
r r
Quy ước: 0 a = 0 và k 0 = 0

2. Tính chất :

r
r
r
i) ( k + m)a = ka + ma
r
r
iii) k( ma) = ( km)a
r r
r
r
v) 1a = a , (- 1)a = - a

r r

r
r
ii) k( a ± b) = ka ± kb
ék = 0
r r
iv) ka = 0 Û êêr r
êëa = 0

3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương
r
r r r
r
r
• b cùng phương a ( a ¹ 0 ) khi và chỉ khi có số k thỏa b = ka

uuur
uuur
• Điều kiện cần và đủ để A , B, C thẳng hàng là có số k sao cho AB = k AC
4. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương.

r
r
r
r
r
r
Cho a không cùng phương b . Với mọi vectơ x luôn được biểu diễn x = ma + nb với

m, n là các số thực duy nhất.
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

 DẠNG 1: Dựng và tính độ dài vectơ chứa tích một vectơ với một số.
1. Phương pháp giải.
Sử dụng định nghĩa tích của một vectơ với một số và các quy tắc về phép toán vectơ
để dựng vectơ chứa tích một vectơ với một số, kết hợp với các định lí pitago và hệ thức
lượng trong tam giác vuông để tính độ dài của chúng.
2. Các ví dụ.


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a . điểm M là trung điểm BC . tính độ dài của
chúng.
a)

1 uur uuur
CB + MA
2
A.a

B.2a

C.3a

D.4a

uuur 1 uuur
b) BA - BC
2
A.

c)

B.

a 3
2

C.

a 3
5

D.

a 3
6

B.

a 21
2

C.

a 21
4

D.

a 21
7

B.

a 127
8

C.

a 127
3

D.

a 127
2

uuur
1 uuur
AB + 2 AC
2
A.

d)

a 3
4

a 21
3

uuur
3 uuur
MA - 2,5 MB
4
A.

a 127
4

Lời giải:
(Hình 1.14)


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

1 uur uuur
CB = CM suy ra theo quy tắc ba
2
điểm ta có
a) Do

A
L
K
N

1 uur uuur uuur uuur uuur
CB + MA = CM + MA = CA
2
Vậy

C

M

B

H

1 uur uuur
CB + MA = CA = a
2
Q

P
Hình 1.14

b) Vì

uuur 1 uuur uuur uuur uuur
1 uuur uuur
BC = BM nên theo quy tắc trừ ta có BA - BC = BA - BM = MA
2
2

Theo định lí Pitago ta có
2

MA =

2

2

AB - BM =

æa ö
a 3
a - çç ÷
÷ =
çè 2 ÷
2
ø
2

uuur 1 uuur
a 3
Vậy BA - BC = MA =
2
2
c) Gọi N là trung điểm AB , Q là điểm đối xứng của A qua C và P là đỉnh của hình
bình hành AQPN .

1 uuur uuur uuur uuur
AB = AN , 2 AC = AQ suy ra theo quy tắc hình bình hành ta có
2
uuur uuur uuur uuur
1 uuur
AB + 2 AC = AN + AQ = AP
2

Khi đó ta có

Gọi L là hình chiếu của A lên QN

· = MNB
·
· = 600
Vì MN / / AC Þ ANL
= CAB
· =
Xét tam giác vuông ANL ta có sin ANL

AL
· = a sin 600 = a 3
Þ AL = AN.sin ANL
AN
2
4


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

· =
cos ANL

NL
· = a cos 600 = a
Þ NL = AN.cos ANL
AN

2
4

Ta lại có AQ = PN Þ PL = PN + NL = AQ + NL = 2a +

a 9a
=
4
4

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác ALP ta có

3a2 81a2 21a2
a 21
AP = AL + PL =
+
=
Þ AP =
16
16
4
2
2

Vậy

2

2

uuur
1 uuur
a 21
AB + 2 AC = AP =
2
2

d) Gọi K là điểm nằm trên đoạn AM sao cho MK =

3
MA , H thuộc tia MB sao cho
4

MH = 2,5MB .
Khi đó

uuur uuuur
3 uuur uuur
MA = MK , 2, 5 MB = MH
4

Do đó

uuur uuur uuuur uuur
3 uuur
MA - 2,5MB = MK - MH = HK
4

Ta có MK =

3
3 a 3 3 3a
a 5a
, MH = 2, 5 MB = 2, 5. =
AM = .
=
4
4 2
8
2
4

Áp dụng định lí Pitago cho tam tam giác vuông KMH ta có
KH =

Vậy

MH 2 + MK 2 =

25a 2 27 a 2
a 127
+
=
16
64
8

uuur
3 uuur
a 127

MA - 2, 5 MB = KH =
4
8

Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a .
r
uuur
uuur uuur
uuuur
a) Chứng minh rằng u = 4 MA - 3 MB + MC - 2 MD không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
r
u
b) Tính độ dài vectơ


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

r
1
B. u = a 5
2

r
A. u = a 5

r
C. u = 3a 5

r
D. u = 2a 5

Lời giải:
(Hình 1.15)
a) Gọi O là tâm hình vuông.

A'

Theo quy tắc ba điểm ta có

(

) (

) (

) (

B

A

r
uuuur uuur
uuuur uuur
uuuur uuur
uuuur uuur
u = 4 MO + OA - 3 MO + OB + MO + OC - 2 MO + OD
uuur
uuur uuur
uuur

= 4OA - 3OB + OC - 2OD

)

O
D

Hình 1.15

r
uuur uuur
uuur
uuur uuur
uuur
Mà OD = - OB, OC = - OA nên u = 3OA - OB

r
Suy ra u không phụ thuộc vào vị trí điểm M

b) Lấy điểm A ' trên tia OA sao cho OA ' = 3OA khi đó
r uuuur uuur uuur
uuuur
uuur
OA ' = 3OA do đó u = OA ' - OB = BA '

Mặt khác BA ' =

OB2 + OA '2 =

OB2 + 9OA2 = a 5

r
Suy ra u = a 5

3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.26. Cho tam giác đều ABC cạnh a . Gọi điểm M , N lần lượt là trung điểm

BC , CA . Dựng các vectơ sau và tính độ dài của chúng.
uuur 1 uur
a) AN + CB
2
A.

a
6

B.

a
5

C.

a
2

D.

a
3

C


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

b)

uuuur
1 uuur
BC - 2 MN
2
A.

7a 3
2

B.

a 3
2

C.

5a 3
2

D.

3a 3

2

B.

a 28
2

C.

5a 28
2

D.

3a 28
2

B.

3a 7
8

C.

a 7
8

D.

a 7

2

uuur
uuur
c) AB + 2 AC

A.

7 a 28
2

uuur 3 uuur
c) 0, 25 MA - MB
2
A.

5a 7
8
Lời giải:

A

Bài 1.26: a) Theo quy tắc ba điểm ta có

N
H
K

C
M

uuur 1 uur uuur uuur uuuur
AN + CB = NC + CM = NM
2
uuur 1 uur
1
a
Suy ra AN + CB = MN = AB =
2
2
2

B

F

I
E
Hình

uuuur uuur uuur uuuur
1 uuur
b) Theo quy tắc trừ ta có BC - 2 MN = BM - BA = AM
2

Þ

uuuur
1 uuur
a 3

BC - 2 MN = AM =
2
2

c) Gọi F là điểm đối xứng của A qua C , điểm E là là đỉnh của hình bình hành ABEF ,
uuur
uuur uuur uuur uuur
theo quy tắc hình bình hành ta có AB + 2 AC = AB + AF = AE


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Gọi I là hình chiếu của E lên AC .

· = CAB
· = 600
Vì AB / / EF Þ EIF
· =
sin IFE

IE
· = a sin 600 = a 3
Þ IE = EF.sin IFE
EF
2

· =
cos IFE

IF
· = a cos 600 = a

Þ IF = EF.cos IFE
EF
2

Áp dụng định lí Pitago ta có
2

AE =

2

2

AI + IE =

2
ö
æ
ö æ
a 28
çç a 3 ÷
çç2a + a ÷
÷
+
=
÷
÷
ç
÷
çè

2 ø çè 2 ÷
2
÷
ø

uuur
uuur
a 28
Suy ra AB + 2 AC = AE =
.
2
uuur uuuur 3 uuur uuur
d) Lấy các điểm H , K sao cho 0, 25 MA = MH ; MB = MK
2
uuur 3 uuur uuuur uuur uuur
Suy ra 0,25MA - MB = MH - MK = KH
2
uuur 3 uuur
Do đó 0, 25 MA - MB = KH =
2

2

2

æAM ö
æ3
ö
÷
çç

+ çç MB÷
÷
÷
÷
÷ =
çè 4 ø èç 2
ø

2

2
æa 3 ö
æa ö
÷
çç
÷
÷ + çç ÷ = a 7
çç 8 ÷
÷
÷
8
÷
è
ø èç 4 ø

Bài 1.27: Cho hình vuông ABCD cạnh a .
r uuur
uuur
uuur
uuuur

a) Chứng minh rằng u = MA - 2 MB + 3 MC - 2 MD không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

r
b) Tính độ dài vectơ u

r
A. u = 4a 2

r
B. u = a 2

r
C. u = 3a 2

Lời giải:
Bài 1.27: Gọi O là tâm hình vuông.
Theo quy tắc ba điểm ta có

r
D. u = 2a 2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

r
uuuur uuur
uuuur uuur
uuuur uuur
uuuur uuur
u = MO + OA - 2 MO + OB + 3 MO + OC - 2 MO + OD

uuur
uuur
uuur
uuur
= OA - 2OB + 3OC - 2OD

(

) (

) (

) (

)

uuur
uuur uuur
uuur
r
uuur
Mà OD = - OB, OC = - OA nên u = - 2OA

r
Suy ra u không phụ thuộc vào vị trí điểm M

r
uuur
b) u = - 2OA = 2OA = a 2

 DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức vectơ.
1. Phương pháp giải.
Sử dụng các kiến thức sau để biến đổi vế này thành vế kia hoặc cả hai biểu thức ở hai vế cùng
bằng biểu thức thứ ba hoặc biến đổi tương đương về đẳng thức đúng:
• Các tính chất phép toán vectơ
• Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc phép trừ
• Tính chất trung điểm:
uuur uuur r
M là trung điểm đoạn thẳng AB Û MA + MB = 0
uuur uuur
uuur
M là trung điểm đoạn thẳng AB Û OA + OB = 2OM (Với O là điểm tuỳ ý)

• Tính chất trọng tâm:

uuur uur uuur ur
G là trọng tâm của tam giác ABC Û GA + GB + GC = O
uuur uuur uuur uuur
G là trọng tâm của tam giác ABC Û OA + OB + OC = OG (Với O là điểm tuỳ ý)

2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, O là trung
điểm của IJ .Khẳng định nào sau đây đúng?
a)

uuur uuur ur
A. AC + BD = IJ

uuur uuur 1 ur
B. AC + BD = IJ

2

uuur uuur
ur
C. AC + BD = 3IJ

uuur uuur
ur
D. AC + BD = 2 IJ


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
b)

uuur uuur uuur uuur ur
A. OA + OB + OC + OD = IJ

uuur uuur uuur uuur uuur
B. OA + OB + OC + OD = 2OI

uuur uuur uuur uuur r
C. OA + OB + OC + OD = 0

uuur uuur uuur uuur uuur
D. OA + OB + OC + OD = 2OJ

c) với M là điểm bất kì
uuur uuur uuur uuuur
uuuur
A. MA + MB + MC + MD = 3 MO

uuur uuur uuur uuuur
uuuur
B. MA + MB + MC + MD = 2 MO

uuur uuur uuur uuuur uuuur
C. MA + MB + MC + MD = MO

uuur uuur uuur uuuur
uuuur
D. MA + MB + MC + MD = 4 MO

Lời giải:
(Hình 1.16)

B

I

A

O

a) Theo quy tắc ba điểm ta có

uuur uur ur uur ur uur
AC = AI + IJ = AI + IJ + JC

D

J
Hình 1.16
14

uuur uur ur uur
Tương tự BD = BI + IJ + JD

uur uur r uur uur r
Mà I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên AI + BI = 0, JC + JD = 0

uuur uuur
uur uur
Vậy AC + BD = AI + BI +

(

) (

uur uur
ur
ur
JC + JD + 2 IJ = 2 IJ đpcm

)

uuur uuur
uur uuur uuur
uur
b) Theo hệ thức trung điểm ta có OA + OB = 2OI , OC + OD = 2OJ

uur uur r
Mặt khác O là trung điểm IJ nên OI + OJ = 0
uuur uuur uuur uuur
uur uur
r
Suy ra OA + OB + OC + OD = 2 OI + OJ = 0 đpcm

(

)

uuur uuur uuur uuur r
c) Theo câu b ta có OA + OB + OC + OD = 0 do đó với mọi điểm M thì

C


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

uuur uuur uuur uuur r
OA + OB + OC + OD = 0
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
r
Û OM + MA + OM + MA + OM + MA + OM + MA = 0

(

) (

) (

) (

)

uuur uuur uuur uuuur
uuuur
Û MA + MB + MC + MD = 4 MO đpcm

Ví dụ 2: Cho hai tam giác ABC và A1 B1C1 có cùng trọng tâm G. Gọi G1 , G2 , G3 lần lượt
uuuur uuuur uuuur r
là trọng tâm tam giác BCA1 , ABC1 , ACB1 . Chứng minh rằng GG1 + GG2 + GG3 = 0
Lời giải:
uuuur uur uuur uuur
Vì G1 là trọng tâm tam giác BCA1 nên 3GG1 = GB + GC + GA1

Tương tự G2 , G3 lần lượt là trọng tâm tam giác ABC1 , ACB1 suy ra
uuuur uuur uur uuur
uuuur uuur uuur uuur
3GG2 = GA + GB + GC1 và 3GG3 = GA + GC + GB1

Công theo vế với vế các đẳng thức trên ta có
uuuur uuuur uuuur
uuur uur uuur
uuur uuur uuur
GG1 + GG2 + GG3 = 2 GA + GB + GC + GA1 + GB1 + GC1

(

) (

)

Mặt khác hai tam giác ABC và A1 B1C1 có cùng trọng tâm G nên
uuur uur uuur r
uuur uuur uuur
GA + GB + GC = 0 và GA1 + GB1 + GC1

uuuur uuuur uuuur r
Suy ra GG1 + GG2 + GG3 = 0

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
Chọn khẳng định đúng?
a)

b)

uuur uuur uuur
uuur
A. HA + HB + HC = 4 HO

uuur uuur uuur
uuur
B. HA + HB + HC = 2 HO

uuur uuur uuur 2 uuur
C. HA + HB + HC = HO

3

uuur uuur uuur
uuur
D. HA + HB + HC = 3HO


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

uuur uuur uuur 1 uuur
A. OA + OB + OC = OH
2

uuuuur
uuur uuur uuur 1
B. OA + OB + OC = OH
3

uuur uuur uuur uuur
C. OA + OB + OC = OH

uuur uuur uuur uuuur
D. OA + OB + OC = 2OH

uuur
uuur uuur
A. GH + 2GO = OA

uuur
uuur r

B. GH + 2GO = 0

uuur
uuur uuur
C. GH + 2GO = AB

uuur
uuur uuur
D. GH + 2GO = AC

c)

Lời giải:

A

Hình 1.17)
uuur uuur uuur
uuur
a) Dễ thấy HA + HB + HC = 2 HO nếu tam

giác ABC vuông
Nếu tam giác ABC không vuông gọi D là

B

H
O

điểm đối xứng của A qua O khi đó

C
D

Hình 1.17

BH / / DC (vì cùng vuông góc với AC)
BD / /CH (vì cùng vuông góc với AB)

uuur uuur uuur
Suy ra BDCH là hình bình hành, do đó theo quy tắc hình bình hành thì HB + HC = HD

(1)
uuur uuur
uuur
Mặt khác vì O là trung điểm của AD nên HA + HD = 2 HO (2)

uuur uuur uuur
uuur
Từ (1) và (2) suy ra HA + HB + HC = 2 HO

b) Theo câu a) ta có

uuur uuur uuur
uuur
HA + HB + HC = 2 HO
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur

Û HO + OA + HO + OB + HO + OC = 2HO

(

) (

) (

)


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
uuur uuur uuur uuur
Û OA + OB + OC = OH đpcm

uuur uuur uuur
uuur
c) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên OA + OB + OC = 3OG
uuur uuur uuur uuur
Mặt khác theo câu b) ta có OA + OB + OC = OH

uuur
uuur
uuur uuur
uuur r
uuur
uuur r
Suy ra OH = 3OG Û OG + GH - 3OG = 0 Û GH + 2GO = 0

(

)

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC với AB = c , BC = a, CA = b và có trọng tâm G. Gọi D, E, F
lần lượt là hình chiếu G lên cạnh BC , CA, AB .
uuur
uur
uur r
Chứng minh rằng a2 .GD + b2 .GE + c 2 .GF = 0

Lời giải:
(hình 1.18)
Trên tia GD, GE, MF lần lượt lấy các điểm N, P, Q sao cho GN = a, GP = b, GQ = c và
dựng hình bình hành GPRN
uuur
uur
uur r
Ta có a .GD + b2 .GE + c 2 .GF = 0
2

E
F

uuur
uur
uuur r
Û a.GD.GN + b.GE.GP + c.GF.GQ = 0 (*)
Ta có a.GD = 2SD GBC , b.GE = 2SD GCA , c.GF = 2SD GAB , mặt

P

A

Q

B

G
D

R

C

khác G là trọng tâm tam giác ABC nên
SD GBC = SD GCA = SD GAB suy ra a.GD = b.GE = c.GF

uuur uur uuur r
Vậy (*) Û GN + GP + GQ = 0

N
Hình 1.18

·
·
= GPR
Ta có AC = GP = b, PR = BC = a và ACB
(góc có cặp cạnh vuông góc với nhau)

Suy ra D ACB = D GPR (c.g.c)

· = BAC
·
Þ GR = AB = c và PGR
· + BAC
·
· + GPR
· = 1800 Þ Q , G , R thẳng hàng do đó G là trung
= 1800 Þ QGP
Ta có QGP

điểm của QR


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có

uuur uur uuur uuur uuur r
GN + GP + GQ = GR + GQ = 0
uuur
uur
uur r
Vậy a2 .GD + b2 .GE + c 2 .GF = 0 .

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c , BC = a, CA = b . Gọi I là tâm đường
uur
uur
uur r
tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng aIA + bIB + cIC = 0
Lời giải:
Cách 1: (Hình 1.19)Gọi D là chân đường

A

phân giác góc A
Do D là đường phân giác giác trong góc A
nên ta có

I
uuur c uuur
DB c
= Þ BD = DC
DC b
b
uur uur c uur uur
Û ID - IB =
IC - ID
b
uur
uur
uur
Û (b + c)ID = bIB + cIC (1)

(

)

B

D

C

Hình 1.19

Do I là chân đường phân giác nên ta có :

ID BD CD BD + CD
a
=
=
=
=
IA BA CA BA + CA b + c
uur
uur
Þ (b + c)ID = - aIA (2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh
Cách 2: (hình 1.20)Qua C dựng đường thẳng song song với AI cắt BI tai B’;song song với
BI cắt AI tại A’


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
uur uuur uur
Ta có IC = IA ' + IB ' (*)

Theo định lý Talet và tính chất đường

A

phân giác trong ta có :

uur
IB BA1 c
b uur
=
= Þ IB ' = - IB (1)
IB ' CA1 b
c

uuur
a uur
Tương tự : IA ' = - IA (2)
c

B'
I
C

B
C'
Hình 1.20

Từ (1) và (2) thay vào (*) ta có :

uur
uur
uur
uur r
a uur b uur
IC = - IA - IB Û aIA + bIB + cIC = 0
c

c
3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.28: Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC , CA, AB .Chọn
khẳng định đúng
a)
uuuur uuur uur uuur
A. AM + BN + CP = AB

uuuur uuur uur uuur
B. AM + BN + CP = AC

uuuur uuur uur uuur
C. AM + BN + CP = BC

uuuur uuur uur r
D. AM + BN + CP = 0

b) với O là điểm bất kỳ.
uuur uuur uuur uuur uuur
A. OA + OB + OC = OM + ON

uuur uuur uuur uuur uuur
B. OA + OB + OC = ON + OP

uuur uuur uuur uuur uuur uuur
C. OA + OB + OC = OM + ON + OP

uuur uuur uuur uuur uuur
D. OA + OB + OC = OM + OP

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Lời giải:

A

Bài 1.28: (hình 1.49)
uuuur uuur uur
a) AM + BN + CP =

r
1 uuur uuur
1 uuur uuur
1 uuur uur
AB + AC + BC + BA + CA + CB = 0 b)
2
2
2
uuur uuur uuur
OM + ON + OP =

(

=

N

P

) (

) (

)

B

M

C

Hình 1.49

uuur uuur uuur
1 uuur uuur
1 uuur uuur
1 uuur uuur
OB + OC + OC + OA + OA + OB = OA + OB + OC
2
2
2

(

) (

) (

)

Bài 1.29: Cho tam giác ABC .Gọi H là điểm đối xứng với B qua G với G là trọng tâm tam
giác. Chọn khẳng định đúng?
a),

uuur 2 uuur 1 uuur
A. AH = AC - AB
3
3

uuur
1 uuur 1 uuur
B. CH = - AB - AC
3
3

C.Cả A, B đều đúng

D.Cả A, B đều sai

b) với M là trung điểm của BC

uuuur 1 uuur 1 uuur
A. MH = AC - AB
6
6

uuuur 1 uuur 5 uuur
B. MH = AC - AB
6
3

uuuur 1 uuur 5 uuur
C. MH = AC - AB
3
6

uuuur 1 uuur 5 uuur
D. MH = AC - AB
6
6
Lời giải:

uuur
uuur uuur 2 uuur uuur uuur 2 uuur 1 uuur
Bài 1.29: a) Ta có AH = 2 AG - AB =
AC + AB - AB = AC - AB
3
3
3

(

)

uuur uuur uuur
1 uuur 1 uuur
CH = AH - AC = - AB - AC
3
3
uuuur 1 uuur uuur uuur

1 uuur 5 uuur
b) MH =
AH - AB + CH = AC - AB
2
6
6

(

)

Bài 1.30: Cho tam giác ABC có điểm M thuộc cạnh BC. Chọn khẳng định đúng?


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

uuuur 2MC uuur MB uuur
A. AM =
AB +
AC
BC
BC

uuuur MC uuur 2 MB uuur
B. AM =
AB +
AC
BC
BC

uuuur MC uuur MB uuur
C. AM =
AB AC
BC
BC

uuuur MC uuur MB uuur
D. AM =
AB +
AC
BC
BC
Lời giải:

Bài 1.30: Ta có

MC uuur MB uuur MC uuuur uuur
MB uuuur uuur
AB +
AC =
AM + MB +
AM + MC
BC
BC
BC
BC

(

)

(

)

uuuur MC uuur MB uuur uuuur
= AM +
MB +
MC = AM
BC
BC
Bài 1.31: Cho hai hình bình hành ABCD và AB ' C ' D ' có chung đỉnh A. Chọn khẳng
định đúng?
uuur uuur uuuur uuur
A. B ' B + CC ' + D ' D = AB '

uuur uuur uuuur uuuur
B. B ' B + CC ' + D ' D = AC '

uuur uuur uuuur r
C. B ' B + CC ' + D ' D = 0

uuur uuur uuuur uuuur
D. B ' B + CC ' + D ' D = AD '

Lời giải:
Bài 1.31: Ta có:

uuur uuur uuuur
B ' B + CC ' + D ' D =

uuur uuur uuur
= AB + AD - AC -

uuur uuur
uuuur uuur
uuur uuuur
AB - AB ' + AC ' - AC + AD - AD '
uuur uuur
uuur r
AB ' + AD ' + AC = 0

(

(

)

(

) (
)

) (

)

Bài 1.32: Cho tam giác ABC đều tâm O. M là điểm tùy ý trong tam giác. Hạ MD, ME,
MF tương ứng vuông góc với BC, CA, AB. Chọn khẳng định đúng?

uuuur uuur uuur 1 uuuur

A. MD + ME + MF = MO
2

uuuur uuur uuur
uuuur
B. MD + ME + MF = 2 MO

uuuur uuur uuur 3 uuuur
C. MD + ME + MF = MO
2

uuuur uuur uuur
uuuur
D. MD + ME + MF = 3 MO

Lời giải:


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Bài 1.32: (hình 1.50) Qua M kẻ các đường thẳng song song
với các cạnh  ABC, các đường thẳng này lần lượt cắt tại các

A
E2

điểm như hình vẽ. Dễ thấy ta có các tam giác đều
MD1 D2 , ME2 E2 , MF1 F2 và các hình bình hành

F1
F

F2

MF1 AE2 , ME1CD2 , MD1 BF2 .

B

E

M

E1

D1 D D2

uuuur 1 uuuur
uuur 1 uuur
uuuur
uuur
Ta có: MD = ( MD1 + MD2 ) , ME = ( ME1 + ME2 ) ,
2
2

C

Hình 1.50

uuur 1 uuur
uuur
MF = ( MF1 + MF 2 ) .
2

uuuur uuur uuur 3 uuuur
Cộng từng vế 3 đẳng thức và nhóm ta được: MD + ME + MF = MO
2
Bài 1.33: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC. Một đường thẳng D là đường thẳng bất
kỳ. Gọi G là trọng tâm D ABC và A’, B’, C’, G’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,
B, C, G lên đường thẳng V .Chọn khẳng định đúng?
uuuur uuur uuur uuur
A. AA ' + BB ' + CC ' = GG '

uuuur uuur uuur
uuur
AA
'
+
BB
'
+
CC
'
=
2
GG
'
B.

uuuur uuur uuur
uuur
AA
'

+
BB
'
+
CC
'
=
3
GG
'
C.

uuuur uuur uuur 1 uuur
D. AA ' + BB ' + CC ' = GG '
2

Bài 1.34: Cho n vectơ đôi một khác phương và tổng của n- 1 vectơ bất kì trong n vectơ
trên cùng phương với vectơ còn lại. Chứng minh rằng tổng n vectơ cho ở trên bằng
vectơ không.
Lời giải:
r ur ur
ur
ur
Bài 1.34: Giả sử n vectơ là ai , i = 1, 2,..., n . Đặt u = a1 + a2 + ... + an

r
Vì tổng của n- 1 vectơ bất kì trong n vectơ trên cùng phương với vectơ còn lại do đó u
ur ur
r r
cùng phương với hai vectơ a1 , a2 nên u = 0 .

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Bài 1.35: Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c , BC = a, CA = b . Gọi I là tâm và D, E, F
lần lượt là tiếp điểm của cạnh BC, CA, AB của đường tròn nội tiếp tam giác ABC . M, N,
P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng:

æ B
öuur æ A
öuur r
C öuur æ
ççcot C + cot A ÷
ççcot + cot B ÷
a) ççcot + cot ÷
IA
+
IB
+
÷
÷
÷
÷
÷
÷IC = 0
çè
2
2ø
2
2ø
2

2ø
èç
èç
b) cot

A uuur
B uur
C uur r
IM + cot IN + cot IP = 0
2
2
2

uuur
uur
uur r
c) (b + c - a)IM + (a + c - b)IN + (a + b - c)IP = 0
uuur
uur
uur r
d) aAD + bBE + cCF = 0

Lời giải:
Bài 1.35: (hình 1.51)

a) Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp D ABC ta có

æ B
Cö
a = r ççcot + cot ÷

÷
÷; b =
çè
2
2ø

æ C
Aö
r ççcot + cot ÷
÷
÷; c =
2
2ø
èç

A

æ A
Bö
r ççcot + cot ÷
÷
÷
2
2ø
èç

E

F
P

N
I

B

uur
uur
uur r
Theo ví dụ 5 ta có aIA + bIB + cIC = 0

Hình 1.51

æ B
öuur æ A
öuur r
C öuur æ
ççcot C + cot A ÷
ççcot + cot B ÷
Û ççcot + cot ÷
IA
+
IB
+
÷
÷
÷
÷
÷
÷IC = 0

çè
çè
2
2ø
2
2ø
2
2ø
èç

uuur 1 uur uur uur 1 uur uur uur 1 uur uur
b) Ta có IM =
IB + IC ; IN =
IC + IA ; IP =
IA + IC
2
2
2

(

Theo câu a) ta có cot

)

(

)

(

)

r
A uur uur
B uur uur
C uur uur
IB + IC + cot IA + IC + cot IA + IB = 0
2
2
2

(

)

D M

(

)

(

)

C


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

Suy ra cot

A uuur
B uur
C uur r
IM + cot IN + cot IP = 0
2
2
2

c) Ta có

uur uur uur uuur uur uuur uur uur uur uuur uur uur
IA = IP + IN - IM ; IB = IM + IP - IN ; IC = IM + IN - IP Kết hợp ví dụ 5 suy ra

uur
uur
uur r
aIA + bIB + cIC = 0
uuur
uur
uur r
Û (b + c - a)IM + (a + c - b)IN + (a + b - c)IP = 0

uur DC uur DB uur (p - c) uur (p - b) uur
d) ID =
IB +
IC =
IB +

IC
BC
BC
a
a
uur
uur
uur
Û aID = (p - c)IB + (p - a)IC với p là nửa chu vi.
Tương tự ta có :

uur
uur
uur uur
uur
uur
bIE = (p - a)IC + (p - c)IA ; cIF = (p - b)IA + (p - a)IB

uur
uur
uur
uur
uur
uur
Þ aID + bIE + cIF = (2 p - b - c)IA + (2 p - c - a)IB + (2 p - a - b)IC
uur
uur
uur
uuur
uur

uur r
= aIA + bIB + cIC Þ aAD + bBE + cCF = 0
Bài 1.36: Cho tam giác ABC . M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Chứng minh rằng :
uuur
uuur
uuur r
SMBC MA + SMCA .MB + SMAB MC =0
Lời giải:
Bài 1.36: (hình 1.52)Gọi A' là giao điểm AM với BC ta có
uuuur A ' C uuur A ' B uuur
MA ' =
MB +
MC (*)
BC
BC

Mặt khác

S
A ' C SMA 'C SMAC
A'C
=
=
Þ
+ 1 = MAC + 1
A ' B SMA ' B SMAB
A' B
SMAB
Þ

SMAB
A' B
=
BC
SMAB + SMAC

A
M
B

A'
Hình 1.52

C


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

Và

SMAC
A'C
=
(1)
BC
SMAB + SMAC

uuuur
uuur
SMBC

MA ' uuur
MA = MA (2)
Mặt khác MA ' = MA
SMAB + SMAC

Thay (1) và (2) vào (*) ta được điều phải chứng minh.

ur
Bài 1.37: Cho đa giác lồi A1 A2 ...An ( n ³ 3 ); ei ,1 £ i £ n là vectơ đơn vị vuông góc với
uuuuuur
Ai Ai+ 1 (xem An+ 1 º A1 ) và hướng ra phía ngoài đa giác. Chứng minh rằng
ur
ur
ur r
A1 A2 e1 + A2 A3 e2 + ... + An A1 en = 0 (định lý con nhím)

Lời giải:
Bài 1.37: (hình 1.53)Ta chứng minh bằng quy nạp

ur
ek

ur
ur
ur r
Với n = 3 đẳng thức trở thành a.e1 + b.e2 + c.e3 = 0

A1

Ak

(đúng vì đẳng thức này tương đương với đẳng thức ở
bài 11)

r
e

uuur
ek - 1
Ak-1

uuur
ek - 2 Ak-2

Giả sử đúng với n = k - 1, k ³ 4
r
Gọi e là vectơ đơn vị vuông góc với A1 Ak- 1 và hướng

Hình 1.53

ra ngoài tam giác A1 Ak- 1 Ak
Theo giả thiết quy nạp ta có
ur
ur
uuur
r
r
A1 A2 e1 + A2 A3 e2 + ... + Ak- 2 Ak- 1 e k- 2 + Ak- 1 A1 - e = 0 (1)

( )

r
uuur
ur r
Mặt khác xét tam giác A1 Ak- 1 Ak ta có A1 Ak- 1 e + Ak- 1 Ak e k- 1 + Ak A1 e k = 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

ur
e1

A2

ur
e2
A3


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
Bài 1.38: Cho đa giác lồi A1 A2 ...An ( n ³ 3 ) với I là tâm đường tròn tiếp xúc các cạnh của
ur
uuur
đa giác; gọi ei ,1 £ i £ n là véc tơ đơn vị cùng hướng với véc tơ IAi . Chứng minh rằng
A ur r
A ur
A ur
cos 1 e1 + cos 2 e2 + ... + cos n en = 0
2
2
2
Lời giải:

Bài 1.38: (hình 1.54)Gọi Bi , i = 1, 2,..., n là các tiếp điểm

A1

B1

Bn

đường tròn nội tiếp với cạnh Ai Ai+ 1
·B I= A
· B I = 900 và
Xét tứ giác A1 B1 IBn có A
1 n
1 1

·A I = B
·A I
B
n 1
1 1
· IA = B
· IA . Mặt khác IB = IB dó đó
Suy ra B
n
1
1
1
1
n

An
Bn-1

I

A2
B2
A3

An-1
Bn-2 An-2
Hình 1.54

IA1 ^ B1 Bn

Tương tự ta có IAi ^ Bi- 1 Bi , i = 2, 3,..., n
Xét đa giác lồi B1 B2 ...Bn theo định lý con nhím ta có
ur
ur
ur r
Bn B1 .e1 + B1 B2 .e2 + ... + Bn- 1 Bn .en = 0

Û IB1 .cos

A ur r
A1 ur
A ur
e1 + IB2 .cos 2 e2 + ... + IBn .cos n en = 0
2
2

2

Mà IB1 = IB2 = ... = IBn suy ra đpcm.
Bài 1.39: Cho tam giác ABC vuông tại A. I là trung điểm của đường cao AH. Chứng
uur
uur
uur r
minh rằng : a2 IA + b2 IB + c 2 IC = 0 .
Lời giải:
Bài 1.39: Ta có
uur
Suy ra IH =

HB HB.BC c 2
=
=
,
HC HC.BC b2

b2 uur
c 2 uur
IB + 2
IC
c 2 + b2
c + b2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

uur b2 uur c 2 uur

uur
uur
Mà b2 + c2 = a2 và IH = - IA nên suy ra - IA = 2 IB + 2 IC
a
a
uur
uur
uur r
Hay a2 IA + b2 IB + c 2 IC = 0 .

 DẠNG 3: Xác định điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ cho trước
1. Phương pháp giải.
uuuur r
r
• Ta biến đổi đẳng thức vectơ về dạng AM = a trong đó điểm A và a đã biết. Khi
uuuur r
đó tồn tại duy nhất điểm M sao cho AM = a , để dựng điểm M ta lấy A làm gốc
r
dựng một vectơ bằng vectơ a suy ra điểm ngọn vectơ này chính là điểm M.
• Ta biến đổi về đẳng thức vectơ đã biết của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm
tam giác
2. Các ví dụ.
uuur
uuur r
Ví dụ 1: Cho hai điểm A, B phân biệt. Xác định điểm M biết 2 MA - 3 MB = 0

Lời giải:
(hình 1.21)
uuur
uuur r

Ta có 2 MA - 3 MB = 0

A

uuur
uuur uuur
r
Û 2 MA - 3 MA + AB = 0
uuuur
uuur
Û AM = 3 AB

(

)

M nằm trên tia AB và AM = 3AB
Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD . Xác định điểm M , N , P sao cho
uuur uuur uuur r
a) 2 MA + MB + MC = 0

A. M là trung điểm AE, với E là trung điểm AC
B. M là trung điểm AF, với F là trung điểm AB
C. M là trung điểm AG, với G là trọng tâm ABC
D. M là trung điểm AI, với I là trung điểm BC

B
Hình 1.21

M

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
uuur uuur uuur uuur r
b) NA + NB + NC + ND = 0

A. N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trung điểm của AC, BD
B. N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, BCD
C. N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trung điểm của AD, BC
D. N là trung điểm của KH, K, H lần lượt là trung điểm của AB, CD
uuur uur uuur uuur r
c) 3 PA + PB + PC + PD = 0

A. P là trung điểm AG , G là trọng tâm tam giác ACD
B. P là trung điểm AG , G là trọng tâm tam giác BAD
C. P là trung điểm AG , G là trọng tâm tam giác BCD
D. P là trung điểm AG , G là trọng tâm tam giác ABC
Lời giải:
(hình 1.22)
a)
Gọi I là trung điểm BC suy ra
uuur uuur
uuur
MB + MC = 2 MI
uuur uuur uuur r
Do đó 2 MA + MB + MC = 0

uuur
uuur r
uuur uuur r

2 MA + 2 MI = 0 Û MA + MI = 0

B

K

A

M

P
N

I
G

D
H

Suy ra M là trung điểm AI

b) Gọi K, H lần lượt là trung điểm của AB, CD ta có
uuur uuur uuur uuur r
uuur
uuur r
NA + NB + NC + ND = 0 Û 2 NK + 2 NH = 0
uuur uuur r
Û NK + NH = 0 Û N là trung điểm của KH

Hình 1.22

C


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
uur uuur uuur
uuur
c) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD khi đó ta có PB + PC + PD = 3 PG
uuur uur uuur uuur r
uuur
uuur r
Suy ra 3PA + PB + PC + PD = 0 Û 3PA + 3PG = 0
uuur uuur r
Û PA + PG = 0 Û P là trung điểm AG .

Ví dụ 3: Cho trước hai điểm A, B và hai số thực a , b thoả mãn a + b ¹ 0. Chứng minh
uur
uur r
rằng tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn a IA + b IB = 0.

uuur
uuur
uuur
Từ đó, suy ra với điểm bất kì M thì a MA + b MB = (a + b ) MI .
Lời giải:

uur
uur r
uur
uur uuur

r
Ta có: a IA + b IB = 0 Û a IA + b ( IA + AB) = 0
uur
uuur
uur
uur
uuur r
Û (a + b )IA + b AB = 0. Û (a + b ) AI = b AB Û AI =

Vì A, B cố định nên vectơ

b uuur
AB.
a+b

b uuur
AB không đổi, do đó tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn
a+b

điều kiện.
Từ đó suy ra

uuur
uuur
uuur uur
uuur uur
a MA + b MB = a ( MI + IA) + b ( MI + IB)
uuur
uur
uuur

uur
= (a + b ) MI + (a IA + b IB) = (a + b )MI đpcm.

3. Bài tập luyện tập.
uuur
uuur
uuur r
Bài 1.40: Xác định điểm M biết MA + 2 MB + 3 MC = 0

Bài 1.41: Xác định các điểm I, J, K, L biết
uur
uur r
a) IA - 2 IB = 0

A. I là điểm đối xứng của A qua B.

B.I là trung điểm AB


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải
C.Cả A, B đều đúng

D.Cả A, B đều sai

uur uur
uur r
b) JA - JB - 2 JC = 0

uur 1 uuur
A. CJ = AB

3

uur 1 uuur
B. CJ = AB
2

uur 3 uuur
C. CJ = AB
2

uur 1 uuur
D. CJ = AB
4

uuur uuur
B. AK = AB

uuur 2 uuur
C. AK = AB
3

uuur 4 uuur
D. AK = AB
3

uuur 5 uuur
C. AL = BC
2

uuur 1 uuur

D. AL = BC
2

uuur uur uuur uuur
c) KA + KB + KC = BC

uuur 1 uuur
A. AK = AB
3

uuur uur
uur uuur uuur
d) 2 LA - LB + 3 LC = AB + AC

uuur 1 uuur
A. AL = BC
3

uuur 3 uuur
B. AL = BC
2

Bài 1.42: Cho tứ giác ABCD . Tìm điểm cố định I và hằng số k để hệ thức sau thỏa mãn
với mọi M
uuur uuur
uuur
uuur
a) MA + MB + 2 MC = kMI

A. Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=1

B. Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=4
C. Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=2
D. Với J là trung điểm của AB, suy ra I là trung điểm của JC, k=3
uuur
uuur uuuur
uuur
b) 2 MA + 3 MB - MD = kMI

uur 1 uuur uuur
A. k = 2, AI =
3 AB - AD
4

)

uur 1 uuur uuur
B. k = 3, AI =
3 AB - AD
4

uur 1 uuur uuur
C. k = 1, AI =
3 AB - AD
4

)

uur 1 uuur uuur
D. k = 4, AI =
3 AB - AD

4

(

(

(

(

)
)

uuur
uuur
uuur
uuuur
uuur
c) MA + 2 MB + 3 MC - 4 MD = kMI

uur
uuur
uuur
uuur
A. k = 3, IA = 2 AB + 3 AC - 4 AD

uur
uuur
uuur
uuur

B. k = 2, IA = 2 AB + 3 AC - 4 AD