HÀM số hàm số bậc NHẤT (lý thuyết + bài tập có lời giải) file word

Đ2: HM S BC NHT
A. TểM TT Lí THUYT.
1. nh ngha: Hm s bc nht l hm s cú dng y = ax + b ( a ạ 0) .
2. S bin thiờn
ã TX: D = Ă
ã Hm s s ng bin khi a > 0 v nghch bin khi a < 0

Bng bin thiờn
- Ơ

x
y = ax + b

+Ơ

x

- Ơ

+Ơ

y = ax + b

+Ơ

+Ơ

(a< 0 )

( a> 0 )
- Ơ

- Ơ

3. th.
th ca hm s y = ax + b ( a ạ 0) l mt ng thng cú h s gúc bng a , ct trc
ổ b ử
honh ti A ỗỗ- ; 0ữ
ữ v trc tung ti B (0; b)
ỗố a ữ
ứ

Chỳ ý:
ã Nu a = 0 ị y = b l hm s hng, th l ng thng song song hoc trựng vi

trc honh.
ã

Phng trỡnh x = a cng l mt ng thng(nhng khụng phi l mt hm s) vuụng

gúc vi trc ta v ct ti im cú honh bng a.
ã Cho ng thng d cú h s gúc k , d i qua im M (x0 ; y0 ) , khi ú phng trỡnh

ca ng thng d l: y - y0 = a (x - x0 ) .
B. CC DNG TON V PHNG PHP GII.
DNG TON 1: XC NH HM S BC NHT V S TNG GIAO
GIA TH CC HM S .
1. Phng phỏp gii.

55

Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht cú li gii


· Để xác định hàm số bậc nhất ta là như sau

Gọi hàm số cần tìm là y = ax + b, a ¹ 0 . Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải
hệ phương trình với ẩn a, b , từ đó suy ra hàm số cần tìm.
· Cho hai đường thẳng d1 : y = a1 x + b1 và d2 : y = a2 x + b2 . Khi đó:

ìï a = a2
a) d1 và d2 trùng nhau Û ïí 1
;
ïïî b1 = b2
ïì a = a2
b) d1 và d2 song song nhau Û ïí 1
;
ïïî b1 ¹ b2
c) d1 và d2 cắt nhau Û a1 ¹ a2 . Và tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình

ìï y = a1 x + b1
ïí
ïïî y = a2 x + b2
d) d1 và d2 vuông góc nhau Û a1 .a2 = - 1.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d . Tìm hàm số đó biết:
a) d đi qua A(1; 3), B(2; - 1)
A. y = - 4x + 2

B. y = - 2x + 3

C. y = - 4x + 5

D. y = - 4x + 7

b) d đi qua C(3; - 2) và song song với D : 3x - 2 y + 1 = 0
A. y =

1
3
x2
2

B. y =

3
13
x2
2

C. y =

3
3
x2
2

D. y =

3
3

x+
2
2

c) d đi qua M(1; 2) và cắt hai tia Ox, Oy tại P , Q sao cho SD OPQ nhỏ nhất.
A. y = - 2x + 2

B. y = - 2x + 3

C. y = - 2x + 4

D. y = 2x - 1

d) d đi qua N (2; - 1)và d ^ d ' với d ' : y = 4x + 3 .
A. y = -

1
1
x4
2

B. y = -

1
1
x4
3

C. y = -

1
1
x+
4
2

D. y =

1
1
x4
2

Lời giải:
Gọi hàm số cần tìm là y = ax + b, a ¹ 0
a) Vì A Î d và B Î d nên ta có hệ phương trình
56
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


ìï 3 = a + b
ïí
Û
ïïî - 1 = 2a + b

ìï a = - 4
ïí
ïïî b = 7

Vậy hàm số cần tìm là y = - 4x + 7

ìï
ïï a =
3
1
ï
b) Ta có D : y = x + . Vì d / /D nên í
ïï
2
2
ïï b ¹
ïî

3
2 (1)
1
2

Mặt khác C Î d Þ - 2 = 3a + b (2)
ìï
ïï a =
ï
Từ (1) và (2) suy ra í
ïï
ïï b = ïî

Vậy hàm số cần tìm là y =

3
2
13

2

3
13
x2
2

æ b ö
c) Đường thẳng d cắt trục Ox tại P çç- ; 0÷
÷
÷ và cắt Oy tại Q (0; b) với a < 0, b > 0
çè a ø

Suy ra SD OPQ =

1
1
b
b2
(3)
OP.OQ = . - . b = 2
2
a
2a

Ta có M Î d Þ 2 = a + b Þ b = 2 - a thay vào (3) ta được
2

SD OPQ = -

(2 - a)
2a

=-

2 a
- +2
a 2

Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có
-

æ 2ö æ a ö
2 a
ç ÷
- ³ 2 çç- ÷
÷
÷
÷.èçç- 2 ø
÷ = 2 Þ SD OPQ ³ 4
çè a ø
a 2

ìï 2
ïï - = - a
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi í a
2 Û a= - 2Þ b= 4
ïï
ïî a < 0

Vậy hàm số cần tìm là y = - 2x + 4 .
d) Đường thẳng d đi qua N (2; - 1) nên - 1 = 2a + b (4)
Và d ^ d ' Þ 4.a = - 1 Û a = 57

1
1
thay vào (4) ta được b = - .
4
2

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


Vậy hàm số cần tìm là y = -

1
1
x- .
4
2

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng d : y = x + 2m, d ' : y = 3x + 2 ( m là tham số)
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d , d ' cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm của chúng
A. M (2 m - 1; 3m - 1) B. M (m - 2; 3m - 2)
C. M (m + 1; 3m + 1)

D. M (m - 1; 3m - 1)

b) Tìm m để ba đường thẳng d, d ' và d " : y = - mx + 2 phân biệt đồng quy.
A. m = - 1

B. m = 3

C. m = 1

D. m = 2

Lời giải:
a) Ta có ad = 1 ¹ ad ' = 3 suy ra hai đường thẳng d , d ' cắt nhau.
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d , d ' là nghiệm của hệ phương trình

ìï y = x + 2m
ïí
Û
ïïî y = 3x + 2

ìï x = m - 1
ïí
suy ra d , d ' cắt nhau tại M (m - 1; 3m - 1)
ïïî y = 3m - 1

b) Vì ba đường thẳng d, d ', d " đồng quy nên M Î d " ta có

ém= 1
3m - 1 = - m(m - 1)+ 2 Û m2 + 2m - 3 = 0 Û ê
êm = - 3
ë
· Với m = 1 ta có ba đường thẳng là d : y = x + 2, d ' : y = 3x + 2, d " : y = - x + 2, phân

biệt và đồng quy tại M (0; 2).

· Với m = - 3 ta có d ' º d " suy ra m = - 3 không thỏa mãn

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Cho đường thẳng d : y = (m - 1)x + m và d ' : y = (m2 - 1)x + 6
a) Tìm m để hai đường thẳng d , d ' song song với nhau
A. m = 0 và m = 3

B. m = 0 và m = 2

C. m = 0 và m = 1 D. m = 0 và m = 4

b) Tìm m để đường thẳng d cắt trục tung tại A , d ' cắt trục hoành tại B sao cho tam
giác OAB cân tại O
A. m = ± 4
58

B. m = ± 2

C. m = ± 3

D. m = ± 1

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


Li gii:
a) Vi m = 1 ta cú d : y = 1, d ' : y = 6 do ú hai ng thng ny song song vi nhau
Vi m = - 1 ta cú d : y = - 2x - 1, d ' : y = 6 suy ra hai ng thng ny ct nhau ti
ổ 7 ử
M ỗỗ- ; 6ữ

ữ
ữ
ỗố 2 ứ

Vi m ạ 1 khi ú hai ng thng trờn l th ca hm s bc nht nờn song song
ỡù ộm = 1
ỡù m - 1 = m2 - 1 ùù ờ
ộm = 1
vi nhau khi v ch khi ùớ
ùớ ờởm = 0 ờ
ờm = 0
ùù
ùù
mạ 6
ở
ợ
ùùợ m ạ 6
i chiu vi iu kin m ạ 1 suy ra m = 0 .
Vy m = 0 v m = 1 l giỏ tr cn tỡm.
ỡù y = (m - 1)x + m ỡù x = 0
b) Ta cú ta im A l nghim ca h ùớ
ớù
ị A (0; m)
ùù
ùùợ y = m
x= 0
ợ

ỡù y = (m2 - 1)x + 6 ỡù (m2 - 1)x + 6 = 0
ù

Ta im B l nghim ca h ùớ
(*)
ớ
ùù
ùù
y
=
0
y
=
0
ùợ
ùợ
Rừ rng m = 1 h phng trỡnh (*) vụ nghim
ỡù
6
ùù x =
ổ 6
ử
ữ
;
0
Vi m ạ 1 ta cú (*) ớ
ữ
1 - m2 ị B ỗỗỗ
ùù
ố1 - m2 ữ
ứ
ùợ y = 0

Do ú tam giỏc OAB cõn ti O m =

6
1 - m2

ộ m - m3 = 6
m - m3 = 6 ờờ
3
ờởm - m = - 6
ộm3 - m + 6 = 0 ộm = - 2
ờờ 3
ờ
(tha món)
ờm= 2
m
m
6
=
0
ờở
ở

Vy m = 2 l giỏ tr cn tỡm.
3. Bi tp luyn tp.
Bi 2.16: Cho hm s bc nht cú th l ng thng d . Tỡm hm s ú bit:

59

Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht cú li gii

a) d i qua A(1;1), B(3; - 2)
A. y = -

2
5
x3
3

B. y = -

2
5
x+
3
3

C. y = -

2
2
x+
3
3

D. y = -

2
5
x+

5
3

b) d i qua C(2; - 2) v song song vi D : x - y + 1 = 0
A. y = - x - 1

B. y = x - 4

C. y = x - 1

D. y = x - 2

c) d i qua M(1; 2) v ct hai tia Ox, Oy ti P , Q sao cho D OPQ cõn ti O.
A. y = x + 13

B. y = x + 3

C. y = - x + 3

D. y = - x + 2

d) d i qua N (1; - 1)v d ^ d ' vi d ' : y = - x + 3 .
A. y = x - 3

B. y = 2x - 2

C. y = 2x - 3

D. y = x - 2

Li gii:
Bi 2.16: Gi hm s cn tỡm l y = ax + b, a ạ 0
a) Vỡ A ẻ d v B ẻ d nờn ta cú h phng trỡnh
ỡù 1 = a + b
ùớ

ùùợ 3 = - 2a + b

ỡù
ùù a = - 2
ù
3 ị y = - 2 x+ 5
ớ
ù
5
3
3
ùùù b =
3
ùợ

ỡù a = 1
b) Ta cú D : y = x + 1 . Vỡ d / /D nờn ùớ
ùùợ b ạ 1
Mt khỏc C ẻ d ị - 2 = 2a + b ị b = - 4
Vy hm s cn tỡm l y = x - 4
ổ b ử
c) ng thng d ct trc Ox ti P ỗỗ- ; 0ữ
ữ
ữ v ct Oy ti Q (0; b) vi a < 0, b > 0

ỗố a ứ

Ta cú OP = OQ -

b
= b b (a + 1) = 0
a

ộb = 0(l)
ờ
ờa = - 1
ở

Ta cú M ẻ d ị 2 = a + b ị b = 3
Vy hm s cn tỡm l y = - x + 3 .
60

Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht cú li gii


d) Đường thẳng d đi qua N (1; - 1) nên - 1 = a + b
Và d ^ d ' Þ a = 1 suy ra b = - 2 .
Vậy hàm số cần tìm là y = x - 2 .
Bài 2.17: Tìm m để ba đường thẳng d : y = 2x, d ' : y = - x + 6, d '' : y = m2 x + 5m + 3 phân
biệt đồng quy.
A. m =

- 5± 3
4

B. m =

- 5 ± 23
4

C. m =

- 5 ± 33
4

D. m =

5±

33
2

Lời giải:
Bài 2.17: Tọa độ giao điểm(nếu có) của hai đường thẳng d , d ' là nghiệm của hệ phương

ìï y = 2x
trình ïí
Û
ïïî y = - x + 6

ìï x = 2
ïí
suy ra d , d ' cắt nhau tại M (2; 4)
ïïî y = 4

Vì ba đường thẳng d, d ', d " đồng quy nên M Î d " ta có

4 = 2 m2 + 5 m + 3 Þ 2 m 2 + 5 m - 1 = 0 Û m =

Dễ thấy với m =

Vậy m =

- 5 ± 33
4

- 5 ± 33
ba đường thẳng đó phân biệt và đồng quy
4

- 5 ± 33
là giá trị cần tìm..
4

➢ DẠNG TOÁN 2: XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SÔ BẬC
NHẤT.
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
a) y = 3x + 6
b) y = -

1
3
x+
2

2
Lời giải:

a) TXĐ: D = ¡ , a = 3 > 0 suy ra hàm số đồng biến trên ¡
Bảng biến thiên

61

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


y

+¥

- ¥

x

+¥

3

y = 3x + 6
- ¥

x

1

-2 -1 O

Đồ thị hàm số y = 3x + 6 đi qua A (- 2; 0), B (- 1; 3)
b) TXĐ: D = ¡ , a = -

1
< 0 suy ra hàm số nghịch biến trên ¡
2

y

Bảng biến thiên
3/2

x

- ¥

1
3
y = - x+
2
2

+¥

+¥
O

1

3

x

- ¥

Đồ thị hàm số y = -

1
3
x + đi qua A (3; 0),
2
2

æ 3ö
B çç0; ÷
÷
÷
çè 2 ø

Ví dụ 2. Cho các hàm số : y = 2x - 3, y = - x - 3, y = - 2 .
a) Vẽ đồ thị các hàm số trên
b) Dựa vào đồ thị hãy xác định giao điểm của các đồ thị hàm số đó
Lời giải:
a) Đường thẳng y = 2x - 3 đi qua các điểm

y

æ3 ö

A (0; - 3), B çç ; 0÷
÷
çè 2 ÷
ø

3
2

Đường thẳng y = - x - 3 đi qua các điểm
A (0; - 3), C (- 3; 0)

Đường thẳng y = - 2 song song với trục hoành và cắt
trục tung tại điểm có tung độ bằng -2
62

-3

-1 O

1

-2
-3

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

x


b) Đường thẳng y = 2x - 3, y = - x - 3 cắt nhau tại A (0; - 3) , Đường thẳng

y = - x - 3, y = - 2 cắt nhau tại A ' (- 1; - 2) , Đường thẳng y = 2x - 3, y = - 2 cắt nhau
æ1
tại A " çç ; çè 2

ö
2÷
÷
÷.
ø

Ví dụ 3: Cho đồ thị hàm số có đồ thị (C ) (hình

y

vẽ)

3
a) Hãy lập bảng biến thiên của hàm số trên
é- 3; 3ù
ë
û

2
1
-4 -3 -2 -1 O
-1

b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
trên éë- 4; 2 ùû

1

2

3

4 x

-2

Lời giải:

-3

a) Bảng biến thiên của hàm số trên éë- 3; 3ùû

x

- 3

- 2

2

1

3

2

y

b) Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có

max = 3 khi và chỉ khi x = - 4
é- 4;2ù
ë
û

1

min = 0 khi và chỉ khi x = 2
é
ù
- 2

ë- 4;2û

2. Bài tập luyện tập.
Bài 2.18: Cho các hàm số : y = - 2x + 3, y = x + 2, y =

3
.
2

a) Vẽ đồ thị các hàm số trên
b) Dựa vào đồ thị hãy xác định giao điểm của các đồ thị hàm số đó
Lời giải:

63

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


Bi 2.18: a) th hm s y = - 2x + 3 i qua
ổ3 ử
A (0; 3), B ỗỗ ; 0ữ
ữ
ữ
ỗố 2 ứ

y
3
2

th hm s y = x + 2 i qua A ' (0; 2), B ' (- 2; 0)
th hm s y =

ổ 3ử
3
i qua M ỗỗ0; ữ
ữ v song song vi trc
ỗố 2 ữ
ứ
2

-2

O

x

honh
ổ1 7 ử
b) Giao im ca hai th hm s y = - 2x + 3, y = x + 2 l M1 ỗỗ ; ữ
ữ
ỗố 3 3 ữ
ứ

Giao im ca hai th hm s y = - 2x + 3, y =

Giao im ca hai th hm s y = x + 2, y =

ổ3 3 ử
3
l M2 ỗỗ ; ữ
ữ
ữ
ỗố 4 2 ứ
2

ổ 1 3ử
3
l M2 ỗỗ- ; ữ
ữ
ữ
ỗố 2 2 ứ
2

Bi 2.19: Cho th hm s cú th (C ) (hỡnh v)

y

a) Hóy lp bng bin thiờn ca hm s trờn ộở- 3; 3ựỷ

3
2

b) Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca hm s trờn ộở- 2; 2 ựỷ
-3 -2 -1 O

1

2

x

3

Li gii:
-3

Bi 2.19:
a) Bng bin thiờn ca hm s
trờn ộở- 3; 3ựỷ

x

- 3

- 1

2

0

3
2

2

3
0

y

0

64

- 3

Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht cú li gii


b) Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có

max = 2 khi và chỉ khi x = 0
é- 2;2ù

ë
û

min = - 2 khi và chỉ khi x = 2
é
ù
ë- 2;2û

➢ DẠNG TOÁN 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
y = ax + b .
1. Phương pháp giải.
Vẽ đồ thị (C ) của hàm số y = ax + b ta làm như sau
Cách 1: Vẽ (C1 ) là đường thẳng y = ax + b với phần đồ thị sao cho hoành độ x thỏa mãn

x³ -

b
b
, Vẽ (C 2 ) là đường thẳng y = - ax - b lấy phần đồ thị sao cho x < - . Khi đó
a
a

(C ) là hợp của hai đồ thị (C1 ) và (C2 ).
Cách 2: Vẽ đường thẳng y = ax + b và y = - ax - b rồi xóa đi phần đường thẳng nằm
dưới trục hoành. Phần đường thẳng nằm trên trục hoành chính là (C ) .
Chú ý:
· Biết trước đồ thị (C ) : y = f (x) khi đó đồ thị (C1 ) : y = f ( x ) là gồm phần :

- Giữ nguyên đồ thị (C ) ở bên phải trục tung;
- Lấy đối xứng đồ thị (C ) ở bên phải trục tung qua trục tung.

65

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


· Biết trước đồ thị (C ) : y = f (x) khi đó đồ thị (C2 ) : y = f (x) là gồm phần:

- Giữ nguyên đồ thị (C ) ở phía trên trục hoành
- Lấy đối xứng đồ thị (C ) ở trên dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau

ìï 2 x khi x ³ 0
a) y = ïí
.
ïïî - x khi x < 0

b) y = - 3 x + 3 .

Lời giải:

y

y

a) Với x ³ 0 đồ thị hàm số y = 2x là

2

phần đường thẳng đi qua hai điểm
O (0; 0), A (1; 2) nằm bên phải của đường

-2

O

x

1

O

x

1

thẳng x = 0 .
Với x < 0 đồ thị hàm số y = - x là phần đường thẳng đi qua hai điểm
B (- 1;1), C (- 2; 2) nằm bên trái của đường thẳng x = 0 .

b) Vẽ hai đường thẳng y = - 3x + 3 và y = 3x - 3 và lấy phần đường thẳng nằm trên
trục hoành
Ví dụ 2: Vẽ đồ thị của các hàm số sau
a) y = x - 2

b) yy = x - 2
Lời giải:

ìï x - 2 khi x ³ 0

a) Cách 1: Ta có y = ïí
ïïî - x - 2 khi x < 0
Vẽ đường thẳng y = x - 2 đi qua hai điểm
A (0; - 2), B (2; 0) và lấy phần đường thẳng bên

phải của trục tung

-2

O

1

2

-2

Vẽ đường thẳng y = - x - 2 đi qua hai điểm A (0; - 2), C (- 2; 0) và lấy phần đường
thẳng bên trái của trục tung.
66

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

x


Cách 2: Đường thẳng d : y = x - 2 đi qua
A (0; - 2), B (2; 0).

y

Khi đó đồ thị của hàm số y = x - 2 là phần
đường thẳng d nằm bên phải của trục tung và

2

phần đối xứng của nó qua trục tung
b) Đồ thị y = x - 2 là gồm phần:
- Giữ nguyên đồ thị hàm số y = x - 2 ở phía trên

O

-2

1

x

2

trục hoành
- Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y = x - 2 ở phía dưới trục hoành và lấy đối xứng
qua trục hoành.
Ví dụ 3: Cho đồ thị (C ) : y = 3 x - 2 - 2 x - 6
a) Vẽ (C )
b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên với x Î éë- 3; 4ùû
A. max y = 4
é- 3;4ù
ë
û

B. min y = - 2
é- 3;4ù
ë
û

C.Cả A, B đều đúng

D.Cả A, B

đều sai
Lời giải:
ìï x
khi x ³ 3
ïï
ï
a) Ta có y = í 5x - 12 khi 2 < x < 3
ïï
khi x £ 2
ïïî - x

y

3
Vẽ đường thẳng y = x đi qua hai điểm O (0; 0), A (1;1)

2

và lấy phần đường thẳng bên phải của đường thẳng

1

x= 3
Vẽ đường thẳng y = 5x - 12 đi qua hai điểm
B (3; 3), C (2; - 2) và lấy phần đường thẳng nằm giữa

-3 -2 -1 O
-1

1

2

3

-2
-3

của hai đường thẳng x = 2, x = 3 .
Vẽ đường thẳng y = - x đi qua hai điểm O (0; 0), D (- 1; - 1) và lấy phần đường thẳng
bên trái của đường thẳng x = 2
67

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

x


b) Dựa vào đồ thị hàm số ta có

max y = 4 khi và chỉ khi x = 4
é- 3;4ù
ë
û

min y = - 2 khi và chỉ khi x = 2
é- 3;4ù
ë
û

Ví dụ 4: Lập bảng biến thiên của các hàm số sau
a) y =

x2 +

b) y =

x2 + 4x + 4 - x + 1 .

x2 - 2x + 1 .

Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số đó trên éë- 2; 2 ùû
Lời giải:
ìï 2 x - 1 khi x ³ 1
ïï
khi 0 < x < 1
a) Ta có y = x + x - 1 = ïí 1
ïï
ïïî 1 - 2 x khi x £ 0

Bảng biến thiên
- ¥

x

0

1

+¥
+¥

+¥

y

1

1

Ta có y (- 2) = 5, y (2) = 3
Dựa vào bảng biến thiên ta có

max y = 5 khi và chỉ khi x = - 2
é- 2;2ù
ë
û

min y = 1 khi và chỉ khi x Î éë0;1ùû
é- 2;2ù

ë

68

û

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


khi x - 1
ùỡù 1
ùù
b) Ta cú y = x + 2 - x + 1 = ớ 2 x + 3 khi - 2 < x < - 1
ùù
khi x Ê - 2
ùùợ - 1

Bng bin thiờn

x

- Ơ

- 2

- 1

+Ơ

1

1

y

- 1

- 1

Ta cú y (- 2) = - 1, y (2) = 1
Da vo bng bin thiờn ta cú

max y = 1 khi v ch khi x Ê - 2
ộ- 2;2ự
ở
ỷ

min y = 1 khi v ch khi x - 1
ộ- 2;2ự
ở
ỷ

3. Bi tp luyn tp
Bi 2.20: V th hm s y = 2x - 3. T ú suy ra th ca:

(C1 ) : y =

2 x - 3,

(C2 ) : y =

2x - 3 ,

(C3 ) : y =

2x- 3

Li gii:
Bi 2.20: th hm s y = 2x - 3 i qua A (0; - 3), B (2;1) ta gi l (C )
ã Khi ú th hm s (C1 ) : y = 2 x - 3 l phn c xỏc nh nh sau

Ta gi nguyờn th (C ) bờn phi trc tung; ly i xng th (C ) phn bờn phi
trc tung qua trc tung.
ã

(C2 ) : y =

2 x - 3 l phn th (C ) nm phỏi trờn trc honh v th ly i xng

qua trc honh ca phn nm trờn trc honh ca (C ) .

69

Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht cú li gii


·

(C3 ) : y =

2 x - 3 là phần đồ thị (C1 ) nằm phái trên trục hoành và đồ thị lấy đối xứng

qua trục hoành của phần nằm trên trục hoành của (C1 ) .

y

y

y

1

1

3

O

x

2
(C)

O

x

2

-2 -1 O

1

2

x

-3

Bài 2.21: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau
y=

x2 - 4x + 4 - 3 x2 - 2x + 1

Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số đó trên éë0; 2 ùû.
A.

B.

C.

D.

Lời giải:
Bài 2.21: Ta có y = x - 2 - 3 x - 1
ìï - 2 x + 1 Khi x ³ 2
ïï
= ïí - 4 x + 5 Khi 1 £ x < 2
ïï
ïïî 2 x - 1 Khi x < 1

y

Bảng biến thiên

O
-1

x

- ¥

1

1

2

1

2

+¥

-3

1

y

-3

- ¥

70

- ¥

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

x


max y = 1 khi và chỉ khi x = 1
é0;2ù
ë û

min y = - 3 khi và chỉ khi x = 2 .
é0;2ù
ë û

Bài 2.22: a) Lập bảng biến thiên của hàm số y =

x2 + 4x + 4
- x- 2
x+ 2

b) Biện luận số giao điểm của đồ thị hàm số trên với đường thẳng y = m theo m.
A.

B.

C.

D.

Lời giải:
ìï - x + 3 Khi x ³ 2
ïï
- x - 2 = ïí x - 1 Khi - 2 < x < 2
Bài 2.22: a) Ta có y =
ïï
x+ 2
ïïî x - 3 Khi x < - 2
x+ 2

Bảng biến thiên

x

- ¥

- 2

2

+¥

+¥

y

1

- ¥

- ¥

b) Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y =

- ¥

x2 + 4x + 4
- x - 2 ta có số giao điểm của
x+ 2

nó với đường thẳng y = m như sau:
Với m> 1 thì có 1 giao điểm
Với m = 1 thì có hai giao điểm
Với m< 1 thì có ba giao điểm

71

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


➢ DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT TRONG CHỨNG
MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT.
1. Phương pháp giải.
Cho hàm số f (x) = ax + b và đoạn éëa ; b ù

ûÌ ¡ . Khi đó, đồ thị của

y

hàm số y = f(x) trên [a ; b ] là một đoạn thẳng nên ta có một số
f()

tính chất:
 max f(x) = max{f(); f(},
éa ,b ù
ë û

f()

 min f(x) = min{f(); f(},
éa ,b ù
ë û



O

 max f ( x) = max { f (a ) ; f (b ) }.
éa ,b ù
ë û

Áp dụng các tính chất đơn giản này cho chúng ta
cách giải nhiều bài toán một cách thú vị, ngắn gọn, hiệu quả.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho hàm số f (x) = 2 x - m . Tìm m để giá trị lớn nhất của f (x) trên éë1; 2ùû đạt

giá trị nhỏ
nhất.
A. m = - 3

B. m = 2

C. m = 3

D. m = - 2

Lời giải:
Dựa vào các nhận xét trên ta thấy max f ( x) chỉ có thể đạt được tại x = 1 hoặc x = 2 .
[1; 2]

Như vậy nếu đặt M = max f ( x) thì M ³ f (1) = 2 - m và M ³ f (2) = 4 - m .
[1; 2]

Ta có

M³

(2 - m) + ( m - 4)
f (1) + f (2) 2 - m + 4 - m
=
³
= 1.
2
2
2

ìï 2 - m = 4 - m
Û m= 3.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ïí
ïï (2 - m)( m - 4) ³ 0
î

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1, đạt được chỉ khi m = 3.

72

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải



x


Ví dụ 2: Cho hàm số y =

2 x - x 2 - 3m + 4 . Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y là

nhỏ nhất.
A. m = - 3

B. m = -

3
2

C. m = 3

D. m =

3
2

Lời giải:
Gọi A = max y . Ta đặt t =

2x - x2 Þ t =

2

1 - (x - 1) do đó 0 £ t £ 1

Khi đó hàm số được viết lại là y = t - 3m + 4 với t Î éë0;1ùû suy ra

A = max t - 3m + 4 = max {- 3m + 4 , 5 - 3m + }³
[0,1]

- 3m + 4 + 5 - 3m
2

Áp dụng BĐT trị tuyệt đối ta có
- 3m + 4 + 5 - 3m = 3m - 4 + 5 - 3 m ³ 1

Do đó A ³

1
3

. Đẳng thức xảy ra m = .
2
2

Vậy giá trị cần tìm là m =

3
.
2

Ví dụ 3: Cho a, b, c thuộc éë0; 2 ùû. Chứng minh rằng: 2 (a + b + c)- (ab + bc + ca) £ 4
Lời giải:
Viết bất đẳng thức lại thành (2 - b - c)a + 2 (b + c)- bc - 4 £ 0
Xét hàm số bậc nhất f (a) = (2 - b - c)a + 2 (b + c)- bc - 4 với ẩn a Î éë0; 2 ùû
Ta có: f (0) = 2 (b + c)- bc - 4 = - (2 - b)(2 - c) £ 0
f (2) = (2 - b - c)2 + 2 (b + c)- bc - 4 = - bc £ 0

Suy ra f (a)£ max {f (0); f (2)}£ 0 đpcm.
Ví dụ 4: Cho các số thực không âm x, y , z thoả mãn x + y + z = 3 .
Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 + xyz ³ 4 .
Lời giải:
73

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải


Bt ng thc t\ng ng vi ( y + z)2 - 2 yz + x2 + xyz 4
(3 - x)2 + x 2 + yz (x - 2)- 4 0 yz( x - 2) + 2x2 - 6x + 5 0

ổy +

t t = yz , do yz 0 v yz ỗỗ
ỗố 2

2

zử
(3 - x)2
ữ
nờn t ẻ
ữ
=
ữ
ữ
4
ứ

ộ (3 - x)2 ự
ờ0;
ỳ.
ờ
ỳ
4
ở
ỷ

khi ú VT(2) l hm s bc nht ca bin t , f (t) = ( x - 2)t + 2x2 - 6x + 5 .
2ử
ổ
ỗỗ(3 - x) ữ
ữ

ữ
chng minh bt ng thc (2) ta s chng minh f (0) 0 v f ỗỗ
0.
ữ
ữ
ỗỗố 4 ứ
ữ

2

ổ 3ử 1
Tht vy, ta cú f (0) = 2 x - 6 x + 5 = 2 ỗỗx - ữ
ữ + 0 v
ỗố
2ữ
ứ 5
2

2ử
ổ
ỗỗ(3 - x) ữ
2
1
ữ
ữ
f ỗỗ
= (x - 1) (x + 2) 0 nờn bt ng thc c chng minh.
ữ
ữ
ỗỗố 4 ứ

ữ 4

ng thc xy ra x = y = z = 1 .
3. Bi tp luyn tp.

ùỡ x , y , z 0
7
Bi 2.23: Cho ùớ
. Chng minh 0 Ê xy + yz + zx - 2xyz Ê
.
ùùợ x + y + z = 1
27
Li gii:
Bi 2.23: T gi thit ta cú x , y , z ẻ ộở0; 1ự
ỷ

ị xy + yz + zx - 2xyz = xy + yz(1- x) + zx(1- y) 0 .

Cng t gi thit ta suy ra yz Ê

xy + yz + zx - 2xyz Ê

( y + z)2 (1 - x)2
=
. Mt khỏc ta li cú
4
4

7
7

f ( yz) = (1- 2x)yz + x(1- x) Ê 0 (2).
27
27

Khi ú ta thy rng
Nu x =

74

1
1
khi ú BT (2) thnh Ê 0 (hin nhiờn ỳng).
108
2

Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht cú li gii


Nu x ạ

1
thỡ f ( yz) l hm s bc nht. Do ú chng minh f ( yz) Ê 0 ta ch cn
2

ỡù f (0) Ê 0
ùù
2
ổ 1ử
2ự
ùù ộ

1
7
ữ
ỗ
chng minh ớ ờ(1 - x) ỳ . D thy f (0) = x(1- x) < 0 v
= - ỗx - ữ
ữ
ỗố
ùù f ờ
2 ứ 108
27
ỳÊ 0
ùù ờ 4 ỳ
ỳỷ
ùợ ờở
2ự
2
ộ
(1 - x)
2
7
1
ờ(1 - x) ỳ
fờ
+ x(1 - x) = (6x + 1)(3x - 1) Ê 0 . Vy l trong hai
ỳ= (1 - 2 x).
4
27
108
ờ 4 ỳ

ờở
ỳ
ỷ

trng hp ta kt lun f ( yz) Ê 0 . Ta ó gii xong bi toỏn.

ỡù x , y , z 0
Bi 2.24: Cho ùớ
. Chng minh x2 + y2 + z2 + xyz 4 .
ùùợ x + y + z = 3
Li gii:
( y + z)2 (3 - x)2
ộ
ự
=
Bi 2.24: T gi thit ta cú x , y , z ẻ ở0; 3ỷ v yz Ê
. Mt khỏc ta thy
4
4
2

2

x2 + y 2 + z 2 + xyz 4 x2 + (y + z) - 2 yz + xyz - 4 0 x2 + (3 - x) - 2 yz + xyz - 4 0
f ( yz) = ( x - 2) yz + 2 x 2 - 6 x + 5 0 (3).

Nu x = 2 thỡ BT (3) s thnh 1 0 (hin nhiờn ỳng).
Nu x ạ 2 thỡ f ( yz) l hm s bc nht. Do ú chng minh f ( yz) 0 ta ch cn
ỡù
ùù

ù
chng minh ùớ
ùù
ùù
ùợ

f (0) 0
2
ổ 3ữ
ử 1
2ự
ộ
2
ỗ
. D thy f (0) = 2x - 6x + 5 = 2 ỗx - ữ
+ > 0 v
ờ(3 - x) ỳ
ỗố
fờ
2ữ
ứ 2
ỳ 0
ờ 4 ỳ
ờở
ỳ
ỷ

2ự
2
ộ

(3 - x)
2
1
ờ(3 - x) ỳ
fờ
+ 2 x 2 - 6 x + 5 = ( x + 2) (x - 1) 0 . Vy l trong hai trng
ỳ= ( x - 2).
4
4
ờ 4 ỳ
ờở
ỳ
ỷ

hp ta kt lun f ( yz) 0 .

ùỡ x , y , z 0
1
Bi 2.25: Cho ùớ
. Chng minh x3 + y 3 + z 3 + 6xyz .
ùùợ x + y + z = 1
4
Li gii:
75

Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht cú li gii


( y + z)2 (1 - x)2
yz

Ê
=
Bi 2.25: T gi thit ta cú x , y , z ẻ ộở0; 1ự
v
. Mt khỏc ta thy
ỷ
4
4

1
1
x 3 + ( y + z )3 - 3 yz( y + z ) + 6 xyz - 0
4
4
1
x 3 + (1 - x)3 - 3 yz(1 - x) + + 6 xyz - 0
4
x 3 + y 3 + z 3 + 6 xyz

f ( yz) = (3x - 1) yz + x2 - x +

1
0 (4).
4

Nu x =

1
1
thỡ BT (4) s thnh

0 (hin nhiờn ỳng).
36
3

Nu x ạ

1
thỡ f ( yz) l hm s bc nht. Theo TC2 thỡ chng minh f ( yz) 0 ta ch
3

ỡù f (0) 0
ùù
2
2ự
ùù ộ
1ử
1 ổ
2
ữ
ỗ
cn chng minh cho ớ ờ(1 - x) ỳ . D thy f (0) = x - x + = ỗx - ữ
ữ 0 v
ùù f ờ
2ứ
4 ỗố
ỳ 0
ùù ờ 4 ỳ
ỳỷ
ùợ ờở
2ự

2
ộ
(1 - x) 2
1 3 ổ
1ử
ờ(1 - x) ỳ
fờ
+ x - x + = x ỗỗx 2 - x + ữ
ữ 0 (ỳng vỡ 0 Ê x Ê 1 v
ỳ= (3x - 1).
4
4 4 ỗố
3ữ
ứ
ờ 4 ỳ
ờở
ỳ
ỷ

1
x - x+ =
3
2

2

ổ 1ữ
ử
ỗỗx - ữ + 1 > 0 ). Vy l trong hai trng hp ta kt lun f ( yz) 0 .
ỗố

2ữ
ứ 12

Bi 2.26: Cho 0 Ê a, b, c Ê 1 . Chng minh a2 + b2 + c 2 Ê a2 b + b2c + c 2 a + 1 .
Li gii:
Bi 2.26: Ta cú a2 + b2 + c 2 Ê a2 b + b2 c + c 2 a + 1 (b - 1)a 2 + b 2 c + c 2 a + 1 - b 2 - c 2 0 .
Vỡ 0 Ê a Ê 1 ị a a2 ị
(b - 1)a2 + b2 c + c 2 a + 1 - b 2 - c 2 (b - 1)a 2 + b 2 c + c 2 a 2 + 1 - b 2 - c 2 =

= (c 2 + b - 1)a2 + b2 c + 1- b2 - c 2 = f ( a2 ) . Ta ch cn chng minh f (a2 ) 0 (5) l c.

Nu c2 + b - 1 = 0 ị c2 = 1- b khi ú BT s tr thnh b2 c + (b - b 2 ) 0 (ỳng vỡ

0 Ê b, c Ê 1 ).
76

Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht cú li gii


Nu c2 + b - 1 ạ 0 thỡ ta cú f (a2 ) l hm s bc nht. Do ú chng minh

ỡù f (0) 0
. D thy f (0) = b2c + 1- b2 - c 2
f (a2 ) 0 ta ch cn chng minh cho ùớ
ùùợ f (1) 0

= (1- c)(1 + c - b2 ) = (1- c) ộờc + (1- b2 )ự
0 (ỳng vỡ 0 Ê b, c Ê 1 ) v
ỳ
ở

ỷ
f (1) = b2 c + (b - b2 ) 0 (ỳng vỡ 0 Ê b, c Ê 1 ). Vy l trong hai trng hp ta kt

lun f (a2 ) 0 . Ta ó gii xong bi toỏn.

ùỡ x , y , z 0
4
Bi 2.27: Cho ùớ
. Chng minh x2 y + y 2 z + z 2 x Ê
.
ùùợ x + y + z = 1
27
Li gii:
Bi 2.27: Gi s x = min {x, y , z} thỡ t gi thit ca bi toỏn ta suy ra 0 Ê x Ê
khỏc ta li cú x2 y + y 2 z + z 2 x Ê

ị yx2 + y 2 z + z 2 x -

1
. Mt
3

4
1
1
4
yx2 + y 2 z + z 2 x Ê 0 . Vỡ 0 Ê x Ê ị x2 Ê x
27
3
3

27

ử
4
1
4 ổ
1
4
Ê yx + y 2 z + z 2 x = ỗỗ y + z 2 ữ
x + y2z = f ( x) . Bõy gi ta
ữ
ữ
ỗ
27 3
27 ố 3
27
ứ

s chng minh f ( x) Ê 0 (6) l c.

Nu

1
4
y + z 2 = 0 ị y = z = 0 thỡ BT (6) thnh Ê 0 (hin nhiờn ỳng).
3
27

Nu

1
y + z 2 ạ 0 thỡ f ( x) l hm s bc nht . Theo TC2 thỡ chng minh f ( x) Ê 0 ta
3

ỡù
ùù
ch cn chng minh cho ùớ
ùù
ùùợ

f (0) Ê 0
4
ổ1 ử
. D thy f (0) = y 2 z ; vỡ x = 0 nờn t gi thit
ữ
f ỗỗ ữ
Ê 0
27
ữ
ỗố 3 ứ
3

1
1 ộ2 (y + z)ự
ỳ= 4
ị y + z = 1 . Theo BT Cụsi ta cú y 2 z = .y.y.(2 z) Ê . ờờ
ỳ 27
2
2 ờ 3
ỳ

ở
ỷ

ị y2 z -

ổ1 ử
1
1
4
4
1
; vỡ x = nờn t gi thit ta
= y2 z + y + z2 Ê 0 ị f (0) Ê 0 v f ỗỗ ữ
ữ
ữ
ỗố 3 ứ
9
3
27
27
3

77

Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht cú li gii


2

ổ1 ử

ổ
ử
ử
2
2
1
1ổ
4
1
2 ỗ2
ữ
ỗỗ 2 - yữ
suy ra y + z = ị z = - y ị f ỗỗ ữ
=
y
y
+
y
+
= - y3 + y2 - y =
ữ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ

3
3
3 ố3
3
ố3 ứ
ố3
ứ 9
ứ 27

ổ
= - y ỗỗy 2 - y +
ỗố

ộổ 1 ử2 1 ự
1ử
ữ
= - y ờờỗỗy - ữ
+ ỳ
Ê 0 (ỳng vỡ y 0 ). Vy l trong hai trng hp ta
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗ
3ứ
2 ứ 12 ỳ
ờởố
ỳ
ỷ

kt lun f ( x) Ê 0 . Ta ó gii xong bi toỏn.
Bi 2.28: Chng minh rng vi " m Ê 1 thỡ x 2 - 2(3m - 1)x + m + 3 0 vi " x ẻ ộở1; + Ơ

).

Li gii:
Bi 2.28: Ta cú x2 - 2(3m - 1)x + m + 3 0 f (m) = (- 6x + 1)m + x2 + 2x + 3 0 . Ta thy

f ( m) l hm s bc nht cú h s ca m l - 6x + 1 < 0 (do x ẻ ộở1; + Ơ ) ). Theo TC1 thỡ
f ( m) l hm nghch bin ị f (m) f (1) vi " m Ê 1 . Tc l ta cú
x 2 - 2(3m - 1)x + m + 3 ( x - 2)2 0 (ỳng vi " x ẻ ộở1; + Ơ

) ).

Vy l ta gii quyt xong bi toỏn.
Đ3: HM S BC HAI
A. TểM TT Lí THUYT.
1. nh ngha: Hm s bc hai l hm s cú dng y = ax 2 + bx + c (a ạ 0) .
2. S bin thiờn
ã TX: D = Ă

ổ b
ã Khi a > 0 hm s ng bin trờn ỗỗ;+ Ơ
ỗố 2a

tr nh nht l -

ử
ổ
ử

ữ
ỗỗ- Ơ ; - b ữ
,
nghch
bin
trờn
ữ
ữ
ữ
ữ v cú giỏ
ỗố
2a ứ
ứ

b
D
khi x = . Khi a < 0 hm s ng bin trờn
2a
4a

ổ b
bin trờn ỗỗ;+ Ơ
ỗố 2a

ổ
ử
ỗỗ- Ơ ; - b ữ
, nghch
ữ
ữ

ỗố
2a ứ

ử
b
D
ữ
v cú giỏ tr ln nht l khi x = .
ữ
ữ
ứ
2a
4a

Bng bin thiờn

x

78

- Ơ

-

b
2a

+Ơ

Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht cú li gii

y = ax2 + bx + c

+Ơ

+Ơ

x

( a> 0 )

- Ơ

y = ax2 + bx + c

D
4a

-

b
2a

-

D
4a

+Ơ

(a< 0 )
- Ơ

- Ơ

3. th.
Khi a > 0 th hm s bc hai b lừm hng lờn trờn v cú ta nh l
ổ b
ử
Dữ
I ỗỗ;ữ
ỗố 2a 4a ữ
ứ
Khi a < 0 th hm s bc hai b lừm hng lờn trờn v cú ta nh l
ổ b
ử
Dữ
I ỗỗ;ữ
ỗố 2a 4a ữ
ứ
th nhn ng thng x = -

b
lm trc i xng.
2a

y

y

O

b
2a

1



x

a0

O

b
2a

1

x

a0

B. CC DNG TON V PHNG PHP GII.
DNG TON 1: XC NH HM S BC HAI .
1. Phng phỏp gii.

xỏc nh hm s bc hai ta l nh sau
Gi hm s cn tỡm l y = ax2 + bx + c , a ạ 0 . Cn c theo gi thit bi toỏn thit lp
v gii h phng trỡnh vi n a, b, c , t ú suy ra hm s cn tỡm.
79

Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht cú li gii