OXY BA ĐƯỜNG CÔNIC (lý thuyết + bài tập ứng dụng có lời giải) file word

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
§8. BA ĐƯỜNG CÔNIC
I. Đường chuẩn của elip và hypebol.
Không chỉ có parabol mới có đường chuẩn, elip và hypebol cũng có đường chuẩn được định nghĩa
tương tự như sau
1. Đường chuẩn của elip.
a. Định nghĩa: Cho (E):

x2 y2
a
+ 2 = 1 . Khi đó đường thẳng D 1 : x + = 0 được gọi là đường
2
e
a
b

chuẩn của elip, ứng với tiêu điểm F1 (- c; 0 ); Đường thẳng D 2 : x -

a
= 0 được gọi là đường
e

chuẩn của elip, ứng với tiêu điểm F2 (c;0 ).
b. Tính chất: Với mọi điểm M thuộc (E) ta có

MF1
MF2
=
= e (e < 1 )
d (M ; D 1 ) d (M ; D 2 )

2. Đường chuẩn của hypebol.
a. Định nghĩa: Cho (H):

x2 y2
a
D
:
x
+
=
= 0 và
1
.
các
đường
thẳng
1
e
a 2 b2

a
= 0 gọi là các đường chuẩn của (H) lần lượt tương ứng với các tiêu điểm F1 (- c; 0 )
e
và F2 (c;0 )
D2 : x -

b. Tính chất: Với mọi điểm M thuộc (E) ta có

MF1
MF2

=
= e (e > 1 )
d (M ; D 1 ) d (M ; D 2 )

II. Định nghĩa ba đường cônic
Cho điểm F cố định và đường thẳng D cố định không đi qua F. Tập hợp các điểm M sao cho tỉ
số

MF
bằng một số dương e cho trước được gọi là ba đường cônic
d (M ; D )

Điểm F gọi là tiêu điểm, D được gọi là đường chuẩn và e gọi là tâm sai của đường cônic.
Chú ý: Elip là đường cônic có tâm sai e < 1 ; parabol là đường cônic có tâm sai e = 1 ; hypebol
là đường cônic có tâm sai e > 1
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG 1. Nhận dạng cônic và xác định tiêu điểm, đường chuẩn của các đường cônic.
1. Phương pháp giải.


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
• Để nhận dạng đường cônic ta dựa vào tâm sai: đường cônic có tâm sai e < 1 là elip;
đường cônic có tâm sai e = 1 là parabol; đường cônic có tâm sai e > 1 là hypebol.
• Từ phương trình của đường cônic ta xác định được dạng của nó từ đó xác định được tiêu
điểm và đường chuẩn của nó.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1:
a) Xác định tiêu điểm của

x2 y2

+
= 1.
5
4

A. F1 (- 1;0 )

B. F2 (1; 0 )

C. F2 (1; 0 ), F1 (- 1;0 )

D. F2 (2;0 ), F1 (- 2;0 )

Xác định đường chuẩn của

x2 y2
+
= 1
5
4

A. x + 6 = 0 hoặc x - 5 = 0

B. x + 6 = 0 hoặc x - 6 = 0

C. x + 7 = 0 hoặc x - 7 = 0

D. x + 5 = 0 hoặc x - 5 = 0

b) Xác định tiêu điểm của

(

A. F1 C. F2

(

17; 0

x2 y2
= 1.
7
10

)

) (

17; 0 , F1 -

Xác định đường chuẩn của

A. x +

7

B. F2

17; 0

17; 0

D. F2 (2;0 ), F1 (- 2;0 )

7

= 0

B. x + 6 = 0 hoặc x - 6 = 0

17

C. x + 7 = 0 hoặc x - 7 = 0

D. x + 5 = 0 hoặc x - 5 = 0

c) Xác định tiêu điểm của y 2 = 18x .

æ 9 ÷
ö
;0÷
÷
çè 2 ø

A. F çç-

)

x2 y2
= 1

7
10

= 0 hoặc x -

17

)

(

æ9

ö

B. F çç ; 0 ÷
÷
÷
çè 2 ø


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
C. F2

) (

(

17; 0 , F1 -

17; 0

)

D. F2 (2;0 ), F1 (- 2;0 )

Xác định đường chuẩn của y 2 = 18x
A. x +

9
= 0
2

B. x + 7 = 0

C. x - 7 = 0

D. x + 5 = 0

Lời giải:
a) Dễ thấy đây là phương trình chính tắc của đường elip

ìï a =
ìï a 2 = 5
Þ ïí
Ta có ïí 2
ïï b = 4
î

5

c
1
Þ c 2 = a 2 - b2 = 5 - 4 = 1 do đó c = 1 , tâm sai e = =
ï b= 2
a
5
îï

Vậy ta có tiêu điểm là F1 (- 1;0 ) tương ứng có đường chuẩn có phương trình là x +

5
= 0
1
5

hay x + 5 = 0 và tiêu điểm là F2 (1; 0 ) tương ứng có đường chuẩn có phương trình là

x-

5
= 0 hay x - 5 = 0 .
1
5

b) Đây là phương trình chính tắc của đường hypebol

ìï a 2 = 7
Ta có ïí 2
Þ
ïï b = 10

î

ìï a = 7
ï
Þ c 2 = a 2 + b2 = 17 do đó c =
í
ï
ïîï b = 10

(

Vậy ta có tiêu điểm là F1 -

x+

7
17
7

7

= 0 hay x +

phương trình là x -

17
7
17
7

c
=
a

17
7

)

17; 0 tương ứng có đường chuẩn có phương trình là

= 0 và tiêu điểm là F2

= 0 hay x -

7
17

c) Đây là phương trình chính tắc của parabol
Ta có 2p = 18 Þ p = 9

17 , tâm sai e =

= 0.

(

)

17; 0 tương ứng có đường chuẩn có

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

æ9

ö

9

Vậy tiêu điểm là F çç ; 0 ÷
÷, đường chuẩn có phương trình là x + = 0 .
÷
çè 2 ø
2
Ví dụ 2: Cho cônic có tiêu điểm F (- 1;1), đi qua điểm M (1;1) và đường chuẩn

D : 3x + 4y - 5 = 0 . Cônic này là elip, hypebol hay là parabol?
A.elip

B.hypebol

C.parabol

D.Đường tròn

Lời giải:
Ta có MF = 2 , d (M ; D ) =

Suy ra

3+ 4- 5
2

3 + 4

2

=

2
5

MF
= 5 > 1 suy ra đây là elip
d (M ; D )

 DẠNG 2. Viết phương trình đường cônic.
1. Phương pháp giải.
• Dựa vào các dạng của đường cônic mà giả thiết đã cho để viết phương trình
• Dựa vào định nghĩa của ba đường cônic
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng D : x - y + 1 = 0 và điểm F (1;0 ). Viết phương trình của đường
cônic nhận F làm tiêu điểm và D là đường chuẩn trong mỗi trường hợp sau
a) Tâm sai e =

3

A. 2x 2 + y 2 - xy + 10x - 6y + 1 = 0

B. x 2 + y 2 - 6xy + 10x - 6y + 1 = 0

C. x 2 + y 2 - xy + 10x - 6y + 1 = 0

D. 2x 2 + y 2 - 6xy + 10x - 6y + 1 = 0

b) Tâm sai e =

1
2

A. 3x 2 + 3y 2 + 2xy - x + y + 3 = 0

B. 3x 2 + y 2 + xy - 10x + 2y + 3 = 0

C. x 2 + y 2 + xy - 10x + 2y + 3 = 0

D. 3x 2 + 3y 2 + 2xy - 10x + 2y + 3 = 0

c) Tâm sai e = 1
A. 2xy - 4x + 2y + 3 = 0

B. 2xy - 4x + 2y - 2 = 0


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
D. 2xy - 4x + 2y = 0

C. 2xy + x + 2y = 0

Lời giải:
Gọi M (x ; y ) là điểm thuộc đường cônic cần tìm. Khi đó theo định nghĩa ta có

MF
= e Û MF = e.d (M ; D ) (*).
d (M ; D )
Ta có MF =

a) Tâm sai e =

2

(1 - x )

+ y 2 , d (M ; D ) =

3 thì (* ) Û

2

(1 - x )

x- y+ 1
2

+ y2 =

3.

x- y+ 1

2

Û 2 (x 2 - 2x + 1 + y 2 ) = 3 (x 2 + y 2 + 1 - 2xy + 2x - 2y )
Û 2x 2 + y 2 - 6xy + 10x - 6y + 1 = 0
Vậy phương trình đường cônic cần tìm là 2x 2 + y 2 - 6xy + 10x - 6y + 1 = 0

b) Tâm sai e =

1
thì (* ) Û
2

2

(1 - x )

+ y2 =

1 x- y+ 1
.
2
2

Û 4 (x 2 - 2x + 1 + y 2 ) = x 2 + y 2 + 1 - 2xy + 2x - 2y
Û 3x 2 + 3y 2 + 2xy - 10x + 2y + 3 = 0
Vậy phương trình đường cônic cần tìm là 3x 2 + 3y 2 + 2xy - 10x + 2y + 3 = 0 .
2

c) Tâm sai e = 1 thì (* ) Û

(1 - x )

+ y2 =

x- y+ 1
2

Û x 2 - 2x + 1 + y 2 = x 2 + y 2 + 1 - 2xy + 2x - 2y
Û 2xy - 4x + 2y = 0
Vậy phương trình đường cônic cần tìm là 2xy - 4x + 2y = 0 .

(

)

Ví dụ 2: Cho điểm A 0; 3 và hai đường thẳng D : x - 2 = 0 , D ' : 3x - y = 0
a) Viết phương trình chính tắc đường elip có A là một đỉnh và một đường chuẩn là D


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A.

x2 y2
+
= 1
7
3

B.

x2 y2
+
= 1
8
3

C.

x2 y2
+
= 1
9
3

D.

x2 y2
+
= 1
6
3

b) Viết phương trình chính tắc đường hypebol có D là một đường chuẩn và D ' là tiệm cận.
A.

x2 y2
= 1
4
36

B.

x2
y2
= 1
4
360

C.

x2 y2
= 1
40 36

Lời giải:
a) Gọi phương trình chính tắc elip là

(

x2 y2
+
= 1, a > b > 0
a 2 b2

)

Vì A 0; 3 là một đỉnh của elip nên b =

elip có một đường chuẩn là D nên

3

a
a2
= 2Û
= 2 Û a 2 = 2c (*)
e
c

Ta lại có b2 = a 2 - c Þ 3 = a 2 - c Þ c = a 2 - 3 thay vào (*) ta có

a 2 = 2 (a 2 - 3 ) Û a 2 = 6

x2 y2
+
= 1.
Vậy phương trình chính tắc elip cần tìm là
6
3
b) Gọi phương trình chính tắc elip là

x2 y2
= 1, a > 0, b > 0
a 2 b2

Hypebol có một đường chuẩn là D nên

a
a2

a2
= 2Û
= 2Û c=
(1)
e
c
2

Hypebol có một đường tiệm cận là D ' nên

b
= 3 Û b = 3a (2)
a

Mặt khác b2 = c 2 - a 2 (3)
Thay (1), (2) vào (3) ta được
2

2

(3a )

æa 2 ö
a4
2
2
= çç ÷
a
Û
10

a
=
Û a 2 ( 40 - a 2 ) = 0 Û a 2 = 40
÷
çè 2 ÷
4
ø

Suy ra b2 = 9a 2 = 360

D.

x2
y2
= 1
40 360


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Vậy phương trình chính tắc hypebol cần tìm là

x2
y2
= 1.
40 360

 DẠNG 3. Sự tương giao gữa các đường cônic và với các đường khác.
1. Phương pháp giải.
Cho hai đường cong f (x ; y ) = a, g (x ; y ) = b khi đó

• Số giao điểm của hai đường cong trên chính là số nghiệm của hệ phương trình

ìï f (x ; y ) = a
ïí
ïï g (x ; y ) = b
î

ìï f (x ; y ) = a
• Tọa độ giao điểm(nếu có) của hai đường cong là nghiệm của hệ ïí

ïï g (x ; y ) = b
î

2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng D : 2x - y + m = 0 , elip (E):

x2 y2
+
= 1 và hypebol (H):
6
3

x2 y2
= 1
1
8
a) Với giá trị nào của m thì D cắt (E) tại hai điểm phân biệt ?
A. - 3 < m < 3

B. -

C. - 3 3 < m < 3 3

D. - 3 3 £ m £ 3 3

3< m <

3

b) Chứng minh rằng với mọi m thì D cắt (H) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau
của (H)
c) Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (E) và (H).
A. x 2 + y 2 =

2
17

B. x 2 + y 2 =

62
7

C. x 2 + y 2 =

2
7

Lời giải:

ìï 2x - y + m = 0

ìï
ï
y = x+ m
2
Û
a) Xét hệ phương trình ïí x 2
íï 2
y
ïï
ïï 9x + 8mx + 2m 2 - 6 = 0
+
= 1
î
ïî 6
3

D. x 2 + y 2 =

62
17


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Do đó D cắt (E) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 9x 2 + 8mx + 2m 2 - 6 = 0
có hai nghiệm phân biệt hay D ' = 16m 2 - 9 (2m 2 - 6 ) > 0 Û - 3 3 < m < 3 3 .

ìï 2x - y + m = 0
ìï
ï
y = x+ m

2
Û íï 2
b) Xét hệ phương trình ïí x 2
y
ïï
ïï 7x - 2mx - m 2 - 8 = 0 (* )
= 1
î
ïî 1
8
Do ac = - 7. (m 2 + 8 ) < 0 nên phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu suy ra D cắt (H) tại
hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu nhau
Vậy D cắt (H) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau của (H)

ìï
ïï
c) Tọa độ giao điểm của (E) và (H) là nghiệm của hệ: ïí
ïï
ïï
î
ìï
ïï x = ±
ï
Giải hệ (I) ta được ïí
ïï
ïï y = ± 2
ïî

x2 y2
+

= 1
6
3
(I )
x2 y2
= 1
1
8

22
17
10
17

Tọa độ giao điểm của (E) và (H) là nghiệm của hệ (I) nên thỏa mãn phương trình

æx 2 y 2 ö
æx 2 y 2 ö
62
÷
÷
çç 27 çç +
+
4
= 31 hay x 2 + y 2 =
÷
÷
÷
÷
çè 6

17
3ø
8ø
èç 1
Vậy tọa độ giao điểm của (E) và (H) là

æ 22
æ
10 ö
÷
çç÷
M 1 ççç
;2
,
M
÷
÷ 2 ççè
çè 17
17 ø

ö
æ
ö
æ
22
10 ÷
çç 22; - 2 10 ÷
ç÷
÷
;2

,
M
,
M
÷ 3 çç
÷
4ç
çç
÷
17
17 ÷
17
17
ø
è
ø
è

trình đường tròn đi qua các điểm đó phương trình là x 2 + y 2 =

22
10 ö
÷
÷
;- 2
và phương
÷
÷
17
17 ø

62
17

Nhận xét: Để viết phương trình đường tròn qua giao điểm của (E)

x2 y2
+
= 1 , (H)
a 2 b2

x2
y2
= 1
a '2 b '2
ta chọn a , b sao cho

a
b
a
b
+ 2 = 2 - 2 = k > 0, a + b > 0 khi đó phương trình đường
2
a
a'
b
b'

tròn cần tìm là x 2 + y 2 =

a + b
k


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Ví dụ 2: Cho elip (E):

x2 y2
+
= 1 và điểm I(1; 2). Viết phương trình đường thẳng đi qua I biết
16
9

rằng đường thẳng đó cắt elip tại hai điểm A, B mà I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
A. x + 32y - 73 = 0

B. 9x + 3y - 73 = 0

C. 9x + 32y - 3 = 0

D. 9x + 32y - 73 = 0
Lời giải:

r
ìï x = 1 + at
Cách 1: Đường thẳng D đi qua I nhận u (a ;b ) làm vectơ chỉ phương có dạng ïí
(với
ïï y = 2 + bt
î

a 2 + b2 ¹ 0 )
A, B Î D suy ra tọa độ A, B có dạng A = (1 + at 1;2 + bt 1 ) , B = (1 + at 2 ;2 + bt 2 ) .
ìï 2x I = x A + x B
ìï a (t 1 + t 2 ) = 0
Û ïí
Û t 1 + t 2 = 0 (1)
I là trung điểm của AB khi và chỉ khi ïí
ïï 2x I = x A + x B
î

ïï b (t 1 + t 2 ) = 0
î

(do a 2 + b2 ¹ 0 )

A, B Î

(E ) nên t 1, t 2

là nghiệm của phương trình

(1 + at )2 (2 + bt )2
+
= 1Û
16
9

(9a 2 + 16b2 )t 2 + 2 (9a +

32b )t - 139 = 0

Theo định lý Viet ta có t 1 + t 2 = 0 Û 9a + 32b = 0
Ta có thể chọn b = - 9 và a = 32 .
Vậy đường thẳng d có phương trình

x- 1 y- 2
=
hay 9x + 32y - 73 = 0
32
- 9

Cách 2: Vì I thuộc miền trong của elip (E ) nên lấy tùy ý điểm A (x ; y ) Î (E ) thì đường thẳng IM
luôn cắt (E) tại điểm thứ hai là B (x '; y ' ) .
I là trung điểm điểm A B khi và chỉ khi

ìï 2x I = x A + x B
ìï x ' = 2 - x
ïí
Û ïí
Þ M ' (2 - x ; 4 - y )
ïï 2x I = x A + x B
ïï y ' = 4 - y
î
î


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

ìï x 2 y 2

ïï
+
= 1
9
M , M ' Î (E ) Û ïí 16
ïï (2 - x )2 (4 - y )2
+
= 1
ïï
î 16
9
Suy ra

4 - 4x 16 - 8y
+
= 0 hay 9x + 32y - 73 = 0 (*)
16
9

Tọa độ điểm M, I thỏa mãn phương trình (*) nên đường thẳng cần tìm là 9x + 32y - 73 = 0
Nhận xét: Bài toán tổng quát " Cho elip (E ) :

x2 y2
+
= 1(a > b > 0 ) và điểm I (x 0 ; y 0 ) với
a 2 b2

x 02 y 02
+
< 1 (nghĩa là điểm I thuộc miền trong của elíp ) . Viết phương trình đường thẳng đi

a 2 b2
qua I , biết rằng đường thẳng đó cắt elíp tại hai điểm M , M’ sao cho I là trung điểm của đoạn
thẳng MM’ ".
Làm tương tự cách 2 ta có phương trình đường thẳng cần tìm là

4x 02 - 4x 0x
4y 02 - 4y 0y
+
= 0
a2
b2

x2 y2
= 1 và hai đường thẳng
4
9
D : x + my = 0, D ' : mx - y = 0

Ví dụ 3: Cho hypebol (H):

a) Tìm m để D và D ' đều cắt (H) tại hai điểm phân biệt

æ 1 2 ö æ2 3 ö
÷
ç
A. m Î çç- ; - ÷
÷
÷È ç ; ÷
÷

÷
3÷
ø èç 3 2 ø

æ 3 2 ö æ1 3 ö
÷
ç
B. m Î çç- ; - ÷
÷
÷È ç ; ÷
÷

æ 3 1 ö æ2 3 ö
÷
ç
C. m Î çç- ; - ÷
÷
÷È ç ; ÷
÷

æ 3 2 ö æ2 3 ö
÷
ç
D. m Î çç- ; - ÷
÷
÷È ç ; ÷
÷

çè 2

çè 2

÷ èç 3 2 ø
÷
3ø

èç 2

çè 2

÷ èç 3 2 ø
÷
3ø

÷ èç 3 2 ø
÷
3ø

b) Xác định m diện tích tứ giác tạo bởi bốn giao điểm của D , D ' và (H) đạt giá trị nhỏ nhất.
A. m = ± 2

B. m = ± 3

C. m = ± 1

D. m = 0

Lời giải:

æm 2 1 ö

2
- ÷
a) Từ phương trình D thế x = - my vào phương trình (H) ta được çç
÷
÷y = 1 (*)
çè 4

÷
9ø


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Suy ra D cắt (H) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
hay

æ
m2 1
4
2ö æ
2
> 0 Û m2 >
Û m Î çç- ¥ ; - ÷
È çç ; + ¥
÷
÷
çè
4
9
9
3 ø èç 3

ö
÷
÷
÷
ø

æ1 m 2 ÷
ö 2
Tương tự từ phương trình D thế y = mx vào phương trình (H) ta được çç ÷
÷x = 1
çè 4

9 ÷
ø

Suy ra D ' cắt (H) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi

æ 3 3ö
1 m2
9
> 0 Û m 2 < Û m Î çç- ; ÷
÷
÷
çè 2 2 ø
4
9
4

æ 3 2 ö æ2 3 ö

÷
ç
Vậy D và D ' đều cắt (H) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi m Î çç- ; - ÷
÷
÷È ç ; ÷
÷
çè 2

÷ èç 3 2 ø
÷
3ø

æ 3 2 ö æ2 3 ö
÷ thì D và D ' cắt (H) tại bốn điểm phân biệt (**)
ç
b. Với m Î çç- ; - ÷
÷
÷È ç ; ÷
÷
çè 2

÷ èç 3 2 ø
÷
3ø

Dễ dàng tìm được giao điểm D và (H) là

æ - 6m
ö
æ 6m

ö
6
- 6
÷
÷
A çç
;
; C çç
;
÷
÷
÷
÷ và giao điểm D ' và (H) là
çè 9m 2 - 4 9m 2 - 4 ø èç 9m 2 - 4 9m 2 - 4 ø
æ - 6
æ
ö
- 6m ö
6
6m
÷
÷
çç
B çç
;
;
D
;
÷
÷

÷ èç
÷ A đối xứng với C và B đối xứng với D
2
2 ø
çè 9 - 4m 2 9 - 4m 2 ø
9 - 4m
9 - 4m
qua gốc toạ độ O. Mặt khác D ^ D ' do đó tứ giác A BCD là hình thoi.
Suy ra S A BCD =

1
A C .BD =
2

72 (m 2 + 1 )

(9m 2 - 4 )(9 -

4m 2 )

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có

S A BCD =

72 (m 2 + 1 )

(9m 2 - 4 )(9 -

4m 2 )

³

144. (m 2 + 1 )

(9m

2

- 4 ) + (9 - 4m

2

)

=

144
5

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 9m 2 - 4 = 9 - 4m 2 Û m = ± 1 (thỏa mãn (**))
Vậy m = ± 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.


Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht
Vớ d 4: Trong mt phng Oxy cho parabol (P): y 2 = 8x . ng thng D khụng trựng vi
trc Ox i qua tiờu im F ca (P) sao cho gúc hp bi hai tia Fx v Ft l tia ca D nm phớa
trờn trc honh mt gúc bng a (a ạ 900 ) . Chng minh rng D Ct (P) ti hai im phõn bit
M, N v tỡm tp hp trung im I ca on MN khi a thay i.
Li gii:

(

)

Theo gi thit ta cú F 2; 0 , ng thng D cú h s gúc k = tan a

ỡù y = (x - 2 ) t an a
Suy ra D : y = (x - 2 ). t an a . Xột h phng trỡnh ùớ 2
(*)
ùù y = 8x
ợ

Suy ra tan a .y 2 - 8y - 16 tan a = 0 (**)

D ' = 16 + 16 tan 2 a > 0 do ú phng trỡnh (**) luụn cú hai nghim phõn bit, h phng
trỡnh (*) cú hai nghim phõn bit iu ny chng t rng D Ct (P) ti hai im phõn bit.
Gi ta hai giao im ú l M (x M ; y M ), N (x N ; y N ) ; I (x I ; y I

) l trung im ca MN

Theo nh lý Viột ta cú:

yM + yN =

y + yN
8
4
> 0 ị yI = M
=
.

t an a
2
t an a

Mt khỏc t (*) ta cú y M + y N =

ổy
Suy ra x I = 4. ỗỗ I
ỗố 4

(x M

+ x N - 4 ) t an a ị x I =

xM + xN
4
=
+ 2
2
t an 2 a

2

ử
ữ
ữ
+ 2 hay y I2 = 4x I + 8
ữ
ữ
ứ

Vy tp hp im I l ng cong cú phng trỡnh : y 2 = px +

p2
.(Cng gi l Parapol)
2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
 Dạng 4. Các bài toán định tính về ba đường cônic.
1. Phương pháp giải.
Dựa vào phương trình chính tắc của ba đường cônic và giả thiết để thiết lập và chứng minh một số các
tính chất của ba đường cônic.
2. Các ví dụ.

x2 y2
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho (E): 2 + 2 = 1 và hai điểm M, N thuộc (E) sao cho OM
a
b
vuông góc với ON. Chứng minh rằng

a)

1
1
1
1
+
= 2 + 2
2

2
OM
ON
a
b

b) Đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Lời giải:
a) + Dễ thấy một trong hai điểm trùng với bốn đỉnh của (E) thì đẳng thức hiển nhiên đúng
+ Nếu cả hai điểm không trùng với các đỉnh của (E):
Gọi M (x M ; y M ), N (x N ; y N ) , k (k ¹ 0 ) là hệ số góc của đường thẳng OM thì hệ số góc của
ON là -

1
(vì OM vuông góc với ON ).
k

Do M , N Î

(E ) nên

x M2
y M2
x N2
y N2
+
=
1
+
= 1 (2)

(1), 2
a2
b2
a
b2

Đường thẳng OM có phương trình là y = kx suy ra y M = kx M

Đường thẳng ON có phương trình là y = -

(3)

1
1
x suy ra y N = - x N (4)
k
k

Thay (3) vào (1) suy ra

æ
x M2
k 2x M2
k2 ö
a 2b2
2 ç 1
2
÷
+
=

1
Û
x
+
=
1
Û
x
=
÷
M ç
M
÷
çèa 2 b2 ø
a2
b2
a 2k 2 + b2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Þ y M2 = k 2x M2 =

k 2a 2b2
a 2k 2 + b2

Do đó OM 2 = x M2 + y M2 =

a 2b2 (k 2 + 1 )
a 2k 2 + b2

Tương tự thay (4) vào (2) suy ra

1 2
x
æ
2 N
x
1 ö
a 2k 2b2
2 ç 1
2
k
÷
+
= 1 Û xN ç 2 + 2 2 ÷
÷ = 1 Û x N = a 2 + k 2b2
çèa
a
b2
kb ø
2
N
2

Þ y N2 =

1 2
a 2b2
x

=
N
k2
a 2 + k 2b2

Do đó ON 2 = x N2 + y N2 =

a 2b2 (k 2 + 1 )
a 2 + k 2b2

(a 2 + b2 )(k 2 + 1) 1 1
1
1
b2 + k 2a 2
a 2 + k 2b2
+
= 2 2 2
+
=
= 2 + 2.
Suy ra
OM 2 ON 2
a
b
a b (k + 1 ) a 2b2 (k 2 + 1 )
a 2b2 (k 2 + 1 )
Vậy

1
1

1
1
+
= 2 + 2
2
2
OM
ON
a
b

b) Gọi H là hình chiếu của O lên đường thẳng MN khi đó OH là đường cao của tam giác vuông
MON. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

1
1
1
1
1
=
+
= 2 + 2 Û OH =
2
2
2
OH
OM
ON
a
b

ab
2

a + b2

Suy ra MN luôn tiếp xúc với đường tròn cố định tâm O bán kính

Ví dụ 2. Cho hypebol (H):

ab
a 2 + b2

.

x2 y2
= 1 có các tiêu điểm F1, F2 . Lấy M là điểm bất kì trên (H).
a 2 b2

Chứng minh rằng tích khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là hằng số.


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Lời giải:
Phương trình hai đường tiệm cận của (H) là:

D1 : y =

b
x hay bx - ay = 0

a

D2 : y = -

b
x hay bx + ay = 0
a

Giả sử M (x M ; y M

d (M ; D 1 ) =

) khi đó theo công thức khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng ta có

bx M - ay M
a 2 + b2

; d (M ; D 2 ) =

Suy ra d (M ; D 1 )d (M ; D 2 ) =

Mặt khác M thuộc (H) nên :

bx M - ay M
a 2 + b2

bx M + ay M
a 2 + b2
.

bx M + ay M
a 2 + b2

=

b2x M2 - a 2y M2
a 2 + b2

xM 2 yM 2
- 2 = 1 hay b2x M2 - a 2y M2 = a 2b2
2
a
b

Do đó d (M ; D 1 )d (M ; D 2 ) =

a 2 .b2
là hằng số
a 2 + b2

Ví dụ 3. Cho parabol (P): y 2 = 2ax . Đường thẳng D bất kỳ đi qua tiêu điểm F có hệ số góc

k (k ¹ 0 ) cắt (P) tại M và N. Chứng minh rằng tích khoảng cách từ M và N đến trục Ox là
hằng số.
Lời giải:
Tiêu điểm F (a; 0 ). Vì đi qua tiêu điểm F có hệ số góc k ¹ 0 nên có phương trình:

æ
aö
D : y = k ççx - ÷

÷
÷
çè
2ø
Hoành độ giao điểm của D và (P) là nghiệm của phương trình:
2

æ
aö
2 2
2
2 2
k ççx - ÷
÷
÷ = 2ax Û 4k x - 4 (2a + k a )x + k a = 0 (*)
çè
2ø
2

2

D ' = 4 (2a + k 2a ) - 4k 4a 2 = 16a 2 (1 + k 2 ) > 0
Theo định lý Viet có x M .x N =

a2
4


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Mặt khác ta có d (M ;Ox ) = y M ; d (N ;Ox ) = y N

Suy ra d (M ;Ox ).d (N ;Ox ) = y M .y N =

4a 2 x M .x N = a 2