OXY ĐƯỜNG TRÒN (lý thuyết + bài tập ứng dụng có lời giải) file word

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
§4. ĐƯỜNG TRÒN

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Phương trình đường tròn.
• Phương trình đường tròn (C) tâm I (a; b) , bán kính R là : ( x - a)2 + ( y - b)2 = R2
Dạng khai triển của (C) là : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 với c = a2 + b2 - R2
• Phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 với điều kiện a2 + b2 - c > 0 , là phương
trình đường tròn tâm I (a; b) bán kính R =

a 2 + b2 - c

2. Phương trình tiếp tuyến :
Cho đường tròn (C) : ( x - a)2 + ( y - b)2 = R2
• Tiếp tuyến D của (C) tại điểm M (x0 ; y0 ) là đường thẳng đi qua M và vuông góc
với IM
nên phương trình : D : ( x0 - a)( x - a) + ( y0 - a)( y - a) = R2
• D : ax + by + c = 0 là tiếp tuyến của (C) Û d( I , D ) = R
• Đường tròn (C) : ( x - a)2 + ( y - b)2 = R2 có hai tiếp tuyến cùng phương với Oy là

x = a ± R . Ngoài hai tiếp tuyến này các tiếp tuyến còn lại đều có dạng : y = kx + m
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG 1: Nhận dạng phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính đường
tròn.
1. Phương pháp giải.
Cách 1: + Đưa phương trình về dạng: (C ): x 2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0 (1)
+ Xét dấu biểu thức P = a2 + b2 - c
Nếu P > 0 thì (1) là phương trình đường tròn (C ) có tâm I (a; b) và bán kính

R=

a 2 + b2 - c

Nếu P £ 0 thì (1) không phải là phương trình đường tròn.
Cách 2: Đưa phương trình về dạng: ( x - a)2 + ( y - b)2 = P (2).


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Nếu P > 0 thì (2) là phương trình đường tròn có tâm I (a; b) và bán kính R =

P

Nếu P £ 0 thì (2) không phải là phương trình đường tròn.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn? Tìm tâm
và bán kính nếu có.

a) x2 + y2 + 2x - 4 y + 9 = 0

(1)

A. tâm I (2; - 4) bán kính R = 3

B. tâm I (- 2; 2) bán kính R = 9

C. tâm I (- 1; 2) bán kính R = 3

D. Không phải là đường tròn

b) x2 + y2 - 6x + 4 y + 13 = 0

(2)

A. tâm I (3; - 2) bán kính R = 3

B. tâm I (3; - 2) bán kính R = 13

C. tâm I (6; 4) bán kính R = 3

D. Không phải là đường tròn

c) 2 x 2 + 2 y 2 - 6 x - 4 y - 1 = 0

(3)

æ3 ö
3
B. Tâm I çç ;1÷
bán kính R =
÷
÷
çè 2 ø
2

A. Không phải là đường tròn

C. Tâm I (3; 2) bán kính R =

æ3 ö
D. tâm I çç ;1÷
÷ bán kính R =

çè 2 ÷
ø

10
2

d) 2x2 + y2 + 2x - 3y + 9 = 0

10
2

(4)

A. tâm I (3; - 2) bán kính R = 3

B. tâm I (3; - 2) bán kính R = 13

C. tâm I (6; 4) bán kính R = 3

D. Không phải là đường tròn


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Lời giải:
a) Phương trình (1) có dạng x2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0 với a = - 1; b = 2; c = 9
Ta có a2 + b2 - c = 1 + 4 - 9 < 0
Vậy phương trình (1) không phải là phương trình đường tròn.
b) Ta có: a2 + b2 - c = 9 + 4 - 13 = 0
Suy ra phương trình (2) không phải là phương trình đường tròn.

1
c) Ta có: (3) Û x + y - 3x - 2 y - = 0 Û
2
2

2

2

æ 3÷
ö
ççx - ÷ + (y - 1)2 = 5
÷
çè
2ø
2

æ3 ö
Vậy phương trình (3) là phương trình đường tròn tâm I çç ;1÷
÷ bán kính R =
çè 2 ÷
ø

10
2

d) Phương trình (4) không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của x 2 và y 2 khác nhau.
Ví dụ 2: Cho phương trình x 2 + y 2 - 2mx - 4 (m - 2) y + 6 - m = 0 (1)
a) Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn.

ém > 2
A. ê
êm < 1
ë

B. m> 2

C. m< 1

D. 1 < m < 2

b) Nếu (1) là phương trình đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kính theo m
A. I (2m; 2 (m- 2)) , R =

5m2 - 15m + 10

B. I (m; 2 (m + 2)), R =

5m2 - 15m + 10

C. I (m; 2 (m- 2)), R =

5m2 - 15m + 9

D. I (m; 2 (m- 2)), R =

5m2 - 15m + 10


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Lời giải:
a) Phương trình (1) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi a2 + b2 - c > 0
Với a = m; b = 2 (m - 2); c = 6 - m

ém > 2
2
Hay m2 + 4 (m - 2) - 6 + m > 0 Û 5m2 - 15m + 10 > 0 Û ê
êm < 1
ë
b) Với điều kiện trên thì đường tròn có tâm I (m; 2 (m- 2)) và bán kính:

R=

5m2 - 15m + 10

Ví dụ 3: Cho phương trình đường cong (C m ) : x 2 + y 2 + (m + 2)x - (m + 4) y + m + 1 = 0
(2)
a) Chứng minh rằng (2) là phương trình một đường tròn
b) Tìm tập hợp tâm các đường tròn khi m thay đổi
A. D : x + y - 2 = 0

B. D : 2x + y - 1 = 0

C. D : x + 2 y - 1 = 0 D. D : x + y - 1 = 0
c) Tìm điểm khi m thay đổi họ các đường tròn (C m ) luôn đi qua điểm cố định đó
A. M1 (- 1; 0) và M2 (1; 2)

B. M1 (- 1;1) và M2 (- 1; 2)

C. M1 (- 1;1) và M2 (1; 2)

D. M1 (- 1;1) và M 2 (1;1)
Lời giải:

æm +
a) Ta có a2 + b2 - c = çç
çè 2

2

æ m+
2ö
÷
+ çç÷
÷
2
ø èç

2

2

(m + 2) + 4
4ö
÷
- m- 1 =
>0
÷
÷
2

ø

Suy ra (2) là phương trình đường tròn với mọi m


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
ìï
ïï x = - m + 2
ï I
2 suy ra x + y - 1 = 0
b) Đường tròn có tâm I : í
I
I
ïï
m+ 4
ïï yI =
2
ïî

Vậy tập hợp tâm các đường tròn là đường thẳng D : x + y - 1 = 0
c) Gọi M (x0 ; y0 ) là điểm cố định mà họ (C m ) luôn đi qua.
Khi đó ta có: xo2 + y02 + (m + 2)x0 - (m + 4) y0 + m + 1 = 0, " m
Û (x0 - y0 - 1)m + xo2 + y02 + 2 x0 - 4 y0 + 1 = 0, " m

ìï x - y0 + 1 = 0
Û ïí 02
Û
ïï x0 + y02 + 2 x0 - 4 y0 + 1 = 0
î

ìï x0 = - 1
ïì x = 1
ïí
hoặc ïí 0
ïïî y0 = 2
îïï y0 = 0

Vậy có hai điểm cố định mà họ (C m ) luôn đi qua với mọi m là M1 (- 1; 0) và M2 (1; 2)
 DẠNG 2: Viết phương trình đường tròn
1. Phương pháp giải.
Cách 1: + Tìm toạ độ tâm I (a; b) của đường tròn (C)
+ Tìm bán kính R của đường tròn (C)
+ Viết phương trình của (C) theo dạng ( x - a)2 + ( y - b)2 = R2 .
Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (Hoặc

x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 ).
+ Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c.
+ Giải hệ để tìm a, b, c từ đó tìm được phương trình đường tròn (C).
Chú ý:
* A Î (C ) Û IA = R
* (C ) tiếp xúc với đường thẳng D tại A Û IA = d (I ; D ) = R


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
* (C ) tiếp xúc với hai đường thẳng D 1 và D 2 Û d (I ; D 1 ) = d (I ; D 2 ) = R
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1 : Viết phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:
a) Có tâm I (1; - 5) và đi qua O (0; 0).
2

2

2

2

2

2

2

2

B. (x - 1) + (y + 5) = 10

2

2

D. (x - 1) + (y + 5) = 26

A. (x + 1) + (y + 5) = 26
C. (x + 1) + (y - 5) = 26

b) Nhận AB làm đường kính với A (1;1), B (7; 5) .
2

2

B. (x - 4) + (y - 3) = 7

2

2

D. (x - 4) + (y - 3) = 13

A. (x - 4) + (y - 3) = 5

2

C. (x + 4) + (y + 3) = 13

2

c) Đi qua ba điểm: M (- 2; 4), N (5; 5), P (6; - 2).
A. x2 + y 2 - 4x - 2 y - 10 = 0

B. x2 + y2 + 4x + 2 y - 20 = 0

C. x2 + y 2 - 4x + 2 y - 10 = 0

D. x2 + y 2 - 4x - 2 y - 20 = 0
Lời giải:

a) Đường tròn cần tìm có bán kính là OI =
2

2

(x - 1) + (y + 5)

12 + 52 =

= 26

b) Gọi I là trung điểm của đoạn AB suy ra I (4; 3)
AI =

2

2

(4 - 1) + (3 - 1)

=

13

26 nên có phương trình là


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Đường tròn cần tìm có đường kính là AB suy ra nó nhận I (4; 3) làm tâm và bán kính
R = AI =

2

2

13 nên có phương trình là (x - 4) + (y - 3) = 13

c) Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng là: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 .
Do đường tròn đi qua ba điểm M , N , P nên ta có hệ phương trình:
ìï 4 + 16 + 4 a - 8b + c = 0
ïï
ïí 25 + 25 - 10 a - 10b + c = 0 Û
ïï
ïïî 36 + 4 - 12 a + 4b + c = 0

ìï a = 2
ïï
ïí b = 1
ïï
ïïî c = - 20

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: x2 + y 2 - 4x - 2 y - 20 = 0
Nhận xét: Đối với ý c) ta có thể làm theo cách sau
Gọi I (x; y) và R là tâm và bán kính đường tròn cần tìm
ìï IM 2 = IN 2
Vì IM = IN = IP Û ïí
nên ta có hệ
ïï IM 2 = IP 2
î
2
2
2
2
ìï

ìï x = 2
ïï (x + 2) + (y - 4) = (x - 5) + (y - 5)
ïí
Û
í
ïï x + 2 2 + y - 4 2 = x - 6 2 + y + 2 2 îïï y = 1
) ( ) ( ) (
)
ïî (

Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) có tâm I (- 1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng D : x - 2y + 7 = 0
2

2

7
5

B. (x - 1) + (y - 2) =

2

2

4
5

D. (x + 1) + (y - 2) =

A. (x + 1) + (y - 2) =
C. (x - 1) + (y + 2) =

2

2

b) (C) đi qua A (2; - 1) và tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox và Oy
2

2

A. (x - 5) + (y + 5) = 25

2

2

4
5

4
5


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2

2

B. (x - 1) + (y + 1) = 1
2

2

2

2

2

2

C. (x - 5) + (y + 5) = 25 , (x - 1) + (y + 1) = 1
D. (x - 5) + (y + 5) = 4
c) (C) có tâm nằm trên đường thẳng d : x - 6y - 10 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng
có phương trình d1 : 3 x + 4 y + 5 = 0 và d2 : 4 x - 3 y - 5 = 0
2

A. (C ) : (x - 10) + y 2 = 49
2

2

2

2

2

2

æ 10 ö
æ 70 ö æ7 ö
÷
ç ÷
+ ççy + ÷
B. (C ) : ççx ÷
÷
÷
÷
÷ = ççè 43 ø
÷
çè
43 ø çè
43 ø

æ 10 ö
æ 70 ö
æ7 ö
2
÷
ççy + ÷
çç ÷
C. (C ) : ççx và (C ) : (x - 10) + y 2 = 49
+
=
÷
÷
÷

÷
÷
÷
çè
43 ø çè
43 ø çè 43 ø
2

D. (C ) : (x - 10) + y 2 = 25
Lời giải:
a) Bán kính đường tròn (C) chính là khoẳng cách từ I tới đường thẳng D nên

R = d (I ; D ) =

- 1- 4 - 7
1+ 4

=

2
5
2

2

Vậy phương trình đường tròn (C) là : (x + 1) + (y - 2) =

4
5

b) Vì điểm A nằm ở góc phần tư thứ tư và đường tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ nên
tâm của đường tròn có dạng I (R; - R) trong đó R là bán kính đường tròn (C).

éR = 1
2
2
Ta có: R2 = IA2 Û R2 = (2 - R) + (- 1 + R) Û R2 - 6R + 5 = 0 Û ê
êR = 5
ë
2

2

Vậy có hai đường tròn thoả mãn đầu bài là: (x - 1) + (y + 1) = 1 và
2

2

(x - 5) + (y + 5)

= 25


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
c) Vì đường tròn cần tìm có tâm K nằm trên đường thẳng d nên gọi K (6 a + 10; a)
Mặt khác đường tròn tiếp xúc với d1 , d2 nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng
này bằng nhau và bằng bán kính R suy ra

3(6a + 10) + 4a + 5
5

=

éa = 0
ê
 22 a + 35 = 21a + 35 Û ê - 70
êa =
êë
43

4(6a + 10) - 3a - 5
5

2

- Với a = 0 thì K (10; 0) và R = 7 suy ra (C ) : (x - 10) + y 2 = 49
2

2

2

æ 10 ö
æ 70 ö æ7 ö
æ10 - 70 ÷
ö
- 70
7
÷
ç ÷

- Với a =
thì K çç ;
và R =
suy ra (C ) : ççx + ççy + ÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷ = ççè 43 ø
÷
÷
çè
çè 43 43 ø
43 ø çè
43 ø
43
43
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn có phương trình là
2

2

2

æ 10 ö æ 70 ö æ7 ö
(C) : (x - 10) + y = 49 và (C) : çççx - ÷÷÷ + çççy + ÷÷÷ = ççç ÷÷÷
43 ø è
43 ø è 43 ø
è

2

2

Ví dụ 3: Cho hai điểm A (8; 0) và B (0; 6).
a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB
2

2

B. (x - 4) + (y - 3) = 9

2

2

D. (x - 4) + (y - 3) = 25

A. (x - 4) + (y - 3) = 16
C. (x - 4) + (y - 3) = 36

2

2

2

2

b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB

2

2

2

2

B. (x - 7 ) + (y - 5) = 4

2

2

D. (x - 2) + (y - 2) = 4

A. (x - 2) + (y - 2) = 9

2

C. (x - 3) + (y - 4) = 4

2

Lời giải:
a) Ta có tam giác OAB vuông ở O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung
điểm của cạnh huyền AB suy ra I (4; 3) và Bán kính R = IA =

2

2

(8 - 4) + (0 - 3)

= 5


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2

2

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là: (x - 4) + (y - 3) = 25
b) Ta có OA = 8; OB = 6; AB =

8 2 + 6 2 = 10

Mặt khác

1
OA.OB = pr (vì cùng bằng diện tích tam giác ABC )
2

Suy ra r =

OA.OB
= 2
OA + OB + AB

Dễ thấy đường tròn cần tìm có tâm thuộc góc phần tư thứ nhất và tiếp xúc với hai trục

tọa độ nên
tâm của đường tròn có tọa độ là (2; 2)
2

2

Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là: (x - 2) + (y - 2) = 4
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng

d2

d1 : 3x + y = 0 . và d2 : 3x - y = 0 . Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc
với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông
tại B. Viết phương trình của (C), biết tam giác ABC có diện tích
bằng

3
và điểm A có hoành độ dương.
2
2
2
æ
æ 3ö
3ö
÷
ç
÷
ç
÷
+ çx + ÷

A. (C ) : ççx +
÷
÷= 2
÷
çè
6 ø
2ø
÷ èç
2

2
æ
æ 3ö
3ö
÷
ç
÷
ç
÷
+ çx + ÷
B. (C ) : ççx +
÷
÷= 4
÷
çè
6 ø
2ø
÷ çè

2

2
æ
æ 3ö
3ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
+ çx + ÷
C. (C ) : çx +
÷
÷= 9
÷
çè
6 ø
2ø
÷ çè

2

2
æ
æ 3÷
ö
3ö
÷
ç

ç
÷
+ çx + ÷
=1
D. (C ) : ççx +
÷
÷
çè
6 ø
2÷
÷ çè
ø

d1

A
B
C
Hình 3.1


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Lời giải:
(hình 3.1)

(

)

(

) (

Vì A Î d1 Þ A a; - 3a , a > 0; B, C Î d2 Þ B b; 3b , C c; 3c
uuur
uuur
Suy ra AB b - a; 3 (a + b) , AC c - a; 3 (c + a)

(

)

(

)

)

Tam giác ABC vuông tại B do đó AC là đường kính của đường tròn C.
uuur ur
Do đó AC ^ d1 Þ AC.u1 = 0 Û - 1.(c - a)+ 3. 3 (a + c) = 0 Û 2a + c = 0 (1)
uuur uur
AB ^ d2 Þ AB.u2 = 0 Û 1.(b - a)+ 3 (a + b) = 0 Û 2b + a = 0 (2)
Mặt khác SABC =

1
1 2 3a
d (A; d2 ).BC Þ .
2
2

2

2

(c - b)

2

+ 3 (c - b) =

3
Û 2 a c - b = 1 (3)
2

Từ (1), (2) suy ra 2 (c - b) = - 3a thế vào (3) ta được a - 3a = 1 Û a =

Do đó b = -

æ 3
3
2 3
, c= Þ A ççç ; çè 3
6
3

ö
2 3
÷ æ
1÷
, C ççç;÷

÷
÷ èç 3
ø

3
3

ö
÷
2÷
÷
÷
÷
ø

æ 3
3ö
AC
÷
Suy ra (C) nhận I çççlà trung điểm AC làm tâm và bán kính là R =
;- ÷
=1
÷
çè 6
2÷
÷
2
ø
2

2
æ
æ 3÷
ö
3ö
÷
ç
ç
÷
ç
+ çx + ÷
=1
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là (C ) : çx +
÷
÷
çè
6 ø
2÷
÷ çè
ø

 DẠNG 3: Vị trí tương đối của điểm; đường thẳng; đường tròn với đường tròn
1. Phương pháp giải.
• Vị trí tương đối của điểm M và đường tròn (C)
Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C) và tính IM
+ Nếu IM < R suy ra M nằm trong đường tròn
+ Nếu IM = R suy ra M thuộc đường tròn
+ Nếu IM > R suy ra M nằm ngoài đường tròn
• Vị trí tương đối giữa đường thẳng D và đường tròn (C)
Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C) và tính d (I ; D )

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
+ Nếu d (I ; D ) < R suy ra D cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt
+ Nếu d (I ; D )= R suy ra D tiếp xúc với đường tròn
+ Nếu d (I ; D )> R suy ra D không cắt đường tròn
Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thẳng D và đường
tròn (C) bằng số giao điểm của chúng. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ.
• Vị trí tương đối giữa đường tròn (C) và đường tròn (C')
Xác định tâm I, bán kính R của đường tròn (C) và tâm I', bán kính R' của đường tròn
(C') và tính II ' , R + R ', R - R '
+ Nếu II ' > R + R ' suy ra hai đường tròn không cắt nhau và ở ngoài nhau
+ Nếu II '= R + R' suy ra hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau
+ Nếu II '< R - R ' suy ra hai đường tròn không cắt nhau và lồng vào nhau
+ Nếu II '= R - R ' suy ra hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau
+ Nếu R - R ' < II ' < R + R ' suy ra hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt
Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thẳng (C) và đường
tròn (C') bằng số giao điểm của chúng. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng D : x - y + 1 = 0 và đường tròn (C ) : x 2 + y 2 - 4 x + 2 y - 4 = 0
a) Chứng minh điểm M (2; 1) nằm trong đường tròn
b) Xét vị trí tương đối giữa D và (C )
A. D cắt (C ) tại hai điểm phân biệt.

B. D tiếp xúc (C )

C. D không cắt (C ) .

D. Không xác định được.

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
c) Viết phương trình đường thẳng D ' vuông góc với D và cắt đường tròn tại hai điểm
phân biệt sao cho khoảng cách của chúng là lớn nhất.
A. D ' : 2x + y - 1 = 0 B. D ' : x + 2 y - 1 = 0
C. D ' : x + y - 2 = 0 D. D ' : x + y - 1 = 0
Lời giải:
a) Đường tròn (C) có tâm I (2; - 1) và bán kính R = 3 .
Ta có IM =

2

2

(2 - 2) + (1 + 1)

b) Vì d (I ; D ) =

2 + 1+ 1
1+ 1

= 2 < 3 = R do đó M nằm trong đường tròn.

= 2 2 < 3 = R nên D cắt (C ) tại hai điểm phân biệt.

c) Vì D ' vuông góc với D và cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt sao cho khoảng
cách của chúng là lớn nhất nên D ' vuông góc với D và đi qua tâm I của đường tròn
(C).

uur

Do đó D ' nhận vectơ uD = (1;1) làm vectơ pháp tuyến suy ra D ' : 1(x - 2)+ 1(y + 1) = 0
hay x + y - 1 = 0
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là D ' : x + y - 1 = 0
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường tròn (C ) : x 2 + y 2 - 2 x - 6 y - 15 = 0 và

(C ') : x2 + y 2 -

6x - 2 y - 3 = 0

a) Chứng minh rằng hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B

ìï x = 1 + 5t
A. ïí
ïïî y = - 2 + 5t

ìï x = 1 + 4t
B. ïí
ïïî y = - 2 + 4t

ìï x = 1 + 5t
C. ïí
ïïî y = - 2 + 4t

ìï x = 1 + 4t
D. ïí
ïïî y = - 2 + 5t

c) Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B và O
A. x2 + y2 - 7 x - y + 1 = 0

B. x2 + y2 - 7 x - y - 2 = 0


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
C. x2 + y2 - 7 x - y - 4 = 0

D. x2 + y2 - 7 x - y = 0
Lời giải:

a) Cách 1: (C ) có tâm I (1; 3) và bán kính R = 5 , (C ) có tâm I ' (3;1) và bán kính
R=

II ' =

13
2

2

(3 - 1) + (1 - 3)

= 2 2

Ta thấy R1 - R2 < I1 I 2 < R1 + R2 suy ra hai đường tròn cắt nhau.
Cách 2: Xét hệ phương trình

ìï x 2 + y 2 - 2 x - 6 y - 15 = 0
ïí
Û

ïï x 2 + y 2 - 6 x - 2 y - 3 = 0
î

ìï x 2 + y 2 - 2 x - 6 y - 15 = 0
ïí
ïï
x- y- 3 = 0
î

ìï éy = - 2
2
ìï
2
ïï ê
2
ì
ï
y
y
6
=
0
ï (y + 3) + y - 2 (y + 3)- 6 y - 15 = 0 ï
Û í
Û í
Û ïí êë y = 3
ïï
ïï x = y + 3
ïï
x= y+ 3

î
ïî
ïïî x = y + 3
Suy ra hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm có tọa độ là A (1; - 2) và B (6; 3)

uuur
b) Đường thẳng đi qua hai điểm A, B nhận AB(5; 5) làm vectơ chỉ phương suy ra

ìï x = 1 + 5t
phương trình đường thẳng cần tìm là ïí
ïïî y = - 2 + 5t
c) Cách 1: Đường tròn cần tìm (C") có dạng x2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0

ìï
ïï a =
ïï
ìï 1 + 4 - 2 a + 4b + c = 0
ïï
ïï
(C") đi qua ba điểm A, B và O nên ta có hệ ïí 36 + 9 - 12a - 6b + c = 0 Û ïí b =
ïï
ïï
c= 0
ïïî
ïïï c =
ïï
ïî
Vậy (C") : x2 + y2 - 7 x - y = 0

7

2
1
2
0


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Cách 2: Vì A, B là giao điểm của hai đường tròn (C) và (C') nên tọa độ đều thỏa mãn
phương trình

x2 + y 2 - 2 x - 6 y - 15 + m (x2 + y 2 - 6x - 2 y - 3) = 0 (*)
Tọa độ điểm O thỏa mãn phương trình (*) khi và chỉ khi - 15 + m.(- 3) = 0 Û m = - 5
Khi đó phương trình (*) trở thành x2 + y2 - 7 x - y = 0
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là x2 + y2 - 7 x - y = 0
Ví dụ 3: Cho đường tròn (C) : x2 + y2 - 2x + 4 y - 4 = 0 có tâm I và đường thẳng

D : 2 x + my + 1 -

2= 0

a) Tìm m để đường thẳng D cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B
B. m Î (2; 9)

A. m = 2

C. m = 9

D. m = ¡

C. m = 2

D. m = 9

b) Tìm m để diện tích tam giác IAB là lớn nhất
A. m = - 2

B. m = - 4
Lời giải:

(hình 3.2)
a) Đường tròn (C) có tâm I (1; - 2) , bán kính R = 3
D cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi

d (I ; D ) < R Û

2 - 2m + 1 2 + m2

2

<3

I

Û 5m2 + 5m + 17 > 0 (đúng với mọi m)

A
1
· = 9 sin AIB
· £ 9
b) Ta có SIAB = IA.IB.sin AIB

2
2
2
Suy max SIAB =

9
· = 1 Û AIB
· = 90 0
khi và chỉ khi sin AIB
2

H
Hình 3.2

B


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

· = 450 Þ IH = IA.cos 450 = 3
Gọi H là hình chiếu của I lên D khi đó AIH
2
Ta có d (I ; D ) = IH Û

1 - 2m
2+ m

2

=

3
2

Û m2 + 8m + 16 = 0 Û m = - 4

Vậy với m = - 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
 DẠNG 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn
1. Phương pháp giải.
Cho đường tròn (C) tâm I (a; b) , bán kính R
• Nếu biết tiếp điểm là M (x0 ; y0 ) thì tiếp tuyến đó đi qua M và nhận vectơ
uuur
IM (x0 - a; y0 - b) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là

(x0 - a)(x -

x0 )+ (y0 - b)(y - y0 ) = 0

• Nếu không biết tiếp điểm thì dùng điều kiện: Đường thẳng D tiếp xúc đường tròn
(C) khi và chỉ khi d (I ; D ) = R để xác định tiếp tuyến.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 - 6x + 2 y + 6 = 0 và điểm hai điểm
A (1; - 1); B (1; 3)

a) Chứng minh rằng điểm A thuộc đường tròn, điểm B nằm ngoài đường tròn
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A
A. y = - 1

C. x + y = 0

B. x = 1

D. x - y = 2

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ B.
A. y = 3 và 3x + 4y - 15 = 0

B. x = 1 và 2x + 4y - 14 = 0

C. x = 1 và x + 4y - 13 = 0

D. x = 1 và 3x + 4y - 15 = 0
Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm I (3; - 1) bán kính R =

32 + 1- 6 = 2 .


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
a) Ta có: IA = 2 = R; IB = 2 5 > R suy ra điểm A thuộc đường tròn và điểm B nằm
ngoài đường tròn

uur
b) Tiếp tuyến của (C) tại điểm A nhận IA = (2; 0) làm vectơ pháp tuyến nên có phương
trình là 2 (x - 1)+ 0 (y + 1) = 0 hay x = 1
b) Phương trình đường thẳng D đi qua B có dạng:
a (x - 1)+ b (y - 3) = 0 (với a2 + b2 ¹ 0 ) hay ax + by - a - 3b = 0

Đường thẳng D là tiếp tuyến của đường tròn Û d (I ; D ) = R

Û

3a - b - a - 3b
a2 + b2

é b= 0
2
= 2 Û (a - 2b) = a 2 + b2 Û 3b2 - 4 ab = 0 Û ê
ê3b = 4 a
ë

+ Nếu b = 0 , chọn a = 1 suy ra phương trình tiếp tuyến là x = 1 .
+ Nếu 3b = 4a , chọn a = 3, b = 4 suy ra phương trình tiếp tuyến là 3x + 4y - 15 = 0
Vậy qua B kẻ được hai tiếp tuyến với (C) có phương trình là x = 1 và 3x + 4y - 15 = 0
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến D của đường tròn (C ) : x 2 + y 2 - 4 x + 4 y - 1 = 0
trong trường
a) Đường thẳng D vuông góc với đường thẳng D ' : 2x + 3y + 4 = 0
A. D : - 3x + 2y + 10 = 0

B. D : - 3x + 2 y + 10 ± 2 13 = 0

C. D : - 3x + 2 y + 8 ± 3 13 = 0

D. D : - 3x + 2 y + 10 ± 3 13 = 0

b) Đường thẳng D hợp với trục hoành một góc 450
A. D : x - y - 3 2 - 4 = 0
B. D 1,2 : x + y ± 3 2 = 0
C. D 1,2 : x + y ± 3 2 = 0, D 3 : x - y + 3 2 - 4 = 0

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
D. D 1,2 : x + y ± 3 2 = 0, D 3 : x - y + 3 2 - 4 = 0 , D : x - y - 3 2 - 4 = 0
Lời giải:
a) Đường tròn (C) có tâm I (2; - 2) , bán kính R = 3

r
Vì D ^ D ' nên D nhận u(- 3; 2) làm VTPT do đó phương trình có dạng

- 3x + 2y + c = 0
Đường thẳng D là tiếp tuyến với đường tròn (C) khi và chỉ khi

d (I ; D ) = 3 Û

- 10 + c
13

= 3 Û c = 10 ± 3 13

Vậy có hai tiếp tuyến là D : - 3x + 2 y + 10 ± 3 13 = 0
b) Giả sử phương trình đường thẳng D : ax + by + c = 0, a2 + b2 ¹ 0
Đường thẳng D là tiếp tuyến với đường tròn (C) khi và chỉ khi
d (I ; D ) = 3 Û

2 a - 2b + c
a2 + b2

2

= 3 Û (2 a - 2b + c) = 9 (a 2 + b 2 )(*)

Đường thẳng D hợp với trục hoành một góc 450 suy ra
cos (D ; Ox) =

b
a2 + b2

Þ cos 450 =

b
a2 + b2

Û a = b hoặc a = - b

TH1: Nếu a = b thay vào (*) ta có 18a2 = c 2 Û ± c = 3 2a , chọn a = b = 1 Þ c = ± 3 2
suy ra D : x + y ± 3 2 = 0
éc= 3 2- 4 a
ê
TH2: Nếu a = - b thay vào (*) ta có 18a = (4a + c) Û ê
ê
êc = - 3 2 + 4 a
ë

(

)

(
(

2

2

(

)

)
)

Với c = 3 2 - 4 a , chọn a = 1, b = - 1, c = 3 2 - 4 Þ D : x - y + 3 2 - 4 = 0


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

(

(

)

)

Với c = - 3 2 + 4 a , chọn a = 1, b = - 1, c = - 3 2 + 4 Þ D : x - y - 3 2 - 4 = 0
Vậy có bốn đường thẳng thỏa mãn là D 1,2 : x + y ± 3 2 = 0, D 3 : x - y + 3 2 - 4 = 0 và

D4 : x- y- 3 2 - 4 = 0
Ví dụ 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau:

(C1 ) : x2 + y 2 -

4 y - 5 = 0 và (C2 ) : x 2 + y 2 - 6 x + 8 y + 16 = 0

A. 4x - 3y - 9 = 0
B. 2 x + y - 2 ± 3 5 = 0
C. 2 x + y - 2 ± 3 5 = 0, y + 1 = 0
D. 2 x + y - 2 ± 3 5 = 0, y + 1 = 0, 4 x - 3 y - 9 = 0
Lời giải:
Đường tròn (C1 ) có tâm I1 (0; 2) bán kính R1 = 3
Đường tròn (C 2 ) có tâm I 2 (3; - 4) bán kính R2 = 3
Gọi tiếp tuyến chung của hai đường tròn có phương trình D : ax + by + c = 0 với

a2 + b2 ¹ 0

D là tiếp tuyến chung của (C1 )

ìï 2b + c = 3 a2 + b2 *
ìï d( I1 , D ) = 3
()
ï
ï
và (C 2 ) Û í
Û ïí
ïï 3a - 4b + c = 3 a 2 + b2
ïïî d( I 2 , D ) = 3
ïî

éa = 2b
ê

Suy ra 2b + c = 3a - 4b + c Û ê - 3a + 2b
êc =
êë
2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
TH1: Nếu a = 2b chọn a = 2, b = 1 thay vào (*) ta được c = - 2 ± 3 5 nên ta có 2 tiếp
tuyến là 2 x + y - 2 ± 3 5 = 0

TH2: Nếu c =

- 3a + 2b
thay vào (*) ta được 2b - a = 2 a2 + b2 Û a = 0 hoặc
2

3a + 4b = 0
+ Với a = 0 Þ c = b , chọn b = c = 1 ta được D : y + 1 = 0
+ Với 3a + 4b = 0 Þ c = 3b , chọn a = 4, b = - 3, c = - 9 ta được D : 4x - 3y - 9 = 0
Vậy có 4 tiếp tuyến chung của hai đường tròn là :

2 x + y - 2 ± 3 5 = 0, y + 1 = 0, 4 x - 3 y - 9 = 0
§5. ĐƯỜNG ELIP
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1)Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1 , F2 với F1 F2 = 2c (c > 0) và hằng số a > c . Elip(E)
là tập hợp các điểm M thỏa mãn MF1 + MF2 = 2a .
Các điểm F1 , F2 là tiêu điểm của (E). Khoảng cách F1 F2 = 2c là tiêu cự của (E). MF1 , MF2
được gọi là bán kính qua tiêu.

y

B2

2) Phương trình chính tắc của elip:
Với F1 (- c; 0), F2 (c; 0):
M (x; y) Î (E) Û

x2 y 2
+ 2 = 1 (1) trong đó b2 = a2 - c 2
2
a
b

M

A1
F1

O

F2

B1

(1) được gọi là phương trình chính tắc của (E)
Hình 3.3

3) Hình dạng và tính chất của elip:
Elip có phương trình (1) nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối
xứng.
+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1 (- c ; 0), tiêu điểm phải F2 (c; 0)

A2
x


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
+ Các đỉnh : A1 (- a; 0), A2 (a; 0), B1 (0; - b), B2 (0; b)
+ Trục lớn : A1 A2 = 2 a , nằm trên trục Ox; trục nhỏ : B1 B2 = 2b , nằm trên trục Oy
+ Hình chữ nhật tạo bởi các đường thẳng x = ± a, y = ± b gọi là hình chữ nhật cơ sở.
+ Tâm sai : e =

c
<1
a

+ Bán kính qua tiêu điểm của điểm M (xM ; y M ) thuộc (E) là:

MF1 = a + exM = a +

c
c
xM , MF2 = a - exM = a - xM
a
a

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG 1. Xác định các yếu tố của elip khi biết phương trình chính tắc của elip.
1.Phương pháp giải.
Từ phương trình chính tắc ta xác định các đại lượng a, b và b2 = a2 - c 2 ta tìm được c
elip từ đó ta suy ra được các yếu tố cần tìm.

2. Các ví dụ.
Ví dụ 1. Elip có phương trình sau

x2 y 2
+
=1.
4
1

a) Xác định các đỉnh
A. A1 (- 1; 0); A2 (1; 0); B1 (0; - 1); B2 (0;1)
B. A1 (- 2; 0); A2 (2; 0); B1 (0; - 2); B2 (0; 2)
C. A1 (- 1; 0); A2 (1; 0); B1 (0; - 2); B2 (0; 2)
D. A1 (- 2; 0); A2 (2; 0); B1 (0; - 1); B2 (0;1)
b) Xác định độ dài trục
A. trục lớn A1 A2 = 2 , độ dài trục bé B1 B2 = 1
B. trục lớn A1 A2 = 3 , độ dài trục bé B1 B2 = 2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
C. trục lớn A1 A2 = 4 , độ dài trục bé B1 B2 = 3
D. trục lớn A1 A2 = 4 , độ dài trục bé B1 B2 = 2
c) Xác định tiêu cự
A. F1 F2 =

B. F1 F2 =

3

C. F1 F2 = 3 3

5

D. F1 F2 = 2 3

d) Xác định tiêu điểm
A. tiêu điểm là F1 (- 2; 0); F2 (2; 0) ,

(

C. tiêu điểm là F1 -

) (

5; 0 ; F2

(
D. tiêu điểm là F (B. tiêu điểm là F1 -

)

5; 0 ,

1

) ( 7; 0) ,
3; 0); F ( 3; 0),

7; 0 ; F2

2

e) Xác định tâm sai
A. e =

3
3

B. e =

5
2

C. e =

7
2

Elip có phương trình sau 4x2 + 25y2 = 100
a) Xác định các đỉnh
A. A1 (- 5; 0); A2 (5; 0); B1 (0; - 2); B2 (0; - 2)
B. A1 (- 5; 0); A2 (5; 0); B1 (0; - 2); B2 (0; - 2)
C. A1 (- 5; 0); A2 (5; 0); B1 (0; - 2); B2 (0; - 2)
D. A1 (- 5; 0); A2 (5; 0); B1 (0; - 2); B2 (0; - 2)
b) Xác định độ dài trục
A. Độ dài trục lớn A1 A2 = 12 , độ dài trục bé B1 B2 = 4
B. Độ dài trục lớn A1 A2 = 10 , độ dài trục bé B1 B2 = 2
C. Độ dài trục lớn A1 A2 = 12 , độ dài trục bé B1 B2 = 2
D. Độ dài trục lớn A1 A2 = 10 , độ dài trục bé B1 B2 = 4

D. e =

3
2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

c) Xác định tiêu cự
A. F1F2 =

B. F1F2 = 3 21

21

C. F1F2 = 2 21

D. F1F2 = 5 21

d) Xác định tiêu điểm

(

(

) (

)

B. F1 - 3 21; 0 ; F2 3 21; 0

(

) (

)

D. F1 -

A. F1 - 2 21; 0 ; F2 2 21; 0

(

C. F1 - 4 21; 0 ; F2 4 21; 0

) (

) (

21; 0 ; F2

)

)

21; 0

e) Xác định tâm sai
A. e =

21
5

B. e =

21
4

C. e =

21
3

D. e =

21
2

Lời giải:
a) Từ phương trình của (E) ta có a = 2, b = 1 Þ c =

a2 - b2 =

3.

Suy ra tọa độ các đỉnh là A1 (- 2; 0); A2 (2; 0); B1 (0; - 1); B2 (0;1)
Độ dài trục lớn A1 A2 = 4 , độ dài trục bé B1 B2 = 2

(

Tiêu cự F1F2 = 2c = 2 3 , tiêu điểm là F1 Tâm sai của (E) là e =

) (

3; 0 ; F2

)

3; 0 ,

c
3
=
a
2

b) Ta có 4 x 2 + 25 y 2 = 100 Û

x2 y 2
+
= 1 suy ra a = 5; b = 2 Þ c =
25 4

Do đó tọa độ các đỉnh là A1 (- 5; 0); A2 (5; 0); B1 (0; - 2); B2 (0; - 2)
Độ dài trục lớn A1 A2 = 10 , độ dài trục bé B1 B2 = 4

(

Tiêu cự F1F2 = 2c = 2 21 , tiêu điểm là F1 Tâm sai của (E) là e =

c
=
a

21
5

) (

21; 0 ; F2

)

21; 0 ,

a2 - b2 =

21


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
 DẠNG 2. Viết phương trình chính tắc của đường elip.
1. Phương pháp giải.
Để viết phương trình chính tắc của elip ta làm như sau:
+ Gọi phương trình chính tắc elip là

x2 y 2
+
= 1(a > b > 0)
a2 b2

+ Từ giả thiết của bài toán ta thiết lập các phương trình, hệ phương trình từ giải thiết
của bài toán để tìm các đại lượng a, b của elip từ đó viết được phương trình chính tắc
của nó.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1. Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:
a) (E) có độ dài trục lớn là 6 và tâm sai e =
A.

x2 y 2
+
=1
16 5

B.

x2 y 2
+
=1
9
4

2
3
C.

x2 y 2
+
=1
16 4

æ4 10
;b) (E)có tọa độ một đỉnh là 0; 5 và đi qua điểm M ççç
çè 5

(

A.

x2 y 2
+
=1
16 5

B.

(

c) (E) có tiêu điểm thứ nhất x2 y 2
+
=1
A.
25 22

)

x2 y 2
+
=1
8

5

)

C.

x2 y 2
+
=1
B.
8
5

x2 y 2
+
=1
9
5

D.

x2 y 2
+
=1
4
5

ö
÷
1÷

÷
÷
÷
ø

x2 y 2
+
=1
16 4

3; 0 và đi qua điểm M(1;

D.

4 33
).
5

x2 y 2
+
=1
C.
16 4

x2 y 2
+
=1
D.
4
5

d) Hình chữ nhật cơ sở của (E) có một cạnh nằm trên đường thẳng y + 2 = 0 và có diện
tích bằng 48.
x2 y 2
+
=1
A.
25 22

e) (E) có tâm sai bằng

x2 y 2
+
=1
B.
8
5

x2 y 2
+
=1
C.
16 4

x2 y 2
+
=1
D.
36 4

5
và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20.
3


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

A.

x2 y 2
+
=1
25 22

B.

x2 y 2
+
=1
8
5

C.

x2 y 2
+
=1
16 4

D.

x2 y 2
+
=1
9
4

Lời giải:
x2 y 2
Phương trình chính tắc của (E) có dạng: 2 + 2 = 1(a > b > 0)
a
b

a) (E) có độ dài trục lớn là 6 suy ra 2a = 6 Û a = 3 , Tâm sai e =

2
nên
3

c 2
= Þ c = 2, b2 = a2 - c 2 = 5
a 3
Vậy phương trình chính tắc (E) là

x2 y 2
+
=1
9
5

(

)

b) (E) có một đỉnh có tọa độ là 0; 5 nằm trên trục tung nên b =
x2 y 2
= 1 a>
trình chính tắc của (E) có dạng: 2 +
5
a

(

æ4 10
;Mặt khác (E) đi qua điểm M ççç
çè 5
Vậy phương trình chính tắc (E) là
c) (E) có tiêu điểm F1 (Mặt khác M(1;

5 do đó phương

)

5 .

ö
160 1
÷
1÷
nên

+ = 1 Þ a2 = 8
÷
2
÷
÷
5
25
a
ø

x2 y 2
+
=1
8
5

3; 0) nên c =

3 suy ra a2 = b2 + c2 = b2 + 3 (1)

4 33
1
528
) Î ( E) Þ 2 +
= 1 (2)
5
a
25b2

Thế (1) vào (2) ta được

1
528
+
= 1 Û 25b4 - 478b2 - 1584 = 0 Û b2 = 22 Þ a2 = 25
2
b + 3 25b
2

Vậy phương trình chính tắc (E) là

x2 y 2
+
=1
25 22

d) (E) có hình chữ nhật cơ sở có một cạnh nằm trên đường thẳng y + 2 = 0 suy ra b = 2