Giải bài toán bằng cách lập phương trình - Toán 8


Hướng dẫn học sinh ôn tập phần “Giaiû toán bằng cách lập phương trình” - - -1
BẢN TÓM TẮT ĐỀ TÀI
- Tên đề tài: HƯỚNG DẪN HỌC SINH ÔN TẬP PHẦN “GIAIÛ TOÁN BẰNG
CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH”.
- Họ và tên tác giả: NGUYỄN HUY HÙNG
- Đơn vò công tác: Trường THCS Ninh Điền.
1. Lý do chọn đề tài:
- Giúp học sinh ôn tập cách giải bài toán bằng cách lập phương trình.
- Vận dụng các kiến thức đã học vào giải các bài tập đạt hiệu quả cao.
2. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu:
- Đối tượng nghiên cứu là học sinh khối lớp 8.
- Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu các tài liệu, đưa ra giải pháp và tiến
hành giảng dạy thí điểm, sau đó đánh giá, rút ra kinh nghiệm cho bản thân.
3. Đề tài đưa ra giải pháp mới:
- Học sinh rèn luyện được nhiều kỹ năng về giải bài toán bằng cách lập phương
trình: nhận biết được nội dung của bài toán, phân tích đề, hình thành hướng giải và trình
bày bài hoàn chỉnh.
- Học sinh biến mình thành người tự khám phá ra kiến thức, tự tìm kiến thức cho
mình.
4. Hiệu quả áp dụng:
Qua thời gian nghiên cứu, áp dụng vào thực tế giảng dạy trên lớp và rút kinh
nghiệm về phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình thì kết quả cho thấy
chất lượng học tập của học sinh được nâng lên đáng kể.
5. Phạm vi áp dụng:
Đề tài này có thể thực hiện như một chuyên đề và áp dụng rộng rãi cho bộ
môn Toán ở trường Trung học cơ sở.
Châu Thành, ngày 10 tháng 04 năm 2009
NGƯỜI THỰC HIỆN
Nguyễn Huy Hùng
GV thực hiện: Nguyễn Huy Hùng --- Trường THCS Ninh Điền


Hướng dẫn học sinh ôn tập phần “Giaiû toán bằng cách lập phương trình” - - -2
A- ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài.
Một trong những mục tiêu cơ bản của nhà trường là đào tạo và xây dựng thế hệ
học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo
đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay.
Muốn giải quyết thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết chúng ta phải
tạo tiền đề vững chắc lâu bền trong phương pháp học tập của học sinh cũng như phương
pháp giảng dạy của giáo viên các bộ môn nói chung và môn Toán nói riêng.
Toán học là một môn khoa học tự nhiên quan trọng.
Trong quá trình học tập của học sinh ở trường phổ thông đòi hỏi phải có tư
duy rất tích cực của học sinh.
Để giúp các em học tập môn Toán có kết quả tốt, có rất nhiều tài liệu sách
báo đề cập tới. Giáo viên không chỉ nắm được kiến thức, mà điều cần thiết là phải biết
vận dụng các phương pháp giảng dạy một cách linh hoạt, truyền thụ kiến thức cho học
sinh dễ hiểu nhất.
Chương trình bộ môn Toán rất rộng, các em được lónh hội nhiều kiến thức,
các kiến thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Do vậy, khi học các em không
những nắm chắc lý thuyết cơ bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu của mình, từ
đó biết vận dụng để giải từng loại toán. Qua cách giải các bài toán rút ra phương pháp
chung để giải mỗi dạng bài, trên cơ sở đó tìm ra các lời giải khác hay hơn, ngắn gọn
hơn.
Tuy nhiên, trong thực tế giảng dạy vẫn còn một số ít giáo viên chúng ta chỉ
chú trọng việc truyền thụ kiến thức đầy đủ theo từng bước, chưa chú ý nhiều đến tính
chủ động sáng tạo của học sinh.
Thông qua quá trình giảng dạy, đồng thời qua quá trình kiểm tra đánh giá
sự tiếp thu và sự vận dụng kiến thức của học sinh. Tôi nhận thấy học sinh vận dụng các
kiến thức phần giải phương trình và giải bài toán bằng cách lập phương trình còn nhiều
hạn chế và thiếu sót. Đặc biệt là các em rất lúng túng khi vận dụng các kiến thức đã học

để lập phương trình của bài toán. Đây là một phần kiến thức rất khó đối với các em học
sinh lớp 8, bởi lẽ từ trước đến nay các em chỉ quen giải những dạng toán về tính giá trò
của biểu thức hoặc giải những phương trình cho sẵn. Mặt khác do khả năng tư duy của
các em còn hạn chế, các em gặp khó khăn trong việc phân tích đề toán, suy luận, tìm
mối liên hệ giữa các đại lượng, yếu tố trong bài toán nên không lập được phương trình.
Đối với việc giải bài toán bằng cách lập phương trình các em mới được học
nên chưa quen với dạng toán tự mình làm ra phương trình. Xuất phát từ thực tế đó nên
kết quả học tập của các em chưa cao. Nhiều em nắm được lý thuyết rất chắc chắn nhưng
khi áp dụng giải không được.
GV thực hiện: Nguyễn Huy Hùng --- Trường THCS Ninh Điền

Hướng dẫn học sinh ôn tập phần “Giaiû toán bằng cách lập phương trình” - - -3
Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng lập phương trình để giải
toán, ngoài việc nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển
khả năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng
học tập.
Qua thực tế một vài năm giảng dạy môn Toán lớp 8, bản thân tôi khi dạy
phần “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” cũng gặp rất nhiều khó khăn. Đây là
điều làm tôi băn khăn trăn trở làm sao truyền thụ cho học sinh được phương pháp, kỹ
năng giải toán, để từ đó các em vận dụng vào giải các bài tập đạt hiệu quả cao nhất.
Xuất phát từ lý do trên tôi không ngừng trau dồi kiến thức, học hỏi kinh nghiệm, nâng
cao tay nghề trong việc soạn giảng bằng những kinh nghiệm riêng của bản thân và đây
cũng là lý do để tôi chọn đề tài này.
2. Đối tượng nghiên cứu:
- Đối tượng chủ yếu của đề tài này là giáo viên giảng dạy bộ môn Toán nói
riêng và các môn tự nhiên nói chung, học sinh khối 8 ở trường THCS Ninh Điền.
- Các phương pháp dạy học tích cực, đề xuất một số giải pháp giúp học sinh
khắc sâu kiến thức.
3. Phạm vi nghiên cứu:
- Hoạt động dạy - học ở khối 8 – trường THCS Ninh Điền.

4. Phương pháp nghiên cứu.
- Nghiên cứu các tài liệu: Sách giáo khoa Toán 8, Sách giáo viên Toán 8,
Sách thiết kế bài giảng Toán 8, Tài liệu đổi mới phương pháp dạy học ở trường THCS,
Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên chu kỳ III…
- Dự giờ thăm lớp, kiểm tra đối chiếu.
- Giảng dạy theo phương pháp mà đề tài đưa ra.
GV thực hiện: Nguyễn Huy Hùng --- Trường THCS Ninh Điền

Hướng dẫn học sinh ôn tập phần “Giaiû toán bằng cách lập phương trình” - - -4
B- NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận:
Trong nhu cầu đổi mới đất nước hiện nay nền giáo dục đóng vai trò quan trọng
trong sự nghiệp Công nghiệp hoá – Hiện đại hoá đất nước. Nhiệm vụ cơ bản của giáo
dục là chuẩn bò cho thế hệ trẻ đi vào thực tiễn cuộc sống trên cơ sở thừa kế, tiếp thu và
phát triển những kinh nghiệm mà bao thế hệ đã tích luỹ được. Vì vậy, giáo dục có một
chức năng, nhiệm vụ và vò thế riêng biệt. Để hoàn thành những mục tiêu cao cả đó đòi
hỏi bản thân chúng ta – những người công tác trong lónh vực giáo dục cần có những biện
pháp tích cực không ngừng cải tiến những phương pháp dạy học đáp ứng nhu cầu học tập
ngày càng cao. Trong đó dưới sự hướng dẫn của giáo viên, học sinh chủ động tìm tòi,
phát hiện và vận dụng linh hoạt sáng tạo vào thực tiễn. Bên cạnh đó có một bộ phận
không nhỏ rất cần sự quan tâm đặc biệt của giáo viên đó là học sinh yếu kém, đòi hỏi
chúng ta phải củng cố kiến thức và hướng dẫn học sinh tự ôn tập những kiến thức cơ
bản. Nếu ta không nhận rõ vấn đề và có biện pháp thích hợp thì việc dạy và học không
được thực hiện tốt đẹp như mong muốn.
2. Cơ sở thực tiễn:
Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó khi giải các bài toán, tôi thấy
cần phải tạo ra cho các em có niềm yêu thích say mê học tập, luôn tự đặt ra những câu
hỏi và tự mình tìm ra câu trả lời. Khi gặp các bài toán khó, phải có nghò lực, tập trung tư
tưởng, tin vào khả năng của mình trong quá trình học tập. Để giúp học sinh bớt khó khăn
và cảm thấy dễ dàng hơn trong việc“ Giải bài toán bằng cách lập phương trình” ở lớp 8,

tôi thấy cần phải hướng dẫn học sinh cách lập phương trình rồi giải phương trình một
cách kỹ càng, yêu cầu học sinh có kỹ năng thực hành giải toán phần này cẩn thận.
Việc hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải toán phù hợp với từng dạng bài
là một vấn đề quan trọng, chúng ta phải tích cực quan tâm thường xuyên, không chỉ giúp
các em nắm được lý thuyết mà còn phải tạo ra cho các em có một phương pháp học tập
cho bản thân, rèn cho các em có khả năng thực hành. Nếu làm được điều đó chắc chắn
kết quả học tập của các em sẽ đạt được như mong muốn.
3. Nội dung của vấn đề:
“Giải bài toán bằng cách lập phương trình”, đây là một trong những dạng toán cơ
bản. lớp 8 các em chỉ làm quen những dạng đơn giản và là cơ sở cho những bài toán
phức tạp ở các lớp kế tiếp. Nên đòi hỏi giáo viên phải hướng dẫn cụ thể để học sinh
nắm một cách chắc chắn.
3.1. Lược đồ giải bài toán:
Để giải một bài toán, trước hết phải cho các em nắm vững lược đồ để “ Giải bài
toán bằng cách lập phương trình”
Bước 1. Lập phương trình gồm các công việc:
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số: Thông thường người ta hay
chọn ẩn dựa theo đề bài, bài toán hỏi cái gì thì chọn cái đó là ẩn, sau đó nêu đơn vò sử
dụng và đặt điều kiện cho ẩn. Trong một số trường hợp cụ thể, có thể chọn ẩn là một đại
GV thực hiện: Nguyễn Huy Hùng --- Trường THCS Ninh Điền

Hướng dẫn học sinh ôn tập phần “Giaiû toán bằng cách lập phương trình” - - -5
lượng trung gian, điều này giúp cho việc lập phương trình dễ hơn và đôi khi sẽ có được
những phương trình gọn hơn, dễ giải hơn.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết: Trong một
bài toán ngoài ẩn mà ta cần tìm thì còn có những đại lượng khác liên quan đến ẩn theo
các điều kiện nêu trong bài toán. Ta dựa vào các thông tin này để biểu thò các đại lượng
ấy thông qua ẩn. Thực hiện việc này ta nên lập một bảng thể hiện ẩn, các đại lượng liên
quan. Điều này giúp ta cụ thể hóa các đại lượng mà giả thiết bài toán đã cho và giúp
việc lập phương trình dễ dàng hơn.

- Lập phương trình biểu thò mối quan hệ giữa các đại lượng (Nhờ sự liên quan
giữa các số liệu, căn cứ vào đề bài mà lập phương trình).
Bước 2. Giải phương trình.
Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào
thõa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận. Chú ý so sánh với điều kiện
đặt ra cho ẩn xem có thích hợp không, có thể thử lại kết quả đó với cả nội dung bài toán
(Vì các em đặt điều kiện cho ẩn đôi khi thiếu chặt chẽ) sau đó trả lời bằng danh số (có
kèm theo đơn vò ).
Chú ý: Bước 1 có tính chất quyết đònh nhất. Thường đầu bài hỏi số liệu gì thì ta
đặt cái đó là ẩn số. Xác đònh đơn vò và điều kiện của ẩn phải phù hợp với ý nghóa thực
tiễn.
3.2. Phân tích bài toán :
- Trong quá trình giảng dạy và hướng dẫn các em giải bài tập, giáo viên phải
phân ra từng loại toán, giới thiệu đường lối chung từng loại, các công thức, các kiến thức
có liên quan từng loại bài ( kiến thức của bộ môn Toán, Vật lý, Hóa học…). Ở chương
trình của lớp 8, do mới bắt đầu làm quen với dạng toán này nên các em thường gặp các
loại bài như :
1- Bài toán về chuyển động.
2- Bài tập năng suất lao động, tỷ lệ %.
3- Bài tập liên quan đến các môn học.
4- Bài toán có nội dung thống kê .
Khi bắt tay vào giải bài tập, một yêu cầu không kém phần quan trọng, đó là phải
đọc kỹ đề bài, tự mình biết ghi tóm tắt đề bài, nếu tóm tắt được đề bài là các em đã hiểu
được nội dung, yêu cầu của bài, từ đó biết được đại lượng nào đã biết, đại lượng nào
chưa biết, mối quan hệ giữa các đại lượng.
Cần hướng dẫn cho các em ghi được tóm tắt đề bài một cách ngắn gọn, toát lên
được dạng tổng quát của phương trình thì các em sẽ lập phương trình được dễ dàng. Đến
đây coi như đã giải quyết được một phần lớn bài toán rồi.
Khó khăn nhất đối với học sinh là bước lập phương trình, các em không biết chọn
đối tượng nào là ẩn, rồi điều kiện của ẩn ra sao? Điều này có thể khắc sâu cho học sinh

là ở những bài tập đơn giản thì thường thường “bài toán yêu cầu tìm đại lượng nào thì
chọn đại lượng đó là ẩn”. Còn điều kiện của ẩn dựa vào nội dung ý nghóa thực tế của
GV thực hiện: Nguyễn Huy Hùng --- Trường THCS Ninh Điền

Hướng dẫn học sinh ôn tập phần “Giaiû toán bằng cách lập phương trình” - - -6
bài, song cũng cần phải biết được nên chọn đối tượng nào là ẩn để khi lập ra phương
trình bài toán, ta giải dễ dàng hơn.
Muốn lập được phương trình bài toán không bò sai thì một yêu cầu quan trọng nữa
là phải nắm chắc đối tượng tham gia vào bài, mối quan hệ của các đối tượng này lúc đầu
như thế nào? lúc sau như thế nào?
* Chẳng hạn khi giải bài toán: Một phân xưởng may lập kế hoạch may một lô
hàng, theo đó mỗi ngày phân xưởng phải may xong 90 áo. Nhưng nhờ cải tiến kỹ thuật,
phân xưởng đã may 120 áo trong mỗi ngày. Do đó, phân xưởng không chỉ hoàn thành
trước kế hoạch 9 ngày mà còn may thêm 60 áo. Hỏi theo kế hoạch phân xưởng phải may
bao nhiêu áo? (SGK Toán lớp 8 - trang 28).
Phân tích:
Ở đây, ta gặp các đại lượng: Số áo may trong một ngày ( đã biết), Tổng số áo may
và số ngày may (chưa biết): Theo kế hoạch và thực tế đã thực hiện. Chúng ta có quan
hệ:
Số áo may trong một ngày x số ngày may = Tổng số áo may.
Ta chọn ẩn là trong các đại lượng chưa biết. Ở đây, ta chọn x là số ngày may theo
kế hoạch. Quy luật trên cho phép ta lập bảng biểu thò mối quan hệ giữa các đại lượng
trong bài toán ( Giáo viên kẻ bảng và hướng dẫn học sinh điền vào bảng)
Số áo may trong1 ngày số ngày may Tổng số áo may
Theo kế hoạch 90 x 90x
Đã thực hiện 120 x - 9 120(x - 9)
Từ đó, quan hệ giữa tổng số áo đã may được và số áo may theo kế hoạch được
biểu thò bởi phương trình:
120(x - 9) = 90x +60.
* Hoặc khi giải bài toán: Năm nay, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương. Phương tính

rằng 13 năm nữa thì tuổi mẹ chỉ còn gấp 2 lần tuổi Phương thôi. Hỏi rằng năm nay
Phương bao nhiêu tuổi. ( Bài 40/31-Toán 8)
Tóm tắt:
Năm nay:
- Phương 13 tuổi.
- Tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương.
13 năm sau:
- Tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi Phương.
Hỏi: Phương bao nhiêu tuổi?
- Tiếp theo hướng dẫn học sinh trả lời các câu hỏi sau :
+ Bài toán có mấy đối tượng tham gia? (2 đối tượng - là tuổi mẹ, con).
+ Quan hệ hai đối tượng này lúc đầu như thế nào? (Tuổi mẹ = 3. tuổi Phương)
GV thực hiện: Nguyễn Huy Hùng --- Trường THCS Ninh Điền

Hướng dẫn học sinh ôn tập phần “Giaiû toán bằng cách lập phương trình” - - -7
+ Hai đối tượng này thay đổi thế nào? (13 năm sau).
+ Quan hệ hai đối tượng này lúc sau ra sao? (tuổi mẹ = 2. tuổi Phương).
+ Đại lượng nào liên quan đến hai đối tượng? (tuổi).
+ Số liệu nào đã biết, số liệu nào chưa biết.
Ở đây cần phải nêu rõ cho học sinh thấy được là bài toán yêu cầu tìm tuổi của
Phương năm nay, có nghóa là 2 đối tượng đầu chưa biết phải đi tìm, nên ta có thể chọn
tuổi của Phương hoặc của mẹ năm nay làm ẩn số.
- Chọn số tuổi của Phương năm nay là x (tuổi).
- Điều kiện của ẩn? (x > 0).
- Biểu thò đại lượng khác qua ẩn? Số tuổi của mẹ năm nay là 3x.
Chú ý : 13 năm sau có nghóa là phải + thêm 13 vào tuổi cả Phương và mẹ.
- Số tuổi của Phương 13 năm sau? (x +13)
- Số tuổi của mẹ 13 năm sau? (3x + 13)
- Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lượng sau 13 năm. Nên ta lập phương trình.
3x + 13 = 2(x+13) (1)

- Khi đã lập được phương trình rồi, công việc giải phương trình không phải là khó,
song cũng cần phải hướng dẫn cho các em thực hiện các phép biến đổi, giải theo các
bước đã được học.
Sau khi giải xong, tìm được giá trò của ẩn, một điều cần thiết là phải đối chiếu với
điều kiện đã đặt cho ẩn ở trên để trả lời bài toán.
- Từ cách giải trên, giáo viên cho học sinh suy nghó xem còn có thể giải theo cách
nào nữa? Học sinh thấy ngay là ta có thể chọn tuổi của mẹ là ẩn.
Bằng cách lý luận trình tự theo các bước như trên, các em sẽ lập được phương
trình bài toán :
x +13 = 2(
3
1
x + 13) (2)
Giải xong cách thứ hai, cho các em nhận xét, so sánh với cách giải thứ nhất thì
giải phương trình nào dễ hơn.
Chắc chắn là giải phương trình (1) dễ dàng hơn phương trình (2) bởi vì khi giải
phương trình (2) ta phải quy đồng mẫu chung hai vế của phương trình rồi khử mẫu, điều
này cũng gây lúng túng cho các em.
Tóm lại : Nếu hai đối tượng quan hệ với nhau lúc đầu bởi đối tượng này gấp mấy
lần đối tượng kia thì ta phải cân nhắc xem nên chọn đối tượng nào là ẩn để bớt khó khăn
khi giải phương trình.
Nếu gặp bài toán liên quan đến số người, số con… thì điều kiện của ẩn : “nguyên
dương” đồng thời phải lưu ý xem ẩn đó còn kèm theo điều kiện gì thêm mà nội dung
thực tế bài toán cho.
GV thực hiện: Nguyễn Huy Hùng --- Trường THCS Ninh Điền

Hướng dẫn học sinh ôn tập phần “Giaiû toán bằng cách lập phương trình” - - -8
Ở chương trình lớp 8 thường gặp các bài toán về dạng chuyển động ở dạng đơn
giản như : Chuyển động cùng chiều, ngược chiều trên cùng quãng đường… hoặc chuyển
động trên dòng nước.

Do vậy, trước tiên cần cho học sinh nắm chắc các kiến thức, công thức liên quan,
đơn vò các đại lượng.
Trong dạng toán chuyển động cần phải hiểu rõ các đại lượng quãng đường, vận
tốc, thời gian, mối quan hệ của chúng qua công thức s=v.t từ đó suy ra:

s
v =
t
;
s
t =
v

Hoặc đối với chuyển động trên sông có dòng nước chảy.
Thì : V
xuôi
= V
Thực
+ V
dòng nước
V
ngược
= V
Thực
- V
dòng nước
Đối với bài toán “Năng suất lao động” giáo viên cần cung cấp cho học sinh một
kiến thức liên quan như :
- Khi công việc không được đo bằng số lượng cụ thể, ta coi toàn bộ công
việc là 1 đơn vò công việc biểu thò bởi số 1.

- Năng suất làm việc là phần việc làm được trong 1 đơn vò thời gian.
A : Khối lượng công việc
Ta có công thức A = nt ; Trong đó n : Năng suất làm việc
t : Thời gian làm việc
- Biết tìm năng suất làm việc như thế nào? thời gian hoàn thành, khối lượng
công việc để vận dụng vào từng bài toán cụ thể.
Khi ta nắm được các vấn đề trên rồi thì các em sẽ dễ dàng giải quyết bài toán.
* Xét bài toán sau : (Bài toán SGK / 79 – ĐS lớp 8)
2 vòi cùng chảy
5
4
4
giờ đầy bể
1 giờ vòi 1 chảy bằng
2
1
1
lượng nước vòi 2
Hỏi : mỗi vòi chảy riêng thì bao lâu đầy bể ?
- Trước hết phân tích bài toán để nắm được những nội dung sau :
+ Khối lượng công việc ở đây là lượng nước của một bể.
+ Đối tượng tham gia ? (2 vòi nước)
+ Số liệu đã biết ? (thời gian hai vòi cùng chảy).
+ Đại lượng liên quan: Năng suất chảy của mỗi vòi, thời gian hoàn thành của
mỗi vòi.
+ Số liệu chưa biết ? (Thời gian làm riêng để hoàn thành công việc của mỗi
vòi).
GV thực hiện: Nguyễn Huy Hùng --- Trường THCS Ninh Điền