Phép vô hướng hóa và điều kiện tối ưu cho bài toán cân bằng véc tơ ( Luận văn thạc sĩ)

I HC THI NGUYấN
TRNG I HC KHOA HC

NGUYễN THị VIệT HồNG

PHéP VÔ HƯớng hóa và điều kiện
tối -u cho bài toán cân bằng
véc tơ

LUN VN THC S TON HC

Thỏi Nguyờn - 2014


Luận văn được hoàn thành tại:
Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. ®ç v¨n l-u

Phản biện 1: GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG

Phản biện 2: TS. HÀ TRẦN PHƯƠNG
.

Luận văn được bảo vệ tại hội đồng chấm luận văn họp tại
Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên
vào hồi…..ngày…..tháng ….năm 2014

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm học liệu - Đại học Thái Nguyên
- Và thư viện trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈

◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❱■➏❚ ❍➬◆●

P❍➆P ❱➷ ❍×❰◆● ❍➶❆ ❱⑨ ✣■➋❯ ❑■➏◆
❚➮■ ×❯ ❈❍❖ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❈❹◆ ❇➀◆●
❱➆❈ ❚❒

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✹


✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❑❍❖❆ ❍➴❈
◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ❱■➏❚ ❍➬◆●

P❍➆P ❱➷ ❍×❰◆● ❍➶❆ ❱⑨ ✣■➋❯ ❑■➏◆
❚➮■ ×❯ ❈❍❖ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❈❹◆ ❇➀◆●
❱➆❈ ❚❒
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚♦→♥ ù♥❣ ❞ö♥❣
▼➣ sè✿ ✻✵✳ ✹✻✳ ✵✶✳ ✶✷
▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
❍÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝✿

P●❙✳ ❚❙ ✣é ❱➠♥ ▲÷✉

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✹


▼ö❝ ❧ö❝
▼ð ✤➛✉

✷

✶ ▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❱➋ ❉×❰■ ❱■ P❍❹◆ ❈▲❆❘❑❊
❱⑨ ❉×❰■ ❱■ P❍❹◆ ❳❻P ❳➓
✺
✶✳✶ ❉÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❈❧❛r❦❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺
✶✳✷ ❉÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ①➜♣ ①➾ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺

✷ ✣■➋❯ ❑■➏◆ ❈❺◆ ❱⑨ ✣Õ ❈❍❖ ◆●❍■➏▼ ❍Ú❯ ❍■➏❯
❈Õ❆ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❈❹◆ ❇➀◆● ❱➆❈ ❚❒
✶✾
✷✳✶
✷✳✷
✷✳✸
✷✳✹

❑❤→✐ ♥✐➺♠ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì
P❤➨♣ ✈æ ❤÷î♥❣ ❤â❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✣✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
⑩♣ ❞ö♥❣ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➨❝ tì ✈➔
❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈➨❝ tì ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✵
✷✸

✷✼

✸✾

❑➳t ❧✉➟♥

✹✻

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✹✼

✶


▼ð ✤➛✉
❚r♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ❣➛♥ ✤➙②✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì t❤✉ ❤ót ♥❤✐➲✉
t→❝ ❣✐↔ q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❞♦ ♣❤↕♠ ✈✐ →♣ ❞ö♥❣ rë♥❣ r➣✐ ❝õ❛ ♥â ✭①❡♠
❬✸❪✲❬✼❪✱ ❬✾❪✱ ❬✶✷❪ ✈➔ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tr♦♥❣ ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ✤â✮✳ ▲î♣ ❝→❝
❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì ❜❛♦ ❤➔♠ ❝→❝ ❧î♣ ❜➔✐ t♦→♥ s❛✉ ✤➙② ♥❤÷ ❝→❝
tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t✿ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➨❝ tì✱ ❜➔✐ t♦→♥
tè✐ ÷✉ ✈➨❝ tì✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ◆❛s❤ ✈➨❝ tì✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❜ò ✈➨❝ tì✱ . . .
◆❣÷í✐ t❛ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➲ sü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠✱ ✤✐➲✉
❦✐➺♥ tè✐ ÷✉✱ ❝➜✉ tró❝ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐✱ . . . ❈→❝ ❧♦↕✐ ♥❣❤✐➺♠
❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì t❤÷í♥❣ ✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❧➔✿ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉
❤✐➺✉ ②➳✉✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉
t♦➔♥ ❝ö❝ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉✳
✣➸ ❞➝♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì ♥❣÷í✐ t❛
❞ò♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✈æ ❤÷î♥❣ ❤â❛✳ ❳✳❍✳ ●♦♥❣ ✭❬✹❪✱ ✷✵✶✵✮ ✤➣ t❤✐➳t ❧➟♣ ❝→❝
❦➳t q✉↔ ✈➲ ✈æ ❤÷î♥❣ ❤â❛ ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉

❍❡♥✐❣✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì✳ ❚ø ❝→❝
❦➳t q✉↔ ✈➲ ✈æ ❤÷î♥❣ ❤â❛✱ ❳✳❍✳ ●♦♥❣ ✭❬✹❪✮ ✤➣ ❞➝♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ tè✐
÷✉ ❝❤♦ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉
❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì ❝â
r➔♥❣ ❜✉ë❝ t➟♣✳ ❑❤✐ ✤÷❛ ✈➔♦ ❣✐↔ t❤✐➳t ✈➲ t➼♥❤ ❧ç✐✱ t→❝ ❣✐↔ ❞➝♥ ❝→❝ ✤✐➲✉
❦✐➺♥ ✤õ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❝→❝ ❧♦↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ✤â✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ✤â ✤÷ñ❝
→♣ ❞ö♥❣ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➨❝ tì ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉
✷


✈➨❝ tì✳ ✣➙② ❧➔ ✤➲ t➔✐ t❤í✐ sü ✤❛♥❣ ✤÷ñ❝ ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ q✉❛♥ t➙♠
♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ❈❤➼♥❤ ✈➻ t❤➳ ❡♠ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐✿ ✧P❤➨♣ ✈æ ❤÷î♥❣ ❤â❛ ✈➔ ✤✐➲✉
❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì✧✳
▲✉➟♥ ✈➠♥ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❳✳❍✳ ●♦♥❣ ❬✹❪ ✈➲ ♣❤➨♣ ✈æ ❤÷î♥❣
❤â❛ ✈➔ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉✱ ♥❣❤✐➺♠
❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛
❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝ t➟♣ ❝ò♥❣ ✈î✐ ❝→❝ →♣ ❞ö♥❣ ❝❤♦ ❜➔✐
t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➨❝ tì ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈➨❝ tì✳
▲✉➟♥ ✈➠♥ ❜❛♦ ❣ç♠ ♣❤➛♥ ♠ð ✤➛✉✱ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✱ ❦➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❞❛♥❤ ♠ö❝
❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳
❈❤÷ì♥❣ ✶✿ ▼ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❈❧❛r❦❡ ✈➔ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥
①➜♣ ①➾✳
❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❈❧❛r❦❡ ✈➔ ❞÷î✐ ✈✐
♣❤➙♥ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ▼♦r❞✉❦❤♦✈✐❝❤ ❝❤♦ ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳
❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥
❜➡♥❣ ✈➨❝ tì✳
❚r➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❳✳❍✳ ●♦♥❣ ❬✹❪ ✈➲ ♣❤➨♣ ✈æ ❤÷î♥❣ ❤â❛ ❝❤♦
❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥
❝ö❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì✳ ❚ø ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✤â✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ tr➻♥❤
❜➔② ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ❝❤♦ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉

❍❡♥✐❣✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥
❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➨❝ tì ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝ t➟♣ ❞÷î✐ ♥❣æ♥ ♥❣ú ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❈❧❛r❦❡ ✈➔
❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ▼♦r❞✉❦❤♦✈✐❝❤ ❝❤♦ ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳
❱î✐ ❝→❝ ❣✐↔ t❤✐➳t ✈➲ t➼♥❤ ❧ç✐ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ❞ú ❧✐➺✉ ❝❤ó♥❣ tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝
✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❝→❝ ❧♦↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ✤â✳ P❤➛♥ ❝✉è✐ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❜➔②
❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈➨❝
tì ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈➨❝ tì ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣
✸


tỡ
tổ tọ ỏ t ỡ s s tợ t P
ộ ữ ữớ t t ữợ ú ù tổ t
ổ t ỡ ừ
ỏ t trữớ ồ ồ ồ ũ
t ổ t õ ồ t
ỡ ỗ t tr ợ ồ
ổ q t ở ú ù tổ tr sốt tớ
ồ t q tr
tớ tr ở ỏ ổ tr ọ
ỳ t sõt ú tổ rt ữủ sỹ õ ỵ ừ t
ổ ữủ t ỡ
ổ t ỡ
t
ữớ tỹ

t ỗ

❈❤÷ì♥❣ ✶

▼❐❚ ❙➮ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❱➋ ❉×❰■
❱■ P❍❹◆ ❈▲❆❘❑❊ ❱⑨ ❉×❰■ ❱■
P❍❹◆ ❳❻P ❳➓
❈❤÷ì♥❣ ✶ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❈❧❛r❦❡ ✈➔
❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ①➜♣ ①➾ ❝õ❛ ▼♦r❞✉❦❤♦✈✐❝❤ ❝❤♦ ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳
❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷ñ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tr♦♥❣ ❝→❝ t➔✐
❧✐➺✉ ❬✶❪✱ ❬✽❪✱ ❬✶✵❪✱ ❬✶✶❪✳

✶✳✶ ❉÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❈❧❛r❦❡
●✐↔ sû X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ f : X → R✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳

●✐↔ sû X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✱ f : X → R✳

❛✮ ❍➔♠ f ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ x ∈ X, ❤❛② ▲✐♣s❝❤✐t③ ð
❣➛♥ x✱ ♥➳✉ tç♥ t↕✐ ❧➙♥ ❝➟♥ U ❝õ❛ x✱ sè K > 0 s❛♦ ❝❤♦
(∀x, x ∈ U ) |f (x) − f (x )|

K x−x .

❍➔♠ f ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➯♥ t➟♣
▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ ♠å✐ x ∈ Y ✳
✺

Y ⊂ X✱

✭✶✳✶✮
♥➳✉

f


❜✮ ❍➔♠ f ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✈î✐ ❤➡♥❣ sè ▲✐♣s❝❤✐t③ K tr➯♥ t➟♣ Y
♥➳✉ ✭✶✳✶✮ ✤ó♥❣ ✈î✐ ♠å✐ x, x ∈ Y ✳

⊂ X✱

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷✳

●✐↔ sû F : X → Y ✱ tr♦♥❣ ✤â X ✈➔ Y ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ⑩♥❤
①↕ F ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ x✱ ♥➳✉ tç♥ t↕✐ sè γ > 0 ✈➔ sè
K > 0 s❛♦ ❝❤♦
F (x ) − F (x )

Y

K x −x

X

(∀x , x ∈ x + γB),

✭✶✳✷✮

tr♦♥❣ ✤â B ❧➔ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ✤ì♥ ✈à ♠ð✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✸✳

●✐↔ sû f ❧➔ ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ x ∈ X ✳ ✣↕♦ ❤➔♠ s✉② rë♥❣
❈❧❛r❦❡ ❝õ❛ ❤➔♠ f t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣ v(∈ X) t↕✐ x✱ ❦þ ❤✐➺✉ ❧➔ f ◦(¯x; v)✱ ✤÷ñ❝
①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉✿
f ◦ (¯
x; v) = lim sup
x→¯
x;t↓0

f (x + tv) − f (x)
,
t

✭✶✳✸✮

tr♦♥❣ ✤â x ∈ X, t > 0✳
❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ✤↕♦ ❤➔♠ s✉② rë♥❣ ❈❧❛r❦❡✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✶✳

●✐↔ sû f ❧➔ ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈î✐ ❤➡♥❣ sè ▲✐♣s❝❤✐t③ K t↕✐ x✳
❑❤✐ ✤â✱
✭✐✮ ❍➔♠ v → f ◦(x; v) ❤ú✉ ❤↕♥✱ t❤✉➛♥ ♥❤➜t ❞÷ì♥❣✱ ❞÷î✐ ❝ë♥❣ t➼♥❤ tr➯♥
X ✈➔
|f ◦ (x; v)| ≤ K v ;

✭✐✐✮ f ◦(x; v) ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ t❤❡♦ (x, v); f ◦(x; .) ▲✐♣s❝❤✐t③ ✭t❤❡♦ ✈✮ ✈î✐
❤➡♥❣ sè K tr➯♥ X ❀
✭✐✐✐✮ f ◦(x; −v) = (−f )◦(x; v).

✻




sỷ f : X R st ữỡ tr ổ
X X ổ ố ừ X rt s rở r
ữợ r ừ f t x ỵ f (x) t ủ
s tr X
f (
x) := { X : f (
x; u) , u , u X}.

ỵ s tr ởt số t t q trồ ừ ữợ
r

ỵ

sỷ f st ữỡ ợ số st K t x
õ
f (x) = , ỗ compact tr X


tr õ

.

K

( f (
x)),

tr X

ợ ồ v X t õ
f (
x; v) = max{ , v : f (
x)}.

ự
a) ỵ s r f (
x; .) ữợ ở t t t ữỡ
tr X ỵ tỗ t t t : X R
s
f (
x; v) ; v

(v X)

ứ õ s r f (x) õ f (x) =
ự f (x) ỗ 1, 2 f (x), 0 1 õ
f (
x; u) i , u

(u X, i = 1, 2)

⇒ f ◦ (¯
x; u) = αf ◦ (¯
x; u) + (1 − α)f ◦ (¯
x; u)
≥ α ξ1 , u + (1 − α) ξ2 , u
= αξ1 + (1 − α)ξ2 , u
⇒ αξ1 + (1 − α)ξ2 ∈ ∂f (¯
x) ⇒ f (¯
x) ❧ç✐.

❇➙② ❣✐í ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ∂f (¯x) ❝♦♠♣❛❝t ∗②➳✉✿ ✈î✐ ξ ∈ ∂f (¯x), ξ ∗ ≤ K ⇒
¯∗ (0, K)✱ tr♦♥❣ ✤â B
¯∗ (0, K) ❧➔ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ✤â♥❣ t➙♠ ✵✱ ❜→♥ ❦➼♥❤
∂f (¯
x) ⊂ B
¯∗ (0, K) ❧➔ ❝♦♠♣❛❝t ∗ ②➳✉ tr♦♥❣ X ∗ ✭✤à♥❤ ❧þ ❆❧❛♦❣❧✉✮✱
K ✳ ▼➔ ❤➻♥❤ ❝➛✉ B
∗
∂f (¯
x) ❧➔ ✤â♥❣ ②➳✉⇒ ∂f (¯
x)❝♦♠♣❛❝t ∗ ②➳✉✳
b) ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✹
max{ ξ, v : ξ ∈ ∂f (¯
x)} ≤ f ◦ (¯
x, v).

●✐↔ sû tç♥ t↕✐ v0 s❛♦ ❝❤♦
max{ ξ, v0 : ξ ∈ ∂f (¯

x)} ≤ f ◦ (¯
x, v0 ).

❚❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ ❍❛❤♥✲❇❛♥❛❝❤✱ tç♥ t↕✐ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤ ζ t❤ä❛ ♠➣♥
ζ, v ≤ f ◦ (¯
x, v) (∀v ∈ X),
ζ, v0 = f ◦ (¯
x, v0 )
⇒ ζ ∈ ∂f (¯
x) ⇒ f ◦ (¯
x, v0 ) > ζ, v0 = f ◦ (¯
x, v0 ).

❱æ ❧➼ ✭✦✮✳
❙❛✉ ✤➙② t❛ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ♣❤➨♣ t➼♥❤ ❝❤♦ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❈❧❛r❦❡✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✸✳

●✐↔ sû f ❧➔ ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ x¯,
∂(sf )(¯
x) = s∂f (¯
x).

✽

s ∈ R✳

❑❤✐ ✤â✱

Luận vận đậy đu ở file:Luận vận Full