bài tập lớn toán ứng dụng đề số 10

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HỒ CHÍ MINH
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG
--------*-------

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
ĐỀ TÀI SỐ: 10

GVHD: Đặng Văn Vinh

Khoa:

Cơ Khí

Lớp :

CK12CK04+05

Nhóm: 10
Nhóm sinh viên thực hiện:
Họ và tên
Lê Tâm Dương
Lê Thanh Đảm
Cao Tấn Đạt
Mai Hoàng Giang (NT)
Lê Trung Hiếu

MSSV
21200641
21200667

21200689
21200871
21201087

Tp. HCM, tháng 5_năm_2013


f ( x, y )

M ( x0 , y0 )

1. Tìm các đạo hàm riêng của hàm
tại
. Trình bày ý nghĩa
hình học của các đạo hàm riêng và vẽ đồ thị minh họa.
- Cơ sở lý thuyết: khi đạo hàm theo biến nào thì biến còn lại ta xem là hằng số.
- Ý nghĩa đạo hàm riêng: là hệ số góc của các tiếp tuyến đối với mặt cong tại điểm
M ( x0 , y0 )

, lần lượt nằm trong các mặt phẳng x=x0 và y=y0 .

Nội dung code:
function cau1
syms x y real
f=input('nhap ham f(x,y)= ');
disp('nhap lan luot cac toa do cua M0:')
x0=input('x0= ');
y0=input('y0= ');
f=eval(f); %thay u(x,y) vao f(u)
c=subs(f,[x y],[x0 y0]); %tinh f tai M0

c=double(c);
%tinh dao ham
x=x0;y=y0;
fx=diff(f,'x');a=eval(fx);
fy=diff(f,'y');b=eval(fy);
%xuat f'x va f'y
disp(['f`x= ' num2str(a)])
disp(['f`y= ' num2str(b)])
%ve do thi
[x,y]=meshgrid(x0-2:.1:x0+2,y0-2:.1:y0+2);
f=char(f);f=strrep(f,'^','.^');f=strrep(f,'*','.*');
f=eval(f);
[x y f]=khu(x,y,f);
set(surf(x,y,f),'facecolor','b','edgecolor','non','facealpha',.3)
hold on
t=linspace(-2,2,20);
x=x0+t;
y=y0+0*t;
z=c+a*t;
plot3(x,y,z,'r','linewidth',2)
x=x0+0*t;
y=y0+t;
z=c+b*t;
plot3(x,y,z,'r','linewidth',2)
text(x0,y0,c+.2,['M0 (' num2str(x0) ',' num2str(y0) ','
num2str(a) ')'])
hold off
rotate3d on

end
function [x y f]=khu(x,y,f) % chuong trinh loai bo cac diem khong
ton tai cua ham f
f=double(f);
for i=1:length(x)
for j=1:length(y)
if ~isreal(f(i,j))
f(i,j)=NaN;x(i,j)=NaN;y(i,j)=NaN;
end
end
end
end
-

Kết quả chạy thử:

nhap ham f(x,y)= x^2+y
nhap lan luot cac toa do cua M0:
x0= 1
y0= 2
f`x= 2
f`y= 1
-

Đồ thị:


2

f ( x, y , z )

x2 y
z2
+
+
< R2
a2 b2
c2

2. Tìm cực trị tự do hàm
trong hình cầu
. ( Không xét
2
tại các điểm dừng mà tại đó dạng toàn phương d f nửa xác định).
- Cơ sở lý thuyết: Lập hàm Lagrange, lập ma trận giải tìm nghiệm
- Code chương trình:
clear all
clc
syms x y z
f = input('Nhap ham f(x,y,z) = ');
a = input('a = ');
b = input('b = ');
c = input('c = ');
R = input('R = ');
check = x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 - R^2;
fx = diff(f,x);
fy = diff(f,y);
fz = diff(f,z);
s = solve(1i*fx,1i*fy,1i*fz);
ctieu = [];

cdai = [];
if ~isempty(s)
A = diff(fx,x);
B = diff(fy,y);
C = diff(fz,z);
D = diff(fx,y);
E = diff(fy,z);
F = diff(fz,x);
G3 = [A D F; D B E; F E C];
G2 = [A D; D B];
H3 = det(G3);
H2 = det(G2);
for i=1:size(s.x)
if (isreal(s.x(i))) && (isreal(s.y(i))) && (isreal(s.z(i)))
x = s.x(i); y = s.y(i); z = s.z(i);
if (double(subs(H2))>0)
if double(subs(check))<0
if (double(subs(A))>0) && (double(subs(H3))>0)
ctieu = [ctieu; [x y z]];
end
if (double(subs(A))<0) && (double(subs(H3))<0)
cdai = [cdai; [x y z]];
end
end
end


end
end
end

if isempty([cdai;ctieu])
disp('Khong co cuc tri');
else
if ~isempty(cdai)
disp('Cuc dai la '); disp(cdai);
end
if ~isempty(ctieu)
disp('Cuc tieu la ');disp(ctieu);
end
end

Kết quả chạy thử:
Nhap ham f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2-1
a=1
b=1
c=1
R=2
Cuc tieu la
[ 0, 0, 0]
-

Nhap ham f(x,y,z) = x*y+y*z
a=1
b=2
c=3
R=4
Khong co cuc tri

∫ P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy

3. Tính tích phân

( 0,0 )

C

,trong đó

( C)

là đường đi nối từ điểm

( 1,1)

đến điểm
theo các đường đi sau:
a. Đoạn thẳng.
x2 + y 2 = 2 y

, lấy ngược chiều kim đồng hồ.
Cơ sở lý thuyết: tham số hóa đường cong rồi đưa về tích phân thường để giải
Đoạn code chương trình:
b.

-

clc
syms x y m n real
p=input('Nhap ham P(x,y)= ');

q=input('Nhap ham Q(x,y)= ');
m=int(subs(p,x,y)+subs(q,x,y),y,0,1);
n=int( subs(p,x,sqrt(2*y-y^2))+subs(q,x,sqrt(2*y-y^2)),y,0,1);
disp('Gia tri tich phan tinh theo doan thang noi 2 diem (0,0) va
(1,1) la: ');
disp(m)
disp ('Gia tri tich phan tinh theo duong cong x^2+y^2=2y la: ');
disp(n)
-

Kết quả chạy thử:

Nhap ham P(x,y)= x*y
Nhap ham Q(x,y)= x^2+y^2
Gia tri tich phan tinh theo doan thang noi 2 diem (0,0) va (1,1) la:
1

Gia tri tich phan tinh theo duong cong x^2+y^2=2y la:
2/3 - (3*pi)/4
-

Hạn chế của chương trình: Thuật giải chưa được tốt nên chương trình xử lý chậm
khi nhập các hàm phức tạp.

I = ∫∫ f ( x, y )dxdy ,
S

4. Tính
với S là phần mặt z=x 2+y2 giới hạn bởi mặt x+z=2

lấy phía dưới theo hướng dương trục Oz. Vẽ mặt S và pháp vectơ với S tại
M(1,0,1).
- Cơ sở lý thuyết: theo phương pháp giải tích phân mặt loại 2
Đoạn code chương trình:
clear all
clc
syms x y r phi
f = input('Nhap ham f(x,y) = ');
x = -.5 + r*cos(phi);
y = r*sin(phi);
f = subs(f);


I = int(f*r,r,0,3/2);
I = int(I,phi,0,2*pi);
disp('Tich phan can tinh');
disp(double(I));
%Ve hinh
[r phi] = meshgrid(0:0.1:3/2,0:pi/20:2*pi);
x = -.5 + r.*cos(phi);
y = r.*sin(phi);
z = x.^2 + y.^2;
surf(x,y,z,'FaceColor','b'); hold on
surf(x,y,2-x,'FaceColor','y','FaceAlpha',.5,'EdgeColor','none');
%Ve vector phap tuyen
syms x y z
F = x^2 + y^2 -z;
g = [diff(F,x) diff(F,y) diff(F,z)];
x = 1; y = 0; z = 1;
g = subs(g);

n = -g/norm(g);
quiver3(1,0,1,n(1),n(2),n(3),'LineWidth',1,'Color','y');
axis vis3d equal
-

Kết quả chạy thử:

Nhap ham f(x,y) = x*y+y^2
Tich phan can tinh
3.9761
Vẽ hình và vecto pháp tuyến tại điểm (1,0,1)