XÂY DỰNG ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT CHƯƠNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
KHOA TỐN - TIN HỌC

BÁO CÁO CUỐI KÌ
HỌC PHẦN: KIỂM TRA VÀ ĐÁNH GIÁ
TRONG GIÁO DỤC MƠN TOÁN

XÂY DỰNG ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT
CHƯƠNG NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG
DỤNG

Giảng viên hướng dẫn: TS. Nguyễn Thị Nga
TPHCM, Tháng 6/2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO


Mơn: Kiểm tra và đánh giá
Trong giáo dục mơn tốn

Nhóm 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
KHOA TỐN - TIN HỌC

BÁO CÁO CUỐI KÌ
HỌC PHẦN: KIỂM TRA VÀ ĐÁNH GIÁ
TRONG GIÁO DỤC MƠN TỐN

XÂY DỰNG ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT
CHƯƠNG NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG

DỤNG
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Hoàng Minh

41.01.101.076

Nguyễn Thị Thy Yến

41.01.101.161

Biện Thị Bé Huệ

41.01.101.048

Lê Thị Anh Thư

TPHCM, Tháng 6/2018

Trang 2


Mơn: Kiểm tra và đánh giá
Trong giáo dục mơn tốn

Nhóm 2

Mục lục

Trang 3

Mơn: Kiểm tra và đánh giá
Trong giáo dục mơn tốn

Nhóm 2

1. Cơ sở lý luận:
Chương III: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
1.1.Mục tiêu của chương
Chương này cung cấp cho học sinh những kiến thức mở đầu về phép tính tích
phân. Mục tiêu của chương là:
Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
Chủ đề

Mức độ cần đạt

Ghi chú

1. Nguyên
hàm.

Về kiến thức :
Định nghĩa
- Hiểu khái niệm nguyên hàm
và
các
tính
của một hàm số.
chất
của

- Biết các tính chất cơ bản của
nguyên hàm. Kí nguyên hàm.
hiệu họ các Về kỹ năng:
nguyên
hàm - Tìm được nguyên hàm của
của một hàm một số hàm số tương đối đơn
số.
Bảng giản dựa vào bảng nguyên hàm
nguyên
hàm và cách tính nguyên hàm từng
của
một
số phần.
hàm số sơ cấp. - Sử dụng được phương pháp
Phương
pháp đổi biến số (khi đã chỉ rõ cách
đổi biến số. đổi biến số và không đổi biến số
Tính
nguyên quá một lần) để tính nguyên
hàm
từng hàm.
phần.

∫ f (x)dx

Dùng kí hiệu
để chỉ
họ các nguyên hàm của f(x).

Ví dụ. Tính

x3
∫ x + 2 dx

∫ (e

2x

Ví dụ. Tính
Ví dụ. Tính

.

+ 5)3e2xdx
.

∫ x sin 2x dx

.

1
dx
3x + 1

∫
Ví dụ. Tính

(Hướng dẫn: đặt u = 3x +
1).

2. Tích phân.
Diện tích hình
thang cong.
Định nghĩa và
các tính chất
của tích phân.
Phương pháp
đổi biến số.
Phương pháp
tính tích phân
từng phần.

Về kiến thức :
- Biết khái niệm về diện tích
hình thang cong.
- Biết định nghĩa tích phân của
hàm số liên tục bằng cơng thức
Niu-tơn − Lai-bơ-nit.
- Biết các tính chất của tích
phân.
Về kỹ năng:
- Tính được tích phân của một
số hàm số tương đối đơn giản
bằng định nghĩa hoặc phương
pháp tính tích phân từng phần.

Khi đổi biến số cần cho
trước phép đổi biến số.
2

x2 − 2x

∫
Ví dụ. Tính

x3

1

dx

.

π
2

∫ sin 2x sin 7x dx
−

Ví dụ. Tính

π
2

.

Trang 4


Mơn: Kiểm tra và đánh giá

Trong giáo dục mơn tốn

Nhóm 2

- Sử dụng được phương pháp
đổi biến số (khi đã chỉ rõ cách
đổi biến số và khơng đổi biến số
Ví dụ. Tính
quá một lần) để tính tích phân.
.

1

2

∫ (x − 2)(x + 3) dx

−1

2

∫
Ví dụ. Tính

x + 2dx

1

(Hướng dẫn: đặt u = x + 2).
3. Ứng dụng

hình học của
tích phân.

Về kiến thức :

Ví dụ. Tính diện tích hình
phẳng giới hạn bởi parabol
- Biết các cơng thức tính diện
y = 2 − x2
tích, thể tích nhờ tích phân.
và đường thẳng
y = −x
Về kỹ năng:
Tính được diện tích một số Ví dụ. Tính thể tích vật thể
hình phẳng, thể tích một số trịn xoay do hình phẳng giới
hạn bởi trục hồnh và
khối nhờ tích phân.
y = x ( 4 − x)
parabol
quay
quanh trục hoành.

1.2.Cấu tạo của chương
Nội dung của chương được dự kiến thực hiện trong 17 tiết, phân phối cụ thể như
sau:
- Nguyên hàm (6 tiết)
- Tích phân (5 tiết)
- Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng (4 tiết)
- Ôn tập và kiểm tra (2 tiết)

Trang 5


Mơn: Kiểm tra và đánh giá
Trong giáo dục mơn tốn

Nhóm 2

1.3.Thang đánh giá các cấp độ tư duy (Thinking levels)
Để đánh giá kiến thức, kĩ năng hay đánh giá năng lực, cho đến nay
người ta chủ yếu vẫn dựa vào thang đánh giá cấp độ tư duy của Bloom
(1956). Ở một số nước trong đó có Việt Nam, đã sử dụng thang đánh giá
cấp độ tư duy của Boleslaw Niemierko vì thang đánh giá này đơn giản và
dễ áp dụng hơn so với thang đánh giá của Bloom, nhất là đối với các cấp
độ Phân tích, Tổng hợp và Đánh giá (theo thang Anderson là Phân tích,
Đánh giá và Sáng tạo). Đặc biệt hiện nay Bộ Giáo dục và Đào tạo đã quyết
định đánh giá kết quả học tập của học sinh trên lớp và trên diện rông như
thi trung học phổ thông theo 4 cấp độ tư duy của thang đánh giá Boleslaw.
Dưới đây là các cấp độ tư duy:
Cấp độ tư duy

Mô tả

Nhận biết

Học sinh nhớ các khái niệm cơ bản, có thể nêu lên hoặc
nhận ra chúng khi được yêu cầu

Thông hiểu

Học sinh hiểu các khái niệm cơ bản và có thể vận dụng
chúng khi chúng được thể hiện theo các cách tương tự
như cách giáo viên đó giảng hoặc như các ví dụ tiêu
biểu về chúng trên lớp học.

Vận dụng
(ở cấp độ
thấp)

Học sinh có thể hiểu được khái niệm ở một cấp độ cao
hơn “thông hiểu”, tạo ra được sự liên kết logic giữa các
khái niệm cơ bản và có thể vận dụng chúng để tổ chức
lại các thơng tin đó được trình bày giống với bài giảng
của giáo viên hoặc trong sách giáo khoa.

Học sinh có thể sử dụng các khái niệm về mơn học - chủ
đề để giải quyết các vấn đề mới, không giống với những
điều đó được học hoặc trình bày trong sách giáo khoa
Vận dụng
nhưng phù hợp khi được giải quyết với kỹ năng và kiến
(ở cấp độ cao) thức được giảng dạy ở mức độ nhận thức này. Đây là
những vấn đề giống với các tình huống học sinh sẽ gặp
phải ngồi xã hội.

Ví dụ các cấp độ tư duy:
Cấp độ
Nhận biết

Ví dụ

Giải thích
y = 3 ( x − 3) ( x ≥ 0 )

Học sinh chỉ cần
Hàm số
đồng nhớ cách xét
biến trên khoảng nào trong các tính đồng biến
là có thể giải
khoảng sau đây:
Trang 6


Mơn: Kiểm tra và đánh giá
Trong giáo dục mơn tốn

Nhóm 2
được bài tốn

Thơng hiểu

Tổng giá trị cực đại và cực tiểu Học
sinh
áp
dụng định nghĩa
x2 + 2x − 2
y=
cực trị để tìm
x −1
cực đại, cực tiểu
của hàm số

hàm số rồi mới
có thể tìm tổng
của chúng

Vận dụng thấp

Xác định giá trị m để hàm số
1
9
y = x 4 − x3 − x 2 + mx + 4
4
2
có hồnh
độ 3 điểm cực trị tạo thành một
cấp số cộng

Học
sinh
áp
dụng định nghĩa
cực trị, cấp số
cộng và định lý
Viet
để
giải
quyết bài toán

y = f ( x)

Học sinh phải

biết chuyển đổi
ngơn ngữ hình
học sang đại số
và ngược lại.
Nhìn hình có thể
hiểu
được
ý
nghĩa đại số (số
nghiệm)
và

Cho hàm số

xác định và

[ −2; 2]

liên tục trên đoạn
và có đồ
thị là đường cong trong hình vẽ
bên dưới. Xác định giá trị của
tham số m để phương trình
f ( x) = m

nhiều nhất
Vận dụng cao

có số nghiệm thực

f ( x)

ngược lại (
thì phải lấy đối
xứng qua Ox
những phần đồ
thị có tung độ
âm) . Ngồi ra
cịn phải biết
vận dụng sự
tương giao đồ
thị để tìm m để
phương trình có
số
nghiệm
nhiều nhất.

Trang 7


Mơn: Kiểm tra và đánh giá
Trong giáo dục mơn tốn

Nhóm 2

2. Ma trận đề kiểm tra
Số
tiết

Số

câu

Nhận biết

Thông hiểu

Vận dụng thấp

Vận dụng cao

3 câu – 0.75đ

3 câu – 0.75đ

0 câu – 0 đ

Phần trắc nghiệm:
Nguyên
hàm

6

Tích
phân

5

Ứng
dụng

4

9

3 câu - 0.75đ
- Nhớ khái
niệm, tính chất
của
nguyên
hàm của một
hàm số.

9

6

- Biết sử dụng
tính chất của
nguyên hàm và
bảng nguyên
hàm để tìm
một số nguyên
- Biết sử dụng
hàm đơn giản.
bảng nguyên
hàm.

Tìm
được
nguyên hàm của

một số hàm số
tương đối đơn
giản dựa vào
bảng nguyên hàm
và tính nguyên
hàm từng phần.
- Sử dụng được
phương pháp đổi
biến số (khi đã
chỉ rõ cách đổi
biến số và khơng
đổi biến số q
một lần) để tính
ngun hàm.

2câu - 0.5đ

3 câu - 0.75đ

2câu - 0.5đ

2 câu - 0.5đ

Phát biểu (viết
ra) được cơng
thức tính tích
phân
bằng
phương pháp
đổi biến số hay

phương pháp
tính tích phân
từng phần, ở
dạng tổng quát.

Giải thích được
cách tính (các
bước tính) tích
phân
theo
phương pháp
đổi biến số
hoặc phương
pháp tích phân
từng phần.

Tính được giá trị
tích phân của một
hàm số, trên một
đoạn khi đã chỉ rõ
phương pháp.

Tính được giá trị
tích phân của
một hàm số trên
một đoạn khi
chưa chỉ rõ
phương pháp.

2câu - 0.5đ

2câu - 0.5đ

1 câu - 0.25đ

1 câu - 0.25đ

Nhận biết được
cơng thức tính
diện tích, thể
tích.

Tính được diện
tích
hình
phẳng, thể tích
khối trịn xoay
giới hạn bởi

Tính được thể Bài tốn thực tế
tích của một số ứng dụng tích
hình phải xác phân.
định các cận.
Trang 8


Mơn: Kiểm tra và đánh giá
Trong giáo dục mơn tốn

Nhóm 2

các hàm số đơn
giản.

Tổng

15+
2

(+1 tiết
ôn tập, =17
1
tiết
KT)

24

1.75đ

2đ

1.5đ

0.75đ

(6đ,

Tỉ lệ 29%

Tỉ lệ 33%

Tỉ lệ 25%

Tỉ lệ 13%

1 câu- 1đ

0 câu – 0đ

0 câu – 0đ

0 câu – 0đ

1 câu -2đ

0 câu – 0đ

0 câu – 0đ

0 câu – 0đ

1 câu – 1đ

0.25đ/
1 câu)

Phần tự luận:
Nguyên
hàm

1

Tích
phân

1

Ứng
dụng
tích
phân

1

Biết dựa vào
định
nghĩa,
tính chất, và
bảng nguyên
hàm để nhận
biết
nguyên
hàm của các
hàm số.
0 câu – 0đ

Biết tìm tích
phân của một
hàm số đơn
giản

0 câu – 0đ

0 câu – 0đ

Bài toán thực tế
ứng dụng tích
phân

3. Đề kiểm tra
Câu 1: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y=f(x) liên tục trên
đoạn [a,b], trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b có cơng thức là :
a

b

S = ∫ f ( x ) dx

A.

b

a

S = ∫ f ( x ) dx

B.

a

b

∫ f ( x ) dx
C.

b

S = ∫ f ( x ) dx

D.

a

Trang 9


Mơn: Kiểm tra và đánh giá
Trong giáo dục mơn tốn

Nhóm 2

2

Câu 2: Biết

∫ f ( x ) dx = 2
1

1

. Tích phân

A. 2

2

B. 6
F ( x) =

Câu 3: Hàm số
trên

∫ 3 f ( x ) dx

bằng:
C.-6

x3
− 3x 2 + 5
4

D.-2

là một nguyên hàm của hàm số f(x) nào sau đây

K = ( −∞; +∞ )
f ( x) =

A.
f ( x) =

C.

x3
− 3x2 + 5 + C
4
3x 2
− 6x + C
4

f ( x) =

(C là hằng số)

B.

(C là hằng số)

D.

3x 2
− 6x
4

f ( x ) = x 4 − x3 + 5x

Câu 4: Tính thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường
y − 1 + x 2 = 0, y = 0

A.

quay quanh trục Ox.

16π
15

B.

Câu 5: Cho hàm số
y = F ( x)

là hàm số
A.

∫

b

a

y = f ( x)

trên đoạn

16π 2
15

liên tục trên đoạn

[ a; b]

f ( x ) dx = − F ( a ) + F ( b )

C.

[ a; b] ( a < b )

C.

a

D.

56π
15

và có một nguyên hàm

. Mệnh đề nào sau đây đúng?
b

B.

b

∫ f ( x ) dx = F ( b ) + F ( a )

56π 2
15

∫ f ( x ) dx = F ( a ) − F ( b )

a

a

D.

∫ f ( x ) dx = − F ( a ) + F ( b )
b

∫ ( 7 sin x − 2e ) dx
x

Câu 6: Tìm
A.
C.

7 cos x − 2e x + C

−7 cos x − 2e x + C

B.
D.

7 sin x + 2e x + C

−7 cos x + 2e x + C

Trang 10

Mơn: Kiểm tra và đánh giá
Trong giáo dục mơn tốn

Nhóm 2

2

Câu 7: Tính tích phân
đây đúng?

A.

C.

I = 2∫

3

3

1

bằng cách đặt

udu

0

I =∫

I = ∫ x x 2 − 1dx

I =∫

2

1

B.

I=

udu

0

u = x2 − 1

D.

, mệnh đề nào dưới

1
udu
2

1 3
udu
2 ∫0

Câu 8: Thể tích của khối trịn xoay được giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) liên tục trên
đoạn

[ a; b]

trục Ox và hai đường thẳng x=a, x=b quay quanh trục Ox , có cơng thức là:
b

A.

b

V = ∫ f 2 ( x ) dx
a

B.

b

C.

a

D.
5

1

Câu 9: Giá trị tích phân

C.

a

b

V = π2 ∫ f 2 ( x ) dx

I =∫

A.

V = π∫ f 2 ( x ) dx

1

( 2 x − 1)

2016

−1  1

 2015 − 1÷
2015  9


a

dx

là:

B.

−1  1

 2015 − 1÷
4030  9


V = π ∫ f ( x ) dx

D.

−1  1

 2015 + 1÷
4030  9

−1  1

 2015 + 1÷
2015  9


∫ 3 dx
x

Câu 10: Tìm

A.

ln x
+C
3x

Câu 11 Cho
A.
C.

B.

I = ∫ ( 17 sin x ) 'dx

I = 17 sin x + C

I = −17 cos x + C

3x
+C
ln x

C.

ln 3
+C
3x

D.

3x
+C
ln 3

. Chọn phương án đúng
B.
D.

I = 17 cos x + C

I = −17sin x + C

Trang 11


Mơn: Kiểm tra và đánh giá
Trong giáo dục mơn tốn

Nhóm 2

Câu 12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
và hai đường thẳng

A.

x = −1, x = 2

15
4

Câu 13 : Cho
I=

A.

∫

2

−1

2

−1

I=

B.
f ( x) =

Câu 14: Nguyên hàm của
F ( x) =

A.
F ( x) =

C.

C.

f ( x ) dx = 2, ∫ g ( x ) dx

17
2

. Tính

∫

5
2

15
3

C.

1
1
− x2 −
2
x
3

D.

9
2

I=

D.

11
2

là
F ( x) = −

B.
F ( x) =

D.

liên tục trên

17
4

 x + 2 f ( x ) − 3g ( x ) dx
I=

x4 + x2 − 3
+C
3x

Câu 15: Cho hàm số

2

−1

− x4 + x2 + 3
+C
3x

f ( x)

, trục hoành

?

17
3

B.

y = x3

[ −2;2]

x4 + x2 + 3
+C
3x

x4 + x2 + 3
+C
3

1

và là hàm số chẵn, Biết

∫ f ( 2 x ) dx = 4
0

.

2

Tính

∫ f ( x ) dx
−2

A.8

B.4

C. 16
f ( x) =

Câu 16: Tìm nguyên hàm của
F ( x) =

A.
F ( x) =

C.

x
+C
2
1
+C
x

D.0

1
x x
F ( x) = −

B.
F ( x) =

D.

2
+C
x

−3
+C
2x2 x

Trang 12


Mơn: Kiểm tra và đánh giá

Trong giáo dục mơn tốn

Nhóm 2

Câu 17: Thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
y = x2 − 2x
y = − x2 + x
và
quay quanh trục Ox

A.

81π
80

Câu 18: Tìm
A.

27π 2
32

B.

∫x

2

C.

3ln x − 2 − 2 ln x − 1 + C

B.
D.

π

I = ∫ 4 cos 3 x.cos 2 xdx = a + b
0

Câu 19: Giả sử
I=

A.

3
5

Câu 20: Tính

A.

C.

I =−

B.

2 ln x − 2 + 3ln x − 1 + C

2

( a, b Ô )
2
I=

C.

. Khi ú, giỏ tr của
4
5

I =−

D.

a −b

là:

4
5

x3
∫ x + 2dx

2

x2
x2
ln x − + C
4

2

D.

trong các phương án sau:

+C

B.

x3
− x 2 − 4 x + 8ln x + 2 + C
3

Câu 22: Giá trị tích phân

x2
x2
ln x − + C
2
4

B.

x2
x2
ln x + + C
4
2

2 x3 + 6 x 2

C.

3ln x − 2 + 2 ln x − 1 + C

∫ x ln xdx

Câu 21: Tìm

A.

2
5

− x2
x2
ln x − + C
2
4

( x + 2)

D.

27π
32

x +1
dx

− 3x + 2

2 ln x − 2 − 3ln x − 1 + C

C.

81π 2
80

x 2016
dx
−2 e x + 1

I =∫

D.

x 3 ln x + 2 + C
x4
ln x + 2 + C
4

2

là:
Trang 13


Mơn: Kiểm tra và đánh giá
Trong giáo dục mơn tốn

A.

22017
2017

Câu 23: Cho hàm số

Nhóm 2
22018
2017

B.
y = f ( x)

liên tục trên

C. 0

[ 0;4]

và

D.
2

4

0

2

22018 1
+ 2 − e2
2017 e

∫ f ( x ) dx = 1; ∫ f ( x ) dx = 2

. Tính

∫ f ( 3x −1 ) dx
1

−1

−

A.4

B.

2
3

C.

4
3

D.1

Câu 24: Câu lạc bộ bóng đá AS Roma dự định xây dựng SVĐ mới có tên Stadio della
Roma để làm sân nhà của đội bóng thay thế cho sân bóng Olimpico. Hệ thống mái của
SVĐ Stadio della Roma dự định được dựng có dạng hai hình elip như hình bên với
hình elip lớn bên ngồi có độ dài trục lớn là 110 mét, độ dài trục nhỏ là 72 mét. Giả sử
chi phí vật liệu là 100 Euro mỗi mét vng. Tính chi phí cần thiết để xây dựng hệ
thống mái.

A. 1962π Euro

B. 98100π Euro

C. 196200 Euro

D. 196200π Euro

Tự luận:
Nhận biết 2 câu: Nguyên hàm: Biết dựa vào định nghĩa, tính chất, và bảng nguyên
hàm để nhận biết nguyên hàm của các hàm số.
Thơng hiểu 1 câu: Tích phân: Biết tìm tích phân của một hàm số đơn giản
Vận dụng cao 1 câu: bài tốn thực tế ứng dụng tích phân
Câu 1(1điểm): Tính nguyên hàm của các hàm số sau:
∫ x( x + 1) dx



3

a)

2
∫  cos x +

b)



2 
dx
( x − 1) 2 

Câu 2(2điểm): Tính tích phân:

Trang 14


Mơn: Kiểm tra và đánh giá
Trong giáo dục mơn tốn

Nhóm 2

π
2

∫ x cos xdx
a.

0

4

∫
b.

4 − x 2 dx

0

Trang 15


Câu 3(1điểm): Ơng An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn 16m và độ dài
trục bé 10m
Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của Elip làm trục đối
xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000đồng/m2. Hỏi ông An cần
bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền làm
trịn đến hàng nghìn.).


4. Đáp án và phân tích đáp án nhiễu
4.1.Đáp án phần trắc nghiệm:
1

2

3

4

5

6

7

8

A

C

B

A

A

C

D

B

9

10

11

12

13

14

15

16

C

D

A

D

A

B

C

B

17

18

19

20

21

22

23

24

D

A

D

B

C

A

C

D

4.2.Hướng dẫn giải và phân tích đáp án nhiễu phần trắc
nghiệm:
Câu

Đáp án

Điểm

Câu 1
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số

[a,b], trục hoành và hai đường thẳng

y = f ( x)

x = a,x = b

0.25
liên tục trên đoạn

có cơng thức là :

b

S = ∫ f ( x ) dx
a

Do đó đáp án đúng là đáp án D.
Đáp án nhiễu:
Đáp án nhiễu A: HS chọn đáp án D là những em hồn tồn khơng thuộc cơng thức, các em
có sự nhầm lẫn về thứ tự của hai cận và quên mất điều kiện là f(x) không âm.

Đáp án nhiễu B: HS không nhớ rõ công thức các em chỉ nhớ là

b

S = ∫ f ( x ) dx
a

Đáp án nhiễu C: HS nhầm lẫn về thứ tự của các cận nên dẫn đến chọn sai đáp án.
Như vậy, đây chỉ là câu hỏi nhận biết vì học sinh chỉ cần nhớ cơng thức tính diện tích hình
phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh là có thể dễ dàng tìm ra được đáp án
đúng.

Câu 2
Ta có

1

1

2

2

2

I = ∫ 3 f ( x ) dx = 3∫ f ( x ) dx = −3∫ f ( x ) dx = −6

Đáp án C
Đáp án nhiễu:

1

0.25


Đáp án nhiễu A: Học sinh sử dụng lại dữ liệu ban đầu để làm đáp án
Đáp án nhiễu B: Học sinh quên đổi cận tích phân nên lấy
a

3.∫ f ( x ) dx = 3.2 = 6
b

Đáp án nhiễu D: Học sinh đổi cận nhưng lại sử dụng dữ liệu ban đầu làm
đáp án
Câu 3

F ( x) =

x3
− 3x 2 + 5
4

F '( x) =

,ta tính được

3x 2
− 6x
4

0.25
nên F(x) là một nguyên

2

hàm của hàm số

3x
− 6x
4

trên

K = ( −∞, +∞ )

Do đó đáp án đúng là đáp án B
Phân tích đáp án nhiễu:

Đáp án nhiễu A: Vì thường quen với bài tốn thuận là tìm ngun hàm của
một hàm số f(x) sẽ có dạng F(x) + C với C là hằng số, ở đây đã cho sẵn F(x)
nên HS nghĩ chỉ cần cộng thêm C là được. HS không nắm được định nghĩa
nguyên hàm
Đáp án nhiễu C: Đã nhớ khái niệm nguyên hàm, biết tính F’ nhưng do quen với việc cộng
thêm hằng số C khi làm các bài tốn thuận tìm ngun hàm. Đáp án nhiễu D: Vì cũng quen
với các bài tốn thuận tìm ngun hàm, khơng nắm được định nghĩa nên tìm ngun hàm
của F(x) thay vì phải tìm đạo hàm.
Như vậy, đây chỉ là câu hỏi nhận biết vì học sinh chỉ cần nhớ khái niệm nguyên hàm của
một hàm số đã được học là có thể dễ dàng tìm ra được đáp án đúng.

Câu 4

Phương trình hồnh độ giao điểm

− x 2 + 1 = 0 ⇔ x 2 = 1 ⇔ x = −1 ∨ x = 1
Khi

đó,

thể

tích

khối

trịn

của

y=-x2+1

và

y=0

là: 0.25

xoay

cần
tìm
là:
1
1


2
2
x5 1
 8 − 8  16π
V = π ∫ ( − x 2 + 1) dx = π ∫ (1 − 2 x 2 + x 4 ) dx = π  x − x 3 +  = π  −
=
−1
−1
3
5  −1
 15 15  15


Do đó, đáp án đúng là đáp án A
Phân tích đáp án nhiễu:
Đáp án nhiễu D: HS biến đổi sai hằng đẳng thức:
dẫn đến kết quả sai

(− x

2

+ 1) = x 4 + 2 x 2 + 1
2

Đáp án nhiễu B HS nhớ nhầm công thức tính thể tích vật trịn xoay là:


V = π 2 ∫ ( − x 2 + 1) dx

1

2

−1

Đáp án nhiễu C: HS nhớ nhầm công thức và khai triển sai hằng đẳng thức do
đó các em ra đáp án sai.
Như vậy, đây là một câu hỏi thơng hiểu địi hỏi các em phải biết vận dụng
đúng cơng thức để làm và biết tìm ra hai cận của tích phân, đồng thời các em
cũng cần phải nhớ hằng đẳng thức (a+b)2 để biến đổi đúng và tìm ra đáp án.
Tuy nhiên, đây chưa phải là một câu hỏi vận dụng vì việc tìm hai cận của
tích phân đơn giản và hàm g(x) ở đây là hàm y=0 nên cũng không gây nhiều
trở ngại cho học sinh. Đồng thời đối với các em sử dụng máy tính cầm tay
thành thạo thì câu hỏi này khơng gây khó khăn cho các em. Nếu các em nhớ
đúng cơng thức thì các em sẽ tìm ra được đáp án nhanh chóng và chính xác.
Câu 5

0.25

b

∫ f ( x ) dx = − F ( a ) + F ( b ) = F ( b ) − F ( a )
a

Đáp án A
Phân tích đáp án nhiễu:
Đáp án nhiễu B: Học sinh nhớ sai thứ tự

F ( a) − F ( b)

(thay vì

F ( b) − F ( a )

)

Đáp án nhiễu C: Học sinh nhớ sai cơng thức thay vì hiệu thì tính tổng
Đáp án nhiễu D: Học sinh khơng để ý đến cận của tích phân nên áp dụng
cơng thức sai.
Câu 6

∫ ( 7 sin x − 2e ) dx = −7 cos x − 2e
x

x

+C

Do đó, đáp án đúng là đáp án C
Phân tích đáp án nhiễu
Các đáp án A,B,D được tạo na ná đáp án chính xác C khiến học sinh có thể
bị nhầm lẫn và chọn sai nếu khơng nhớ chính xác cơng thức tính ngun
hàm trong bảng đã được học.
Như vậy, đây là câu hỏi mức độ nhận biết, học sinh chỉ cần nhớ công thức
tính trong bảng nguyên hàm đã được học, áp dụng trực tiếp để tính nguyên
hàm và nhớ tính chất tuyến tính của nguyên hàm.
Câu 7

u = x 2 − 1 ⇒ du = 2 xdx ⇒

Đặt

du
= dx
2

0.25


x = 1 ⇒ t = 0; x = 2 ⇒ t = 3

Đổi cận:

2

I = ∫ x x 2 − 1dx = ∫
1

Ta có

3

0

1
udu
2

Đáp án D

Phân tích đáp án nhiễu:
Đáp

án

nhiễu

A:

Học

sinh

nhầm

lẫn

trong

2

u = x 2 − 1 ⇒ du = 2dx ⇒ 2du = dx

lúc

đổi

biến

3

I = ∫ x x 2 − 1dx = ∫ 2 udu
1

nên

0

Đáp án nhiễu B: Học sinh quên đổi cận
3

⇒ I = ∫ udu
u = x ⇒ du = xdx
0
2

Đáp án nhiễu C: Học sinh tính sai đạo hàm
Câu 8

Thể tích của khối trịn xoay được giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) liên tục trên

[ a; b]
đoạn

trục Ox và hai đường thẳng

x = a,x = b

0.25

quay quanh trục Ox, có

b

cơng thức là:

V = π∫ f 2 ( x ) dx
a

Do đó, đáp án đúng là đáp án B
Phân tích đáp án nhiễu:
Đáp án nhiễu A: HS quên mất số

π

Đáp án nhiễu C: HS nhớ nhầm là
án C.

.

π2

thay vì là

π

do đó, các em sẽ chọn đáp

Đáp án nhiễu D: HS có chút nhầm lẫn điều kiện của f(x) ở phần diện tích
hình phẳng.

Như vậy, câu hỏi này cũng là câu hỏi nhận biết, nó khơng địi hỏi quá nhiều
ở học sinh, các em chỉ cần nhỡ kĩ cơng thức là có thể chọn được đáp án
đúng.
Câu 9
Đặt

t = 2 x −1

Đổi cận

⇒ dt = 2dx ⇒

dt
= dx
2

x = 1 ⇒ t = 1; x = 5 ⇒ t = 9

0.25


I =∫

9

1

9

1

1  1



dt =  −
=−
 2015 − 1÷
2016
2015 ÷
2t
4030  9
 2.2015.t
1

1

Đáp án C
Phân tích đáp án nhiễu:
dx =

Đáp án nhiễu A: Đổi biến mà không chia 2: Quên
I =∫

9

1

1
t 2016

dt
2

nên

9

1
1  1



dt =  −
=−
 2015 − 1÷
2015 ÷
2015  9
 2015.t
1


Đáp án nhiễu B: Sai tại công đoạn thay cận
9

1
1  1



I = −

=−
 2015 + 1÷
2015 ÷
4030  9
 2.2015.t
1


Đáp án nhiễu D: Đổi biến mà không chia 2 và thay cận sai.
Câu
10

Giải:
x
∫ 3 dx =

0.25
3x
+C
ln 3

(C là hằng số)

Do đó, đáp án đúng là đáp án D
Phân tích đáp án nhiễu:
+) Các đáp án A,B,C được tạo na ná đáp án chính xác D khiến h
thể bị nhầm lẫn và chọn sai nếu không nhớ chính xác cơng thức.

ọc sinh có

Như vậy, câu hỏi này cũng là câu hỏi nhận biết, nó khơng địi hỏi quá nhiều
ở học sinh, các em chỉ cần nhỡ kĩ cơng thức tính trong bảng ngun hàm đã
được học là có thể chọn được đáp án đúng.
Câu
11

Giải:

I = ∫ ( 17 sin x ) ' dx = 17 sin x + C
Do đó, đáp án đúng là đáp án A


Phân tích đáp án nhiễu

Đáp án nhiễu C: Khơng để ý kí hiệu đạo hàm, tính nguyên hàm một cách
máy móc, khơng nắm rõ tính chất, lúc đó học sinh sẽ tính
I = ∫ ( 17 sin x ) dx = −17 cos x + C

ò f 'dx = f +C

và chọn C.

Đáp án nhiễu B: Lí do giống C nhưng lại cịn khơng nhớ cơng thức tính
trong bảng ngun hàm và tính nhầm

I = ∫ ( 17 sin x ) dx = 17 cos x + C

Đáp án nhiễu D: Nếu khơng biết tính chất của ngun hàm và khơng nhớ cơng thức tính
ngun hàm.

Như vậy, đây là câu hỏi mức độ nhận biết, học sinh chỉ cần nhớ tính chất sau
của nguyên hàm là chọn được đáp án đúng.
Câu
12

0.25

b

S = ∫ f ( x ) dx
Áp dụng công thức:

a

f ( x ) = x3

Thay

và

S = ∫ x 3 dx = ∫ ( − x 3 ) dx + ∫ x 3dx =
2

0

2

−1

−1

0

thay

a = −1, b = 2

ta

có:

− x4 0
x4 2 1
17
+
= +4=
4 −1 4 0 4
4

Do đó, đáp án đúng là đáp án D
Phân tích đáp án nhiễu:
Đáp án nhiễu A: HS có thể biến đổi như sau:
x 4 2 16 1 15
S = ∫ x dx = ∫ x dx =
= − =
−1
−1
4 −1 4 4 4
2

3

2

3

Đáp án nhiễu B: HS lấy nguyên hàm sai thay vì ra là
do, đó dẫn đến đáp án sai nên các em chọn B.

x4
4

các em lại ra

x4
3

Đáp án nhiễu C: HS biến đổi sai và lấy nguyên hàm sai như sau:


Như vậy, câu hỏi này là một câu hỏi thông hiểu vì nó địi hỏi học sinh phải
áp dụng đúng công thức và biết cách biến đổi (xét dấu hàm f(x)) và lấy
ngun hàm chính xác thì mới ra được đáp án đúng. Nhưng đối với những
học sinh sử dụng máy tính cầm tay thành thạo thì đây khơng phải là một câu
hỏi gây khó khăn cho các em các em có thể dùng máy tính để tìm ra đáp án
một cách nhanh chóng và chính xác.
Câu
13

2

Ta có
x2
=
2

2

2

0.25

2

∫−1  x + 2 f ( x ) − 3g ( x ) dx = ∫−1 xdx + ∫−1 2 f ( x ) dx + ∫−1 −3g ( x ) dx

 22 ( −1) 2 
÷+ 2.2 − 3. ( −1)
+ 2∫ f ( x ) dx − 3∫ g ( x ) dx =  −
÷
−1
−1
2
2


−1
2

2

2

1
17

=  2 − ÷+ 4 + 3 =
2
2


Đáp án: A
Phân tích đáp án nhiễu:

Đáp án nhiễu B: Học sinh tính tích phân
2

∫ f ( x ) dx = 2
−1

I=

tính

∫

2

−1

xdx =

3
2

sau đó cộng với 2 lần

2

rồi trừ 3 lần

3
5
+ 2.2 − 3.1 =
2
2

∫ g ( x ) dx = −1
−1

I=

(thay vì

. Nhưng khi ráp vào phép tính lại

3
17
+ 2.2 − 3. ( −1) =
2

2

)
2

Đáp án nhiễu C: Học sinh quên tính cộng 2 lần
I=

∫ f ( x ) dx = 2
−1

nên

3
9
− 3 ( −1) =
2
2
2

Đáp án nhiễu D: Học sinh quên tính trừ 3 lần
I=

Câu
14

∫ g ( x ) dx = −1
−1

nên

3
11
+ 2.2 =
2
2

1
1 x3 x
x4 + x2 + 3
 1
2
−
x
−
dx
=
−
−
−
+
C
=
−
+C
÷
∫  x 2
3
x 3 3
3x

Do đó, đáp án đúng là đáp án B

0.25


Phân tích đáp án nhiễu:
Đáp án nhiễu A,C: HS nhớ cơng thức nhưng tính tốn khơng cẩn thận có thể
chọn nhầm đáp án
Đáp án nhiễu D: HS không nhớ, không áp dụng được các công thức nguyên
hàm trong bảng đã được học.
Như vậy, đây là câu hỏi mức độ thông hiểu, hs chỉ cần nhớ và biết áp dụng
trực tiếp cơng thức tính trong bảng ngun hàm đã được học, nhớ tính chất
tuyến tính của ngun hàm.
Câu
15

0.25

1

Ta có

I = ∫ f ( 2 x ) dx = 4
0

t = 2x

Đặt

⇒ dt = 2dx ⇒

Đổi cận

x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = 2

I =∫

2

0

Vậy

dt
= dx
2

f ( t)
2
dt = 4 ⇒ f ( t ) dt = 8
∫
2
0
2

Vì tích phân khơng phụ thuộc vào biến nên
f ( x)

Mà

là hàm số chẵn nên

∫ f ( x ) dx = 8
0

f ( −x) = f ( x)

Do đó
2

2

0

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
= ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 2 ∫ f ( x ) dx = 2.8 = 16
−2

−2

0

2

2

2

0

0

0

Đáp án C
Phân tích đáp án nhiễu
2

Đáp án nhiễu A: Học sinh sau khi đã tính ra được
đáp án.

∫ f ( x ) dx = 8
0

Đáp án nhiễu B: Học sinh tính tốn sai trong q trình đổi biến

liền coi đó là


t = 2 x ⇒ dt = 2dx ⇒ 2dt = dx
4
∫ f ( x ) dx = 2 = 2
2

Từ đó suy ra
Đáp

án

nhiễu

nên

D:

2

2

−2

0

∫ f ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx = 4

0

Học

0

2

2

−2

0

0

sinh

biến

đổi

sai

dấu

∫ f ( x ) dx = −∫ f ( − x ) dx = −∫ f ( x ) dx
(thay vì

∫

0

−2

2

2

0

0

f ( x ) dx = ∫ f ( − x ) dx = ∫ f ( x ) dx

)

Từ đó tính toán đáp án:
2

2

0

2

2

2

−2

0

−2

0

0

0

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = 0∫ f ( x ) dx = 0
Câu

16

2
 1 
+C
÷dx = −
x
x

∫  x

Do đó, đáp án đúng là đáp án B.
Phân tích đáp án nhiễu:
Đáp án nhiễu A, C: Không nhớ công thức tính ngun hàm trong bảng hoặc
nhớ nhưng khơng biết áp dụng cho hàm cụ thể.
Đáp án nhiễu D: Không nắm được định nghĩa nguyên hàm, đi tính đạo hàm
của f(x).
Như vậy, đây là câu hỏi mức độ thông hiểu, học sinh chỉ cần nhớ và biết
cách áp dụng trực tiếp cơng thức tính trong bảng ngun hàm đã được học.
Câu
17

Phương

của
3
x 2 − 2 x = − x 2 + x ⇔ 2 x 2 − 3x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x =
2

Khi

trình

đó,
3
2

hồnh

thể

độ

tích

giao

khối

điểm

trịn

hai

xoay

hàm

cần

3
2

3
2

0

0

số

tìm

V = π ∫ ( x 2 − 2 x ) − ( − x 2 + x ) dx = π ∫ − 2 x 3 + 3 x 2 dx = π ∫ ( − 2 x 3 + 3 x 2 ) =
2

2

0

Do đó, đáp án đúng là đáp án D
Phân tích đáp án nhiễu

là: 0.25

là:

27π

32