giao trinh ky thuat nhiet

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.29 MB, 47 trang )

chơng 1

các khái niệm cơ bản của truyền nhiệt
1.1. đối tợng và phơng pháp nghiên cứu của truyền nhiệt(TN)
1.1.1. Đối tợng nghiên cứu của TN
Truyền nhiệt là một môn khoa học nghiên cứu luật phân bố nhiệt độ và
các luật trao đổi nhiệt(TĐN) trong không gian và theo thời gian giữa các vật có
nhiệt độ khác nhau.
Các vật (hoặc hệ vật) đợng nghiên cứu có thể là vật rắn, chất lỏng hay
chất khí. Luật phân bố nhiệt độ là qui luật cho biết nhiệt độ trong vật thay đổi thế
nào theo toạ độ (x, y, z) và thời gian (). Luật trao đổi nhiệt độ là quy luật cho
biết phơng chiều và độ lớn của dòng nhiệt q [W/m2] đi qua 1 điểm bất kỳ bên
trong hoặc trên biên W của vật V.
1.1.2. Mục đích nghiên cứu và ứng dụng của TN.
Mục đích nghiên cứu của truyền nhiệt là lập ra các phơng trình hoặc
công thức cho phép tính đợc nhiệt độ và dòng nhiệt trong các mô hình TĐN
khác nhau.
Các qui luật truyền nhiệt có thể đợc ứng dụng để:
1) Tìm hiểu, giải thích, lợi dụng các hiện tợng trong tự nhiên;
2) Khảo sát, điều chỉnh, kiểm tra các quá trình trong công nghệ;
3) Tính toán, thiết kế, chế tạo các thiết bị TĐN.
1.1.3. Phơng pháp nghiên cứu của TN
Khi nghiên cứu TN nhiệt ngời ta có thể sử dụng mọi phơng pháp của
các ngành khoa học tự nhiên khác, bao gồm cả lý thuyết và thực nghiệm.
Phơng pháp lý thuyết dựa trên các định luật vật lý, lập hệ phơng trình
mô tả hiện tợng TĐN, giải nó bằng phơng pháp giải tích(hoặc phơng pháp
toán tử, hoặc bằng các phơng pháp số nh sai phân hữu hạn hay phần tử hữu
hạn) để tìm hàm phan bố nhiệt độ và các công thức tính nhiệt.
Phơng pháp thực nghiệm dựa vào lý thuyết đồng dạng, lập mô hình, thí
nghiệm, đo và xử lý các số liệu, trình bày kết quả ở dạng bảng số, đồ thị hoặc
công thức thực nghiệm.

Phơng pháp thực nghiệm cần nhiều thiết bị, công sức và thời gian, nhng
có phạm vi áp dụng rộng và là công cụ không thể thiếu để kiểm định độ chính
xác của lý thuyết.
1.2. Các khái niệm cơ bản của truyền nhiệt
1.2.1. Trờng nhiệt độ.
Để mô tả quy luật phân bố nhiệt độ trong không gian và thời gian ngời ta
dùng trờng nhiệt độ.
Trờng nhiệt độ là tập hợp các giá trị nhiệt độ tức thời tại mọi điểm trong
vật khảo sát trong khoảng thời gian xét.
Trờng nhiệt độ là một trờng vô hớng, đơn trị, có phơng trình mô tả là
t = t(M(x, y, z), ), M(x, y, z) V và xét. Hàm số t(M(x, y, z), ) chính
là luật phân bố nhiệt độ trong vật V mà ta cần tìm.

1

Theo thời gian , trờng nhiệt độ đợc phân ra làm 2 loại: ổn định và
không ổn định. Trờng t đợc gọi là ổn định nếu nó không đổi theo thời gian,
hay có
t
=0 ,

M(x, y, z) V và xét.

Nếu có chứa 1 điểm M vào lúc , làm cho

t
0 , thì trờng t gọi là

không ổn định.
Theo tính đối xứng trong không gian, ngời ta gọi số toạ độ mà trờng t
phụ thuộc là số chiều của trờng . Ví dụ, trờng nhiệt độ 0, 1, 2, 3 chiều có thể
có phơng trình tơng ứng là t = t(), t = t(x, ), t = t(r, z), t = t(x, y, z)
Trờng nhiệt độ t là ẩn số chính trong mọi bài toán TN.
1.2.2. Mặt đẳng nhiệt
Để định hớng dòng nhiệt, ngời ta dùng mặt đẳng nhiệt. Mặt đẳng nhiệt
là quỹ tích các điểm có cùng một nhiệt độ nào đó tại thời điểm đang xét. Mặt
đẳng nhiệt có dạng một mặt cong, hở hoặc kín, đợc mô tả bởi phơng trình t (x,
y, z) = t0 = const.
Do trờng t đơn trị, nên các mặt đẳng nhiệt không cắt nhau. Theo định
nghĩa, nhiệt độ t chỉ có thể thay đổi theo hớng cắt mặt đẳng nhiệt. Do đó, dòng
nhiệt q luôn truyền theo hớng vuông góc với mặt đẳng nhiệt.
1.2.3. Vận tốc và gia tốc thay đổi nhiệt độ
Để đánh giá mức thay đổi nhiệt độ nhanh hay chậm theo thời gian ,
ngời ta định nghĩa vận tốc và gia tốc thay đổi nhiệt độ theo thời gian, là
vt =

dt
d 2t
, [K/s] và a t = 2 [K/s2].
d
d

Để đánh giá mức độ thay đổi nhiệt độ trên khoảng cách l theo hớng

l (có véc tơ đơn vị là l 0 ) cho trớc trong không gian, ngời ta định nghĩa vận

tốc và gia tốc thay đổi theo hớng l bởi các véctơ:

vl = l 0

t
2t
, [K/m] và a l = l 0 2 , [K/m2]
l
l

Độ lớn của vận tốc thay đổi nhiệt độ theo hớng v l sẽ thay đổi khi l

quay quanh điểm M đã cho , và bằng không khi l tiếp xúc với mặt đẳng nhiệt.
1.2.4. Véctơ gradient nhiệt độ.
Để tìm cực đại của v l và xác định dòng nhiệt q, gnời ta dùng véctơ
gradient nhiệt độ.

Gradient nhiệt độ, ký hiệu grad t là véctơ vận tốc thay đổi nhiệt độ v n theo

hớng pháp tuyến n của mặt đẳng nhiệt, theo chiều tăng nhiệt độ.

grad t = n 0

tăng nhiệt độ,

t
với n 0 là véctơ đơn vị vuông góc mặt đẳng nhiệt theo chiều
n

t
= t m ( M ) = gradt ( M ) , [K/m] là đạo hàm của trờng t theo hớng
n

pháp tuyến n qua điểm M của mặt đẳng nhiệt.
2

z

Trong hệ toạ độ vuông góc (x, y ,z)

nếu trờng nhiệt độ t = t(x, y, z, ) thì có thể
tìm
đợc
theo
công
thức

gradt = i

t t t
+ j
+k
= t
x
y
z

Vgradt dt
t+

với i , j , k là

véc tơ đơn vị trên các trục

Có thể chứng minh đợc rằng gradt =
max v l , l qua M.

n l

n0

t

M

y

Ngoài ra, nếu biết grad t , thì dễ dàng
tìm đợc dòng nhiệt q theo định luật Fourier,
sẽ giới thiệu tại chơng sau.

q

x
0
Hình 1. Véctơ

grad t

và

q

1.2.5. Véctơ dòng nhiệt
Để mô tả luật trao đổi nhiệt ngời ta dùng véctơ dòng nhiệt. Véctơ dòng

nhiệt q là véc tơ có độ dài q bằng công suất nhiệt truyền qua 1m2 mặt đẳng
nhiệt [W/m2], phơng vuông góc với mặt đẳng nhiệt, theo chiều giảm nhiệt độ.

q = n 0 q , dấu (-) do ngợc chiều với grad t

Véctơ q chỉ rõ phơng chiều và cờng độ dòng nhiệt đi qua điểm M bất
kỳ bên trong hoặc trên biên vật V. Đó chính là luật trao đổi nhiệt đô mà ta cần
tìm.

Theo lý thuyết trờng véctơ, đại lợng vô hớng div q =

q x q y q z

+
,
+
x
y
z

[W/m3] chính là hiệu số các dòng nhiệt (ra - vào) 1m3 của vật quanh điểm M.
> 0 VậtVtoả nhiệt

div q = (Q ra Q vào ) / V = = 0 Vật can bằng nhiệt
< 0 VậtV thu nhiệt

Divergent của véctơ dòng nhiệt div q( M) đặc trng cho độ rò nhiệt hoặc
độ phát tán nhiệt của điểm M trong vật.
1.2.6. Công suất nguồn nhiệt
Khi trong vật có phản ứng hoá học hoặc có dòng điện chạy qua, thì mỗi
điểm của vật có thể phát sinh một công suất nhiệt khác nhau. Để đặc trng cho
công suất phát nhiệt tại điểm M của vật V, ngời ta dùng công suất dòng nhiệt
qv.
Công suất nguồn nhiệt qv [W/m3] do thể tích dV bao quanh M phát ra chia
cho dV: q v =

q
.
dV

Nếu biết luật phân bố qv (M(x, y, z), ) thì có thể tính công suất phát nhiệt
Qv của vật V theo công thức:
Q v = q v ( M )dV [W].
V

3

Đặc biệt, khi qv = const, MV, thì vật V đợc gọi là có nguồn nhiệt
phân bố đều, khi đó có Qv = V.qv.
1.3. Các phơng thức trao đổi nhiệt.
Trao đổi nhiệt là hiện tợng tao đổi động năng giữa các phân tử và các vi
hạt khác trong các vật tiếp xúc nhau.
Theo các định luật nhiệt động học, hiện tợng trao đổi nhiệt chỉ xảy ra khi
có sự sai khác về nhiệt độ, t 0, và nhiệt chỉ truyền từ vật nóng đến vật nguội
hơn.
Tuỳ theo đặc tính tơng tác(trực tiếp hay gián tiếp ) và chuyển động(hỗn
loạn hay định hớng) của các phân tử của các vật tơng tác, ngời ta chia quá
trình TĐN ra 3 phơng thức sau.
1.3.1. Dẫn nhiệt.
Dẫn nhiệt là hiện tợng trao đổi động năng do va chạm trực tiết các phân
tử không tham gia chuyển động định hớng. Ví dụ, dẫn nhiệt sẽ xảy ra khi có sự
khác biệt nhiệt độ trong vật rắn, trong chất lỏng hay chất khí đứng yên, hoặc
giữa các vật ấy.
Điều kiện để dẫn nhiệt xảy ra là có sự tiếp xúc trực tiếp giữa các vật đứng
yên, khác nhau về nhiệt độ. Quá trình dẫn nhiệt xảy ra chậm , chỉ trong khoảng
cách ngắn, và có cờng độ q tỷ lệ với gradient nhiệt độ.
1.3.2. Toả nhiệt(hay trao đổi nhiệt đối lu)
Tỏa nhiệt là hiện tờng trao đổi động năng do va chạm trực tiếp giữa các

phân tử trên mặt vật rắn với các phân tử chuyển động định hớng của chất lỏng
hay chất khí tiếp xúc với nó.
Ví dụ, nớc nóng toả nhiệt vào mặt trong ống, còn mặt ngoài ống sẽ toả
nhiệt ra không khí đối lu xung quanh.
Điều kiện để toả nhiệt xảy ra, là có dòng chất lỏng chảy qua mặt vật rắn
khác biệt về nhiệt độ.
Dòng nhiệt toả qua 1m2 mặt tiếp xúc đợc tính theo công thức Newton
q = (tW - tf), [W/m2] trong đó tW và tf là nhiệt độ mặt vách và nhiệt độ chất lỏng
ở ngoài vách, =

q
, [W/m2K] là hệ số toả nhiệt.
tW tf

1.3.3. Trao đổi nhiệt bức xạ
Trao đổi nhiệt bức xạ là hiện tợng trao đổi động năng giữa các phân tử
vật phát ra và vật thu bức xạ, thông qua môi trờng trung gian là sóng điện từ.
Ví dụ, mặt trời phát bức xạ, truyền trong không gian dới dạng sóng điện
từ, va đập và biến thành nhiệt nung nóng trái đất và các hành tinh khác.
Điều kiện để TĐN bức xạ xảy ra là có môi trờng ít hấp thu sóng điện từ
(nh chân không hoặc khí loãng ) giữa 2 vật có nhiệt độ khác nhau.
TĐN bức xạ không cần sự tiếp xúc các vật, có thể xảy ra trên khoảng cách
lớn, luôn có sự biến dạng năng lợng, cờng độ tăng mạnh theo nhiệt độ vật phát
bức xạ.
Phần minh hoạ và tóm tắt đặc điểm các phơng thức trao đổi nhiệt cơ bản
đợc giới thiệu tại bảng số 1.

4

Bảng 1. Tóm tắt đặc điểm các phơng thức TĐN.
P. thức
ý nghĩa

Minh
họa

Dẫn nhiệt
Toả nhiệt
TĐN bức xạ
TĐN giữa các vật đứng TĐN giữa các vật rắn với TĐN giữa vật phát với
yên tiếp xúc nhau
chất lỏng chảy qua nó
vật hấp thu sóng điện
từ
1

t1

2
> t2

Điều
t1 > t2
kiện cần có tiếp xúc trực tiếp các
vật, không chuyển động
cờng
độ

q = gradt

tW
1

t
q

1

2

2

tf

t W tf
có chất lỏng chuyển
động, tiếp xúc mặt vật
rắn
q = (tW - tf)

T1 > T2
có môi trờng truyền
sóng điện từ giữa vật
q T14

1.3.4. Trao đổi nhiệt phức hợp
Các vật hữu hạn trong thực tế thờng tiếp xúc với nhiều môi trờng khác

nhau, nên có thể đồng thời thực hiện nhiều phơng thức TĐN khác nhau.
Hiện tợng TĐN trong đó có hơn 1 phơng thức TĐN xảy ra đợc gọi là
TĐN phức hợp.
Ví dụ, vỏ ấm nhận nhiệt bằng đối lu và bức xạ từ ngọn lửa, và toả nhiệt
cho nớc bên trong.
Cờng độ TĐN phức hợp trên mỗi mặt sẽ đợc xác định nh là tổng cờng
độ các phơng thức thành phần.

5

CHƯƠNG 2

DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH
2.1. ĐỊNH LUẬT FOURIER VÀ HỆ SỐ DẪN NHIỆT
2.1.1. Thiết lập định luật Fourier về dẫn nhiệt
Định luật Fourier là định luật cơ bản của dẫn
nhiệt, nó xác lập quan hệ giữa 2 vectơ q và gr adt .
Để thiết lập định luật này ta sẽ tính nhiệt
lượng δ 2 Q dẫn qua mặt dS nằm giữa 2 lớp phân tử
khí có nhiệt độ T1 > T2, cách dS một đoạn x bằng
quảng đường tự do trung bình các phân tử, trong
Hình 2. Để tìm dòng nhiệt q

thời gian dτ , như hình H2.

Vì T1 và T2 sai khác bé, nên coi mật độ phân tử n0 và vận tốc trung bình ω
của các phân tử trong 2 lớp là như nhau , và bằng:
d 2n =

i
n 0 ωdSdτ
6

Lượng năng lượng qua dS từ T1 đến T2 là
d 2 E 1 = E 1d 2 n =

i
1
kT1 n 0 ωdSdτ và
2
6

d 2 E 2 = E 2d 2 n =

1
1
kT2 n 0 ωdSdτ ,
2
6

trong đó k =

Rµ
NA

=

8314
= 1,3806.10 − 23 J / K là hằng số Boltzmann, NA là số

6,02217

phân tử trong 1 kmol chất khí (số Avogadro), I là số bậc tự do cảu phân tử chất khí.
Trừ 2 đẳng thức cho nhau, sẽ thu được lượng nhiệt trao đổi qua dS, bằng:
δ 2 Q = ( E 1 − E 2 )d 2 n =

i
1
k (T1 − T2 ) n 0 ωdSdτ
2
6

⎛ ∂T ⎞
⎟2 x và
⎝ ∂x ⎠

Vì T1 − T2 = −⎜

6

Rµ 1 ⎛
i
i
µ ⎞⎛ i R µ
⎟⎜
n 0k = n 0
= ⎜⎜ n 0
6
6 N A 3 ⎝ N A ⎟⎠⎜⎝ 2 µ

⎞ 1
⎟⎟ = ρC v nên có:
⎠ 3

1
⎛1
⎞ ∂T
δ 2 Q = −⎜ ρC v ωx ⎟
dSdτ , ddawtj λ = ρC v ωx
3
⎝3
⎠ ∂x

thì có

δ2Q
∂T
= q x = −λ
.
δSsτ
∂x

Đây là dòng nhiệt theo phương x. Khi dS có vị trí bất kỳ, thì véctơ dòng nhiệt qua
⎛ ∂T
∂T
∂T ⎞
+ j
+ k ⎟⎟ = −λgr adT
dS là q = −λ⎜⎜ i

∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x

2.1.2. Phát biểu và hệ quả của định luật Fourier
Định luật Fourier phát biểu, rằng vectơ dòng nhiệt q tỷ lệ thuận với véc tơ
gradien nhiệt độ.
Biểu thức dạng vectơ là q = −λgr adt , dạng vô hướng là
q = −λgradt = −λt n (M) . Dấu (-) vì 2 vectơ ngược chiều nhau.

Nhờ định luật Fourier, khi biết trường nhiệt độ t(x, y, z,τ), có thể tính được
công suất nhiệt Q[W] dẫn qua mặt S [m2] theo công thức Q = ∫∫ S − λgradt.dS và tìm
được lượng nhiệt Qτ [J] dẫn qua S sau thời gian τ[s] theo công thức
τ

Qτ = ∫ 0

∫∫

S

− λgradtdSdτ , [J].

2.1.3. Hệ số dẫn nhiệt
Hệ số dẫn nhiệt là hệ số của định luật Fourier:
λ=

q
q
, [W/mK]

=
∂t
gradt
∂n

Vì λ tỷ lệ với q nên λ đặc trưng cho cường độ dẫn nhiệt của vật liệu.
Với chất khí, theo chứng minh trên, có
1
1⎛ p ⎞
8kT ⎛ kT ⎞ 2C v
⎜
⎟=
λ = ρC v ωx = ⎜
⎟C v
πm ⎜⎝ π 2d 2 p ⎟⎠ 3Rd 2
3
3 ⎝ RT ⎠

k 2T
π3 m

7

Hệ số dẫn nhiệt λ của khí lý tưởng không phụ thuộc vào áp suất p, λ tăng khi
tăng nhiệt độ hoặc tăng CV, và λ giảm khi tăng hằng số chất khí, R =

Rµ
µ

, tăng

đường kính d hoặc tăng khối lượng m của phân tử chất khí.
Với các vật liệu khác λ tăng theo nhiệt độ, được xác định bằng thực nghiệm
và cho ở bảng hoặc công thức thực nghiệm trong các tài liệu tham khảo. Ví dụ, trị
trung bình của hệ số λ của một số vật liệu thường gặp được nêu tại bảng 2.
Vật liệu

λ[W/mK]

Vật liệu

λ[W/mK]

Bạc

419

Thuỷ tinh

0,74

Đồng

390

Gạch khô

0,70

Vàng

313

Nhựa PVC

0,13

Nhôm

209

Bông thuỷ tinh

0,055

Thép Cacbon

45

Polyurethan

0,035

Yhép CrNi

17

Không khí

0,026

Bảng 2. Hệ số dẫn nhiệt trung bình của các vật liệu thường dùng
2.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT
2.2.1. Nội dung và ý nghĩa của PTVPDN
PTVPDN là phương trình cân bằng nhiệt
cho 1 vi phân thể tích dV nằm hoàn toàn bên
trong vật V dẫn nhiệt.
PTVPDN là phương trình cơ bản để tìm
trường nhiệt độ t(M, τ) trong V, bằng cách tính
phương trình này.
2.2.2. Thiếtt lập PTVPDN
Xét cân bằng nhiệt cho vi phân thể tích dV Hình 3. Cân bằng nhiệt cho dV
bao quanh điểm M(x,y,z) bất kỳ bên trong vật V,
có khối lượng riêng ρ, nhiệt dung riêng Cp, hệ số dẫn nhiệt λ, công suất sinh nhiệt qv
, dòng nhiệt qua M là q .

8

nh lut bo ton nng lng cho dV phỏt biu rng:
[ tng enthalpy ca dV] = [hiu s nhit lng (vo - ra)dV]+ [lng nhit sinh ra
trong dV].
Trong thi gian 1 giõy, phng trỡnh ny cú dng :
dVC p

t
= divq.dV + q v dV hay

t
1
=
(q v divq )
C p

Theo nh lut Fourier q = gr adt , khi = const ta cú
t t t
divq = div(gr adt ) = + + = 2 t
x x y y z z

2t 2t 2t
2 + 2 + 2 (Trong taỷo õọỹ vuọng goùc (xyz))
z
y
x2
2t
2t
t 1 t
2
vi t = 2 +
Trong toaỷ õọỹ truỷ (r, , z)
+
+
r r r 2 2 z 2
r2
cos t
2t
2t
t 2 t

+
+
+
+
r 2 r r r 2 2 r 2 sin r 2 sin 2 2 , trong toaỷ õọỹ cỏửu (r, , )

gi l toỏn t Laplace ca hm t(M)
PTVPDN l phng trỡnh kt hp 2 nh lut núi trờn, cú dng:
t
qv

q

[m2/s] gi l h s khuch
=
+ 2 t = a v + 2 t , vi a =

C p

C

p

tỏn nhit, c trng cho mc tiờu tỏn nhit trong vt.
2.2.3. Cỏc dng c bit ca PTVPDN

Phung trỡnh VPDN tng quỏt

[

]

1
T
=
q V div(gr adt ) s cú dng n
c P

gin hn, khi cn ỏp ng cỏc iu kin c bit sau õy:
1) Vt V khụng cú ngun nhit, qv = 0, thỡ
2) Vi = const, M(x,y,z) V, thỡ

(

1
t
=
div gr adt
C p

)

t
= a 2 t

9

3) Nếu nhiệt độ ổn định trong V,

∂t
= 0 ∀M∈V, thì ∇ 2 t = 0
∂τ

4) Khi trường t(M) là ổn định 1 chiều thì :
t(x) trong toạ độ vuông góc tìm theo
t(r) trong toạ độ trụ tìm theo
t(r) trong tạo độ cầu tìm theo

d2t
=0
dx 2

d 2 t 1 dt
+
=0
dr 2 r dr
d 2 t 2 dt
+
=0
dr 2 r dr

2.3. CÁC ĐIỀU KIỆN ĐƠN TRỊ
Phương trình vi phân dẫn nhiệt là phương trình đạo hàm riêng cấp 2, chứa ẩn
là hàm phân bố nhiệt độ t(x,y,z,τ). Nghiệm tổng quát thu được bằng cách tích phân

phương trình này luôn chứa một số hằng số tuỳ ý chọn. Để xác định duy nhất
nghiệm riêng của PTVPDN, cần cho trước một số điều kiện, được gọi chung là các
điều kiện đơn trị. Điều kiện đơn trị là tập hợp các điều kiện cho trước , đủ để xác
định duy nhất nghiệm của một hệ phương trình.
2.3.1. Phân loại các điều kiện đơn trị
Theo nội dung, các điều kiện đơn trị được phân ra 4 loại sau
1) Điều kiện hình học: Cho biết mọi thông số hình học đủ để xác định hình
dạng, kích thước vị trí của hệ vật V.
2) Điều kiện vật lý: Cho biết luật xác định các thông số vật lý tại mọi điểm M
∈V, tức là cho biết (ρ, λ, a, qv, …)= f(M∈V, t).
3) Điều kiện đầu: Cho biết luật phân bố nhiệt độ tại thời điểm đầu τ = 0 tại
mọi điểm M∈V, tức là cho biết t(M ∈ V, τ = 0) = t(x, y, z).
4) Điều kiện biên: cho biết luật phân bố nhiệt độ hoặc luật cân bằng nhiệt tại
mọi điểm M trên biên W của vật V tại mọi thời điểm khảo sát. Nếu ký hiệu dòng
nhiệt dẫn trong vật V đến M ∈ W là q λ = −λ

∂t
= −λt n (M) thì mô tả toán học của
∂n

các điều kiện biên có dạng:

10

t w = t (M, τ) hoàûc⎫ ∀M ∈ W ∈ V
⎬
q λ = −λt n (M ) = q (M, τ, t (M ))⎭ ∀τ ∈ ∆τ xeït.

Điều kiện hình học, điều kiện vật lý và điều kiện biên cần phải cho trước

trong mọi bài toán. Riêng điều kiện đầu chỉ cần cho trong bài toán không ổn định, có
chứa biến thời gian τ.
2.3.2. Các loại điều kiện biên.
Trên các biên Wi của vật V, tuỳ theo phương thức trao đổi nhiệt với các môi
trường mà V tiếp xúc, người ta có thể cho trước 7 loại điều kiện biên khác nhau.
Bảng 3 sau đây sẽ tóm tắt ý nghĩa vật lý và toán học, minh hoạ hình học và các
trường hợp đặc biệt của 7 loại điều kiện biên quanh vật V bất kỳ.
Bảng 3. Các loại điều kiện biên.
Loại
ĐKB

Ý nghĩa vật lý
hay thông số
cho trước

Mô tả toán học

mô tả hình học hay

Trường hợp

hay pt CBN

đồ thị (t-x)

đặc biệt

tw1 = tf khi W1

Cho nhiệt độ

1

tW1 tại

tw1 = t(M1, τ)

∀M1∈W1∈V

tiếp xúc chất
lỏng có α lớn

q = const
Cho dòng
2

nhiệt q qua
∀M2 ∈W2∈V

↔γ=const
-λtn(M2) = q(M2,

q=0 ↔W2 là

τ)

mặt đối xứng
hoặc cách
nhiệt

11

α = 0 ↔ W3 là
cách nhiệt

Cho mặt W3
toả nhiệt ra
3 chất lỏng nhiệt
độ tf với hệ số

hoặc đối xứng
-λtn(M3)=

α = ∞ ↔t(M3)

α(t(M3),tf)

=tf W3 biến
thành W1. Khi

α

(λ,α,tf) = const
↔ R cố định

Cho W4 tiếp
4

xúc vật V2

đứng yên, có

t2 = const↔W4
− λt n ( M 4 ) = -

biến thành W1

λ2t2n(M4)

(λ1, λ2
)=const↔gó c

λ2 , t2

Cho W5 hoá
5

γ=const
− λt n ( M 5 ) =

rắn từ pha

∂x 5
ρ
r
− λ f t fn (M 5 )
c
lỏng có thông
∂τ

số (ρ, rc, λf, tf)

W5 di động với
tốc độ hoá rắn
bằng

∂x 5
∂τ

Mặt bao chân
cho W6 tiếp
6

xúc chân
không

không có nhiệt
-λTn(M6)=

độ Tc. –

εδ0T4(M6)

λTn(M6) =
εδ0[T2(M6)Tc2]

12

Cho W7 tip

xỳc cht khớ

7

cú thụng s
(Tk, )

Quy ra trao i
-Tn(M7)=

nhit phc hp

[T(M7)- Tk]+

-Tn(M7)=ph

0[T4(M7) - T4k ]

[t(M7)- Tk]

Mụ t toỏn hc cho mi loi iu kin biờn l phng trỡnh cõn bng cỏc dũng nhit
ra vo im M bt k trờn biờn. Phng trỡnh mụ t cỏc iu kin biờn loi 2, 3, 4, 5
l cỏc phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh cp 1 i vi t v tn . Phng trỡnh mụ t iu
kin biờn loi 6 v 7 l nhng phng trỡnh phi tuyn, cha T4 cha bit.
2.3.3. Mụ hỡnh bi toỏn dn nhit
dng tng quỏt, bi toỏn dn nhit cú th
c mụ t bi h phng trỡnh vi phõn (t) gm
phng trỡnh vi phõn dn nhit v cỏc phng trỡnh
mụ t cỏc iu kin n tr nh ó nờu ti mc 2.3.,
cú dng

t
2 qv
= a t + , M V

Mióửn xaùc õởnh vaỡ thọng sọỳ vỏỷt lyù cuớa M V
t = t (M , ), M W
1
1
1
W1
t n (M 2 ) = q(M 2 , ), M 2 W2

t n (M 3 ) = [ t (M 3 ) t f ], M 3 W3

Hỡnh 4. Mụ hỡnh tng quỏt
t n (M 4 ) = 2 t n 2 (M 4 ), M 4 W4
bi toỏn dn nhit t(x,y,z,)
dx 5

t n (M 5 ) = n t n (M 5 ) + rc d , M 5 W5

4
t n (M 6 ) = 0 T (M 6 ), M 6 W6
t n (M 7 ) = [ t (M 7 ) t k ] + 0 [T 4 (M 7 ) Tk4 ], M 7 W7

Gii bi toỏn dn nhit l tỡm hm phõn b nhit t(M(x,y,z),) tho món
mi phng trỡnh ca h (t) núi trờn. Vic ny gm cú 2 bc chớnh l tớch phõn
phng trỡnh vi phõn dn nhit tỡm nghim tng quỏt, sau ú xỏc nh cỏc hng

s theo cỏc phng trỡnh mụ t cỏc iu kin n tr.

13

2.4. DẪN NHIỆT QUA VÁCH PHẲNG
Dẫn nhiệt ổn định qua vách phẳng là bài toán đơn giản nhất của truyền nhiệt.
Tuỳ theo kết cấu vách và điều kiện biên, bài toán dãn nhiệt sẽ được phân ra các loại
sau đây.
2.4.1. Vách phẳng 1 lớp có 2 biên loại 3
2.4.1.1. Phát biểu bài toán
Cho 1 vách phẳng dày δ rộng vô hạn,
làm bằng vật liệu đồng chất có hệ số dẫn nhiệt
λ không đổi, 2 mặt bên tiếp xúc với 2 chất
lỏng có nhiệt độ khác nhau tf1 > tf2 , với hệ số
toả nhiệt vào ra vách là α1, α2.
Tìm phân bố nhiệt độ t(x) trong vách

Hình 6. Trường t(x) trong vách
phẳng có 2W3

và dòng nhiệt q(x) qua vách.
Theo toán học, phát biểu trên tương đương với việc tìm hàm t(x), ∀x∈[0,δ ]
như là nghiệm của hệ phương trình (t) sau đây.
⎧ d2t
⎪ 2 =0
⎪ dx
(t) ⎨α1 [ t f 1 − t (0)] = −λt x (0)
⎪− λ t (δ) = α [ t ( δ) − t ]
x

2
f2
⎪
⎩

(1)
( 2)
(3)

2.4.1.2. Tìm phân bố nhiệt độ t(x).
1) Tìm nghiệm tổng quát bằng cách tích phân phương trình (1), ta có :
t ( x ) = ∫∫ dx 2 = C1 x + C 2

2) Xác định C1 , C2 theo 2 điều kiện biên (2) và (3)
− (t f 1 − t f 2 )
⎧
, [ K / m]
⎪C1 = λ
λ
α 1 [ t f 1 − C 2 ] = − λ C1 ⎫ ⎪
+δ+
α1
α2
⎬⇒⎨
− λC1 = α 2 [C1δ + C 2 − t f 2 ]⎭ ⎪
λ
C1 , [ K ]
⎪C 2 = t f 1 +
α2
⎩

14

Phân bố nhiệt độ trong vách là t(x)= tf1 -

t f1 − t f 2

λ
λ
+δ+
α1
α2

(x +

λ
)
α1

Bằng cách thay x bằng 0 hoặc δ, ta dễ dàng tìm được nhiệt độ tại 2 mặt vách.
Đồ thị t(x) là mmột đoạn thẳng đi qua 2 điểm định hướng R1(-λ/α1, tf1) và R1(δ +
λ/α2, tf2) như hình H
2.4.1.3. Tìm dòng nhiệt q(x): theo định luật Fourier có
q(x) = -λgradt(x) = -λC1 = const, ∀x hay q =

Nếu gọi R =
q=

t f1 − t f 2

, [W/m2]
1 δ 1
+ +
α1 λ α 2

1 δ 1
+ +
, [m2K/W], là nhiệt trở dẫn nhiệt của vách phẳng, thì có
α1 λ α 2

V − V2
t f 1 −t f 2
, tương tự như công thức tính dòng điện I = 1
.
R
Rđ

2.4.2. Vách phẳng có biên loại 1.

Biên loại 1 là trường hợp đặc biệt của biên loại 3, khi mặt vách tiếp xúc với
một chất lỏng thực có hệ số toả nhiệt α rất lớn. Theo phương trình cân bằng nhiệt
cho biên loại 3, α(tw-tf) = -λtn ,vì qλ = -λtn là hữu hạn,nên khi α → ∞ thì (tw-tf) → 0,
tức là tW = tf. khi đó chỉ cần thay tw = tf và 1/α =0 vào các kết quả nêu trên, ta có thể
tìm t(x) và q(x) cho bài toán biên loại 1.
Ví dụ: bài toán biên hỗn hợp (W1 + W3) và bài toán 2 biên W1 có lời giải như sau:
t W1 − t f 2
⎧
⎪t(x) = t W1 −
λ
δ+

⎪
⎪
α2
1) Khi α1 = ∞ thç ⎨
t W1 − t f 2
⎪
q=
δ 1
⎪
+
⎪
λ α2
⎩
t W1 − t f 2
⎧
t(x)
t
x
=
−
W1
⎪
δ
⎪
t −t
2) Khi α1 = α 2 = ∞ thç ⎨
q = W1 f 2
⎪
δ
⎪

λ
⎩

15

2.4.3. Vách có λ thay đổi theo nhiệt độ

Phương trình cân bằng nhiệt trong vách có λ(t) phụ thuộc t sẽ có dạng
q ( x ) = −λ ( t )

dt
. Khi đó , có thể tìm t(x) theo phương trình tích phân
dx

∫ λ(t )dt = −∫ q(x )dx
Khi cho phép tính gần đúng, cố thể dùng các công thức tính t và q nêu trên,
trong đó coi λ là một hằng số, bằng trị trung bình tích phân trong khoảng nhiệt độ
t2

[t1, t2] của vách, là λ =

1
λ( t )dt
t 2 − t 1 ∫t1

Ví dụ, khi λ(t) có dạng bậc 1 và 2 thì
t2

t +t

1
(a + bt )dt = a + b 1 2
λ=
∫
t 2 − t 1 t1
2
t2
t1 + t 2
t 12 + t 1 t 2 + t 22
1
2
(
a
bt
ct
)
dt
a
b
c
λ=
+
+
=
+
+
t 2 − t 1 ∫t1
2
3

2.4.4. Vách phẳng n lớp
2.4.4.1. Phát biểu bài toán

Cho vách phẳng n lớp, mỗi
lớp i có δi , λi không đổi, hai mặt
ngoài tiếp xúc chất lỏng nóng có tf1,
α1 và chất lỏng lạnh có tf2, α2 không
đổi. Tìm dòng nhiệt q qua vách,
nhiệt độ các mặt tiếp xúc ti và phân
bố nhiệt độ ti(x) trong mỗi lớp.

Hình 7. Vách phẳng n lớp

2.4.4.2. Xác định q, ti, và ti(x).

Khi ổn định, dòng nhiệt q qua các lớp là bất biến, do đó có hệ phương trình:
q= α1(tf1 – t0) =

t i − t i +1
, (∀i = 1 ÷ n ) = α( t n − t f 2 )
δi / λ i

16

Đây là hệ (n+2) phương trình bậc 1 của ấnố q và (n+1) ẩn số ti,
∀i=1÷n.
Bằng cách khử các ti sẽ tìm được q, sau đó tính ti và xác định
ti(x) như vách 1 lớp với 2 biên loại 1, ta có:
δi

q
⎧
t
t
,
t
t
q, ∀i = (n − 1) ÷ 0
=
+
=
+
+
n
f
2
i
i
1
⎪
λi
α2
⎪
t f1 − t f 2
⎪
, [W/m 2 ]
⎨q = 1
n
δ
i

1
⎪
+∑ +
α1 i =1 λ i α 2
⎪
⎪
⎩t i ( x ) = t i − ( t i − t i +1 ) x / δ i , ∀i = 1 ÷ n

Phân bố nhiệt độ trong vách phẳng nhiều lớp có dạng các đoạn thẳng gãy
khúc, giống như biên loại 4
Khi vách có biên loại 1 hoặc λ phụ thuộc t, có thể thay tw = tf, 1/α = 0 hoặc
λ = λ = const vào các công thức trên.

2.5. DẨN NHIỆT QUA VÁCH TRỤ VÀ VÁCH CẦU
2.5.1. Vách trụ 1 lớp có 2 biên w3
2.5.1.1. Phát biểu bài toán

Cho một ống trụ đồng chất dài vô cùng,
bán kính r2/r1, hệ số dẫn nhiệt λ không đổi, mặt
r1 tiếp xúc chất lỏng nóng có tf1, α1 , mặt r2
tiếp xúc chất lỏng nguội hơn có tf2, α2 . Tìm
phân bố nhiệt độ t(r) trong vách và lượng
nhiệt qua vách.
Mô tả hình học trong toạ độ trụ có dạng Hình 8. Trường t(r) trong ống trụ có
như Hình 8

2W3

Phát biểu toán học của bài này là giải hệ phương trình sau:

17

⎧ d 2 t 1 dt
=0
(1)
⎪ 2 +
r dr
⎪ dr
( t )⎨α 1 [ t f 1 − t (r1 )] = −λt r (r1 ) (2)
⎪− λt (r ) = α [ t (r ) − t ] (3)
r 2
2
2
f2
⎪
⎩

2.5.1. Tìm trường nhiệt độ t(r)

1) Tích phân phương trình (1) theo các bước sau:
Đổi biến u =

rdu + udr d(ur )
du u
dt
→ Phương trình (1) có dạng
=
=0 →
+ = 0→

rdr
rdr
dr r
dr

d(ur)=0→ur=C1→ u =

C1 dt
dr
=
→ t (r ) = ∫ C1 = C1 ln r + C 2
r
r
dr

2) Xác định C1, C2 theo hệ phương trình (2), (3):
− (t f 1 − t f 2 )
⎧
C 1 ⎫ ⎪ C1 =
, [K ]
α1 [ t f 1 − C1 ln r1 − C 2 ] = −λ
r2
λ
λ
⎪
+ ln +
r1 ⎪ ⎪
⇒⎨
α
r1 α 2 r2

r
⎬
1
1
C1
⎪
⎪
−λ
= α 2 [C1 ln r2 + C 2 − t f 2 ]
λ
− ln r1 ), [K ]
⎪⎭ ⎪C 2 = t f 1 + C1 (
r2
α1 r1
⎩

Phân bố nhiệt độ trong ống trụ là
t (r ) = t f 1 −

t f1 − t f 2
r
λ
λ
+ ln 2 +
r1 α 2 r2
α 1 r1

⎛ r
λ ⎞
⎟⎟

⎜⎜ ln +
r
r
α
1 1 ⎠
⎝ 1

Đồ thị t(r) có dạng logarit, tiếp tuyến tại r1 qua điểm R1(r1-λ/α1, tf1), tiếp tuyến
tại r2 qua điểm R2(r2+λ/α2, tf2).
2.5.1.3. Tính nhiệt qua vách trụ

1. Dòng nhiệt qua 1m2 mặt trụ đẳng nhiệt bán kính r là
q(r) = -λtr(r) = -λC1/r , [W/m2]
q(r) là hàm giảm khi r tăng, không đặc trưng cho vách trụ.
2) Lượng nhiệt truyền qua 1 m dài ống trụ, ký hiệu q l , định nghĩa là:
ql

=

ql =

lượng nhiệt qua mặt trụ bán kính r dài l / chiều dài l , [W/m]
C
q (r ).2πrl
= −λ 1 .2πr = 2πλC1 = const , ∀r
l
r

Thay C1bởigiá trị trên, sẽ thu được:
18

ql =

t f1 − t f 2
, [W/m].
r2
1
1
1
+
ln +
2πr1α1 2πλ r1 2πr2 α 2

Vì q l = const, ∀r, nên q l đ ược dùng để đặc trưng cho dẫn nhiệt qua vách trụ.
d
1
1
1
Đại lượng R =
+
ln 2 +
l πd α 2πλ d
πd 2 α 2
1 1
1

, [mK / W ] được gọi là nhiệt trở dẫn

nhiệt của 1m ống trụ.

2.5.2. Vách trụ có biên hỗn hợp

Khi α→∞ thì thay tw = tf và 1/α = 0 vào trên để có lời giải cho bài toán vách
trụ 2 biên hỗn hợp (W1+ W3) hoăck 2 biên W1 như sau:

1) Khi α1 = ∞ thì

t w1 − t f 2
r
⎧
ln
⎪ t ( r ) = t w1 − r
λ
r1
ln 2 +
⎪
r1 α 2 r2
⎪
⎨
t w1 − t f 2
⎪q l =
r2
1
1
⎪
+
ln
⎪
2πλ r1 2πr2 α 2
⎩

t w1 − t W 2 r
⎧
=
−
ln
t
(
r
)
t
w
1
⎪
r2
r1
ln
⎪
⎪
r1
2) Khi α1 = α1 = ∞ thì ⎨
t −t
⎪q l = w1 f 2
r2
1
⎪
ln
⎪
2πλ r1
⎩

2.5.3. Vách trụ n lớp
2.5.3.1. Phát biểu bài toán

Cho ống trụ n lớp, mỗi lớp i có ri / ri+1 và λi
không đổi, mặt r0 tiếp xúc với chất lỏng nóng
có tf1, α1, mặt rn tiếp xức với chất lỏng lạnh có
tf2, α2 kh ông đổi
Tìm lượng nhiệt q l , nhiệt độ ti tại các

Hình 9. Trường t(r) trong ống trụ n
lớ

19

mặt và phân bố ti(n) trong mỗi lớp i, ∀i = 1 ÷ n
2.5.3.2. Xác định q l , ti và ti(r)

Khi ổn định, phương trình cân bằng nhiệt cho 1m ống trụ là :
q l = α1[tf1 – t0]2πr1 =

t i − t i +1
, (∀i = 1 ÷ n ) = α 2 ( t n − t f 2 )2πrn
ri +1
1
ln
2πλ i
ri

Đây là hệ (n+2) phương trình bậc 1 của 1 ẩn q l và (n+1) ẩn ti.
Bằng cách khử các ti để tính q l , sau đó tìm ti theo q l và xác định ti(r) như
vách có 2W1, sẽ thu được:
⎧
t f1 − t f 2
ql =
⎪
n
r
1
1
1
⎪
+∑
ln i +1 +
2πr1α1 i =1 2πλ i
ri 2πrn α 2
⎪
⎪
ql
q
r
; t i = t i −1 − l ln i , ∀i = 1 ÷ n
⎨t 0 = t f 1 −
2πr1α1
2πλ i ri −1
⎪
−
t
t

r
⎪
i
i +1
=
−
ln
, ∀i = 1 ÷ n
t
(
r
)
t
i
i
⎪
ri +1
ri
ln
⎪
ri
⎩

2.5.4. Dẫn nhiệt qua vách cầu
2.5.4.1. Phát biểu bài toán

Cho vách cầu đồng chất, bán kính r2/r1 có
hệ số dẫn nhiệt λ không đổi, mặt r1 tiếp xúc
chất lỏng nóng có tf1, α1 mặt r2 tiếp xúc chất
lỏng lạnh có tf2, α2 không đổi.

Tìm phân bố nhiệt độ t(r) và lượng
nhiệt Q qua vách.
Trong toạ độ cầu, trường t(r) được xác định
bởi hệ phương trình (t) sau:
Hình 10. Phân bố t(r) trong vách cầu

20

⎧ d 2 t 2 dt
(1)
=0
⎪ 2 +
r dr
⎪ dr
( t )⎨α 1 [ t f 1 − t (r1 )] = −λt r (r1 ) (2)
⎪− λt (r ) = α [ t (r − t )] (3)
r 2
2
2
f2
⎪
⎩

2.5.4.2. Tìm phân bố t(r)

1) Tìm nghiệm tổng quát theo các bước: Đổi biến u =
dạng :
u=

dt
→ phương trình (1) có
dr

du
u
du
dr
+2 =0→
+ 2 = 0 → tích phân lần 1 có lnu + 2lnr = ln(ur2) =lnC1 →
dr
u
r
r

C1 dt
= → tích phân lần 2 có : t(x) =
r 2 dr

C1

∫r

2

dr = −

C1
+ C2
r

2) Tìm C1, C2 theo 2 điều kiện biên (2) và (3):
t f1 − t f 2
⎧
[Km]
⎛
⎞
C1
C1 ⎫ ⎪C1 =
⎛ 1
α 1 ⎜⎜ t f 1 +
− C 2 ⎟⎟ = −λ 2 ⎪ ⎪
1 ⎞ ⎛1 1⎞
⎟ + ⎜⎜ − ⎟⎟
λ⎜⎜
+
r1
r1 ⎪ ⎪
2
2 ⎟
⎝
⎠
r
α
α
r
⎬⇒⎨
2 2 ⎠
⎝ 11
⎝ r1 r2 ⎠

⎛ C1
⎞⎪ ⎪
C1
⎛ λ
− λ 2 = α 2 ⎜⎜ −
+ C 2 − t f 2 ⎟⎟
1⎞
⎜
⎪
⎪
+
C
=
t
−
C
[K ]
r2
r
2
f
1
1
⎝ 1
⎠⎭ ⎪
⎜ α r 2 r ⎟⎟
1 ⎠
⎝ 11
⎩

Phân bố nhiệt độ trong vách cầu là
t (r ) = t f 1 −

⎛1
t f1 − t f 2
1
1⎞
⎜⎜ +
+ ⎟⎟
2
⎛ 1 1 ⎞ r α 1 r1 r1 ⎠
1
λ
+
+ ⎜⎜ + ⎟⎟ ⎝
2
2
α 1 r1 α 2 r2 ⎝ r1 r2 ⎠
⎛

λ

⎞

⎝

1

⎠

Đồ thị t(r) là đường hyperbol có tiếp tuyến tại biên qua 2 điểm R 1 ⎜⎜ r1 − , t f 1 ⎟⎟
α
⎛
⎞
λ
, t f 2 ⎟⎟
và R 2 ⎜⎜ r2 +
α2
⎝
⎠
2.5.4.3. Tính công suất nhiệt Q truyền qua vỏ cầu

Q = q(r).π(2r2)=- λ

C1
4πr2 = -4πλC1 = const, ∀r
2
r

Thay C1 bởi giá trị nêu trên, ta có:

21

Q=

t f1 − t f 2
, [W]
1 ⎛ 1
1 ⎞

1 ⎛1 1⎞
⎜ − ⎟
⎜
⎟+
+
4π ⎜⎝ α 1 r12 α 2 r22 ⎟⎠ 4πλ ⎜⎝ r1 r2 ⎟⎠

Khi vách cầu có 2 biên loại W1 thì Q =

t W1 − t W2
,[W ]
1 ⎛1 1⎞
⎜ − ⎟
4πλ ⎜⎝ r1 r2 ⎟⎠

Khi vách cầu có n lớp với 2 biên W3, sau khi giải hệ phương trình
Q = α 1 ( t f 1 − t f 0 )4πr02 =

( t i − t i +1 )4πλ i
, (∀i = 1 ÷ n ) = α 2 ( t n − t f 2 )4π
1
1
+
ri ri +1

sẽ tìm được:
Q=

t f1 − t f 2
1 ⎛ 1

1 ⎞ n 1
⎜⎜
⎟+∑
+
4π ⎝ α 1 r12 α 2 r22 ⎟⎠ i =1 4πλ i

⎛1
1 ⎞
⎜⎜ −
⎟⎟
r
r
i +1 ⎠
⎝ i

,[w ]

Nhiệt độ các mặt ti và trường ti(r) trong các lớp được xác định như trên.
2.6.DẪN NHIỆT QUA THANH HOẶC CÁNH CÓ TIẾT DIỆN KHÔNG ĐỔI.

Để tăng cường truyền nhiệt, người ta thường gẵn các cánh lên mặt tỏa nhiệt.
Nhiệt qua gốc cánh được dẫn qua chiều dài x của cánh, rồi toả ra mặt xung quanh,
làm tăng lượng nhiệt truyền qua gốc. Nhiệt độ trong cánh t(x) giảm dần theo chiều
dài x, còn tại mỗi tiết diện nhiệt độ được coi là phân bố đều.
2.6.1. Phát biểu bài toán

Chô một thanh trụ hoặc cánh dài l, tiết
diện f = const có chu vi la U, mặt xung quanh
tỏa nhiệt ra chất lỏng nhiệt độ tf với hệ số tỏa
nhiệt α; nhiệt độ trên mỗi tiết diện được coi là

phân bố đều, tại gốc là t0 > tf , mặt x = l tỏa
nhiệt ra cùng chất lỏng nhiệt độ tf với hệ số
tỏa nhiệt α2.
Tìm phân bố nhiệt độ t(x) trong cánh
Hình 11. Bài toán t(x) trong thanh trụ và cánh
phẳng có tiết diện không đổi
22

và lượng nhiệt Q0 qua gốc cánh.
2.6.2. Lập phương trình cân bằng nhiệt tìm t(x)
2.6.2.1. Lập phương trình cân bằng nhiệt tìm t(x)

Vì nhiệt độ bên trong thanh đồng nhất với nhiệt độ biên W3 tức không có
điểm trong, nên phương trình t τ = a∇ 2t cần được thay bằng phương trình cân bằng
nhiệt cho phân tố thay dV = fdx, khi ổn định có dạng:
Hiệu các lượng nhiệt dẫn (vào – ra) dV = nhiệt tỏa ra mặt Udx
Nếu gọi θ(x) = t(x) − t f thì phương trình trên có dạng:
−λ

dθ
d ⎛
dθ ⎞
f + λ ⎜ θ + ⎟f = αθUdx
dx
dx ⎝
dx ⎠

αU
d 2θ

Suy ra λf 2 − αUθ = 0 . Đặt m =
, [m −1 ]
λf
dx
d 2θ
− m 2θ = 0 (1)
Thì phương trình cân bằng nhiệt để tìm θ(x) là
2
dx

Nghiệm tổng quát của (1) là θ(x) = C1.e mx + C 2 .e − mx
2.6.2.2 Tìm θ(x) và Q0 cho thanh dài hữu hạn

1)Các hằng số C1, C2 sẽ được tìm theo các điều kiện biên W1 tại x=0 và W3
tại x=l
⎧θ(0) = C1 + C 2 = t 0 + t f = θ0
⎨
− ml
− ml
ml
ml
⎩−λθ x (l) = α 2θ(l) → −λ (m.C1.e − m.C2 .e ) = α 2 (C1.e + C 2 .e )

Giải hệ phương trình bậc nhất tìm được C1,C2 rồi thay vào nghiệm tổng quát
và đưa về dạng hàm hyperbol shx = (ex + ex)/2 và chx = (ex + ex)/2, thx = shx/chx,
sẽ thu được
θ(x) = θ0

α2
sh [ m(l − x) ]

m.λ
α
ch(ml) + 2 .sh(ml)
m.λ

ch [ m(l − x) ] +

Trong tính toán kỹ thuật,khi f<

giao trinh ky thuat nhiet

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về