CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN

Bài giảng sức bèn vật liệu

Chương 8

CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN
I.KHÁI NIỆM CHUNG
Khi tính một dầm chịu uốn ngang phẳng, ngoài điều kiện bền còn phải chú ý đến
điều kiện cứng.Vì vậy, cần phải xét đến biến dạng của dầm.Dưới tác dụng của các
ngoại lực, trục dầm bị uốn cong, trục cong nầy được gọi là đường đàn hồi của dầm
(H.8.1).

P

P
z


Đường đàn hồi

K

K
’

z



v
P

K
K
’

Đường đàn hồi

P



z

u

v y(z)

y
y

H.8.1

H.8.2


01

V(z)
02



u

Xét một điểm K nào đó trên trục dầm trước khi biến dạng.Sau khi biến dạng, điểm K
sẽ di chuyển đến vị trí mới K/. Khoảng cách KK’được gọi là chuyển vị thẳng của điểm
K. Chuyển vị nầy có thể phân làm hai thành phần:
Thành phần (v) vuông góc với trục dầm (song song với trục y) gọi là chuyển vị đứng
hay độ võng của điểm K.
Thành phần (u) song song với trục dầm (trục z) gọi là chuyển vị ngang của điểm K.
Ngoài ra, sau khi trục dầm biến dạng, mặt cắt ngang ở K bị xoay đi một góc, ta gọi là
chuyển vị góc (hay là góc xoay) của mặt cắt ngang ở điểm K.Tại K/ vẽ tiếp tuyến với
đường đàn hồi và hợp với trục chưa biến dạng của dầm một góc  ta dễ thấy  là góc
xoay của mặt cắt ngang.
Ba đại lượng u, v,  là ba thành phần chuyển vị của mặt cắt ngang ở điểm K.
Trong điều kiện biến dạng của dầm là bé thì thành phần chuyển vị ngang u là
một đại lượng vô cùng bé bậc hai so với v, do đó có thể bỏ qua chuyển vị u và xem
KK’ là bằng v, nghĩa là vị trí K’ sau khi biến dạng nằm trên đường vuông góc với trục
Chương 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 1

GV: Lê đức thanh


Bài giảng sức bèn vật liệu

dầm trước biến dạng (H.8.2).
Góc xoay  có thể lấy gần đúng:   tg 

dv
.
dz

Nếu chọn trục dầm là z, và trục y vuông góc với trục dầm, thì chuyển vị v chính là tung
độ y của điểm K’.Tung độ y cũng chính là độ võng của điểm K. Ta thấy rõ nếu K có
hòanh độ z so với gốc nào đó thì các chuyển vị y,  cũng là những hàm số của z và
phương trình đàn hồi là:
y(z) = v(z)
Phương trình của góc xoay sẽ là:
dv dy
 z  

 y' z 
dz dz
Phương trình của góc xoay là đạo hàm của phương trình đường đàn hồi.
Quy ước của chuyển vị:
- Độ võng y dương nếu hướng xuống.
- Góc xoay  dương nếu mặt cắt quay thuận chiều kim đồng hồ.
Điều kiện cứng: Trong kỹ thuật, khi tính tốn dầm chịu uốn, người ta thường khống
chế độ võng lớn nhất của dầm không được vượt qua một giới hạn nhất định để đảm bảo
yêu cầu về sự làm việc, mỹ quan của công trình..., điều kiện nầy được gọi là điều kiện
cứng. Nếu gọi f /L độ võng lớn nhất của dầm thì điều kiện cứng thường chọn là:
1
1
f
 L   300  1000
 

trong đó : L - là chiều di nhịp dầm.
Tùy loại công trình mà người ta quy định cụ thể trị số của  f L .
II. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI
Xét 1 điểm bất kỳ K trên trục dầm. Trong chương 7 (công thức7.1) ta đã lập được
mối liên hệ giữa độ cong của trục dầm tại K sau biến dạng với mômen uốn nội lực Mx

tại K là:
1 Mx

(a)
 EI x
Mặt khác, vì đường đàn hồi được biểu diễn bởi phương trình hàm số y(z) trong hệ
trục (y0z) nên độ cong của đồ thị biểu diễn của hàm số ở 1 điểm K có hoành độ z được
tính theo công thức:
1



(a) va (b) 



y

1  y 
2

y

1  y' 
2

Chương 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 2

3
2



(b)

3
2

Mx
EIx

(c)

GV: Lê đức thanh


Bài giảng sức bèn vật liệu

Đó là phương trình vi phân tổng quát của đường đàn hồi, tuy nhiên phải chọn sao cho
hai vế của phương trình trên đều thỏa mãn.
Khảo sát một đoạn dầm bị uốn
cong trong hai trường hợp như
H.8.3. Trong cả 2 trường hợp
mômen uốn Mx và đạo hàm bậc hai
y” luôn luôn trái dấu, cho nên
phương trình vi phân của đường
đàn hồi có dạng:

z
Mx

z

Mx
Mx

Mx > 0
y” < 0

y

y

Mx

Mx < 0
y” > 0

H.8. 3

y' '

1  y' 
2

3
2

 

Mx
EI x

Với giả thiết chuyển vị của dầm là bé có thể bỏ qua (y’)2 so với 1 và khi đó
phương trình vi phân của đường đàn hồi có dạng gần đúng như sau:
y' '  

Mx
EI x

(8.1)

trong đó: Tích số EIx là độ cứng khi uốn của dầm .
III. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH
PHÂN KHÔNG ĐỊNH HẠN
Vế phải của phương trình vi phân (8.1) chỉ là một hàm số của z nên (8.1) là phương
trình vi phân thường.
Tích phân lần thứ nhất (8.1)  phương trình góc xoay:
  y'   

Mx
dz  C
EIx

(8.2)

Tích phân lần thứ hai  phương trình đường đàn hồi:


y     




Mx
dz  C dz  D
EIx


(8.3)

Trong (8.2) và (8.3), C và D là hai hằng số tích phân sẽ được xác định các điều kiện
biên. Các điều kiện nầy phụ thuộc vào liên kết của dầm và phụ thuộc vào sự thay đổi
tải trọng trên dầm.

Chương 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 3

GV: Lê đức thanh


Bài giảng sức bèn vật liệu

A
yA = 0

A

A = 0
a)

yA = 0

H. 8.4

C

B

b)

yB = 0

Đối với dầm đơn giản, có thể có các điều kiện như sau:
+ Đầu ngàm của dầm console có góc xoay và độ võng bằng không (H.8.4a):
yA =  A = 0
+ Các đầu liên kết khớp độ võng bằng không (H.8.4b):
yA = yB = 0
+ Tại nơi tiếp giáp giữa hai đoạn dầm có phương trình đường đàn hồi khác nhau,
độ võng và góc xoay bên trái bằng với độ võng và góc xoay bên phải ( điểm C trên
H.8.4b):
P
yCtr = yCph; Ctr = Cph
z
B
A

Thí dụ 1
Viết phương trình đường đàn hồi và góc xoay cho dầm
côn son (console) như H.8.5.Từ đó suy ra độ võng và góc
xoay lớn nhất. Cho EIx = hằng số.
Giải.
Phương trình mômen uốn tại mặt cắt có hoành độ z là (gốc

tại A)
Mx = –Pz (a)
thế vào (8.1)  phương trình vi phân của đường đàn hồi :
y''  

tích phân hai lần, 

Mx
Pz

EIx EIx

yB = B = 0
z
L
y
H.8.5
P

z

(b)

Pz2
  y' 
C
2EIx

(c)

Pz3
 Cz  D
6EIx

(d)

y

Mx

C và D được xác định từ các điều kiện biên về độ võng và góc xoay tại ngàm:
z = L;  = 0 v y = 0
thay các điều kiện nầy vào (c) và (d) 
PL2
PL3
C
;D
2EIx
3EIx

Vậy phương trình đường đàn hồi và góc xoay là:
Pz3
PL2
PL3
y

z
;
6EIx 2EIx
3EIx

Chương 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 4

GV: Lê đức thanh


Bài giảng sức bèn vật liệu



Pz2
PL2

2EIx
2EIx

Độ võng và góc xoay lớn nhất ở đầu tự do A của dầm; ứng với z = 0, ta có
PL3
PL2
ymax 
; 
3EIx
2EIx
ymax > 0 chỉ rằng độ võng của điểm A hướng xuống
 < 0 chỉ rằng góc xoay của điểm A ngược kim đồng hồ.
Thí dụ 2:
Tính độ võng và góc xoay lớn nhất của dầm (H.8.6). Cho EIx = hằng số
Giải.
Phương trình mômen uốn tại mặt cắt có hoành
độ z là: ( gốc tại A)
qz 2

Mx  
2

qz 2
2 EI x

thế vào (8.1),  y ' ' 

y

B

A

(a)

z

yB = B = 0

z
L

(b)
y

qz3
  y' 
 C (c)
6 EIx

tích phân hai lần, 

q

qz
C z D
24 EIx

H.8.6

q

Mx

4

(d)

z

hai điều kiện biên ở đầu ngàm z = L;  = 0 v y = 0 cho :
C

qL3
qL4
; D
6EIx
8EIx

Vậy phương trình đàn hồi và góc xoay là:
y

qz 4
qL3
qL4

z
;
24 EI x 6 EI x
8EI x



qz 3
qL3

6 EI x 6 EI x

Độ võng và góc xoay lớn nhất ở đầu tự do A của dầm; ứng với z = 0, ta có:
qL4
qL3
ymax 



và
A
8EIx
6EIx

Thí dụ 3.
Tính độ võng và góc xoay lớn nhất của dầm đơn giản chịu tải phân bố đều (H.8.7).Độ
cứng EIx của dầm không đổi.
Giải.
Phương trình mômen uốn tại mặt cắt ngang có hoành độ z là:
Chương 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 5

GV: Lê đức thanh


Bài giảng sức bèn vật liệu

Mx 



qL
qz 2
q
z

Lz  z2
2
2
2



(a)

thay vào (8.1),  phương trình vi phân của đường đàn hồi như sau:
y''  

q

Lz  z 2 
2 EIx

(b)
z

Tíchphân hai lần, 

q

q  Lz z 

  y'  
   C
2EIx  2
3
2

3

(c

qL/2

q  Lz3 z4 


y
  C z D
2EIx  6 12 

z

A
L
y

q

điều kiện biên ở các gối tựa trái và phải của dầm:
khi : z  0; y  0

khi : z  L; y  0

Mx

qL

z

2

D  0; C 



B

L/2

qL3
24EIx

H.8.7

Như vậy phương trình đường đàn hồi và góc xoay là:
y

qL3
24EIx

  y' 



z 1  2


z 2 z3 
 
L2 L3 

(e)

qL3 
z2

z3 
1  6 2  4 3 
24EIx 
L
L 

(g)

Độ võng lớn nhất của dầm ở tại mặt cắt ngang giữa nhịp ứng với:
5qL4
L
L
z=
(tại đây y’= 0), thay z =
vo (e), ymax  y L  
 z 
2
2
384EIx
 2
Góc xoay lớn nhất, nhỏ nhất (y’max , y’min) tại mặt cắt ngang có y” = 0 (hay Mx =
0), tức ở các gối tựa trái và phải của dầm. Thay z = 0 và z = L lần lượt vào (g) 
 max  y'max

1 qL3

24 EIx

 min  y'min

1 qL3
 
24 EIx

Góc xoay của mặt cắt ở gối tựa trái thuận chiều kim đồng hồ, góc xoay của mặt
cắt ở gối tựa phải ngược chiều kim đồng hồ.
Thí dụ 4 (tự đọc)
Lập phương trình độ võng và góc xoay của dầm trên hai gối tựa chịu lực tập trung P
như H.8.8 cho biết EIx = hằng số.

Chương 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 6

GV: Lê đức thanh


Bài giảng sức bèn vật liệu

P
B
A

C

z1

z2

a

z

b

L

Y
H.8.8

Pab/L

Giải.
Dầm có hai đoạn, biểu thức mômen uốn trong hai đoạn AC và CB khác nhau nên
biểu thức góc xoay và độ võng trong hai đoạn cũng khác nhau. Viết cho từng đoạn các
biểu thức Mx, y’’, y’, y như sau:
Mômen uốn Mx trong các đoạn sau:
Đoạn AC (0  z1  a):

M x(1) 

Pb
z1
L

(a)

Đoạn CB (a  z2  L):

M x(2) 

Pb

z2  Pz2  a
L

(b)

Phương trình vi phân của đường đàn hồi trong mỗi đoạn:
Đoạn AC:

y1 ''  

Pb
z1
LEIx

(c)

Đoạn CB:

y2 ''  

Pb
P
z2  a
z2 
LEIx
EIx

(d)

Tích phân liên tiếp các phương trình trình, ta được:

Đoạn AC (0  z1  a):
y1 '  

Pb 2
z1  C1
2 LEIx

(e)

y1  

Pb 3
z1  C1 z1  D1
6 LEIx

(g)

Đoạn CB (a  z2  L):
y2 '  

Pb 2
P
z2  a 2  C2
z2 
2LEIx
2 EIx

(h)

y2  

Pb 3
P
z2  a 3  C2 z2  D2
z2 
6 LEIx
6 EIx

(i)

Xác định các hằng số tích phân C1, D1, C2, D2 từ các điều kiện biên
.
- Ởgối tựa A, B độ võng bằng không
- Ở mặt cắt ngang C nối tiếp hai đoạn, độ võng và góc xoay của hai đoạn phải
Chương 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 7

GV: Lê đức thanh


Bài giảng sức bèn vật liệu

bằng nhau.
 khi:
z1 = 0; y1 = 0
z2 = 0; y2 = 0
z1 = z2 = a; y1 = y2; y1’ = y2’
Từ bốn điều kiện nầy :
 D1  0

 Pb L3  P L  a 3  C2 L  D2  0

6EIx
 6 LEIx

Pb 3
Pb 3

 6 LEI a  c1 a  D1   6LEI a  c2 a  D2
x
x

Pb 2
Pb 2

 2LEI a  c1   2LEI a  c2
x
x


Giải hệ phương trình trên, 
D1 = D2 = 0; C1  C2 

Pb

L2  b 2 
6 LEIx

Vậy phương trình góc xoay và độ võng trong từng đoạn là:
Đoạn AC (0  z1  a):

Pb  L2  b 2 z12

'


1  y1 
LEIx  6
2


z13 
Pb  L2  b 2



 y1  LEI  6 z1  6 
x 


Đoạn BC (a  z2  L):





2

Pb  z22 Lz2  a L2  b 2
'


 2  y2 

LEIx  2
2b
6


3
z23 
Pb  z2  a
L2  b 2

y

L

z

2
 2 LEI  6b
6
6 
x 







Tính độ võng lớn nhất trong dầm bằng cách dựa vào điều kiện y’ = 0,
Giả sử a > b. Trước hết ta sẽ xét độ võng lớn nhất trong đoạn nào 

Ở gối tựa A (z1 = 0) góc xoay bằng:
PbL  b 2 
1    0
1 A 
6EIx  L2 
PbL
a  b  0
và ở C (z1 = a): 1C  
3EIx

0,500L

A

E

B

D
z
Như vậy, giữa hai điểm A và C
0,577L
góc xoay 1 đổi dấu, nghĩa là sẽ bị triệt
tiêu một lần. Điều đó cho thấy độ võng
H.8.9
có giá trị lớn nhất trong đoạn AC.
Để tìm hoành độ z1(0) của mặt cắt ngang có độ võng lớn nhất, ta cho phương trình

Chương 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 8

GV: Lê đức thanh


Bài giảng sức bèn vật liệu

 1 = 0:



2
Pb  L  b2 z1 0 
1 z1 (0) 


0
LEIx  6
2 

L2  b2
3

z1 (0) 

(o)

Sau đó đưa vào biểu thức (l) của độ võng, giá trị lớn nhất của độ võng
ymax  y1z  
1( 0 )



3Pb L2  b 2
27 EIx



 b2 
1  2 
 L 

(p)

Các hệ quả:
- Nếu P đặt ở giữa nhịp dầm b  L / 2 , thì từ (o) và (p) , ta được:
z1 (0) 

L
2

 0,500L ; ymax

PL3

48EIx

- Khi P ở gần gối B, tức b  0 ta có: z1(0) =

L
3

= 0577L

Như vậy, nếu tải trọng di chuyển từ trung điểm D giữa nhịp dầm đến gối tựa B
(H.8.9) thì hoành độ z1(0) sẽ biến thiên từ 0,5L đến 0,577L, tức là từ điểm D đến điểm
E. Trong thực tế người ta thường quy ước là khi tải trọng P tác dụng ở một vị trí nào
đó thì vẫn có thể coi độ võng lớn nhất ở giữa nhịp dầm.
Thí dụ: nếu tải trọng P tác dụng ở vị trí như H.8.8 thì độ võng ở giữa nhịp dầm sẽ
Pb

yl 2  
3L2  4b 2 
bằng:
48EIx
So sánh hai giá trị ymax và

yl 2 thấy

hai giá trị nầy khác nhau và rất ít

Nhận xét:
Nếu dầm có nhiều đoạn, cần phải lập phương trình vi phân đường đàn hồi cho nhiều
đoạn tương ứng. Ở mỗi đoạn phải xác định hai hằng số tích phân, nếu dầm có n đoạn
thì phải xác định 2n hằng số, bài toán trở nên phực tạp nếu số đoạn n cùng lớn, vì vậy
phương pháp nầy ít dùng khi tải trọng phức tạp hay độ cứng dầm thay đổi.
VI. XÁC ĐỊNH ĐỘ VÕNG VÀ GÓC XOAY BẰNG PHƯƠNG PHÁP TẢI
TRỌNG GIẢ TẠO (PHƯƠNG PHÁP ĐỒ TOÁN)
 Phần trước đã có liên hệ vi phân giữa nội lực và ngoại lực:
dQ y
dz

 q (z ) ,

dM x
d 2M x
 Qy ,
 q( z )
dz
dz 2

(a)

 Đối với việc khảo sát đường đàn hồi của dầm, cũng có phương trình vi phân:
M
d2y d /
 y  x
2
dz
EI x
dz
Chương 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 9

(b)
GV: Lê đức thanh


Bài giảng sức bèn vật liệu

Đối chiếu các phương trình (a) và (b), ta thấy có sự tương tự sau:
y
2

M
d y d

y'   x
2
dz
EI x
dz

Mx
2

d Mx d
 Q y  q( z )
dz
dz 2

Ta nhận thấy muốn tính góc xoay y’ và độ võng y thì phải tích phân liên tiếp hai lần
Mx
hàm số
.Tương tự muốn có lực cắt Qy và mômen uốn Mx thì phải tích phân liên
EIx
tiếp hai lần hàm số tải trọng q. Tuy nhiên ở phần trước (nội lực), ta đã tính lực cắt Qy
và mômen uốn Mx theo tải trọng q từ việc khảo sát các phương trình cân bằng, và
phương pháp mặt cắt.
Như vậy, ở đây ta cũng có thể tính góc xoay y’ và độ võng y mà không cần tích
d 2 M gt d
M
Mx

 Qgt  q gt   x .Ta có tương quan như
phân. Nếu đặt q gt  
.Ta có:
2
dz
EI x
EI x
dz

sau
y’ = Qgt ; y = Mgt. Đó cũng chính là phương pháp tải trọng giả tạo.
 Phương pháp tải trọng giả tạo:
Tưởng tượng một dầm giả tạo có chiều dài giống dầm thật trên đó có tải trọng
M
giả tạo qgt giống như biểu đồ  x trên dầm thật, lúc đó muốn tính góc xoay y’ và
EIx
độ vong y của một dầm thật (DT)(dầm đang khảo sát) thì chỉ cần tính lực cắt Qgt và
mômen uốn Mgt do tải trong giả tạo tác dụng trên DGT gây ra.
Tuy nhiên, để có được sự đồng nhất đường đàn hồi y và Momen uốn Mgt thì điều
kiện biên của chúng phải giống nhau: y’ = Qgt ; y = Mgt tại bất kỳ điểm trên hai DT và
DGT.
 Cách chọn dầm giả tạo (DGT)
DGT được suy từ DT với điều kiện là nơi nào trên DT không có độ võng và góc xoay
thì điều kiện liên kết của DGT ở những nơi đó phải tương ứng sao cho qgt không gây ra
Mgt và Qgt.
Bảng 8.1 cho một số DGT tương ứng với một số DT thường gặp.

Bảng 8.1
Chương 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 10

GV: Lê đức thanh


Bài giảng sức bèn vật liệu

Dầm thực
A

Dầm giả tạo

y = 0
  0

y = 0
  0

A

B

y=0
=0

y0

0

A
y 0
 0

A

B

B
y= 0
 0
tr= ph

y = 0
  0

B

Mgt = 0
Qgt  0

Mgt = 0
Qgt  0

A

B
Mgt  0
Qgt  0

Mgt = 0
Qgt = 0

A

B

Mgt  0
Qgt  0

Mgt = 0
Qgt  0
Qtr = Qph

Mgt = 0
Qgt  0

 Cách tìm tải trọng giả tạo qgt
Mx
Vì qgt  
, nên qgt bao giờ cũng ngược dấu với mômen uốn Mx. Do đó:
EIx
- Nếu: Mx > 0 thì qgt < 0, nghĩa là nếu biểu đồ Mx nằm phía dưới trục hoành (theo
qui ước Mx > 0 vẽ phía dước trục thanh) thì qgt hướng xuống
- Nếu: Mx < 0 thì qgt hướng lên.
 qgt luôn có chiều hướng theo thớ căng của biểu đồ mô men Mx
q <0

Mx < 0

z
Mx > 0

q >0

Ngòai ra trong quá trình tính các nội lực Mgt, Qgt của DGT, cần phải tính hợp lực của
lực phân bố qgt trên các chiều di khác nhau. Do đó, để tiện lợi ta xác định vị trí trọng
tâm và diện tích  của những hình giới hạn bởi các đường cong như bảng 8.2 dưới
đây:

Chương 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 11

GV: Lê đức thanh


Bài giảng sức bèn vật liệu

Hình vẽ

h

Diện
tích
( )

C
x1

Vị trí trọng tâm
x1
x2

Lh

2

L
3

2L
3

Lh
3

L
4

3L
4

2Lh
3

3L
8

5L
8

x2
L

h

Bậc 2

C

đỉnh
x2

x1
L

đỉnh
h

Bậc 2

C
x1

x2
L

Thí dụ 5: Tính độ võng và góc xoay ở đầu tự do B của dầm công xon chịu tải trọng
phân bố đều q.Độ cứng của dầm EIx = const
Giải.
+ Biểu đồ mômen uốn Mx của DT có dạng đường bậc 2.
+ DGT tương ứng với lực phân bố qgt.
+ Độ võng và góc xoay tại B của DT chính bằng mômen uốn Mgt và lực cắt Qgt
tại B
1 qL2

3
qL4
yB  MgtB  
 L L 
3 2EIx
4
8EIx
q
1 qL2
qL3
B  Q  
L 
;
3 2EIx
6EIx
B
gt

A
a)
b)

L
qL
2

2

qL2
c) 2 EI

x

Chương 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 12

Mx
DGT

GV: Lê đức thanh


Bài giảng sức bèn vật liệu

Thí dụ 6: Tính chuyển vị đứng tại B
y B  M gtB 

1 PL L L 3 L
7 PL3

 (   )
2 2 EI x 2 2 4 2
64 EI x
P

A
L/2

a)
b)
c)

K

B
L/2

PL

Mx

PL
2 EI x
A

K

B

DGT

P
A
a)

L/2

B

K

L/2

b) PL
Mx

Thí dụ 7:
c) PL
Tính chuyển vị đứng tại K,cho EIxhằng số
EI x
Thực hiện mặt cắt qua K xét bên phải. Chia diện
A
tích hình thang ra hai hình tam giác và hình chữ
PL
nhật để biết trọng tâm

Mg
PL
2 EI x

t

EI x

y K  M gtK 

1 PL L 2 L

   
2 2 EI x 2 3 2

PL L L

PL3
PL3
PL3
  


2 EI x 2 4 24 EI x 16 EI x 12 EI x
K  Q

K
gt

DGT

B

K

M
A

PL
PL
L 3PL2
(

) 
4 8EI x
EI x 2 EI x

Thí dụ 8:
Tính chuyển vị đứng và góc xoay tại K cho EIx
hằng số
M L
1 Mo
2
M / B  0  R  L 
 L  L  RgtA  0
2 EI x
3
3EI x

M
0

RgtB
RgtA
M gtK

Tính phản lực gỉa tạo tại A
R

Chương 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 13

L/2

L/2

M0
EI x

A
gr

B

K

0

A
gt

M0
2 EI x

GV: Lê đức thanh

H.8.12


Bài giảng sức bèn vật liệu

1 M0 L 2 L M0 L L
y K  M gtK   ( 
   
  )
2 2 EI x 2 3 2 2 EI x 2 4


M0L L

1 M 0 L3 M 0 L3
1 M 0 L2
 


12 EI x
6 EI x 12 EI x
3EI x 2

Góc xoay tại k chính là phản lưc giả tạo tại K
 K  QgtK  RgtK 

M 0 L2
3EI x

VI. BÀI TOÁN SIÊU TĨNH (BTST)
Tương tự các bài toán về thanh chịu kéo, nén đúng tâm, ta còn có BTST về uốn. Đó là
các bài toán mà ta không thể xác định tồn bộ nội lực hoặc phản lực chỉ với các phương
trình cân bằng tĩnh học,vì số ẩn số phải tìm của bài toán lớn hơn số phương trình cân
bằng tĩnh học có được.
Để giải được các BTST, cần tìm thêm một số phương trình phụ dựa vào điều kiện
biến dạng của dầm.
Thí dụ 7.
Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm như H.8.12a.Biết EI = hằng số.
Giải.
q

q

B

a)

B

h)

L

VB 

q
b
)

B

A
VB

5

i) 8 qL

Q
3
qL
8

2

c)

qL
2 EI x

3
qL
8

1
k) qL2
8

y

M
x

d)

VB L
EI x

9qL2
128

+ Dầm đã cho có bốn phản lực cần tìm (ba ở ngàm và một ở gối tựa B). Ta chỉ có ba
phương trình cân bằng tĩnh học, nên cần tìm thêm một phương trình phụ về điều kiện
biến dạng của dầm.

+ Tưởng tượng bỏ gối tựa ở đầu B và thay vào đó một phản lực VB (H.8.12b), ta
được một hệ mới. Hệ nầy chỉ có thể làm việc giống như hệ trên khi VB phải có trị số và
chiều thế nào để độ võng tại B, do tải trọng q và VB sinh ra, phải bằng không
 Điều kiện biến dạng (chuyển vị): yB (q, VB ) = 0
Chương 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 14

GV: Lê đức thanh


Bài giảng sức bèn vật liệu

+ Ta tính độ võng tại B bằng phương pháp tải trọng giả tạo (hay một phương pháp
khác).
Biểu đồ mômen uốn của dầm ở H.8.12b do tải trọng q và phản lực VB gây ra vẽ
như H.8.12c,d, DGT và qgt như H.8.12 e, g. Ta có:
Độ võng yB của hệ 8.12b chính là Mômen giả tạo tại B của DGT
yB = M

B
gt

1 qL
3
L

3 2EI 4
2

=

L–

1
2

L

VB L 2
 L .Điều kiện độ võng yB = 0,  VB =
EI 3

3
qL
8

Sau khi tìm được VB, dễ dàng vẽ được các biểu đồ nội lực của dầm đã cho như H.8.12
i, k.

Chương 8: Chuyển vị của dầm chịu uốn 15

GV: Lê đức thanh