Bài toán sợi dây trong phương trình vật lí toán

LỜI CẢM ƠN
Em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo trong khoa Toán-LíTin, thƣ viện Trƣờng Đại học Tây Bắc đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ
em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn cô giáo: Th.S Phạm Ngọc Thƣ đã tận
tình hƣớng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp
này.
Là một sinh viên lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên khóa luận của em
không tránh khỏi thiếu sót, vì vậy em rất mong nhận đƣợc những đóng góp ý
kiến của các thầy cô và bạn bè để khóa luận đƣợc hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Tuyết


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ......................................................................................... 2
3. Giả thuyết khoa học........................................................................................... 2
4. Đối tƣợng nghiên cứu........................................................................................ 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................... 2
6. Ý nghĩa của đề tài .............................................................................................. 2
7. Cấu trúc khóa luận............................................................................................. 2
NỘI DUNG ........................................................................................................... 4
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT ....................................................................... 4
1.1. Đại cƣơng về các phƣơng trình vật lí toán cơ bản ......................................... 4
1.2. Thiết lập phƣơng trình dao động của sợi dây................................................. 6
1.2.1. Lập phƣơng trình ......................................................................................... 6
1.2.2. Các điều kiện ban đầu và điều kiện biên..................................................... 9

Kết luận chƣơng 1: .............................................................................................. 10
CHƢƠNG 2: PHÂN LOẠI VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
VỀ DAO ĐỘNG CỦA SỢI DÂY ....................................................................... 11
2.1. Dạng 1: Dao động của sợi dây vô hạn. Bài toán Cauchy ............................ 11
2.2. Dạng 2: Dao động tự do của sợi dây hữu hạn (bài toán Fourier) ................ 25
2.2.1. Phƣơng trình thuần nhất loại 1 (hai đầu gắn chặt) .................................... 25
2.2.2. Phƣơng trình thuần nhất loại 2 (hai đầu tự do) ......................................... 47
2.2.3. Phƣơng trình thuần nhất loại 3 (một đầu cố định, một đầu tự do) ............ 56
2.2.4. Phƣơng trình thuần nhất loại 4 (một đầu tự do, một đầu cố định) ............ 60
2.3. Dạng 3: Dao động cƣỡng bức của sợi dây hữu hạn ..................................... 67
2.3.1. Bài toán thuần nhất có điều kiện biên bằng không ................................... 67
2.3.1.1. Dùng phƣơng pháp biến thiên hằng số .................................................. 68
2.3.1.2. Dùng phƣơng pháp tìm nghiệm riêng .................................................... 73
2.3.2. Bài toán thuần nhất có các điều kiện biên khác không ............................. 80
Kết luận chƣơng 2 ............................................................................................... 88


KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ ................................................................................. 89
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 90


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lí học là một ngành của triết học tự nhiên và khoa học tự nhiên. Vật lí
học có liên hệ chặt chẽ với các môn khoa học khác. Từ rất lâu phƣơng pháp toán
học đƣợc sử dụng trong vật lí. Toán học là một công cụ để cho vật lí phát triển
và đặc biệt là vật lí lý thuyết. Các lý thuyết vật lí đã sử dụng ngôn ngữ toán học
để nhận đƣợc những công thức chính xác miêu tả các đại lƣợng vật lí thu đƣợc
những nghiên cứu chính xác hay những giá trị ƣớc lƣợng và tiên đoán những hệ
quả. Những kết quả thí nghiệm hay thực nghiệm của vật lí đều biểu hiện bằng

các giá trị số. Càng đi sâu vào nghiên cứu ta càng thấy toán học và vật lí càng có
sự giao thoa với nhau.
Những phƣơng pháp toán học dùng trong vật lí học hiện đại rất đa dạng bao
gồm một khối lƣợng lớn các kiến thức thuộc các chuyên đề nhƣ: Hàm thực, hàm
biến phức, các phƣơng trình vi phân, các phép biến đổi tích phân, đại số tuyến
tính.... Trong đó thì phƣơng pháp toán lí là một ví dụ ta phải dùng đến rất nhiều
công thức toán học để giải về bài tập vật lí. Từ cơ sở và các phƣơng trình Vật lí
toán cơ bản, ứng với từng loại phƣơng trình chúng ta đã xây dựng đƣợc một loạt
các phƣơng trình dao động nhƣ: phƣơng trình sóng một chiều, phƣơng trình dao
động màng, phƣơng trình truyền nhiệt...Kiến thức toán này vô cùng cần thiết
cho các bạn sinh viên tiếp thu, thực hành cũng nhƣ nghiên cứu với các môn học
khác trong khi học tại trƣờng. Bên cạnh những cơ sở lý thuyết là những bài tập
vận dụng đòi hỏi sinh viên phải hiểu sâu sắc, nắm chắc đƣợc kiến thức. Các
dạng bài tập thì vô cùng phong phú và đa dạng. Chính vì vậy, chúng ta cần phải
làm thế nào tìm ra phƣơng pháp tốt nhất nhằm tạo cho mình niềm say mê yêu
thích môn học này. Việc làm này rất có lợi giúp các bạn sinh viên trong thời
gian ngắn đã nắm đƣợc các dạng bài tập, nắm đƣợc phƣơng pháp giải và từ đó
có thể phát triển hƣớng tìm tòi lời giải mới cho các dạng bài tập tƣơng tự. Nên
em quyết định chọn đề tài “Bài toán sợi dây trong phƣơng trình vật lí- toán”
để nghiên cứu trong khóa luận tốt nghiệp của mình. Mong rằng đề tài này sẽ là
1


tài liệu tham khảo giúp cho các bạn sinh viên, đặc biệt là sinh viên mới bắt đầu
khi học về phƣơng trình sóng một chiều.
Mặc dù có sự yêu thích, với sự nỗ lực của bản thân trong việc tìm kiếm và
thu thập tài liệu. Cùng với sự giúp đỡ của cô hƣớng dẫn trong khoảng thời gian
ngắn, lƣợng kiến thức của em còn hạn hẹp nên không tránh khỏi những sai xót
và hạn chế. Vì vậy em rất mong đƣợc sự góp ý của hội đồng xét duyệt, của quý
thầy cô và ý kiến của bạn đọc để luận văn càng ngày càng hoàn thiện hơn.

Những đóng góp của quý thầy cô và các bạn sẽ là hành trang giúp em phát huy
và sáng tạo trên con đƣờng sự nghiệp sau này của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Phân loại và phƣơng pháp giải các dạng bài tập về phƣơng trình dao động
của sợi dây với điều kiện biên tổng quát.
3. Giả thuyết khoa học
Dùng các biểu thức toán học để thiết lập và giải các bài tập về phƣơng
trình dao động của sợi dây với điều kiện biên tổng quát.
4. Đối tƣợng nghiên cứu
Các bài toán về phƣơng trình dao động của sợi dây với điều kiện biên
tổng quát.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sƣu tầm tài liệu
Nghiên cứu kĩ lí thuyết và từ đó đƣa ra phƣơng pháp giải ứng với từng bài
tập cụ thể về phần dao động của sợi dây
6. Ý nghĩa của đề tài
Cung cấp thêm tài liệu về phần dao động của sợi dây cho sinh viên trong
quá trình học tập phần phƣơng trình Vật lí – Toán. Từ đó giúp việc học tập trở
nên nhẹ nhàng và đạt hiệu quả hơn
7. Cấu trúc khóa luận
Chƣơng 1: Cơ sở lí thuyết
1.1. Đại cƣơng về các phƣơng trình vật lí toán cơ bản
1.2. Thiết lập phƣơng trình dao động của sợi dây
2


1.2.1. Lập phƣơng trình
1.2.2. Các điều kiện biên của sợi dây
Chƣơng 2: Phân loại và phƣơng pháp giải một số bài toán về dao động
của sợi dây

2.1. Dao động của sợi dây vô hạn. Bài toán Cauchy
2.2. Dao động tự do của sợi dây hữu hạn (bài toán Furie)
2.2.1. Phƣơng trình thuần nhất loại 1 (hai đầu gắn chặt)
2.2.2. Phƣơng trình thuần nhất loại 2 (hai đầu tự do)
2.2.3. Phƣơng trình thuần nhất loại 3 (một đầu cố định, một đầu tự do)
2.2.3. Phƣơng trình thuần nhất loại 4 (một đầu tự do, một đầu cố định)
2.3. Dao động cƣỡng bức của sợi dây hữu hạn
2.3.1. Bài toán thuần nhất có các điều kiện biên bằng không
2.3.2. Bài toán thuần nhất có các điều kiện biên khác không

3


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT
1.1. Đại cƣơng về các phƣơng trình vật lí toán cơ bản [2, 5]
Các phƣơng trình mô tả sự biến thiên của trƣờng theo thời gian thƣờng là
các phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng , trong đó chứa các hàm chƣa biết (hàm
nhiều biến), các đạo hàm riêng của nó và các biến số độc lập.
Cấp của đạo hàm cấp cao nhất của hàm chƣa biết có mặt trong phƣơng
trình là cấp của phƣơng trình.
Phƣơng trình đạo hàm riêng gọi là tuyến tính nếu nó là bậc nhất đối với
hàm chƣa biết và đạo hàm riêng của nó.
Trong đây chúng ta chỉ xét các phƣơng trình vật lí toán cơ bản là phƣơng
trình sóng, phƣơng trình truyền nhiệt và phƣơng trình Laplaxơ.
Sau đây để đơn giản ta hãy xét việc phân loại các phƣơng trình đạo hàm
riêng tuyến tính cấp hai với hai biến số độc lập. Trƣờng hợp nhiều biến số độc
lập cũng đƣợc phân loại tƣơng tự.
Dạng tổng quát của phƣơng trình nhƣ vậy là:
 2u

 2u
 2u
 2u
 2u
A 2  2B
C 2  D
E
 Fu  G ( x, y )
xy
x
y
x
y

(1-1)

Trong đó hàm chƣa biết u phụ thuộc hai biến số độc lập x, y: u  u( x, y) các
hệ số A, B, C, D, E, F là những hàm của x, y.
Nhờ phép biến đổi tọa độ thích hợp, ta có thể đƣa phƣơng trình (1-1) về
một trong ba dạng sau:
1. Nếu AC  B2  0 trong một miền nào đó, thì có thể đƣa phƣơng trình (1-1)
trong miền ấy về dạng
 2u

 2u

 2u
 2u


 D1
 E1
 F1u  G1( , )


 2  2

(1-2)

Phƣơng trình này gọi là phƣơng trình loại eliptic dạng đơn giản nhất
 2u


2



 2u


2

0

(1-3)
4


Nghĩa là D1  E1  F1  G1  0
2. Nếu AC  B2  0 trong một miền nào đó thì có thể đƣa phƣơng trình (1-1)

trong miền về dạng
 2u

 2u

 2u
 2u

 D2
 E2
 F2u  G2 ( , )


 2  2

(1-4)

Phƣơng trình này gọi là phƣơng trình loại hypebolic. Dạng đơn giản nhất
của phƣơng trình hypebolic là phƣơng trình dao động của dây
 2u
 2



 2u
 2

 G2 ( , )

(1-5)

3. Nếu AC  B2  0 trong một miền nào đó thì phƣơng trình (1-1) có thể đƣa
về dạng
 2u

 2u
 2u
 D3
 E3
 F3u  G3 ( , )


 2

(1-6)

Phƣơng trình này gọi là phƣơng trình loại parabolic, nó có dạng đơn giản
nhất là của phƣơng trình truyền nhiệt
 2u
 2

 E3

 2u
 2

 G3 ( , )

(1-7)

Nghĩa là D3  F3  0
Trong các phƣơng trình (1-3) và (1-7), ta thƣờng lấy một biến số là thời
gian, còn một biến số kia là tọa độ x, khi đó ta có phƣơng trình dao động của dây
(hay phƣơng trình sóng một chiều) :

 2u
t 2

a

2

 2u

(1-8)

x 2

Phƣơng trình truyền nhiệt
2
u
2 u
a
t
x 2

(1-9)

Phƣơng trình Laplaxơ

5


 2u
x 2



 2u
y 2

0

(1-10)

Nhiều bài toán vật lí và kĩ thuật dẫn đến các phƣơng trình này nên ngƣời
ta gọi chúng là những phƣơng trình vật lí – toán cơ bản.
Các phƣơng trình (1-8), (1-9) và (1-10) đều có vô số nghiệm vì vậy ta
phải đặt thêm các điều kiện phụ để xác định nghiệm của chúng.
Các phƣơng trình (1-8) và (1-9) xuất hiện khi các quá trình là không dừng
(biến đổi theo thời gian t). Nếu quá trình đó xảy ra trong một khoảng không gian
x hữu hạn (dao động của sợi dây có hai đầu gắn chặt, truyền nhiệt trong thanh
hữu hạn thì ta có hai điều kiện sau:
1) Điều kiện ban đầu cho biết trạng thái lúc t  0
2) Điều kiện biên cho biết quá trình xảy ra ở biên của khoảng không gian. Bài
toán tìm nghiệm của phƣơng trình thỏa mãn các điều kiện ban đầu và điều kiện
biên gọi là bài toán hỗn hợp, nếu quá trình xảy ra trên cả khoảng vô hạn
  x   thì ta chỉ cần điều kiện ban đầu. Bài toán đó gọi là bài toán Cauchy.

Phƣơng trình (1-10) không chứa thời gian, cả hai biến số x, y đều là biến

số không gian. Nó xuất hiện khi nghiên cứu các quá trình dừng. Để xác định
nghiệm, ta chỉ cần các điều kiện biên, vì vậy, bài toán này gọi là bài toán biên.
Các điều kiện biên ban đầu và điều kiện biên thƣờng xuất phát từ việc đo
đạc thực nghiệm trong vật lí và kĩ thuật nghĩa là mang tính chất gần đúng.
Những sai số nhỏ của các điều kiện đó sẽ kéo theo những sai số nhỏ của nghiệm.
Do đó, ta đòi hỏi nghiệm của bài toán đặt ra phải phụ thuộc liên tục vào các điều
kiện biên và điều kiện ban đầu. Các bài toán đƣợc thiết lập sao cho nghiệm của
nó tồn tại, duy nhất và phụ thuộc liên tục vào các điều kiện phụ, gọi là các bài
toán đƣợc thiết lập đúng.
Trong đề tài này ta đi tìm hiểu phƣơng trình dao động của dây (1-5) và
(1-8).
1.2. Thiết lập phƣơng trình dao động của sợi dây [2, 5]
1.2.1. Lập phƣơng trình
6


a. Bài toán: Xét dây đàn hồi, dao động nhỏ, lực căng dây T tiếp tuyến với
dây tại mỗi điểm, độ lớn nhƣ nhau tại mọi điểm. Giả sử dây trùng Ox dao động
tại mỗi điểm xảy ra theo phƣơng Ou vuông góc với Ox
Gọi u là độ lệch của dây khỏi vị trí cân bằng u ( x, t )
b. Thiết lập phƣơng trình dao động u ( x, t )
Xét đoạn dây nằm trong khoảng x1, x2 hai đầu dây chịu lực căng T

u

T
𝛼2

1
T

𝑥1

𝑥2

x

Hình 1: [2, 5]
Gọi α1, α2 là hai góc tạo bởi tiếp tuyến của dây tại hai đầu của phƣơng
ngang
Suy ra: Hình chiếu của lực căng tổng hợp tác dụng lên dây trên phƣơng
Ou:
T sin  2  T sin 1

Ngoại lực tác dụng lên dây có mật độ phân bố là: –ρg(x,t)
ρ : mật độ khối lƣợng

g ( x, t ) : đặc trƣng cho thể tích của các phần tử của đoạn dây
x2

Suy ra hình chiếu của trọng lực lên phƣơng Ou:    g ( x, t )dx
x1

Gia tốc của các phần tử đoạn dây:

7


u 'tt ( x, t ) 

 2u

t 2
x2

 Hợp lực tác dụng lên dây:   u "tt ( x, t )dx
x1

Áp dụng định luật II Newton:
x2

x2

  u "tt ( x, t )dx  T sin  2  T sin 1    g ( x, t )dx
x1

(1-11)

x1

Dây dao động nhỏ: 1, 2  1
 sin 1  tg1 

sin  2  tg 2 

u
x

u
x

x  x1

x  x2

 u
 T sin  2  T sin 1  T 
 x


T

x2

x  x2

u

x




x  x1 

 2u

 x2 dx

x1

x2

 T  u "xx ( x, t )dx
x1
x2

Từ (1-1) suy ra:

  u "tt ( x, t )  Tu "tt ( x, t )   g ( x, t )dx  0

x1

u "tt  Tu "xx   g ( x, t )

(1-12)

 Phƣơng trình dao động của dây
Trong đó: a 2 

T



là hằng số dƣơng, g ( x, t ) 

p ( x, t )



Nếu không có ngoại lực tác dụng vào sợi dây thì: p( x, t )  0

8


Do đó: g ( x, t )  0 và phƣơng trình có dạng:

 2u
t 2

a

2

 2u
x 2

(1-13)

Phƣơng trình (1-13) là phƣơng trình thuần nhất, mô tả dao động tự do của
dây đồng chất.
1.2.2. Các điều kiện ban đầu và điều kiện biên
Các phƣơng trình (1-11), (1-12), (1-13) có vô số nghiệm. Do đó muốn xác
định đƣợc nghiệm u ( x, t ) thì ngoài các phƣơng trình dao động của dây, ta còn
phải đặt thêm các điều kiện phụ thuộc để xác định nghiệm vật lí của chúng. Do
vậy, ta cần phải biết thêm các điều kiện sau:
Ở thời điểm ban đầu t  0 , sợi dây có hình dạng:
u 't ( x, t ) t 0  u ( x,0)  f ( x)

(1-14)

Vận tốc ban đầu các điểm của sợi dây

u 't ( x, t ) t 0  u 't ( x,0)  F ( x)

(1-15)

Quy luật chuyển động của hai đầu sợi dây
u x 0  0

(1-16)

u x l  0

(1-17)

Các điều kiện (1-14), (1-15) đƣợc gọi là các điều kiện ban đầu, còn các
điều kiện (1-16), (1-17) đƣợc gọi là điều kiện biên. Ở đây các hàm f ( x) , F ( x) ,
u x 0  u x l  0 đƣợc cho trƣớc

Nếu sợi dây khá dài mà ta chỉ quan tâm khảo sát khoảng giữa của dây khá
xa hai đầu của dây sao cho ảnh hƣởng của hai đầu dây có thể bỏ qua đƣợc, thì ta
có thể coi nhƣ sợi dây dài vô hạn về hai phía. Khi đó dao động của khoảng giữa
của dây chịu ảnh hƣởng của điều kiện ban đầu, ta coi nhƣ bài toán không có điều
kiện biên.
Bài toán tìm nghiệm u  u (x,t ) của phƣơng trình (1-11), (1-12), (1-13) chỉ
thỏa mãn điều kiện ban đầu (1-14), (1-15) đƣợc gọi là bài toán Cauchy.

9


Kết luận chƣơng 1:
Chƣơng 1 đã tìm hiểu khái quát lí thuyết cơ bản về dao động sợi dây và

xây dựng phƣơng trình, xét các điều kiện dao động.

10


CHƢƠNG 2
PHÂN LOẠI VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
VỀ DAO ĐỘNG CỦA SỢI DÂY
Cơ sở để phân loại bài toán dao động của sợi dây của đề tài là dựa vào
kích thƣớc sợi dây, trạng thái kích thích của dao động và các điều kiện ban đầu
dao động của sợi dây.
Trong chƣơng ta sẽ nghiên cứu các dạng bài tập thƣờng gặp, có ba dạng
lớn bài tập về dao động của sợi dây :
1. Dao động của sợi dây vô hạn. Bài toán Cauchy
2. Dao động tự do của sợi dây hữu hạn
3. Dao động cƣỡng bức của sợi dây hữu hạn
2.1. Dạng 1: Dao động của sợi dây vô hạn. Bài toán Cauchy [1, 2, 3, 5]
Bài toán: Giải bài toán dao động tự do của dây vô hạn
u "tt ( x, t )  a 2u "xx ( x, t )  0

(2-1)

u ( x, t )  f ( x)
Thỏa mãn điều kiện ban đầu: 
u 't ( x, t )  F ( x)

(2-2)

Phƣơng pháp giải
Bài toán trở thành tìm nghiệm u ( x, t ) của phƣơng trình vi phân

u "tt  a 2u "xx  0

(2-3)

Thỏa mãn điều kiện (2-1), (2-2)
Giải bài toán bằng phƣơng pháp D’Alambert
Bước 1: Đổi biến số
  x  at
Đặt 
 u ( x, t )  u ( , )


x

at


Bước 2: Giải phƣơng trình

u u u u u




x x x  
 u u 
u u u u
u




a
( a )  a 

t t t 



 

11


 2u
x 2



  u    u u    u    u 


 
 
 
x  x  x       x    x 
 2u

2 2u  2u
 2


  2

2
a  u u 
 2u
 2u
 2u 
2 u
 

  a  2      2 
t 2 t    
 
 

 2u

2

2 2u  2u 
a  2 


  2 
 
2

u

Từ (2-3) suy ra:

 2u
t 2

 a2

 2u
x 2

 4a 2

 2u
0


 2u
Vậy (2-3) có dạng
0


Bước 3: Tìm nghiệm của phƣơng trình
Vì

  u 
0
   

du  1( )d

nên

u
 1( )


 u   1( )d   ( )

 u   ( )  ( )   ( x  at )  ( x  at )

(2-4)

Là nghiệm tổng quát của phƣơng trình dao động tự do của dây với  và  là
hai hàm tùy ý khả vi liên tục hai lần

 Ý nghĩa của nghiệm tổng quát [3]
Đặt u1( x, t )   ( x, at )
u2 ( x, t )   ( x  at )
 u( x, t )  u1( x, t )  u2 ( x, t )

u1( x, t )  u1( x  at ,0) dao động tại vị trí x vào thời điểm t có dạng của dao

động tại vị trí x  at tại thời điểm ban đầu
Vậy biểu diễn sóng truyền từ phải sang trái nên gọi là sóng nghịch
12


u2 ( x, t )  u2 ( x  at ,0) dao động tại vị trí x và thời điểm t có dạng của dao

động tại vị trí x  at ở thời điểm ban đầu
Vậy u2 biểu diễn sóng truyền từ trái sang phải nên gọi là sóng thuận
Kết luận: Dao động tại mỗi điểm trên dây với thời điểm t là do sự chồng chập

của sóng thuận và sóng nghịch truyền với vận tốc a
Nghiệm cụ thể:
Áp dụng điều kiện ban đầu: t  0
u t 0  f ( x)

  ( x )   ( x)  f ( x)

u '( x, t )  u ' t 0  F ( x)



   

 F ( x)
 t  t

 ( x)   ( x)  f ( x)

   
    

a

a

a


      F ( x)









 
Tích phân 2 vế phƣơng trình (2-6)
x
x
 x 
   
 
 a      dx  a    dx    dx    F ( x)dx
0
0
0
 0
x

x

 a  ( x)   (0)   a  ( x)  (0)    F ( x)dx
0
x

1
  ( x)   (0)    ( x)   (0)    F ( x) dx
a

0

Đặt C   ( x)   (0)
 ( x)   ( x)  f ( x)

x
1

 ( x)   ( x)  a  F ( x)dx
0


13

(2  5)
(2  6)


x

1
1
C
F ( x)dx 
 ( x)  f ( x) 

2
2a
2


0

x

1
1
C

(
x
)

f
(
x
)

F
(
x
)
dx


2
2a 
2

0

thay vào (2-4)

(2-4)  u( x, t )   ( x at )  ( x at )

1
1
u ( x, t )  f ( x  at ) 
2
2a

x  at


0

C 1
1
F ( x)dx   f ( x  at ) 
2 2
2a

1
1
  f ( x  at )  f ( x  at ) 
2
2a

x  at



F ( x)dx 

0

C
2

x  at



F ( x)dx

(2-7)

x  at

Công thức (2-7) gọi là nghiệm D’Alembert của bài toán Cauchy.
Ví dụ 1: Giải bài toán của dao động tự do của dây vô hạn: u "tt  a 2u "xx  0
u ( x,0)  cos x
Các điều kiện ban đầu: 
u '( x,0)  2

Phƣơng pháp giải
  x  at
Bước 1: Sử dụng phƣơng pháp D’alembert đổi biến số: Đặt 
  x  at

 u u u

 x    


 u  a  u  u 
   
 t



  2u  2u
 2u
 2u
 2
 2  2 2





x





2
2
 2u
 2u 
 u

2  u

a

2

 2
 t 2
2 












 u "tt  a u "xx
2

 2u
 4a
0

2

14




 
u
  u 





0
hàm
tuỳ
ý
chỉ

1 

   


Vậy u ( , )       1   d   ( )   ( )
 u( x, t )   ( x  at )   ( x  at )

(1)

Bước 2: Sử dụng điều kiện ban đầu

u ( x,0)  u t 0  f ( x)   ( x)   ( x)  f ( x)


   
u 't ( x,0)  u 't t 0  F ( x)   t   t  F ( x)


(2)
(3)

Lấy tích phân 2 vế (3)
x

x

x

0

0

0



a
dx  a 
dx   F ( x)dx



x

 a  ( x)   (0)  a  ( x)  (0)    F ( x)
0

 ( x)   ( x)  f ( x)

x
Đặt c   (0)   (0)  
1
 ( x)  ( x)  a  F ( x)dx  c
0

x

f ( x) 1
c

F ( x)dx 
 ( x) 

2
2a
2

0

x


f ( x) 1
c

(
x
)


F
(
x
)
dx


2
2a 
2

0

Thay vào (1)

f ( x  at ) 1
c f ( x  at ) 1
u ( x, t ) 

F ( x)dx  



2
2a
2
2
2a

x  at

1
f ( x  at ) 1
 u ( x, t )   f ( x  at )  f ( x  at ) 

2
2
2a

x  at

x

0

Áp dụng:
15



F ( x)dx 

0



x  at

F ( x)dx

c
2


 f ( x  at )  f ( x  at )  cos( x  at )  cos( x  at )

 f ( x)  cos x
x  at
  x  at

u 't ( x, t )  F ( x)  2
  F ( x)dx   2dx  2( x  at  x  at )  4at
x  at
 x  at
1
1
1
 u ( x, t )  cos( x  at )  cos( x  at )  4at
2
2
2a
 cos x cos at  2t

0 khi x  1
 x  1 khi 1  x  2

Ví dụ 2: Một sợi dây vô hạn có dạng ban đầu là: u t 0  
3  x khi 2  x  3
0 khi x  3
biết vận tốc truyền sóng a  2 và vận tốc ban đầu của sợi dây F ( x)  0
1) Hãy vẽ dạng của sợi dây ở các thời điểm t0  0 , t1  0,5 , t3  1,5
2) Xét dao động của các điểm x  0 , x  1
Phƣơng pháp giải
  x  at
Bước 1: Sử dụng phƣơng pháp D’alembert đổi biến số: Đặt 
  x  at

 u u u
 x    


 u  a  u  u 
   
 t



  2u  2u
 2u
 2u

 2  2 2
  2


 x

2
2
 2u
 2u 
 u
2  u

a

2

 2
 t 2
2 












 u "tt  a u "xx

2



 2u
 4a
0

2

 
u
  u 
 1   hàm tuỳ ý chỉ 
0 



   


Vậy u ( , )       1   d   ( )   ( )
16


 u( x, t )   ( x  at )   ( x  at )

(1)

Bước 2: Sử dụng điều kiện ban đầu

u ( x,0)  u t 0  f ( x)   ( x)   ( x)  f ( x)


   
u
'
(
x
,0)

u
'

F
(
x
)


 F ( x)
t t 0
 t
 t  t


(2)
(3)

Lấy tích phân 2 vế (3)

x

x

x

0

0

0



a
dx  a 
dx   F ( x)dx


x

 a  ( x)   (0)  a  ( x)  (0)    F ( x)
0

 ( x)   ( x)  f ( x)

x
Đặt c   (0)   (0)  
1
 ( x)   ( x)  a  F ( x)dx  c

0

x

f ( x) 1
c

F ( x)dx 
 ( x) 

2
2a
2

0

x

f ( x) 1
c

(
x
)


F
(
x
)

dx


2
2a 
2

0

Thay vào (1)

f ( x  at ) 1
c f ( x  at ) 1
u ( x, t ) 

F ( x)dx  


2
2a
2
2
2a

x  at

1
f ( x  at ) 1
 u ( x, t )   f ( x  at )  f ( x  at ) 


2
2
2a

x  at

x

0



F ( x)dx 

0



F ( x)dx

x  at

Áp dụng:
a) Ta có nghiệm tổng quát của bài toán cho sợi dây dài vô hạn

1
1
u ( x, t )   f ( x  at )  f ( x  at ) 
2
2a

17

x  at



x  at

F ( x)dx

c
2


Điều kiện để xét bài toán là:

 u ( x, t ) 

u
 F ( x)
t t 0

1
 f ( x  at )  f ( x  at )
2

+) Tại t0  0

 u ( x,0) 

1
 f ( x)  f ( x  f ( x)
2

0
x 1

 u ( x,0)  f ( x)  
3  x
0

khi x  1
khi 1  x  2
khi 2  x  3
khi x  3

Dạng của các sợi dây đƣợc biểu diễn nhƣ sau:
u
1
0
1
+) Tại t1 

2

1
2

1 1

 u ( x, )   f ( x  1)  f ( x  1)
2 2
0
x 2

1

f ( x  1)   2
2
4  x
 2
0


khi

x2

khi 2  x  3
khi 3  x  4
khi

x4

18

3

x

0
x

1

f ( x  1)   2
2
2  x
 2
0


khi

x0

khi 0  x  1
khi 1  x  2
khi

x2

Dạng của các sợi dây đƣợc biểu diễn nhƣ sau:

u

u

0.5

0.5

0

0
1

2

x

2

+) Tại t2  1

 u ( x,1) 

1
 f ( x  2)  f ( x  2)
2
x3

0
x 3

1

f ( x  2)   2
2

5  x
 2
0


khi

khi

x5

0
 x 1

1

f ( x  2)   2
2
1  x
 2
0


khi

x  1

khi 3  x  4
khi 4  x  5

khi 1  x  0
khi 0  x  1
khi

x 1

Dạng của các sợi dây đƣợc biểu diễn nhƣ nhau:

19

3

4

x


u

u

0.5

0.5
0

-1

0

+) Tại t3 

1

x

3

4

5

3
2

3 1
 u ( x, )   f ( x  3)  f ( x  3)
2 2
x4

0
x 4

1

f ( x  3)   2
2
6  x
 2
0



khi

khi

x6

0
x  2

1

f ( x  3)   2
2
x
2
0


khi

x  2

khi 4  x  5
khi 5  x  6

khi 2  x  1
khi 1  x  0
x0

khi

u

0.5

-2

-1

0

1

2

b) Xác định dao động tại x  0, x  1

20

3

4

5

6

x

 u ( x, t ) 

1
 f ( x  2t )  f ( x  2t )
2

+ Tại x  0

 u (0, t ) 

1
 f (2t )  f (2t )
2


0

 t  1

1
f (2t )   2
2
3  t
 2

0



0

t 1

1
f (2t )   2
2
3  t
 2

0


1
2
1
khi
 t 1
2
3
khi 1  t 
2
3
khi t 
2
khi t 

khi t 

1

2

1
 t 1
2
3
khi 1  t 
2
3
khi t 
2

khi


0

t 1

1
 u (0, t )  f (2t )   2
2
3  t
 2

0


khi t 

1
 t 1
2
3
khi 1  t 
2
3
khi t 
2

khi

+) Tại x  1

 u (1, t ) 

1
2

1
 f (1  2t )  f (1  2t )
2

21


0

t
1


f (1  2t )  
2
1  t

0

0

t
1

f (1  2t )  
2
1  t

0


khi t  0
1
khi   t  0
2
1
khi 1  t 
2
khi t  1
khi t  0
khi 0  t 

1
2

1
 t 1
2
khi t  1

khi

Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho phƣơng trình
u "tt  4u "xx  0

0  x  l, t  0

Thỏa mãn điều kiện ban đầu
u( x, t )  f ( x)  0

khi x  0
0

u 't ( x,0)  F ( x)   x  x 2
khi 0  x  1
0
khi x  1

Xác định dao động của điểm x  0 .
Hƣớng dẫn giải và đáp số
Nghiệm của phƣơng trình có dạng:

1
u ( x, t ) 
4

x  2t



F ( )d

x  2t

Dao động của điểm x  0 đƣợc biểu diễn bởi hàm số:
 1  2 8t 3 
  2t 

2t
2t
1
1
4 
3 
u ( x, t )   F ( )d   F ( )d  
4
4
1
2t
0
 24
22

khi 0  t  0.5
khit  0.5