Phân loại và phương pháp giải bài toán cực trị trong chương trình Vật lí THPT

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.99 MB, 63 trang )

1

MỞ ĐẦU
1. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài
Vật lí học là một trong những môn khoa học tự nhiên nghiên cứu những
quy luật đơn giản nhất và tổng quát nhất của các hiện tượng tự nhiên, nghiên
cứu tính chất và cấu trúc của vật chất và những định luật vận động của vật chất.
Các kiến thức Vật lí được áp dụng nhiều trong khoa học công nghệ và đời sống.
Trong đó vật lí đại cương là kiến thức cơ bản và phổ thông nhất. Nó bao gồm
nhiều phần khác nhau: Cơ, nhiệt, điện, quang, vật lí hạt nhân,…
Bài tập vật lí được hiểu là một vấn đề đặt ra đòi hỏi phải giải quyết nhờ
những suy lí lôgic, những phép toán và thí nghiệm dựa trên cơ sở các định luật
và các phương pháp Vật lí. Trong chương trình Vật lí trung học phổ thông
(THPT), bài tập vật lí có tầm quan trọng đặc biệt. Chúng được sử dụng theo
những mục đích khác nhau như: là phương tiện nghiên cứu tài liệu mới; phương
tiện rèn luyện cho học sinh (HS) khả năng vận dụng kiến thức, liên hệ lí thuyết
với thực tế, học tập với đời sống; phương tiện ôn tập, củng cố kiến thức đã học
một cách sinh động và có hiệu quả;… Quá trình giải một bài toán vật lí thực chất
là quá trình tìm hiểu điều kiện của bài toán, xem xét hiện tượng vật lí được đề
cập và dựa trên kiến thức vật lí, toán để nghĩ tới những mối liên hệ có thể có của
cái đã cho và cái phải tìm, sao cho có thể thấy được cái phải tìm có liên hệ trực
tiếp hoặc gián tiếp với cái đã cho. Từ đó đi tới việc chỉ rõ mối liên hệ tường
minh trực tiếp của cái phải tìm với cái đã biết.
Bài tập trong chương trình Vật lí THPT rất đa dạng và phong phú trong đó
các dạng bài tập về cực trị cũng khá phổ biến. Các dạng bài tập này thường tập
trung nhiều vào phần Cơ học và Điện học. Mỗi dạng bài toán đều có cách giải
nhất định. Song, để chọn cách giải phù hợp là điều còn khó khăn đối với nhiều
học sinh và một số giáo viên trẻ. Trên thực tế cũng chưa có nhiều tài liệu viết về
vấn đề này có tính hệ thống và đầy đủ.
2

Qua quá trình tìm hiểu, chúng tôi chỉ thấy một số tài liệu có đề cập tới bài
toán cực trị trong Vật lí. Tác giả Phùng Thị Tuyết, [10] với khóa luận về “Bài
toán cực trị trong dòng điện xoay chiều”. Hay công trình: “Ứng dụng của đạo
hàm, tích phân các bài toán vật lí” của tác giả Nguyễn Thị Kim Thoa,[11] thì
chỉ tập trung vào phương pháp tích phân đạo hàm để giải các bài toán định
lượng. Ngoài ra trong “Một số cách giải bài toán cực trị trong vật lí sơ cấp” của
Nguyễn Thọ Hoài, [6] cũng chỉ mới đưa ra được những ví dụ cơ bản áp dụng
một số công cụ để giải bài tập. Trong các công trình nêu trên các tác giả cũng
chỉ tập trung nhiều về các bài cực trị trong dòng điện xoay chiều mà chưa đề cập
nhiều tới các bài toán cực trị trong những lĩnh vực vật lí khác.
2. Tính cấp thiết của đề tài
Vật lý là môn khoa học thực nghiệm, các định luật, công thức vật lý được
xây dựng trên biểu thức toán học phù hợp với kết quả thực nghiệm. Để xác định
các đại lượng vật lý, giải thích sự thay đổi các đại lượng vật lý, giải thích các
hiện tượng vật lý nhất thiết phải dùng các công thức toán học như các hàm số sơ
cấp hàm siêu việt, phép tính đạo hàm tích phân,… Tuy nhiên, việc sử dụng toán
học có ý nghĩa và hiệu quả vào giải bài toán vật lí nhất là các bài toán cực trị vẫn
là vấn đề khó đối với nhiều học sinh phổ thông và giáo viên mới ra trường.
Hiện nay, để bồi dưỡng được khả năng vận dụng toán học vào giải bài toán
Vật lí thì giáo viên và HS có thể tham khảo những tài liệu về các dạng bài tập
vật lí theo từng cấp học do nhiều nhà xuất bản đã ấn hành. Các tài liệu này rất
phong phú và đa dạng có thể thấy cùng một vấn đề có nhiều tác giả viết nhưng
tài liệu chuyên viết về vấn đề cực trị trong Vật lí THPT một cách hệ thống còn
khá khiêm tốn.
Thêm vào đó, trong các bài thi kiểm tra đánh giá học sinh hiện nay, những
bài tập mang tính phân loại học sinh cũng có khá nhiều bài tập liên quan tới cực
trị. Nhưng trên thực tế là không phải học sinh nào cũng có thể giải các bài tập
loại này một cách thành thạo. Nhất là với hình thức thi trắc nghiệm học sinh
3

không có nhiều thời gian để giải, do vậy việc cung cấp cho học sinh một hệ
thống các bài toán cực trị cũng cách thức giải chung những dạng bài này kèm
theo đó là những ví dụ minh họa là điều cần thiết giúp cho HS có thể rèn luyện
thêm về kĩ năng giải toán Vật lí.
Xuất phát từ thực tiễn nêu trên, và với mong muốn cung cấp cho HS cũng
như sinh viên sư phạm cách nhận diện và đưa ra cách giải bài toán cực trị trong
Vật lí một cách nhanh chóng và hiệu quả chúng tôi lựa chọn đề tài “Phân loại
và phương pháp giải bài toán cực trị trong chương trình Vật lí THPT".
3. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài
3.1. Mục tiêu của đề tài
Phân loại và đưa ra phương pháp giải các bài toán cực trị trong chương
trình Vật lí THPT.
3.2. Nhiệm vụ của đề tài
- Tìm hiểu các kiến thức toán học bổ trợ cho việc giải các bài toán cực trị;
- Hệ thống hóa các kiến thức vật lí có liên quan tới bài toán cực trị;
- Phân loại các dạng bài toán cực trị theo các lĩnh vực Vật lí;
- Đưa ra phương pháp giải chung cho các dạng bài cực trị;
- Giải một số ví dụ mẫu và cung cấp một số bài tập tương tự trong từng
dạng.
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
4.1. Đối tượng nghiên cứu: Các dạng bài tập Vật lí THPT và phương pháp
giải tương ứng.
4.2. Phạm vi nghiên cứu: Các bài tập cực trị trong Vật lí THPT.
5. Nội dung nghiên cứu
- Nội dung 1: Tìm hiểu những kiến thức toán học về cực trị và kiến thức
Vật lí THPT có liên quan tới bài toán cực trị.
4

- Nội dung 2: Phân loại các dạng bài tập cực trị theo các lĩnh vực Vật lí rồi
đưa ra phương pháp giải chung.

- Nội dung 3: Giải cụ thể một số ví dụ mẫu theo từng dạng.
Dựa trên những nội dung nghiên cứu, đề tài dự kiến có cấu trúc như sau:
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ HỌC CỦA BÀI TOÁN
CỰC TRỊ TRONG CHƯƠNG TRÌNH VẬT LÍ THPT
1.1. Bài toán cực trị
1.2. Một số kiến thức về tìm cực trị trong toán học
1.3. Một số kiến thức Vật lí THPT có liên quan khi giải bài tập cực trị
CHƯƠNG 2. PHÂN LOẠI DẠNG BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG CHƯƠNG
TRÌNH VẬT LÍ THPT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TƯƠNG ỨNG
2.1. Dạng bài toán cực trị trong Cơ học
2.2. Dạng bài toán cực trị trong điện học
2.3. Dạng bài tập cực trị trong quang hình học
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO
6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nhóm nghiên cứu sưu tầm những tài
liệu liên quan đến đề tài: đọc, phân tích, tổng hợp, hệ thống những kiến thức của
tài liệu thành kiến thức toán học về cực trị và kiến thức Vật lí THPT có liên
quan tới bài toán cực trị sử dụng trong đề tài.
- Phương pháp chuyên gia: Nhóm nghiên cứu tham khảo ý kiến của giáo
viên hướng dẫn, các thầy cô bộ môn Lí và giáo viên THPT về tính phù hợp của
việc đưa ra các dạng toán và phương pháp giải.
5

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ TOÁN HỌC VÀ VẬT LÍ HỌC CỦA BÀI TOÁN
CỰC TRỊ TRONG CHƯƠNG TRÌNH VẬT LÍ THPT
1.1. Bài toán cực trị
Trong toán học, bài toán cực trị là một dạng toán thường gặp. Ở đó đề bài
thường yêu cầu xác định cực đại hoặc cực tiểu của một biểu thức hay một hàm
số nào đó cho trước.

Trong Vật lí học, bài toán cực trị cũng được sử dụng khá phổ biến như:
tìm cực đại trong chuyển động ném xiên hay tìm hiệu điện thế cực đại trong bài
toán dòng điện xoay chiều, …
Để giải các bài toán cực trị trong vật lí học nói chung người ta thường sử
dụng các kiến thức có sẵn có trong toán học như: bất đẳng thức Côsi, bất đẳng
thức Bunhiacopxki, các định lí về hàm số lượng giác trong tam giác,…
1.2. Một số kiến thức về tìm cực trị trong toán học
1.2.1. Tìm cực trị dựa vào tính chất của phân thức đại số
Xét một phân số P có dạng:

, với A là hằng số dương, (phụ
thuộc vào một biến số nào đó). Khi đó:
- Phân số P đạt giá trị lớn nhất khi mẫu số B là nhỏ nhất.
- Phân số P đạt giá trị nhỏ nhất khi mẫu số B là lớn nhất.
Tính chất của phân thức đại số có nhiều ứng dụng trong giải bài toán công
suất trong dòng điện xoay chiều.
1.2.2. Tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Côsi
Bất đẳng thức cho ta biết: trung bình cộng của n số thực không âm luôn
lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng và trung bình cộng chỉ bằng trung
bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.
+ Áp dụng cho 2 số dương a, b ta có:

6

Dấu “=” xảy ra khi a = b
+ Áp dụng cho n số hạng :

;

Dấu “=” xảy ra khi :
Bất đẳng thức Côsi có nhiều vận dụng trong việc giải các bài toán vật lí,
nhất là các bài toán về cơ học và điện xoay chiều.
1.2.3. Tìm cực trị dựa vào bất đẳng thức Bunhiacopxki
Cho 2 cặp số ( a
1
, b
1
) và (a
2
, b
2
), giữa hai cặp số có mối liên hệ như sau :

Dấu “=” xảy ra khi :

Mở rộng: cho n cặp số ( a
1
, b
1
), ( a
2
, b
2
),…, ( a
n
, b
n
) ta có :

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
1.1.4. Tìm cực trị bằng công thức tam thức bậc hai
Giả sử có tam thức bậc hai sau :
( a )
Tam thức bậc hai có đồ thị là một parabol với đặc điểm :
+ Nếu a > 0 thì
tại

, bề lõm quay lên trên.
+ Nếu a < 0 thì

tại , bề lõm quay
xuống dưới.
+ Tọa độ đỉnh A( ,

).
Các công thức về tam thức bậc hai thường được áp dụng trong giải các bài
tập về chuyển động cơ học và bài tập điện xoay chiều.
1.2.5. Tìm cực trị của các hàm số lượng giác
a) Định lí hàm số sin và cos trong tam giác
7

Cho tam giác ABC với các góc ở đỉnh là , , và các cạnh ứng với các
góc là a, b, c . Ta có :
- Định lí hàm số sin trong tam giác :
.
Suy ra:

a
b .sin B
sin A
=
: nếu a, sinA là những hằng số thì b đạt giá trị cực đại
khi sinB =1 hay
o
ˆ
B 90
=
.
- Định lí hàm số cos trong tam giác :
.
b) Cực trị của hàm số lượng giác :
Hàm số: y = sinx thì khi x = + k với k Z

khi x = k .
Hàm số: y = cosx thì khi x = k

khi x = + k .
1.2.6. Tìm cực trị bằng phương pháp đạo hàm
Xét hàm số y = f(x), hàm số y = f(x) có cực trị khi f’(x) = 0 :
+ Hàm số có cực đại tại x = x
0
khi và chỉ khi : f"(x
0
) < 0 ;
+ Hàm số có cực tiểu tại x = x
0

khi và chỉ khi : f"(x
0
) > 0 .
1.3. Một số kiến thức Vật lí THPT có liên quan khi giải bài tập cực trị
Trong chương trình Vật lí THPT các bài tập cực trị thường tập trung ở
phần Cơ học, Dao động cơ học, Quang hình học, Điện và từ (nhất là phần Điện
xoay chiều).
1.3.1. Kiến thức phần Cơ học
Trong phần Cơ học, khi giải các bài toán cực trị thường phải sử dụng các
kiến thức về các định luật Niu - tơn, định luật bảo toàn cơ năng, định luật bảo
toàn động lượng, định lí động năng, …
a. Ba định luật Niu - tơn
8

- Định luật 1 Niu - tơn: Một vật sẽ đứng yên hay chuyển động thẳng đều
nếu không chịu một lực nào tác dụng hoặc nếu các lực tác dụng vào nó cân
bằng nhau.
- Định luật 2 Niu - tơn:
+ Nội dung: Gia tốc của một vật tỉ lệ thuận với lực tác dụng vào vật và tỉ
lệ nghịch với khối lượng của vật.
+ Biểu thức: (1.1)
- Định luật 3 Niu - tơn:
+ Nội dung: Hai vật tương tác nhau với những lực bằng nhau về độ lớn,
cùng giá nhưng ngược chiều.
+ Biểu thức:
(1.2)
b. Định luật bảo toàn cơ năng
+ Nội dung: Cơ năng của một vật chỉ chịu tác dụng của những lực thế
luôn được bảo toàn.
+ Biểu thức :

(1.3)
Trong đó W
A
, W
B
là cơ năng của vật ở vị trí A, B bất kì.
- Trường hợp vật chỉ chịu tác dụng của trọng lực, định luật bảo toàn cơ
năng được viết dưới dạng :

(1.4)
Trong đó m là khối lượng của vật, v
1
và v
2
là vận tốc của vật tại A và B, z
1
và z
2

là độ cao của vật so với mốc thế năng.

+ Trường hợp vật chỉ chịu tác dụng của lực đàn hồi:

(1.5)
Trong đó m là khối lượng của vật, v
1
và v
2
là vận tốc của vật tại A và B, k là độ

cứng của lò xo, x
1
và x
2
là li độ của vật tại vị trí A và B.
c. Định lí động năng
+ Nội dung định lí: Độ biến thiên động năng của một vật bằng công của
ngoại lực tác dụng lên vật
9

+ Biểu thức: W
đ
= - = A (1.6)
Trong đó A là công của ngoại lực tác dụng lên vật.
d. Định luật bảo toàn động lượng
+ Nội dung định luật: Vectơ tổng động lượng của hệ kín được bảo toàn.
+ Biểu thức :
(1.7)
Trong đó
là tổng động lượng của hệ.
1.3.2. Kiến thức phần Điện học
a. Định luật bảo toàn điện tích
+ Nội dung: Ở một hệ vật cô lập về điện (nghĩa là hệ không trao đổi điện
tích với các hệ khác) thì tổng đại số các điện tích trong hệ là một hằng số.
b. Định luật Cu-lông
+ Nội dung : Độ lớn của lực tương tác giữa hai điện tích điểm tỉ lệ thuận
với tích các độ lớn của hai điện tích đó và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng
cách giữa chúng. Phương của lực tương tác giữa hai điện tích điểm là đường
thẳng nối hai điện tích điểm đó. Hai điện tích cùng dấu thì đẩy nhau, hai điện
tích trái dấu thì hút nhau.

+ Biểu thức: F =

(1.8)

Trong đó ), r là khoảng cách giữa hai điện tích điểm, ε là
hằng số điện môi; |q
1
|, |q
2
| là độ lớn hai điện tích điểm (C)
c. Tương tác của nhiều điện tích
Nếu điện tích q cùng lúc tương tác với các điện tích điểm q
1,
q
2,
q
3,
thì
lực tổng hợp tác dụng lên là:
=
1
+
2
+
3
+……+ …. (1.9)
Trong đó
1
,
2

,
3
, là lực tương tác của của các điện tích điểm q
1,
q
2,
q
3
, lên
điện tích q được xác định theo công thức định luật Cu-lông.
d. Điện trường
10

+ Khái niệm: Điện trường là một dạng vật chất bao quanh điện tích trong
không gian.
- Vectơ cường độ điện trường tại một điểm là một đại lượng vectơ có trị
số bằng lực tác dụng của điện trường lên một đơn vị điện tích đặt tại điểm đó.
+ Biểu thức :

(1.10)
- Nếu hạt mang điện được đặt trong điện trường có cường độ điện trường
E

thì
hạt mang điện chịu tác dụng của lực :
= q (1.11)
• Nếu q > 0 thì
cùng chiều với
.
• Nếu q < 0 thì ngược chiều với

.

e. Dòng điện xoay chiều
Điện áp biến đổi điều hòa theo thời gian là điện áp xoay chiều :

(1.12)
Khi đặt điện áp xoay chiều vào hai đầu vào hai đầu của một đoạn mạch
điện, trong mạch có một dao động điện từ cưỡng bức. Đó là dòng điện xoay
chiều biến đổi cùng tần số nhưng nói chung lệch pha so với
Cường độ dòng điện :
(1.13)
Với là độ lệch pha của so với .
+ Các giá trị hiệu dụng của dòng xoay chiều được xác định:

(1.14)
+ Các công thức dùng cho một đoạn mạch xoay chiều :
- Công suất tỏa nhiệt :
= (1.15)
- Định luật Ôm :

+ Các công thức dùng cho một đoạn mạch nối tiếp để xác định
• Tổng trở :
11

(1.16)
• Định luật ôm :

(1.17)
-Điện áp hiệu dụng :

(1.18)
-Độ lệch pha của
so với :

(1.19)
-Hệ số công suất:
= (1.20)
-Điều kiện cộng hưởng :

hay
(1.21)

Khi đó U
AB
cùng pha với i ; ; U
R
cùng pha với U
AB
; U
R
= U
AB
;

; (1.22)
+Công suất hao phí của đường dây tải điện trở
là:

(1.23)
Trong đó U là điện áp và P là công suất truyền đi ở trạm phát điện. Để giảm hao
phí trên đường đi ta tăng hiệu điện thế của dòng điện.
1.3.3. Kiến thức phần Quang hình học
12

+ Định nghĩa: Lăng kính là một khối trong suốt, đồng chất, được giới hạn
bởi hai mặt phẳng không song song.
+ Các công thức lăng kính :
- Trường hợp tổng quát :
Với lăng kính, ta có các công thức sau :

(1.24)

(1.25)
(1.26)
(1.27)
+ Trường hợp các góc nhỏ : ,
Ta được : (1.24a)
(1.25a)

(1.27a)
(Với D là góc lệch giữa phương của tia tới lăng kính và phương của tia ló ra
khỏi lăng kính)
+ Trường hợp góc lệch cực tiểu : ta có
(góc tới ứng với độ
lệch cực tiểu). Khi đó:

(1.28)

(1.29)
Hay :

Suy ra:
(1.30)
1.3.4. Kiến thức phần Dao động cơ học
+ Định nghĩa: Dao động điều hòa là dao động được mô tả bằng một định
luật dạng sin (hoặc cosin) theo thời gian.
+ Phương trình của dao động điều hòa:

x Asin( t )
= ω + ϕ
(1.31)
Trong đ
ó: A, ω, ϕ là các h
ằ
ng s
ố
d
ươ
ng

Hình 1.1

13

x: li
độ

dao
độ
ng (
độ
l
ệ
ch c
ủ
a v
ậ
t kh
ỏ
i v
ị
trí cân b
ằ
ng cm, m)
A: biên
độ
dao
độ
ng (giá tr
ị
c
ự
c
đạ
i c
ủ
a li

độ

max
x A
=
)
(ωt + ϕ): pha dao
độ
ng
ở
th
ờ
i
đ
i
ể
m t (rad)
ϕ: pha ban
đầ
u (t = 0) (rad)
- Chu kì dao
độ
ng T: kho
ả
ng th
ờ
i gian
để
v
ậ

t th
ự
c hi
ệ
n xong m
ộ
t dao
độ
ng.
Đơ
n v
ị
: giây (s).
2
T
π
=
ω
(1.32)
- T
ầ
n s
ố
dao
độ
ng f: s
ố
l
ầ
n dao

độ
ng v
ậ
t th
ự
c hi
ệ
n
đượ
c trong 1 giây.
Đơ
n
v
ị
: Hertz (Hz).
1
f
T 2
ω
= =
π
(1.33)
- Ph
ươ
ng trình v
ậ
n t
ố
c:

v x' Acos( t )
= = ω ω + φ
(1.34)
+ V
ậ
n t
ố
c
đạ
t c
ự
c
đạ
i khi v
ậ
t qua VTCB (x = 0):
max
v A
= ω
(1.35)
+ V
ậ
n t
ố
c nh
ỏ
nh
ấ
t khi v
ậ

t
ở
2 VT biên (
x A
= ±
):
min
v 0
=
(1.36)
- Ph
ươ
ng trình v
ậ
n t
ố
c:

2 2
a v' x" Asin( t ) x
= = = −ω ω + φ = −ω
(1.37)
+ Gia t
ố
c c
ự
c
đạ
i khi v
ậ

t
ở
VT biên:
2
max
a A
= ω
(1.38)
+ Gia t
ố
c c
ự
c ti
ể
u khi v
ậ
t
ở
VTCB (x = 0):
min
a 0
=
(1.39)
Công th
ứ
c liên h
ệ
gi
ữ
a v, A, ω, x:

2 2 2 2
v (A x )
= ω −
(1.40)

14

CHƯƠNG 2. PHÂN LOẠI DẠNG BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG
CHƯƠNG TRÌNH VẬT LÍ THPT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TƯƠNG
ỨNG
2.1. Dạng bài toán cực trị trong Cơ học
2.1.1. Tìm độ cao cực đại, cực tiểu của vật bị ném xiên
a. Bài toán tổng quát
Ném m
ộ
t v
ậ
t t
ừ
m
ặ
t
đấ
t v
ớ
i v
ậ
n t

ố
c ban
đầ
u v
0
theo ph
ươ
ng ngang 1 góc

a) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình chuy
ể
n
độ
ng c
ủ
a v
ậ
t
b) Tìm qu
ỹ

đạ
o c
ủ
a v
ậ

t
c) Tính th
ờ
i gian k
ể
t
ừ
lúc v
ậ
t ném
đế
n khi ch
ạ
m
đấ
t
d) Xác
đị
nh t
ầ
m xa c
ủ
a v
ậ
t
e) Tính
độ
cao c
ự
c

đạ
i mà v
ậ
t có th
ể

đạ
t
đượ
c.
Phương pháp giải:
Ch
ọ
n h
ệ
tr
ụ
c t
ọ
a
độ
Oxy, Ox n
ằ
m ngang, Oy
h
ướ
ng lên trên g
ố
c O t
ạ

i v
ị
trí ném v
ậ
t g
ố
c th
ờ
i gian t = 0 t
ạ
i th
ờ
i
đ
i
ể
m ném v
ậ
t .

V
ớ
i x
0
= y
0
= 0

Có

a)

Ph
ươ
ng trình chuy
ể
n
độ
ng c
ủ
a v
ậ
t
(1)
(2)
b)

Ph
ươ
ng trình qu
ỹ

đạ
o (chính là d
ạ
ng qu
ỹ

đạ
o )

15

T
ừ
(1)
⇒
thay vào (2)

⇒

⇒

c)

Tính th
ờ
i gian k
ể
t
ừ
lúc v
ậ
t ném
đế
n lúc ch
ạ

m
đấ
t
g
ọ
i th
ờ
i gian chuy
ể
n
độ
ng là
y = 0
⇔

⇔

⇔

d)

Thay t = vào (1)

L
max

⇒

⇒

α
= 45
0

e)

Xác
đị
nh
độ
cao c
ự
c
đạ
i mà v
ậ
t
đạ
t
đượ
c:
* Cách 1:
Dùng
đạ
o hàm H
max
khi v
ậ

t
đạ
t
độ
cao c
ự
c
đạ
i thì
y
dy
v 0
dt
= =
:

⇒
thay vào (2)
* Cách 2:
Nh
ậ
n th
ấ
y y có d
ạ
ng tam th
ứ
c b
ậ
c 2 theo bi

ế
n t, nên:

2 2
o
max max
v sin
H y
4a 2g
∆ α
= = − =
b. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1
:
16

V
ậ
t nh
ỏ
m
đượ
c truy
ề
n v
ậ
n t
ố
c
ban

đầ
u theo ph
ươ
ng ngang v
0
=10 m/s
t
ừ
A. Sau
đ
ó m
đ
i lên theo
đ
o
ạ
n
đườ
ng
tròn BC tâm O, bán kính R =2m, ph
ươ
ng
OB th
ẳ
ng
đứ
ng, = = 60
0
và m r
ơ

i
xu
ố
ng t
ạ
i D. B
ỏ
qua ma sát và s
ứ
c c
ả
n
c
ủ
a không khí.
a) Tính v
ậ
n t
ố
c c
ủ
a m t
ạ
i C
b) Tính
độ
cao c
ự
c
đạ

i c
ủ
a m và chi
ề
u dài CD.
Bài giải
Chuy
ể
n
độ
ng c
ủ
a m tuân theo
đị
nh lu
ậ
t b
ả
o toàn c
ơ
n
ă
ng
Ch
ọ
n g
ố
c th
ế
n

ă
ng tr
ọ
ng tr
ườ
ng
ở
B
W
B
= W
C
⇔

mv
0
2
= mv
c
2
+ mg(R-Rcos )
⇔

v
c
=
⇔
v
c
=

=8,9 (m/s)

Sau khi r
ờ
i C, m chuy
ể
n
độ
ng nh
ư

v
ậ
t
đượ
c ném xiên v
ớ
i v
ậ
n t
ố
c
đầ
u
v
c
, h
ợ
p v

ớ
i ph
ươ
ng ngang góc

b)Tính
độ
cao và t
ầ
m xa trong chuy
ể
n
độ
ng ném xiên:
Ph
ươ
ng trình chuy
ể
n
độ
ng :

h
max
= y
max
khi và ch
ỉ
khi

⇔

⇔

17

Thay t vào (2) ta có :

Tầm xa của vật:
chi
ề
u dài CD
T
ạ
i D có :
T
ừ
(*)
⇔

⇔

. thay vào (**) ta có :

⇔
(m).
Ví dụ 2
:
M
ộ
t qu
ả
c
ầ
u
đượ
c ném th
ẳ
ng
đứ
ng t
ừ
m
ặ
t
đấ
t lên v
ớ
i v
ậ
n t
ố

c ban
đầ
u
15m/s. B
ỏ
qua l
ự
c c
ả
n c
ủ
a không khí. Cho g = 10 m/s
2
.
a) Vi
ế
t các ph
ươ
ng trình gia t
ố
c, v
ậ
n t
ố
c và t
ọ
a
độ
c
ủ

a qu
ả
c
ầ
u theo th
ờ
i gian.
b) Xác
đị
nh v
ị
trí và v
ậ
n t
ố
c c
ủ
a qu
ả
c
ầ
u sau khi ném 2 s.
c) Qu
ả
c
ầ
u s
ẽ

đạ

t
độ
cao t
ố
i
đ
a là bao nhiêu khi chuy
ể
n
độ
ng ?
d) Bao lâu sau khi ném, qu
ả
c
ầ
u r
ơ
i tr
ở
v
ề
m
ặ
t
đấ
t ?
e) Bao lâu sau khi ném, qu
ả
c
ầ

u
ở
cách m
ặ
t
đấ
t 8,8 m. Khi này, v
ậ
n t
ố
c
c
ủ
a qu
ả
c
ầ
u lay bao nhiêu ?
Bài giải

Ch
ọ
n g
ố
c t
ọ
a
độ
O
ở

m
ặ
t
đấ
t, tr
ụ
c t
ọ
a
độ
Oy th
ẳ
ng
đứ
ng h
ướ
ng lên, g
ố
c
th
ờ
i gian lúc ném v
ậ
t.
Gia t
ố
c chuy
ể
n
độ

ng :

th
ẳ
ng
đứ
ng, h
ướ
ng xu
ố
ng.
a)

Gia t
ố
c : a = - g = -10 m/s
2

18

V
ậ
n t
ố
c : v = - gt + v
0
= -10t + 15 m/s
T
ọ
a

độ
: y =
-
gt
2
+ v
0
t = -5t
2
+ 15t m
b)

Lúc t = 2 s : v = -10(2) + 15 = -5 m/s
y = -5(2)
2
+ 15(2) = 10 m
V
ậ
t
ở
cách m
ặ
t
đấ
t 10 m ,
đ
ang
đ
i xu
ố

ng v
ớ
i v
ậ
n t
ố
c 5 m/s.
c)

Ta có h
ệ
th
ứ
c : v
2
– v
0
2
= -2gy
Khi qu
ả
c
ầ
u
đạ
t
độ
cao t
ố
i

đ
a: v = 0

y = =
= 11,25m
v
ậ
y
độ
cao t
ố
i
đ
a là 11,25 m.
d)

Khi qu
ả
c
ầ
u r
ơ
i ch
ạ
m
đấ
t y = 0
Suy ra : y = -5t
2
+ 15t = 0

Lo
ạ
i nghi
ệ
m t = 0 , ta suy ra : t = 3s
e)

Khi y = 8,8 m
Ta có : y = -5t
2
+ 15t = 8,8
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình, ta
đượ
c 2 nghi
ệ
m : t
1
= 0,8 s ; t
2
= 2,2 s
lúc t = t
1
= 0,8s : v
1
= -10t
1

+ 15 = 7 m/s
lúc t = t
2
= 2,2s : v
2
= -10t
2
+ 15 = -7 m/s
Hai nghi
ệ
m trên
ứ
ng v
ớ
i hai tr
ườ
ng h
ợ
p qu
ả
c
ầ
u
đ
ang
đ
i lên và
đ
i xu
ố

ng .
Ví dụ 3 ( số 93 tháng 5 năm 2011)
M
ộ
t qu
ả
c
ầ
u nh
ỏ
r
ơ
i t
ự
do t
ừ

đ
i
ể
m A
đế
n m
ộ
t t
ấ
m
ch
ắ
n

đặ
t nghiêng m
ộ
t góc = 45
0
so v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng ngang. Sau khi
va ch
ạ
m
đ
àn h
ồ
i trên t
ấ
m ch
ắ
n,
qu
ả
c
ầ
u r
ơ
i xu

ố
ng m
ặ
t
đấ
t t
ạ
i
đ
i
ể
m
C n
ằ
m cách
đườ
ng th
ẳ
ng
đứ
ng
AB( AB = H ) m
ộ
t
đ
o
ạ
n s. h
ỏ
i ph

ả
i

đặ
t t
ấ
m ch
ắ
n
ở

độ
cao h b
ằ
ng bao nhiêu (mà không thay
đổ
i h
ướ
ng c
ủ
a nó)
để

kho
ả
ng cách s
đạ
t c
ự
c

đạ
i? khi
đ
ó s b
ằ
ng bao nhiêu? B
ỏ
qua s
ứ
c c
ả
n không khí.

19

Bài giải:
Áp d
ụ
ng
đị
nh lu
ậ
t b
ả
o toàn c
ơ
n
ă
ng, ta xác
đị

nh
đượ
c v
ậ
n t
ố
c c
ủ
a qu
ả
c
ầ
u
ngay tr
ướ
c khi ch
ạ
m vào t
ấ
m ch
ắ
n .
= mg(H – h), v =
Sau khi va ch
ạ
m
đ
àn h
ồ
i, v

ậ
n t
ố
c không
đổ
i v
ề

độ
l
ớ
n, nh
ư
ng h
ướ
ng c
ủ
a
nó thay
đổ
i. Theo ph
ươ
ng ngang qu
ả
c
ầ
u bay
đượ
c m
ộ

t kho
ả
ng s = vt, v
ớ
i t là
th
ờ
i gian qu
ả
c
ầ
u bay t
ừ
lúc va ch
ạ
m trên t
ấ
m ch
ắ
n
đế
n khi ch
ạ
m
đấ
t; còn theo
ph
ươ
ng th
ẳ

ng
đứ
ng h = . Khi
đ
ó :
S = = 2 h + (H – h) = H = h
ằ
ng s
ố

V
ậ
y s
max
= H khi h = H – h , t
ừ

đ
ó suy ra h = .
c) Bài tập tương tự

Bài tập 1 :

T
ừ
cao 5 m, m
ộ
t v
ậ
t n

ặ
ng
đượ
c ném theo ph
ươ
ng th
ẳ
ng
đứ
ng lên phía
trên v
ớ
i v
ậ
n t
ố
c ban
đầ
u 4 m/s. Ch
ọ
n h
ệ
tr
ụ
c t
ọ
a
độ
Oy th
ẳ

ng
đứ
ng h
ướ
ng lên
trên
a, Vi
ế
t ph
ươ
ng trình chuy
ể
n
độ
ng c
ủ
a v
ậ
t.
b, Tính v
ậ
n t
ố
c c
ủ
a v
ậ
t khi ch
ạ
m

đấ
t .
Đáp số :a) Phương trình chuyển động : y = -4,9t
2
+ 4t +5
b) v = -10,7 m/s
Bài tập 2 số 93 tháng 5 năm 2011 ):
C
ầ
n ph
ả
i ném m
ộ
t hòn
đ
á d
ướ
i m
ộ
t góc
đố
i v
ớ
i ph
ươ
ng ngang v
ớ
i v
ậ
n

t
ố
c ban
đầ
u t
ố
i thi
ể
u (v
0min
) b
ằ
ng bao nhiêu
để
nó
đạ
t
đượ
c t
ớ
i
độ
cao h ?
Th
ờ
i gian t
để
hòn
đ
á lên t

ớ
i
độ
cao
đ
ó b
ằ
ng bao nhiêu ?

Đáp số : t =

2.1.2. Dạng bài tìm vận tốc cực đại và lực căng dây cực đại trong quá trình
chuyển động của con lắc đơn

20

a. Bài toán tổng quát
Th
ả
con l
ắ
c chuy
ể
n
độ
ng t
ự
do t
ừ

v
ị
trí mà dây h
ợ
p v
ớ
i ph
ươ
ng th
ẳ
ng
đứ
ng m
ộ
t góc α
o
. Tìm v
ậ
n t
ố
c c
ự
c
đạ
i và l
ự
c c
ă
ng c
ự

c
đạ
i c
ủ
a s
ợ
i dây trong quá
trình chon l
ắ
c chuy
ể
n
độ
ng. Bi
ế
t con l
ắ
c có kh
ố
i l
ượ
ng m, dây treo có chi
ề
u dài
l
, b
ỏ
qua kh
ố
i l

ượ
ng c
ủ
a s
ợ
i dây.
Phương pháp giải
- Tìm v
ậ
n t
ố
c c
ủ
a con l
ắ
c:
+ Ta th
ấ
y khó gi
ả
i bài toán b
ằ
ng
đị
nh lu
ậ
t II
Newton vì h
ợ
p l

ự
c c
ủ
a tr
ọ
ng l
ự
c và l
ự
c c
ă
ng dây
tác d
ụ
ng lên v
ậ
t luôn bi
ế
n
đổ
i trong quá trình v
ậ
t
chuy
ể
n
độ
ng. Nh
ư
ng có th

ể
áp d
ụ
ng
đị
nh lu
ậ
t b
ả
o
toàn c
ơ
n
ă
ng vì trong tr
ườ
ng h
ợ
p này, ch
ỉ
có tr
ọ
ng
l
ự
c sinh công, còn l
ự
c c
ă
ng c

ủ
a dây không th
ự
c
hi
ệ
n công do có ph
ươ
ng vuông góc v
ớ
i
độ
d
ờ
i t
ạ
i
m
ọ
i v
ị
trí.
+ Ch
ọ
n C làm m
ố
c
để
tính
độ

cao c
ủ
a v
ậ
t. Ban
đầ
u, v
ậ
t A có
độ
cao so
v
ớ
i C là HC = h =
l
(1 - cosα
o
),
+ Áp d
ụ
ng
đị
nh lu
ậ
t b
ả
o toàn c
ơ
n
ă

ng t
ạ
i A và B:
A B
W W
=

Hay
( )
( )
2
o
mv
mgl 1 cos mgl 1 cos
2
− α = − α +
Ta suy ra v
ậ
n t
ố
c c
ủ
a v
ậ
t t
ạ
i
đ
i
ể

m B b
ấ
t kì:
(
)
o
v 2gl cos cos
= α − α

Để
tìm v
ậ
n t
ố
c c
ự
c
đạ
i d
ự
a vào hàm s
ố
l
ượ
ng giác cosα, v
max
khi cosα = 1, hay
α = 0
o
(t

ạ
i v
ị
trí cân b
ằ
ng).
Khi
đ
ó:
(
)
o
v 2gl 1 cos
= − α

- Tìm l
ự
c c
ă
ng c
ủ
a s
ợ
i dây:
+ Các l
ự
c tác d
ụ
ng lên con l
ắ

c g
ồ
m tr
ọ
ng l
ự
c
P

, l
ự
c c
ă
ng
T

:
+ Áp d
ụ
ng
đị
nh lu
ậ
t II Niu-t
ơ
n:

P T ma
+ =
 



o
α
A
C
B
P

T


Hình 1.
21

+ Chi
ế
u lên ph
ươ
ng c
ủ
a
T

v
ớ
i chi
ề
u d
ươ

ng h
ướ
ng vào tâm quay:

(
)
ht o
T ma Pcos mg 3cos 2cos
= + α = α − α

Để
tìm l
ự
c c
ă
ng c
ự
c
đạ
i d
ự
a vào hàm s
ố
l
ượ
ng giác cos
α
, T
max
khi cos

α

=
1, hay
α

=
0
o
(t
ạ
i v
ị
trí cân b
ằ
ng).
b. Bài tập ví dụ
Ví dụ 1:

M
ộ
t con l
ắ
c
đơ
n g
ồ
m qu
ả
c

ầ
u nh
ỏ
kh
ố
i l
ượ
ng 50 g treo vào m
ộ
t
đầ
u dây
m
ả
nh dài 1 m. l
ấ
y g = 9,8
m/s
2
. Kéo con l
ắ
c ra kh
ỏ
i v
ị
trí cân b
ằ
ng m
ộ
t góc

α
0
=60
0
r
ồ
i buông ra
để
con l
ắ
c chuy
ể
n
độ
ng v
ớ
i v
ậ
n t
ố
c ban
đầ
u b
ằ
ng 0.
a)

L
ậ
p bi

ể
u th
ứ
c tính v
ậ
n t
ố
c và l
ự
c c
ă
ng dây khi dây treo h
ợ
p v
ớ
i
ph
ươ
ng th
ằ
ng
đứ
ng m
ộ
t góc
b)

T
ạ
i v

ị
trí nào thì l
ự
c c
ă
ng dây c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u ?
Tính v
ậ
n t
ố
c và l
ự
c c
ă
ng dây t
ạ
i các v
ị
trí
đ
ó .

Bài giải
a)

Bi
ể
u th
ứ
c tính v và T
Ch
ọ
n v
ị
trí cân b
ằ
ng A
0
làm g
ố
c th
ế

N
ă
ng nh
ư
hình bên . T
max
A
1

α
0

C
ơ
n
ă
ng t
ạ
i A
1
:
W
1
= W = mgA
0
H
1

= mg
l
(1-

cos
α
0
)

C

ơ
n
ă
ng t
ạ
i A : W=W
đ
+W
t

C
ơ
n
ă
ng
đượ
c b
ả
o toàn :
W=
mv
2
+ mg
l
(1- cos
α
)

⇒

Suy ra : v
2
= 2g
l
(cos
α
- cos
α
0
) (1)
L
ự
c tác d
ụ
ng vào qu
ả
c
ầ
u : (2)

22

Chi
ế
u (2) : F
N
= -Pcos
α
+ T = m = 2mg (cos

α
-cos
α
0
)
Suy ra : T= mg(3cos
α
-2cos
α
0
) (3)
b)

Tính T
max
, T
min
, V
max
, V
min

(3)
⇒

- Khi
α
= 0
⇒
= =3,13 m/s

T
max
= mg(3 - 2cos
α
0
) = 0,98 N

-

Khi
α
= 60
0

⇒
v
min
= 0
T
min
= m.g.cos
α
0
= 0,245 N
Nh
ậ
n xét : Trong bài toán v
ậ
t lí này ki
ế

n th
ứ
c toán h
ọ
c ch
ỉ
là s
ử
d
ụ
ng giá tr
ị
c
ự
c
tr
ị
c
ủ
a hàm l
ượ
ng giác, ki
ế
n th
ứ
c v
ậ
t lí ch
ủ
y

ế
u là
đ
i t
ừ

đị
nh lu
ậ
t b
ả
o toàn s
ử

d
ụ
ng
đ
inh lu
ậ
t II Newton có th
ể
tìm
đượ
c bi
ể
u th
ứ
c c
ủ

a l
ự
c c
ă
ng T.
d. Bài tập tương tự
Bài t
ậ
p1: (
Sách rèn luyện kĩ năng giải toán Vật li 12
)
M
ộ
t con l
ắ
c
đơ
n g
ồ
m m
ộ
t dây m
ả
nh g
ắ
n v
ớ
i c
ủ
a c

ầ
u nh
ỏ
. Dây treo s
ẽ
b
ị

đứ
t khi
ch
ị
u tác d
ụ
ng c
ủ
a l
ự
c c
ă
ng b
ằ
ng 2 l
ầ
n trong l
ượ
ng c
ủ
a qu
ả

c
ầ
u. Biên
độ
góc c
ủ
a
con l
ắ
c b
ằ
ng bao nhiêu thì dây treo b
ị

đứ
t .
Đáp số:

Bài t
ậ
p 2: [ ]
M
ộ
t con l
ắ
c
đơ
n có chi
ề
u dài

l
v
ậ
t n
ặ
ng kh
ố
i l
ượ
ng m. Kéo con l
ắ
c ra kh
ỏ
i v
ị
trí
cân b
ằ
ng góc r
ồ
i th
ả
không v
ậ
n t
ố
c
đầ
u. B
ỏ

qua ma sát .
a)

Thi
ế
t l
ậ
p bi
ể
u th
ứ
c tính l
ự
c c
ă
ng dây v
ớ
i góc l
ệ
ch
b)

V
ớ
i , hãy tìm t
ỉ
s
ố
c
ủ

a l
ự
c c
ă
ng l
ớ
n nh
ấ
t và
nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủ
a dây treo.
Đáp số
: a) T = mg(3cos
α
-2cos
α
0
)
23

b)
=
4

2.1.3.

Tìm độ cao tối thiểu ban đầu để vật chuyển động tròn không rời khỏi
vòng xiếc
Phương pháp giải

-

Vi
ế
t
đ
i
ề
u ki
ệ
n cân b
ằ
ng c
ủ
a v
ậ
t r
ắ
n (vi
ế
t bi
ể
u th
ứ
c

đị
nh lu
ậ
t hai newton
cho v
ậ
t,
để
có th
ể
v
ượ
t qua h
ế
t vòng xi
ế
c, qu
ả
c
ầ
u ph
ả
i luôn nén lên vòng xi
ế
c
khi chuy
ể
n
độ
ng, ngh

ĩ
a là N > 0 v
ớ
i m
ọ
i v
ị
trí góc ).
- S
ử
d
ụ
ng
đị
nh lu
ậ
t b
ả
o toàn c
ơ
n
ă
ng cho hai v
ị
trí lúc
đầ
u và t
ạ
i v
ị

trí b
ấ
t kì;
- S
ử
d
ụ
ng m
ố
i liên h
ệ
gi
ữ
a gia t
ố
c h
ướ
ng tâm và và v
ậ
n t
ố
c c
ủ
a v
ậ
t;
- T
ừ

đ

ó ta có các ph
ươ
ng trình k
ế
t h
ợ
p v
ớ
i giá tr
ị
c
ự
c
đ
ai c
ủ
a hàm l
ượ
ng
giác
để
tìm ra c
ự
c tr
ị
c
ủ
a bài.
a. Bài tập mẫu
Ví dụ 1

Q
ủ
a c
ầ
u nh
ỏ
kh
ố
i l
ượ
ng m l
ă
n không v
ậ
n t
ố
c
đầ
u t
ừ
n
ơ
i có
độ
cao h, qua
1 vòng xi
ế
c bán kính R. B
ỏ

qua ma sát.
a) Tính l
ự
c do qu
ả
c
ầ
u nén lên vòng xi
ế
c
ở
v
ị
trí M, xác
đị
nh b
ở
i góc
b) Tìm h nh
ỏ
nh
ấ
t
để
qu
ả
c
ầ
u có th
ể

v
ượ
t qua h
ế
t vòng xi
ế
c
Bài giải
a)

L
ự
c nén :
Để
xác
đị
nh l
ự
c tác d
ụ
ng lên m t
ạ
i v
ị

trí M , ta c
ầ
n xác
đị
nh v

ậ
n t
ố
c c
ủ
a m t
ạ
i v
ị
trí
M. Áp d
ụ
ng
đị
nh lu
ậ
t b
ả
o toàn c
ơ
n
ă
ng cho
m
ở
2 v
ị
trí A, M
W
A

= W
M
m.g.h=m.g.R.(1+cos ) + m.v
2

V
ậ
n t
ố
c c
ủ
a m t
ạ
i v
ị
trí M:

24

V=
Ph
ươ
ng trình chuy
ể
n
độ
ng c
ủ
a m trong vòng xi
ế

c :
+
Chi
ế
u ph
ươ
ng trình lên tr
ụ
c h
ướ
ng tâm t
ạ
i M:

L
ự
c do qu
ả
c
ầ
u nén lên vòng xi
ế
c có
độ
l
ớ
n b
ằ
ng l
ự

c
đ
àn h
ồ
i c
ủ
a vòng xi
ế
c tác
d
ụ
ng lên qu
ả
c
ầ
u

b)
Độ
cao h
min
Để
có th
ể
v
ượ
t qua h
ế

t vòng xi
ế
c, qu
ả
c
ầ
u ph
ả
i luôn nén lên vòng xi
ế
c khi
chuy
ể
n
độ
ng, ngh
ĩ
a là N > 0 v
ớ
i m
ọ
i v
ị
trí góc .
25

T
ừ
bi
ể

u th
ứ
c N, ta th
ấ
y N nh
ỏ
nh
ấ
t khi cos =1,
(v
ị
trí qu
ả
c
ầ
u
ở
cao nh
ấ
t trong vòng xi
ế
c)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
để
qu

ả
c
ầ
u qua h
ế
t vòng xi
ế
c:
N
min
= m.g.(

-5) 0
⇒
h 2,5R
Trong th
ự
c t
ế
, do ma sát và s
ứ
c c
ả
n c
ủ
a không khí nên h s
ẽ
ph
ả
i là giá tr

ị

l
ớ
n h
ơ
n 2,5R
b. Bài tập tương tự
Bài tập 1
: V
ậ
t nh
ỏ
b
ắ
t
đầ
u tr
ượ
t t
ừ

A có
độ
cao h xu
ố
ng m
ộ
t vòng xi
ế

bán kính R không v
ậ
n t
ố
c ban
đầ
u.
Vòng xi
ế
c có m
ộ
t
đ
o
ạ
n CD h
ở
v
ớ
i
= = , OB th
ẳ
ng
đứ
ng
a)

Xác
đị

nh h
để
v
ậ
t
đ
i h
ế
t vòng xi
ế
c
b)

Trong
đ
i
ề
u ki
ệ
n
ở
câu a, góc là
bao nhiêu thì
độ
cao h có giá tr
ị
c
ự
c ti
ể

u?
Đáp số: a) h = R (1 + cos +
)
b) = 45
2.1.4. Tìm cực trị trong bài toán va chạm của các vật
Phương pháp giải

•

S
ử
d
ụ
ng hai
đị
nh lu
ậ
t b
ả
o toàn: b
ả
o toàn c
ơ
n
ă
ng (
đố
i v
ớ
i va ch