Luyện tập tổng hợp

Bµi tËp «n tËp tæng hîp
*****
Bài 1. Tìm m để đồ thị hàm số:
2
x 4mx 5
y
mx 2
+ +
=
−
a) Không có tiệm cận.
b) Có tiệm cận xiên.
ĐS: a) m = 0, b) m
≠
0
Bài 2. Tìm a đề đồ thị hàm số: y =
2
x x a
x a
− + +
+
có tiệm cận xiên đi qua A(2; 0).
ĐS: a = 1
Bài 3. Cho họ đồ thị (C
m
): y =
mx 1
x 1
2
x + −
−

. Tìm m để tiệm cận xiên của (C
m
) tạo với hai trục toạ
độ một tam giác có diện tích bằng 8.
ĐS: m = 3 v m = -5
Bài 4. Cho hàm số:
2
x 3x 1
y
x 2
+ −
=
−
. Chứng minh tích các khoảng cách từ một điểm thuộc đồ thị
hàm số đến các tiệm cận của nó luôn không đổi.
ĐS: d =
9
2
= const
Bài 5. Cho hàm số:
2
ax (2a 1)x a 3
y
x 2
+ + + +
=
+
(a
≠
1, a

≠
0).
CMR: tiệm cận xiên của đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định.
ĐS: Điểm cố định M(0; 1)
Bài 6. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a. Gọi M, N là trung điểm SB,
SC. Tính theo a diện tích ∆AMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC).
ĐS: S =
2
a 10
16
Bài 7. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' các các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi D, F lần lượt là
trung điểm của các cạnh BC, C'B'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và B'C'.
ĐS: d =
a 21
7

Bài 8. Cho hình chóp SABC có độ dài các cạnh đều bằng 1, O là trọng tâm của tam giác ∆ABC. I
là trung điểm của SO.
a) Mặt phẳng (BIC) cắt SA tại M. Tìm tỉ lệ thể tích của tứ diện SBCM và tứ diện SABC.
b) H là chân đường vuông góc hạ từ I xuống cạnh SB. Chứng minh rằng IH qua trọng tâm G của
∆SAC.
ĐS:
(SBCM)
SABC
V
1
V( ) 4
=
Bài 9. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết: A(-1; 2), B(2; 0), C(-3; 1).
a) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

b) Tìm M trên BC sao cho diện tích tam giác ABC bằng 1/3 diện tích tam giác ABC.
ĐS: a) I(-11/14; -13/14), b) M(11/3; -1/3)
Bài 10. Trong không gian Oxyz cho A(1; 2; -1), đường thẳng (D):
x 2 y z 2
1 3 2
− +
= =
và mặt
phẳng (P): 2x + y – z + 1 = 0.
a) Tìm điểm B đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P).
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt đường thẳng (D) và song song với mặt phẳng
(P).
ĐS: a) B(-3; 0; 1), b)
x 1 y 2 z 1
2 9 5
− − +
= =
− −

Bài 11. Tính các tích phân sau:
a) I =
1
3 2
0
x 1 x dx−
∫
b) I =
2
3
0

5cos x 4sinx
dx
(cosx+sinx)
π
−
∫
c)
2
1
x
dx
1+ x-1
∫
ĐS: a) I = 2/15, b) I = 1/2, c) I = 11/3 - 4ln2
Bài 12. Giải các hệ phương trình sau:
a)
3 3
x y 8
x y 2xy 2

+ =

+ + =

b)
2
2
3
2x y
x

3
2x y
y

+ =




+ =


c)
3
3
x 1 2y
y 1 2x

+ =


+ =


ĐS: a) (0; 2) v (2; 0) b) x = y = 1 c) (1; 1), (
1 5 1 5
;
2 2
− + − +
), (

1 5 1 5
;
2 2
− − − −
)
Bài 13. Giải các phương trình sau:
a) log
2
x + 2log
7
x = 2 + log
2
x. log
7
x b) 3
x
+ 5
x
= 6x + 2
c) log
4
(
2
x x 1− −
).log
5
(
2
x x 1+ −
) = log

20
(
2
x x 1− −
)
ĐS: a) x = 7; x = 4 b) x = 0; x = 1 c) x = 1 v x = 1/2(a+1/a) trong đó a =
20
log 4
5
Bài 14. Giải các phương trình sau:
a) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 b) sin3x = cosx.cos2x.(tan
2
x + tan2x)
c) tanx + 2cot2x = sin2x d) cos3xcos
3
x – sin3xsin
3
x = cos
3
4x +
1
4
ĐS: a)
x k2
6
5
x k2
6
π


= + π


π

= + π


b) x = k
π
c) x =
k
4 2
π π
+
d)
k
x
8 4
k
x
24 4
π π

= +


π π

= ± +


