TRẮC NGHIỆM HÌNH HỌC 10 HAY

CHUÛ
ÑEÀ
6.

VECTÔ

 Baøi 01
ÑÒNH NGHÓA
1. Khái niệm vectơ

Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta chọn điểm A làm điểu đầu, điểm B là điểm cuối
thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B. Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng
có hướng.
Định nghĩa. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.
Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu
uuu
r
là AB và đọc là “ vectơ AB “. Để vẽ được vectơ
uuu
r
AB ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở
đầu nút B.
r r r r
Vectơ còn được kí hiệu là a, b, x, y, ... khi không
cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó.

2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng

Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của
vectơ đó.
Định nghĩa. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song

hoặc trùng nhau.
uuu
r
Nhận xét. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ AB
uuur
và AC cùng phương.

3. Hai vectơ bằng nhau
Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của
uuu
r
uuu
r
uuu
r
vectơ đó. Độ dài của AB được kí hiệu là AB , như vậy AB = AB.
Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị.
r
r
Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ
r r
dài, kí hiệu a
=b
r
Chú ý. Khi cho trước vectơ a và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy
uur r
nhất sao cho OA = a.

4. Vectơ – không
Ta biết rằng mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối và hoàn toàn được

xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó.
Bây giờ với một điểm A bất kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu
uuu
r
và điểm cuối đều là A. Vectơ này được kí hiệu la AA và được gọi là vectơ –
không.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM


Vấn đề 1. XÁC ĐỊNH VECTƠ
Câu 1. Vectơ có điểm đầu là D , điểm cuối là E được kí hiệu là:
uuur
uuu
r
uuur
A. DE .
B. DE .
C. ED.
D. DE .
Câu 2. Cho tam giác ABC , có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ
không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C ?
A. 3.
B. 6.
C. 4.
D. 9.
ABCD
Câu 3. Cho tứ giác
. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu
và cuối là các đỉnh của tứ giác?

A. 4.
B. 6.
C. 8.
D. 12.
Vấn đề 2. HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG
Câu 4. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ.
B. Có ít nhất hai vectơ có cùng phương với mọi vectơ.
C. Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ.
D. Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ.
Câu 5. Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Khi đó:
uuur
uuu
r
A. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là AB cùng phương với AC.
uuur
B. Điều kiện đủ để A, B, C thẳng hàng là với mọi M , MA cùng phương với
uuu
r
AB.
uuur
C. Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là với mọi M , MA cùng phương
uuu
r
với AB.
uuu
r uuur
D. Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là AB = AC.
Câu 6. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác
đều ABC . Hỏi cặp vectơ nào sau đây cùng hướng?

uuuu
r
uur
uuur
uuur
uuur
uur
uuu
r
uuur
A. MN và CB. B. AB và MB.
C. MA và MB.
D. AN và CA.
Câu 7. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Số các vectơ khác vectơ không,
uuu
r
cùng phương với OC có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:
A. 4.
B. 6.
C. 7.
D. 9.
Vấn đề 3. HAI VECTƠ BẰNG NHAU
uuur
Câu 8. Với DE (khác vectơ không) thì độ dài đoạn ED được gọi là
uuu
r
uuu
r
A. Phương của ED.
B. Hướng của ED.

uuu
r
uuu
r
C. Giá của ED.
D. Độ dài của ED.
Câu 9. Mệnh đề nào sau đây sai?
uuu
r r
r
A. AA = 0.
B. 0 cùng hướng với mọi vectơ.
uuu
r
r
C. AB > 0.
D. 0 cùng phương với mọi vectơ.
Câu 10. Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
A. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau.
B. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành.
C. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều.
D. Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau.
uuu
r uuu
r
Câu 12. Cho tứ giác ABCD . Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để AB = CD ?


A. ABCD là hình bình hành.
B.

C. AD và BC có cùng trung điểm. D.
uuu
r uuu
r
Câu 13. Từ mệnh đề AB = CD , ta suy ra
uuu
r
uuu
r
A. AB cùng hướng CD.
B.
uuu
r
uuu
r
C. AB = CD .
D.

ABDC là hình bình hành.
AB = CD.
uuu
r
uuu
r
AB cùng phương CD.
ABCD là hình bình hành.

Hỏi khẳng định nào là sai?
Câu 14. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD .
Đẳng thức nào sau đây sai?

uuu
r uuur
uur uuur
uur uuu
r
uur uuur
A. AB = DC.
B. OB = DO.
C. OA = OC.
D. CB = DA.
Câu 15. Cho tứ giác ABCD. Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của AB,
BC, CD, DA. Khẳng định nào sau đây là sai?
uuu
r
uuuu
r
uuuu
r
uuur
uuuu
r uuu
r
uuur uuu
r
A. MN = QP .
B. QP = MN .
C. MQ = NP.
D. MN = AC .
Câu 16. Cho hình vuông ABCD . Khẳng định nào sau đây là đúng?
uuur uuu

r
uuu
r uuu
r
A. AC = BD.
B. AB = CD.
uuu
r
uuu
r
uuu
r uuur
C. AB = BC .
D. AB, AC cùng hướng.
Câu 17. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật ABCD . Mệnh
đề nào sau đây đúng?
uur uuu
r
uur
uuu
r
A. OA = OC.
B. OB và OD cùng hướng.
uuur
uuu
r
uuur
uuu
r
C. AC và BD cùng hướng.

D. AC = BD .
Câu 18. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác
đều ABC . Đẳng thức nào sau đây đúng?
uuu
r
uuuu
r
uuur uuur
uuu
r uuur
uuuu
r uuu
r
A. MA = MB.
B. AB = AC.
C. MN = BC.
D. BC = 2 MN .
Câu 19. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Gọi M là trung điểm BC . Khẳng
định nào sau đây đúng?
uuuu
r a 3
uuuu
r a 3
uuur uuur
uuuu
r
A. MB = MC.
B. AM =
C. AM = a.
D. AM =

.
.
2
2
� = 60�. Đẳng thức nào sau đây
Câu 20. Cho hình thoi ABCD cạnh a và BAD
đúng?
uuu
r
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuu
r uuur
A. AB = AD.
B. BD = a.
C. BD = AC.
D. BC = DA.
Câu 21. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O . Đẳng thức nào sau đây là sai?
uuu
r
uuur
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
uur uuu

r
A. AB = ED.
B. AB = AF .
C. OD = BC.
D. OB = OE .
uuu
r
Câu 22. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Số các vectơ bằng OC có điểm
đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 6.
Câu 23. Cho tam giác ABC có trực tâm H . Gọi D là điểm đối xứng với B
qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây
là đúng?
uuu
r uuu
r
uuur uuur
uuu
r uuu
r
uuur uuur
A. HA = CD và AD = CH .
B. HA = CD và AD = HC .
uuu
r uuu
r
uuur uuur

uuu
r uuu
r
uuur uuur
uur uuu
r
C. HA = CD và AC = CH .
D. HA = CD và AD = HC và OB = OD .
uuu
r r
Câu 24. Cho AB �0 và một điểm C . Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn
uuu
r
uuu
r
AB = CD ?


A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vơ số.
uuu
r r
Câu 25. Cho AB �0 và một điểm C , có bao nhiêu điểm D thỏa mãn
uuu
r uuu
r
AB = CD.
A. 1.

B. 2.
C. 0.
D. Vơ số.

 Bài 02
TÔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
1. Tổng của hai vectơ

r
uuu
r r
r
Định nghĩa. Cho hai vectơ a và b. Lấy một điểm A tùy ý, vẽ AB = a
và
uuu
r r
uuur
r
r
BC = b. Vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b. Ta kí hiệu tổng của
r
r
r r Vậy uuur r r
hai vectơ a và b là a
+ b.
AC = a + b.
Phép tốn tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

2. Quy tắc hình bình hành

uuu
r uuur uuur
Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC.

3. Tính chất của phép cộng các vectơ

r r r
Với ba vectơ a, b, c tùy ý ta có
r r r r

a + b = b + a (tính chất giao hốn);
r r
r r
r r
a + b + c = a + b + c (tính chất kết hợp);

r r r r r

a + 0 = 0 + a = a (tính chất của vectơ –
khơng).

(

)

(

)

4. Hiệu của hai vectơ

a) Vectơ đối
r
r
Cho vectơ a. Vectơ có độ dài và ngược hướng với a được gọi
r
r
vectơ a, kí hiệu là - a.
uuu
r
Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của AB
uuu
r uuu
r
- AB = BA.
r
r
Đặc biệt, vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0.
b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ
r
r
Định nghĩa. Cho hai vectơ a và b. Ta gọi hiệu của hai vectơ
r
r
r
r r r
r r
a + - b , kí hiệu a
- b. Như vậy a - b = a + - b

( )

là vectơ đối của
uuu
r
là BA, nghĩa là

r
r
a và b là vectơ

( )

Từ định nghĩa hiệu của hai vectơ, suy ra với ba điểm O, A, B tùy ý ta có
uuu
r uur uur
AB = OB - OA.

Chú ý. 1) Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.
2) Với ba điểm tùy ý A, B, C ta luôn có
uuu
r uuu
r uuur
AB + BC = AC (quy tắc ba điểm);
uuu
r uuur uur
AB - AC = CB (quy tắc trừ).
Thực chất hai quy tắc trên được suy ra từ phép cộng vectơ.

5. Áp dụng

uur uur r
a) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA + IB = 0.
uuu
r uuu
r uuu
r r
b) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA +GB +GC = 0.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM


Vấn đề 1. TÍNH TỔNG CÁC VECTƠ
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ
Câu 1. Khẳng định nào sau đây đúng?
uuu
r uuur uuu
r
uuur uuuu
r uuu
r
A. AB + AC = BC.
B. MP + NM = NP.
uur uuu
r uur
uuu
r uur uuu
r
C. CA + BA = CB.

D. AA + BB = AB.
r
r
r
r
r
Câu 2. Cho a và b là các vectơ khác 0 với a là vectơ đối của b . Khẳng định
nào sau đây sai?
r r
r r
A. Hai vectơ a, b cùng phương.
B. Hai vectơ a, b ngược hướng.
r r
r r
C. Hai vectơ a, b cùng độ dài.
D. Hai vectơ a, b chung điểm đầu.
Câu 3. Cho ba điểm phân biệt A, B, C . Đẳng thức nào sau đây đúng?
uur uuu
r uuu
r
uuu
r uuur uuu
r
A. CA - BA = BC.
B. AB + AC = BC.
uuu
r uur uur
uuu
r uuu
r uur

C. AB +CA = CB.
D. AB - BC = CA.
uuu
r
uuu
r
Câu 4. Cho AB = - CD . Khẳng định nào sau đây đúng?
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
A. AB và CD cùng hướng.
B. AB và CD cùng độ dài.
uuu
r uuur r
B. ABCD là hình bình hành.
D. AB + DC = 0.
uuuu
r uuu
r uuur uuu
r uuu
r
Câu 5. Tính tổng MN + PQ + RN + NP + QR .
uuur
uuuu
r

uuu
r
uuur
A. MR.
B. MN .
C. PR.
D. MP.
Câu 6. Cho hai điểm A và B phân biệt. Điều kiện để I là trung điểm AB là:
uur uur
uur
uur
uur uur
A. IA = IB.
B. IA = IB.
C. IA = - IB.
D. AI = BI .
Câu 7. Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn
thẳng AB ?
uur uur r
uur uur r
uur uur
A. IA = IB.
B. IA + IB = 0.
C. IA - IB = 0.
D. IA = IB.
Câu 8. Cho D ABC cân ở A , đường cao AH . Khẳng định nào sau đây sai?
uuu
r
uuur
uuu

r uuur
uuur
uuu
r
uuu
r
uuur
A. AB = AC.
B. HC = - HB.
C. AB = AC .
D. BC = 2HC.
Câu 9. Cho hình vuông ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng?
uuur
uur
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r
uuur uuu
r
A. AB = BC.
B. AB = CD.
C. AC = BD.
D. AD = CB .
Câu 10. Mệnh đề nào sau đây sai?
uuur uuur r
A. Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì MA + MB = 0.
uuu

r uuu
r uuu
r r
B. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA +GB +GC = 0.
uur uuu
r uur
C. Nếu ABCD là hình bình hành thì CB +CD = CA.
D. Nếu ba điểm phân biệt A, B, C nằm tùy ý trên một đường thẳng thì
uuu
r uuu
r
uuur
AB + BC = AC .
Câu 11. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai?
uur uur uuu
r
uur uuu
r uuu
r uur
A. OA - OB = CD.
B. OB - OC = OD - OA.
uuu
r uuur uuu
r
uuu
r uuu
r uuur uuur
C. AB - AD = DB.
D. BC - BA = DC - DA.
uur uuu

r
Câu 12. Gọi O là tâm hình vuông ABCD . Tính OB - OC .
uuu
r
uuur
uuu
r uur
uuu
r
A. BC.
B. DA.
C. OD - OA.
D. AB.
Câu 13. Cộng các vectơ có cùng độ dài 5 và cùng giá. Khẳng định nào sau
đây đúng?
r
A. Cộng 5 vectơ ta được kết quả là 0.


r
B. Cộng 4 vectơ đôi một ngược hướng ta được kết quả là 0.
r
C. Cộng 121 vectơ ta được kết quả là 0.
D. Cộng 25 vectơ ta được vectơ có độ dài là 0.
Câu 14. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuu
r uuu
r uur
uur
uuu

r
A. AB = BC = CA.
B. CA = - AB.
uuu
r
uuu
r
uur
uur
uuu
r
C. AB = BC = CA = a.
D. CA = - BC.
Câu 15. Cho tam giác ABC , với M là trung điểm BC . Mệnh đề nào sau đây
đúng?
uuuu
r uuur uuu
r r
uuur uuur uuu
r
A. AM + MB + BA = 0.
B. MA + MB = AB.
uuur uuur uuur
uuu
r uuur uuuu
r
C. MA + MB = MC.
D. AB + AC = AM .
Câu 16. Cho tam giác ABC , với M , N , P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB
. Khẳng định nào sau đây sai?

uuu
r uuu
r uuur r
uuu
r uuur uuur r
A. AB + BC + AC = 0.
B. AP + BM +CN = 0.
uuuu
r uuur uuur r
uur uuur uuur
C. MN + NP + PM = 0.
D. PB + MC = MP.
Câu 17. Cho ba điểm A, B, C . Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuu
r uuu
r uur r
A. AB + BC = AC.
B. AB + BC +CA = 0.
uuu
r uuu
r
uur
uuu
r
uuu
r uur uuu
r
C. AB = BC � CA = BC .
D. AB - CA = BC.
Câu 18. Cho tam giác ABC có AB = AC và đường cao AH . Đẳng thức nào

sau đây đúng?
uuu
r uuur uuur
uuu
r uuu
r uuur r
A. AB + AC = AH .
B. HA + HB + HC = 0.
uuu
r uuur r
uuu
r uuur
C. HB + HC = 0.
D. AB = AC.
Câu 19. Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A , đường cao AH . Khẳng định
nào sau đây sai?
uuur uuu
r
uuur uuur
uuur uuu
r uuur uuur
A. AH + HB = AH + HC .
B. AH - AB = AC - AH .
uuur
uuu
r uuur
uuu
r uuu
r uuur uuu
r

C. BC - BA = HC - HA.
D. AH = AB - AH .
Câu 20. Cho M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA của tam giác
uuur uuu
r
ABC. Hỏi vectơ MP + NP bằng vectơ nào?
uuu
r
uur
uuuu
r
uuur uuu
r
A. AP.
B. PB.
C. MN .
D. MB + NB.
Câu 21. Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến song song với nhau tiếp xúc với
( O) tại hai điểm A và B . Mệnh đề nào sau đây đúng?
uur
uur
uuu
r
uur
A. OA = - OB.
B. AB = - OB.
C. OA = - OB.
D. AB = - BA.
Câu 22. Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến MT , MT �(T và T �là hai tiếp
điểm). Khẳng định nào sau đây đúng?

uuuu
r
uuuu
r uuuur
uuu
r
A. MT = MT �
B. MT + MT �
D. OT =- OT �
= TT �
. C. MT = MT �
.
.
.
Câu 23. Cho bốn điểm A, B, C, D . Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuu
r uuu
r uuur uur
uuu
r uuu
r uuu
r uuur
A. AB +CD = AD +CB.
B. AB + BC +CD = DA.
uuu
r uuu
r uuu
r uuur
uuu
r uuur uuu

r uur
C. AB + BC = CD + DA.
D. AB + AD = CD +CB.
Câu 24. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Vectơ nào trong các vectơ dưới
uur
đây bằng CA ?
uuu
r uuu
r
uur uuu
r
uuu
r uuur
uuur uur
A. BC + AB.
B. - OA +OC.
C. BA + DA.
D. DC - CB.
Câu 25. Cho lục giác đều ABCDEF và O là tâm của nó. Đẳng thức nào sau
đây đúng?


uur uuu
r uuu
r
A. OA +OC +OE = 0.
uur uuu
r uur uuu
r
C. OA +OC +OB = EB.

uuu
r uuu
r uuur
B. BC + FE = AD.
uuu
r uuu
r uuu
r
D. AB +CD + EF = 0.
uuur uuur
Câu 26. Cho O là tâm hình bình hành ABCD . Hỏi vectơ AO - DO bằng vectơ

(

)

nào?
uuu
r
uuu
r
uuur
uuur
A. BA.
B. BC.
C. DC.
D. AC.
Câu 27. Cho hình bình hành ABCD và tâm O của nó. Đẳng thức nào sau đây
sai?

uur uur uuu
r uuu
r r
uuur uuu
r uuur
A. OA +OB +OC +OD = 0.
B. AC = AB + AD.
uuu
r uuu
r
uuur uuur
uuu
r uuu
r uuu
r uur
C. BA + BC = DA + DC .
D. AB +CD = AB +CB.
Câu 28. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD ; hai điểm E , F lần lượt là trung
điểm AB, BC . Đẳng thức nào sau đây sai?
uuur uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r uuu
r
A. DO = EB - EO.
B. OC = EB + EO.
uur uuu
r uuu

r uuu
r uuu
r r
uuu
r uuu
r uuur r
C. OA +OC +OD +OE +OF = 0.
D. BE + BF - DO = 0.
Câu 29. Cho hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC .
Mệnh đề nào sau đây đúng?
uuu
r uuu
r uuur uuu
r
uuu
r uuu
r uuur uuu
r
A. GA +GC + GD = BD.
B. GA +GC +GD = CD.
uuu
r uuu
r uuur ur
uuu
r uuur uuu
r uuu
r
C. GA + GC + GD = O.
D. GA +GD + GC = CD.
Câu 30. Cho hình chữ nhật ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng?

uuur uuu
r
uuu
r uuur uuur r
A. AC = BD.
B. AB + AC + AD = 0.
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuu
r uuu
r
uuur uuu
r
C. AB - AD = AB + AD
D. BC + BD = AC - AB .

Vấn đề 2. TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ
uuu
r uuur
Câu 31. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Khi đó AB + AC bằng:
uu
r uuur
A. u
AB + AC = a 3.
uuu
r uuur
C. AB + AC = 2a.

r uuur a 3
B. uuu
AB + AC =
.
2
D. Một đáp án khác.

uuu
r uuur
Câu 32. Cho tam giác vuông cân ABC tại A có AB = a . Tính AB + AC .
uuu
r uuur
A. AB + AC = a 2.
uuu
r uuur
C. AB + AC = 2a.

uuu
r uuur a 2
B. AB + AC =
.
2
uuu
r uuur
D. AB + AC = a.

Câu 33. Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh C , AB = 2 . Tính độ dài của
uuu
r uuur
AB + AC.

uuu
r uuur
uuu
r uuur
A. AB + AC = 5.
B. AB + AC = 2 5.
uuu
r uuur
uuu
r uuur
C. AB + AC = 3.
D. AB + AC = 2 3.
uur uuu
r
Câu 34. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4 . Tính CA + AB .


uur uuu
r
A. CA + AB = 2.
uur uuu
r
D. CA + AB = 13.

uur uuu
r
uur uuu
r
B. CA + AB = 2 13. C. CA + AB = 5.

� = 120�. Tính độ dài vectơ tổng
Câu 35. Tam giác ABC có AB = AC = a, ABC
uuu
r uuur
AB + AC .
uuur uuur
uuu
r uuur
A. AB + AC = a 3.
B. AB + AC = a.
uuu
r uuur
uuu
r uuur
a
C. AB + AC = .
D. AB + AC = 2a.
2
Câu 36. Cho tam giác ABC đều cạnh a , H là trung điểm của BC . Tính
uur uuur
CA - HC .
uur uuur a
uur uuur 3a
uur uuur 2 3a
uur uuur a 7
A. CA - HC = . B. CA - HC = . C. CA - HC =
. D. CA - HC =
.
2
2

3
2
Câu 37. Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = 12 .
r uuu
r uuu
r
Tính độ dài của vectơ v = GB +GC .
r
r
r
r
A. v = 2.
B. v = 2 3.
C. v = 8.
D. v = 4.
uuur uuu
r
Câu 38. Cho hình thoi ABCD có AC = 2a, BD = a . Tính AC + BD .
uuur uuu
r
uuur uuu
r
A. AC + BD = 3a.
B. AC + BD = a 3.
uuur uuu
r
uuur uuu
r
C. AC + BD = a 5.
D. AC + BD = 5a.

uuu
r uuur
Câu 39. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính AB - DA .
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuu
r uuur
A. AB - DA = 0. B. AB - DA = a.
C. AB - DA = a 2. D. AB - DA = 2a.
uur uuu
r
Câu 40. Cho hình vuông ABCD cạnh a , tâm O . Tính OB +OC .
uur uuu
r
uur uuu
r
uur uuu
r a
A. OB +OC = a.
B. OB +OC = a 2. C. OB +OC = .
2
uur uuu
r
a 2
D. OB +OC =
.

2
Vấn đề 3. XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ
uuur uuur uuur r
Câu 41. Cho tam giác ABC có M thỏa mãn điều kiện MA + MB + MC = 0 . Xác
định vị trí điểm M .
A. M là điểm thứ tư của hình bình hành ACBM .
B. M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
C. M trùng C.
D. M là trọng tâm tam giác ABC.
ABC. Tập hợp các điểm
Câu 42. Cho tam giác
M thỏa mãn
uuur uuur
uuur uuu
r
MB - MC = BM - BA là?
A. đường thẳng AB.
B. trung trực đoạn BC.
C. đường tròn tâm A, bán kính BC.
D. đường thẳng qua A và song song với BC.


Cõu 43. Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD . Tp hp cỏc im M tha món
uuur uuur uuur uuuu
r
MA + MB - MC = MD l?
A. mt ng trũn.
B. mt ng thng.
C. tp rng.
D. mt on thng.

uuur uuur uuu
r
Cõu 44. Cho tam giỏc ABC v im M tha món MB + MC = AB . Tỡm v trớ
im M .
A. M l trung im ca AC.
B. M l trung im ca AB.
C. M l trung im ca BC.
D. M l im th t ca hỡnh bỡnh hnh ABCM .
uuur uuur uuur r
Cõu 45. Cho tam giỏc ABC v im M tha món iu kin MA - MB + MC = 0
. Mnh no sau õy sai?
uuuu
r uuu
r uuur
A. MABC l hỡnh bỡnh hnh.
B. AM + AB = AC.
uuu
r uuu
r uuur
uuur uuu
r
C. BA + BC = BM .
D. MA = BC.

Baứi 03
TCH CUA VECTễ VễI MOT SO
1. nh ngha

r r Tớch ca vect r vi s
Cho s k 0 v vect a

a
k l mt vect, kớ hiu l
0.
r
r
r
ka, cựng hng vi a nu k > 0, ngc hng vi a nu k < 0 v cú di
r
bng k . a .

2. Tớnh cht

r
r
Vi hai vect a v b bt kỡ, vi mi s h v k,
ta cú
r
r r
r
k a + b = ka + kb ;

r
r
r
( h + k) a = ha + ka ;
r
r
h( ka) = ( hk) a ;

r r

r
r
1.a = a, ( - 1) .a = - a.

(

)

3. Trung im ca on thng v trng tõm ca tam giỏc
a) Nu I l trung im ca on thng AB thỡ vi mi im M thỡ ta cú
uuur uuur
uuu
r
MA + MB = 2 MI .
b) Nu G l trng tõm ca tam giỏc ABC thỡ vi mi im M thỡ ta cú
uuu
r uuu
r uuu
r
uuuu
r
GA + GB +GC = 3MG.

4. iu kin hai vect cựng phng

r r r
r
iu kin cn v hai vect a v b b 0 cựng phng l cú mt s k
r
r

a = kb.
Nhn xột. Ba im phõn bit A, B, C thng hng khi v ch khi cú s k khỏc
uuu
r
uuur
0 AB = k AC.

(

)

5. Phõn tớch mt vect theo hai vect khụng cựng phng

r
r
r
Cho hai vect a v b khụng cựng phng. Khi ú mi vect x u phõn tớch
r
r
c mt cỏch duy nht theo hai vect a v b, ngha l cú duy nht cp s
r
r
r
h, k sao cho x = ha + kb.


CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ
uur uur
Câu 1. Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA = a. Tính 2OA - OB .

(

A. a.

)

B. 1+ 2 a.

C. a 5.
D. 2a 2.
Câu 2. Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA = a. Khẳng định nào dưới
đây là sai ?
uur
uur
uur
uur
A. 3OA + 4OB = 5a.
B. 2OA + 3OB = 5a.
uur
uur
uur
uur
C. 7OA - 2OB = 5a.
D. 11OA - 6OB = 5a.
Vấn đề 2. PHÂN TÍCH VECTƠ
Câu 3. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, I là trung điểm
AM . Khẳng định nào sau đây đúng ?
uur
uur uur r

uur uur
uur r
A. IB + 2IC + IA = 0.
B. IB + IC + 2IA = 0.
uur uur uur r
uur uur uur r
C. 2IB + IC + IA = 0.
D. IB + IC + IA = 0.
Câu 4. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, I là trung điểm
AM . Khẳng định nào sau đây đúng ?
uur 1 uuu
r uuur
uur 1 uuu
r uuur
A. AI = AB + AC .
B. AI = AB - AC .
4
4
uur 1 uuu
r 1 uuur
uur 1 uuu
r 1 uuur
C. AI = AB + AC.
D. AI = AB - AC.
4
2
4
2
Câu 5. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm
tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây đúng ?

uuur 2 uuu
r uuur
uuur 1 uuu
r uuur
A. AG = AB + AC .
B. AG = AB + AC .
3
3
uuur 1 uuu
r 2 uuur
uur 2 uuu
r
uuur
C. AG = AB + AC.
D. AI = AB + 3AC.
3
2
3
Câu 6. Cho tứ giác ABCD, trên cạnh AB, CD lấy lần lượt các điểm M , N
uuuu
r
uuu
r
uuur
uuur
uuur uuu
r
uuuu
r
cho 3 AM = 2 AB và 3DN = 2 DC. Tính vectơ MN theo hai vectơ AD, BC.

(

)

(

(

)

(

của

của

)

của

)

sao


uuuu
r 1 uuur 1 uuu
r
uuuu

r 1 uuur 2 uuu
r
A. MN = AD + BC.
B. MN = AD - BC.
3
3
3
3
uuuu
r 1 uuur 2 uuu
r
uuuu
r 2 uuur 1 uuu
r
C. MN = AD + BC.
D. MN = AD + BC.
3
3
3
3
Câu 7. Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD. Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của AD và BC. Khẳng định nào sau đây sai ?
uuuu
r uuuu
r uuu
r uuur
uuuu
r uuu
r uuuu
r uuur

A. MN = MD +CN + DC.
B. MN = AB - MD + BN .
uuuu
r 1 uuu
r uuur
uuuu
r 1 uuur uuu
r
C. MN = AB + DC .
D. MN = AD + BC .
2
2
Câu 8. Cho hình bình hành ABCD có M là trung điểm của AB. Khẳng định
nào sau đây đúng ?
uuuu
r 1 uuu
r uuu
r
uuuu
r 1 uuu
r uuu
r
A. DM = CD + BC.
B. DM = CD - BC.
2
2
uuuu
r 1 uuur uuu
r
uuuu

r 1 uuur uuu
r
C. DM = DC - BC.
D. DM = DC + BC.
2
2
Câu 9. Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh AB sao cho 3AM = AB và N
uuuu
r
uuur
uuu
r
là trung điểm của AC. Tính MN theo AB và AC.
uuuu
r 1 uuur 1 uuu
r
uuuu
r 1 uuur 1 uuu
r
A. MN = AC + AB.
B. MN = AC - AB.
2
3
2
3
uuuu
r 1 uuu
r 1 uuur
uuuu
r 1 uuur 1 uuu

r
C. MN = AB + AC.
D. MN = AC - AB.
2
3
2
3
Câu 10. Cho tam giác ABC, hai điểm M , N chia cạnh BC theo ba phần bằng
uuur
uuuu
r
uuu
r
nhau BM = MN = NC. Tính AM theo AB và AC.
uuuu
r 2 uuu
r 1 uuur
uuuu
r 1 uuu
r 2 uuur
A. AM = AB + AC.
B. AM = AB + AC.
3
3
3
3
uuuu
r 2 uuu
r 1 uuur
uuuu

r 1 uuu
r 2 uuur
C. AM = AB - AC.
D. AM = AB - AC.
3
3
3
3
uuu
r
uuuu
r
Câu 11. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Tính AB theo AM
uuu
r
và BC.
uuu
r uuuu
r 1 uuu
r
uuu
r uuu
r 1 uuuu
r
A. AB = AM + BC.
B. AB = BC + AM .
2
2
uuu
r uuuu

r 1 uuu
r
uuu
r uuu
r 1 uuuu
r
C. AB = AM - BC.
D. AB = BC - AM .
2
2
Câu 12. Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm AB và N là một điểm trên
cạnh AC sao cho NC = 2NA . Gọi K là trung điểm của MN . Khi đó:
uuur 1 uuu
r 1 uuur
uuur 1 uuu
r 1 uuur
A. AK = AB + AC.
B. AK = AB - AC.
6
4
4
6
uuur 1 uuu
r 1 uuur
uuur 1 uuu
r 1 uuur
C. AK = AB + AC.
D. AK = AB - AC.
4
6

6
4
uuur
uuu
r
uuu
r
Câu 13. Cho hình bình hành ABCD. Tính AB theo AC và BD.
uuu
r 1 uuur 1 uuu
r
uuu
r 1 uuur 1 uuu
r
A. AB = AC + BD.
B. AB = AC - BD.
2
2
2
2
uuu
r uuuu
r 1 uuu
r
uuu
r 1 uuur uuu
r
C. AB = AM - BC.
D. AB = AC - BD.
2

2
r r uuur
r uuu
Câu 14. Cho tam giác ABC và đặt a = BC, b = AC. Cặp vectơ nào sau đây
cùng phương ?

(

)

(

)


r
r r r
A. 2a + b, a + 2b.
r
r r
r
C. 5a + b, - 10a - 2b.

r
r r r
B. 2a - b, a - 2b.
r r r r
D. a + b, a - b.
uuur uuur uuur
Câu 15. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn MA = MB + MC. Khẳng định

nào sau đây đúng ?
A. Ba điểm C, M , B thẳng hàng.
� .
B. AM là phân giác trong của góc BAC
C. A, M và trọng tâm tam giác ABC thẳng hàng.
uuuu
r uuu
r r
D. AM + BC = 0.
Vấn đề 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ
Câu 16. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và I là trung điểm của BC.
Đẳng thức nào sau đây đúng ?
uur
uuu
r
uur
uuu
r uuu
r
uur
uuu
r uuu
r uuu
r
1 uur
A. GA = 2GI .
B. IG = - IA.
C. GB + GC = 2GI . D. GB + GC = GA.
3
Câu 17. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và M là trung điểm BC. Khẳng

định nào sau đây sai ?
uuu
r 2 uuuu
r
uuu
r uuur
uuur
uuu
r uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r uuuu
r
A. GA = AM . B. AB + AC = 3AG. C. GA = BG +CG.
D. GB +GC = GM .
3
Câu 18. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Khẳng
định nào sau đây đúng ?
uuuu
r uuur uuur
uuur uuur
A. AM = MB = MC.
B. MB = MC.
uuu
r
uuur
uuur
uuuu

r BC
C. MB = - MC.
D. AM =
.
2
Câu 19. Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và
AC. Khẳng định nào sau đây sai ?
uuu
r
uuu
r
uuuu
r
uuu
r
uuuu
r
uuur
uuur
1 uuur
A. AB = 2AM .
B. AC = 2NC.
C. BC = - 2MN .
D. CN = - AC.
2
ABC
G
Câu 20. Cho tam giác
có
là trọng tâm. Trong các mệnh đề sau, tìm

mệnh đề đúng ?
uuu
r uuur 2 uuur
uuu
r uuu
r
uuu
r
A. AB + AC = AG.
B. BA + BC = 3BG.
3
uur uur uuu
r
uuu
r uuur uuu
r r
C. CA +CB = CG.
D. AB + AC + BC = 0.
uur
uur
Câu 21. Cho tam giác đều ABC và điểm I thỏa mãn IA = 2IB. Mệnh đề nào
sau đây đúng ?
uur
uur
uur
uur
uur CA - 2CB
uur CA + 2CB
A. CI =
B. CI =

.
.
3
3
uur
uur
uur CA + 2CB
uur
uur
uur
.
C. CI = - CA + 2CB.
D. CI =
- 3
Câu 22. Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Hãy chọn hệ thức đúng:
uuur uuur
uuur uuur
uuu
r
uuur uuur
uuur
uuur uuu
r
A. 2MA + MB - 3MC = AC + 2BC.
B. 2MA + MB - 3MC = 2AC + BC.
uuur uuur
uuur
uur uur
uuur uuur
uuur

uur uur
C. 2MA + MB - 3MC = 2CA +CB.
D. 2MA + MB - 3MC = 2CB - CA.
Câu 23. Cho hình vuông ABCD có tâm là O. Mệnh đề nào sau đây sai ?
uuur uuur
uuu
r uuur
uuur
1 uur
A. AB + AD = 2AO.
B. AD + DO = - CA.
2


uur uur 1 uur
uuur uuu
r
uuu
r
C. OA +OB = CB.
D. AC + DB = 4 AB.
2
Câu 24. Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đúng ?
uuur uuu
r
uuu
r
uuur uuu
r uuu
r

A. AC + BD = 2BC.
B. AC + BC = AB.
uuur uuu
r
uuu
r
uuur uuur uuu
r
C. AC - BD = 2CD.
D. AC - AD = CD.
Câu 25. Cho hình bình hành ABCD, có M là giao điểm của hai đường chéo.
Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai.
uuu
r uuu
r uuur
uuu
r uuur uuur
A. AB + BC = AC.
B. AB + AD = AC.
uuu
r uuu
r
uuur
uuur uuur uuur uuuu
r
C. BA + BC = 2 BM .
D. MA + MB = MC + MD.
Vấn đề 4. XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ
uuur uuur uur
Câu 26. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn 2MA + MB = CA. Khẳng định

nào sau đây là đúng ?
A. M trùng A.
B. M trùng B.
C. M trùng C.
D. M là trọng tâm của tam giác ABC.
uuu
r r uuu
r r
Câu 27. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Đặt GA = a, GB = b . Hãy tìm m, n
uuu
r
r
r
để có BC = ma + nb.
A. m= 1, n = 2. B. m= - 1, n = - 2. C. m= 2, n = 1.
D. m= - 2, n = - 1.
A
,
B
,
C
Câu 28. Cho ba điểm
không thẳng hàng và điểm M thỏa mãn đẳng
uuur
uuur
uuur
thức vectơ MA = x MB + yMC. Tính giá trị biểu thức P = x + y.
A. P = 0.
B. P = 2.
C. P = - 2.

D. P = 3.
Câu 29. Cho hình chữ nhật ABCD và số thực k > 0. Tìm tập hợp các điểm M
uuur uuur uuur uuuu
r
thỏa mãn đẳng thức MA + MB + MC + MD = k.
A. Một đoạn thẳng.
B. Một đường thẳng.
C. Một đường tròn.
D. Một điểm.
Câu 30. Cho hình chữ nhật ABCD và I là giao điểm của hai đường chéo. Tìm
uuur uuur
uuur uuuu
r
tập hợp các điểm M thỏa mãn MA + MB = MC + MD .
A. Trung trực của đoạn thẳng AB. B. Trung trực của đoạn thẳng AD.
AC
C. Đường tròn tâm I , bán kính
.
D. Đường tròn tâm
2
AB + BC
I , bán kính
.
2
Câu 31. Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB.
uuur uuur
uuur uuur
Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức MA + MB = MA - MB .
A. Đường tròn tâm I , đường kính

AB
.
2

B. Đường tròn đường kính AB.
C. Đường trung trực của đoạn thẳng AB.
D. Đường trung trực đoạn thẳng IA.
Câu 32. Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB.
uuur uuur
uuur
uuur
Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức 2MA + MB = MA + 2MB .
A. Đường trung trực của đoạn thẳng AB.
B. Đường tròn đường kính AB.


C. Đường trung trực đoạn thẳng IA.
D. Đường tròn tâm A, bán kính AB.
Câu 33. Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G. Tìm tập hợp các điểm
uuur uuur
uuur uuur
M thỏa mãn MA + MB = MA + MC .
A. Đường trung trực của đoạn BC. B. Đường tròn đường kính BC.
a
C. Đường tròn tâm G, bán kính . D. Đường trung trực đoạn thẳng AG.
3
Câu 34. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa
uuur
uuur
uuur

uuur uuur
mãn đẳng thức 2MA + 3MB + 4MC = MB - MA là đường tròn cố định có bán
kính R. Tính bán kính R theo a.
a
a
A. r = .
B. r = .
3
9

a
D. r = .
6
uuur uuur uuur
Câu 35. Cho tam giác ABC . Có bao nhiêu điểm M thỏa MA + MB + MC = 3 ?
A. 1.

a
C. r = .
2

B. 2.

C. 3.

D. Vơ số.

 Bài 04
HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
1. Trục và độ dài đại số trên trục

a) Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một
r
điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị e.
r
Ta kí hiệu trục đó là ( O;e)

r
b) Cho M là một điểm tùy ý trên trục ( O;e) . Khi đó có duy nhất một số k sao
uuur
r
cho OM = ke. Ta gọi số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.
r
c) Cho hai điểm A và B trên trục ( O;e) . Khi đó có duy nhất số a sao cho
uuu
r
uuu
r
r
AB = ae. Ta gọi số a là độ dài đại số của vectơ AB đối với trục đã cho và kí
uuu
r
hiệu a = AB.
uuu
r
uuu
r
r
Nhận xét. Nếu AB cùng hướng với e thì AB = AB, còn nếu AB ngược hướng
r
với e thì AB = - AB.

r
Nếu hai điểm A và B trên trục ( O;e) có tọa độ lần lượt là a và b thì
AB = b- a.

2. Hệ trục tọa độ

r r
r
r
a) Định nghĩa. Hệ trục tọa độ O;i , j gồm hai trục O;i và O; j vng góc
r
với nhau. Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục O;i được
r
gọi là trục hồnh và kí hiệu là Ox, trục O; j được gọi là trục tung và kí hiệu là
r
r
r
r
Oy. Các vectơ i và j là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và i = j = 1. Hệ trục
r r
tọa độ O;i , j còn được kí hiệu là Oxy.

(

)

(

)

(

)

(

(

(

)

)

)


Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy còn được gọi là mặt
phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy.
b) Tọa độ của vectơ
uur r
r
Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ u tùy ý. Vẽ OA = u và gọi A1, A2 lần lượt
uur uuur uuur
là hình chiếu của vuông góc của A lên Ox và Oy. Ta có OA = OA1 +OA2 và cặp
uuur
r
r
r uuur
r

r
số duy nhất ( x; y) để OA1 = xi , OA2 = y j . Như vậy u = xi + y j .
Cặp số ( x; y) duy nhất đó được gọi là tọa độ của
r
r
vectơ u đối với hệ tọa độ Oxy và viết u = ( x; y)
r
hoặc u( x; y) . Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số
r
thứ hai y gọi là tung độ của vectơ u.
Như vậy

r
r
r
r
u = ( x; y) � u = xi + y j

Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và
chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.
ur
r
Nếu u = ( x; y) và u�
= ( x�
; y�
) thì

x = x�
r ur �
u = u�

��
�
�
�y = y�

Như vậy, mỗi vectơ được hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó.
c) Tọa độ của một điểm
uuur
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ OM đối
với hệ trục Oxy được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó.
Như vậy, cặp số ( x; y) là tọa độ của điểm M khi
uuur
và chỉ khi OM = ( x; y) . Khi đó ta viết M ( x; y)
hoặc M = ( x; y) . Số x được gọi là hoành độ, còn
số y được gọi là tung độ của điểm M . Hoành
độ của điểm M còn được kí hiệu là xM , tung độ
của điểm M còn được kí hiệu là yM .

uuur
r
r
M = ( x; y) � OM = xi + y j

uuuur
uuuur
Chú ý rằng, nếu MM 1 ^ Ox, MM 2 ^ Oy thì x = OM 1, y = OM 2.
d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng
uuu
r
Cho hai điểm A ( xA ; yA ) và B ( xB ; yB ) . Ta có AB = ( xB - xA ; yB - yA ) .

r r r r r
3. Tọa độ của các vectơ u+ v, u- v, ku
Ta có các công thức sau:


r
r
Cho u = ( u1;u2 ) , v = ( v1;v2 ) Khi đó
r r
 u + v = ( u1 + u2 ;v1 + v2 ) ;
r r
 u - v = ( u1 - u2 ;v1 - v2 ) ;
r
ku = ( ku1;ku2 ) , k ��.

r
r
r r
Nhận xét. Hai vectơ u = ( u1;u2 ) , v = ( v1;v2 ) với v �0 cùng phương khi và chỉ khi
có một số k sao cho u1 = kv1 và u2 = kv2.

4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm
của tam giác
a) Cho đoạn thẳng AB có A ( xA ; yA ) , B ( xB ; yB ) . Ta dễ dàng chứng minh được tọa
độ trung điểm I ( xI ; yI ) của đoạn thẳng AB là
xA + xB
y + yB
, yI = A
.
2

2
b) Cho tam giác ABC có A ( xA ; yA ) , B ( xB ; yB ) , C ( xC ; yC ) . Khi đó tọa độ của trọng
tâm G ( xG ; yG ) của tam giác ABC được tính theo công thức
xI =

xG =

xA + xB + xC
y + yB + yC
, yG = A
.
3
3
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. TỌA ĐỘ VECTƠ

Câu 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
r
r
r
A. a = ( - 5;0) , b = ( - 4;0) cùng hướng.
B. c= ( 7;3) là vectơ
u
r
đối của d = ( - 7;3) .
r
r
r
r
C. u = ( 4;2) , v = ( 8;3) cùng phương. D. a = ( 6;3) , b = ( 2;1) ngược hướng.

r
r
Câu 2. Cho u = ( 3;- 2) , v = ( 1;6) . Chọn khẳng định đúng?
r
r r
r r
A. u + v và a= ( - 4;4) ngược hướng.
B.
cùng
u, v
phương.
r
r r r
r r
C. u- v và b= ( 6;- 24) cùng hướng.D. 2u + v, v cùng phương.
rr
r r
Câu 3. Trong hệ trục tọa độ O;i ; j tọa độ i + j là:

(

)

A. ( 0;1) .

B. (1;- 1).
C. (- 1;1).
r
r
r r

Câu 4. Cho a = ( 3;- 4) , b = ( - 1;2) . Tìm tọa độ của a + b.

D. (1;1).

A. ( - 4;6) .
B. ( 2;- 2) .
C. ( 4;- 6) .
r
r
r r
Câu 5. Cho a = ( - 1;2) , b = ( 5;- 7) . Tìm tọa độ của a- b.

D. ( - 3;- 8) .

A. ( 6;- 9) .
B. ( 4;- 5) .
C. ( - 6;9) .
D. ( - 5;- 14) .
r r
r
r
r r
r
r
Câu 6. Cho u = 2i - j và v = i + xj . Xác định x sao cho u và v cùng phương.
A. x = - 1.

B. x = -

1

.
2

C. x =

1
.
4

D. x = 2 .


r
r
r r
Câu 7. Cho a = ( - 5;0) , b = ( 4; x) . Tìm x để hai vectơ a, b cùng phương.
A. x = - 5.
B. x = 4.
C. x = 0.
D. x = - 1.
r
r
r
r
r
r
x
Câu 8. Cho a = ( x;2) , b = ( - 5;1) , c = ( x;7) . Tìm
biết c = 2a + 3b .
A. x = - 15.

B. x = 3.
C. x = 15.
D. x = 5.
r
r
r
r r
Câu 9. Cho a = ( 2;- 4) , b = ( - 5;3) . Tìm tọa độ của u = 2a- b
r
r
r
r
A. u = ( 7;- 7) .
B. u = ( 9;- 11) .
C. u = ( 9;- 5) .
D. u = ( - 1;5) .
r
r
r
r
r
r
Câu 10. Cho ba vectơ a = ( 2;1) , b( 3;4) , c = ( 7;2) . Giá trị của k, h để c = k.a + hb
.
là:
A. k = 2,5; h = - 1,3.
C. k = 4,4; h = - 0,6.

B. k = 4,6; h = - 5,1.
D. k = 3,4; h = - 0,2.

Vấn đề 2. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM

Câu 11. Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành OABC, C �Ox. Khẳng định
nào sau đây đúng?
uuu
r
A. AB có tung độ khác 0.
B. A, B có tung độ khác nhau.
C. C có hoành độ khác 0.
D. xA + xC - xB = 0.
Câu 12. Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A ( - 5;- 2) , B ( - 5;3) , C ( 3;3) , D ( 3;- 2) .
Khẳng định nào sau đây đúng?
uuu
r uuu
r
A. AB, CD cùng hướng.
C. I ( - 1;1) là trung điểm AC.

B. ABCD là hình chữ nhật.
uur uur uuu
r
D. OA +OB = OC.
Câu 13. Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A ( 3;- 2) , B ( 7;1) , C ( 0;1) , D ( - 8;- 5) .
Khẳng định nào sau đây đúng?
uuu
r uuu
r
uuu
r uuu
r

A. AB, CD là hai vectơ đối nhau. B. AB, CD ngược hướng.
uuu
r uuu
r
C. AB, CD cùng hướng.
D. A, B, C, D thẳng hàng.
Câu 14. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A ( - 1;5) , B( 5;5) , C ( - 1;11) . Khẳng định nào
sau đây đúng?
uuu
r uuur
A. A, B, C thẳng hàng.
B. AB, AC cùng phương.
uuu
r uuur
uuu
r uuur
C. AB, AC không cùng phương.
D. AB, AC cùng hướng.
Oxy,
Câu
15.
Trong
hệ
tọa
độ
cho
bốn
điểm
A ( 2;1) , B( 2;- 1) , C ( - 2;- 3) , D ( - 2;- 1) . Xét ba mệnh đề:

( I ) ABCD là hình thoi.
( II ) ABCD là hình bình hành.
( III ) AC cắt BD tại M ( 0;- 1) .
Chọn khẳng định đúng
A. Chỉ ( I ) đúng.
C. Chỉ ( II ) và ( III ) đúng.

B. Chỉ ( II ) đúng.
D. Cả ba đều đúng.

Câu 16. Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A ( - 1;1) , B( 0;2) , C ( 3;1) , D ( 0;- 2) .
Khẳng định nào sau đây sai?
A. AB P DC.
B. AC = BD.
C. AD = BC.
D. AD P BC.


Câu 17. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( - 1;1) , B( 1;3) , C ( - 2;0) . Khẳng định
nào sau đây sai?
uuu
r
uuur
A. AB = 2AC.
B. A, B,C thẳng hàng.
uuu
r 2 uuu
r
uuu
r

uur r
C. BA = BC.
D. BA + 2CA = 0.
3
Câu 18. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( 1;3) , B ( - 1;2) , C ( - 2;1) . Tìm tọa độ
uuu
r uuur
của vectơ AB - AC ?
A. ( - 5;- 3) .
B. ( 1;1) .
C. ( - 1;2) .
D. ( 4;0) .
uuu
r
Câu 19. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A ( 5;2) , B( 10;8) . Tìm tọa độ của vectơ AB ?
A. ( 15;10) .
B. ( 2;4) .
C. ( 5;6) .
D. ( 50;16) .
Câu 20. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A ( 2;- 3) , B ( 4;7) . Tìm tọa độ trung điểm I
của đoạn thẳng AB
A. ( 6;4) .
B. ( 2;10) .
C. ( 3;2) .
D. ( 8;- 21) .
Câu 21. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A ( 3;5) , B ( 1;2) , C ( 5;2) . Tìm
tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC ?
A. ( - 3;4) .

B. ( 4;0) .

C.

(

)

2;3 .

D. ( 3;3) .

Câu 22. Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A ( 1;1) , B( 2;- 1) , C ( 4;3) , D ( 3;5) .
Khẳng định nào sau đây đúng?
� 5�
� là trọng
2; �
A. Tứ giác ABCD là hình bình hành.
B. G �
�
�
�
� 3�
tâm tam giác BCD.
uuur uuur
uuu
r uuu
r
C. AB = CD.
D. AC, AD cùng phương.
Câu 23. Trong hệ tọa độ Oxy, cho M ( 3;- 4) . Gọi M 1, M 2 lần lượt là hình chiếu

vuông góc của M trên Ox,Oy. Khẳng định nào đúng?
A. OM 1 = - 3.
B. OM 2 = 4.
uuuur uuuur
uuuur uuuur
C. OM 1 - OM 2 = ( - 3;- 4) .
D. OM 1 +OM 2 = ( 3;- 4) .
Câu 24. Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có gốc O làm tâm hình
vuông và các cạnh của nó song song với các trục tọa độ. Khẳng định nào
đúng?
uur uur
uur uur uuur
A. OA +OB = AB.
B. OA - OB, DC cùng hướng.
C. xA = - xC , yA = yC .

D. xB = - xC , yB = - yC .

Câu 25. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( 2;1) , B ( 0;- 3) , C ( 3;1) . Tìm tọa độ
điểm D để ABCD là hình bình hành.
A. ( 5;5) .
B. ( 5;- 2) .
C. ( 5;- 4) .
D. ( - 1;- 4) .
Câu 26. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A ( 1;1) , B( 3;2) , C ( 6;5) .
điểm D để ABCD là hình bình hành.
A. ( 4;3) .
B. ( 3;4) .
C. ( 4;4) .
D.

uuuu
r
uuur
Câu 27. Cho ba điểm M , N , K thỏa MN = kMP . Tìm k để N là
MP ?
1
A. .
B. - 1.
C. 2.
D.
2

Tìm tọa độ

( 8;6) .
trung điểm
- 2.


Câu 28. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có B ( 9;7) , C ( 11;- 1) . Gọi
uuuu
r
M , N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tìm tọa độ vectơ MN ?
A. ( 2;- 8) .

B. ( 1;- 4) .

C. ( 10;6) .

D. ( 5;3) .

Câu 29. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M ( 2;3) , N ( 0;- 4) , P ( - 1;6)
lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA, AB . Tìm tọa độ đỉnh A ?
A. ( 1;5) .
B. ( - 3;- 1) .
C. ( - 2;- 7) .
D. ( 1;- 10) .
Câu 30. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A ( 6;1) , B( - 3;5) và trọng
tâm G ( - 1;1) . Tìm tọa độ đỉnh C ?
A. ( 6;- 3) .

B. ( - 6;3) .

C. ( - 6;- 3) .
Oxy,
cho

Câu
31.
Trong
hệ
tọa
độ
tam
A ( 1;1) , B ( - 2;- 2) , C ( - 7;- 7) . Khẳng định nào sau đây đúng?

D. ( - 3;6) .
ABC
giác

có

A. G ( 2;2) là trọng tâm tam giác ABC.
B. B ở giữa hai
điểm A và C.
uuu
r uuur
C. A ở giữa hai điểm B và C.
D. AB, AC cùng hướng.
Câu 32. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A ( - 2;2) , B ( 3;5) và trọng
tâm là gốc O . Tìm tọa độ đỉnh C ?
A. ( - 1;- 7) .
B. ( 2;- 2) .
C. ( - 3;- 5) .
D. ( 1;7) .
Câu 33. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A ( 1;2) , B ( - 2;3) . Tìm tọa độ đỉểm I sao cho
uur
uur r
IA + 2IB = 0
� 2�
� 8�
1; �
.
- 1; �
.
�
�
A. ( 1;2) .
B. �
C. �

D. ( 2;- 2) .
�
�
�
�
�
�
� 5�
� 3�
Câu 34. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A ( 2;5) , B( 1;1) , C ( 3;3) . Tìm tọa độ đỉểm E
uuur
uuu
r
uuur
sao cho AE = 3AB - 2AC
A. ( 3;- 3) .
B. ( - 3;3) .
C. ( - 3;- 3) .
D. ( - 2;- 3) .
Câu 35. Trong hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A ( 2;- 3) , B ( 3;4) . Tìm tọa độ điểm
M trên trục hoành sao cho A, B, M thẳng hàng.
� 5 1�
�
17 �
- ;- �
.
.
�
�
A. M ( 1;0) .

B. M ( 4;0) .
C. M �
D. M �
�
� ;0�
�
�
�
� 3 3�
�7 �
�