Đề cương luyện thi vào THPT chương III

Chơng III : Hàm số y = ax
2
(a

0). Phơng trình bậc hai một ẩn số
A Hàm số y = ax
2

Bài 1. a) Xác định hệ số của hàm số y=ax
2
biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A(-1,2)
b) Vẽ đồ thị hàm số đó
c) Tìm các điểm thuộc parabol nói trên có tung độ bằng 4
d) Tìm tọa độ các điểm thuộc parabol và cách đều hai trục tọa độ
e) Tìm tọa độ các điểm thuộc parabol và cách gốc tọa độ một khoảng là 6
Bài 2. Trên cùng một hệ trục tọa độ, hãy vẽ đồ thị các hàm số f(x)=x
2
vaf g(x)=0,5x.
Dựa đồ thị và tính chất của hàm số, hãy tìm các giá trị của x sao cho :
a) f(x) = g(x)
b) f(x) < g(x)
c) f(x) > g(x)
Bài 3. Cho parabol (P): y = x
2
và đờng thẳng (D): y= x+b.
a) Tìm b biết (P) và (D) cắt nhau tại điểm có hoành độ là 1.
b) Vẽ (P) và (D) với giá trị b vừa tìm đợc và xác định tạo độ các giao điểm.
Bài 4. Cho parabol (P): y = x
2
. Gọi M là điểm bất kì trên (P). Trên tia OM lấy điểm N
sao cho MN = 3OM. Tìm quỹ tích điểm N.

Bài 5. Vẽ đồ thị của hàm số sau : y = f(x) =
2 .x x

Với giá trị nào của a thì đờng thẳng y = ax cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại hai điểm
khác O (0,0)
B Ph ơng trình bậc hai một ẩn số.
Bài 6. Giải các phơng trình sau :
a) (x
2
- 5x +7 )
2
- 4x
2
+ 20x - 25 = 0
b) x
2
- 2mx + m
2
+ a
2
= 0
Bài 7. Tìm m để các phơng trình sau có nghiệm kép:
a) (m-1)x
2
+ (m-2) =0
b) (m+2)x
2
+ 6mx + (4m + 1) =0
Bài 8. Tìm m để các phơng trình sau có nghiệm :
a) 2x

2
-6x + (m + 7) = 0
b) mx
2
-2(m - 1)x + m + 1 =0
Bài 9. Cho các phơng trình sau :
x
2
+ mx + 2 = 0
x
2
+ 2x + m = 0
Tìm m để hai phơng trình trên có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó.
Bài 10.Giải và biện luận các phơng trình sau:
a) (m -1)x
2
+ m
2
-3m + 2 =0
b) (2m
2
-3m -2)x
2
+ (m
2
+ 7m + 2)x - m
2
-2m = 0
Biên soạn Nguyễn Mạnh Cờng
1

c)
2 2
m-1 2 m+5
+ =
mx-1 x -1 (1-mx)(x -1)
Bài 11.Chứng minh rằng với ba số thực a

b

c thì phơng trình
1 1 1
+ + =0
x-a x-b x-c
( ẩn x )
có hai nghiệm phân biệt.
Bài 12.Chứng minh rằng phơng trình (a + b)x
2
-(a -b)(a
2
-b
2
)x -2ab(a
2
+ b
2
) = 0 luôn có
hai ngiệm phân biệt.
Bài 13.Cho phơng trình x
2
- 2ax - (a +3) = 0. Tìm các số nguyên a để phơng trình có

nghiệm nguyên.
Bài 14.Cho phơng trình (x -1)
2
= 2
x-k
. Tìm k để phơng trình :
a) Có 4 nghiệm phân biệt.
b) Có đúng 3 nghiệm.
Bài 15.Cho a, b ,c thỏa mãn 14a + 6b + 3c =0. Chứng minh rằng phơng trình ax
2
+ bx +
c =0 có nghiệm.
Bài 16.Chứng minh rằng các phơng trình bậc hai x
2
+ ax + b =0 và x
2
+ cx + d =0 có các
hệ số thỏa mãn điều kiện ac

2(b + d) thì ít nhất một trong hai phơng trình đó có
nghiệm.
Bài 17.Cho hai phơng trình :
x
2
- 2mx + 4m =0 (1)
x
2
- mx + 10m =0 (2)
Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một
nghiệm của phơng trình (1).

Bài 18.Xác định các giá trị a, b, c sao cho mọi nghiệm của phơng trình x(x -a)(x -b) = 0
cũng là nghiệm của phơng trình (a -1)x
2
+ (a + b -3)x + a + b + c =0.
Bài 19.Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phơng trình x
2
-3x -7 = 0.
a) Tính A = x
2
1
+ x
2
2
; B =
1 2
x -x
; C=
1 2
1 1
+
x -1 x -1
D= (3x
1
+ x
2
)(3x

2
+
x
1
).
b) Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm là
1
1
x -1
và
2
1
x -1
Bài 20.Tìm giá trị của m để các phơng trình sau có hai nghiệm cùng dấu. Tìm dấu của
hai nghiệm đó :
a) x
2
- 2mx + (5m -4) = 0
b) mx
2
+ mx + 3 = 0
c) x
2
- 3x + m = 0
d) x
2
-2mx +2m -3 = 0
Bài 21.Cho phơng trình : (m + 1)x
2
+ 2(m + 4)x + m + 1 = 0. Tìm m để phơng trình có :

a) Một nghiệm.
b) Hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
c) Hai nghiệm âm phân biệt.
Bài 22.Tìm giá trị của m để các phơng trình sau có hai nghiệm trái dấu :
Biên soạn Nguyễn Mạnh Cờng
2
a) 2x
2
- 6x +m - 2 = 0
b) 3x
2
- (2m + 1)x +m
2
- 4 = 0
c) m
2
x
2
-mx - 2 = 0
Bài 23.Tìm giá trị của m để các phơng trình sau
a) x
2
- (2m + 3)x +4m +2 = 0 có hiệu hai nghiệm là 1.
b) mx
2
- 7x + 2 = 0 có một nghiệm gấp đôi nghiệm kia.
c) 2mx
2
- x + m = 0 có nghiệm thỏa mãn
1 2

1
2
x x<
.
d) x
2
+2(m - 1) x - (m + 1) = 0 có hai nghiệm nhỏ hơn 2.
Bài 24.Tìm m để phơng trình (m
2
+ m + 2)x
2
- 2(m
2
+ m -1)x + m
2
+ m + 1 = 0 có
nghiệm thuộc khoảng (-1 , 1).
Bài 25.Cho parabol y = x
2
. Xác định k để đờng thẳng y = 2x + k tiếp xúc với parabol.
Tìm tọa độ tiếp điểm.
Bài 26.Cho parabol y = 0,5x
2
và đờng thẳng y = mx + n . Xác định m, n để đờng thẳng đi
qua A(-1, 0) và tiếp xúc với parabol. Tìm tiếp điểm.
Bài 27.Lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm B(-1, -2) và tiếp xúc với parabol y =
2
1
4
x

. Tìm tọa độ giao điểm.
Bài 28.Cho parabol y = x
2
+3x +2 và đờng thẳng y = x + k . Với giá trị nào của k thì :
a) Chúng không có giao điểm.
b) Chúng có đúng một giao điểm.
c) Chúng có một 2 điểm.
Bài 29.Vẽ đồ thị của hàm số y = x
2
+1 +
2
x -1
.Biện luận theo k số giao điểm của đờng
thẳng y = k với đồ thị hàm số trên.
Bài 30.Giải các phơng trình và bất phơng trình sau bằng phơng pháp đồ thị :
a) 2x
2
- 1 =
x - 2
b) x
2
- 4
x - 1
+ 4 = 0
c) x
2
< 4
d) x
2
< x + 2

Bài 31.Giải các phơng trình sau :
a) x
2
-
2x + 1
+2 = 0
b) x
6
+ 4x
3
= 5
c) x
4
- a(a + 1)x
2
+ a
3
= 0 (a > 0)
d)
4 2 2
2
1 1x x x x
x x
+ + + +
=
e)
2 2
3 5 3 7x x x x+ + = +
f)
2 6 2x x+ =

g)
2 2
9 7 2x x+ =
h)
2 2 3 1x x =
i)
11 11 4x x x x+ + + + =
k)
2
16 7
3
3 3
x
x
x x

+ + =

Biên soạn Nguyễn Mạnh Cờng
3
Bài 32.Giải các hệ phơng trình sau :
a)
{
2 2 2
27
27
x y z
xy yz xz
+ + =
+ + =

b)
{
2 2 2
6
12
x y z
x y z
+ + =
+ + =
C Giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình .
Bài 33.Một ngời đi xe đạp từ A đến B dài 78 km. Sau đó một giờ, ngời thứ hai đi từ B
đến A. Hai ngời gặp nhau tại C cách B là 36 km. Tính thời gian mỗi ngời đã đi
từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau biết rằng vận tốc ngời thứ hai lớn hơn vận tốc
ngời thứ nhất là 4 km.
Bài 34.Có hai đội công nhân, mỗi đội phải sửa 10 km đờng. Thời gian đội I làm nhiều
hơn đội II là 1 ngày. Trong một ngày, mỗi đội làm đợc bao nhiêu km biết rằng
cả hai đội làm đợc 4,5 km trong một ngày.
Bài 35.Một tấm sắt có chu vi 96 cm. Ngời ta cắt ra ở mỗi góc một hình vuông cạnh 4
cm rồi gấp lên thành một hình hộp chữ nhật không có nắp có thể tích 768 cm
3
.
Tính kích thớc của tấm sắt.
Bài 36.Hai đội thủy lợi cùng đào một con mơng. Nếu mỗi đội làm một mình cả con
mơng thì thời gian tổng cộng hai đội phải làm là 25 giờ. Nếu hai đội cùng làm
thì công việc hoàn thành trong 6 giờ. Hỏi mỗi đội làm một mình bao lâu thì
xong con mơng ?
Bài 37.Một ngời đi xe máy khởi hành từ A lúc 12 giờ tra để đến B cách A 225 km.
Một ngời đi xe máy thứ hai khởi hành từ B lúc 13 giờ để đến A. Biết rằng vận
tốc xe máy thứ nhất hơn xe thứ hai 5km/h và xe thứ nhất tới B 1 giờ 30 phút trớc
khi khi xe thứ hai tới A. Tính vận tốc của hai xe máy đó.

Bài 38. ở đáy một cái bể đầy nớc có mắc hai cái vòi để tháo nớc ra khỏi bể. Nếu ngời
ta để cái vòi đầu tiên tháo nớc nửa bể rồi đóng lại và mở vòi thứ hai ra, nớc trong
bể sẽ rút hết trong 50 giờ cả thảy. Nếu ngay từ đầu ta mở luôn cả hai vòi thì nớc
trong bể sẽ rút hết trong 24 giờ. Hỏi mỗi vòi tự tháo nớc một mình phải mất bao
lâu mới rút hết nớc trong bể.
Bài 39.Hai bến tàu A và B cách nhau 42 km, bến A ở cuối dòng sông, bến B ở đầu
sông. Một chiếc tàu chở hàng từ bến nọ đến bến kia. Khi ngợc dòng sông từ A
đến B thì vận tốc tàu nhỏ hơn vận tốc lúc tàu xuôi dòng là 4 km/h. Tính vận tốc
của tàu khi xuôi và khi ngợc dòng biết rằng thời gian đi ngợc dòng nhiều hơn
thời gian đi xuôi dòng là 1 giờ 12 phút.
Bài 40.Một ngời bơi thuyền theo dòng sông dài 1200 mét. Trong 1/3 đầu khúc sông,
vận tốc của dòng nớc là 3 m/phút, trong 2/3 khúc sông còn lại, vận tốc của dòng
nớc là 7 m/phút. Tính vận tốc của nguời đó, biết rằng ngời đó bơi thuyền hết
khúc sông mất 19 phút 10 giây.
Biên soạn Nguyễn Mạnh Cờng
4