tich phan pho thong trung hoc

Tích phân

Trần Só Tùng

x2 - 3
Ví dụ 17: Tính tích phân bất đònh: I = ò
dx.
x(x 4 + 3x 2 + 2)
Giải:
Đặt t = x 2 . Suy ra: dt = 2xdx & x 3 (2 - 3x 2 )8 dx =
Khi đó: I =

t -3
dt.
t(t + 1)(t + 2)

t -3

ò t(t - 1)(t + 2) dt

t -3
a
b
c
(a + b + c)t 2 + (2a + 2b + c)t + 2a
Ta có:
= +
+
=
t(t + 1)(t - 2) t t + 1 t + 2
t(t + 1)(t + 2)

ìa + b + c = 0
ìa = -3/ 2
ï
ï
Đồng nhất đẳng thức, ta được: í3a + 2b + c = 1 Û í b = 4
ï2a = -3
ïc = -5 / 2
ỵ
ỵ
t -3
31
4
5 1
Khi đó:
=+
t(t + 1)(t + 2)
2 t t +1 2 t + 2
4
5 1 ư
3
5
ỉ 31
Do đó: I = ò ç +
÷ dt = - ln t + 4 ln | t + 1 | - ln | t + 2 | + C
2
2
è 2 t t +1 2 t + 2 ø
3
5
= - ln(x 2 ) + 4 ln(x 2 + 1) - ln(x 2 + 2) + C.

2
2
Ví dụ 18: Tính tích phân bất đònh: I =

dx

ò t(x6 + 1)2 .
Giải:

Đặt t = x 3 .
Khi đó: I =

Suy ra: dt = 3x 2 dx &

dx
1
dt
= . 2
6
2
x(x + 1)
3 t(t + 1)2

1
dt
ò
2
3 t(t + 1)2

1

a
bt
ct
(a + b)t 4 + (2a + b + c)t 2 + a
Ta có: 2
= +
+
=
t(t + 1)2 t t 2 + 1 (t 2 + 1)2
t(t 2 + 1)2
ìa + b = 0
ï
Đồng nhất, ta được: í2a + b + c = 0 Û
ïa = 1
ỵ

ìa = 1
ï
í b = -1
ï c = -1
ỵ

Þ

dt
1
t
t
= - 2
- 2

.
2
t(t + 1)
t t + 1 (t + 1)2
2

é1
t
t
ù
1
1 1
- 2
dt = ln | t | - ln | t 2 + 1 | + . 2
+C
Do đó: I = ò ê - 2
2ú
2
2 t +1
ë t t + 1 (t + 1) û
1
t2
1
1
x6
1
= (ln 2
+ 2 ) + C = (ln 6
+ 6 ) + C.
2

t +1 t +1
2
x +1 x +1

Trang 46


Trần Só Tùng

Tích phân

1 - x4
Ví dụ 19: Tính tích phân bất đònh: I = ò
dx.
x(1 + x 4 )
Giải:
Đặt t = x 4 . Suy ra: dt = 4x 3dx &
Khi đó: I =
Ta có:

1 - x4
1 1- t
= .
4
x(1 + x ) 4 t(1 + t)

1 1- t
dt
4 ò t(1 + t)

1- t
a
b
(a + b)t + a
= +
=
t(1 + t) t t + 1
t(t 2 + 1)2

ìa + b = -1
ìa = 1
1- t
1
2
Đồng nhất đẳng thức, ta được: í
Ûí
Þ
= t(1 + t) t t + 1
ỵa = 1
ỵ b = -2
2 ư
|t|
x4
ỉ1
Do đó: I = ò ç dt
=
ln
|
t
|

2
ln
|
t
+
1
|
+
C
=
ln
+
C
=
ln
+ C.
÷
(t + 1)2
(x 4 + 1)2
è t t +1ø
Ví dụ 20: Tính tích phân bất đònh: I =

(x 3 - 1)dx
ò x(x3 - 4)(x 4 - 4x + 1) .
Giải:

Biến đổi I về dạng: I =

(x 3 - 1)dx
ò (x 4 - 4x)(x 4 - 4x + 1)

Sử dụng đồng nhất thức: 1 = (x 4 - 4x + 1)( -(x 4 - 4x)
[(x 4 - 4x + 1) - (x 4 - 4x)](x 3 - 1)dx
(x 3 - 1)dx
(x 3 - 1)dx
Ta được: I = ò
=ò 4
-ò 4
(x 4 - 4x)(x 4 - 4x + 1)
x - 4x
x - 4x + 1
1
1
x 4 - 4x
= (ln | x 4 - 4x | - l n | x 4 - 4x + 1 |) + C = ln 4
+ C.
4
4 x - 4x + 1
x2 - 1
dx.
Ví dụ 21: Tính tích phân bất đònh: I = ò 4
x + 2x 3 - x 2 + 2x + 1
Giải:
Chia cả tử và mẫu của biểu thức dưới dấu tích phân cho x 2 ¹ 0, ta được:
1ư
1 ư
ỉ
ỉ
dçx + ÷
d ç x + + 1÷

xø
x ø
è
I=ò
dx = ò
=ò è
2
2
2 1
1ư
1ư
1 ư
ỉ
ỉ
ỉ
x 2 + 2x - 1 + + 2
çx + ÷ + 2çx + ÷ - 3
ç x + + 1÷ - 4
x x
xø
xø
x ø
è
è
è
1-

1
x2

1
1 x + x +1- 2
1
x2 - x + 1
= ln
+ C = ln 2
+ C.
4 x + 1 +1+ 2
4 x + 3x + 1
x
Trang 47


Tích phân

Trần Só Tùng

BÀI TẬP
Bài 20. Tính tích phân sau:
dx
a/ ò 2
;
4x + 8x + 3
1 2x + 1
ln
+ C;
ĐS: a/
4 2x + 3

dx

;
- 7x + 10
1 x-5
b/ ln
+ C;
3 x-2
b/

òx

Bài 21. Tính các tích phân sau:
2x - 7
5x - 7
a/ ò 2
dx; b/ ò 2
dx;
x - 3x + 2
x - 3x + 2
ĐS:

dx
.
- 2x - 1
1 3x + 3
c/ ln
+ C.
4 3x + 1

c/ ò

a/

5ln x - 1 - 3ln x - 2 + C; b/

c/

3ln x + 2 - ln x + 3 + C;

d/

ò 3x

c/

2

2

2x + 7
dx;
x + 5x + 6
2

2x + 5
dx;
9x - 6x + 1
9 x -1
5ln x + 1 - ln
+ C;
2 x +1

d/ ò

2

2
17 ỉ 1 ư
ln 3x - 1 - . ç
÷ + C.
9
9 è 3x - 1 ø

Bài 22. Tính các tích phân sau:
dx
xdx
2x 2 + 41x - 91
a/ ò
;
; b/ ò
dx; c/ ò 3
2
6x - 7x 2 - 3x
(x + 1)(2x + 1)
(x - 1)(x - x - 12)
x3 - 1
d/ ò 3
dx;
4x - x
ĐS:

(x 3 - 3x + 2)dx

e/ ò
;
x(x 2 + 2x + 1)

1
1
a/ ln x + 1 - ln x + + C;
2
2

(x + 2)2 dx
f/ ò
.
x(x 2 - 2x + 1)
b/ 4 ln x - 1 + 5 ln x - 4 + 7 ln x + 3 + C;

1
2
3 3
1
c/ - ln x + ln x - + ln x + + C;
3
33
2 11
3
d/

1
7
1 9

1
x + ln x - ln x - - ln x + + C;
4
16
2 16
2

e/ x + 2 ln x 4 ln x + 1 -

4
+ C;
x +1

f/ 4 ln x - 2 ln x - 1 -

9
+ C.
x -1

Bài 23. Tính các tích phân sau:
xdx
xdx
x 7dx
a/ ò 4
; b/ ò 4
; d/
; c/ ò 4
2
2
x - 3x + 2

x - 2x 2 - 1
(x + 1)
f/ ò

x 5dx
x2 - 1
dx
;
g/
h/
;
ò x(x10 + 1)2 ò x 4 + 1 dx;
x6 - x3 - 2

ĐS:

a/
c/

1 x2 - 2
ln
+ C;
2 x2 - 1
1
4 2

ln

b/

x 2 - (1 + 2)
+ C; d/
x 2 - (1 - 2)

Trang 48

x 5dx
2dx
ò x6 - x3 - 2 ; e/ ò x(x 2 + 1) ;

i/ ò

x3
x 2dx
k/
dx;
ò (1 - x)10 .
(x 2 + 1)2

1ỉ
1 ư
4
ç ln x - 1 + 4
÷ + C;
4è
x +1 ø
1
1 x3 - 2
ln x6 - x3 - 2 + ln 3
+ C;

6
18 x + 1


Trần Só Tùng

Tích phân

x2
+ C;
x2 + 1

f/

1
x2
ln 2
+ C;
8 x +4

e/

ln

g/

1 ỉ x10 ư
9
ln ç 10
+ C; h/

÷ + 10
9 è x +1ø x +1

1
é
ù
x+ - 2ú
ê
1
x
ln ê
ú + C;
2 2 êx + 1 + 2 ú
x
ë
û

i/

1é
1 ù
2
ln(x
+
1)
+
+ C; k/
2
2 êë
x + 1 úû

-

1
1
1
+ C.
7
8
7(x - 1) 4(x - 1) 9(x - 1)9

2x 2 + 2x + 5
x 2 - 3x + 2
m
n
p
a/ Tìm m, n, p để f(x) =
+
+
2
(x - 1)
x -1 x + 2

Bài 24. Cho hàm số f(x) =

b/ Tìm họ nguyên hàm của f(x)
ĐS: a/ m = 3;n = 1; p = 1.

(ĐHTM_1994)
3

ln (x - 1)(x + 2) + C.
x -1

b/

Bài 25. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a/ f(x) =
ĐS: a/

x4 - 2
;
x3 - x

1 x2 - 1
ln
+ C.
2
x2

b/

1 2
1
x + 2 ln x - ln x 2 - 1 + C;
2
2

b/

(ĐHTM_1994)

1 x2 - 1
ln
+ C.
2
x2

3x 2 + 3x + 3
.
Bài 26. Cho hàm số y = 3
x - 3x + 2
a
b
c
+
+
.
2
(x - 1) x - 1 x - 2

a/ Xác đònh các hằng số a, b, c để y =
b/ Tìm họ nguyên hàm của y
ĐS: a/ a = 3; b = 2; c = 1. b/

(ĐHQG–Hà Nội_1995)
-

3
+ 2 ln x - 1 + ln x + 2 + C.
x -1

Bài 27. Tìm họ nguyên hàm của hàm số:
a/ f(x) =

x 2001
(1 + x 2 )1002

c/ f(x) =

x2 - 1
(x 2 + 5x + 1)(x 2 - 3x + 1)

b/ f(x) =

1999

x(x

1001

1 ỉ x2 ư
ĐS: a/
ç
÷
2002 è 1 + x 2 ø
c/

+ C;

1 x 2 - 3x + 1

ln
+ C.
8 x 2 - 5x + 1

Trang 49

b/

1
+ 2000)

1
x1999
ln 1999
+ C;
1999 - 2000 x + 2000


Tích phân

Trần Só Tùng

Vấn đề 8:

NGUYÊN HÀM CÁC HÀM LƯNG GIÁC

Để xác đònh nguyên hàm các hàm lượng giác ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các
phương pháp cơ bản sau:
1. Sử dụng các dạng nguyên hàm cơ bản.
2. Sử dụng các phép biến đổi lượng giác đưa về các nguyên hàm cơ bản.

3. Phương pháp đổi biến.
4. Phương pháp tích phân từng phần.
1. SỬ DỤNG CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

Bài toán 1: Xác đònh nguyên hàm các hàm lượng giác bằng việc sử dụng các dạng
nguyên hàm cơ bản.
Dạng 1: Tính tích phân bất đònh: I = ò

dx
sin(x + a)sin(x + b)

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
· Bước 1: Sử dụng đồng nhất thức:
sin(a - b) sin[(x + a) - (x + b)
1=
=
sin(a - b)
sin(a - b)
·

Bước 2: Ta được:
dx
1
sin[(x + a) - (x - b)]
I=ò
dx =
dx
ò
sin(x + a)sin(x + b)

sin(a - b) sin(x + a)sin(x + b)
1
sin(x + a).cos(x + b) - cos(x + a).sin(x + b)
=
dx
ò
sin(a - b)
sin(x + a)sin(x + b)
=

1
é cos(x + b)
cos(x + a) ù
dx - ò
dx
ò
ê
sin(a - b) ë sin(x + b)
sin(x + a) úû

=

1
[ln | sin(x + b)} - ln | sin(x + a) |] + C
sin(a - b)

=

1
sin(x + b)

ln
+ C.
sin(a - b) sin(x + a)

Chú ý: Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các dạng tích phân sau:
dx
sin(a - b)
1. I = ò
, sử dụng đồng nhất thức 1 =
.
cos(x + a) cos(x + b)
sin(a - b)
2. I = ò

dx
cos(a - b)
, sử dụng đồng nhất thức 1 =
.
sin(x + a) cos(x + b)
cos(a - b)

Trang 50


Trần Só Tùng

Tích phân

Ví dụ 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) =

·

1
.
pư
ỉ
sin x.cos ç x + ÷
4ø
è

Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp trong dạng toán cơ bản
p cos éỉ x + p ư - x ù
÷
cos
êç
4 ø ûú
éỉ
pư ù
è
ë
4
Sử dụng đồng nhất thức: 1 =
=
= 2 cos êç x + ÷ - x ú .
p
4ø û
2
ëè
cos

4
2
éỉ
pư ù
pư
pư
ỉ
ỉ
cos êç x + ÷ - x ú
cos ç x + ÷ cosx + sin ç x + ÷ sin x
4ø û
4ø
4ø
ëè
è
è
Ta được: F(x) = 2 ò
dx = 2 ò
pư
pư
ỉ
ỉ
sin x.cos ç x + ÷
sin x.cos ç x + ÷
4ø
4ø
è
è
é
pư ù

ỉ
sin ç x + ÷ ú
ê cos x
4ø
è
= 2 êò
dx + ò
dx ú
p
sin
x
ỉ
ư
ê
cos ç x + ÷ ú
êë
4 ø úû
è
é
pứ
ỉ
= 2 ê ln | sin x | - ln cos ç x + ÷ ú + C = 2 ln
4øû
è
ë

·

sin x
+C

pư
ỉ
cos ç x + ÷
4ø
è

Cách 2: Dựa trên đặc thù của hàm f(x)
dx
dx
Ta có: F(x) = 2 ò
= 2ò 2
sin x.(cos x - sin x)
sin x(cot gx - 1)
= - 2ò

d(cot gx)
d(cot gx - 1)
= - 2ò
= - 2 ln cot gx - 1 + C.
cot gx - 1
cot gx - 1

Dạng 2: Tính tích phân bất đònh: I = ò

dx
sin x + sin a

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
dx

1
dx
· Bước 1: Biến đổi I về dạng: I = ò
= ò
(1)
sin x + sin a 2 sin x + a .cos x - a
2
2
· Bước 2: Áp dụng bài toán 1 để giải (1).
Chú ý: Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các dạng tích phân sau:
dx
1. I = ò
, với | m | £ 1
sin x + m
dx
dx
2. I = ò
và I = ò
, với | m | £ 1 .
cos x + cos a
cos x + m

Trang 51


Tích phân

Trần Só Tùng

Ví dụ 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) =

1
.
2 sin x + 1

Giải:
Biến đổi f(x) về dạng:
1
1
1
1
1
f(x) =
= .
= .
6x + p
6x - p
p 4
1ư 2
ỉ
sin x + sin
sin
.cos
2 ç sin x + ÷
6
12
12
è
2ø

(1)

p
ỉ 6x + p 6x - p ư
cos ç
÷
è
ø = 2 cos ỉ 6x + p - 6x - p ư
12
12
6
=
Sử dụng đồng nhất thức: 1 =
ç
÷
p
è
12
12
ø
3
3
cos
6
2
cos

ỉ 3x + p 6x - p ư
cos ç
÷

è
ø
12
12
Ta được: F(x) =
ò
2 3 sin 6 + p .cos 6x - p
12
12
6x + p
6x - p
6x + p
6x - p
1 cos 12 .cos 12 + sin 12 .sin 12
=
ò
6x + p
6x - p
2 3
sin
.cos
12
12
6x + p
6x - p ù
é
cos
sin
1 ê
12 dx +

12 dx ú
=
êò
ò
6x - p ú
2 3 ê sin 6x + p
ú
cos
ë
û
12
12
1

6x + p
1 é
6x + p
6x + p ù
1
12 + C.
=
ln
ê ln sin 12 - ln cos 12 ú + C =
6x
2 3ë
3 cos - p
û
12
sin

Dạng 3: Tính tích phân bất đònh: I = ò tgx.tg(x + a)dx.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
·

Bước 1: Biến đổi I về dạng:
sin x.sin(x + a )
I = ò tgx.tg(x + a )dx = ò
dx
cos x.cos(x + a )
ỉ cos x.cos(x + a) + sin x.sin(x + a ) ư
= òç
- 1 ÷ dx
cos x.cos(x + a )
è
ø
cos adx
dx
=ò
- ò dx = cos a ò
-x
cos x.cos(x + a)
cos x.cos(x + a )

(1)

· Bước 2: Áp dụng bài toán 1 để giải (1).
Chú ý: Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các dạng tích phân sau:
Trang 52