tich phan pho thong trung hoc

Tích phân

Trần Só Tùng

phân từng phần, xong đó lại không phải ý kiến hay. Điều đó cho thấy việc nhìn nhận
tính chất cận và đặc tính của hàm số dưới dấu tích phân để từ đó đònh hướng việc lựa
chọn phương pháp giải rất quan trọng.
2. Tuy nhiên với một bài thi thì vì tính chất 1 không được trình bày trong phạm vi kiến
thức của sách giáo khoa do đó các em học sinh lên trình bày như sau:
0
1/ 2
ỉ1- x ư
ỉ1- x ư
(1)
I = ò cos x.ln ç
÷ dx + ò cos x.ln ç
÷ dx .
è 1+ x ø
è1+ x ø
-1/ 2
0
Xét tính chất J =

0

ỉ1- x ư
cos x.ln ç
÷ dx
è1+ x ø
-1/ 2

ò

Đặt x = - t Þ dx = -dt
1
1
Đổi cận: x = - Þ t = . x = 0 Þ t = 0.
2
2
Khi đó:
0
1/ 2
1/ 2
ỉ1+ t ư
ỉ1- t ư
ỉ1- x ư
I = - ò cos(- t).ln ç
÷ dx
÷ dt = - ò cos t.ln ç
÷dt = - ò cos x.ln ç
è1+ x ø
è1- t ø
è1+ t ø
1/ 2
0
0

(2)

Thay (2) vào (1) ta được I = 0.
3. Vậy kể từ đây trở đi chúng ta sẽ đi áp dụng ý tưởng trong phương pháp chứng minh

tính chất để giải ví dụ trong mục áp dụng.
Tính chất 2: Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên đoạn [–a ; a] thì:
a

a

-a

0

I=

ò f(x)dx = 2 ò f(x)dx.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Biến đổi I về dạng: I =
Xét tính phân J =

a

0

a

-a

-a

0

ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(x)dx

(1)

0

ò f(x)dx.

-a

Đặt x = - t Þ dx = -dt
Đổi cận:
x = –a Þ t = a;
x=0Þt=0
Mặt khác vì f(x) là hàm chẵn Þ f(–t) = f(t)
0

a

a

0

a

a

0

0

Khi đó: J = - ò f( -t)dt = ò f(t)dt = ò f(t)dt = ò f(x)dx

(2)

a

Thay (2) vào (1) ta được I = 2 ò f(x)dx đpcm.
0

Chú ý quan trọng:
1. Trong phạm vi phổ thông tính chất trên không mang nhiều ý nghóa ứng dụng, do đó
khi gặp các bài toán kiểu này chúng ta tốt nhất cứ xác đònh: I =

a

ò f(x)dx

-a

Trang 106


Trần Só Tùng

Tích phân
1

bằng cách thông thường, thí dụ với tích phân: I = ò x 2dx.

-1

1

2x 3
Ta không nên sử dụng phép biến đổi: I = 2 ò x dx =
3
0

1

2

0

2
= .
3

bởi khi đó ta nhất thiết cần đi chứng minh lại tính chất 2, điều này khiến bài toán trở
x3
nên cồng kềnh hơn nhiều so với cách làm thông thường, cụ thể: I =
3

1

-1

2
= .

3

2. Tuy nhiên không thể phủ nhận sự tiện lợi của nó trong một vài trường hợp rất đặc
biệt.
Tính chất 3: Nếu f(x) liên tục và là chẵn trên R thì :
I=

a

f(x)dx a
+
ò ax + 1 = ò f(x)dx với "a Ỵ R và a > 0.
-a
0
PHƯƠNG PHÁP GIẢI

f(x)dx 0 f(x)dx a f(x)dx
= ò x
+ò x
Biến đổi I về dạng: I = ò x
-a a + 1
-a a + 1
0 a +1
a

Xét tính phân I1 =
Đặt

0

f(x)dx
x
-a a + 1

ò

x = - t Þ dx = -dt

Đổi cận: x = 0 Þ t = 0; x = –a Þ t = a.
Mặt khác vì f(x) là hàm chẵn Þ f)–t) = f(t).
0

f(- t)dt a a t f(t)dt a at f(t)dt
=ò t
=ò t
-t
a
+
1
a
+
1
a
0
0 a +1

Khi đó: I1 = ò

a t f(t)dt a f(x)dx a (a x + 1)f(x)dx a
=ò x

=ò
= ò f(x)dx.
t
x
a
1
a
1
a
1
+
+
+
0
0
0
0

a

Vậy: I = ò
Áp dụng:

1

x 4 dx
Ví dụ 2: Tính tích phân: I = ò x
-1 2 + 1
Giải:
0

x 4dx 1 x 4dx
Biến đổi I về dạng: I = ò x
+ò x
-1 2 + 1
0 2 +1
Xét tích phân J =

0

x 4 dx
ò x
-1 2 + 1

Đặt x = –t Þ dx = –dt
Đổi cận:

x = –1 Þ t = 1,

x = 0 Þ t = 0.
Trang 107

(1)


Tích phân

Trần Só Tùng
0

( -t)4 dt 1 t 4 .2 t.dt 1 x 4 .2 x.dx
=ò t
=ò x
-t
2
+
1
2
+
1
1
0
0 2 +1

Khi đó: J = - ò

(2)

1

x 4 .2 x.dx 1 x 4dx 1 x 4 (2 x + 1)dx 1 4
1
+ò x
=ò
= ò x dx = .
x
x
5
2 +1
0 2 +1

0 2 +1
0
0

Thay (2) vào (1) ta được: I = ò

é pù
Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên ê 0; ú thì:
ë 2û

p/ 2

ò

f(sin x)dx =

0

p/2

ò

f(cos x)dx.

0

CHỨNG MINH

p
- x Þ dx = -dt

2
p
p
Đổi cận: x = 0 Þ t = , x = Þ t = 0.
2
2

Đặt t =

Khi đó:

p/ 2

ò

f(sin x)dx = -

0

0

p/2
p/2
p
f(sin(
t)dt
=
f(cos
t)dt
=

ò
ò
ò f(cos x)dx đpcm.
2
p/ 2
0
0

Chú ý quan trọng:
Như vậy việc áp dụng tính chất 4 để tính tích phân:
I=

p/2

ò

f(sin x)dx (hoặc I =

p/2

0

ò

f(cos x)dx).

0

thường được thực hiện theo các bước sau:
p

Bước 1:
Bằng phép đổi biến t = - x như trong phần chứng minh tính chất,
2
ta thu được I =

p/2

ò

f(cos x)dx.

0

Đi xác đònh kI (nó được phân tích kI = a

Bước 2:

p/ 2

ò
0

thường là: 2I =

p/2

ò

f(sin x)dx +

0

p/ 2

ò

f(cos x)dx =

0

Áp dụng:
Ví dụ 3: Tính tích phân: I =

ò
0

cosn xdx
cos n x + sin n x
Giải:

Đặt t =

p
- x Þ dx = -dt
2

Đổi cận:

x=0Þ t=

p
,
2

x=

p
Þ t = 0.
2

Trang 108

ò

f(cos x)dx)),

0

ò [f(sin x) + f(cos x)]dx .
0

Từ đó suy ra giá trò của I.
p/2

p/ 2

f(sin x)dx + b

p/ 2

Trần Só Tùng

Tích phân

ỉp ư
cosn ç - t ÷ ( -dt)
p/ 2
p/ 2
sin n tdt
sin n x
è
2
ø
Khi đó: I = ò
dx.
=
=
p ư
ư ò0 cosn t + sin n t ò0 cosn x + sin n x
nỉp
p / 2 cos n ỉ
ç - t ÷ + sin ç - t ÷
è2 ø
è2 ø
0

Do đó: 2I =

p/2

ò
0

p/2
cos n x + sin n x
p
p
dx
=
dx
=
Þ
I
=
.
ò
2
4
cos n x + sin n x
0
b

a+b b
Tính chất 5: Nếu f(x) liên tục và f(a + b – x) = f(x) thì I = ò xf(x)dx =
f(x)dx.
2 òa
a
CHỨNG MINH

Đặt x = a + b - t Þ dx = -dt
Đổi cận: x = a Þ t = b;

x=bÞt=a

a

b

b

a

Khi đó: I = ò (a + b - t)f(a + b - t)( -dt) - ò (a + b - t)f(t)dt
b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

= ò (a + b)f(t)dt - ò tf(t)dt = (a + b) ò f(t)dt - ò xf(x)dx = (a + b)ò f(t)dt - I
b

a+ b b
Û 2I = (a + b)ò f(t)dt Û I =
f(x)dx.
2 òa
a
Hệ quả 1: Nếu f(x) liên tục trên [0 ; 1] thì: I =

p-a

ò

xf(sin x)dx =

a

p p-a
f(sinx)dx
2

Hướng dẫn chứng minh: Đặt x = p – t Þ dx = –dt.
Áp dụng:
p

x sin xdx
.
2
0 4 - cos x

Ví dụ 4: Tính tích phân: I = ò

Giải:
p

p
x sin xdx
x sin xdx p
=
2
ò 3 + sin 2 x = ò xf(sin x)dx.
4
(1
sin
x)
0
0
0

Biến đổi I về dạng: I = ò
Đặt x = p - t Þ dx = -dt
Đổi cận:

x = p Þ t = 0;

x = 0 Þ t = p.

0

(p - t)sin(p - t)dt p (p - t)sin tdt p p sin tdt p t sin tdt
Khi đó: I = - ò
=ò
=ò
-ò
2
2
4 - cos2 ( p - t)
4 - cos2 t
p
0
0 4 - cos t
0 4 - cos t
p

p
p
d(cos t)
d(cos t)
d(cos t)
I
Û
2I
=
-p
=

p
2
ò
2
ò
2
0 4 - cos t
0 4 - cos t
0 cos t - 4

= -pò

p p d(cos t)
p 1 cos t - 2
ÛI= ò
= . ln
2
2 0 cos t - 4 2 4 cos t + 2

p

=
0

Trang 109

p ln 9
.
8

Tích phân

Trần Só Tùng

Hệ quả 2: Nếu f(x) liên tục trên [0 ; 1] thì: I =

2 p-a

ò

xf(cos x)dx = p

a

2 p-a

ò

f(cos x)dx.

a

Hướng dẫn chứng minh: Đặt x = 2p – t Þ dx = –dt.
Áp dụng:
Ví dụ 5: Tính tích phân: I =

2p

ò x.cos

3

xdx

0

Giải:
Đặt x = 2 p - t Þ dx = -dt
Đổi cận:

x = 2p Þ t = 0;
0

x = 0 Þ t = 2p.
2p

ò (2p - t).cos (2p - t)(-dt) = ò (2p - t).cos

Khi đó: I =

3

2p
2p

3

tdt

0

p 2p
= 2 p ò cos tdt - ò t cos tdt = ò (cos3t + 3cos t)dt - I
2 0
0
0
3

2p

3

2p

pỉ1
ư
Û 2I = ç sin 3t + 3sin t ÷ = 0 Û I = 0.
2è3
ø0
b

Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục và f(a + b – x) = –f(x) thì I = ò f(x)dx = 0.
a

CHỨNG MINH

Đặt x = a + b - t Þ dx = -dt
Đổi cận: x = a Þ t = b;
x=bÞt=a

a

b

b

b

a

a

Khi đó: I = ò f(a + b - t)( -dt) = - ò f(t)dt = - ò f(x)dx = -I Û 2I = 0 Û I = 0.
Áp dụng:
Ví dụ 6: (CĐSPKT_2000) Tính tích phân: I =

p/2

ò
0

ỉ 1 + sin x ư
ln ç
÷ dx.
è 1 + cos x ø

Giải:
Đặt t =

p

- x Þ dx = -dt
2

p
p
,
x = Þ t = 0.
2
2
ỉ
ỉp ưư
0
p
p/ 2
ç 1 + sin èç 2 - t ÷ø ÷
ỉ 1 + cos t ư
ỉ 1 + sin t ư
Khi đó: I = ò ln ç
(
dt)
=
ln
dt
=
ln ç
÷
ç
÷
÷ dt
ò

ò
p
ỉ
ư
1
+
sin
t
1
+
cos
t
è
ø
è
ø
ç 1 + cos ç - t ÷ ÷
p/2
0
0
ç
÷
è2 øø
è

Đổi cận:

=-

x=0Þt=

p/ 2

ò
0

ỉ 1 + sin x ư
ln ç
÷ dx = -I Û 2I = 0 Û I = 0.
è 1 + cos x ø
Trang 110


Trần Só Tùng

Chú ý:

Tích phân

Nếu ta phát biểu lại tính chất 6 dưới dạng:

“Giả sử f(x) lên tục trên [a ; b], khi đó:

b

a

a

b

ò f(x)dx = ò f(a + b - x)dx"

Điều đó sẽ giúp chúng ta có được một phương pháp đổi biến mới, cụ thể ta xét
ví dụ sau:
Ví dụ 7: Tính tích phân: I =

p/ 4

ò

ln(1 + tgx)dx.

0

Giải:
Đặt t =

p
- x Þ dx = -dt
4

Đổi cận:

x=0Þt=

p
p
, x= Þt=0
4

4

0

p/ 4
p/ 4
p
1 - tgt
2
Khi đó: I = - ò ln[1 + tg( - t)dt = ò ln(1 +
)dt = ò ln
dt
4
1 + tgt
1 + tgt
p/ 4
0
0

=

p/ 4

p/ 4

0

0

ò [ln 2 - ln(1 + tgt)]dt = ln 2 ò

Û 2I =

dt -

p/ 4

ò

p/ 4

ln(1 + tgt)dt = ln 2.t 0 - I

0

p ln 2
p ln 2
ÛI=
.
4
8

Tính chất 7: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [0 ; 2a] với a > 0 thì
2a

a

a

0

ò f(x)dx = ò [f(x) + f(2a - x)]dx.
CHỨNG MINH

Ta có:

2a

a

2a

0

a

ò f(x)dx = ò f(x0dx + ò f(x)dx
a

Xét tích phân I 2 =

(1)

2a

ò f(x)dx.
a

Đặt x = 2a - t Þ dx = -dt
Đổi cận: x = a Þ t = a;

x = 2a Þ t = 0.

0

a

a

a

0

0

Khi đó: I 2 = - ò f(2a - t)dt = ò f(2a - t)dt = ò f(2a - x)dx
Thay (2) vào (1) , ta được:
2a

a

a

a

a

0

0

0

ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(2a - x)dx = ò [f(x) + f(2a - x)]dx . (đpcm)

Áp dụng:
Ví dụ 8: Tính tích phân: I =

3p

ò sin x.sin 2x.sin 3x.cos5xdx.
0

Trang 111

(2)


Tích phân

Trần Só Tùng

Giải:
Viết lại I dưới dạng:
I=

3p / 2

ò

3p

ò

sin x.sin 2x.sin 3x.cos5xdx +

0

sin x.sin 2x.sin 3x.cos5xdx.

(1)

3p / 2
3p

ò

Xét tích phân J =

sin x.sin 2x.sin 3x.cos5xdx.

3p / 2

Đặt x = 3p - t Þ dx = -dt
Đổi cận:

x=
0

ò

Khi đó: J = -

3p
3p
Þt=
,
2
2

x = 3p Þ t = 0.

sin(3p - t).sin 2(3p - t).sin 3(3p - t).cos5(3p - t)dt

3p / 2

=-

3p / 2

ò

sin t.sin 2t.sin 3t.cos5tdt = -

3p / 2

ò

0

sin x.sin 2x.sin 3x.cos 5xdx. (2)

0

Thay (2) vào (1), ta được: I = 0.
Tính chất 8: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kỳ T thì :

a+T

ò
a

T

f(x)dx = ò f(x)dx.
0

CHỨNG MINH

Ta có:

T

a

a+ T

0

0

a

ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò

Xét tích phân I3 =

T

ò

T

f(x)dx +

ò

f(x)dx

(1)

a+ T

f(x)dx.

a+ T

Đặt t = x - T Þ dx = dt
Đổi cận: x = a + T Þ t = a;

x = T Þ t = 0.

0

a

a

a

0

0

T

a+ T

0

a

Khi đó: I3 = ò f(t + T)dt = - ò f(t)dt = - ò f(x)dx.
Thay (2) vào (1) , ta được:

ò f(x)dx =

ò

(2)

f(x)dx. (đpcm)

Áp dụng:
Ví dụ 8: Tính tích phân: I =

2004 p

ò

1 - cos2xdx.

0

Giải:
Viết lại I dưới dạng:
I= 2

2004 p

ò
0

2p

4p

0

2p

sin x dx = 2( ò sin x dx +

ò

sin x dx + ... +

Theo tính chất 8, ta được:
Trang 112

2004 p

ò

2002 p

sin x dx)

(1)