baitap giaitich 12 onthi tn thpt dh 03

Trần Sĩ Tùng

Khảo sát hàm số

Baøi 1. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 1 nghiệm:

a) 2 x 3 - 3(m + 1) x 2 + 6 mx - 2 = 0

b) x 3 - 3 x 2 + 3(1 - m) x + 1 + 3m = 0

c) 2 x 3 - 3mx 2 + 6(m - 1) x - 3m + 12 = 0

d) x 3 - 6 x 2 - 3(m - 4) x + 4m - 8 = 0

e) 2 x 3 + 3(m - 1) x 2 + 6(m - 2) x + 2 - m = 0
f) x 3 - 3mx + 2 m = 0
Baøi 2. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 2 nghiệm:
a) x 3 - (m + 1) x 2 - (2 m 2 - 3m + 2) x + 2 m(2 m - 1) = 0

b) x 3 - 3mx + 2 m = 0

c) x 3 - (2m + 1) x 2 + (3m + 1) x - (m + 1) = 0
d) x 3 - 3 x 2 + 3(1 - m) x + 1 + 3m = 0
Baøi 3. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
a) x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1) x - (m 2 - 1) = 0 b) x 3 - 6 x 2 - 3(m - 4) x + 4m - 8 = 0
1 3
x -x+m = 0
3
Baøi 4. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm dương phân biệt:
c) 2 x 3 + 3(m - 1) x 2 + 6(m - 2) x + 2 - m = 0

d)

a) x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1) x - (m 2 - 1) = 0 b) x 3 - 6 x 2 - 3(m - 4) x + 4m - 8 = 0
1 3 5 2
7
x - x + 4x + m + = 0
d) x 3 - mx 2 + (2 m + 1) x - m - 2 = 0
3
2
6
Baøi 5. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm âm phân biệt:
c)

a) 2 x 3 + 3(m - 1) x 2 + 6(m - 2) x + 2 - m = 0

b) x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1) x - (m 2 - 1) = 0

c) x 3 + 3 x 2 - 9 x + m = 0

d) x 3 - x 2 + 18mx - 2 m = 0

Trang 27


Khảo sát hàm số

Trần Sĩ Tùng

3. SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG.
1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của

tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0 ( x0 ; f ( x0 ) ) .
Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 ( x0 ; f ( x0 ) ) là:

y – y0 = f ¢(x0).(x – x0)
(y0 = f(x0))
2. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ
phương trình sau có nghiệm:
ì f ( x ) = g( x )
(*)
í f '( x ) = g '( x )
î
Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.
3. Nếu (C1): y = px + q và (C2): y = ax2 + bx + c thì
(C1) và (C2) tiếp xúc nhau Û phương trình ax 2 + bx + c = px + q có nghiệm kép.
VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y =f(x) tại điểm M0 ( x0 ; y0 ) :

· Nếu cho x0 thì tìm y0 = f(x0).
Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0.
· Tính y¢ = f¢ (x). Suy ra y¢(x0) = f¢ (x0).
· Phương trình tiếp tuyến D là: y – y0 = f¢ (x0).(x – x0)
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y =f(x), biết D có hệ số góc k cho trước.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.
· Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Tính f¢ (x0).
· D có hệ số góc k Þ f¢ (x0) = k (1)
· Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 = f(x0). Từ đó viết phương trình của D.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
· Phương trình đường thẳng D có dạng: y = kx + m.
· D tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
ì f ( x ) = kx + m

(*)
í f '( x ) = k
î
· Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của D.
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến D có thể được cho gián tiếp như sau:
+ D tạo với chiều dương trục hoành góc a thì k = tana
+ D song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a
1
+ D vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a ¹ 0) thì k = a
k -a
+ D tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc a thì
= tan a
1 + ka
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y = f(x), biết D đi qua điểm A( x A ; y A ) .
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.
· Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Khi đó: y0 = f(x0), y¢0 = f¢ (x0).
· Phương trình tiếp tuyến D tại M: y – y0 = f¢ (x0).(x – x0)
· D đi qua A( x A ; y A ) nên: yA – y0 = f¢ (x0).(xA – x0)
(2)
· Giải phương trình (2), tìm được x0. Từ đó viết phương trình của D.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
· Phương trình đường thẳng D đi qua A( x A ; y A ) và có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA)
Trang 28


Trần Sĩ Tùng

Khảo sát hàm số

· D tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

ì f ( x) = k( x - x A ) + yA
(*)
í
î f '( x ) = k
· Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến D.
Baøi 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:

a) (C): y = 3 x 3 - x 2 - 7 x + 1 tại A(0; 1)

b) (C): y = x 4 - 2 x 2 + 1 tại B(1; 0)

3x + 4
2
tại C(1; –7)
d) (C): y = x + 1 tại D(0; 3)
2x - 3
2x -1
Baøi 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:
c) (C): y =

x2 - 3x + 3
tại điểm A có xA = 4
x -2
3( x - 2)
tại điểm B có yB = 4
b) (C): y =
x -1
x +1
c) (C): y =
tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung.

x -2

a) (C): y =

d) (C): y = 2 x - 2 x 2 + 1 tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung.
e) (C): y = x 3 - 3 x + 1 tại điểm uốn của (C).
1 4
9
x - 2 x 2 - tại các giao điểm của (C) với trục hoành.
4
4
Baøi 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường được chỉ ra:
f) (C): y =

a) (C): y = 2 x 3 - 3 x 2 + 9 x - 4 và d: y = 7 x + 4 .
b) (C): y = 2 x 3 - 3 x 2 + 9 x - 4 và (P): y = - x 2 + 8 x - 3 .
c) (C): y = 2 x 3 - 3 x 2 + 9 x - 4 và (C’): y = x 3 - 4 x 2 + 6 x - 7 .
Baøi 4. Tính diện tích tam giác chắn hai trục toạ độ bởi tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được
chỉ ra:
5 x + 11
tại điểm A có xA = 2 .
a) (C): y =
2x - 3
b) (C): y = x 2 - 7 x + 26 tại điểm B có xB = 2.
Baøi 5. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra chắn hai trục toạ độ một tam
giác có diện tích bằng S cho trước:
2x + m
1
a) (C): y =
tại điểm A có xA = 2 và S = .

x -1
2
x - 3m
9
b) (C): y =
tại điểm B có xB = –1 và S = .
x+2
2
c) (C): y = x3 + 1 - m( x + 1) tại điểm C có xC = 0 và S = 8.
Baøi 6. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D có hệ số góc k được chỉ ra:
2x -1
a) (C): y = 2 x 3 - 3 x 2 + 5 ; k = 12
b) (C): y =
; k = –3
x -2
x2 - 3x + 4
c) (C): y =
; k = –1
d) (C): y = x 2 - 4 x + 3 ; k = 2
x -1
Baøi 7. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D song song với đường thẳng d cho trước:
Trang 29


Khảo sát hàm số

Trần Sĩ Tùng

x3
2x -1

3
- 2 x 2 + 3 x + 1 ; d: y = 3x + 2
b) (C): y =
; d: y = - x + 2
3
x -2
4
2
x - 2x - 3
1
3
c) (C): y =
; d: 2 x + y - 5 = 0
d) (C): y = x 4 - 3 x 2 + ; d: y = –4x + 1
4x + 6
2
2
Baøi 8. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D vuông góc với đường thẳng d cho trước:
a) (C): y =

x3
x
2x -1
a) (C): y =
- 2 x 2 + 3 x + 1 ; d: y = - + 2
b) (C): y =
; d: y = x
x -2
3
8

x2 + 3
x2 + x - 1
c) (C): y =
; d: y = –3x
d) (C): y =
; d: x – 2
x +1
x+2
Baøi 9. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D tạo với chiều dương trục Ox góc a:
x3
x3
- 2 x 2 + x - 4; a = 600
b) (C): y =
- 2 x 2 + x - 4; a = 750
3
3
3x - 2
c) (C ) : y =
; a = 450
x -1
Baøi 10. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D tạo với đường thẳng d một góc a:
a) (C): y =

x3
a) (C): y =
- 2 x 2 + x - 4; d : y = 3 x + 7; a = 450
3
x3
1
- 2 x 2 + x - 4; d : y = - x + 3; a = 30 0

b) (C): y =
3
2
4x - 3
; d : y = 3 x; a = 450
c) (C ) : y =
x -1
3x - 7
d) (C ) : y =
; d : y = - x; a = 60 0
-2 x + 5
x2 - x + 3
; d : y = - x + 1; a = 60 0
e) (C ) : y =
x -2
Baøi 11. Tìm m để tiếp tuyến D của (C) tại điểm được chỉ ra vuông góc với đường thẳng d cho
trước:
x 2 + (2m + 1) x - 2 + m
tại điểm A có xA = 0 và d là tiệm cận xiên của (C).
a) (C): y =
x +1
2 x 2 + mx - 1
b) (C): y =
; tại điểm B có xB = 4 và d: x – 12y + 1 = 0 .
x -3
Baøi 12. Tìm m để tiếp tuyến D của (C) tại điểm được chỉ ra song song với đường thẳng d cho
trước:
(3m + 1) x - m 2 + m
(m ¹ 0) tại điểm A có yA = 0 và d: y = x - 10 .
x+m

Baøi 13. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D đi qua điểm được chỉ ra:
a) (C): y =

a) (C): y = - x 3 + 3 x - 2 ; A(2; –4)

b) (C): y = x 3 - 3 x + 1 ; B(1; –6)
æ 3ö
1 4
3
x - 3 x 2 + ; D ç 0; ÷
2
2
è 2ø
3x + 4
f) (C): y =
; F(2; 3)
x -1
x2 - x + 2
h) y =
; H(2; 2)
x -1

2

c) (C): y = ( 2 - x 2 ) ; C(0; 4)

d) (C): y =

x +2
; E(–6; 5)

x -2
x2 - 3x + 3
g) (C): y =
; G(1; 0)
x -2
e) (C): y =

Trang 30


Trn S Tựng

Kho sỏt hm s

VN 2: Tỡm iu kin hai ng tip xỳc
1. iu kin cn v hai ng (C1): y = f(x) v (C2): y = g(x) tip xỳc nhau l h
phng trỡnh sau cú nghim:
ỡ f ( x ) = g( x )
(*)
ớ f '( x ) = g '( x )
ợ
Nghim ca h (*) l honh ca tip im ca hai ng ú.
2. Nu (C1): y = px + q v (C2): y = ax2 + bx + c thỡ
(C1) v (C2) tip xỳc nhau phng trỡnh ax 2 + bx + c = px + q cú nghim kộp.
Baứi 1. Tỡm m hai ng (C1), (C2) tip xỳc nhau:

a) (C1 ) : y = x3 + (3 + m) x 2 + mx + 2; (C2 ) : truùc hoaứnh
b) (C1 ) : y = x 3 - 2 x 2 - (m - 1) x + m; (C2 ) : truùc hoaứnh
c) (C1 ) : y = x 3 + m( x + 1) + 1; (C2 ) : y = x + 1
d) (C1 ) : y = x 3 + 2 x 2 + 2 x - 1; (C2 ) : y = x + m

Baứi 2. Tỡm m hai ng (C1), (C2) tip xỳc nhau:

a) (C1 ) : y = x 4 + 2 x 2 + 1; (C2 ) : y = 2mx 2 + m
b) (C1 ) : y = - x 4 + x 2 - 1; (C2 ) : y = - x 2 + m
1
9
c) (C1 ) : y = - x 4 + 2 x 2 + ; (C2 ) : y = - x 2 + m
4
4
d) (C1 ) : y = ( x + 1)2 ( x - 1)2 ; (C2 ) : y = 2 x 2 + m
(2m - 1) x - m 2
e) (C1 ) : y =
; (C2 ) : y = x
x -1
x2 - x + 1
f) (C1 ) : y =
; (C2 ) : y = x 2 + m
x -1
VN 3: Lp phng trỡnh tip tuyn chung ca hai th
(C1): y = f(x) v C2): y = g(x)
1. Gi D: y = ax + b l tip tuyn chung ca (C1) v (C2).
u l honh tip im ca D v (C1), v l honh tip im ca D v (C2).
ã D tip xỳc vi (C1) v (C2) khi v ch khi h sau cú nghim:
ỡ f (u) = au + b
(1)
ùù f '(u) = a
(2)
ớ
(3)
ùg(v ) = av + b

=
g
'(
v
)
a
(4)
ùợ
ã T (2) v (4) ị f (u) = g (v) ị u = h(v)
(5)
ã Th a t (2) vo (1) ị b = j(u)
(6)
ã Th (2), (5), (6) vo (3) ị v ị a ị u ị b. T ú vit phng trỡnh ca D.
2. Nu (C1) v (C2) tip xỳc nhau ti im cú honh x0 thỡ mt tip tuyn chung ca (C1) v
(C2) cng l tip tuyn ca (C1) (v (C2)) ti im ú.
Baứi 1. Vit phng trỡnh tip tuyn chung ca hai th:

a) (C1 ) : y = x 2 - 5 x + 6; (C2 ) : y = - x 2 + 5 x - 11
b) (C1 ) : y = x 2 - 5 x + 6; (C2 ) : y = - x 2 - x - 14
Trang 31


Khảo sát hàm số

Trần Sĩ Tùng

c) (C1 ) : y = x 2 - 5 x + 6; (C2 ) : y = x 3 + 3 x - 10
VẤN ĐỀ 4: Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f(x) sao cho tại đó
tiếp tuyến của (C) song song hoặc vuông góc với một đường thẳng d cho trước
· Gọi M(x0; y0) Î (C). D là tiếp tuyến của (C) tại M. Tính f¢ (x0).

· Vì
D // d
nên
f¢ (x0) = kd
(1)
1
hoặc
D^d
nên
f¢ (x0) = (2)
kd

· Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x0. Từ đó tìm được M(x0; y0) Î (C).

Baøi 1. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d cho

trước:
x2 + 3x + 6
1
; d: y = x
x +1
3
2
x + x +1
b) (C): y =
; d là tiệm cận xiên của (C)
x +1
x2 + x - 1
; d là đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của (C).
c) (C): y =

x -1
x2 - x + 1
d) (C): y =
; d: y = x
x
Baøi 2. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng d cho
trước:
a) (C): y =

a) (C): y = x 3 + x 2 + x + 10 ; d: y = 2 x

b) (C): y =

x2 - x + 1
; d: y = –x
x

VẤN ĐỀ 5: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được
1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x)
Giả sử d: ax + by +c = 0. M(xM; yM) Î d.
· Phương trình đường thẳng D qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM
· D tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:
ì f ( x ) = k ( x - x M ) + yM
(1)
í
(2)
î f '( x ) = k
· Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f¢ (x) + yM
(3)
· Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)

Baøi 1. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):

a) (C ) : y = - x 3 + 3 x 2 - 2
b) (C ) : y = x 3 - 3 x + 1
Baøi 2. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):
x2 + x + 2
; d là trục hoành
x -1
x 2 + 3x + 3
d) (C ) : y =
; d: x = 1
x+2

x +1
; d là trục tung
x -1
2x2 + x
c) (C ) : y =
; d: y = 1
x +1
x+3
e) (C ) : y =
; d: y = 2x + 1
x -1
a) (C ) : y =

b) (C ) : y =

Trang 32

Trn S Tựng

Kho sỏt hm s

Baứi 3. Tỡm cỏc im trờn ng thng d m t ú v c ớt nht mt tip tuyn vi (C):

x2 - 6x + 9
x 2 + 3x + 3
; d l trc tung
b) (C ) : y =
; d l trc tung
x +1
-x + 2
2x +1
3x + 4
; d: x = 3
d) (C ) : y =
; d: y = 2
c) (C ) : y =
x -2
4x - 3
Baứi 4. Tỡm cỏc im trờn ng thng d m t ú v c hai tip tuyn vi (C):
a) (C ) : y =

x2 + x - 2
x2 - x -1
; d l trc honh
b) (C ) : y =
; d l trc tung

x+2
x +1
x 2 + 3x + 3
c) (C ) : y =
; d: y = 5
x+2
Baứi 5. Tỡm cỏc im trờn ng thng d m t ú v c ba tip tuyn vi (C):
a) (C ) : y =

a) (C ) : y = - x 3 + 3 x 2 - 2 ; d: y = 2

b) (C ) : y = x 3 - 3 x ; d: x = 2

c) (C ) : y = - x 3 + 3 x + 2 ; d l trc honh d) (C ) : y = x 3 - 12 x + 12 ; d: y = 4
e) (C ) : y = x 4 - x 2 - 2 ; d l trc tung
e) (C ) : y = - x 4 + 2 x 2 - 1 ; d l trc tung
Baứi 6. T im A cú th k c bao nhiờu tip tuyn vi (C):
ổ4 4ử
1
a) (C ) : y = x 3 - 9 x 2 + 17 x + 2 ; A(2; 5)
b) (C ) : y = x 3 - 2 x 2 + 3 x + 4; A ỗ ; ữ
3
ố9 3ứ
c) (C ) : y = 2 x 3 + 3 x 2 - 5; A(1; -4)
Baứi 7. T mt im bt kỡ trờn ng thng d cú th k c bao nhiờu tip tuyn vi (C):
a) (C ) : y = x 3 - 6 x 2 + 9 x - 1 ; d: x = 2

b) (C ) : y = x 3 - 3 x ; d: x = 2

VN 6: Tỡm nhng im m t ú cú th v c

2 tip tuyn vi th (C): y = f(x) v 2 tip tuyn ú vuụng gúc vi nhau
Gi M(xM; yM).
ã Phng trỡnh ng thng D qua M cú h s gúc k: y = k(x xM) + yM
ã D tip xỳc vi (C) khi h sau cú nghim:
ỡ f ( x ) = k ( x - x M ) + yM
(1)
ớ
(2)
ợ f '( x ) = k
ã Th k t (2) vo (1) ta c: f(x) = (x xM).f (x) + yM
(3)
ã Qua M v c 2 tip tuyn vi (C) (3) cú 2 nghim phõn bit x1, x2.
ã Hai tip tuyn ú vuụng gúc vi nhau f (x1).f (x2) = 1
T ú tỡm c M.
Chỳ ý: Qua M v c 2 tip tuyn vi (C) sao cho 2 tip im nm v hai phớa vi trc
ỡ(3) coự 2 nghieọm phaõn bieọt
honh thỡ ớ
ợ f ( x1 ). f ( x2 ) < 0
Baứi 1. Chng minh rng t im A luụn k c hai tip tuyn vi (C) vuụng gúc vi nhau.

Vit phng trỡnh cỏc tip tuyn ú:
ổ
1ử
a) (C ) : y = 2 x 2 - 3 x + 1; A ỗ 0; - ữ
ố
4ứ
c) (C ) : y =

b) (C ) : y =

x2 + 2x + 2
; A(1; 0)
x +1

d)
Trang 33

x2 + x +1
; A(1; -1)
x +1