baitap giaitich 12 onthi tn thpt dh

Trn S Tựng

Hm s lu tha m logarit

II. LOGARIT
1. nh ngha
ã Vi a > 0, a ạ 1, b > 0 ta cú: log a b = a aa = b
ỡa > 0, a ạ 1
Chỳ ý: log a b cú ngha khi ớ
ợb > 0
lg b = log b = log10 b
ã Logarit thp phõn:
n

ổ 1ử
ã Logarit t nhiờn (logarit Nepe): ln b = loge b (vi e = lim ỗ 1 + ữ ằ 2, 718281 )
ố nứ
2. Tớnh cht
ã log a 1 = 0 ;

log a a b = b ;

log a a = 1 ;

a

loga b

= b (b > 0)

ã Cho a > 0, a ạ 1, b, c > 0. Khi ú:

+ Nu a > 1 thỡ log a b > loga c b > c
+ Nu 0 < a < 1 thỡ log a b > loga c b < c
3. Cỏc qui tc tớnh logarit
Vi a > 0, a ạ 1, b, c > 0, ta cú:
ổbử
ã log a (bc) = log a b + loga c
ã log a ỗ ữ = log a b - log a c ã log a ba = a loga b
ốcứ
4. i c s
Vi a, b, c > 0 v a, b ạ 1, ta cú:
log a c
ã log b c =
hay log a b. log b c = log a c
log a b
ã log a b =

1
log b a

1
log a c (a ạ 0)
a

ã log aa c =

Baứi 1. Thc hin cỏc phộp tớnh sau:

a) log 2 4.log 1 2
d) 4
g)

log2 3

+9

4
log

3

b) log 5
2

log 1 a

7

c) loga 3 a
log9 2

+ 4 log8 27

h) log3 6.log8 9.log6 2

i) 92 log 3 2

+ 4 log81 5

l) 25log 5 6 + 49log 7 8

m) 5

e) log

log a3 a.log a4 a1/3

1
. log27 9
25

2 2

8

f) 27

a
log3 5

k) 81
n) 9

1
log6 3

+ 27

+4

log 9 36

1
log8 2

+3

4 log 9 7

1+ log 9 4

o) 3

+4

2 - log 2 3

3-2 log 5 4

log125 27

+5

q) lg(tan10 ) + lg(tan 20 ) + ... + lg(tan 890 )
r) log8 ộở log 4 (log2 16)ựỷ .log2 ộở log3 (log 4 64)ựỷ
Baứi 2. Cho a > 0, a ạ 1. Chng minh: log a (a + 1) > loga +1 (a + 2)
Trang 55

p) log

6

3.log3 36


Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit
HD: Xét A =

Trần Sĩ Tùng

log a+1 (a + 2)
loga +1 a + loga +1 (a + 2)
= log a+1 a.log a+1 (a + 2) £
=
log a (a + 1)
2

log a+1 a(a + 2) loga +1 (a + 1)2
=
<
=1
2
2
Baøi 3. So sánh các cặp số sau:
1
2
3
a) log3 4 vaø log 4
b) log 0,1 3 2 vaø log 0,2 0,34 c) log 3
vaø log 5
3

5
4
4

d) log 1
3

1
1
vaø log 1
80
15 + 2
2

g) log 7 10 vaø log11 13
HD:

d) Chứng minh: log 1
3

2
1
log6
3 2

e) log13 150 vaø log17 290

f) 2 log6 3 vaø

h) log 2 3 vaø log3 4

i) log 9 10 vaø log10 11

1
1
< 4 < log 1
80
15 + 2
2

e) Chứng minh: log13 150 < 2 < log17 290
g) Xét A = log 7 10 - log11 13 =

log7 10.log7 11 - log7 13
log7 11

1 æ
10.11.7
10
11 ö
+ log7 .log 7 ÷ > 0
ç log 7
log7 11 è
7.7.13
7
7ø
h, i) Sử dụng bài 2.
Baøi 4. Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:
a) Cho log2 14 = a . Tính log 49 32 theo a.
=

b) Cho log15 3 = a . Tính log 25 15 theo a.
c) Cho lg 3 = 0, 477 . Tính lg 9000 ; lg 0, 000027 ;

1
log81 100

.

d) Cho log7 2 = a . Tính log 1 28 theo a.
2

Baøi 5. Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:

49
theo a, b.
8
b) Cho log30 3 = a ; log30 5 = b . Tính log30 1350 theo a, b.
a) Cho log 25 7 = a ; log2 5 = b . Tính log 3 5

c) Cho log14 7 = a ; log14 5 = b . Tính log35 28 theo a, b.
d) Cho log2 3 = a ; log3 5 = b ; log7 2 = c . Tính log140 63 theo a, b, c.
Baøi 6. Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa):

a) bloga c = c loga b

b) log ax (bx ) =

log a b + log a x
1 + log a x

c)

log a c
= 1 + log a b
log ab c

a+b 1
= (log c a + logc b) , với a2 + b2 = 7ab .
3
2
1
e) log a ( x + 2 y) - 2 log a 2 = (log a x + loga y ) , với x 2 + 4 y 2 = 12 xy .
2
d) log c

f) log b+ c a + log c- b a = 2 log c+ b a.logc- b a , với a2 + b2 = c2 .
Trang 56


Trần Sĩ Tùng
g)

Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit

k (k + 1)
1
1
1
1

1
+
+
+
+ ... +
=
.
log a x loga2 x log a3 x log a4 x
logak x 2 log a x

h) log a N .log b N + log b N .logc N + logc N .log a N =
i) x = 10

1
1- lg z

, nếu y = 10

1
1-lg x

vaø z = 10

1
1-lg y

log a N .log b N .logc N
.
log abc N

.

k)

1
1
1
1
+
+ ... +
=
.
log2 N log3 N
log2009 N log2009! N

l)

log a N - log b N loga N
, với các số a, b, c lập thành một cấp số nhân.
=
log b N - logc N logc N

Trang 57


Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit

Trần Sĩ Tùng

III. HÀM SỐ LUỸ THỪA

HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

1. Khái niệm
a) Hàm số luỹ thừa y = xa (a là hằng số)
Số mũ a

Hàm số y = xa

Tập xác định D

a = n (n nguyên dương)

y = xn

D=R

a = n (n nguyên âm hoặc n = 0)

y = xn

D = R \ {0}

a là số thực không nguyên

y = xa

D = (0; +¥)

Chú ý: Hàm số y =

1
xn

không đồng nhất với hàm số y = n x (n Î N *) .

b) Hàm số mũ y = a x (a > 0, a ¹ 1).
· Tập xác định:
D = R.
· Tập giá trị:
T = (0; +¥).
· Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
· Nhận trục hồnh làm tiệm cận ngang.
· Đồ thị:
y

y=ax

y

y=ax
1

1

x

x

a>1

0
c) Hàm số logarit y = log a x (a > 0, a ¹ 1)
· Tập xác định:
D = (0; +¥).
· Tập giá trị:
T = R.
· Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
· Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
· Đồ thị:
y
y
y=logax

O

x

1

O

x

1

0
a>1
Trang 58

y=logax


Trn S Tựng

Hm s lu tha m logarit

2. Gii hn c bit
ã

lim (1 +

x đ0

1
x) x

x

ex -1
=1
x đ0 x

ln(1 + x )
=1
x đ0
x

ổ 1ử

= lim ỗ 1 + ữ = e
x đƠ ố
xứ

ã lim

ã lim

3. o hm
ã

( xa )Â = a xa -1 ( x > 0) ;

( n x )Â =

Chỳ ý:

ã

ã

1
n

n x n -1

( ua )Â = a ua -1.uÂ

( a x )Â = a x ln a ;

( au )Â = au ln a.uÂ

( e x )Â = e x ;

( eu )Â = eu .uÂ

( loga x )Â = x ln1 a ;

( loga u ) = u lnu a

( ln x )Â = 1

( ln u )Â = uÂ

x

(x > 0);

( n u )Â =

ổ vụựi x > 0 neỏu n chaỹn ử
ỗ vụựi x ạ 0 neỏu n leỷ ữ .
ố
ứ

uÂ
n

n u n-1

u

Baứi 1. Tớnh cỏc gii hn sau:

ổ x ử
a) lim ỗ
ữ
xđ+Ơ ố 1 + x ứ

x

ổ 3x - 4 ử
d) lim ỗ
ữ
x đ+Ơ ố 3 x + 2 ứ

ổ 1ử
b) lim ỗ 1 + ữ
x đ+Ơ ố
xứ
x +1
3

ln x - 1
x đe x - e

g) lim

x +1
x

ổ x +1 ử
e) lim ỗ
ữ
xđ+Ơ ố 2 x - 1 ứ

x

e2 x - 1
x đ0 3 x

h) lim

e x - e- x
esin 2 x - esin x
k) lim
l) lim
xđ0 sin x
x đ0
x
Baứi 2. Tớnh o hm ca cỏc hm s sau:
3

a) y = x 2 + x + 1
d) y = 3 sin(2 x + 1)

b) y = 4

x +1
x -1

3

e) y = cot 1 + x 2

x +3
11
5
h) y = 9 + 6 x 9
g) y = sin
4
Baứi 3. Tớnh o hm ca cỏc hm s sau:

d) y = e

2x + x 2

g) y = 2 x .ecos x

b) y = ( x 2 + 2 x )e - x
e) y = x.e
h) y =

Baứi 4. Tớnh o hm ca cỏc hm s sau:

1
x- x
3

3x
2

x - x +1

Trang 59

2 x -1

ổ 2x +1 ử
f) lim ỗ
ữ
xđ+Ơ ố x - 1 ứ

x

ex - e
xđ1 x - 1

i) lim
m)

c) y = 5

3

a) y = ( x 2 - 2 x + 2)e x

ổ x +1 ử
c) lim ỗ
ữ
xđ+Ơ ố x - 2 ứ

lim x ( e - 1)
1
x

xđ+Ơ

x2 + x - 2
x2 + 1

f) y =
i) y =

1- 3 2x
1+ 3 2x
4

x2 + x + 1
x2 - x + 1

c) y = e-2 x .sin x
f) y =

e2 x + e x
e2 x - e x

i) y = cos x .ecot x


Hm s lu tha m logarit

Trn S Tựng

a) y = ln(2 x 2 + x + 3)

b) y = log 2 (cos x )

c) y = e x .ln(cos x )

d) y = (2 x - 1) ln(3 x 2 + x )

e) y = log 1 ( x 3 - cos x )

f) y = log3 (cos x )

2

(

ln(2 x + 1)
i) y = ln x + 1 + x 2
x +1
2x +1
Baứi 5. Chng minh hm s ó cho tho món h thc c ch ra:
g) y =

ln(2 x + 1)

a) y = x.e

-

h) y =

x2
2 ;

)

b) y = ( x + 1)e x ; y - y = e x

xy = (1 - x 2 )y

c) y = e4 x + 2e- x ;

y  - 13 y - 12 y = 0

d) y = a.e - x + b.e -2 x ; y + 3 y + 2 y = 0

g) y = e- x .sin x;

y + 2 y + 2 y = 0

4
h) y = e- x .cos x; y( ) + 4 y = 0

i) y = esin x ;
l) y =

1 2 x

x .e ;
2

y cos x - y sin x - y = 0

k) y = e2 x .sin 5 x; y - 4 y + 29 y = 0

y - 2 y + y = e x

m) y = e4 x + 2e - x ; y - 13y - 12 y = 0

n) y = ( x 2 + 1)(e x + 2010);

y =

2 xy
2

x +1

+ e x ( x 2 + 1)

Baứi 6. Chng minh hm s ó cho tho món h thc c ch ra:

ổ 1 ử
a) y = ln ỗ
ữ;
ố1+ x ứ

xy + 1 = e y

c) y = sin(ln x ) + cos(ln x ); y + xy + x 2 y = 0

b) y =

1
; xy = y ộở y ln x - 1ựỷ
1 + x + ln x

d) y =

1 + ln x
; 2 x 2 y = ( x 2 y 2 + 1)
x (1 - ln x )

x2 1
+ x x 2 + 1 + ln x + x 2 + 1;
2 y = xy + ln yÂ
2 2
Baứi 7. Gii phng trỡnh, bt phng trỡnh sau vi hm s c ch ra:
e) y =

a) f '( x ) = 2 f ( x ); f ( x ) = e x ( x 2 + 3 x + 1)
b) f '( x ) +

1
f ( x ) = 0;
x

f ( x ) = x 3 ln x

c) f '( x ) = 0; f ( x ) = e2 x -1 + 2.e1-2 x + 7 x - 5
d) f '( x ) > g '( x ); f ( x ) = x + ln( x - 5); g( x ) = ln( x - 1)
1
e) f '( x ) < g '( x ); f ( x ) = .52 x +1; g( x ) = 5 x + 4 x ln 5
2

Trang 60


Trần Sĩ Tùng

Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit

IV. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
ìb > 0
ax = b Û í
ỵ x = log a b

Với a > 0, a ¹ 1:

1. Phương trình mũ cơ bản:

2. Một số phương pháp giải phương trình mũ
a f ( x ) = a g( x ) Û f ( x ) = g( x )

Với a > 0, a ¹ 1:

a) Đưa về cùng cơ số:

Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì:
a M = a N Û (a - 1)( M - N ) = 0
b) Logarit hố:
a f ( x ) = b g ( x ) Û f ( x ) = ( log a b ) . g ( x)
c) Đặt ẩn phụ:
f (x)
ì
, t > 0 , trong đó P(t) là đa thức theo t.
P ( a f ( x ) ) = 0 Û ít = a
· Dạng 1:
ỵP(t) = 0

a a 2 f ( x ) + b (ab) f ( x ) + g b2 f ( x ) = 0

· Dạng 2:

Chia 2 vế cho b

2 f ( x)

ỉ
, rồi đặt ẩn phụ t = ç ÷
èbø

f ( x)

· Dạng 3: a f ( x ) + b f ( x ) = m , với ab = 1 . Đặt t = a f ( x ) Þ b f ( x ) =

1
t

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Xét phương trình:
f(x) = g(x)
(1)
· Đốn nhận x0 là một nghiệm của (1).
· Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy
nhất:
é f ( x ) đồng biến và g( x ) nghòch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt).
êë f ( x ) đơn điệu và g( x ) = c hằng số
· Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f (u) = f (v) Û u = v
e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt
éA = 0
ìA = 0
· Phương trình A2 + B2 = 0 Û í
· Phương trình tích A.B = 0 Û ê
B
=
0
ë
ỵB = 0
f) Phương pháp đối lập
Xét phương trình:
f(x) = g(x)
(1)
ì f ( x) ³ M
ì f ( x) = M
Nếu ta chứng minh được: í
thì
(1) Û í

ỵ g( x ) = M
ỵg( x ) £ M
Bài 1. Giải các phương trình sau (đưa về cùng cơ số hoặc logarit hố):

b) ( 3 - 2 2 )

a) 9 3 x -1 = 38 x -2
c) 4 x

2

-3 x + 2

e) 2 x

2

-1

ỉ1ư
g) ç ÷
è2ø

+ 4x

+ 2x

2

+2

2

+ 6 x +5

= 42 x

2

= 3x + 3x

2

2

+3 x +7

=2

l)

=

x 2 +4

xf) 5

-1

ỉ1ư

h) ç ÷
è2ø

4 -3 x

i) 3 x .2 x+1 = 72
x +10
16 x -10

= 3+2 2

d) 52 x - 7 x - 52 x.35 + 7 x .35 = 0

+1

2

x -2

2x

x +7

= 25
1-2 x

ỉ1ư
.ç ÷
è2ø

=2

k) 5 x +1 + 6. 5 x – 3. 5 x -1 = 52

x +5
x
0,125.8 -15

m) (
Trang 61

5 + 2)

x -1

=(

x -1

5 - 2 ) x +1