baitap giaitich 12 onthi tn thpt dh

Nguyên hàm – Tích phân

Trần Sĩ Tùng

II. TÍCH PHÂN
1. Khái niệm tích phân
· Cho hàm số f liên tục trên K và a, b Î K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
b

F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là

ò f ( x )dx .
a

b

ò f ( x )dx = F( b) - F (a)
a

· Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:
b

b

b

a

a

a

ò f ( x )dx = ò f (t )dt = ò f (u)du = ... = F (b) - F (a)
· Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện
tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng
b

S = ò f ( x )dx

x = a, x = b là:

a

2. Tính chất của tích phân
·
·

a

ò

f ( x )dx = 0

b

ò

·

a

a

f ( x )dx = - ò f ( x )dx

a
b

b

b

a

a

a

b

ò [ f ( x ) ± g( x )]dx = ò f ( x )dx ± ò g( x )dx

· Nếu f(x) ³ 0 trên [a; b] thì

b

b

a
b

a

· ò kf ( x )dx = k ò f ( x )dx (k: const)
·

ò

a

c

b

a

c

f ( x )dx = ò f ( x )dx + ò f ( x )dx

b

ò f ( x )dx ³ 0
a

· Nếu f(x) ³ g(x) trên [a; b] thì

b

b

a

a

ò f ( x )dx ³ ò g( x )dx

3. Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
b

ò

f [u( x )] .u '( x )dx =

u( b )

ò

f (u)du

u( a )

a

trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác
định trên K, a, b Î K.
b) Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b Î K thì:
b

b

b

ò udv = uv - ò vdu
a

a

a

Chú ý:
– Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
b

b

a

a

– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho ò vdu dễ tính hơn ò udv .

Trang 84


Trần Sĩ Tùng

Nguyên hàm – Tích phân

VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên
hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân:
b

ò f ( x )dx = F( b) - F (a)
a

Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải nắm vững bảng các nguyên hàm và
phép tính vi phân.
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
2

a)

ò (x

3

+ 2 x + 1)dx

1

2

d)
g)

x

dx

ò

2

ò(

x + 1)( x - x + 1) dx

-1 x
2

+2

2

æ
ö
3
b) ò ç x 2 + + e3 x +1 ÷ dx
x
ø
1è

2

ò

ò

-2

4

)

+4
dx
x2

2
ò(x + x

1

)

x + 3 x dx

x2 - 2 x

dx

x3

1

e

l)

ò

1

ò(

)

4

i)

1
2

x -1
dx
x2

ò

c)

e
æ
ö
1 1
+ x 2 ÷ dx

f) ò ç x + +
x x2
ø
1è

2

2

h)

1

k)

(x

-1

e)

2

x + 23 x - 4 4 x dx

1

2 x + 5 - 7x
dx
x

8æ
1
m) ò ç 4 x ç
3
1è
3 x2

ö
÷dx
÷
ø

Baøi 2. Tính các tích phân sau:
2

a)
d)

5

x + 1dx

ò

b)

2

2

2

ò

2

dx

1+ x
Baøi 3. Tính các tích phân sau:
0

e)

æ
pö
a) ò sin ç 2 x + ÷ dx
è
6ø
0
p
4

tan x .dx

ò

2

cos x

0

g)

k)

p
2

dx

ò 1 + sin x

b)

e)

x +2 + x -2

ò3
0

p

d)

ò

1

x

dx
3x2
1+ x

3

dx

p
2

ò (2sin x + 3 cos x + x )dx

p
3
p
3

ò 3tan

p
4
p
2

2

x dx

1 - cos x

0

ò 1 + cos x dx

p
3

p
2

ò

h)

2

(tan x - cot x )2 dx

l)

p
6

ò

-p
2

2

x +2

0

4

f)

òx

dx

x 2 + 9.dx

0

p
6

ò ( sin 3 x + cos 2 x ) dx

c)

0

f)

i)

p
4

ò (2 cot

p
6
p
2

0

æp
ö
sin ç - x ÷
è4
ø dx
æp
ö
sin ç + x ÷
è4
ø

x

ò

c)

ò sin

2

2

x + 5) dx

x .cos2 xdx

0

m)

p
4

ò cos

4

x dx

0

Baøi 4. Tính các tích phân sau:
1 x

a)

ò

e - e- x

x
-x
0e +e

dx

2

b)

ò

( x + 1).dx

2
1 x + x ln x

Trang 85

1 2x

c)

ò

0

e

-4

ex + 2

dx


Nguyờn hm Tớch phõn
ln 2

ũ

d)

0

g)

p
2

ũe

Trn S Tựng

2

dx
e +1
x

cos x

x

4

.sin xdx

h)

0
e

k)

1 x

ổ e- x ử
e) ũ e ỗ 1 ữdx
x ứ
ố
1

ex

e

ũ

x

x

1

1

ln x
ũ x dx
1

l)

f)

dx

i)

e

ũ

x

e

1 + ln x
dx
x

ũ

1
1

2

x
ũ xe dx

dx

02

1

ũ

m)

x
0 1+ e

0

dx

VN 2: Tớnh tớch phõn bng phng phỏp i bin s
b

Dng 1: Gi s ta cn tớnh ũ g( x )dx .
a

Nu vit c g(x) di dng: g( x ) = f [u( x )] .u '( x ) thỡ

b

u(b )

a

u(a )

ũ g( x )dx = ũ

f (u)du

b

Dng 2: Gi s ta cn tớnh

ũ f ( x )dx .

a

t x = x(t) (t ẻ K) v a, b ẻ K tho món a = x(a), b = x(b)
b

ũ

thỡ

a

b

b

a

a

( g(t ) = f [ x(t )] .x '(t) )

f ( x )dx = ũ f [ x(t )] x '(t )dt = ũ g(t )dt

Dng 2 thng gp cỏc trng hp sau:
f(x) cú cha

Cỏch i bin
p
p
x = a sin t ,

- ÊtÊ
2
2
x = a cos t ,
0Êt Êp

a2 - x 2
hoc

hoc

a2 + x 2
1
a2 + x 2

x = a cot t,

p
p
2
2
0
a
,
sin t
a
x=
,

cos t

ộ p pự
t ẻ ờ - ; ỳ \ {0}
ở 2 2ỷ
ỡp ỹ
t ẻ [ 0; p ] \ ớ ý
ợ2 ỵ

x = a tan t ,
hoc

x=
x 2 - a2
hoc

-

Baứi 1. Tớnh cỏc tớch phõn sau (i bin s dng 1):
1

1

a)

19
ũ x(1 - x) dx
1

xdx

2x + 1

ũ
0

2 3

g)

ũ

5

dx
x x2 + 4

1

c)

e) ũ x 1 - x 2 dx

f)

0

d)

x3

dx

b)

ũ

0 (1 +
1

x 2 )3

1

0

3

h)

ũ
0

x + 2x
5

1+ x2

Trang 86

ũx

0
ln 2

3

dx

x5
ũ0 x 2 + 1 dx

i)

ũ

0

3

1 - x 2 dx
ex

1 + ex

dx


Trần Sĩ Tùng
ln 3

e x dx

ò

k)

Nguyên hàm – Tích phân
l)

( e x + 1)3

0
p
2

n)

e

ò
1

p
2

sin 2 x

ò

dx

o)

e

2 + ln x dx
2x

1

p
6

3

cos x. sin x
dx
2
1
sin
+
x
0

ò

0

1
2

a)

ò

1- x

3

òx
0

b)

2

0

dx
+3

e)

2

1

2

k)

3

ò

2

ò

h)

x2 + 2 x + 2

-1

4-x

ò (x
0

dx

ò

ò

dx

l)

2

x x -1

2
2

ò

0

2

sin 2 x
dx
x + cos 2 x

2

0

2

x 2 dx

1

2

0

g)

1

dx

0

d)

2

ò 2 sin

p)

cos x + 4 sin x
Baøi 2. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2):
2

1 + 3 ln x ln x
dx
x

ò

m)

4 - x 2 dx

2

1

dx
+ 1)( x 2 + 2)

1

f)

x -1
dx
x3
x2
2

òx

4

0

xdx
+ x2 +1

1

2

1- x

òx

c)

2

i)

dx

ò

(1 + x )

2 5

0

2

dx

2 x - x 2 dx

òx

m)

0

VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
b

x
ò P( x ).e dx

a

u
dv

P(x)
e x dx

b

b

ò P( x ).cos xdx

ò P( x ).sin xdx

P(x)
cos xdx

P(x)

sin xdx

a

b

ò P( x ). ln xdx

a

a

lnx
P(x)dx

Baøi 1. Tính các tích phân sau:
p
4

a)

p
2

ò x sin 2 xdx

b)

0

d)

p2
4

x co s

ò

x dx

e)

x
ò xe dx
0

k) ò e 3 x sin 5 xdx

ò x tan

2

xdx

ò x ln xdx
1

p
2

l)

0

cos x
ò e sin 2 xdx
0

3

ln 2 xdx

p)

ln x
dx
2
1 x

ò
e

Trang 87

òx

2

cos xdx

0

1

f)

ò ( x - 2)e

2x

dx

0

3

i) ò ln( x 2 - x)dx
2

e

m) ò ln 3 xdx
1

e

e

1

p
3

e

h)

p
2

òx

c)

p
4

ln 2

o)

x) cos xdx

0

0

g)

ò ( x + sin

2p
2

0

q)

ò x (e

-1

2x

+ 3 x + 1)dx


Nguyên hàm – Tích phân

Trần Sĩ Tùng

VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công
thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ.
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
2

2

a)

ò x - 2 dx

b)

d)

ò

x 2 - 1 dx

ò

x 2 - 6 x + 9dx

-3
4

g)

ò

e)

ò ( x + 2 - x - 2 ) dx

f)

1

ò2

x

- 4 dx

ò

4 - x dx

0
1

3

ò

+ 2 x - 3 dx

0
3

-2

h)

2

òx

c)

0
5

0

3

2

x 2 - x dx

x 3 - 4 x 2 + 4 x dx

i)

0

-1

p

p
2

Baøi 2. Tính các tích phân sau:
2p

a)

ò

1 - cos 2 x dx

b)

p

d)

g)

2p

ò

1 - sin xdx

ò

tan 2 x + cot 2 x - 2 dx

-p
p
3

1 - sin 2 x .dx

ò

p
2
p

ò

f)

sin x dx

1 + cos 2xdx

0

0
p
3

cos x cos x - cos3 xdx i)

ò

h)

p
6

1 + cos xdx

ò

e)

ò

c)

0

0

2p

1 + sin xdx

ò

p
2

0

VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ.
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
3

1

dx
a) ò
3
1 x+ x
1

d)

e)

ò

h)
dx

x2 - 3x + 2
-1
Baøi 2. Tính các tích phân sau:

1

d)

ò

1

2
2

0 ( x + 2) ( x + 3)

ò

b)

)

dx

1

x3 + x + 1
dx
ò 2
x
+
1
0

f)

ò
1

e)

Trang 88

x2

ò

3
0 (3 x + 1)
2

c)

2

dx
(1 + x)

x3 + x + 1
ò x + 1 dx
0

m)

+2
dx
2
x +1

0

dx

(3x

2

1

i)

+ 5x + 6

x3 - 3x + 2
3

dx
ò0 x 2 - 2x + 2

2

òx
1

3 x2 + 3x + 3

2

2

a)

òx
3

l)

f)

(4 x + 11)dx

0

2 x3 - 6 x 2 + 9 x + 9

4

x 2 dx
ò2 (1 - x )9
1

dx
ò2 x(x - 1)
0

k)

x 3 dx
c) ò 2
x + 2x + 1
0

3

x
ò0 (1 + 2 x )3 dx
4

g)

3

dx
b) ò 2
x - 5x + 6
0

dx

x3 + 2x 2 + 4 x + 9
dx
ò0
x2 + 4
1

ò

x

4
0 1+ x

dx

Trần Sĩ Tùng
2

g)

1

ò

x (1 + x 4 )

1
2

k)

Nguyên hàm – Tích phân

1

ò

4 + x2

0

dx

dx

2

h)

1 - x 2008

ò

x (1 + x 2008 )

1
2

l)

1 - x2

ò

1 1+

x4

dx

dx

3

i)

x4

ò

2 (x
1

- 1)2

2 - x4

ò

m)

2

0 1+

x2

dx

dx

VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ.
Baøi 1. Tính các tích phân sau:

a)

2
2

1+ x
dx
1- x

ò

0

7
3

b)

1

g)

ò
0

6

e)

ò

2 2x +1+

h)

x x 2 + 1dx

l)

ò x+

4x +1

f)

ò 1+
2

x2 +1

dx

i)

0

x -1

x4

ò

x5 + 1

0

3

3
2
ò x x + 1dx

x

1

1

ò

x - 2 x -1

5
2

x3

0

dx

ò

c)

dx

1

dx
x +1 + x

2 2

k)

3

0

1

4x - 3
d) ò
dx
3x + 1
0 2+

ò

10

x +1
dx
3x + 1

ò

m)

0

0

dx

dx

x5 + x3
1+ x

2

dx

2

2 3

dx

ò

n)

x x2 + 4
Baøi 2. Tính các tích phân sau:
5

1

a) ò x

2

2

1 + x dx

b)

0

2

d)

x + 2008dx

1
1

g)

k)

dx

ò

-1 1 +

2
2

ò

x + x2 + 1
dx

(1 - x 2 )3
Baøi 3. Tính các tích phân sau:
a)

cos xdx

ò

7 + cos 2 x

0

d)

p
2

ò

0

6

x x2 - 1

3

x2 + 1

ò
3

x2 x2 + 1

e) ò x
0
2

h)

1 - cos3 x sin x cos5 xdx

ò

1

l)

0

p
2

2

1

2

ò

dx

ò

o)

2
2

ò

0

b)

2

3

p
2

3

1

dx

ò

0

dx

ò

c)

(1 + x 2 )3

1

10 - x dx

f)

1 + x 2 dx

ò

0
1

dx

i)

x 2 + 2008

x 3 dx

ò

x + x2 + 1

0

5

4

2

x dx

Trang 89

12 x - 4 x 2 - 8dx

1

cos x - cos2 xdx

1 + 3 cos x

ò

m)

1 - x2

sin 2 x + sin x

x x3 + 1

1

c)

0

e)

dx

0

2

ò sin x

p
2

ò

p)

p
2

ò

0

dx

f)

p
3

ò

0

cos xdx
2 + cos2 x
cos xdx
2 + cos 2 x


Nguyên hàm – Tích phân

g)

p
2

ò

0

cos xdx

Trần Sĩ Tùng

h)

2

1 + cos x

p
3

ò

p
4

tan x
2

cos x 1 + cos x

dx

i)

p
2 sin 2 x + sin x

ò

1 + 3cos x

0

dx

Baøi 4. Tính các tích phân sau:
ln 3

a)

ò

0

ò

ln 2

x ln x + 1

ò

0

e)

1

x (e2 x + 3 x + 1)dx

ò

ln 2

(e x + 1) e x - 1

dx

(e x + 1)3

0

1

h)

e x dx

ò

f)

-1

ex

1 + 3ln x ln x
dx
x

ò

c)

ex + 1

0

dx

e

e2 x dx

0

ln 2 x

ln 3

g)

ò

b)

ex + 1

ln 3

d)

ln 2

dx

ex

ò

e x + e- x

0

dx

ln 2

e x - 1dx

ò

i)

0

VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác.
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
p
4

a) ò sin 2 x. cos xdx

p
4

b)

0

p
2

d) ò sin xdx

g)

3

e)

p
2

p
2

x cos4 xdx

sin x

l)

3

cos x

ò 1 + cos x dx

o)

0

q)

p
2

ò

3

sin x
2

dx

1 + cos x
Baøi 2. Tính các tích phân sau:
0

p

2

a)

ò

3

3

x + cos x )dx

p

1 - cos 3 x sin x cos 5 xdx

r)

p
2

1

dx

ò sin 4 x.cos x

p
6
p

4

ò tan

3

i)

xdx

1 + sin 2 x + cos 2 x
dx
sin x + cos x
p

ò

d)

ò cos 2 x(sin
0

4

x + cos 4 x )dx

e)

ò

4

x cos5 xdx

(tan x + e sin x cos x )dx

Trang 90

sin 2 x cos x
dx
1 + cos x
0

ò

m)

p)

p
3

dx

ò sin x.cos3 x

p
4

s)

p
3

ò tan

4

xdx

0
p
3

c)

ò cos x

p
4

6

p
4
0

ò sin
p
2

p
2

0

p
2

p
2
0

0

b)

3 xdx

0

ò cos x + 1 dx

0
p
3

2

ò cos

f)

0

ò 1 + 3 cos x dx

p
2

0

h) ò sin 2 x cos 3 xdx

0

n)

ò (sin

p
2
0

k)

p
2
0

2

c) ò sin 2 xdx

0

0

ò sin

p

ò tan xdx

p
2

f)

tan x
1 + cos 2 x

dx

ò (1 + sin x ) sin 2 xdx
0

2

3