baitap giaitich 12 onthi tn thpt dh

Nguyên hàm – Tích phân
g) y =

Trần Sĩ Tùng

x2
1
, y=
2
1 + x2

2
h) y = x + 3 + , y = 0
x

i) y = x 2 + 2 x, y = x + 2
k) y = x 2 + 2, y = 4 - x
Baøi 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y = x 2 , x = - y 2

b) y 2 + x - 5 = 0, x + y - 3 = 0

c) y 2 - 2 y + x = 0, x + y = 0

d) y 2 = 2 x + 1, y = x - 1

e) y 2 = 2 x, y = x , y = 0, y = 3

f) y = ( x + 1)2 , x = sin py

g) y 2 = 6 x, x 2 + y 2 = 16

h) y 2 = (4 - x )3 , y 2 = 4 x

k) x 2 + y 2 = 8, y 2 = 2 x
i) x - y 3 + 1 = 0, x + y - 1 = 0
Baøi 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y = x.e x ; y = 0; x = -1; x = 2.

b) y = x.ln 2 x; y = 0; x = 1; x = e.

c) y = e x ; y = e- x ; x = 1.

d) y = 5 x -2 ; y = 0; x = 0; y = 3 - x.

e) y = ( x + 1)5 ; y = e x ; x = 1.

1
f) y = ln x , y = 0, x = , x = e
e

g) y = sin x + cos2 x, y = 0, x = 0, x = p h) y = x + sin x; y = x; x = 0; x = 2p.
i) y = x + sin 2 x; y = p; x = 0; x = p.

k) y = sin 2 x + sin x + 1, y = 0, x = 0, x =

Baøi 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) (C ) : y = x +

p

2

1

, tiệm cận xiên của (C), x = 1 và x = 3.
2 x2
x2 + 2 x + 1
b) (C ) : y =
, y = 0 , tiệm cận xiên của (C), x = –1 và x = 2
x+2
c) (C ) : y = x 3 - 2 x 2 + 4 x - 3, y = 0 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 2.
d) (C ) : y = x 3 - 3 x + 2, x = -1 và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = –2.
e) (C ) : y = x 2 - 2 x và các tiếp tuyến với (C) tại O(0; 0) và A(3; 3) trên (C).
VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể
Baøi 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh trục Ox:
p
1
a) y = sin x, y = 0, x = 0, x =
b) y = x 3 - x 2 , y = 0, x = 0, x = 3
4
3
p
d) y = x , y = 0, x = 4
c) y = sin 6 x + cos6 x , y = 0, x = 0, x =
2
e) y = x 3 - 1, y = 0, x = -1, x = 1
g) y =

f) y = x 2 , y = x

x2
x3
, y=
4
8

i) y = sin x , y = cos x, x =

h) y = - x 2 + 4 x , y = x + 2

p
p
,x=
4
2

k) ( x - 2)2 + y 2 = 9, y = 0

l) y = x 2 - 4 x + 6, y = - x 2 - 2 x + 6
m) y = ln x , y = 0, x = 2
Baøi 2. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh trục Oy:
Trang 98


Trần Sĩ Tùng

Nguyên hàm – Tích phân

2
a) x = , y = 1, y = 4
y

b) y = x 2 , y = 4

c) y = e x , x = 0, y = e
d) y = x 2 , y = 1, y = 2
Baøi 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) giới hạn bởi các đường sau quay
quanh:
i) trục Ox
ii) trục Oy
a) y = ( x - 2)2 , y = 4
c) y =

1
2

b) y = x 2 , y = 4 x 2 , y = 4
d) y = 2 x - x 2 , y = 0

, y = 0, x = 0, x = 1

x +1
e) y = x.ln x , y = 0, x = 1, x = e

f) y = x 2 ( x > 0), y = -3 x + 10, y = 1
2

h) ( x – 4 ) + y 2 = 1

g) y = x 2 , y = x
i)

x2 y2
+
=1
9
4

k) y = x - 1, y = 2, y = 0, x = 0

l) x - y 2 = 0, y = 2, x = 0

m) y 2 = x 3 , y = 0, x = 1

Trang 99


Nguyên hàm – Tích phân

Trần Sĩ Tùng

IV. ÔN TẬP TÍCH PHÂN
Baøi 1. Tính các tích phân sau:
5

2

a)

òx

- x dx

2

2

3

æ x -1 ö
d) ò ç
÷ dx
+
2
x
è
ø
-1
1

e)

xdx

ò

0 ( x + 1)
1

3

x

ò

h)

2

dx

2

l)

x +1
Baøi 2. Tính các tích phân sau:
0

2 1+
0

ò

-1 x
1
0 1+

ò

5

dx
x - 2 x -1

2

g)

x4

ò

x +1
3

h)

i)

+ 2x + 4

3

òx

ò

0 ( x + 1)

x +1 + x + 3

f)

1 - x dx

i)

5

o) ò x

1

2

1 - x dx

p)

0

2+x + 2-x

1
7
3

x +1

ò3

3x + 1

1

x2 + x

ò3

( x + 1)2

0

3

òx

m)

0

0

1

xdx

ò

0

3
2
ò x x + 3 dx

3

1 + x dx

òx

1

l)

xdx

ò

-1
2

dx

+ 5x + 2
x2 + 4

0

c)

2

x + 2 x2 + 4 x + 9

m)

2

x -3

-1 3

0 2x
2 3

1

x+5+4

ò

dx

ò

0

1

x 3 1 + x 2 dx

ò

ò

9

dx

5

0

k)

e)

f)

2 dx

-1
3

- 2 x + 1 dx

1

dx

dx

x

2

1

xdx

ò

b)

x8 - 2 x 4

2

4

x
a) ò
dx
x -1
1 1+
10

x7

ò

2

d)

òx

c)

-3

2

k)

ò ( x + 2 - x - 2 )dx

b)

0

g)

3

dx

1 - x 2 dx

0

dx

3

x5 + 2x3

0

x2 + 1

ò

q)

dx

2

r) ò x 2 4 - x 2 dx

s)

t)

0

Baøi 3. Tính các tích phân sau:
p /4

a)

ò
0

p/ 2

d)

ò

0

p/2

g)

p/2

1 - 2 sin 2 x
dx
1 + sin 2 x

ò

b)

sin 2 x
2

2

cos x + 4 sin x

dx

p/ 4

ò

0
p/2

o)

ò

0

1 + 3cos x

0
p/2

e)

cos 2 x(sin 4 x + cos4 x )dx h)

l)
x

sin 2004 x + cos2004 x

c)

ò

dx

ò

ò

0

tan x
2

cos x 1 + cos x

sin 2 x
dx
cos x + 1

0
p/2

p)

ò

sin 2 x cos x
dx
1 + cos x

ò

cos5 xdx

0
p/2

f)

0

p/ 3

p/2

x tan 2 x dx
sin

dx

sin x sin 2 x sin 3 x dx

ò

p/ 4

2004

p/2

0

0

k)

ò

sin 2 x + sin x

dx

p

i)

Trang 100

2
0 1 + cos x
p/2

m)

q)

dx

ò

sin x
dx
1 + 3cos x

ò

cos3 x
dx
sin x + 1

0
p/2

3

4 sin x
dx
1 + cos x

x sin x

ò

0

dx


Trần Sĩ Tùng
p/3

r)

Ngun hàm – Tích phân

ò

x sin2 xdx
2

sin 2 x cos x

0

p/2

sin xdx

0

x
sin x + 2 cos x cos
2

ò

s)

2

Bài 4. Tính các tích phân sau:
3

a) ò x ln( x 2 + 5)dx
0
p/2

d)

ò

(esin x + cos x ) cos x dx

0
e 3

g)

x +1
ln xdx
x
1

ò

2
0 ( x + 2)
p/2

o)

x2e x

ò

3

b) ò ln( x 2 - x)dx
2

ln 5

e)

dx

l)

ln3 e
1
2

ò (4 x

0
e

p)

0

ò

1

3 - 2 ln x

x

0
1

e3 x sin 5 x dx

e

dx

ò

+ 2e

-x

-3

h) ò ( x + 1)e x dx

ò

2

k)

2

e

2

ln x
x

2

- 2 x - 1)e2 x dx

t)

1

c) ò ( x - 2)e2 x dx
0
e

f)

òx

1
1

i)

2

ln 2 x dx

dx

ò

0 1+ e
2

m)

ò

x

ln(1 + x )
x2

1
1

dx

q) ò x ln(1 + x 2 )dx

dx

0

1 + 3 ln x . ln x
dx
x

e3

ln 2 x

dx
ò
ò1
x
1
+
2
ln
x
x
ln

x
+
1
1
1
Bài 5. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
4
a) y = x 3 - 3 x + 2, y = 0, x = 0, x = -1
b) y =
, y = 0, x = -2, x = 1
2-x
1
9
c) y = - x 4 + 2 x 2 + , y = 0
d) y = e x , y = 2, x = 1
4
4
1
1
f) y = x 2 - 2 x, y = - x 2 + 4 x
e) y = x - 1 +
, y = 0, x = 2, x = 4
2
x -1
2x +1
- x2 + x
, y = 0, x = 0
h) y =
, y=0
g) y =

x +1
x +1
x2 + 3x - 2
m) y =
, tiệm cận xiên, x = 0, x = 1
x +1
x2 + x - 2
n) y =
, y = 0, tiếp tuyến vẽ từ gốc toạ độ
x +1
r)

ò

dx

s)

t)

o) y = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 , tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với trục tung.
1 3
x - 3 x , tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị có hồnh độ x = 2 3 .
4
Bài 6. Tính thể tích các vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các
đường sau quanh trục:
p) y =

a) y = x , y = 0, x = 3; Ox

b) y = x ln x , y = 0, x = 1, x = e; Ox

c) y = xe x , y = 0, x = 1; Ox

d) y = 4 - x 2 , y = x 2 + 2; Ox

e) y 2 = 4 - x, x = 0; Oy

f) x = ye y , x = 0, y = 1; Oy

Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.

Trang 101


Số phức

Trần Sĩ Tùng

CHƯƠNG IV
SỐ PHỨC

I. SỐ PHỨC

1. Khái niệm số phức
· Tập hợp số phức:
C
· Số phức (dạng đại số) : z = a + bi
(a, bÎ R , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1)
· z là số thực

Û phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
z là thuần ảo Û phần thực của z bằng 0 (a = 0)
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
ìa = a '
· Hai số phức bằng nhau:
a + bi = a’ + b’i Û í
(a, b, a ', b ' Î R)
îb = b '
2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b Î R) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay
r
bởi u = (a; b) trong mp(Oxy) (mp phức)

3. Cộng và trừ số phức:
· ( a + bi ) + ( a’ + b’i ) = ( a + a’) + ( b + b’) i
· ( a + bi ) - ( a’ + b’i ) = ( a - a’) + ( b - b’) i
· Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi
r
r
r r
r r
· u biểu diễn z, u ' biểu diễn z' thì u + u ' biểu diễn z + z’ và u - u ' biểu diễn z – z’.
4. Nhân hai số phức :
· ( a + bi )( a '+ b ' i ) = ( aa '– bb ' ) + ( ab '+ ba ' ) i
· k (a + bi ) = ka + kbi (k Î R)
5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z = a - bi
æz ö z
· z = z ; z ± z ' = z ± z ' ; z.z ' = z.z '; ç 1 ÷ = 1 ;
è z2 ø z2
· z là số thực Û z = z ;
z là số ảo Û z = - z

z. z = a2 + b2

6. Môđun của số phức : z = a + bi
uuuur
· z = a2 + b2 = zz = OM
· z ³ 0, "z Î C ,
z =0Ûz=0
· z.z ' = z . z '
7. Chia hai số phức:
1
· z -1 =
z (z ¹ 0)
2
z

·

z
z
=
z' z'
·

· z - z' £ z ± z' £ z + z'
z'
z '.z z '. z
= z ' z -1 =
=
2

z
z.z
z
Trang 102

·

z'
= w Û z ' = wz
z


Trn S Tựng

S phc

8. Cn bc hai ca s phc:
2
ỡ 2
ã z = x + yi l cn bc hai ca s phc w = a + bi z2 = w ớ x - y = a
ợ 2 xy = b
ã w = 0 cú ỳng 1 cn bc hai l z = 0
ã w ạ 0 cú ỳng hai cn bc hai i nhau

ã Hai cn bc hai ca a > 0 l a
ã Hai cn bc hai ca a < 0 l - a .i
9. Phng trỡnh bc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C l cỏc s phc cho trc, A ạ 0 ).
D = B 2 - 4 AC
-B d
, ( d l 1 cn bc hai ca D)

2A
B
ã D = 0 : (*) cú 1 nghim kộp: z1 = z2 = 2A
Chỳ ý: Nu z0 ẻ C l mt nghim ca (*) thỡ z0 cng l mt nghim ca (*).
10. Dng lng giỏc ca s phc:
ã z = r (cos j + i sin j) (r > 0) l dng lng giỏc ca z = a + bi (z ạ 0)
ã D ạ 0 : (*) cú hai nghim phõn bit z1,2 =

ỡ
ùr = a2 + b2
ùù
a
ớcos j =
r
ù
b
ùsin j =
ùợ
r
ã j l mt acgumen ca z, j = (Ox , OM )
ã z = 1 z = cos j + i sin j (j ẻ R)
11. Nhõn, chia s phc di dng lng giỏc
Cho z = r (cos j + i sin j) , z ' = r '(cos j '+ i sin j ') :
ã z.z ' = rr '. [ cos(j + j ') + i sin(j + j ')]

ã

z r
= [ cos(j - j ') + i sin(j - j ')]
z' r '

12. Cụng thc Moavr:
n

ã [r (cos j + i sin j)] = r n (cos nj + i sin nj) ,

( n ẻ N* )

n

ã ( cos j + i sin j ) = cos nj + i sin nj
13. Cn bc hai ca s phc di dng lng giỏc:
ã S phc z = r (cosj + i sin j ) (r > 0) cú hai cn bc hai l:
ổ
j
jử
r ỗ cos + i sin ữ
ố
2
2ứ
ộ ổj
ổ
ử
ổj
ửự
j
jử
vaứ - r ỗ cos + i sin ữ = r ờ cos ỗ + p ữ + i sin ỗ + p ữ ỳ
ố
2

2ứ
ứ
ố2
ứỷ
ở ố2
ã M rng: S phc z = r (cosj + i sin j ) (r > 0) cú n cn bc n l:
n

ổ
j + k 2p
j + k 2p ử
r ỗ cos
+ i sin
ữ , k = 0,1,..., n - 1
n
n
ố
ứ

Trang 103


Số phức

Trần Sĩ Tùng

VẤN ĐỀ 1: Thực hiện các phép toán cộng – trừ – nhân – chia – căn bậc 2
Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, căn bậc hai của số phức.
Chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân.
Baøi 1. Tìm các số thực x và y, biết:

a) 2 x + yi - 3 + 2i = x - yi + 2 + 4i

b) (2 x + 3) + ( y + 2)i = x - ( y - 4)i

c) (2 - x ) - i 2 = 3 + (3 - y )i
d) (3 x - 2) + (2 y + 1)i = ( x + 1) - ( y - 5)i
e) (2 x + y) + ( y + 2)i = ( x + 2) - ( y - 4)i
Baøi 2. Thực hiện các phép toán sau:
a) (-5 - 7i) - (9 - 3i ) - (11 + 6i ) b) (4 – i ) + (2 + 3i ) – (5 + i )
c) -17i + (4 + i) - (1 - 3i)
e) 14i + (1 - 2i) - ( 2 + 5 ) i f) 2 - i + ( 3 - 2i )
d) (-2 + 7i ) + (14 - i ) + (1 - 2i)
æ 1 ö æ 3
ö 1
æ3 1 ö æ 5 3 ö
æ2 5 ö
g) ç 3 - i ÷ + ç - + 2i ÷ - i
h) ç + i ÷ - ç - + i ÷
i) ( 2 - 3i ) - ç - i ÷
3 ø è 2
è
ø 2
è4 5 ø è 4 5 ø
è3 4 ø
Baøi 3. Thực hiện các phép toán sau:
a) (2 - 3i)(3 + i )
b) (-2 + 5i )(4 + 8i )
c) (4 + i)(3 - 6i )
d) (2 - 7i )(4 - i )(1 + 2i)

e) (2 - 7i )(4 + i ) - (11 - 3i )

f) (3 + 4i )2

g) (2 + i )3 - (3 - i )3

h) (1 + i )2 - (1– i)2

i) (-1 + i )3 - (2i )3

k) (3 + 3i )5

l) (2 - i )6

m) 5i(1 - i )7
3

n)
Baøi 4.

a)
d)
g)
k)
n)

3
æ1
æ1

ö
3ö
o) ç + i
÷
ç - 3i ÷
è2
2 ø
è2
ø
Thực hiện các phép toán sau:
1+ i
3
b)
2-i
1 + 2i
(3 + i )(2 + 6i )
1+ i
e)
1- i
1- i

(1 + 2i)(-4 + i)
(1 - i )(4 + 3i)
3 -i
2 -i
1+ i
i

l)

m

i m
Baøi 5. Thực hiện các phép toán sau:
a) (1 - i)100
d)

(-3 + 2i )(1 - i)2

(2 + i) + (1 + i)(4 - 3i )
3 - 2i

h)

o)

1+ i 3

+

1- i 3

1- i 2 1+ i 2
a+i a
a-i a

b) (1 + i )2009 - (1 - i )2009
e)

(1 + 2i) 2 - (1 - i) 2

(3 + 2i) 2 - (2 + i ) 2

3

æ 1
3ö
p) ç - + i
÷
è 2
2 ø
2 - 3i
4 + 5i
3+ i
f)
(1 - 2i )(1 + i )
c)

i)

-2 + 5i
(1 + 3i)(-2 - i )(1 + i )

m)
p)

2+i 2
1- i 2
a+i b

+

1+ i 2
2 -i 2

i a

c) (1 + i )2010 - (1 - i)2010
f)

(1 + i )2 (2i )3
-2 + i

c)

z+i
z-i

(1 - 2i)3 (3 + i )
Baøi 6. Cho số phức z = x + yi . Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
z +i
iz - 1
Baøi 7. Phân tích thành nhân tử, với a, bÎ R:
a) z2 - 2 z + 4i

b)

a) a2 + 1

b) 2a2 + 3

c) 4a 4 + 9b2

d) 3a2 + 5b 2

e) a3 + 8

f) a3 - 27

g) a4 + 16

h) a4 + a2 + 1

Trang 104