baitap hinhhoc 12 onthi tn thpt dh

Trần Sĩ Tùng

Khối tròn xoay

ÔN TẬP TỔNG HỢP
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Baøi 1. Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ^ (ABC) và
· = a , hạ SH vuông góc với
SA = a. M là một điểm thay đổi trên cạnh AB. Đặt ACM
đường thẳng CM.
a) Tìm quỹ tích điểm H. Suy ra giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SAHC.
b) Hạ AI ^ SC, AK ^ SH. Tính độ dài SK, AK và thể tích tứ diện SAKI.
HD:

a) Quĩ tích điểm H là một cung tròn. MaxVSAHC=
b) AK =

asin a
1 + sin 2 a

, SK =

a
1 + sin 2 a

,V=

a3
12
a3 sin 2a

24(1 + sin 2 a )

· = 2a . Trên đường thẳng d qua A
Baøi 2. Cho DABC cân tại A có AB = AC = a và góc BAC
và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy điểm S sao cho SA = 2a. Gọi I là trung điểm của
BC. Hạ AH ^ SI.
a) Chứng minh AH ^ (SBC). Tính độ dài AH theo a, a.
AK
b) K là một điểm thay đổi trên đoạn AI, đặt
= x . Mặt phẳng (R) qua K và vuông góc
AI
với AI cắt các cạnh AB, AC, SC, SB lần lượt tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?
Tính diện tích tứ giác này.
2a.cos a
HD:
a) AH =
b) SMNPQ = 4a 2 x (1 – x )sin a .
cos 2 a + 4
æ
2ö
Baøi 3. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2x çç 0 < x <
÷ và AC = AD = BC = BD = 1.
2 ÷ø
è
Gọi I và J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD.
a) Chứng minh AB ^ CD và IJ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD.
b) Tính thể tích tứ diện ABCD theo x. Tìm x để thể tích này lớn nhất và tính giá trị lớn
nhất đó.
3
2 x2 1 - 2x2

2
; MaxV =
khi x =
3
3
9 3
Baøi 4. Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD cạnh a, có tâm là O. Trên các nửa
đường thẳng Ax, Cy vuông góc với (P) và ở về cùng một phía đối với (P) lấy lần lượt hai
điểm M, N. Đặt AM = x, CN = y.
a) Tính độ dài MN. Từ đó chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để OMN vuông tại O
HD:

b) V =

là: 2xy = a 2 .
b) Giả sử M, N thay đổi sao cho

OMN vuông tại O. Tính thể tích tứ diện BDMN. Xác
a3
định x, y để thể tích tứ diện này bằng
.
4
æ aö
æa ö
a3
HD:
a) MN = 2a 2 + ( x - y )2
b) V =
( x + y ) , (x, y) = ç a; ÷ hoặc ç ; a ÷ .
6

è 2ø
è2 ø
Baøi 5. Trong mặt phẳng (P), cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm của 2
đường chéo của hình vuông ABCD. Trên đường thẳng Ox vuông góc (P) lấy điểm S. Gọi
Trang 19


Khi trũn xoay

Trn S Tựng

a l gúc nhn to bi mt bờn v mt ỏy ca hỡnh chúp SABCD.
a) Tớnh th tớch v din tớch ton phn ca hỡnh chúp SABCD theo a v a.
b) Xỏc nh ng vuụng gúc chung ca SA v CD. Tớnh di ng vuụng gúc chung
ú theo a v a.
ổ
a3
1 ử
a tan a
tan a , Stp = a2 ỗ 1 +
b) d =
ữ
6
cos a
ố cos a ứ
Baứi 6. Trờn na ng trũn ng kớnh AB = 2R ly mt im C tựy ý. Dng CH vuụng
gúc vi AB (H thuc on AB) v gi I l trung im ca CH. Trờn na ng thng It
ã = 90o.
vuụng gúc vi mt phng (ABC) ti I ly im S sao cho gúc ASB
a) Chng minh tam giỏc SHC l tam giỏc u.

b) t AH = h. Tớnh th tớch V ca t din SABC theo h v R.
HD:

a) V =

3
Rh ( 2R h )
2
Baứi 7. Cho hỡnh vuụng ABCD cnh 2a. Trờn ng thng d qua trung im I ca cnh AB
v vuụng gúc vi mt phng (ABCD) ly im E sao cho IE = a. M l im thay i trờn
cnh AB, h EH ^ CM. t BM = x.
a) Chng minh im H di ng trờn mt ng trũn. Tớnh di IH.
b) Gi J l trung im ca on CE. Tớnh di JM v tỡm giỏ tr nh nht ca JM.
HD:

HD:

b) V =

a) IH =

2

2a x - a
2

2

b) JM =

ổ
a 5
a
a ử 5a2
x
MinJM =
khi x =
ỗ
ữ +
2ứ
4
2
2
ố

4a + x
Baứi 8. Cho hỡnh hp ch nht ABCDA'B'C'D' v im M trờn cnh AD. Mt phng (A'BM)
ct ng chộo AC' ca hỡnh hp ti im H.
a) Chng minh rng khi M thay i trờn cnh AD thỡ ng thng MH ct ng thng
A'B ti mt im c nh.
b) Tớnh t s th tớch ca hai khi a din to bi mt phng A'BM ct hỡnh hp trong
trng hp M l trung im ca cnh AD.
c) Gi s AA' = AB v MB vuụng gúc vi AC. Chng minh rng mt phng A'BM
vuụng gúc vi AC' v im H l trc tõm ca tam giỏc A'BM.
V
1
HD:
a) MH ct AÂB ti trung im I ca AÂB.
b) 1 =
V2 11

Baứi 9. Cho hỡnh vuụng ABCD cnh bng a. I l trung im AB. Qua I dng ng vuụng
gúc vi mt phng (ABCD) v trờn ú ly im S sao cho 2IS = a 3 .
a) Chng minh rng tam giỏc SAD l tam giỏc vuụng.
b) Tớnh th tớch khi chúp S.ACD ri suy ra khong cỏch t C n mt phng (SAD).
a3
3
3, d=
a
HD:
b) V =
12
2
Baứi 10. Cho hỡnh hp ch nht ABCD.ABCD cú AB = a, AD = 2a, AA = a.
a) Tớnh khong cỏch gia hai ng thng AD v BC.
AM
b) Gi M l im chia trong on AD theo t s
= 3 . Hóy tớnh khong cỏch t im
MD
M n mt phng (ABC).
c) Tớnh th tớch t din ABDC.
a
2a3
HD:
a) d(ADÂ, BÂC) = a b) d(M, (ABÂC)) =
c) V =
2
3
Baứi 11. Trong mt phng (P), cho mt hỡnh vuụng ABCD cú cnh bng a. S l mt im bt
Trang 20

Trần Sĩ Tùng

Khối tròn xoay

kỳ nằm trên đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng (P) tại A.
a) Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD khi SA = 2a.
b) M, N lần lượt là hai điểm di động trên các cạnh CB, CD (M Î CB, N Î CD) và đặt
CM = m, CN = n. Tìm một biểu thức liên hệ giữa m và n để các mặt phẳng (SMA) và
(SAN) tạo với nhau một góc 45°.
HD:

a) V = pa3 6

b) 2a2 – 2 ( m + n ) a + mn = 0

Baøi 12. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ ( ABCD ) và
SA = a 2 .Trên cạnh AD lấy điểm M thay đổi. Đặt góc ·
ACM = a . Hạ SN ^ CM .
a) Chứng minh N luôn thuộc một đường tròn cố định và tính thể tích tứ diện SACN theo
a và a .
b) Hạ AH ^ SC , AK ^ SN . Chứng minh rằng SC ^ ( AHK ) và tính độ dài đoạn HK.
a3 2
HD:
a) N thuộc đường tròn đường kính AC cố định, V =
sin 2a
6
a cos a
b) HK =
1 + sin 2 a

Baøi 13. Cho hình chóp S.ABC có các cạnh bên SA, SB, SC đôi một vuông góc. Đặt SA = a,
SB = b, SC = c. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
a) Tính độ dài đoạn SG theo a, b, c.
b) Một mặt phẳng (P) tuỳ ý đi qua S và G cắt đoạn AB tại M và cắt đoạn AC tại N.
AB AC
+
= 3.
i) Chứng minh rằng
AM AN
ii) Chứng minh rằng mặt cầu đi qua các điểm S, A, B, C có tâm O thuộc mặt phẳng
(P). Tính thể tích khối đa diện ASMON theo a, b, c khi mặt phẳng (P) song song với BC
1
1 2 2 2
a +b +c
b) V = abc
HD:
a) SG =
3
9
Baøi 14. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Trên nửa đường
thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông, ta lấy điểm S sao cho góc
· = 60° .
SCB
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SD.
b) Gọi ( a ) là mặt phẳng chứa BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Tính diện tích
thiết diện tạo bởi ( a ) và hình chóp S.ABCD.
a 6
a2 6
HD:
a) d(BC, SD) =

b) S =
3
4
Baøi 15. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM = x
(0 £ x £ a). Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại điểm A, lấy
điểm S sao cho SA = y (y > 0).
a) Chứng minh rằng (SAB) ^ (SBC).
b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC).
c) Tính thể tích khối chóp S.ABCM theo a, y và x.
d) Biết rằng x2 + y2 = a2. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCM.
2x
1
HD:
b) d(M, (SAC)) =
c) V = ya(a + x)
2
6
3
a 3
a
d) MaxV =
khi x =
8
2
Baøi 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A; ·
ABC = 300 ; SBC là tam
Trang 21


Khối tròn xoay

Trần Sĩ Tùng

giác đều cạnh a. Mặt bên SAB vuông góc với đáy ABC. M là trung điểm SB.
a) Chứng minh AM là đoạn vuông góc chung của SB và AC. Tính cosin góc giữa 2 mặt
phẳng (SAC) và (ABC).
b) Tính thể tích của hình chóp S.ABC.
HD:

1
a) cos·
SAB =
3

a3 2
b) V =
24

Baøi 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, góc µA = 1200 , BD = a > 0. Cạnh
bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 600. Một mặt phẳng
(P) đi qua BD và vuông góc với cạnh SC. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp
do mặt phẳng (P) tạo ra khi cắt hình chóp.
HD:

V1 1
=
V2 12

Baøi 18. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = AD = a, AA’ =

a 3
và góc
2

·
BAD = 600 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh
rằng AC¢ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
3a3
16
Baøi 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh
SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60o. Trên cạnh SA lấy
a 3
điểm M sao cho AM =
. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại điểm N. Tính thể tích
3
khối chóp S.BCNM .
HD:

V=

HD:

V=

10 3a 3
27

Baøi 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ·
BAD = 600 , SA
vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a. Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P)

đi qua AC’ và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’.
Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’.
HD:

a3 3
V=
18

Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.


Trang 22


Trn S Tựng

PP To trong khụng gian

CHNG III
PHNG PHP TO TRONG KHễNG GIAN

I. VECT TRONG KHễNG GIAN
1. nh ngha v cỏc phộp toỏn
ã nh ngha, tớnh cht, cỏc phộp toỏn v vect trong khụng gian c xõy dng hon ton
tng t nh trong mt phng.
ã Lu ý:
uuur uuur uuur
+ Qui tc ba im: Cho ba im A, B, C bt k, ta cú: AB + BC = AC
uuur uuur uuur
+ Qui tc hỡnh bỡnh hnh: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD, ta cú: AB + AD = AC

uuur uuur uuur uuuur
+ Qui tc hỡnh hp: Cho hỡnh hp ABCD.AÂBÂCÂDÂ, ta cú: AB + AD + AA ' = AC '
+ Hờù thc trung im on thng: Cho I l trung im ca on thng AB, O tu ý.
uur uur r
uuur uuur
uur
Ta cú:
IA + IB = 0 ;
OA + OB = 2OI
+ H thc trng tõm tamuuugiỏc:
Gr l trng tõm cauuu
tam
giỏc
tu
r uuuCho
r uuu
r uuu
r ABC,
uuur Ouuu
r ý.
r
Ta cú:
GA + GB + GC = 0;
OA + OB + OC = 3OG
+ H thc trng tõm t din: Cho G l trng tõm ca t din ABCD, O tu ý.
uuur uuur uuur uuur r
uuur uuur uuur uuur
uuur
Ta cú:
GA + GB + GC + GD = 0;

OA + OB + OC + OD = 4OG
r
r
r
r r
r
+ iu kin hai vect cựng phng: a vaứ b cuứng phửụng (a ạ 0) $! k ẻ R : b = ka
+ im M chia on thng AB theo t s k (k ạ 1), O tu ý.
uuur uuur
uuur
uuur
uuur OA - kOB
Ta cú:
MA = k MB;
OM =
1- k
2. S ng phng ca ba vect
ã Ba vect c gi l ng phng nu cỏc giỏ ca chỳng cựng song song vi mt mt phng.
r
r r r
r
ã iu kin ba vect ng phng: Cho ba vect a, b , c , trong ú a vaứ b khụng cựng
r
r r r
r
r
phng. Khi ú: a, b , c ng phng $! m, n ẻ R: c = ma + nb
r r r
r
ã Cho ba vect a, b , c khụng ng phng, x tu ý.

r
r
r
r
Khi ú:
$! m, n, p ẻ R: x = ma + nb + pc
3. Tớch vụ hng ca hai vect
ã Gúc gia hai vect trong khụng gian:
uuur r uuur r
r r
AB = u , AC = v ị (u , v ) = ã
BAC (00 Ê ã
BAC Ê 1800 )
ã Tớch vụ hng ca hai vect trong khụng gian:
r r r
rr r r
r r
+ Cho u , v ạ 0 . Khi ú:
u.v = u . v .cos(u , v )
r r
r r
rr
+ Vi u = 0 hoaởc v = 0 . Qui c: u.v = 0
r r
rr
+ u ^ v u.v = 0
r
r
+ u = u2

Trang 23


PP Toạ độ trong không gian

Trần Sĩ Tùng

II. HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian:
Cho
r r ba
r trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi
i, j, k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa
độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.
r2 r 2 r 2
rr rr r r
Chú ý:
i = j = k = 1 và i. j = i.k = k . j = 0 .
2. Tọa độ của vectơ:r
r
r r r
a) Định nghĩa: u = ( x; y; z ) Û u = xi + y j + zk
r
r
b) Tính chất: Cho a = (a1; a2 ; a3 ), b = (b1; b2 ; b3 ), k Î R
r r
· a ± b = (a1 ± b1; a2 ± b2 ; a3 ± b3 )
r
· ka = (ka1; ka2 ; ka3 )
ìa1 = b1

ï
ía2 = b2
ïa = b
3
î 3
r
r
r
r
· 0 = (0; 0; 0), i = (1; 0; 0), j = (0;1; 0), k = (0; 0;1)
r r r
r
r
r
· a cùng phương b (b ¹ 0) Û a = kb (k Î R)

r r
· a=b Û

ìa1 = kb1
a a
a
ï
Û ía2 = kb2
Û 1 = 2 = 3 , (b1 , b2 , b3 ¹ 0)
b1 b2 b3
ïa = kb
3
î 3
r r

· a ^ b Û a1b1 + a2 b2 + a3b3 = 0
r
· a = a12 + a22 + a22

rr
· a.b = a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3
r
· a 2 = a12 + a22 + a32
rr
a1b1 + a2 b2 + a3b3
a.b
r r
r r r
· cos(a , b ) = r r =
(với a, b ¹ 0 )
a.b
a 2 + a 2 + a2 . b 2 + b2 + b 2
1

2

3

1

2

3

3. Tọa độ của điểm:

uuur
a) Định nghĩa: M ( x; y; z) Û OM = ( x; y; z) (x : hồnh độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý:
· M Î (Oxy) Û z = 0; M Î (Oyz) Û x = 0; M Î (Oxz) Û y = 0
· M Î Ox Û y = z = 0; M Î Oy Û x = z = 0; M Î Oz Û x = y = 0
b) Tính chất: Cho A( x A ; y A ; zA ), B( x B ; yB ; zB )
uuur
· AB = ( xB - x A ; yB - y A ; zB - zA ) · AB = ( x B - x A )2 + ( yB - y A )2 + ( zB - zA )2
æ x - kxB yA - kyB zA - kzB ö
· Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): M ç A
;
;
÷
1- k
1- k ø
è 1- k
æ x + x B y A + y B zA + zB ö
· Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: M ç A
;
;
÷
è
2
2
2 ø
· Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
æ x + xB + xC y A + yB + yC zA + zB + zC ö
Gç A
;
;

÷
3
3
3
è
ø
· Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
Trang 24


Trn S Tựng

PP To trong khụng gian

ổ x + xB + xC + x D y A + y B + yC + yD zA + zB + zC + zC ử
Gỗ A
;
;
ữ
ố
4
4
4
ứ
4. Tớch cú hng ca hai
r vect: (Chng
r trỡnh nõng cao)
a) nh ngha: Cho a = (a1, a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) .

r

r

ổ a2

a1 a2 ử
ữ = ( a2 b3 - a3b2 ; a3b1 - a1b3 ; a1b2 - a2 b1 )
ỗb b
ữ
b
b
b
b
3
3
1
1
2 ứ
ố 2
Chỳ ý: Tớch cú hng ca hai vect l mt vect, tớch vụ hng ca hai vect l mt s.
b) Tớnh cht:
r r
r
r r
r
r
r r r
r r
r r
r

ộở j , k ựỷ = i ;
[k , i ] = j
ã ộở i , j ựỷ = k ;
ã [a, b] ^ a;
[a, b] ^ b
r r
r r
r
r r
r r
r r
ã [a, b] = a . b .sin ( a, b )
ã a, b cựng phng [a, b] = 0

[ ar , b ] = ar b = ỗ

a3

;

a3

a1

;

c) ng dng ca tớch cú hng:
r r
r r r
r

ã iu kin ng phng ca ba vect: a, b v c ng phng [a, b].c = 0
uuur uuur
ã Din tớch hỡnh bỡnh hnh ABCD:
SY ABCD = ộở AB, AD ựỷ
1 uuur uuur
ã Din tớch tam giỏc ABC:
SD ABC = ộở AB, AC ựỷ
2
uuur uuur uuur
ã Th tớch khi hp ABCD.AÂ BÂ CÂDÂ:
VABCD . A ' B ' C ' D ' = [ AB, AD ]. AA '
VABCD =

ã Th tớch t din ABCD:

1 uuur uuur uuur
[ AB, AC ]. AD
6

Chỳ ý:
Tớch vụ hng ca hai vect thng s dng chng minh hai ng thng vuụng gúc,
tớnh gúc gia hai ng thng.
Tớch cú hng ca hai vect thng s dng tớnh din tớch tam giỏc; tớnh th tớch khi
t din, th tớch hỡnh hp; chng minh cỏc vect ng phng khụng ng phng, chng minh
cỏc vect cựng phng.

r r
rr
a ^ br a.b = 0
r

r r r
[
a vaứ
b
cuứ
n
g
phửụng

a
,b] = 0
r r r
r r r
a, b , c ủong phaỳng [ a , b ] .c = 0
5. Phng trỡnh mt cu:
ã Phng trỡnh mt cu (S) tõm I(a; b; c), bỏn kớnh R:
( x - a )2 + ( y - b )2 + ( z - c )2 = R 2
ã Phng trỡnh x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 vi a2 + b 2 + c 2 - d > 0 l phng trỡnh
mt cu tõm I(a; b; c) v bỏn kớnh R =

a2 + b2 + c2 - d .

Trang 25