baitap hinhhoc 12 onthi tn thpt dh

Trần Sĩ Tùng

PP Toạ độ trong không gian

VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.
Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
Cho mặt phẳng (a) và mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R.
· (a) và (S) không có điểm chung
Û d ( I ,(a )) > R
· (a) tiếp xúc với (S)
Û d ( I ,(a )) = R
((a) là tiếp diện)
Khi đó tiếp điểm H của (a) và (S) là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).
· (a) cắt (S) theo một đường tròn
Û d ( I ,(a )) < R
Khi đó tâm H của đường tròn giao tuyến là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).
Bán kính r của đường tròn giao tuyến: r = R 2 - IH 2
Baøi 1. Xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S):
ì( P ) : 2 x + 2 y + z - 1 = 0
ì( P ) : 2 x - 3y + 6 z - 9 = 0
b) í
a) í
2
2
2
2
2
2
î(S ) : x + y + z - 6 x - 2 y + 4z + 5 = 0
î(S ) : ( x - 1) + ( y - 3) + ( z + 2) = 16
ì( P ) : x + y - 2 z - 11 = 0

c) í
2
2
2
î(S ) : x + y + z + 2 x - 4 y - 2 z + 2 = 0
ì( P ) : x + 2 y + 2 z = 0
e) í
2
2
2
î(S ) : x + y + z - 6 x + 2 y - 2 z + 10 = 0

ì( P ) : x - 2 y + 2z + 5 = 0
d) í
2
2
2
î(S ) : x + y + z - 6 x - 4 y - 8z + 13 = 0
ì( P ) : z - 3 = 0
f) í
2
2
2
î(S ) : x + y + z - 6 x + 2 y - 16 z + 22 = 0

Baøi 2. Biện luận theo m, vị trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S):
a) ( P ) : 2 x - 2 y - z - 4 = 0;

(S ) : x 2 + y 2 + z2 - 2(m - 1) x + 4my + 4z + 8m = 0

b) ( P ) : 4 x - 2 y + 4 z - 5 = 0;

(S ) : ( x - 1)2 + ( y + 2)2 + (z - 3)2 = (m - 1)2

c) ( P ) : 3x + 2 y - 6z + 7 = 0;

(S ) : ( x - 2)2 + ( y - 1)2 + (z + 1)2 = (m + 2)2

d)
Baøi 3.
a)
c)
Baøi 4.

( P ) : 2 x - 3y + 6z - 10 = 0;
(S ) : x 2 + y 2 + z2 + 4mx - 2(m + 1) y - 2z + +3m 2 + 5m - 4 = 0
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) cho trước:
I (3; -5; -2), (P ) : 2 x - y - 3z + 1 = 0
b) I (1; 4; 7), ( P ) : 6 x + 6 y - 7 z + 42 = 0
I (1;1; 2), ( P ) : x + 2 y + 2z + 3 = 0
d) I (-2;1;1), ( P ) : x + 2 y - 2 z + 5 = 0
Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) cho trước:

a) (S ) : ( x - 3)2 + ( y - 1)2 + ( z + 2)2 = 24 tại M(-1; 3; 0)
b) (S ) : x 2 + y 2 + z2 - 6 x - 2 y + 4 z + 5 = 0 tại M(4; 3; 0)
c) (S ) : ( x - 1)2 + ( y + 3)2 + (z - 2)2 = 49 tại M(7; -1; 5)
d) (S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 2 y - 2z - 22 = 0 và song song với mặt phẳng 3 x - 2 y + 6z + 14 = 0 .
e) (S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y + 2z - 11 = 0 và song song với mặt phẳng 4 x + 3z - 17 = 0 .
f) (S ) : x 2 + y 2 + z2 - 2 x - 4 y + 4 z = 0 và song song với mặt phẳng x + 2 y + 2z + 5 = 0 .
g) (S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 6 y + 2 z + 8 = 0 và chứa đường thẳng d : x = 4t + 4, y = 3t + 1, z = t + 1

h) Tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tại A với A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1),
D(4; 1; 0).
i) Tiếp xúc với mặt cầu: x 2 + y 2 + z 2 - 10 x + 2 y + 26 z - 113 = 0 và song song với 2 đường
thẳng: d1 :

x + 5 y - 1 z + 13
x + 7 y +1 z - 8
=
=
, d1 :
=
=
.
2
-3
2
3
-2
0

Trang 39


PP Toạ độ trong không gian

Trần Sĩ Tùng

Bài tập ôn: Phương trình mặt phẳng
Baøi 1. Cho tứ diện ABCD.
· Viết phương trình các mặt của tứ diện.

· Viết phương trình mặt phẳng chứa một cạnh và song song với cạnh đối diện.
· Viết phương trình mặt phẳng đi qua một đỉnh và song song với mặt đối diện.
· Viết phương trình mặt phẳng đi qua cạnh AB và vuông góc với (BCD).
· Viết phương trình mặt phẳng trung trực của các cạnh tứ diện.
· Tìm toạ độ các điểm A¢, B¢, C¢, D¢ lần lượt là các điểm đối xứng với các điểm A, B, C, D
qua các mặt đối diện.
· Tính khoảng cách từ một đỉnh của tứ diện đến mặt đối diện.
· Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tâm I và bán kính R
của (S).
· Viết phương trình các tiếp diện của (S) tại các đỉnh A, B, C, D của tứ diện.
· Viết phương trình các tiếp diện của (S) song song với các mặt của tứ diện.
a) A ( 5;1; 3) , B (1; 6; 2 ) , C ( 5; 0; 4 ) , D ( 4; 0; 6 ) b) A (1;1; 0 ) , B ( 0; 2;1) , C (1; 0; 2 ) , D (1;1;1)

c) A ( 2; 0; 0 ) , B ( 0; 4; 0 ) , C ( 0; 0; 6 ) , D ( 2; 4; 6 ) d) A(2; 3;1), B(4;1; -2), C (6; 3; 7), D (-5; -4; 8)
f) A(0;1; 0), B(2; 3;1), C (-2; 2; 2), D(1; -1; 2)
e) A(5; 7; -2), B(3;1; -1), C (9; 4; -4), D(1; 5; 0)
Baøi 2. Cho hai mặt phẳng (P), (Q) lần lượt cắt ba trục toạ độ tại các điểm: A(1; 0; 0), B(0; 2; 0),
C(0; 0; –3) và E(–2; 0; 0), F(0; 1; 0), G(0; 0; 1).
a) Tìm phương trình tổng quát của (P) và (Q).
b) Tính độ dài đường cao của hình chóp O.ABC.
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q).
Baøi 3. Cho bốn điểm: A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3) và D(1; 3; 3).
a) Chứng minh ABCD là một tứ diện đều.
b) Chứng minh tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đôi một vuông góc.
c) Tìm phương trình tổng quát của các mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD), (BCD).
d) Tính góc giữa các cặp mặt phẳng: (ABC) và (ABD), (BCD) và (ACD).

Trang 40

Trần Sĩ Tùng

PP Toạ độ trong khơng gian

IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Phương trình tham số của đường thẳng
· Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP
r
a = (a1; a2 ; a3 ) :
ì x = xo + a1t
ï
(d ) : í y = yo + a2 t
ïz = z + a t
3
o
ỵ
· Nếu a1a2 a3 ¹ 0 thì (d ) :

( t Ỵ R)

x - x0 y - y0 z - z0
=
=
đgl phương trình chính tắc của d.
a1
a2
a3

2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d, d¢ có phương trình tham số lần lượt là:

ì x = x0 + ta1
ì x = x0¢ + t ¢a1¢
ï
ï
và
d : í y = y0 + ta2
d ¢ : í y = y0¢ + t ¢a2¢
ï z = z + ta
ï z = z¢ + t ¢a¢
ỵ
0
3
ỵ
0
3
r r
ìa, a¢ cùng phương
ï
ï ì x0 + ta1 = x0¢ + t ¢a1¢
· d // d¢ Û í ï
hệ y + ta2 = y0¢ + t ¢a2¢ (ẩn t , t ¢) vô nghiệm
ï í 0
ïỵ ïỵ z0 + ta3 = z0¢ + t ¢a3¢
r
r r
r r
ìï[ ar , ar¢] = 0
¢ cùng phương
ìa, auuuuuur
ìa, a¢ cùng phương

r
Û í
Û ír
Û í r uuuuuur
é a, M M ¢ ù ¹ 0
¢
a
,
M
M
khô
n
g
cù
n
g
phương
ỵ M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) Ï d ¢
ïỵë
0 0
ỵ
0 0û
ì x0 + ta1 = x0¢ + t ¢a1¢
ï
· d º d¢ Û hệ í y0 + ta2 = y0¢ + t ¢a¢2 (ẩn t, t ¢) có vô số nghiệm
ï z + ta = z¢ + t¢a¢
3
0
3
ỵ 0

r r
r r uuuuuur
ìa, a¢ cùng phương
Û í
Û a, a¢, M0 M0¢ đôi một cùng phương
ỵ M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) Ỵ d ¢
r
r r
r uuuuuur
Û [ a , a¢] = ëé a , M0 M0¢ ûù = 0
ì x0 + ta1 = x0¢ + t ¢a1¢
ï
· d, d¢ cắt nhau Û hệ í y0 + ta2 = y0¢ + t ¢a2¢ (ẩn t, t¢) có đúng một nghiệm
ïz + ta = z¢ + t ¢a¢
ỵ0
3
0
3
r
r r
r r
ì
ìa, a¢ khô
[
¢
]
n
g
cù
n

g
phương
¹
a
,
a
0
ï
Û í r r uuuuuur
Û í r r uuuuuur
¢
¢
a
a
M
M
đồ
n
g
phẳ
n
g
,
,
ïỵ[ a , a¢] .M0 M0¢ = 0
0 0
ỵ
r r
ìa, a¢ không cùng phương
ïï ì x0 + ta1 = x0¢ + t ¢a1¢

· d, d¢ chéo nhau Û í ï
hệ y + ta2 = y0¢ + t ¢a2¢ (ẩn t , t ¢) vô nghiệm
ï í 0
ïỵ ïỵ z0 + ta3 = z0¢ + t ¢a3¢
r r uuuuuur
r r uuuuuur
Û a, a¢, M0 M0¢ không đồng phẳng Û [ a , a¢] .M0 M0¢ ¹ 0
r r
rr
· d ^ d¢ Û a ^ a¢
Û a.a¢ = 0
Trang 41


PP Toạ độ trong không gian

Trần Sĩ Tùng

3. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
ì x = x0 + ta1
ï
Cho mặt phẳng (a): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d: í y = y0 + ta2
ïz = z + ta
î
0
3
A( x0 + ta1 ) + B( y0 + ta2 ) + C (z0 + ta3 ) + D = 0 (ẩn t)

Xét phương trình:

4.

5.

6.

7.
8.

9.

(*)

· d // (a) Û (*) vô nghiệm
· d cắt (a) Û (*) có đúng một nghiệm
· d Ì (a) Û (*) có vô số nghiệm
Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu
ì x = x0 + ta1
ï
Cho đường thẳng d: í y = y0 + ta2 (1) và mặt cầu (S): ( x - a)2 + ( y - b)2 + ( z - c )2 = R 2 (2)
ïz = z + ta
î
0
3
Để xét VTTĐ của d và (S) ta thay (1) vào (2), được một phương trình (*).
· d và (S) không có điểm chung Û (*) vô nghiệm
Û d(I, d) > R
· d tiếp xúc với (S) Û (*) có đúng một nghiệm
Û d(I, d) = R
· d cắt (S) tại hai điểm phân biệt Û (*) có hai nghiệm phân biệt

Û d(I, d) < R
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chương trình nâng cao)
r
Cho đường thẳng d đi qua M0 và có VTCP a và điểm M.
uuuuur
é M M , ar ù
ë 0
û
d(M , d) =
r
a
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (chương trình nâng cao)
Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2.
r
r
d1 đi qua điểm M1 và có VTCP a1 , d2 đi qua điểm M2 và có VTCP a2
r r uuuuuur
éë a1 , a2 ùû . M1M2
d (d1, d2 ) =
r r
éë a1, a2 ùû
Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 bằng khoảng cách giữa d1 với mặt
phẳng (a) chứa d2 và song song với d1.
Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng (a) song song với nó bằng khoảng cách từ một
điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng (a).
Góc giữa hai đường thẳng
r r
Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các VTCP a1 , a2 .
r r

Góc giữa d1, d2 bằng hoặc bù với góc giữa a1 , a2 .
r r
a1.a2
r r
cos ( a1, a2 ) = r r
a1 . a2
Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
r
r
Cho đường thẳng d có VTCP a = (a1; a2 ; a3 ) và mặt phẳng (a) có VTPT n = ( A; B; C ) .
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (a) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d¢ của
nó trên (a).
Aa1 + Ba2 + Ca3
sin ·
d ,(a ) =
A2 + B 2 + C 2 . a12 + a22 + a32

(

)

Trang 42


Trần Sĩ Tùng

PP Toạ độ trong không gian

VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng
Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó.

r
Dạng 1: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP a = (a1; a2 ; a3 ) :
ì x = xo + a1t
ï
(d ) : í y = yo + a2 t
ïz = z + a t
3
o
î

( t Î R)

Dạng 2: d đi qua hai điểm
uuurA, B:
Một VTCP của d là AB .
Dạng 3: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và song song với đường thẳng D cho trước:
Vì d // D nên VTCP của D cũng là VTCP của d.
Dạng 4: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước:
Vì d ^ (P) nên VTPT của (P) cũng là VTCP của d.
Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q):
· Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP.
ì( P)
– Tìm toạ độ một điểm A Î d: bằng cách giải hệ phương trình í
(với việc chọn giá trị
î(Q)
cho một ẩn)
r
r r
– Tìm một VTCP của d: a = éë nP , nQ ùû
· Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.

Dạng 6: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2:
r
r r
Vì d ^ d1, d ^ d2 nên một VTCP của d là: a = é ad , ad ù
ë 1 2û
Dạng 7: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) , vuông góc và cắt đường thẳng D.

· Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M0 trên đường thẳng D.
ìH
ÎD
íuuuuur r
î M0 H ^ aV
Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M0, H.
· Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d; (Q) là mặt phẳng đi qua A và
chứa d. Khi đó d = (P) Ç (Q)
Dạng 8: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và cắt hai đường thẳng d1, d2:
· Cách 1: Gọi M1 Î d1, M2 Î d2. Từ điều kiện M, M1, M2 thẳng hàng ta tìm được M1, M2. Từ đó
suy ra phương trình đường thẳng d.
· Cách 2: Gọi (P) = ( M0 , d1 ) , (Q) = ( M0 , d2 ) . Khi đó d = (P) Ç (Q). Do đó, một VTCP của d
r
r r
có thể chọn là a = éë nP , nQ ùû .
Dạng 9: d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2:
Tìm các giao điểm A = d1 Ç (P), B = d2 Ç (P). Khi đó d chính là đường thẳng AB.
Dạng 10: d song song với D và cắt cả hai đường thẳng d1, d2:
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa D và d1, mặt phẳng (Q) chứa D và d2.
Khi đó d = (P) Ç (Q).
Dạng 11: d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau:
ì MN ^ d1
· Cách 1: Gọi M Î d1, N Î d2. Từ điều kiện í

, ta tìm được M, N.
î MN ^ d2
Khi đó, d là đường thẳng MN.
· Cách 2:
Trang 43


PP To trong khụng gian

Trn S Tựng

r
r r
Vỡ d ^ d1 v d ^ d2 nờn mt VTCP ca d cú th l: a = ộ ad , ad ự .
ở 1 2ỷ
Lp phng trỡnh mt phng (P) cha d v d1, bng cỏch:
+ Ly mt im A trờn d1.
r
r r
+ Mt VTPT ca (P) cú th l: nP = ộ a , ad ự .
ở
1ỷ
Tng t lp phng trỡnh mt phng (Q) cha d v d2.
Khi ú d = (P) ầ (Q).
Dng 12: d l hỡnh chiu ca ng thng D lờn mt phng (P):
ã Lp phng trỡnh mt phng (Q) cha D v vuụng gúc vi mt phng (P) bng cỏch:
Ly M ẻ D.
r
r r
Vỡ (Q) cha D v vuụng gúc vi (P) nờn nQ = ộở aD , nP ựỷ .

Khi ú d = (P) ầ (Q).
Dng 13: d i qua im M, vuụng gúc vi d1 v ct d2:
ã Cỏch 1: Gi N l giao im ca d v d2. T iu kin MN ^ d1, ta tỡm c N.
Khi ú, d l ng thng MN.
ã Cỏch 2:
Vit phng trỡnh mt phng (P) qua M v vuụng gúc vi d1.
Vit phng trỡnh mt phng (Q) cha M v d2.
Khi ú d = (P) ầ (Q).
Baứi 1.
a)
d)
Baứi 2.
a)
d)
Baứi 3.
D
a)

r
Vit phng trỡnh tham s ca ng thng i qua im M v cú VTCP a cho trc:
r
r
r
M (1; 2; -3), a = (-1;3; 5)
b) M (0; -2; 5), a = (0;1; 4)
c) M (1;3; -1), a = (1; 2; -1)
r
r
r
M (3; -1; -3), a = (1; -2; 0)

e) M (3; -2; 5), a = (-2; 0; 4) f) M (4;3; -2), a = (-3; 0; 0)
Vit phng trỡnh tham s ca ng thng i qua hai im A, B cho trc:
A ( 2; 3; -1) , B (1; 2; 4 )
b) A (1; -1; 0 ) , B ( 0;1; 2 )
c) A ( 3;1; -5 ) , B ( 2;1; -1)

A ( 2;1; 0 ) , B ( 0;1; 2 )
e) A (1; 2; -7 ) , B (1; 2; 4 )
f) A ( -2;1; 3) , B ( 4; 2; -2 )
Vit phng trỡnh tham s ca ng thng i qua im A v song song vi ng thng
cho trc:
A ( 3; 2; -4 ) , D Ox
b) A ( 2; -5; 3) , D ủi qua M (5; 3; 2), N (2;1; -2)

ỡ x = 2 - 3t
ù
c) A(2; -5; 3), D : ớ y = 3 + 4t
ùợz = 5 - 2t

d) A(4; -2; 2), D :

x + 2 y -5 z- 2
=
=
4
2
3

ỡ x = 3 + 4t
ù

e) A(1; -3; 2), D : ớ y = 2 - 2t
ùợ z = 3t - 1

f) A(5; 2; -3), D :

x + 3 y -1 z + 2
=
=
2
3
4

Baứi 4. Vit phng trỡnh tham s ca ng thng i qua im A v vuụng gúc vi mt phng (P)
cho trc:
a) A ( -2; 4; 3) , (P) : 2 x - 3y + 6z + 19 = 0
b) A (1; -1; 0 ) , ( P ) : caực mp toaù ủoọ
c) A ( 3; 2;1) , ( P) : 2 x - 5y + 4 = 0
d) A(2; -3; 6), ( P ) : 2 x - 3y + 6z + 19 = 0
Baứi 5. Vit phng trỡnh tham s ca ng thng l giao tuyn ca hai mt phng (P), (Q) cho
trc:
ỡ( P ) : 6 x + 2 y + 2z + 3 = 0
ỡ( P ) : 2 x - 3y + 3z - 4 = 0
ỡ( P ) : 3 x + 3y - 4 z + 7 = 0
a) ớ
b) ớ
c) ớ
(
Q
)
:

3
x
5
y
2
z
1
=
0
(
Q
)
:
x
+
2
y
z
+
3
=
0
ợ
ợ
ợ(Q) : x + 6 y + 2 z - 6 = 0
ỡ( P ) : 2 x + y - z + 3 = 0
ỡ( P ) : x + z - 1 = 0
ỡ( P ) : 2 x + y + z - 1 = 0
d) ớ
e) ớ

f) ớ
ợ(Q) : x + y + z - 1 = 0
ợ(Q) : y - 2 = 0
ợ(Q) : x + z - 1 = 0
Trang 44


Trần Sĩ Tùng

PP Toạ độ trong không gian

Baøi 6. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai đường
thẳng d1, d2 cho trước:
ì x = 1 + 2t
ìx = 1- t '
ìx = 1+ t
ì x = 1 + 3t '
ï
ï
ï
ï
b) A(2; -1;1), d1 : í y = -2 + t , d2 : í y = -2 + t '
a) A(1; 0; 5), d1 : í y = 3 - 2t , d2 : í y = 2 + t '
ïî z = 1 + t
ïîz = 1 - 3t '
ïî z = 3
ïî z = 3 + t '
ìx = 1- t
ìx = 1
ì x = -7 + 3t

ìx = 1+ t '
ï
ï
ï
ï
c) A(1; -2; 3), d1 : í y = -2 - 2t , d2 : í y = -2 + t ' d) A(4;1; 4), d1 : í y = 4 - 2t , d2 : í y = -9 + 2t '
ïî z = 3 - 3t
ïî z = 3 + t '
ïî z = 4 + 3t
ïî z = -12 - t '
ì x = 1 + 3t
ì x = 2t '
ìx = t
ìx = t '
ï
ï
ï
ï
e) A(2; -1; -3), d1 : í y = 1 + t , d2 : í y = -3 + 4t ' f) A(3;1; -4), d1 : í y = 1 - t , d2 : í y = 1 - 2t '
ïî z = -2 + 2t
ïî z = 2 - t '
ïî z = -2t
ïî z = 0

Baøi 7. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng
D cho trước:
ìx = t
ì x = -3 + 2t
ï
ï

a) A(1; 2; -2), D : í y = 1 - t
b) A(-4; -2; 4), D : í y = 1 - t
ïî z = 2t
ïî z = -1 + 4t
ì x = 1 + 3t
ìx = t
ï
ï
d) A(3;1; -4), D : í y = 1 - t
c) A(2; -1; -3), D : í y = 1 + t
ïî z = -2t
ïî z = -2 + 2t
ìx = 1- t
ìx = 1+ t
ï
ï
e) A(1; -2; 3), D : í y = -2 - 2t
f) A(2; -1;1), D : í y = -2 + t
ïî z = 3 - 3t
ïî z = 3
Baøi 8. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng d1, d2
cho trước:
ì x = 1 + 2t
ìx = 1- t '
ìx = 1+ t
ì x = 1 + 3t '
ï
ï
ï
ï

a) A(1; 0; 5), d1 : í y = 3 - 2t , d2 : í y = 2 + t '
b) A(2; -1;1), d1 : í y = -2 + t , d2 : í y = -2 + t '
ïî z = 1 + t
ïîz = 1 - 3t '
ïî z = 3
ïî z = 3 + t '
ì x = -1 + 3t
ì x = 2 + 2t '
ì x = 1 + 3t
ì x = -t '
ï
ï
ï
ï
c) A(-4; -5; 3), d1 : í y = -3 - 2t , d2 : í y = -1 + 3t ' d) A(2;1; -1), d1 : í y = -2 + 4t , d2 : í y = t '
ïî z = 2 - t
ïî z = 1 - 5t '
ïî z = -3 + 5t
ïî z = 2t '
ìx = 2 + t
ì x = -4 + 3t '
ì x = -3 + 3t
ì x = 3 + 2t '
ï
ï
ï
ï
e) A(2; 3; -1), d1 : í y = 1 - 2t , d2 : í y = 1 + t '
f) A(3; -2; 5), d1 : í y = 1 + 4t , d2 : í y = 1 - t '
ïî z = 1 + 3t

ïî z = -2 + 3t '
ïî z = 2 + 2t
ïîz = 2 - 3t '
Baøi 9. Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường
thẳng d1, d2 cho trước:
ì( P ) : y + 2 z = 0
ì( P ) : 6 x + 2 y + 2z + 3 = 0
ïï
ïï ì x = 1 + 2t
ìx = 2 - t
ìx = 1- t '
a) í
b) í ï
ï
ï
x -1 y z
ïd1 : -1 = 1 = 4 , d2 : í y = 4 + 2t
ïd1 : í y = 3 - 2t , d2 : í y = 2 + t '
ïî z = 1
ïîz = 1 - 3t '
ïî
îï ïî z = 1 + t
ì( P ) : 2 x - 3y + 3z - 4 = 0
ì( P ) : 3 x + 3y - 4 z + 7 = 0
ïï
ïï ì x = 1 - t
ì x = -7 + 3t
ìx = 1+ t '
ìx = 1
c) í

d) í ï
ï
ï
ï
ï d1 : í y = 4 - 2t , d2 : í y = -9 + 2t '
ïd1 : í y = -2 - 2t , d2 : í y = -2 + t '
ïî z = 4 + 3t
ïî z = -12 - t '
ïî z = 3 + t '
îï
îï ïî z = 3 - 3t
Baøi 10. Viết phương trình tham số của đường thẳng song song với đường thẳng D và cắt cả hai
đường thẳng d1, d2 cho trước:
Trang 45