baitap hinhhoc 12 onthi tn thpt dh

Trần Sĩ Tùng

PP Toạ độ trong không gian

b) d1 : { x = 1 - t; y = 3 + 2t; z = m + t ;

d2 : { x = 2 + t '; y = 1 + t '; z = 2 - 3t '

ì2 x + y - z - 4 = 0
c) d1 : í
;
îx + y - 3 = 0

ì x + 2 y + mz - 3 = 0
d2 : í
î2 x + y + z - 6 = 0

VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt phẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
· Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa VTCP của đường thẳng và VTPT của mặt
phẳng.
· Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt phẳng.
Baøi 1. Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm giao điểm (nếu có) của
chúng:
a) d : { x = 2t; y = 1 - t; z = 3 + t ;
( P ) : x + y + z - 10 = 0
b) d : { x = 3t - 2; y = 1 - 4t; z = 4t - 5 ;

( P ) : 4 x - 3y - 6 z - 5 = 0

x - 12 y - 9 z - 1

=
=
;
( P ) : 3 x + 5y - z - 2 = 0
4
3
1
x + 11 y - 3 z
d) d :
=
= ;
( P ) : 3 x - 3y + 2 z - 5 = 0
2
4
3
x - 13 y - 1 z - 4
=
=
;
( P ) : x + 2 y - 4z + 1 = 0
e) d :
8
2
3
ì3 x + 5 y + 7 z + 16 = 0
f) d : í
;
( P) : 5 x - z - 4 = 0
î2 x - y + z - 6 = 0
ì2 x + 3y + 6z - 10 = 0

g) d : í
;
( P ) : y + 4z + 17 = 0
îx + y + z + 5 = 0
Baøi 2. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm m, n để:
i) d cắt (P).
ii) d // (P).
iii) d ^ (P).
x -1 y + 2 z + 3
a) d :
=
=
;
( P ) : x + 3y - 2z - 5 = 0
m
2m - 1
2
x +1 y - 3 z -1
b) d :
=
=
;
( P ) : x + 3y + 2 z - 5 = 0
2
m
m-2
ì3 x - 2 y + z + 3 = 0
c) d : í
;
( P) : 2 x - y + (m + 3)z - 2 = 0

î 4 x - 3y + 4z + 2 = 0
c) d :

d) d : { x = 3 + 4t; y = 1 - 4t; z = -3 + t ;

e) d : { x = 3 + 2t; y = 5 - 3t; z = 2 - 2t ;

iv) d Ì (P).

( P ) : (m - 1) x + 2 y - 4 z + n - 9 = 0
( P) : (m + 2) x + (n + 3) y + 3z - 5 = 0

Baøi 3. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tìm m, n để:
a) d : { x = m + t; y = 2 - t; z = 3t cắt ( P ) : 2 x - y + z - 5 = 0 tại điểm có tung độ bằng 3.
ìx - 2y - 3 = 0
b) d : í
cắt ( P ) : 2 x + y + 2 z - 2m = 0 tại điểm có cao độ bằng –1.
î y + 2z + 5 = 0
ì x + 2y - 3 = 0
c) d : í
cắt ( P ) : x + y + z + m = 0
î3 x - 2z - 7 = 0

Trang 49


PP Toạ độ trong không gian

Trần Sĩ Tùng

VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu
Để xét VTTĐ giữa đường thẳng và mặt cầu ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
· Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và bán kính.
· Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình đường thẳng và mặt cầu.
Baøi 1. Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt cầu (S). Tìm giao điểm (nếu có) của chúng:
x y -1 z - 2
;
(S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4 z + 1 = 0
a) d : =
=
2
1
-1
ì2 x + y - z - 1 = 0
b) d : í
;
(S ) : ( x - 1)2 + ( y - 2)2 + z 2 = 16
x
2
z
3
=
0
î
ì x - 2y - z - 1 = 0
;
(S ) : x 2 + y 2 + z2 - 2 x + 2 y - 14 = 0
c) d : í
x
+

y
+
2
=
0
î
ì x - 2y - z - 1 = 0
d) d : í
;
(S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 4 x - 2 y - 10 z - 8 = 0
x
+
y
+
2
=
0
î
e) d : { x = -2 - t; y = t; z = 3 - t ;

( S ) : x 2 + y 2 + z2 - 2 x - 4 y + 2 z - 2 = 0

f) d : { x = 1 - 2t; y = 2 + t; z = 3 + t ;

( S ) : x 2 + y 2 + z2 - 2 x - 4 y + 6 z - 2 = 0

g) d : { x = 1 - t; y = 2 - t; z = 4 ;

( S ) : x 2 + y 2 + z2 - 2 x - 4 y + 6 z - 2 = 0

Baøi 2. Biện luận theo m, vị trí tương đối giữa đường thẳng d và mặt cầu (S):
ì x - 2y - z + m = 0
a) d : í
;
(S ) : ( x - 1)2 + ( y - 2)2 + ( z + 1)2 = 8
+
+
2
=
0
x
y
î
b) d : { x = 1 - t; y = m + t; z = 2 + t ;

(S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 4 z + 1 = 0

ì x - 2y - 3 = 0
c) d : í
;
(S ) : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 2 y + 4 z + m = 0
2
+
1
=
0
x
z
î
Baøi 3. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d:

a) I (1; -2;1);
d : { x = 1 + 4t; y = 3 - 2t; z = 4t - 2
b) I (1; 2; -1);

d : { x = 1 - t; y = 2; z = 2t

x - 2 y + 1 z -1
=
=
2
1
2
x -1 y z - 2
d) I (1; 2; -1);
d:
=
=
2
-1
3
ì x - 2y -1 = 0
e) I (1; 2; -1);
d:í
îz - 1 = 0
Baøi 4. Cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 3. Viết phương trình tiếp tuyến d của (S),
biết:
r
a) d đi qua A(0; 0; 5) Î (S) và có VTCP a = (1; 2; 2) .
b) d đi qua A(0; 0; 5) Î (S) và vuông góc với mặt phẳng: (a ) : 3x - 2 y + 2 z + 3 = 0.
Baøi 5. Cho tứ diện ABCD. Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện, với:

a) A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3), D(1; 3; 3).
b) A(1; 0; 2), B(2; –1; 1), C(0; 2; 1), D(–1; 3; 0).
c) A(3; 2; 1), B(1; –2; 1), C(–2; 2; –2), D(1; 1; –1).
d) A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8), D(–3; 1; 2).
c) I (4; 2; -1);

d:

Trang 50


Trn S Tựng

PP To trong khụng gian

VN 5: Khong cỏch
1. Khong cỏch t im M n ng thng d
r
ã Cỏch 1: Cho ng thng d i qua M0 v cú VTCP a .
uuuuur
ộ M M , ar ự
ở 0
ỷ
d(M , d) =
r
a
ã Cỏch 2: Tỡm hỡnh chiu vuụng gúc H ca M trờn ng thng d.
d(M,d) = MH.
ã Cỏch 3: Gi N(x; y; z) ẻ d. Tớnh MN2 theo t (t tham s trong phng trỡnh ng thng d).
Tỡm t MN2 nh nht.

Khi ú N H. Do ú d(M,d) = MH.
2. Khong cỏch gia hai ng thng chộo nhau
Cho hai ng thng chộo nhau d1 v d2.
r
r
ã Cỏch 1: d1 i qua im M1 v cú VTCP a1 , d2 i qua im M2 v cú VTCP a2
r r uuuuuur
ộở a1 , a2 ựỷ . M1M2
d (d1, d2 ) =
r r
ộở a1, a2 ựỷ
ã Cỏch 2: Gi A ẻ d1, B ẻ d2.
uuur
ỡù AB ^ ar
AB l ng vuụng gúc chung ớuuur r1 . T ú ta tỡm c A, B.
ùợ AB ^ a2
d (d1, d2 ) = AB
Chỳ ý: Khong cỏch gia hai ng thng chộo nhau d1, d2 bng khong cỏch gia d1 vi mt
phng (a) cha d2 v song song vi d1.
3. Khong cỏch gia hai ng thng song song bng khong cỏch t mt im thuc ng
thng ny n ng thng kia.
4. Khong cỏch gia mt ng thng v mt mt phng song song
Khong cỏch gia ng thng d vi mt phng (a) song song vi nú bng khong cỏch t mt
im M bt kỡ trờn d n mt phng (a).
Baứi 1. Tớnh khong cỏch t im A n ng thng d:
ỡ x = 1 - 4t
ỡ x = 2 + 2t
ù
ù
a) A(2; 3;1), d : ớ y = 2 + 2t

b) A(1; 2; -6), d : ớ y = 1 - t
ùợ z = 4t - 1
ùợ z = t - 3
x - 2 y -1 z
x + 2 y -1 z +1
c) A(1; 0; 0), d :
=
=
d) A(2; 3;1), d :
=
=
1
2
1
1
2
-2
x + 2 y -1 z + 1
ỡ x + y - 2z - 1 = 0
e) A(1; -1;1), d :
=
=
f) A(2; 3; -1), d : ớ
1
2
-2
ợ x + 3y + 2z + 2 = 0
Baứi 2. Chng minh hai ng thng d1, d2 chộo nhau. Tớnh khong cỏch gia chỳng:
a) d1 : { x = 1 - 2t; y = 3 + t; z = -2 - 3t ; d2 : { x = 2t '; y = 1 + t '; z = 3 - 2t '
b) d1 : { x = 1 + 2t; y = 2 - 2t; z = -t;

d2 : { x = 2t '; y = 5 - 3t '; z = 4

c) d1 : { x = 3 - 2t; y = 1 + 4t; z = 4t - 2;

d2 : { x = 2 + 3t '; y = 4 - t '; z = 1 - 2t '

x - 2 y +1 z
=
= ;
3
-2
2
x -7 y -3 z-9
e) d1 :
=
=
;
1
2
-1

x y -1 z + 1
=
=
1
2
4
x - 3 y -1 z - 1
d2 :

=
=
-7
2
3

d) d1 :

d2 :

Trang 51


PP Toạ độ trong không gian

Trần Sĩ Tùng

x - 2 y -1 z - 3
x - 3 y + 1 z -1
=
=
;
d2 :
=
=
2
1
-2
2
-2

1
ì x - 2y + 2z - 2 = 0
ì2 x + y - z + 2 = 0
g) d1 : í
;
d2 : í
î2 x + y - 2 z + 4 = 0
î x - y + 2z -1 = 0
Baøi 3. Chứng minh hai đường thẳng d1, d2 song song với nhau. Tính khoảng cách giữa chúng:
a) d1 : { x = 3 + 2t, y = 4 + 3t , z = 2 + t ; d2 : { x = 4 + 4t ', y = 5 + 6t ', z = 3 + 2t '
f) d1 :

x -1 y + 2 z - 3
=
=
;
2
-6
8
x - 3 y -1 z + 2
c) d1 :
=
=
;
2
1
3
ì2 x + 2 y - z - 10 = 0
d) d1 : í
;

î x - y - z - 22 = 0

x + 2 y - 3 z +1
=
=
-3
9
-12
x + 1 y + 5 z -1
d1 :
=
=
4
2
6
x + 7 y -5 z-9
d2 :
=
=
3
4
-1
Baøi 4. Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P). Tính khoảng cách giữa chúng:
( P ) : 4 x - 3y - 6 z - 5 = 0
a) d : { x = 3t - 2; y = 1 - 4t; z = 4t - 5 ;
b) d1 :

d2 :

b) d : { x = 1 - 2t; y = t; z = 2 + 2t ;

( P) : x + z + 8 = 0

ì x - y + 2z + 1 = 0
c) d : í
;
î2 x + y - z - 3 = 0
ì3 x - 2 y + z + 3 = 0
d) d : í
;
î 4 x - 3y + 4z + 2 = 0

(P) : 2 x - 2 y + 4z + 5 = 0
( P ) : 2 x - y - 2z - 2 = 0

VẤN ĐỀ 6: Góc
1. Góc giữa hai đường thẳng
r r
Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các VTCP a1 , a2 .
r r
Góc giữa d1, d2 bằng hoặc bù với góc giữa a1 , a2 .
r r
a1.a2
r r
cos ( a1, a2 ) = r r
a1 . a2
2. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
r
r
Cho đường thẳng d có VTCP a = (a1; a2 ; a3 ) và mặt phẳng (a) có VTPT n = ( A; B; C ) .

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (a) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d¢ của
nó trên (a).
Aa1 + Ba2 + Ca3
sin ·
d ,(a ) =
A2 + B 2 + C 2 . a12 + a22 + a32

(

)

Baøi 1. Tính góc giữa hai đường thẳng:
a) d1 : { x = 1 + 2t , y = –1 + t , z = 3 + 4t ; d2 : { x = 2 – t ', y = –1 + 3t ', z = 4 + 2t '
x -1 y + 2 z - 4
=
=
;
2
-1
2
ì 2 x - 3 y - 3z - 9 = 0
c) d1 : í
;
îx - 2y + z + 3 = 0
b) d1 :

ì2 x - z + 2 = 0
d) d1 : í
;
î x - 7 y + 3z - 17 = 0

d2 :

x + 2 y -3 z + 4
=
=
3
6
-2

d2 : { x = 9t; y = 5t; z = –3 + t
d2 : { x = 2 + 3t; y = –1; z = 4 – t
Trang 52


Trần Sĩ Tùng

PP Toạ độ trong không gian

x -1 y + 2 z + 2
ì x + 2y - z - 1 = 0
=
=
;
d2 : í
3
1
4
î2 x + 3z - 2 = 0
x + 3 y -1 z - 2

f) d1 :
=
=
và d2 là các trục toạ độ.
2
1
1
ìx - y + z - 4 = 0
ì2 x - y + 3z - 1 = 0
g) d1 : í
;
d2 : í
î2 x - y + z + 1 = 0
îx + y + z = 0
e) d1 :

ì2 x - y + 3z - 4 = 0
ì x + y - 2z + 3 = 0
h) d1 : í
;
d2 : í
3
x
+
2
y
z
+
7
=

0
î
î4 x - y + 3z + 7 = 0
Baøi 2. Chứng minh hai đường thẳng sau vuông góc với nhau:
ì7 x - 2z - 15 = 0
ìx - y - z - 7 = 0
;
d2 : í
a) d1 : í
î7 y + 5z + 34 = 0
î3 x - 4 y - 11 = 0
b)
Baøi 3. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng sau bằng a:

{

a) d1 : x = -1 + t; y = -t 2; z = 2 + t ;
b)

{

d2 : x = 2 + t '; y = 1 + t ' 2; z = 2 + mt ';

a = 600 .

Baøi 4. Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)::
x -1 y -1 z + 3
a) d :
=
=

;
( P ) : 2 x – y – 2 z – 10 = 0 .
1
-2
3

{

b) d : x = 1; y = 2 + t 4 5; z = 3 + t ;

(P) : x 4 5 + z + 4 = 0

ì x + 4y - 2z + 7 = 0
c) d : í
;
î3 x + 7 y - 2 z = 0

(P) : 3x + y – z + 1 = 0

ì x + 2y - z + 3 = 0
d) d : í
;
(P) : 3x – 4 y + 2z – 5 = 0
î2 x - y + 3z + 5 = 0
Baøi 5. Cho tứ diện ABCD có A(3; 2; 6), B(3; –1; 0), C(0; –7; 3), D(–2; 1; –1).
a) Chứng minh các cặp cạnh đối của tứ diện đôi một vuông góc với nhau.
b) Tính góc giữa AD và mặt phẳng (ABC).
c) Tính góc giữa AB và trung tuyến AM của tam giác ACD.
d) Chứng minh AB vuông góc với mặt phẳng (BCD). Tính thể tích của tứ diện ABCD.
Baøi 6. Cho tứ diện SABC có S(1; 2; 1), A(3; 2; 1), B(1; 3; 1), C(1; –2; 5).

a) Viết phương trình của các mặt phẳng (ABC), (SAB), (SAC).
b) Tính góc tạo bởi SC và (ABC) và góc tạo bởi SC và AB.
c) Tính các khoảng cách từ C đến (SAB) và từ B đến (SAC).
d) Tính khoảng cách từ C đến AB và khoảng cách giữa SA và BC.
Baøi 7. Cho tứ diện SABC có S(1; –2; 3), A(2; –2; 3), B(1; –1; 3), C(1; –2; 5).
a) Tìm phương trình các hình chiếu của SA, SB trên mặt phẳng (ABC).
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Tính góc tạo bởi SM và NP và góc tạo
bởi SM và (ABC).
c) Tính các khoảng cách giữa SM và NP, SP và MN.

Trang 53


PP To trong khụng gian

Trn S Tựng

VN 7: Mt s vn khỏc
1. Vit phng trỡnh mt phng
ã Dng 1: Mt phng (P) i qua im A v ng thng d:
Trờn ng thng d ly hai im B, C.
r uuur uuur
Mt VTPT ca (P) l: n = ộở AB, AC ựỷ .

ã Dng 2: Mt phng (P) cha hai ng thng song song d1, d2:
r
Xỏc nh VTCP a ca d1 (hoc d2).
Trờn d1 ly im A, trờn d2 ly im B. Suy ra A, B ẻ (P).
r
r uuur

Mt VTPT ca (P) l: n = ộở a , AB ựỷ .
ã Dng 3: Mt phng (P) cha hai ng thng ct nhau d1, d2:
Ly im A ẻ d1 (hoc A ẻ d2) ị A ẻ (P).
r
r
Xỏc nh VTCP a ca d1, b ca d2.
r r r
Mt VTPT ca (P) l: n = [ a , b ] .
ã Dng 4: Mt phng (P) cha ng thng d1 v song song vi ng thng d2 (d1, d2 chộo
nhau):
r r
Xỏc nh cỏc VTCP a , b ca cỏc ng thng d1, d2.
r r r
Mt VTPT ca (P) l: n = [ a , b ] .
Ly mt im M thuc d1 ị M ẻ (P).
ã Dng 5: Mt phng (P) i qua im M v song song vi hai ng thng chộo nhau d1, d2:
r r
Xỏc nh cỏc VTCP a , b ca cỏc ng thng d1, d2.
r r r
Mt VTPT ca (P) l: n = [ a , b ] .
2. Xỏc nh hỡnh chiu H ca mt im M lờn ng thng d
ã Cỏch 1: Vit phng trỡnh mt phng (P) qua M v vuụng gúc vi d.
Khi ú: H = d ầ (P)
ỡH ẻ d
ã Cỏch 2: im H c xỏc nh bi: ớuuuur r
ợ MH ^ ad
3. im i xng M' ca mt im M qua ng thng d
ã Cỏch 1: Tỡm im H l hỡnh chiu ca M trờn d.
Xỏc nh im MÂ sao cho H l trung im ca on MMÂ.
ã Cỏch 2: Gi H l trung im ca on MMÂ. Tớnh to im H theo to ca M, MÂ.

uuuuur
ỡ MM ' ^ ar
d .
Khi ú to ca im MÂ c xỏc nh bi: ớ
H
d
ẻ
ợ
4. Xỏc nh hỡnh chiu H ca mt im M lờn mt phng (P)
ã Cỏch 1: Vit phng trỡnh ng thng d qua M v vuụng gúc vi (P).
Khi ú: H = d ầ (P)
ỡH ẻ ( P)
ã Cỏch 2: im H c xỏc nh bi: ớuuuur r
ợ MH , nP cuứng phửụng
5. im i xng M' ca mt im M qua mt phng (P)
ã Cỏch 1: Tỡm im H l hỡnh chiu ca M trờn (P).
Xỏc nh im MÂ sao cho H l trung im ca on MMÂ.
ã Cỏch 2: Gi H l trung im ca on MMÂ. Tớnh to im H theo to ca M, MÂ.
ỡH ẻ ( P)
Khi ú to ca im MÂ c xỏc nh bi: ớuuuur r
.
ợ MH , nP cuứng phửụng

Trang 54


Trần Sĩ Tùng

PP Toạ độ trong không gian

Baøi 1. Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và đường thẳng d:
ì x = 4 + 2t
ìx = 2 - t
ï
ï
d : í y = 2 - 3t
b) A(1; 4; -3),
d : í y = -1 + 2t
a) A(2; -3;1),
ïî z = 3 + t
ïî z = 1 - 3t
x -1 y + 2 z - 5
x + 3 y + 2 z -1
c) A(4; -2; 3),
d:
=
=
d) A(2; -1; 5),
d:
=
=
3
4
2
2
1
3
ì x - y + 2z - 1 = 0
ì x + 3y - 2 z + 1 = 0
e) A(-2;1; 4),

d:í
f) A(3; -2; 4),
d:í
î x + 2y + 2z + 5 = 0
î2 x - y + z - 3 = 0
Baøi 2. Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng song song d1, d2:
x + 2 y -1 z + 3
a) d1 : { x = 2 + 3t; y = 4 + 2t; z = t - 1;
d2 :
=
=
3
2
1
x -1 y + 3 z - 2
x + 2 y -1 z - 4
=
=
,
d2 :
=
=
b) d1 :
2
3
4
2
3
4
x -1 y + 2 z - 3

x + 2 y - 3 z +1
c) d1 :
=
=
;
d2 :
=
=
2
-6
8
-3
9
-12
x - 3 y -1 z + 2
x + 1 y + 5 z -1
=
=
;
d2 :
=
=
d) d1 :
2
1
3
4
2
6
Baøi 3. Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng cắt nhau d1, d2:

a) d1 : { x = 3t; y = 1 - 2t; z = 3 + t ;
d2 : { x = 1 + t '; y = 2t '; z = 4 + t '
ìx + y + z + 3 = 0
b) d1 : í
;
î2 x - y + 1 = 0
ìx - 2y - z - 4 = 0
c) d1 : í
;
î2 x + y + z + 6 = 0

d2 : { x = 1 + t; y = -2 + t; z = 3 - t

b) d1 : { x = 1 + 2t; y = 2 - 2t; z = -t;

d2 : { x = 2t '; y = 5 - 3t '; z = 4

ìx - z - 2 = 0
d2 : í
î y + 2z + 7 = 0
ì2 x + y + 1 = 0
ì3 x + y - z + 3 = 0
d) d1 : í
;
d2 : í
x
y
+
z
1

=
0
î
î2 x - y + 1 = 0
Baøi 4. Cho hai đường thẳng chéo nhau d1, d2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 và song
song với d2:
a) d1 : { x = 1 - 2t; y = 3 + t; z = -2 - 3t ; d2 : { x = 2t '; y = 1 + t '; z = 3 - 2t '
c) d1 : { x = 3 - 2t; y = 1 + 4t; z = 4t - 2;
x - 2 y +1 z
=
= ;
3
-2
2
x -7 y -3 z-9
e) d1 :
=
=
;
1
2
-1
x - 2 y -1 z - 3
f) d1 :
=
=
;
2
1
-2

ì x - 2y + 2z - 2 = 0
g) d1 : í
;
î2 x + y - 2 z + 4 = 0
d) d1 :

d2 : { x = 2 + 3t '; y = 4 - t '; z = 1 - 2t '

x y -1 z + 1
=
=
1
2
4
x - 3 y -1 z - 1
d2 :
=
=
-7
2
3
x - 3 y + 1 z -1
d2 :
=
=
2
-2
1
ì2 x + y - z + 2 = 0
d2 : í

î x - y + 2z -1 = 0
d2 :

Baøi 5. Tìm toạ độ hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng d và điểm M¢ đối xứng với M qua
đường thẳng d:
ì x = 2 + 2t
ì x = 1 - 4t
ï
ï
a) M (1; 2; -6),
d : íy = 1- t
b) M (2; 3;1),
d : í y = 2 + 2t
ïî z = t - 3
ïî z = 4t - 1
Trang 55