baitap hinhhoc 12 onthi tn thpt dh

Trn S Tựng
ịt=

PP To trong khụng gian
abc

a 2 b 2 + b 2c 2 + c 2a 2

ổ
ử
ab 2 c 2
a2 bc 2
a2 b 2 c
ị Hỗ
;
;
ữ
ỗ a2 b 2 + b2 c 2 + c 2 a 2 a 2 b2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ữ
ố
ứ
ỡuuur
a2
=
AH
(-ab 2 - ac2 ; bc2 ; b2 c )
ù
2
2
2
2
2

2
ù
a b +b c +c a
ịớ
uuur
b2
ùBH =
(ac 2 ; - a 2 b - bc 2 ; a 2c)
2 2
2 2
2 2
ùợ
a b +b c +c a
ỡuuur
ù AH
ù
ịớ
uuur
ùBH
ùợ

uuur
. BC =

a2

uuur
. AC =

(-ab 2 - ac 2 ; bc 2 ; b2 c )(0; - b; c ) = 0

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

a b +b c +c a
b2

a b +b c +c a

(ac 2 ; - a 2b - bc 2 ; a 2c)(- a; 0; c) = 0

ỡ AH ^ BC
ịớ
ị H l trc tõm DABC.
ợ BH ^ AC
3.

1

Chng minh

=

OH 2

1
OA 2

OA 2
ị
4.

1
OH

2

+

1
OB 2

=

+

1
OA

2

1
OC 2

+

1
OB

2

1
OB 2

+

1
OC 2

-abc

OH = d (O, ( ABC )) =
1

+

ị

a2 b 2 + b2 c 2 + c 2 a 2
1

=

a2

+

1

+

OC 2

1
b2

+

1
c2

=

1
OH 2

=

a2 b2 + b2c 2 + c 2 a2
a 2 b2 c 2

a2 b 2 + b2 c 2 + c 2 a 2
a2 b2c2

.

Chng minh cos 2 a + cos2 b + cos 2 g = 1.

r
r
Nhn xột: cos a = cos ã
(OAB), ( ABC ) = cos n(OAB ) , n( ABC )

(

)

(

r r
n = n( ABC ) = (bc; ac; ab)
r
r
r r
r
r
n1 = n(OAB ) = k = (0, 0, 1);
n2 = n(OBC ) = i = (1, 0, 0);

Gi

)

r
r r
n3 = n(OAC ) = j = (0, 1, 0)

r r
r r
r r
ị cos 2 a + cos2 b + cos2 g = cos 2 (n1, n ) + cos2 (n2 , n ) + cos 2 (n3 , n )
=
Vy:

a2 b2
a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a2

+

b2c2
a2 b 2 + b2 c 2 + c 2 a 2

+

a2c 2
a2 b2 + b2c2 + c 2a2

cos 2 a + cos2 b + cos 2 g = 1.

Trang 59

PP To trong khụng gian

Trn S Tựng

Vớ d 2:
Cho tam giỏc u ABC cú ng cao AH = 2a. Gi O l trung im AH. Trờn ng thng
vuụng gúc vi mt phng (ABC) ti O, ly im S sao cho OS = 2a.
1. Tớnh cosin ca gúc j to bi hai mt phng (SAB) v (SAC).
2. Trờn on OH ly im I. t OI = m (0 < m < a). Mt phng (a) qua I, vuụng gúc vi
AH ct cỏc cnh AB, AC, SC, SB ln lt ti M, N, P, Q.
a. Tớnh din tớch thit din MNPQ theo a v x.
b. Tỡm m din tớch MNPQ ln nht.
Gii:
Gi D l trung im AB
ị OD ^ OH
BC 3
4a
AH =
ị BC =
2
3
1
a
ị OD = BC =
4
3

S

z

P

2a
E

Chn h trc ta Oxyz sao cho:
ổ a
ử
O(0; 0; 0), D ỗ
; 0; 0 ữ , H (0; a 0), S(0; 0; 2a)
ố 3
ứ

A

ổ 2a
ử
ổ 2a
ử
ị A(0; - a; 0), B ỗ
; a; 0 ữ , C ỗ ; a; 0 ữ
3
ố 3
ứ
ố
ứ
1. Tớnh cos j :

C

j
O

a
x

N

Q
m

I

D
M

B

V BE ^ SA ti E ị CE ^ SA (vỡ SA ^ ( BCE )) ị j = ã
BEC
uur
SA = (0; a; 2a) = a(0; 1; 2)
ỡx = 0
ù
Phng trỡnh ng thng SA: ớ y = - a + t
ùợz = 2t

(t ẻ R )

Phng trỡnh mp(BCE): ( y a ) + 2z = 0
Thay x, y, z vo phng trỡnh (BCE), ta c: -2a + t + 4t = 0 ị t =

2a
5

ỡ uuur ổ 2a 8a -4a ử 2a
;
;
(5; 4 3; - 2 3 )
ù EB = ỗ
ữ=
ổ
5
5 ứ 5 3
3a 4a ử
ù
3
ố
ị E ỗ 0; - ;
ữ ị ớ uuur ổ
5 5 ứ
ố
ù EC = ỗ - 2a ; 8a ; - 4a ửữ = - 2a (5; - 4 3; 2 3 )
ùợ
5 ứ
3 5
5 3
ố

2.

2a 2a
.
(5; 4 3; - 2 3 )(5; - 4 3; 2 3 )
uuur uuur
35 7
3
3
ị cos j = cos( EB, EC ) =
=
=
2
85
17
ổ 2a ử
85
85
ỗ
ữ
ố 3ứ
7
Vy cos j = .
17
uuur
Ta cú: I(0; m; 0), OH = a(0; 1; 0)
ị phng trỡnh mp(MNPQ): y m = 0
Trang 60

H y


Trn S Tựng
a.

PP To trong khụng gian

Tớnh SMNPQ:
Ta cú:
uuur ổ 2a
ử 2a
AB = ỗ
; 2a; 0 ữ =
(1; 3; 0) ;
3
ố 3
ứ
uur ổ 2a
ử
a
SB = ỗ
; a; - 2a ữ =
(2; 3; - 2 3 ) ;
3
ố 3
ứ
ỡx = t
ù
Phng trỡnh ng thng AB: ớ y = - a + 3t

ùz = 0
ợ
ổa+m
ử
M = AB ầ ( MNPQ) ị M ỗ
; m; 0 ữ
ố 3
ứ
ỡx = t
ù
Phng trỡnh ng thng AC: ớ y = - a - 3t
ùz = 0
ợ
ổ -a - m
ử
N = AC ầ ( MNPQ ) ị N ỗ
; m; 0 ữ
3
ố
ứ
ỡ x = 2t
ù
Phng trỡnh ng thng SB: ớ y = 3t
ùz = 2a - 2 3t
ợ

uuur ổ 2a
ử
2a
AC = ỗ ; 2a; 0 ữ = (1; - 3; 0)

3
3
ố
ứ
uur ổ 2a
ử
a
SC = ỗ ; a; - 2a ữ = (2; - 3; 2 3 )
3
3
ố
ứ
(t ẻ R )

(t ẻ R )

(t ẻ R )

ổ 2m
ử
Q = SB ầ ( MNPQ ) ị Q ỗ
; m; 2a - 2m ữ
ố 3
ứ
ỡ x = 2t
ù
(t ẻ R )
Phng trỡnh ng thng SC: ớ y = - 3t
ùz = 2a + 2 3t
ợ

ổ 2m
ử
P = SC ầ ( MNPQ ) ị P ỗ ; m; 2a - 2m ữ
3
ố
ứ
uuur ổ m - a
ử uuur ổ - a - 3m
ử uuuur ổ -2a - 2m
ử
ị MQ = ỗ
; 0; 2a - 2m ữ ; MP = ỗ
; 0; 2a - 2m ữ ; MN = ỗ
; 0; 0 ữ
3
3
ố 3
ứ
ố
ứ
ố
ứ
uuur
uuur
uuur
uuuu
r
1
SMNPQ = [MQ, MP ] + [ MP, MN ]
2

ổ 4m 2 - 4a 2 ử ử
1 ổỗ ổ 8m(m - a) ử
=
; 0 ữ + ỗ 0;
; 0ữ ữ
ỗ 0;
ỗ
ữữ
2ỗ ố
3
3
ứ
ố
ứứ
ố
2
2
1 ổ 8m(a - m) 4a - 4m ử
6 2 4a
2a 2
= ỗ
+
m +
m+
ữ =ữ
2 ỗố
3
3
3
3

3
ứ
2
ị SMNPQ =
(-3m 2 + 2am + a2 )
3

(

b/

)

Tỡm m (SMNPQ)max:
Bng xột du:
Trang 61


PP To trong khụng gian

Trn S Tựng

m

Ơ

a
3

+Ơ

-3m 2 + 2am + a 2

Ơ

4a 2
3

Ơ

ị SMNPQ Ê

2 4a 2 8a 2
.
=
3 3
3 3

Vy (SMNPQ )max =

Cỏch khỏc:

8a 2

a
khi m = .
3
3 3

SMNPQ

ị (SMNPQ )max =

2
ộ
ổ
ử ự
ờ (a - m) + ỗ m + a ữ ỳ
3 ứ ỳ 8a 2
ổ
aử
ờ
ố
= 2 3 ( a - m) ỗ m + ữ Ê 2 3 ờ
ỳỷ =
3 ứ ( coõsi)
ở
2
3 3
ố

8a 2
3 3

a-m = m+

a
a
m= .
3

3

Vớ d 3:
Cho t din OABC cú OA, OB, OC ụi mt vuụng gúc. OA= a, OB = b, OC = c.
1. Gi I l tõm mt cu ni tip (S) ca OABC. Tớnh bỏn kớnh r ca (S).
2. Gi M, N, P l trung im BC, CA, AB. Chng minh rng hai mt phng (OMN) v
1
1
1
(OMP) vuụng gúc
=
+ .
a 2 b2 c 2
Gii:
1.

Chn h trc Oxyz sao cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)
Tớnh r:
Ta cú: VI . AOB + VI .OBC + VI .OCA + VI . ABC = VOABC
r
abc
ị (SDOAB + SDOBC + SDOCA + SD ABC ) =
.
3
6
1 uuur uuur
SD ABC = [ AB, AC ]
2
1
= [(- a; b; 0), (- a; 0; c)]

2

1 2 2
=
a b + b2c 2 + c2 a2
2
r
abc
(1) ị (ab + bc + ca + a 2 b 2 + b 2 c2 + c 2 a 2 ) =
6
6
abc
Vy r =
ab + bc + ca + a 2 b 2 + b 2c2 + c 2 a2

2.

Chng minh (OMN) ^ (OMP)
Ta cú:

1

=

1

+

1

a2 b 2 c 2
ổ b cử
ổa
ổa b ử
cử
M ỗ 0; ; ữ , N ỗ ; 0; ữ , P ỗ ; ; 0 ữ
ố 2 2ứ
ố2
2ứ
ố2 2 ứ
uuur uuur
ổ bc ac
ab ử
r
n(OMN ) = [OM , ON ] = ỗ ; ; - ữ
ố 4 4
4 ứ
Trang 62

z

C

M

c
N
O
a
x

A

b
P

B

y


Trn S Tựng

PP To trong khụng gian

uuur uuur
ổ bc ac
ab ử
r
n(OMP ) = [OM , OP ] = ỗ - ;
;- ữ
ố 4 4
4 ứ
r
r
ị (OMN ) ^ (OMP ) n(OMN ) .n(OMP ) = 0
b 2 c 2 a2 c 2 a 2 b 2
+
+
= 0 a 2 (c 2 + b 2 ) = b 2 c 2

16
16
16



1
a

2

=

1
b

2

+

1
c2

.

Vớ d 4:
Cho hỡnh ch nht ABCD cú AB= a, AD = 2a. Trờn tia Az ^ ( ABCD ) ly im S. Mt phng
(a) qua CD ct SA, SB ln lt ti K v L.
1. Cho SA = 2a, AK = k (0 Ê k Ê 2a)
a. Tớnh din tớch t giỏc CDKL . Tớnh k theo a SCDKL ln nht, nh nht.

b. Chng t khong cỏch gia hai ng thng KD v BC khụng i.
c. Tớnh k theo a (a) chia hỡnh chúp S.ABCD thnh hai phn cú th tớch bng nhau.
2. Gi M, N ln lt l trung im SC, SD. Tỡm qu tớch giao im I ca AN, BM khi S di
ng trờn tia Az.
Gii:
1.

Chn h trc ta Axyz sao cho: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; 2a; 0), D(0; 2a; 0), S(0; 0; 2a)
AK = uuu
kị
Kr(0; 0; k ), 0 Ê k Ê 2a
r uuu
r
na = [KC , KD ] = a(0; k; 2a)

z

S

Phng trỡnh (a ) : k ( y - 2a) + 2az = 0 ky + 2az - 2ak = 0
uur
SB = a(1; 0; - 2)
ỡx = a + t
ù
Phng trỡnh ng thng SB: ớ y = 0
(t ẻ R )
ùợz = -2t

a/

K
L

ổ
ử
k
a
(a ) ầ SB = L ị L ỗ a - ; 0; k ữ
ố
2
ứ
B
SCDKL = SDCKL + SDCKD:
uuur uuur
1 uuur uuur
x
= [CK , CL ] + [CK , CD ]
2
ử
1ổ
k
= ỗ [(- a; - 2a; k , - ; - 2a; k ] + [(- a; - 2a; k ,(- a; 0; 0)] ữ
2ố
2
ứ
ử
1 ổ 2a - k
4
a
k

= ỗ
4a 2 + k 2 + a 4a 2 + k 2 ữ =
4a2 + k 2
2ố 2
ứ
4

(

)

4a - k
-2k 2 + 4ak - 4a 2
2
2
/
Xột f (k ) =
4a + k ị f ( k ) =
<0
4
4 k 2 + 4a 2
Bng bin thiờn:
k
0
2a
Ơ
+Ơ
/
f (k)

2
f(k)
2a
a2 2
Trang 63

I

k

A

N
M
2a
C

D

y


PP To trong khụng gian
Vy:

b/

Trn S Tựng

Smax = 2a 2 k = 0

Smin = a 2 2 k = 2a.
uuur uuur uuur
[KD , BC ] DC
[0; 2a; - k ), (0; 2a; 0)](a; 0; 0)
d(KD, BC) =
=
= a (khụng i)
uuur uuur
[0; 2a; - k ), (0; 2a; 0]
[KD, BC ]
* Chỳ ý: CD l on vuụng gúc chung ca KD v BC.

c/

1
Tớnh k VS.CDKL = VS. ABCD
2
Ta cú: d (S, (a )) =

2.

4a 2 - 2ak
k 2 + 4a 2

1
a(2a - k )4a - k
ị VS.CDKL = d (S, (a )). SCDKL =
3
6

3
1
4a
VS. ABCD = SA.S ABCD =
3
3
3
a(2a - k )(4a - k ) 4a
ị
=
6
6
k = (3 - 5 ) a
(do k Ê 2a)
Qu tớch I:
ổa
ổ
sử
sử
S ẻ Az ị S (0; 0; s), s > 0 ị M ỗ ; a; ữ , N ỗ 0; a; ữ
ố2
2ứ
ố
2ứ
uuur
uuur 1
1
BM = - (a; - 2a; - s);
AN = (0; 2a; s)
2

2
ỡ x = a + at1
ù
ị Phng trỡnh ng thng BM: ớ y = -2at1
ùz = - st
ợ
1
ỡx = 0
ù
Phng trỡnh ng thng AN: ớ y = 2at2
ùợz = st2
I = ( AN ) ầ (BM ) ị I (0; 2a; s)
uur
uur uur
Ta cú: ID = (0; 0; - s) ị ID / / AS.

(t1 ẻ R)

(t2 ẻ R)

Vy qu tớch I l na ng thng Dt ^ ( ABCD ) (tr im D, do s > 0).

Vớ d 5:

Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú cnh ỏy a 2 ; ã
ASB = a .
1. Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu ngoi tip hỡnh chúp.
2. Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu ni tip hỡnh chúp.
3. Tỡm a tõm mt cu ngoi tip v ni tip trựng nhau.
Gii:

Ta cú: AC = BD = 2a. Gi SO l ng cao v SO= h.
Chn h trc ta Oxyz sao cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0),S(0; 0; h)
Trang 64


Trn S Tựng
1.

PP To trong khụng gian

ị C (- a; 0; 0), D (0; - a; 0)
Tõm I v R ca (S) ngoi tip chúp S.ABCD
Do S.ABCD l hỡnh chúp t giỏc u nờn I ẻ OS ị I (0; 0; z0 )

S
a

Phng trỡnh mt cu (S): x 2 + y 2 + z2 - 2 z0 z + d = 0
ỡùa2 + d = 0
ịớ 2
ùợh - 2 z0 h + d = 0
ỡ d = -a 2
ù
ịớ
h2 - a2
x A
ùz0 =
2h
ợ
ổ

ổ h2 - a 2 ử
h2 - a2 ử
h2 + a2
ị I ỗ 0; 0;
ữ, R = ỗ
ữ+a =
2h ứ
2h
ố
ố 2h ứ
uur uur
SA.SB
(a; 0; - h)(0; a; - h)
h2
Mt khỏc: cos a =
=
=
SA.SB
a2 + h2
a2 + h2
A, S ẻ (S )

a2 cos a
1 - cos a

ị h=

R=

Vy:

OI =
2.

z

h
D
C

O
a
2 3

B

(a nhn do DSAB cõn ti S).
a

2 cos a (1 - cos a )

a(2 cos a - 1)
2 cos a (1 - cos a )

Tõm J v r ca (S/) ni tip chúp S.ABCD:
J ẻ OS ị J (0; 0; r ), OJ = r
Ta cú:
r
VS. ABCD = .Stp ;
3

1
2a 2 h
VS. ABCD = .h(a 2 )2 =
3
3

1
Sxp = 4SDSAB = 4. SA.SB sin a = 2(a 2 + h 2 )sin a
2
ị Stp = Sxp + SABCD = 2(a 2 + h 2 )sin a + 2a 2

ịr=

a2 h
a2 + (a 2 + h2 )sin a

=

a cos a (1 - cos a )
1 + sin a - cos a

a cos a (1 - cos a )
= r.
1 + sin a - cos a
Tỡm a I J
Vy: OJ =

3.

I J

a cos a (1 - cos a )
1 + sin a - cos a
2 cos a (1 - cos a )
(2 cos a - 1)(1 + sin a - cos a ) = 2 cos a (1 - cos a )
(1 - 2 cos a sina ) + (sin a - cos a ) = 0 (sin a - cos a )(sin a - cos a + 1) = 0
sin a = cos a (do sin a + 1 - cos a > 0)
a = 45o
(do a nhoùn)
OI = OJ

a(2 cos a - 1)

=

Vy I J a = 45o.

Trang 65

y