baitap hinhhoc 12 onthi tn thpt dh

Trn S Tựng

PP To trong khụng gian
Gii:

Chn h trc ta Axyz sao cho:

A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0)
A/(0; 0; a), B/(a; 0; a), C/(a; a; a), D/(0; a; a)

ổa
ử
ổ a aử
ị M ỗ ; 0; 0 ữ , N ỗ 0; ; ữ
ố2
ứ
ố 2 2ứ
1.

Tớnh R:
Phng trỡnh mt cu (S): x 2 + y 2 + z 2 - 2a x - 2 b y - 2g z + d = 0
C , D / , M , N ẻ (S ) , suy ra:
ỡ2a 2 - 2a a - 2 b a + d = 0
ù 2
ù2a - 2b a - 2g a + d = 0
ù a2
ớ -aa + d = 0
ù4
ù a2
ù - ba -g a + d = 0
ợ2

(1) (2) suy ra: a = g
(2) (4) suy ra: d = a2

(1)
( 2)

z
A

D/

/

(3)
B/

K

( 4)

N

L

/

C

D
B

5a
(3) ị a = g =
4
a
(4) ị b =
4

a

A
M
C

x

ị Phng trỡnh mt cu (S): x 2 + y 2 + z2 -

y

5a
5a
a
x - y - z + a2 = 0
2
2
2

2
2

ổ 5a ử ổ 5a 2 ử ổ a ử
35a 2
R = ỗ ữ +ỗ
ữ + ỗ ữ - a2 =
ố 4 ứ ố 4 ứ ố 4ứ
16
2

Vy R =
2.

a
35 .
4

Tớnh r:
(S)

Phng trỡnh mt cu (SÂ): x 2 + y 2 + z2 - 2a /2 x - 2b / y - 2g / z + d / = 0
A/ , B / , C / , D ẻ (S / ), suy ra:

I

ỡa2 - 2g / a + d / = 0
ù 2
ùa - 2a / a + d / = 0
ớ 2
/
/
/

/
ù3a - 2a a - 2b a - 2g a + d = 0
ùợa2 - 2 b / a + d / = 0

(C)

R
C

r

J

R/

a
ị a / = b / = g / = , d/ = 0
2

I/

ị (S / ) : x 2 + y 2 + z2 - ax - ay - az = 0 v bỏn kớnh R / =
D thy C(a; a; 0) ẻ (S / ) ị C ẻ (C )
Gi I , I / , J l tõm ca (S), (S/) v (C)
Trang 69

a 3
2

PP To trong khụng gian

Trn S Tựng

ổ 5a a 5a ử / ổ a a a ử
ị Iỗ ; ;
ữ, I ỗ ; ; ữ
ố 4 4 4 ứ
ố2 2 2ứ
Ta cú: JC ^ II /

uur uur
[II / , CI ]

ị r = d (C, II / ) =

II /

uur
uur uur
uur ổ a -3a 5a ử
a2
/ ổ 3a a -3a ử
/
II = ỗ - ;
;
(-1; 3; 2)
ữ ; CI = ỗ ;
ữ ị [II , CI ] =
ố 4 4 4 ứ

ố4 4
4 ứ
4
ịr=a
3.

14
19

Tớnh S:

uuur uuur
a2
r
n(CMN ) = [CM , CN ] = - (2; - 1; 3)
4
ị Phng trỡnh mt phng (CMN): 2 x - y + 3z - a = 0
ỡx = 0
ù
Phng trỡnh ng thng AAÂ: ớ y = 0 (t ẻ R)
ùợz = t
ỡx = 0
ù
Phng trỡnh ng thng DDÂ: ớ y = a (t ẻ R)
ùợz = t
Gi K = (CMN ) ầ AA/ , L = (CMN ) ầ DD /
ổ
2a ử
aử ổ
ị K ỗ 0; 0; ữ , L ỗ 0; a;

ữ
3ứ ố
3 ứ
ố
uuur uuur
1 uuur uuur
ị S = SCMKL = [CM , CK ] + [CK , CL ]
2
ộổ
ử ổ
1 ổ ộổ a
a ửự
aử ổ
2a ử ự ử
= ỗỗ ờỗ - ; - a; 0 ữ , ỗ - a; - a; ữ ỳ + ờỗ - a; - a; ữ , ỗ - a; 0;
ữỳ ữ
ứ ố
2 ố ởố 2
3 ứỷ
3ứ ố
3 ứ ỷ ữứ
ởố

(

ịS=

)

a 2 14

.
4

Trang 70


Trn S Tựng

PP To trong khụng gian

BI TP
Baứi 1. Cho t din OABC cú ỏy OBC l tam giỏc vuụng ti O, OB=a, OC= a 3 , (a>0) v ng
cao OA= a 3 . Gi M l trung im ca cnh BC. Tớnh khong cỏch gia hai ng thng AB
v OM.
HD: Chn h trc ta sao cho: O(0; 0; 0), A(0; 0; a 3 ), B(a; 0; 0), C (0; a 3; 0) .
a 15
5
Baứi 2. Cho hỡnh chúp O.ABC cú cỏc cnh OA = a, OB = b, OC = c ụi mt vuụng gúc. im M c
nh thuc tam giỏc ABC cú khong cỏch ln lt n cỏc mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) l
1, 2, 3. Tớnh a, b, c th tớch O.ABC nh nht.
HD: Chn h trc ta sao cho: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C (0; 0; c) .

ị d ( AB; OM ) =

1 2 3 1
= = =
a b c 3
Baứi 3. T din S.ABC cú cnh SA vuụng gúc vi ỏy v D ABC vuụng ti C. di ca cỏc cnh
l SA = 4, AC = 3, BC = 1. Gi M l trung im ca cnh AB, H l im i xng ca C qua M.
Tớnh cosin gúc hp bi hai mt phng (SHB) v (SBC).

HD: Chn h trc to sao cho: A(0;0;0), B(1;3;0), C(0;3;0), S(0;0;4) v H(1;0;0).
Baứi 4. Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy l tam giỏc ABC vuụng cõn ti A, AB = AC = a (a > 0), hỡnh
chiu ca S trờn ỏy trựng vi trng tõm G ca DABC. t SG = x (x > 0). Xỏc nh giỏ tr ca x
gúc gia hai mt phng (SAB) v (SAC) bng 60o.
ổa a ử ổa a ử
HD: Chn h trc to sao cho: A(0;0;0), B(a;0;0), C(0; a; 0), G ỗ ; ; 0 ữ , S ỗ ; ; x ữ .
ố3 3 ứ ố2 2 ứ

ị Vmin = 27

a
ịx = .
3
Baứi 5. Cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC cú di cnh ỏy l a. Gi M, N l trung im SB, SC.
Tớnh theo a din tớch DAMN, bit (AMN) vuụng gúc vi (SBC).
ổa 3
ử
HD: Chn h trc to sao cho: O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A ỗ
; 0; 0 ữ (SO = h).
ỗ 3
ữ
ố
ứ
2
r
r
5a
1 uuur uuur
a 2 10
ị ( AMN ) ^ (SBC ) ị n( AMN ) .n(SBC ) = 0 ị h 2 =

ị SD AMN = ộ AM , AN ự =
ỷ
12
2ở
16
Baứi 6. Cho lng tr ABC.A'B'C' cỏc cỏc mt bờn u l hỡnh vuụng cnh a. Gi D, F ln lt l
trung im ca cỏc cnh BC, C'B'. Tớnh khong cỏch gia hai ng thng A'B v B'C'.
HD: Chn h trc to sao cho:
ổa a 3 ử ổ a a 3 ử
ổa a 3 ử
ổ a a 3 ử
A(0; 0; 0), B ỗ ;
; 0ữ, C ỗ - ;
; 0 ữ , A '(0; 0; a), B ' ỗ ;
; a ữ, C 'ỗ - ;
; aữ
ố2 2
ứ ố 2 2
ứ
ố2 2
ứ
ố 2 2
ứ
a 21
.
7
Baứi 7. T din ABCD cú AB, AC, AD ụi mt vuụng gúc vi nhau, AB = 3, AC = AD = 4. Tớnh
khong cỏch t A ti mt phng (BCD).
HD: Chn h trc to sao cho: A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0).
Baứi 8. Cho hỡnh chúp SABC cú di cỏc cnh u bng 1, O l trng tõm ca tam giỏc DABC. I l

trung im ca SO.
a. Mt phng (BIC) ct SA ti M. Tỡm t s th tớch ca t din SBCM v t din SABC.
b. H l chõn ng vuụng gúc h t I xung cnh SB. Chng minh rng IH qua trng tõm G
ca DSAC.

ị d ( A ' B; B ' C ' ) =

Trang 71


PP To trong khụng gian

Trn S Tựng

ổ 3
ử
ổ
ổ
3 1 ử
3 1 ử
HD: Chn h trc to sao cho: O(0; 0; 0), A ỗ
; 0; 0 ữ ; B ỗ ;- ;0ữ ; C ỗ ; ;0ữ ;
ỗ 3
ữ
ỗ 6
ỗ 6 2 ữ
2 ữứ
ố
ứ
ố

ố
ứ
ổ
6ử ổ
6ử
S ỗ 0; 0
ữ ; I ỗ 0; 0;
ữ.
ỗ
ữ ỗ
ữ
3
6
ố
ứ ố
ứ
V( SBCM ) 1
ị
=
V (SABC ) 4
Baứi 9. Cho hỡnh lng tr ABCD. A1B1C1 cú ỏy l tam giỏc u cnh a. AA1 = 2a v vuụng gúc
vi mt phng (ABC). Gi D l trung im ca BB1; M di ng trờn cnh AA1. Tỡm giỏ tr ln
nht, giỏ tr nh nht ca din tớch tam giỏc MC1D.
ổa 3 a
ử
HD: Chn h trc to sao cho: A(0;0;0), B(0;a;0), A1 (0;0;2a), C1 ỗ
; ; 2a ữ , D(0;a;a)
ỗ 2 2
ữ
ố

ứ
a 2 15
khi M A
1
4
Baứi 10. Cho t din SABC cú ỏy l DABC vuụng cõn ti B, AB = a, SA ^ ( ABC ) v SA = a.
AH ^ SB ti H, AK ^ SC ti K.
a. Chng minh HK ^ SC.
b. Gi I = HK ầ BC. Chng minh B l trung im CI.
c. Tớnh sin gúc j gia SB v (AHK).
d. Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu ngoi tip SABC.
uuur uur
a 3
2
S:
a/ HK .SC = 0;
c/
d/ SJ = JC , R =
;
2
6

ị Giỏ tr ln nht SDC M =

Baứi 11. Cho t din SABC cú ỏy l DABC vuụng cõn ti B, AB = a, SA ^ ( ABC ) v SA = a 2 .
Gi D l trung im ca AC.
a. Chng minh khong cỏch t A n (SBC) gp ụi khong cỏch t D n (SBC).
b. Mt phng (a) qua A v vuụng gúc SC, (a) ct SC v SB ti M v N. Tớnh th tớch hỡnh
chúp SAMN.
c. Tớnh cosin ca gúc to bi hai mt phng (SAC) v (SBC).

a 6
a 6
a3 2
3
; dB =
b/
d/
3
6
18
3
Baứi 12. Cho DABC u cnh a. Trờn ng thng d ^ ( ABC ) ti A ly im S, SA = h.
a. Tớnh d(A, (SBC)) theo a v h.
b. ng thng D ^ (SBC ) ti trc tõm H ca DSBC, chng t D luụn qua im c nh khi
S di ng trờn d.
c. D ct d ti S/. Tớnh h theo a SS/ nh nht.
S:

a/ d A =

S:

a/

ah 3
3a 2 + 4h 2

;

b/ Trng tõm DABC

d/ a 2 ; h =

a 2
.
2

Baứi 13. Cho hỡnh chúp S.ABCD ỏy l hỡnh vuụng cnh a, SA ^ ( ABCD ) v SA = a 2 . Mt
phng (P) qua A v (a ) ^ SC ; (P) ct cỏc cnh SB, SC, SD ln lt ti H, M, K.
a. Chng minh AH ^ SB, AK ^ SD.
b. Chng minh BD // (a) v BD // HK.
Trang 72


Trần Sĩ Tùng

PP Toạ độ trong không gian

c. Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của SAC.
d. Tính VS.AHMK.
uuur r
uuur 3 uuur
uuur uur uuur uuur
ĐS:
a/ AH .SB = AK .SD = 0
b/ BD.na = 0; BD = HK ;
2
a3 2
.
18

Baøi 14. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, SA ^ ( ABCD ) và ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD
= b, SA = 2a. N là trung điểm SD.
a. Tính d(A, (BCN)), d(SB, CN).
b. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC).
c/ HG / / GK ;

d/

1
.
c. Gọi M là trung điểm SA. Tìm điều kiện a và b để cos·
CMN =
3
Trong trường hợp đó tính VS.BCNM.
ĐS:

a/

a 2
;
2

2ab

;

b/

b

;

c/ a = b; V =

a3
.
4

4a 2 + 5b 2
20a 2 + 5b 2
Baøi 15. Trong mp(P) cho hình vuông ABCD. Trên tia Az ^ (a ) lấy điểm S. Đường thẳng
(D1 ) ^ (SBC ) tại S cắt (P) tại M, (D2 ) ^ (SCD ) tại S cắt (P) tại N. Gọi I là trung điểm MN.
a. Chứng minh A, B, M thẳng hàng; A, D, N thẳng hàng.
b. Khi S di động trên Az, chứng tỏ I thuộc đường thẳng cố định.
c. Vẽ AH ^ SI tại H. Chứng minh AH là đường cao tứ diện ASMN và H là trực tâm
d. Cho OS = 2, AB = 1. Tính VASMN.
uuur
uuur uuur
uuur
æ h2
h2 ö
2
2
a/ MA = h AB, NA = h AD;
b/ I ç - ; - ; 0 ÷ Î AC;
ĐS:
2
è 2
ø

SMN.

16
.
3
Baøi 16. Cho hình chóp S.ABCD có SA ^ ( ABCD ) , đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Trên các
cạnh BC, CD lấy lần lượt các điểm M, N. Đặt CM = x, CN= y (0 < x, y < a).
a. Tìm hệ thức giữa x và y để góc giữa hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) bằng 45o.
b. Tìm hệ thức giữa x và y để (SAM ) ^ (SMN )
c/ AH ^ (SMN ); MN ^ SH ; SM ^ AH ;

ĐS:

a/ 4a 4 - 4a3 ( x + y ) + 2axy ( x + y ) - x 2 y 2 = 0

d/

b/ x 2 - ax + ay = 0

Baøi 17. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a 2 , đường cao SO, cạnh bên bằng
a 5.
a. Tính thể tích hình chóp. Xác định tâm I và bán kính R của hình cầu (S) nội tiếp hình chóp.
b. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, AD, SC. Mặt phẳng (MNP) cắt SB, SD tại Q và R.
Tính diện tích thiết diện.
c. Chứng tỏ rằng mặt phẳng (MNP) chia hình chóp ra hai phần có thể tích bằng nhau.
4a3
a
2a3
c/
; OI = R =

b/ a2 2
.
3
2
3
Baøi 18. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, đường cao SO. Mặt bên tạo
ĐS:

a/ V =

với đáy góc 600 . Mặt phẳng (P) chứa cạnh AB và tạo với đáy góc 300 cắt các cạnh SC, SD lần
lượt tại M, N.
a. Tính góc giữa AN với (ABCD) và BD.
Trang 73


PP Toạ độ trong không gian

Trần Sĩ Tùng

b. Tính khoảng cách giữa AN và BD.
c. Tính thể tích hình khối ABCDMN.
ĐS:

a/ sin j =

3
13

b/ a

3
22

c/

5a3 3
.
48

Baøi 19. Cho hình vuông ABCD cạnh a 2 tâm O. Trên tia Oz ^ ( ABCD ) lấy điểm S, mặt phẳng
(SAD) tạo với đáy góc a.
a. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và CD.
b. Mặt phẳng (b) qua AC và vuông góc (SAD) chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể
tích hai phần đó.
ĐS:
a/ a 2 .sin a
b/ cos 2 a .
Baøi 20. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C¢D¢ có AB= 2, AD = 4, AA¢ = 6. Gọi I, J là trung
uuuur
uuur
uuur uuur
điểm AB, CD¢. Gọi M, N thỏa AM = m AD , BN = mBB / (0 £ m £ 1)
a. Tính khoảng cách từ A đến (BDA¢).
b. Chứng minh I, M, J, N đồng phẳng.
c. Xác định tâm K và bán kính R của mặt cầu (S) ngoại tiếp ABDA¢.
d. Tính bán kính r của đường tròn giao của (S) và (BDA¢).
uur uur uuur
12
5 26

ĐS:
a/
b/ [IN , IJ ].IM = 0
c/ K (1; 2; 3), R = 14;
d/
.
7
7
Baøi 21. Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ có các cạnh bằng 2. Gọi M, N là trung điểm AB và
DD¢.
a. Chứng minh MN // (BDC¢). Tính MN và d(MN, (BDC¢)).
b. Gọi P là trung điểm C¢D¢ . Tính VC.MNP và góc giữa MN và BD.
c. Tính bán kính R của đường tròn (A/BD).
uuuur r
3
2 6
a/ MN .n = 0; MN = 6; d =
;
b/ V = 1; j = 30o ;
c/
.
ĐS:
3
3
Baøi 22. Cho lăng trụ OAB.O¢A¢D đáy DOAB vuông tại O, OA= a, OB = b, OO/ = h. Mặt phẳng
(P) qua O vuông góc AB¢.
a. Tìm điều kiện a, b, h để (a) cắt cạnh AB, AA/ tại I, J (I, J không trùng A, B, A/).
b. Với điều kiện trên hãy tính: SDOIJ và tỉ số thể tích 2 phần do thiết diện chia lăng trụ.
ĐS:

a/ a < h

b/ S =

a 3b a 2 + b 2 + h 2
2h(a2 + b 2 )

;

V1
a4
=
V2 3a 2 h 2 + 3b 2 h 2 - a 4

Baøi 23. Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông tại A, SC ^ ( ABC ) và SC = AB = AC =
a 2 . Các điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a)
a. Tính độ dài đoạn MN, tìm t để đoạn MN ngắn nhất.
b. Khi MN ngắn nhất, chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của BC và SA.
a 6
2a
,t=
b/ MN ^ AM , MN ^ CN .
3
3
Baøi 24. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, có AB= 3, BC = 4. Cạnh bên
SA ^ ( ABC ) và SA = 4.
a. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC.
b. Trên AB lấy 1 điểm E với AE = x. Mặt phẳng (P) qua E song song với SA và BC cắt hình
chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện. Tìm x để diện tích này lớn nhất.
ĐS:

a/ MN = 3t 2 - 4at + 2a2 ; min =

Trang 74


Trần Sĩ Tùng

PP Toạ độ trong không gian

41
3
b/ max S = 4, x = .
2
2
Baøi 25. Cho tam giác đều SAD và hình vuông ABCD cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc
nhau. Gọi I là trung điểm của AD, M là trung điểm của AB, F là trung điểm của SB.
a. Chứng minh rằng mặt phẳng (CMF ) ^ (SIB) .
b. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và SD giữa CM và SA.
ĐS:

a/ SI = IC; R =

a 3 a 3
;
.
2
4
Baøi 26. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A¢B¢C¢D¢ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc
·

BAD = 60o . Gọi M là trung điểm cạnh AA¢ và N là trung điểm cạnh CC¢.
ĐS:

b/

a. Chứng minh rằng 4 điểm B¢, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng.
b. Tính cạnh AA¢ theo a để tứ giác B¢MDN là hình vuông.
ĐS:

b/ a 2 .

Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này.


Trang 75