baitap pt mu logarit hay nhất

Biờn son: GV HUNH C KHNH

CHUYEN ẹE 1.

PHệễNG TRèNH
MUế LOGARIT

DAẽNG 1. PHệễNG TRèNH Cễ BAN
Phng trỡnh m c bn cú dng: a x = m , trong ủú a > 0, a 1 v m l s ủó cho.
Nu m 0 , thỡ phng trỡnh a x = m vụ nghim.
Nu m > 0 , thỡ phng trỡnh a x = m cú nghim duy nht x = log a m.
Bi 1.

Gii cỏc phng trỡnh sau:
1) 5x +1 + 6.5x 3.5x 1 = 52
2) 3x +1 + 3x + 2 + 3x +3 = 9.5x + 5x +1 + 5x + 2
3) 3x.2 x +1 = 72
4) 4x

2

3x + 2

+ 4x

2

+ 6x +5

= 42x

2

+3x +7

+1

5) 5.32x 1 7.3x 1 + 1 6.3x + 9 x +1
Bi 2.

Gii cỏc phng trỡnh sau:

1) log 3 x ( x + 2 ) = 1
2) log 2 ( x 2 3) log 2 ( 6x 10 ) + 1 = 0
3) log ( x + 15 ) + log ( 2x 5 ) = 2
4) log 2 ( 2x +1 5 ) = x
Bi 3.

Bi tp rốn luyn. Gii cỏc phng trỡnh sau:
x 1
+ log 2 ( x 1)( x + 4 ) = 2
x+4

1) 3x +1 2.3x 2 = 25

2) log 2

3) 3.2x +1 + 2.5x 2 = 5x + 2x 2

4) log x 2 16 log

x

4 7
5)
7 4

3x 1



16
=0
49

7) 4log x +1 6log x = 2.3log x
9) log

3

2

+2

( x 2 ) log5 x = 2 log3 ( x 2 )

x

7=2

6) 2 log8 ( 2x ) + log 8 ( x 2 2x + 1) =

1
1
8) 2.5x +1 .4 x + 2 .5x + 2 = 4x +1
5
4
10) 3 2x 5 5 2 x 7 = 32

11) 3 (10x 6x + 2 ) + 4.10 x +1 = 5 (10x 1 6 x 1 )

4
3


Biờn son: GV HUNH C KHNH

DAẽNG 2. PHệễNG PHAP ẹệA VE CUỉNG Cễ SO
Phng phỏp ủa v cựng c s
S dng cụng thc:
a = a = .
b > 0 ( hoặc c > 0 )
b = c

log a b = log a c
Bi 1.

Bi 2.

Gii cỏc phng trỡnh sau:

1) 52x +1 + 7 x +1 175x 35 = 0

3) x 2 .2 x +1 + 2 x 3 + 2 = x 2 .2 x 3 + 4 + 2 x 1

1
1
2) 3.4x + .9 x + 2 = 6.4 x +1 .9 x +1
3
2

4) 4x

2

+x

+ 21 x = 2(
2

x +1)

2

+1

Gii cỏc phng trỡnh sau:

1) log x 2.log x 2 = log x 2
16

64

5
+ log 52 x = 1
x

2) log 5x

3) log 2 x + log 3 x + log 4 x = log 20 x
4) log 2 ( 3x 1) +

1
log ( x +3) 2

5) log 9 ( x 2 5x + 6 ) =
2

(

= 2 + log 2 ( x + 1)

1
log
2

)

3

x 1

+ log 3 x 3
2

(

)

6) log 2 x 2 + 3x + 2 + log 2 x 2 + 7x + 12 = 3 + log 2 3

1
log
2

( x + 3) +

1
8
log 4 ( x 1) = log 2 ( 4x )
4

Bi 3.

Gii phng trỡnh sau:

Bi 4.

Bi tp rốn luyn. Gii cỏc phng trỡnh sau:
1
1) 9
3

x

2

2 3x

6) log 5 ( 6 4x x 2 ) = 2 log 5 ( x + 4 )

= 27 x . 3 81x +3

2) 3.13x + 13x +1 2 x + 2 = 5.2 x +1

1
7) 2 log ( x 1) = log x 5 log x
2

3) log 4 ( log 2 x ) + log 2 ( log 4 x ) = 2

8) 2 log92 x = log 3 x.log3

4) log 5 ( x 2 + 2x 3) = log
5) log 4 ( x + 1) + 2 = log

5

2

2

x 1

x+3

(

)

2x + 1 1

9) log 4 ( x 2 1) log 4 ( x 1) = log 4 x 2

4 x + log8 ( 4 + x )

2

3


Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

DẠNG 3. ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH A.B = 0
Ví dụ 1:

Giải phương trình: 2x
HD: 2x

2

+x

− 4.2 x

2

−x

2

+x

− 4.2 x

2

−x

− 22x + 4 = 0

− 22x + 4 = 0 ⇔

(2

x2 −x

)

− 1 . ( 22x − 4 ) = 0

Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng khơng thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân

(

tích thành 2 x

2

−x

)

− 1 . ( 22 x − 4 ) . ðây là phương trình tích đã biết cách giải.

Giải các phương trình sau:

Bài 1.

1) 8.3x + 3.2 x = 24 + 6x
2) 2x

2

+x

− 4.2x

2

−x

− 22x + 4 = 0

3) 12.3x + 3.15x − 5x +1 = 20
Ví dụ 2:
Nhận

Giải phương trình: 2 ( log 9 x ) = log 3 x.log 3
2

xét:

Tương

log 3 x − 2 log 3


(

tự

như

trên

ta

phải

(

)

2x + 1 − 1 .

biến

đổi

phương

trình

thành

tích

)

2 x + 1 − 1  .log 3 x = 0 . ðây là phương trình tích đã biết cách giải.


Tổng qt: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng khơng thể biến đổi để đặt ẩn phụ
được thì ta biến đổi thành tích.
Bài 2.

Giải phương trình: log 2 x + 2.log 7 x = 2 + log 2 x.log 7 x .

DẠNG 3. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Sử dụng cơng thức về hàm số mũ và lơgarit để biến đổi bài tốn, sau đó đặt ẩn số
phụ, quy phương trình đã cho về các phương trình đại số (phương trình chứa hoặc
khơng chứa căn thức). Sau khi giải phương trình trung gian ta quy về giải tiếp các
phương trình mũ hoặc lơgarit cơ bản

A - Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 1.
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
● Phương trình α k a kx + α k −1a (k −1) x + α k − 2a (k −2)x + ... + α1a x + α 0 = 0 , khi đó ta đặt t = a x , t > 0 .
1
● Phương trình α1a x + α 2 b x + α 3 = 0 , với a.b = 1 . Khi đó đặt t = a x , t > 0 ⇒ b x = , ta được
t
phương trình: α1t 2 + α 3 t + α 2 = 0 .

● Phương trình α1a 2x + α 2 (ab) x + α 3 b 2x = 0 . Chia hai vế cho a 2x hoặc b 2x ta được
2x

x

x

a
a
a
α1   + α 2   + α 3 = 0 , đặt t =   , t > 0 .
b
b
b


Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

Bài 1.

Giải các phương trình sau:
1) 4x +

x2 −2

− 5.2 x −1+

x2 −2

−6 = 0

2) 43+ 2cos x − 7.41+ cos x − 2 = 0
3)
Bài 2.

( 26 + 15 3 )

x

(

+2 7+4 3

)

x

(

−2 2− 3

)

x

=1

Giải các phương trình sau:

(2 − 3) + (2 + 3)
x

1)

x

= 14

2) 5.23 x −1 − 3.25−3x + 7 = 0

8

3)  23x − 3x
2


1 
  x
 − 6  2 − x −1  = 1
2 
 

4) 27 x + 12 x = 2.8x

PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT
1
● Nếu ñặt t = log a x, ( x > 0 ) thì log ak x = t k ; log x a = , 0 < x ≠ 1. .
t

● Nếu ñặt t = a logb x thì t = x logb a . Vì a logbc = clogba .
Bài 1.

Bài 2.

Giải các phương trình sau:

1) log 2 ( 4 x +1 + 4 ) .log 2 ( 4 x + 1) = 3

4) log x 3 + log 3 x = log

2) log 4 ( log 2 x ) + log 2 ( log 4 x ) = 2

5) log 2 ( x + 1) = log x +1 16

2
3) log x (125x ) .log 25
x =1

6)

( 2 − log3 x ) log9x 3 −

1) log 6.5x + 25.20 x = x + log 25

3)

log 2 x
log8 4x
=
log 4 2x log16 8x

2) log 22 x.log x (4x 2 ) = 12

4) log 2 x = log

3 + log 3 x +

x

1
2

4
=1
1 − log 3 x

Giải các phương trình sau:

(

)

3

(

x +2

)

B - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 2.
PHÖÔNG TRÌNH MUÕ
Phương pháp: Ý tưởng là sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban ñầu thành một
phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ só vẫn còn chứa ẩn x. Khi ñó thường ta ñược
một phương trình bậc 2 theo ẩn phụ có biệt số ∆ là một số chính phương.
Ví dụ :

Giải phương trình: 9x + 2 ( x − 2 ) 3x + 2x − 5 = 0 .
HD: ðặt t = 3x (*) , khi ñó ta có: t 2 + 2 ( x − 2 ) t + 2x − 5 = 0 ⇒ t = −1, t = 5 − 2x .

Thay vào (*) ta tìm ñược x.
Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi ∆ là số chính phương.


Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

(

)

Bài 1.

Giải phương trình: 9x + x 2 − 3 3x − 2x 2 + 2 = 0

Bài 2.

Giải phương trình: 42x + 23x +1 + 2x + 3 − 16 = 0

2

2

PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT
Ví dụ 2:

Giải phương trình: log 32 ( x + 1) + ( x − 5 ) log 3 ( x + 1) − 2x + 6 = 0
HD: ðặt t = log 3 ( x + 1) , ta có: t 2 + ( x − 5 ) t − 2x + 6 = 0 ⇒ t = 2, t = 3 − x . Suy ra

x = 8, x = 2.
Bài 1.

Giải phương trình: lg 2 ( x 2 + 1) + ( x 2 − 5 ) lg ( x 2 + 1) − 5x 2 = 0

Bài 2.

Giải các phương trình sau:

1) lg 2 x − lgxlog 2 ( 4x ) + 2log 2 x = 0
2) lg 4 x + lg 3 x − 2lg 2 x − 9lgx − 9 = 0
C - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 3.
PHÖÔNG TRÌNH MUÕ
Phương pháp: Lựa chọn ẩn phụ thích hợp rồi chuyển phương trình về hệ ñơn giản.

Bài 1.

Giải phương trình: 4x

2

+1

+ 21− x = 2(x +1) + 1

Bài 2.

Giải phương trình: 4x

2

−3x + 2

2

+ 4x

2

2

+ 6x + 5

= 42x

2

+3x + 7

+1

PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT
Sử dụng 2 ẩn phụ cho 2 biểu thức logarit trong phương trình và khéo léo biến ñổi phương
trình thành phương trình tích.

(

)

Bài 1.

Giải phương trình: log 2 x ( x − 1) + log 2 xlog 2 x 2 − x − 2 = 0

Bài 2.

Giải phương trình: log 22 x − log 2 x + log 3 x − log 2 xlog 3 x = 0

Bài 3.

Giải phương trình: 2 + 2

2

(

)

log 2 x

(

+x 2− 2

)

log 2 x

= 1 + x2

D - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 4. ðặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình.
PHÖÔNG TRÌNH MUÕ
Ví dụ :

Giải phương trình:
HD:

Viết

2x
18
= x −1 1− x
x −1
x
2 +1 2 + 2 2 + 2 + 2
8

+

phương trình

dưới

u = 2 x −1 + 1, v = 21− x + 1; u, v > 0 .

dạng

8
2

x −1

1
18
,
= x −1 1− x
+1 2 + 2 2 + 2 + 2
+

1− x

ñặt


Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

18
8 1
 + =
Nhận xét: u.v = u + v. Từ ñó ta có hệ:  u v u + v
u.v = u + v
Bài 1.

Giải phương trình: 22x − 2 x + 6 = 6

PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT

)

(

)

(

Bài 1.

Giải phương trình: log 2 x − x 2 − 1 + 3log 2 x + x 2 − 1 = 2

Bài 2.

Giải phương trình: 3 2 − lgx = 1 − lgx − 1

Bài 3.

Giải phương trình: 3 + log 2 x 2 − 4x + 5 + 2 5 − log 2 x 2 − 4x + 5 = 6

(

)

(

)

E - Phương pháp ñặt ẩn phụ dạng 5.
PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT
Sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban ñầu thành một hệ phương trình với một ẩn phụ và
một ẩn x. Ta thực hiện các bước:
+ ðặt ñiều kiện có nghĩa cho phương trình.
+ Biến ñổi phương trình về dạng: f(x; φ (x)) = 0.

 y = φ ( x)
.
+ ðặt y = φ (x) ñưa về hệ: 
 f ( x; y ) = 0
Chú ý: ðối với phương trình logarít có một dạng rất ñặc biệt, ñó là phương trình
dạng s ax +b = c.log s (dx + e) + α x + β . Với d = ac + α ; e = bc + β .
Cách giải:
-

0 < s ≠ 1
ðiều kiện có nghĩa của phương trình: 
 dx + e ≠ 0

-

ðặt ay + b = log s (dx + e) khi ñó phương trình ñã cho trở thành:

 s ax +b = c(ay + b) + α x + β
 s ax +b = acy + α x + bc + β
 s ax +b = acy + (d − ac) x + e(1)
⇔  ay +b
⇔  ay +b

= dx + e
= dx + e(2)
s
s
ay + b = log s (dx + e)
-

Lấy (1) trừ cho (2) ta ñược: s ax +b + acx = s ay +b + acy (3).

-

Xét hàm số f ( x) = s at +b + act là hàm số dơn ñiệu trên R. Từ (3) ta có f(x) = f(y) ⇔ x = y,

khi ñó (2) ⇔ s ax +b = dx + e (4) dùng phương pháp hàm số ñể xác ñịnh nghiệm phương trình (4).
Ví dụ:

Giải phương trình: 7 x −1 = 6log 7 ( 6x − 5 ) + 1
HD: ðặt y − 1 = log 7 ( 6x − 5 ) . Khi ñó chuyển thành hệ


Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH

x −1
x −1
7 = 6 ( y − 1) + 1
7 = 6y − 5
⇔
⇒ 7 x −1 + 6x = 7 y−1 + 6y .

 y −1
 y − 1 = log 7 ( 6x − 5 )
7 = 6x − 5

Xét hàm số f ( t ) = 7 t −1 + 6t suy ra x = y , Khi ñó 7 x −1 − 6x + 5 = 0 .
Xét hàm số g ( x ) = 7 x −1 − 6x + 5 . Nhẩm nghiệm ta ñược 2 nghiệm: x = 1, x = 2.

Bài 2.

Giải các phương trình sau:
1) log 22 x + log 2 x + 1 = 1
lgx + 1 = lg 2 x + 4lgx + 5

2)
Bài 3.

3log 2 x + 1 = 4log 22 x + 13log 2 x − 5

4)

3log 2 x + 1 = −4log 22 x + 13log 2 x − 5

Giải các phương trình sau:

lgx + 1 = lg 2 x + 4lgx + 5

1)

2) log 32 x + 2 = 3 3 3log 3 x − 2
Bài 4.

3)

3) 6 x = 3log 6 ( 5x − 1) + 2x + 1
4) x 3 + 1 = 3 3 2x − 1

Bài tập rèn luyện. Giải các phương trình sau:
1) 9x − 10.3x + 9 = 0
2) 4x − 6.2x + 8 = 0
2

2

3) 15.25x − 34.15x + 15.9 x = 0
2

2

2

(2 + 3) + (2 − 3)
x

4)

(
17) (
18) (
16)

x

=4

(

) (
) = 52
3) +( 2− 3) = 2
15 ) + ( 4 + 15 ) = 8
cosx

7+4 3
2+

4−

19) 7 + 3 5

+

7−4 3

x

x

x

x

x

) + (7 − 3 5 )
x

x

5) 5x −1 + 5.0, 2 x − 2 = 26

20) log x 3x .log 3 x + 1 = 0

6) 25x − 12.2x − 6, 25.0,16x = 0

21)

1
x

7) 64 − 2
8) 4x − 4

3+

3
x

x +1

= 3.2x +

23) log ( log x ) + log ( log x 3 − 2 ) = 0

x

24) log 3 ( 3x − 1) .log ( 3x +1 − 3) = 6

1 2x −1
.4
+ 21 = 13.4x −1
2
1
x

1
x

11) 6.9 − 13.6 + 6.4 = 0
3

25x − 3 9x + 3 15x = 0

13) 9sin x + 9cos x = 10

2

log 2 x
log8 4x
=
log 4 2x log16 8x

22) 1 + 2 log x + 2 5 = log 5 ( x + 2 )

1
x

12)

= 14.2 x

+ 12 = 0

9) 9x − 8.3x + 7 = 0
10)

cosx

2

25) log 2 ( 9 − 2 x ) = 3 − x
26) log 3 x + log x 3 =

5
2

27) 2x log 2 x + 2x −3log8 x − 5 = 0
28) 5log 2 x + 2.x log 2 5 = 15