Nghiên cứu một số ứng dụng của biến đổi laplace vào giải một số loại phương trình vi phân, tích phân

Mục lục

Mở đầu

4

1 Phép biến đổi Laplace

7

1.1

Định nghĩa phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2

Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Điều kiện hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4

Phép biến đổi Laplace ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4.1

Công thức Mellin

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4.2

Điều kiện đủ để tồn tại gốc . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.4.3

Tính tích phân Mellin

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.4.4

Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2 Các tính chất của phép biến đổi Laplace

22

2.0.5

Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace . . . . . . .

22

2.0.6

Tính chất tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.0.7

Tính chất đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.0.8

Các định lý dịch chuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.0.9

Hàm Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.0.10 Ảnh của hàm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.1

Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.2

Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.2.1

34

Định lý về tích phân gốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2.2.2
2.3

2.4

Định lý về tích phân ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Tính chập các hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.3.1

. . . . . . . . . .

37

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Các tính chất cơ bản của phép tính chập

Tích phân Duhamel

3 Ứng dụng phép biến đổi Laplace trong giải phương trình vi phân
và tích phân

42

3.1

Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.1.1

Phương pháp chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.1.2

Phương pháp chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.1.3

Phương trình vi phân tuyến tính cấp n với hệ số hằng

. . .

43

3.1.4

Phương trình vi phân với hệ số là đa thức . . . . . . . . . .

47

3.1.5

Giải phương trình vi phân tuyến tính bằng phương pháp tích
phân Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.1.6
3.2

Kết luận

53

Tài liệu tham khảo

53

2


Lời cảm ơn
Trong quá trình thực hiện nghiên cứu khoa học với đề tài: “Nghiên cứu một số
ứng dụng của biến đổi Laplace vào giải một số loại phương trình vi phân, tích phân.”
bên cạnh sự nỗ lực và cố gắng của nhóm, chúng tôi đã nhận được sự giúp đỡ, hướng
dẫn và chỉ bảo nhiệt tình của các thầy cô cùng với sự quan tâm, động viên từ phía
người thân, gia đình và bạn bè.
Để hoàn thành được đề tài này, trước tiên chúng tôi xin được gửi lời cảm ơn
chân thành và lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo, TS. Vũ Việt Hùng đã hướng
dẫn, chỉ bảo tận tình cho chúng tôi trong suốt quá trình hoàn thành nghiên cứu.
Bên cạnh đó, chúng tôi cũng xin gửi lời cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán –
Lý – Tin, thư viện trường Đại học Tây Bắc đã tận tình giảng dạy, cung cấp cho sinh
viên những hệ thống kiến thức bổ ích, chuyên sâu, tạo điều kiện và giúp đỡ chúng
tôi hoàn thành đề tài nghiên cứu. Cuối cùng, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn của
mình đến gia đình, bạn bè, đây là nguồn động lực lớn đối với chúng tôi, họ đã luôn
bên cạnh, động viên, quan tâm đến chúng tôi trong suốt thời gian thực hiện nghiên
cứu khoa học.
Đối với chúng tôi bản báo cáo là một thành quả đáng khích lệ cho sự cố gắng của
bản thân sau thời gian học tập và nghiên cứu. Nhưng vì thời gian và kinh nghiệm
còn hạn chế cho nên báo cáo này không tránh khỏi những thiếu sót nhất định, chúng
tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo, các bạn và
những người quan tâm đến đề tài này. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 5 năm 2018
Sinh viên thực hiện: Kiều Thúy Hoan
Kiều Thị Thanh Huyền
Vũ Thị Ngoan

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Biến đổi Laplace là một biến đổi tích phân quan trọng. Ứng dụng lớn nhất của
nó là để giải các phương trình vi phân, tích phân và các bài toán liên quan, chẳng
hạn bài toán giá trị biên và bài toán điều kiện đầu. Nguồn gốc của ứng dụng này
là ở chỗ biến đổi Lalace cho phép chuyển từ phép tính tích phân trên hàm sang các
phép tính đại số trên ảnh của hàm qua biến đổi Laplace. Các phép biến đổi như
vậy gọi chung là phép tính toán từ. Biến đổi Laplace được đặt theo tên của nhà
toán học và thiên văn học nổi tiếng người Pháp Pierre Simon Laplace (1749-1827).
Laplace nghiên cứu vấn đề này đầu tiên vào năm 1782. Tuy nhiên tính hữu dụng
của phương pháp này không được công nhận. Kỹ thuật thực tế để áp dụng biến đổi
Laplace rất hiệu quả như hiện nay được phát triển khoảng 100 năm sau bởi kỹ sư
điện người Anh là Oliver Heaviside (1850-1925). Vì vậy biến đổi Laplace cũng còn
được gọi là phép tính Heaviside. Việc tìm hiểu lí thuyết về Laplace và một số ứng
dụng của nó là một trong những đề tài có ý nghĩa cho sinh viên Như vậy có thể nói
việc trình bày chi tiết vấn đề liên quan đến biến đổi Laplace giúp cho sinh viên có
sự hiểu biết sâu sắc thêm cũng như định hướng, làm quen dần với những nội dung
kiến thức chuyên sâu cần thiết cho những nghiên cứu tiếp theo về vấn đề này.
Những vấn đề nêu ra trên đây chính là nội dung nghiên cứu của đề tài: Nghiên
cứu một số ứng dụng của biến đổi Laplace vào giải một số loại phương trình vi phân,
tích phân. Chúng tôi hy vọng rằng, việc trình bày các vấn đề nêu ra sẽ đóng góp
phần tìm hiểu những vấn đề cơ bản nhất về vấn đề nghiên cứu. Đề tài cũng mở ra
cơ hội học tập nghiên cứu đối với chúng tôi, những sinh viên ĐHSP Toán tại Khoa
Toán - Lý - Tin, Trường Đại học Tây Bắc.
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài
-Nghiên cứu về phép biến đổi Laplace và ứng dụng của nó trong việc giải phương

4

trình vi phân, tích phân. - Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân
- Đóng góp thêm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán trường đại học Tây
Bắc và tất cả những ai thích và quan tâm đến bộ môn giải tích
3. Đối tượng nghiên cứu
-Nghiên cứu về phép biến đổi Laplace và phương trình vi phân thường. -Ứng
dụng của phép biến đổi Laplace trong việc giải phương trình vi phân thường - Hệ
thống hóa một số kiến thức cơ bản về biến đổi Laplace và cách giải các phương
trình vi phân thường. Nghiên cứu sâu hơn về biến đổi Laplace, từ đó làm cơ sở hình
thành một số khái niệm và tính chất cơ bản trong giải tích.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng các phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong nghiên cứu toán học cơ
bản với công cụ và kỹ thuật truyền thống của lý thuyết chuyên ngành giải tích. Tổ chức seminar, trao đổi, thảo luận với giảng viên hướng dẫn và Bộ môn. Vì vậy
phương pháp nghiên cứu sử dụng chủ yếu là: - Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu,
phân tích, tổng hợp kiến thức và trình bày theo đề tài nghiên cứu.
5. Những đóng góp của đề tài
Đề tài là một hệ thống cơ bản ban đầu về biến đổi Laplace, qua đó bước đầu
nghiên cứu các biến đổi Laplace này cũng như phát triển hướng nghiên cứu tiếp
theo trong các chủ đề tương tự.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn sinh viên Khoa Toán - Lý
- Tin trong việc học tập và nghiên cứu. Từ đó góp phần nâng cao chất lượng học
tập của sinh viên trong Khoa nói chung.
7. Cấu trúc của đề tài
Từ mục đích và nhiệm vụ đặt ra bố cục của đề tài được sắp xếp như sau: Ngoài
phần mở đầu, kết luận, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung đề tài gồm
ba chương.

5

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Hệ thống cơ bản các nội dung kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu các vấn đề
cơ bản của biến đổi Laplace như: Định nghĩa, tính chất, điều kiện tồn tại của biến
đổi Laplace và một số phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược của các hàm ảnh
đã cho.
Chương 2. Các tính chất của phép biến đổi Laplace
Chương này dành cho trình bày một số vấn đề về tính chất cơ bản của phép biến
đổi Laplace, các định lý dịch chuyển, tích phân và định lý về tích phân ảnh.
Chương 3. Ứng dụng phép biến đổi Laplace trong giải phương trình vi
phân và tích phân
Để có thể sử dụng biến đổi Laplace cho mục đích chính trong việc giải phương
trình vi phân thường, chúng ta cần đến biến đổi Laplace đối với đạo hàm của một
hàm cho trước. Kết quả đó cũng được chúng tôi trình bày một số chi tiết trước khi
vận dụng nó vào mục đích chính của chương này cũng là mục đích của đề tài- sử
dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân, tích phân.
Cuối cùng, trong phần Kết luận và kiến nghị, chúng tôi điểm lại các kết quả
nghiên cứu chính trình bày trong đề tài, sau đó trong phần Kiến nghị chúng tôi
mạnh dạn nêu ra một vài ý tưởng nghiên cứu tiếp theo hướng phát triển của đề tài
này. Chúng tôi hy vọng sẽ nhận được nhiều sự quan tâm và chia sẻ của các thầy cô
và các bạn sinh viên giúp cho đề tài được hoàn thiện hơn.

6


Chương 1

Phép biến đổi Laplace
Các phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đạo hàm riêng mô
tả cách thức một đại lượng nhất định thay đổi theo thời gian, ví dụ như dòng điện
trong mạch điện, sự giao động của lớp màng đang rung,... Các phương trình này

thường đi kèm với các điều kiện mô tả trạng thái ban đầu của hệ. Một kĩ thuật rất
mạnh để giải các bài toán này là phép biến đổi Laplace, biến đổi phương trình vi
phân ban đầu thành biểu thức đại số sơ cấp. Biểu thức đại số này lại có thể được
biến đổi thành nghiệm của bài toán ban đầu. Kỹ thuật này được gọi là "phép biến
đổi Laplace". Chương này xây dựng cơ sở lý thuyết và các tính chất cơ bản của
phép biến đổi Laplace.

1.1

Định nghĩa phép biến đổi Laplace

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử rằng f là một hàm nhận giá trị thực hoặc phức của biến
(thời gian) t > 0 và s là một tham số thực hoặc phức. Biến đổi Laplace của hàm f
là

∞

∞
−st

F (s) = L(f (t)) =

e

e−st f (t)dt

f (t)dt = lim

τ →∞

0

(1.1)

0

nếu giới hạn này tồn tại (là một số hữu hạn). Khi đó, tích phân (1.1) được gọi gọi
là hội tụ. Nếu giới hạn này không tồn tại, tích phân được gọi là phân kỳ và f không
có biến đổi Laplace. Ký hiệu L(f ) được gọi là biến đổi Laplace của f và tích phân
này là tích phân Riemann thông thường. Tham số s thuộc miền xác định nào đó
trên đường thẳng thực hoặc trong mặt phẳng phức. Ta sẽ chọn s thích hợp để đảm
7


bảo tính hội tụ của tích phân (1.1). Về mặt toán học và kỹ thuật, miền xác định
của s khá quan trọng. Tuy nhiên về mặt thực hành, khi giải các phương trình vi
phân, miền xác định của s. Thường bị bỏ qua. Khi s là số phức, ta sử dụng ký hiệu

s = x + iy . Ký hiệu ι là biến đổi Laplace tác động lên hàm f = f (t) và sinh ra
một hàm mới ,F (s) = L (f (t)) .
Ví dụ 1.1.2. Nếu f (t) ≡ 1 với t ≥ 0, thì
∞

e(−st) 1dt =

L (f (t)) =
0

1
s

với điều kiện là s > 0 (nếu s là số thực). Do đó ta có

L(1) =

1
(s > 0)
s

Nếu s ≤ 0 thì tích phân sẽ phân kỳ và sẽ không có biến đổi Laplace của hàm này.
Nếu ta lấy s là một biến phức, tính toán tương tự với

(s) > 0, ta cũng được

1
L(1) = .
s
Ví dụ 1.1.3. Tính L eiωt , L e−iωt . Giải Ta có
∞

e(iω−s)t τ
1
|0 =
,
τ →∞ iω − s
s − iω

e−st eiωt dt = lim

L eiωt =

0

do lim eiωτ e−st = lim e−xτ = 0, với điều kiện x =
τ →∞

τ →∞

Tương tự, L e−iωt =

1.2

(s) > 0.

1
.
s + iω

Sự hội tụ

Mặc dù toán tử Laplace có thể được áp dụng cho rất nhiều hàm nhưng có nhưng
hàm tích phân (1.1) không hội tụ.
2

Ví dụ 1.2.1. Đối với hàm f (t) = et ,
τ
2

2

e−st et dt = lim et e−st dt = ∞

lim

τ →∞

τ →∞

0

với mọi s, vì miền lấy tích phân tăng vô hạn khi τ → ∞. Hai kiểu hội tụ của
tích phân Laplace.
8


a.Hội tụ tuyệt đối
Tích phân (1.1) được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu
τ

e−st f (t) dt

lim

τ →∞
0

tồn tại. Nếu L (f (t)) hội tụ tuyệt đối thì
τ

τ

e

−st

e−st f (t) dt → 0

f (t)dt ≤
τ

τ

khi τ → ∞, với τ > τ Điều này suy ra rằng L (f (t)) hội tụ. b.Hội tụ đều Tích
phân (1.1) được gọi là hội tụ đều với s thuộc miền xác định Ω ⊂ C với bất kỳ

ε > 0,tồn tại số τ0 > 0 sao cho nếu τ > τ0 , thì
∞

e−st f (t)dt < ε
τ

với mọi s ∈ Ω.

1.3

Điều kiện hội tụ

Chúng ta có thể tính biến đổi Laplace cho một số hàm, nhưng cũng có hàm
2

không có biến đổi Laplace, ví dụ như hàm et . Ta sẽ xây dựng một lớp các hàm có

biến đổi Laplace.
Định nghĩa 1.3.1. Điểm t0 được gọi là điểm gián đoạn loại 1 của hàmf nếu hai
giới hạn

lim− f (t) = f (t−
0) v

t→t0

lim+ f (t) = f (t+
0)

t→t0

+
tồn tại ( là các số hữu hạn ) và f (t−
0 ) = f (t0 ).

1
không liên tuc tại t = 3, nhưng t = 3 cũng không
t−3
phải là điểm gián đoạn loại 1 vì lim f (t)v lim f (t) đều không tồn tại
−
+

Ví dụ 1.3.2. Hàm f (t) =

t→3

t→3

9


Ví dụ 1.3.3. Hàm

f (t) =

 2
t


−

e 2

nếu t > 0




0

nếu

t<0

có điểm gián đoạn loại 1 tại t = 0 và liên tục hầu hết khắp nơi.
Ví dụ 1.3.4. Hàm




cos 1 nếu t > 0
t
f (t) =


0
nếu t < 0
gián đoạn tại điểm t = 0, nhưng lim f (t) không tồn tại, vì vậy t = 0 không phải
t→0+

là điểm gián đoạn loại 1 của hàm f .
Định nghĩa 1.3.5. Hàmf được gọi là liên tục từng mảnh trên [0, ∞) nếu:
(i) lim f (t) = f (0+ ) tồn tại;
t→0+

(2i) f liên tục trên mỗi khoảng hữu hạn (0, b), có thể trừ ra một số hữu hạn các
điểm τ1 , τ2 , ..., τn trong (0, b) là các điểm gián đoạn loại 1 của hàm f .
Một kết quả quan trọng của tính liên tục từng mảnh là trên mỗi khoảng còn
hàm f cũng bị chặn, tức là

|f (t)|

Mi , τi < t < τi+1 , i = 1, 2, ..., n − 1,

với các hằng số Mi = hữu hạn.
Để tính tích phân hàm liên tục từng mảnh từ 0 đến b, người ta có thể lấy tích
phân trên mỗi khoảng trên mỗi khoảng con và lấy tổng của các tích phân này, tức

là

b

τ1

f (t)dt =
0

τ2

f (t)dt +
0

b

f (t)dt + ... +
τ1

f (t)dt,
τn

vì f vừa liên tục và bị chặn trên mỗi khoảng con nên trên mỗi khoảng con đó đều
xác định tích phân Riemann. Đặc điểm thứ hai của các hàm có biến đổi Laplace mà
chúng ta cần xem xét đó là tốc độ tăng của hàm. Trong định nghĩa
∞

e−st f (t)dt,

L (f (t)) =

0

10


khi ta lấy s > 0 (hoc (s) > 0) thì tích phân sẽ hội tụ miễn là f không tăng quá
nhanh.
Định nghĩa 1.3.6. Hàm f được goi là có bậc mũ α nếu tồn tại hằng số M > 0 và
số α sao cho với s t0

0,
M eαt , t

|f (t)|

t0 .

Rõ ràng hàm mũ eαt có bậc mũ α = a, trong khi đó tn có bậc mũ α với α > 0
và n ∈ N bất kỳ. Các hàm bị chặn như sint, cost, ... có bậc mũ 0, còn e−t có
bậc mũ -1 (xem [1]). Chú ý rằng nếu β > α thì từ bậc mũ α suy ra bậc mũ

β , vì eαt
|f (t)|

eβt , t

0. Ta thường coi bậc mũ là giá trị nhỏ nhất của α mà

M eαt , M > 0, t

t0

0.

Định lý 1.3.7. 1. Nếu f liên tục từng mảnh trên [0, ∞)và có bậc mũ α, thì biến
đổi Laplace L(f ) tồn tại và hội tụ tuyệt đối với

(s) > α.

2. F (s) = L (f (t)) là hàm chỉnh hình trong nửa mặt phẳng phải

(s) > α,

trong đó α là bậc mũ của hàm f .
Chứng minh. 1. Trước tiên, do f có bậc mũ α nên

|f (t)| ≤ M1 eαt , t ≥ t0
với số thực α nào đó. Mặt khác, f liên tục từng mảnh trên [0, t0 ] và do đó bị chặn
trên đó, tức là

|f 9t)| ≤ M2 , 0 < t < t0 .
Vì eαt có giá trị nhỏ nhất dương trên khoảng [0, t0 ] , hằng số M có thể được chọn
đủ lớn sao cho

|f (t)| ≤ M eαt , t > 0.
Do đó,
τ

τ

e
0

−st

f (t) dt ≤ M

e

−(x−α)t

0

11

M e−(x−α)τ
M
−
.
dt =
x−α
x−α


Cho τ → ∞ và chú ý rằng

(s) = x > α ta được
∞

e−st f (t) dt ≤=

M
x−α

0

Do đó tích phân Laplace hội tụ tuyệt đối ( và do đó hội tụ ) với

(s) > α. 2. Ta ký

(s) > α là πα . Để chứng minh F (s) là hàm chỉnh hình trong

hiệu nửa mặt phẳng

nửa mặt phẳng πα ( hay F (s) = H (πα )), ta cần chứng minh rằng hàm F (s) có
đạo hàm tại điểm bất kỳ của πα . Ta lấy điểm tùy ý s = x + iy ∈ πα , (s) = x > α
và xét tỷ số

∆F (s)
. Ta có
∆s
∞

∆F (s)
F (s + ∆s)
=
F (s)∆s =
∆s
−

e−(s+∆s)t − e−st
f (t)
dt =
∆s

0

trong đó

e−∆st − 1
f (t)e−st
dt =
∆s

0

∞

∞

f
0

∆s.t2
t
−
+ ... dt
2!
3!

tf (t)e−st

δ = ∆s

∞

0

Ta cần chứng minh rằng δ → 0 khi ∆s → 0. Thật vậy, ta có
∞

tf (t)e−st

|δ| = |∆s|

t
∆s.t2
−
+ ... dt
2!
3!

0

∞

t|f (t)|e−st

≤ |∆s|

∆s.t2
t
−
+ ... dt <
2!
3!

0

M e(α+ε)t với α là bậc mũ của f , còn ε > 0

trong đó ta sử dụng ước lượng |f (t)|

là số bé tùy ý. Bằng phép tích phân từng phần ta có thể chứng minh rằng tích phân
∞

e−βt t2 dt
0

hội tụ và bằng

2
nếu β > 0. Do đó khi
β3
x − α − ε − |∆s| > 0 ⇔

thì

(s) = a > α + ε + |∆s|

∞

t2 e−(x−α−ε−|∆s|)t dt =
0

Như vậy
12

2
.
(x − α − ε − |∆s|)3


δ<

2M |∆s|
(x − α − ε − |∆s|)3

và do đó δ → 0 khi ∆s → 0 và từ (??) thu được
∞

∆F (s)
lim
=−
∆→0 ∆s

tf (t)e−st dt
0

hay là

∞

tf (t)e−st dt

F (s) = −
0

Do vậy hàm F (s) có đạo hàm tại điểm s bất kỳ của nửa mặt phẳng

(s) >

α+ε+|∆s| cũng tức là trong nửa mặt phẳng (s) > α+ε ( vì ∆s có thể lấy bé tùy
ý ). Vì ε > 0 bé tùy ý nên kết luận đúng trong nửa mặt phẳng πα :

(s) > α.

Ví dụ 1.3.8. Cho f (t) = eat , a là số thực. Hàm này liên tục trên [0, ∞) và có bậc
mũ là a. Khi đó
∞

e−st eat dt =

L(eat ) =

e−(s−a)t
1
=
( (s) > a) .
−(s − a)

s−a

0

(s) > (a).

Kết quả trên cũng đúng với a là số phức và

Ví dụ 1.3.9. Áp dụng tích phân từng phần đối với hàm f (t) = t(t

0), hàm này

liên tục và có bậc mũ , ta được
∞

L(t) =

te

−st

−te−st 1
dt =
+
s
s

1
1
e−st dt = L(1) = 2 .

s
s
0

0

với điều kiện là

∞

(s) > 0. Thực hiện tích phân từng phần hai lần, ta được
L(t2 ) =

2
( (s) > 0) .
s3

Bằng quy nạp, ta có thể tính được

L(tn ) =
với n = 1,2,3,. . .
13

n!
sn+1


Định nghĩa 1.3.10. Lớp L là tập tất cả các hàm nhận giá trị thực hoặc phức mà
xác định trên khoảng mở (0, ∞) và biến đổi Laplace của mỗi hàm ( được định nghĩa
theo nghĩa của tích phân Riemann ) tồn tại với giá trị nào đó của s. Như vậy, nếu

hàm f thuộc lớp L thì:

• f (t) ≡ 0 nếu t < 0
• Khi t

0, trên mọi đoạn thẳng hữu hạn của trục t, hàm f liên tục từng mảnh

và lim = f (0+ );
t→0+

• Hàm f có bậc mũ α
∞

. Khi đó, ta gọi hàm f (t) là hàm gốc và hàm F (s) = L (f (t)) =

e−st f (t)dt là

0

hàm ảnh.
Ta đã biết rằng nếu F (s) = L (f (t)) tồn tại với giá trị s0 nào đó, thì F (s) cũng
tồn tại với mọi s mà

(s) > (s0 ), tức là biến đổi Laplace cũng tồn tại trong nửa

mặt phẳng phải. Theo định lý (??), các hàm liên tục từng mảnh trên [0, ∞) và có
bậc mũ thì thuộc lớp L. Tuy nhiên, điều ngược lại chưa chắc đã đúng.
2

2

Ví dụ 1.3.11. Xét hàm f (t) = 2tet cos(et ). Hàm này liên tục trên n [0, ∞)
nhưng không có bậc mũ. Tuy nhiên, biến đổi Laplace của f (t),
∞
2

2

e−st 2tet cos(et )dt,

L (f (t)) =
0

tồn tại do tích phân từng phần thu được
∞
2

2

L (f (t)) = e−st sin(et )+s

2

e−st sin(et )dt = − sin(1)+sL(sin(et )) ( (s) > 0)
0
2

và biến đổi Laplace L(sin(et )) tồn tại theo định lý (??). Ta có một hàm liên tục,
không có bậc mũ nhưng vẫn có biến đổi Laplace.
Định lý 1.3.12. ( Điều kiện cần ). Nếu f liên tục từng mảnh trên [0, ∞) và có

bậc mũ α, thì

F (s) = L (f (t)) → 0
14


(s) → ∞.

khi

Chứng minh. Theo ??) ta có
∞

e−st f (t)dt ≤

M
,
x−α

( (s) = x > α),

0

cho x → ∞ thu được điều cần chứng minh.
Nhận xét Ta thấy nếu biến đổi Laplace tồn tại, tức là f ∈ L, thì F (s) → 0

(s) → ∞. Ngược lại, mọi hàm F (s) mà F (s)
0 khi (s) → ∞, ví dụ
s
s−1 e

như
, , hoặc s2 không thể là biến đổi Laplace của bất kỳ hàm f nào. Hội
s+1 s
tụ đều. Các hàm f mà liên tục từng mảnh trên [0, ∞) và có bậc mũ thì tích phân
khi

Laplace hội tụ đều. Thật vậy, giả sử rằng

|f (t)| ≤ M eαt ,

t ≥ t0 .

Khi đó
∞

∞

e

−st

f (t)dt ≤

t0

∞

e

−xt

|f (t)| dt ≤ M

t0

với điều kiện là x =

−(x−α)t

e

M e−(x−α)t0
,
dt =
x−α

t0

(s) > α. Lây x ≥ x0 > α, ta suy ra
M e−(x−α)t0
M
≤
e−(x−α)t0 .
x−α
x0 − α

Bằng cách chọn t0 đủ lớn, ta có thể làm cho vế phải của (??) nhỏ tùy ý; tức là, với
bất kỳ ε > 0, tồn tại T > 0 sao cho
∞

e−st f (t)dt < ε,

vi t0 ≥ T.

t0

với mọi s mà

(S) ≥ x0 > α. Đây chính là điều kiện cần để tích phân Laplace hội

tụ đều trong miền

1.4

(S) ≥ x0 > α.

Phép biến đổi Laplace ngược

Để ứng dụng biến đổi Laplace vào các bài toán vật lý, ta cần phải nghiên cứu
biến đổi Laplace ngược. Nếu L(F (t)) = F (s) thì phép biến đổi Laplace ngược được
15


ký hiệu bởi

L−1 (F (s)) = f (t),

t ≥ 0,

mà ánh xạ ảnh Laplace của một hàm trở về hàm ban đầu.

1.4.1

Công thức Mellin

Định lý 1.4.1. MellinGỉa sử hàm chỉnh hình F (s) trong miền

(s) ≥ α0 là ảnh

của hàm f (t) trơn từng khúc trên mỗi đoạn hữu hạn của tia [0, ∞) với bậc mũ α0 .
Khi đó tại các điểm liên tục của hàm f (t) ta có
x+i∞

1
f (t) =
2πi

est F (s)ds,

x > α0 .

(1.2)

x−i∞

Công thức (1.2) được gọi là công thức Mellin.
Chứng minh. Gỉa sử x > α0 . Ta xét hàm bổ trợ

φ(t) = e−xt f (t).
Hàm φ(t) có các tính chất sau đây: 1. Hàm φ(t) trơn từng khúc trên mỗi đoạn hữu
hạn của tia [0, ∞) . 2. Hàm φ(t) khả tích tuyệt đối. Thật vậy, ta có

0

0

e−(x−α0 −ε)t dt.

e−xt e(α0 +ε)t dt = M

|e−xt f (t)|dt ≤ M

|φ(t)|dt =

∞

∞

∞

∞

0

0

Chịn ε > 0 đủ bé sao cho x − α0 − ε > 0. Khi đó tích phân ở vế phải của (??) hội
tụ. Điều này có nghĩa là hàm φ(t) khả tích tuyệt đối trên [0, ∞) . Từ hai điều kiện
vừa chứng minh suy ra hàm φ(t) thỏa mãn mọi điều kiện để biểu diễn hàm thành
tích phân Fourier.
∞

∞

φ(t) =

∞ ∞

φ(u)e

i2πv(t−u)

1
dudv(ξ = 2πv) =
2π

−∞ −∞

φ(u)eiξ(t−u) dudξ.
−∞ 0

( vì φ(ξ) khi ξ < 0 ). Thay biểu thức φ(t) = e−xt f (t) vào (??) ta có
∞

1
e−xt f (t) =
2π

∞

f (u)e−xu e−iξu du,

eiξt dξ
−∞

0

16


hay

∞

1
f (t) =
2π

∞

f (u)e−u(x+iξ) du.

et(x+iξ) dξ
−∞

0

Đặt s = x + iξ, ds = idξ ta thu được
∞

x+i∞

1
f (t) =
2πi

x+i∞

1
f (u)e−su du =
2πi

est ds
0

x−i∞

est F (s)ds
x−i∞

Như vậy, với nghĩa nào đó công thức Mellin là phép biến đổi Laplace ngược vì nó
biểu diễn gốc qua ảnh đã cho.
1.4.2

Điều kiện đủ để tồn tại gốc

Công thức Mellin (1.2) cho phép ta tìm gốc của một hàm ảnh bất kỳ cho trước.
Nhưng đối với hàm chỉnh hình bất kỳ đã cho F (s), ta không thể nào biết trước nó
có phải là hàm ảnh của một hàm nào đó hay không?
Định lý sau về điều kiện đủ để hàm biến phức F (s) là ảnh gốc f (t) nào đó.
Định lý 1.4.2. ( Điều kiện đủ để tồn tại gốc ). Giả sử hàm F (s) thỏa mãn các

điều kiện
i. Hàm F (s) chỉnh hình trong nửa mặt phẳng
ii. Trong miền

(s) > α0 ;

(s) ≥ x > α0 , hàm F (s) dần đều đến 0 đối với arg s ∈

−π π
,
khi |s| → ∞;
2 2
iii.Với mọi giá trị (s) = x, x > α0 tích phân suy rộng sau đây hội tụ
∞

|F (x + iy)|dy ≤ M
−∞

Khi đó với

(s) > α0 hàm F (s) là ảnh và hàm gốc của nó được xác định bởi tích

phân Mellin
x+i∞

1
f (t) =
2πi

est F (s)ds,

x−i∞

Công thức (??) được gọi là công thức nghịch đảo.

17

x > α0 .


Định lý 1.4.3. (Định lý duy nhất). Nếu hàm F (s) là ảnh của các gốc f (t) và f1 (t)
thì các gốc này bằng nhau tại mọi điểm mà chúng liên tục và chúng chỉ sai khác
nhau bởi các giá trị của chúng tại các điểm gián đoạn.
Chứng minh. Theo định lý Mellin, giá trị của gốc tại điểm t bất kỳ mà tại đó hàm

f (t) liên tục được biểu diễn qua ảnh F (s) nhờ công thức Mellin. Gỉa sử f1 (t) là
gốc chỉ khác f (t) bởi các giá trị tại điểm gián đoạn của f (t). Khi đó theo định lý
Mellin, gốc f1 (t) có ảnh F (s). Từ đó suy ra rằng mỗi ảnh F (s) đều tương ứng vơi
vô số gốc phân biệt nhau chỉ bởi giá trị tại các điểm gián đoạn.
Tức là nếu ta chỉ xét các hàm liên tục trên [0, ∞) thì biến đổi Laplace ngược

L−1 (F (s)) = f (t)
được xác định một cách duy nhất. Vì rất nhiều hàm mà chúng ta quan tâm là
nghiệm của các phương trình vi phân và do đó liên tục, giả thiết trên hoàn toàn
được xác định.
1.4.3

Tính tích phân Mellin

Trước hết, ta nhắc lại Định lý cơ bản Cauchy về thặng dư và Bổ đề Jordan.
Định lý 1.4.4 ( Định lý cơ bản Cauchy về thặng dư ). Gỉa sử hàm f (z) chỉnh

hình trong miền D ∪ ∂D ⊂ C và trừ ra một số hữu hạn điểm bất thường cô lập

a1 , a2 , ..., an nằm trong D ( nhưng không nằm trên ∂D ). Khi đó
n

f (z)dz = 2πi
∂D

Res[f ; ak ]
k=1

Bổ đề 1.4.4. ( Bổ đề Jordan ). Gỉa sử hàm f (z) chỉnh hình trong mặt phẳng phức
trừ ra một số hữu hạn điểm bất thường cô lập và dần đều đến 0 đối với arg z khi

|z| → ∞. Khi đó 1. Nếu λ < 0 và γ1 (R) là cung tròn {z : |z| = R, (z) > δ}
trong nửa mặt phẳng bên phải

(z) > δ thì



lim 

R→∞




f (z)eλz dz  = 0

γ1 (R)

18


2. Nếu λ > 0 và γ2 (R) là cung tròn {z : |z| = R, (z) < δ} trong nửa mặt phẳng
bên trái

(z) < δ thì




f (z)eλz dz  = 0


lim 

R→∞

γ2 (R)

Định lý 1.4.5. Gỉa sử hàm F (s) biến phức s thỏa mãn các điều kiện sau: 1. Hàm

F (s) được cho trong nửa mặt phẳng

(s) = x > α0 và thỏa mãn các điều kiện i-iii

của Dịnh lý (??)là có thể thác triển giải tích ra toàn mặt phẳng phức s. 2. Thác
triển giải tích của hàm F (s) vào nửa mặt phẳng

(s) ≤ α0 là thỏa mãn các điều

kiện của Bổ đề Jordan. Khi đó ta có công thức
x+i∞

1
2πi

n
st

Res[F (s)est ; ak ]

F (s)e ds =
k=1

x−i∞

trong đó t > 0 và s = ak , k = 1,. . . ,n là những điểm bất thường cô lập của thác
triển giải tích của hàm F (s) vào nửa mặt phẳng

(s) ≤ α0 .

Chứng minh. Ta dựng đường tròn với tâm tại điểm (x, 0) và bán kính R sao cho
mọi điểm bất thường cô lập a1 , a2 , . . . , an của hàm đã được thác triển giải tích
vào nửa mặt phẳng

(s) ≤ α0 là nằm trong nửa hình tròn bên trái đương thẳng

(s) = x. Ta ký hiệu
γ(R) = s ∈ C : |s − x| = R,
I(R) = [x − iR, x + iR],
Γ(R) = γ(R) ∪ I(R).
Theo định lý Cauchy về thặng dư ta có
x+iR

n
st

st

F (s)e dt +
x−iR

Res[F (s)est ; ak ].

F (s)e ds = 2πi
k=1

γ(R)

Băng cách áp dụng bổ đề Jordan, khi t > 0 ta thu được

lim

R→∞
γ(R)

F (s)est ds = 0

19


. Qua giới hạn đẳng thức (??) khi R → ∞ và từ (??) ta thu được (??). Định lý
được chứng minh. Chú ý rằng L−1 tuyến tính, tức là

L−1 (aF (s) + bG(s)) = af (t) + bg(t)
nếu L(f (t)) = F (s), L(g(t)) = G(s). Điều này suy ra từ tính chất tuyến tính của

L và đúng trong miền xác định chung của F và G.
1.4.4

Một số ví dụ

1
. Giải Ta có, khi t > 0
s2 + 1

Ví dụ 1.4.6. Tìm hàm gốc f (t) của hàm F (s) =
thì

f (t) = Res
Vậy L−1

s2

1
+1

est
est
,
i
, −i
+
Res
s2 + 1
s2 + 1

=

eit e−it
+
= sin t.
2i −2i

= sin t.

1
. Giải F (s) chỉnh
− 1)
hình trong mọi nửa mặt phẳng (s) > 1 và F (s) → 0 khi s → ∞. Đặt s = x + iσ ,
Ví dụ 1.4.7. Tìm hàm gốc f (t) của hàm F (s) =

s2 (s2

tích phân

1

dσ
s2 (s2 − 1)
R

hội tụ, x > 1. Hàm F (s) có các cực điểm là a1 = −1, a2 = 0va3 = 1. Ta dựng
đường tròn với tâm tại điểm (x, 0), x > 1 bán kính R đủ lớn sao cho các điểm

a1 , a2 va3 nằm trong Γ(R) = γ(R) ∪ I(R); I(R) = [x − iR, x + iR]. Theo Định
lý Cauchy về thặng dư ta có
3
st

st

e F (s)ds +
γ(R)

Res[est F (s), ak ].

e F (s)ds = 2πi
k=1

I(R)

Theo Bổ đề Jordan

lim

R→∞
γ(R)

est F (s)ds = 0

20


và khi R → ∞ thì
x+iR

lim

R→∞
I(R)

est F (s)ds = lim

R→∞
x−iR

x+i∞

est F (s)ds =

est F (s)ds = 2πif (t).
x−i∞

Từ (1.4.8) và (1.4.9) suy ra
x+i∞

1

f (t) =
2πi

3
st

Res[est F (s), ak ].

e F (s)ds =
k=1

x−i∞

Ta tính được

Res[est F (s), 0] = −t
e±t
Res[e F (s), ±1] =
±2
st

Từ (1.4.10) và (1.4.11) thu được

et e−t
= −t + sinht.
f (t) = −t + −
2
2

21

Chương 2

Các tính chất của phép biến đổi
Laplace
Có rất nhiều bài toán khác nhau bao gồm chương trình vi phân thường, phương
trình vi phân đạo hàm riêng, phương trình vi tích phân có thể giải được nhờ phép
biến đổi Laplace. Trong chương này ta sẽ nghiên cứu hàm Gamma; hàm tuần hoàn;
đạo hàm, tích phân của hàm ảnh và hàm gốc; cũng như phép tích chập.
2.0.5

Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace

2.0.6

Tính chất tuyến tính

Nếu L(fi (t)) = Fi (s), (s) > αi , i = 1, 2, ..., n trong đó αi là bậc mũ của hàm

fi (t), i = 1, ..., n và ci là những hằng số ( thực hoặc phức ) thì
n

L

n

ci fi (t)

=

i=1

ci Fi (s) = F (s),
i=1

(s) > max αi
1≤i≤n

Chứng minh. Ta có
∞

n

L

ci fi (t)
i=1

n

=

ci fi (t) e
0

∞

n
−st

i=1

dt =

ci
i=1

Nếu tích phân fi (i)e−st dt hội tụ trong nửa mặt phẳng
∞

n

ci fi (t) e−st dt
0

i=1

22

n

fi (t)e
0

−st

d=

ci Fi (s).

i=1

(s) > αi thì tích phân


hội tụ trong nửa mặt phẳng

(s) > max αi .Từ đó suy ra rằng hệ thức(??) thỏa
1≤i≤n

mãn khi

(s) > max αi .
1≤i≤n

Ví dụ 2.0.8. Tính L(cos ωt), L(sin ωt). Giải Ta có

L(cos ωt) =

L(eiωt ) + L(e−iωt
1
=
2
2

1
1
+
s − iω s + iω

=

s2

s
+ ω2

và

L(sin ωt) =

L(eiωt ) − L(e−iωt )
1
=
2i
2i

1
1
−
s − iω s + iω

=

ω
, ( (s) > 0).
s2 + ω 2

Ví dụ 2.0.9. Xét hàm cosin hyperbolic có

1
1
eωt + e−ωt
= [L(eωt )+L(e−ωt )] =
L(cosh ωt) = L(
2
2
2

1
1
+
s−ω s+ω

=

s2

s
− ω2

Tương tự

eωt − e−ωt
2

L(sinh ωt) = L

=

ω
.
s2 − ω 2

Ví dụ 2.0.10. Nếu f (t) = a0 + a1 t + ... + an tn là một đa thức bậc n, khi đó
n

n
k

L (f (t)) =

ak L(t ) =
k=0

k=0

ak k!
sk+1

∞

an tn , nói chung không thể thu được biến đổi

. Nhưng đối với chuỗi vô hạn,
n=0

Laplace của chuỗi bằng cách lấy biến đổi Laplace của từng số hạng.
Ví dụ 2.0.11.
∞

f (t) = e

−t2

=
n=0

(−1)n t2n
, −∞ < t < ∞.
n!

Lấy biến đổi Laplace từng số hạng ta thu được
∞

n=0

(−1)n
L(t2n ) =
n!

∞

n=0

(−1)n (2n)!
1
. 2n+1 =
n! s
s

23

∞

n=0

(−1)n (2n)...(n + 2)(n + 1)
s2n


Mà

lim

n−→∞

2.(2n + 1)
un+1
= lim
=∞
n−→∞
un
|s|2
2

2

và chuỗi đãcho phân kỳ tại mọi s. Tuy nhiên,L(e−t ) tồn tại vì e−t liên tục và bị
chặn trên [0, ∞). Vì vậy khi nào ta có thể thu được biến đổi Laplace của chuỗi vô

hạn bằng cách lấy biến đổi từng số hạng?
Định lý 2.0.12. Nếu
∞

an tn

f (t) =
n=0

hội tụ với t ≥ 0,với

Kαn
|an | ≤
,
n!
với mọi n đủ lớn và α > 0, K > 0,khi đó
∞

∞
n

an L(t ) =

L(f (t)) =

n=0

n=0

2.0.7

Tính chất đồng dạng

Nếu L(f (t)) = F (s) với

(s) > α0 thì
L(f (αt)) =

với

an n!
( (s) > α).
sn+1

1 s
F( )
α α

(s) > α.α0 , trong đó α là số dương bất kỳ.

Chứng minh. Đối với hàm f (αt) ta có
∞

e−st f (αt)dt.

L(f (αt)) =
0

Mặt khác, khi α > 0 thì hàm f (αt)là hàm gốc có bậc mũ αα0 .Đổi biến, đặt

u = αt ⇒ dt =

du
ta có
α

1
L(f (αt)) =
α

∞

−s

e α u f (u)du =
0

24

1 s
F ( ), ( (s) > αα0 ).
α α


Ví dụ 2.0.13. Tìm ảnh của các hàm cos2 αt, sin2 αt, sin αt cos βt. Giải
1.

1 + cos 2αt
1 1
s

s2 + 2α2
f (t) = cos αt =
⇒ L(f (t)) =
+
]=
.
2
2 s s2 + 4.α2
s(s2 + 4α2 )
2

2.

f (t) = sin2 αt =

1 − cos 2αt
1 1
s
2α2
⇒ L(f (t))
− 2
]
=
2
2 s s + 4.α2
s(s2 + 4α2 )

3.

1

f (t) = sin αt cos βt = [sin(α − β)t + sin(α + β)t]
2
1
α−β
α+β
α(s2 + α2 − β 2 )
⇒ L(f (t)) =
+
= 2
].
2 s2 + (α − β)2 s2 + (α + β)2
[s + (α − β)2 ][s2 + (α + β)2
2.0.8

Các định lý dịch chuyển

Định lý 2.0.14. (Định lý dịch chuyển thứ nhất) Nếu F (s) = L(f (t)) với

(s) > α0 )., thì
F (s − a) = L(eat f (t)), (a ∈ C, (s − a) > α0 ).
(tức là phép tịnh tiến ảnh của vectơ a sẽ tương ứng với phép nhân gốc một đại lượng

eat ).
Chứng minh. ới

(s) > α,
∞

F (s − a) =

∞

e

−(s−a)t

e−st eat f (t)dt = L(eat f (t))

f (t)dt =

0

0

Định lý vừa chứng minh còn được gọi là định lý tắt dần, thường được sử dụng để
nghiên cứu các hiện tượng vật lý gắn liền với dao động tắt dần ( trong trường hợp
này biến độc lập t được hiểu là thời gian ).
Ví dụ 2.0.15. vì L(t) =

L(tn eat ) =

1
1
at
(
(s)
>
0)
nên
L(te

)
=
và nói chung
s2
(s − a)2

n!
, n = 0, 1, 2, ..., ( (s) > α). Từ đây ta có một nghịch đảo
(s − a)n+1

rất hay sử dụng

L−1

1
(s − a)n+1

=
25

1 n at
t e , t ≥ 0.
n!