Phương trình đa thức trên trường các hàm hữu tỷ và ứng dụng ( Luận án tiến sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ NGỌC DIỆP

PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC
TRÊN TRƯỜNG CÁC HÀM HỮU TỶ
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ NGỌC DIỆP

PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC
TRÊN TRƯỜNG CÁC HÀM HỮU TỶ
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 62 46 01 04

TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. PGS. TS. TẠ THỊ HOÀI AN
2. GS. TSKH. HÀ HUY KHOÁI

Nghệ An - 2014


i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết
quả được trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực, được đồng tác
giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công
trình nào khác.

Tác giả

Nguyễn Thị Ngọc Diệp


ii

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng
dẫn của PGS. TS. Tạ Thị Hoài An và GS. TSKH. Hà Huy Khoái. Lời
đầu tiên, tác giả xin được bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới
PGS. TS. Tạ Thị Hoài An, người Cô nghiêm khắc và mẫu mực, đã định
hướng nghiên cứu, đặt bài toán và hướng dẫn tác giả tận tình, chu đáo
trong suốt quá trình tác giả thực hiện luận án.
Tác giả xin được bày tỏ sự kính trọng và gửi lời cảm ơn sâu sắc tới
GS. TSKH. Hà Huy Khoái, người đã thường xuyên quan tâm, tạo mọi
điều kiện thuận lợi, cùng với những lời động viên, khích lệ tác giả trong

suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin được cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Phòng Sau đại
học, Ban Giám hiệu, các phòng ban chức năng của Trường Đại học Vinh
đã tạo các điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một
nghiên cứu sinh. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp
trong Khoa Toán, Tổ Đại số đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả tập
trung học tập và nghiên cứu. Tác giả xin cảm ơn Viện Toán học, phòng
Lý thuyết số, phòng Đại số, các nhà khoa học của Viện Toán đã giúp đỡ
tác giả, tạo môi trường học tập cũng như tham gia các buổi sinh hoạt
khoa học của Viện để tác giả có thể hoàn thành luận án.
Nhân dịp này tác giả xin cảm ơn đến TS. Chu Trọng Thanh đã quan
tâm cũng như giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập.
Xin cảm ơn các thầy cô, bạn bè về những trao đổi, chia sẻ trong công


iii

việc cũng như trong cuộc sống. Xin cảm ơn các anh chị em nghiên cứu
sinh của Viện Toán, của Trường Đại học Vinh về những chia sẻ, động
viên trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tác giả xin kính dâng luận án này đến hương hồn Bố, kính
tặng Mẹ, tặng em Ngọc Bảo. Chính Mẹ và em đã chấp nhận mọi khó khăn
và dành hết tình thương yêu cho tác giả trong suốt những năm tháng qua
để tác giả có thể hoàn thành luận án này.

Nghệ An, 2014

Nguyễn Thị Ngọc Diệp

MỤC LỤC

Lời cảm ơn

ii

Một số ký hiệu

2

Mở đầu

3

1

2

Kiến thức chuẩn bị

11

1.1

Đa tạp đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2

Cấu xạ giữa các đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3

Đường cong phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4

Không gian Hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Các nhân tử bất khả quy có giống thấp của đường cong trên trường
số phức

20

2.1

Phương pháp xây dựng các 1-dạng chính quy kiểu Wronskian 20

2.2

Một số bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3

Một số điều kiện đủ để mọi thành phần bất khả quy của

22

đường cong P (x) = Q(y) có giống lớn hơn 1 . . . . . . . . . .

28

2.3.1 Các đa thức thoả mãn Giả thiết I . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.2 Các đa thức không thoả mãn Giả thiết I . . . . . . . . .

33

2.4

Điều kiện cần và đủ để đường cong P (x) = Q(y) có thành
phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1 . . . . . . . . . . . . . .
iv

34


1

2.4.1 Bội giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.4.2 Phép biến đổi toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.4.3 Điều kiện cần và đủ để đường cong P (x) = Q(y) có thành

2.5
3

phần bất khả quy có giống 0 hoặc 1 . . . . . . . . . . . . . .

39

Một số ứng dụng và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Độ cao của các hàm hữu tỷ thoả mãn phương trình biến tách

56

3.1

Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

3.2

Chặn trên của các độ cao của các hàm hữu tỷ thoả mãn
phương trình biến tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3

Phương trình biến tách P (x) = Q(y) với P, Q thoả mãn Giả
thiết I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4

62

66

Điều kiện để phương trình biến tách có nghiệm hàm hữu
tỷ khác hằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

Kết luận và kiến nghị

78

Danh mục công trình của NCS liên quan đến luận án

80

Tài liệu tham khảo

81


2

MỘT SỐ KÝ HIỆU

C : Trường các số phức
k : Trường
An (k) : Không gian afin n chiều trên trường k
Pn (k) : Không gian xạ ảnh n chiều trên trường k
k[x1 , . . . , xn ] : Vành đa thức n biến trên trường k

degf : Bậc của đa thức f
V (S) : Tập nghiệm của hệ đa thức S
∅ : Tập rỗng
A ⊂ B : A là tập con của B
A ⊂ B : A không là tập con của B
A ∩ B : A giao B
A ∪ B : A hợp B
idX : Ánh xạ đồng nhất từ tập X vào chính nó
I(X) : Iđêan của X
Γ(X) : Vành toạ độ của X
J (V, k) : Tập hợp tất cả các hàm từ tập V vào k
gcd(a, b) : Ước chung lớn nhất của a và b


3

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Một trong những bài toán cơ bản của Lý thuyết số được nhiều nhà
toán học đặc biệt quan tâm là bài toán giải phương trình Diophant.
Ban đầu người ta nghiên cứu nghiệm nguyên của những phương trình
Diophant với các hệ số là những số nguyên. Sau đó, việc xem xét nghiệm
của các phương trình Diophant được mở rộng trên tập các số hữu tỷ và
trên trường các hàm như hàm phân hình phức, hàm phân hình không
Acsimet, hàm hữu tỷ.
Cho P và Q là các đa thức một biến trên trường đóng đại số k. Bài
toán tồn tại hay không các hàm f và g khác hằng thoả mãn phương trình
P (f ) = Q(g) từ lâu đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học.

Bên cạnh đó, bài toán về sự phân tích đa thức P (x) − Q(y) thành các nhân
tử bất khả quy và tính hữu hạn nghiệm nguyên của đa thức này khi k là
một trường số cũng được nhiều nhà toán học nghiên cứu. Theo Định lý
Faltings và Định lý Picard, hai bài toán này liên quan chặt chẽ với nhau.
Ngay từ những năm đầu thế kỷ XX, một số kết quả của các bài toán
này đã được đưa ra bởi các công trình của J. F. Ritt [36], sau đó là A.
Ehrenfeucht [19], H. Davenport, D. J. Lewis và A. Schinzel [16], M. Fried
[22], ... Khi Q = cP , C. C. Yang và P. Li trong [44] đã giới thiệu khái niệm
đa thức duy nhất mạnh. Cụ thể, đa thức P (x) trên trường đóng đại số k
được gọi là đa thức duy nhất mạnh đối với họ các hàm F nếu với mọi


4

hàm f, g ∈ F và hằng số c khác không nào đó mà P (f ) = cP (g) thì c = 1 và
f = g . Cho đến nay bài toán tìm điều kiện để một đa thức là đa thức duy

nhất mạnh đối với một họ hàm đã được giải quyết trọn vẹn trong trường
hợp phức cũng như trong trường hợp p-adic cho họ các hàm phân hình,
hàm nguyên hay hàm hữu tỷ ([2], [3], [4], [5], [8], [24], [30], [43]).
Thời gian gần đây, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu một mở
rộng tự nhiên của vấn đề đa thức duy nhất mạnh, đó là nghiên cứu sự tồn
tại nghiệm của phương trình P (x) = Q(y). Theo Định lý Picard, phương
trình P (f ) = Q(g) không có nghiệm hàm phân hình (f, g) khác hằng nếu
và chỉ nếu đường cong P (x) − Q(y) = 0 không chứa bất kỳ thành phần nào
có giống 0 hoặc 1. Một số điều kiện cần để đường cong P (x) − Q(y) = 0
không có nhân tử có giống 0 đã được đưa ra bởi J. F. Ritt ([36]) và U.
M. Zannier ([46]). R. M. Avanzi và U. M. Zannier ([11]) đã đưa ra một
điều kiện cần để đường cong P (x) − Q(y) = 0 không có nhân tử có giống
1. Trong trường số phức, một số điều kiện đối với các bậc của P và Q
để phương trình P (x) = Q(y) không có nghiệm hàm phân hình khác hằng
cũng được xem xét bởi các tác giả H. H. Khoái và C. C. Yang trong [31],
C. C. Yang và P. Li trong [45]. Gần đây, trong [7], T. T. H. An và A.
Escassut đã xem xét vấn đề này trong trường không Acsimet. Họ đã đưa
ra điều kiện đủ khi P và Q thoả mãn Giả thiết I, giả thiết được giới thiệu
lần đầu tiên bởi Fujimoto trong [24], và điều kiện cần và đủ khi degP =
degQ.
Cho đến nay, vấn đề thiết lập đặc trưng đầy đủ của đường cong không
có nhân tử có giống bé hơn hoặc bằng 1 vẫn đang là vấn đề mở. Đồng
thời, vấn đề xem xét phương trình P (x) = Q(y) trên trường các hàm hữu
tỷ là đề tài thời sự đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước
quan tâm.
Để góp phần làm sáng tỏ vấn đề nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên


5

cứu cho luận án của mình là: Phương trình đa thức trên trường

các hàm hữu tỷ và ứng dụng.

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận án là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm hàm hữu
tỷ của phương trình đa thức hai biến trên trường đóng đại số, đồng thời
xem xét các điều kiện để đa thức hai biến có các nhân tử có giống thấp.

3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là phương trình đa thức hai biến trên trường
đóng đại số.

4. Phạm vi nghiên cứu
Luận án chủ yếu tập trung nghiên cứu sự tồn tại nghiệm hàm hữu tỷ,
hàm phân hình của phương trình đa thức hai biến trên trường đóng đại
số.

5. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng những phương pháp của giải tích phức và hình học
đại số, lý thuyết số trong quá trình thực hiện đề tài luận án, đặc biệt là lý
thuyết độ cao, lý thuyết kỳ dị, phương pháp xây dựng các 1-dạng chính
quy kiểu Wronskian trên một đường cong đại số.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
6.1. Ý nghĩa khoa học
Luận án góp phần làm sáng tỏ vấn đề khi nào phương trình đa thức
hai biến trên trường đóng đại số có nghiệm hàm hữu tỷ, hàm phân hình
khác hằng.

6

6.2. Ý nghĩa thực tiễn
Luận án là một trong những tài liệu tham khảo cho sinh viên, học
viên cao học và nghiên cứu sinh, giúp ích cho việc xây dựng những nhóm
nghiên cứu về giải tích phức, số học và hình học đại số.

7. Tổng quan và cấu trúc luận án
7.1. Tổng quan luận án
Bài toán giải phương trình Diophant từ lâu đã luôn hấp dẫn các nhà
toán học. Một trong những bài toán khó và nổi tiếng nhất là Bài toán
Fermat: không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y và z thoả mãn
xn + y n = z n , trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2. Bài toán Fermat

đã là bài toán mở trong suốt hơn ba thế kỷ vừa qua và cuối cùng nó
đã được chứng minh bởi Andrew Wiles năm 1993. Bên cạnh việc xem
xét nghiệm nguyên của các phương trình Diophant ban đầu với các hệ
số nguyên, người ta mở rộng hướng nghiên cứu với việc xét các phương
trình Diophant trên trường các hàm như trường các hàm phân hình phức,
trường các hàm phân hình không Acsimet, trường các hàm hữu tỷ.
Cho phương trình P (x) = Q(y), trong đó P và Q là các đa thức một biến
trên trường đóng đại số k. Có hai vấn đề được đặt ra một cách tự nhiên:
Thứ nhất, tồn tại hay không các hàm f và g khác hằng thoả mãn phương
trình P (f ) = Q(g)? Thứ hai, vấn đề về sự phân tích đa thức P (x) − Q(y)
thành các nhân tử bất khả quy và tính hữu hạn nghiệm nguyên của đa
thức này khi k là một trường số.
Liên quan tới các hướng nghiên cứu này ta có những kết quả của
Faltings và Picard. Khi k là trường số phức, Định lý Picard nói rằng
phương trình P (f ) = Q(g) không có nghiệm là các hàm phân hình khác

hằng f và g khi đường cong phẳng P (x) = Q(y) không có các thành phần


Luận vận đậy đu ở file:Luận vận Full